introduzione alla probabilità nella scuola media concetti di base

Lezione 1
- Introduzione alla probabilita' nella scuola media: concetti base
1
INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ
NELLA SCUOLA MEDIA
CONCETTI DI BASE
GRUPPO MAT06 – Dip. Matematica, Università di Milano - Probabilità e Statistica per le Scuole Medie - SILSIS - 2007
Lezione 1
- Introduzione alla probabilita' nella scuola media: concetti base
2
Un fenomeno casuale, o aleatorio,
è un fenomeno osservabile, ma non
prevedibile.
Cioè conoscendo i dati iniziali e le
leggi, non possiamo prevederne il
risultato.
Ciò che invece possiamo conoscere è
l'insieme di tutti i possibili risultati.
Fenomeno
deterministico
Fenomeno
non deterministico
DATI + LEGGI
DATI + LEGGI
= CONOSCENZA
= NON CONOSCENZA
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Lezione 1
- Introduzione alla probabilita' nella scuola media: concetti base
3
ESPERIMENTI ALEATORI
STUDENTI
DESCRIZIONE DATI:
Informazioni sugli studenti del corso di statistica. Questo dataste raccoglie le risposte a un questionario
somministrato alla fine di ogni anno accademico a partire dal 1986-87, a tutti gli studenti presenti in aula alla fine
del corso di Statistica (I e II cattedra, Facoltà di Scienze Politiche, Università Federico II di Napoli).
ANNO
SESSO
ETA'
PESO
ALTEZZA
DIPSCI
DIPCLA
DIPTEC
DIPALT
1988
1988
1988
1988
1988
1988
1988
1988
1988
1988
1988
1988
1988
1988
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
20,6
20,2
20,3
23,9
21,4
25
20,8
20,6
27,1
23,3
23,1
21,3
23,2
23,2
65
75
60
93
66
84
67
89
71
63
75
78
77
64
180
180
173
187
164
186
175
170
180
170
176
182
174
167
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
COMPON OCCHIALI
6
4
4
8
5
4
4
3
1
4
5
5
4
4
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
FUMO
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
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- Introduzione alla probabilita' nella scuola media: concetti base
4
ESPERIMENTI ALEATORI
ECOLOGIA UMANA: riconoscimento solo olfattivo da parte delle puerpere
Campione: 68 puerpere, 68 neonati (35 maschi e 33 femmine)
TEST: riconoscimento solo olfattivo del camicino (indossato per 24 ore) del proprio
figlio fra sei camicini.
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ESPERIMENTI ALEATORI
BIODIVERSITA’
DESCRIZIONE DATI:
E' stato effettuato uno studio sulla biodiversità delle biofrite, sulla differenziazione dei microambienti e della
distribuzione delle forme di vita nella foresta "los Robles" situata sulla montagna Talamanca in Costa Rica.
Sono state campionate 206 specie (osservazioni), appartenenti alla grandi famiglie di biofrite epatiche (1-104), di
biofrite muschi (106-206) ed un solo esemplare della famiglia biofrite hornwort (105). le variabili microambienti
considerate sono 9: ramoscello, ramo, tronco, base dell'albero, arbusto, foglie, ceppo, terreno, pietra/roccia
Si e' misurata la variabile ABBONDANZA che puo' assumere i valori 1 (raro), 2 frequente), 3(comune) per ogni specie
riscontrata in quel microambiente specifico. Inoltre si e' considerara la variabile LIFE FORM che specifica sotto quale
forma sono stati campioonati gli individui di quella data specie.
species
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
ramoscelli
ramo
tronco
base
dell'albero
arbusto
foglie
ceppo
terreno
pietra/roc
cia
1
3
2
3
2
2
1
2
2
3
1
3
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
3
2
1
1
1
LIFE
FORM
TU
TU
TU
TU
MA
TU
MA
MA
MA
MA
MA
MA
MA
MA
MA
MA
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Lezione 1
- Introduzione alla probabilita' nella scuola media: concetti base
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ESPERIMENTI ALEATORI
INQUINAMENTO
The Atmosphere, Climate & Environment Information Programme, supported by the Department of
Environmental, Food and Rural Affairs (DEFRA) provides monthly summaries of air quality in nine
urban areas of Britain.
Summaries are provided in the form data, showing the daily average concentrations of 5 pollutants
during october 200, 2001, 2002 : carbon monoxide, nitrogen dioxide , ozone , particulate matter
and sulphur dioxide.
SO2 (ppb) O3 (ppb)
Date
SO2 (ppb)
O3 (ppb)
10/01/2002
5
10/02/2002
3
10/03/2002
3
10/04/2002
3
10/05/2002
3
10/06/2002
3
10/07/2002
4
10/08/2002
5
10/09/2002
6
10/10/2002
4
10/11/2002
6
10/12/2002
7
13/10/2002
5
14/10/2002
3
15/10/2002
3
16/10/2002
2
17/10/2002
10
18/10/2002
4
19/10/2002
4
NO2 (ppb) NOx (ppb) CO (ppm) PM10 (microg/m3).
NO2 (ppb)
6
7
9
6
7
14
5
7
5
5
4
5
5
5
9
6
5
4
7
NOx (ppb)
38
31
28
30
24
22
35
30
29
26
30
28
29
25
25
22
24
29
28
CO (ppm)
122
56
60
76
54
44
76
74
86
67
92
78
104
68
67
72
68
92
64
0,6
0,3
0,5
0,5
0,5
0,4
0,5
0,5
0,5
0,6
0,5
0,5
0,4
0,5
0,4
0,2
0,1
0,1
0,1
PM10 (microg/m3)
51
37
29
31
26
24
37
37
41
40
46
31
24
27
25
26
25
28
25
Date
SO2 (ppb) O3 (ppb) NO2 (ppb) NOx (ppb) CO (ppm) PM10 (mg/m3)
10/01/2001
3
19
30
44
0,3
10/02/2001
3
14
24
40
0,5
10/03/2001
3
11
22
44
0,6
10/04/2001
2
10
22
43
0,6
10/05/2001
2
11
26
54
0,6
10/06/2001
2
16
20
33
0,4
10/07/2001
2
23
16
23
0,3
10/08/2001
2
15
24
39
0,5
10/09/2001
2
6
28
55
0,5
10/10/2001
3
9
27
45
0,4
10/11/2001
2
10
26
42
0,3
10/12/2001
3
4
37
102
0,7
13/10/01
5
3
35
147
1,3
14/10/01
3
10
20
75
0,7
15/10/01
2
11
24
46
0,3
16/10/01
2
8
31
63
0,6
17/10/01
5
2
37
125
0,7
18/10/01
2
7
29
54
0,6
19/10/01
4
2
32
88
0,9
28
16
25
20
21
20
15
19
21
22
19
34
60
37
25
26
35
31
36
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CASO 1: la probabilità
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A SCUOLA
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Lezione 1
- Introduzione alla probabilita' nella scuola media: concetti base
CASO 1: la probabilità
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A SCUOLA
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Lezione 1
- Introduzione alla probabilita' nella scuola media: concetti base
CASO 1: la probabilità
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A SCUOLA
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CASO 2: la probabilità
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A SCUOLA
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NOMENCLATURA
Esperimento Casuale, aleatorio
non deterministico
11
ESEMPIO
(dado il latino alea)
Lancio di un dado
Spazio campione
insieme di tutti i possibili esperimenti dell’esperimento
Evento elementare
uno dei possibili risultati dell’esperimento
Evento
un sottoinsieme dello spazio campione, in cui sono contenuti
alcuni dei possibili casi, quelli favorevoli all'evento
considerato.
Esito
ciò che effettivamente si verifica quando il fenomeno accade.
L'esito dunque è certo e lo si conosce solo a posteriori.
posteriori
Tiro il dado, esce {6}
Probabilità di un evento aleatorio
misura del grado di fiducia che si può stabilire a priori circa
il verificarsi o meno dell'evento.
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12
PROBABILITÀ
La probabilità di un evento A, detta P(A), rappresenta una misura di
quanto ci si aspetta che si verifichi l’evento A.
Calcolare le probabilità non significa "prevedere il futuro", ma trovare come distribuire un
maggiore o minore grado di fiducia tra i vari possibili modi in cui si potrà presentare
un certo fenomeno aleatorio.
CASO 1:
CASO 2:
la probabilità frequentista
la probabilità classica
a posteriori
a priori
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13
PROBABILITÀ
CASO 1:
la probabilità frequentista - a posteriori
LEGGE EMPIRICA DEL CASO :
in una successione di prove ripetute nelle stesse condizioni, la frequenza di un
evento si avvicina alla probabilità dell’evento stesso
P ( A) = lim
N
m
# volte E si verifica
= lim
= lim f N ( A)
N
N
N
# esperimenti
f N ( A) →
P ( A)
N
fN(A) è una STIMA di P(A)
LIMITI della definizione TANTE PROVE DIFFICILE, stesse condizioni
ASPETTI POSITIVI della definizione è operativa
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CASO 1:
14
PROBABILITÀ
la probabilità frequentista - a posteriori
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PROBABILITÀ
CASO 2:
la probabilità classica - a priori
Ipotesi
m
N
casi favorevoli
=
casi possibili
P ( A) =
LIMITI della definizione :
Ipotesi
ASPETTI POSITIVI della definizione: è operativa
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16
PROBABILITÀ
CASO 2:
la probabilità classica - a priori
m
N
casi favorevoli
=
casi possibili
P ( A) =
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17
ESERCIZI
Esercizio 1.1
Si lancino contemporaneamente due monete. Qual è la probabilità
che esca testa su entrambe?
Occorre un po' di combinatoria ed un grafo ad albero. Partendo dal
vertice in alto e percorrendo fino al termine i vari rami che traggono
origine da esso, troviamo i quattro casi possibili, che costituiscono lo
spazio campione: {TT, TC, CT, CC}. L'evento TT è uno dei quattro,
quindi p=1/4.
I grafi ad albero sono molto utili nello studio della probabilità e della combinatoria. Questo a
lato è un grafo regolare, in cui ogni nodo ha lo stesso numero di rami e ciascun ramo ha lo
stesso "peso" (inteso in questo caso come probabilità) degli altri.
Vittorio De Petris
Erroneamente, nella famosa Encyclopédie di Diderot e D'Alambert, si sosteneva che
l'analogo caso di due figli presentava tre possibilità, due maschi, due femmine o un maschio
e una femmina, assegnando probabilità 1/3 a ciascuno dei casi..
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18
ESERCIZI
Esercizio 1.2 Un giocatore di poker ha in mano quattro carte di
cuori ed una di picche. Decide di scartare quest'ultima, pescando
un'altra carta e tentare di fare "colore". Quale probabilità ha?
Occorre togliere dallo spazio campione le 5 carte che il giocatore ha in mano.
Restano così 27 carte, fra le quali ci sono 4 cuori (escludendo quelli già in mano).
Qualche alunno potrebbe chiedersi se non debbano essere tolte anche le 15 carte in mano agli
altri 3 giocatori.
Occorre chiarire loro che, non sapendo quali carte hanno in mano tali giocatori, dobbiamo
considerare possibili tutti i 27 casi, anche se il mazzo da cui il banco prenderà la carta ne
contiene solo 12.
Vittorio De Petris
La probabilità è dunque 4/27.
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19
ESERCIZI
Esercizio 1.3
Due ragazzi fanno alla conta, gettando la mano con alcune dita distese e facendo la
loro somma. Il primo ha scelto "Pari". Qual è la probabilità che si verifichi tal evento?
Se si analizza invece la situazione con una tabella a doppia entrata, si
vede che l'evento "esce un numero pari" è leggermente avvantaggiato,
poiché i casi favorevoli sono 13 su 25 contro i 12 su 25 dell'evento
opposto.
Diversa è la situazione se si considera la possibilità di poter gettare
anche lo zero (mano chiusa). In tal caso la situazione torna in
perfetta parità con 18 casi su 36 per entrambi gli eventi.
Vittorio De Petris
Si è portati a credere che pari e dispari siano eventi ugualmente probabili ciascuno con
probabilità 1/2
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20
ESERCIZI
Esercizio 1.4
Si lanciano due dadi. Qual è la probabilità che
almeno uno di essi sia un 6?
La probabilità dell'evento è quindi p=11/36.
E' probabile che qualche alunno abbia risposto 2/6 o, semplificando, 1/3, pensando che in
un dado la probabilità è 1/6 e quindi con due dadi tale probabilità si raddoppi.
Più avanti si vedrà come calcolare razionalmente la probabilità del sei su ciascun dado e
come ottenere quella dei due dadi.
Vittorio De Petris
E' un errore abbastanza comune.
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21
ESERCIZI
Esercizio 1.5
Al Luna Park una ruota di legno, suddivisa in settori colorati di ampiezze
diverse, gira velocemente, mentre un giocatore spara una freccetta con
una carabina ad aria compressa, colpendo a caso uno dei settori.
Che probabilità ci sono di vincere la bambolina abbinata al settore di
colore nero, il cui angolo misura 18 gradi?
Si deve considerare che un settore di 18 gradi rappresenta 18/360 dell'intera ruota e quindi la
probabilità è di 1/20
Lo spazio campione è dato dall'intera superficie del cerchio. In tale spazio non ha senso
considerare la probabilità che la freccetta colpisca un particolare punto, ma solo quella di
colpire un punto che appartenga ad una certa superficie all'interno dello spazio campione.
Supponendo quindi che la probabilità sia distribuita in modo uniforme all'interno della ruota
(come ci assicura la velocità con cui gira), quella di colpire un particolare settore è legata al
rapporto tra la superficie considerata e quella dell'intero spazio campione.
Vittorio De Petris
Gli alunni probabilmente non se ne sono accorti, ma siamo passati dalla probabilità di eventi
discreti (cioè distinguibili e numerabili all'interno di un insieme finito, come le biglie in
un'urna), alla probabilità di eventi continui.
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LANCIO DI UNA MONETA
ESTRAZIONE DI UNA PALLINA
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NASCITA DI DUE FIGLI MASCHI
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24
STRUMENTO DI LAVORO: EXCEL
Excel è un’applicazione di foglio elettronico che permette di raccogliere ed
elaborare i dati inseriti dall’utente.
I dati vengono raccolti in tabelle.
Tabella
Insieme di celle disposte secondo righe e colonne che
costituiscono i fogli di lavoro
Cartelle di lavoro
Insieme di fogli di lavoro raccolti insieme come una
rubrica telefonica e identificati da una etichetta
Riferimenti:
•Statistica con Excel : appunti D. Morale
•"Laboratorio di Statistica con Excel" di A.M. Paganoni e L. Pontiggia
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RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI specifici per la scuola media
http://xoomer.alice.it/vdepetr/t20/Text20.htm di Vittorio De Petris
http://www.dienneti.it/risorse/matematica/didattica.htm
Dal sito dell’Unione Matematica Italiana
http://umi.dm.unibo.it/italiano/Didattica/didattica.html
http://umi.dm.unibo.it/italiano/Matematica2001/seconda/problemi/media.pdf
http://umi.dm.unibo.it/italiano/Matematica2001/seconda/dati/medie1.pdf
http://umi.dm.unibo.it/italiano/Matematica2001/seconda/dati/medie2.pdf
http://umi.dm.unibo.it/italiano/Matematica2001/seconda/dati/media3.pdf
Ulteriori riferimenti in
http://www.museo.unimo.it/labmat/BIB.HTM
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