Algebra delle derivate. Scheda di approfondimento1
A. Trigonometria e derivate
1. Completa la tabella per ottenere la derivata di altre funzioni inverse
Derivata di funzione inversa di y = tan(x)
sin2(y) + cos2(y) = 1
da cui
cos( y ) = 1 − sin 2 ( y )
Derivata di funzione inversa di y = sin(x)
x = tan(y) ⇔ y = arctan(x)
x =€sin(y) ⇔ y = arcsin(x)
dx
dy
1
1
dx
dy
1
1
= ......... ⇒
=
=
= ......... ⇒
=
=
dy
dx .......... .........
dy
dx ............. .............
€
1
1
€
La derivata di y = arcsin(x) è y' =
La derivata di y = arctan(x) è y' =
2
1+ x
1− x2
€2. Osserva qui a fianco il grafico di y = arcsin(x)
€ e rispondi ai seguenti quesiti:
€
• Qual è il dominio di y = arcsin(x)?............................................................
• Qual è il codominio di y = arcsin(x)? €
…………………………………...
• Perché risulta cos(y) ≥ 0 ? ………………………………………………
3. Calcola la derivata di y = arccos(x) con due diversi procedimenti.
I. Procedimento analogo a quello seguito per la derivata di y = arcsin(x)
x = cos(y) ⇔ y = arccos(x)
dx
dy
1
1
= ......... ⇒
=
=
dy
dx ............. ............. €
€
€
€
€
€
La derivata di y = arccos(x) è y' = −
1
1− x2
II. Procedimento basato sulla relazione fra funzioni trigonometriche di angoli complementari:
⎛ π
⎞
π
cos(x) = sin⎜ − x ⎟ ⇒ arccos(x) = − ................ Ritrovo così la stessa derivata.
⎝ 2
⎠
2
4. Calcola la derivata delle seguenti funzioni:
f(x) = arcsin(x) + arccos(x)
g(x) = arcsin(x) − arccos(x)
f’(x) = …….
g’(x) = ………
Hai seguito il procedimento più rapido?
5. Calcola la derivata delle seguenti funzioni
⎛ x ⎞
⎛ x ⎞
f (x) = sin 2 (x) + cos 2 (x)
g(x) = sin 2 ⎜ ⎟ + cos2 ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
f’(x) = …….
g’(x) = ………
Hai seguito il procedimento più rapido?
6. Applica le formule di duplicazione per agevolare le derivate.
Calcola la derivata della seguente funzione:
Formule di duplicazione
cos(2x) = cos2(x) − sin2(x)
5
f (x) = 5sin(x)cos(x) + cos2 ( x ) − sin 2 ( x ) − sin(2x) − cos(2x) +15
sin(2x) = 2sin(x) cos(x)
2
Scrivi qui sotto il procedimento seguito.
7. Calcola la derivata delle seguenti funzioni composte.
y = arctan(x + 3)
y = ………, z = ……..
y =arctan(2x)
Treccani Scuola
y = ………, z = ………..
B. Esponenziale, logaritmo e derivate
8. Completa il procedimento per calcolare la derivata di y = a
Logaritmo in base b
x = by ⇔ y = logb(x)
Logaritmo in base e
x = ey ⇔ y = ln(x)
x
a x = e ( ) = ............[ Applica la proprietà II]
Calcola la derivata della funzione ottenuta, composta da
dy dz
z
y = e , z = ………… da cui
⋅
= e z ⋅ ..... e quindi
dz dx
x
x
la derivata di y = a è y’ = ln(a) ⋅ a
ln a x
€
r
€
9. Completa il procedimento
per calcolare la derivata di y = x ,
dove l’esponente r è un numero reale, anche irrazionale.
x r = e ( ) = ............[ Applica la proprietà II]
Calcola la derivata della funzione ottenuta, composta da
dy dz
z
y = e , z = ………… da cui
⋅
= e z ⋅ ..... e quindi
dz dx
r
r−1
la derivata di y = x è y’ = rx
Proprietà dei logaritmi
I. logb(x ⋅ y) = logb(x) + logb(y)
II. logb(xn) = nlogb(x)
ln(x)
III. log b ( x ) =
ln(b)
ln x r
€
€
10. Completa il procedimento
per calcolare la derivata prima e seconda della funzione f(x) = πx − xπ
€
f’(x) = …….. ⋅ πx − π ⋅ ……..
f’(x) = …….. ⋅ πx − π ⋅ ……..
11. Completa il procedimento per calcolare la derivata di y = logb(x).
ln(x)
Applica la proprietà III per scrivere log b ( x ) =
ln(b)
Così devi derivare la funzione y = …….ln(x). Concludi che:
1 1
⋅
la derivata di y = logb(x) è y' =
ln(b) x
€
12. Completa il procedimento per spiegare perché hanno la stessa derivata le due funzioni seguenti:
y = ln(2x3) e y = 3ln(x)
Applica le proprietà€I e II per scrivere
ln(2x3) = ……….. + 3ln(x) e quindi scrivo la prima funzione nella forma y = 3ln(x) + …..
La funzione così ottenuta ha la stessa derivata di y = 3ln(x) perché …………………
Treccani Scuola
