Quadratura della parabola con il “numero piramidale quadrato”
LUCIANO ANCORA
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Abstract
Dimostreremo qui di seguito il teorema di Archimede sulla quadratura del segmento
parabolico, senza l'aiuto dell’analisi matematica, ma utilizzando solo il "numero
piramidale quadrato” e il criterio di convergenza di una successione numerica.
Keywords: Segmento parabolico, quadratura, figura a denti di sega, numero piramidale quadrato, convergenza.
Introduzione
La “Quadratura della parabola” è una delle prime opera composte da Archimede.
L’opera si apre con una introduzione che tratta di proprietà elementari della
parabola; si passa poi ad eseguire la quadratura della parabola per via meccanica,
con considerazioni che fanno riferimento all’equilibrio di una leva; finalmente si
giunge alla dimostrazione geometrica della quadratura, fatta applicando il rigoroso
metodo di esaustione.
Nella nostra dimostrazione useremo la stessa figura usata da Archimede nella
proposizione 16 dell’opera, in cui viene dimostrato il risultato fondamentale che il
triangolo ABC è triplo del segmento parabolico. Nella successiva prop. 17
Archimede deduce da detto risultato l’altro, più noto, che il segmento parabolico è
4/3 del triangolo inscritto.
Proposizione 16
Sia AB la base di un segmento parabolico, e si conduca da B la BC parallela
all’asse della parabola, e da A la AC tangente alla parabola in A. Dico che l'area
del segmento parabolico è un terzo dell'area del triangolo ABC.
Dimostrazione
Si dividano i segmenti AB e BC in sei parti uguali e si conducano, per i punti di
divisione su AB le parallele alla BC, e per i punti su BC le congiungenti con A.
Consideriamo la figura a denti di sega che circoscrive il segmento parabolico.
L’area di questa figura eccede l’area del segmento stesso di una quantità che è pari
all’area complessiva dei denti. Se si aumenta il numero delle divisioni n di una
costruzione così fatta, si può vedere che l’area della figura a denti di sega converge
all’area del segmento parabolico, al tendere di n ad infinito; infatti, l’area in eccesso
(costituita dai “denti”) diventa sempre più evanescente al crescere di n, fino ad
annullarsi completamente all’infinito. Nel grafico, la figura a denti risulta divisa in
6 strisce verticali composte: la prima da 6 triangoli equivalenti, e le altre strisce,
rispettivamente, da 5, 4, 3, 2, 1 trapezi, equivalenti fra loro in ciascuna striscia.
Consideriamo ora il triangolino, evidenziato in grigio, con un vertice nel punto A.
Useremo questo triangolo come “unità di misura” delle aree nei conteggi che
seguono.
Il triangolo ABM contiene: 1+3+5+7+9+11 (somma dei primi 6 numeri dispari) =
= 62 triangoli grigi.
Il triangolo ABC contiene: 6 .62 = 63 triangoli grigi
La figura circoscritta (a denti di sega) contiene (per l’equivalenza dei trapezi vista
sopra):
A(cir.) = 6.1 + 5.3 + 4.5 + 3.7 + 2.9 + 1.11 = 91 triangoli grigi
(1)
La somma (1) può scriversi:
A(cir.) = 6 + 11 + 15 + 18 + 20 + 21 , cioè:
6+
6+5+
6+5+4+
6+5+4+3+
6+5+4+3+2
6+5+4+3+2+1
o piuttosto:
A(cir.) = somma dei quadrati dei primi 6 numeri naturali!
In generale, per un qualsiasi numero n di divisioni di AB e BC, risulta:
•
•
Il triangolo ABC contiene n3 triangoli verdi
An(cir.) = somma dei quadrati dei primi n numeri naturali
Quindi, la figura a denti di sega che circoscrive il segmento parabolico si può
esprimere con il "numero piramidale quadrato" della teoria dei numeri !
Per il principio di induzione matematica, questa circostanza (che era ben nascosta
nella (3)) ci permette di ridurre la dimostrazione alla semplice verifica della
seguente relazione:
n
∑n
lim
n →∞
2
1
n
=
3
1
3
(2)
o, in maniera equivalente, verificando la convergenza della successione dei rapporti
fra le aree:
1,
P
5 14 30
1
,
,
, ... , n3 , ... → as n → ∞
8 27 64
n
3
(3)
dove al numeratore dei termini della successione compare l'n-esimo numero
piramidale quadrato Pn.
Ma la (4) e la (4a) affermano che: l'area (misurata in triangoli verdi) della figura
circoscritta vale un terzo dell'area del triangolo ABC, al limite di n = infinito.
where the numerator of the sequence terms is the nth square pyramidal number Pn.
But (2) and (3) states that: the area (measured in gray triangles) of the
circumscribed figure is one-third the area of the triangle ABC, as n tends to infinity.
Per la verifica della (2) si può usare un foglio elettronico nel modo seguente:
A
B
C
2
Pn
n
1
5
14
30
55
91
140
204
285
385
506
650
1
8
27
64
125
216
343
512
729
1000
1331
1728
n
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
3
B/C
1,0000
0,6250
0,5185
0,4688
0,4400
0,4213
0,4082
0,3984
0,3909
0,3850
0,3802
0,3762
.
.
0,3333
Questo metodo assicura, in maniera automatica, l’applicazione del principio di
induzione matematica ed il criterio di convergenza.
Discussione
1. Si notino i quattro punti essenziali della dimostrazione:
•
•
•
•
Scelta dei triangoli equivalenti per la misura delle aree.
Con tale scelta, l’area del triangolo ABC misura n3 triangoli.
Conteggio del numero di triangoli nella figura a denti di sega che racchiude
il segmento parabolico e scoperta che, per ogni numero n di divisioni,
questo numero è il numero piramidale quadrato Pn !
Uso di un foglio elettronico per verificare la (2) dimostrando il teorema.
2. Una ulteriore indagine sulla (2), con l’impiego di un foglio elettronico, conduce
alla seguente importante generalizzazione:
n
∑n
lim
n →∞
m
1
n
m +1
=
1
m +1
∀m ∈ N
(4)
Infatti risulta:
Le quantità nelle colonne B sono rispettivamente: il numero triangolare Tn, il
numero piramidale quadrato Pn, e le altre somme al numeratore della (4), che si
calcolano impiegando la formula di Faulhaber.
Bibliografia
Attilio Frajese - Opere di Archimede, UTET (1974)
