Lezione sui circuiti in corrente alternata

Capitolo 2
Circuiti in corrente alternata
2.1
Generatori di corrente alternata
Un generatore di corrente alternata è un generatore in cui la differenza di potenziale in uscita varia in
modo sinusoidale
Δv = V0 cos ωt
(2.1)
V0 è l’ampiezza dell’oscillazione, il valore massimo che la differenza di potenziale può assumere.
Caratteristica fondamentale è anche la pulsazione ω, legata alla
frequenza ( f ) ed al periodo di oscillazione (T ) dalla relazione
ω = 2π f =
2π
T
(2.2)
In uno schema di un circuito, un generatore di corrente alternata è
schematizzato con l’elemento di ﬁgura.
Quando applichiamo una tensione sinusoidale al nostro circuito, si può vedere che la corrente che
circola è anch’essa oscillante in modo sinusoidale con la stessa frequenza e ha un’ampiezza proporzionale all’ampiezza della tensione del generatore. Tuttavia si può osservare che l’oscillazione della
corrente non è necessariamente in fase con l’oscillazione della tensione e si possono avere degli sfasamenti. Inoltre, sia la costante di proporzionalità tra corrente e tensione che lo sfasamento φ possono
dipendere dalla pulsazione ω
Per risolvere i circuiti in corrente alternata useremo il metodo simbolico.
Per la tensione del generatore e la corrente che circola nel circuito (inizialmente considerato composto
da una singola maglia) assumiamo
V (t) = V0 cos ωt
I(t) = I0 cos(ωt + φ)
(2.3)
Queste due funzioni sono la parte reale delle due funzioni complesse:
V (t) = V0 eiωt
I(t) = I0 ei(ωt+φ)
7
(2.4)
8
CAPITOLO 2. CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA
Applicheremo la legge di Ohm alle funzioni complesse (2.4) e poi per avere la tensione e la corrente
sovremmo prendere la parte reale delle funzioni V (t) e I(t). Vediamo quanto valgono I0 e φ per gli
elementi base di un circuito, una resistenza (R), un condensatore (C) e un’induttanza (L).
2.2
Resistori in un circuito in c.a.
Consideriamo un resistore in un circuito in corrente alternata. Il più semplice circuito in corrente
alternata che contenga un resistore è quello della Figura 2.1
Risolviamo il circuito applicando la legge di Kirchoff delle maglie:
V = IR
e se sostituiamo le espressioni di V e di I dell’equazione (2.4) abbiamo
V0 eiωt = RI0 ei(ωt+φ)
e ricaviamo subito
V0
R
La tensione ai capi del resistore vale poi
I0 =
φ=0
I(t) =
V0
cos ωt
R
(2.5)
ΔVR = IR R = I0 R cos ωt,
cioè la tensione e la corrente hanno esattamente lo stesso andamento e variano in fase, cioè assumono
i valori massimi esattamente agli stessi tempi. Per una tensione applicata sinusoidale, la corrente
in un resistore è sempre in fase con la tensione ai capi del resistore.
Vmax
R
Figura 2.1: Semplice circuito con un resistore ed
un generatore di tensione alternata
Figura 2.2:
Tensione e corrente in
funzione del tempo per il circuito di
sinistra.
2.3. CONDENSATORE IN UN CIRCUITO IN C.A.
2.3
9
Condensatore in un circuito in c.a.
Consideriamo ora il caso del condensatore. Il circuito è quello della Figura 2.3. Da notare che un tale
circuito in corrente continua ci darebbe una corrente identicamente nulla sempre. Uguagliamo ora la
tensione ai capi del generatore alla differenza di potenziale ai capi del condensatore.
V=
Q
1
=
C C
�
I(t)dt
e se sostituiamo le espressioni di V e di I dell’equazione (2.4) abbiamo
V0 eiωt =
I0 i(ωt+φ)
I0 i(ωt+φ−π/2)
e
e
=
iωC
ωC
da cui ricaviamo subito
I0 = V0 ωC
φ = π/2
I(t) = I0 cos(ωt + π/2) = −I0 sin ωt
(2.6)
Vmax
C
Figura 2.3: Semplice circuito con un generatore
di tensione alternata e un condensatore.
Figura 2.4: Tensione e corrente in funzione del
tempo per il circuito di sinistra.
L’ampiezza della corrente è direttamente proporzionale alla pulsazione del generatore. Questo è
in accordo con il fatto che nel limite di corrente continua (ω → 0) la corrente va a zero. Tensione del
generatore e corrente sono rappresentati (in unità arbitrarie) nella Figura 2.4. La fase della corrente è
π/2 e dunque possiamo dire che la corrente è in anticipo sulla tensione del generatore di un quarto
di periodo (il massimo della corrente si ha T /4 prima del massimo della tensione del generatore).
10
2.4
CAPITOLO 2. CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA
Induttore in un circuito in c.a.
Consideriamo inﬁne il caso di un induttore. Il circuito è quello della Figura 2.5. Da notare che un tale
circuito in corrente continua ci darebbe una corrente identicamente nulla sempre. Uguagliamo ora la
tensione ai capi del generatore alla differenza di potenziale ai capi del condensatore.
V =L
dI
dt
e se sostituiamo le espressioni di V e di I dell’equazione (2.4) abbiamo
V =L
dI
= L(iω)I0 eiωt+φ = LωI0 eiωt+φ+π/2
dt
(2.7)
da cui ricaviamo subito
I0 =
V0
Lω
φ = −π/2
I(t) = I0 cos(ωt − π/2) = I0 sin ωt
(2.8)
L’ampiezza della corrente ora è inversamente proporzionale alla pulsazione. Questo fatto è in
accordo con il concetto di induttanza che rappresenta un’inerzia del circuito a cambiare nel tempo.
Maggiore è la pulsazione (più velocemente si vuole cambiare la situazione) più resiste il circuito
al cambiamento e la corrente è piccola e viceversa. Nel limite di bassissime frequenze l’induttore
non offre resistenza alcuna e la corrente diventa altissima. Questa volta la corrente è in ritardo di
fase rispetto alla tensione del generatore e i picchi della corrente accadono T /4 dopo i picchi della
tensione.
Vmax
L
Figura 2.5: Semplice circuito con un generatore
di tensione alternata e un induttore.
Figura 2.6: Tensione e corrente in funzione del
tempo per il circuito di sinistra.
2.5. IMPEDENZA E REATTANZA
2.5
11
Impedenza e reattanza
Le equazioni 2.5, 2.6 e 2.7 ci suggeriscono di generalizzare la legge di Ohm (V = iR) anche al caso
di un condensatore e dell’induttore e scriveremo
V = Z ·I
(2.9)
dove la costante di proporzionalità Z prende il nome di impedenza. A differenza della legge di Ohm
ora corrente, tensione e la stessa impedenza sono grandezze complesse e dalle equazioni 2.5, 2.6 e
2.7 possiamo ricavare le impedenze dei vari elementi.
1
,
ZL = iωL
(2.10)
iωC
Per risolvere un circuito in corrente alternata dovremmo usare la legge di Ohm generalizzata 2.9 e
una volta trovata la grandezza a cui siamo interessati dovremmo considerarne la parte reale. D’altra
parte sappiamo che questa deve essere una funzione sinusoidale con la pulsazione ω cioè del tipo
ZR = R,
ZC =
Gei(ωt+φ) ,
(2.11)
con G e φ funzioni, in generale, di ω. Come visto per gli elementi base, tutto si riduce a trovare
il modulo della grandezza cercata (ad esempio la corrente in un certo ramo del circuito) e il suo
sfasamento rispetto all’oscillazione del generatore.
Come detto, l’impedenza Z rappresenta una generalizzazione della resistenza e può essere scritta
come
Z = R + iX
(2.12)
dove R è l’usuale resistenza e X è la reattanza. Per un circuito puramente capacitivo e induttivo
l’impedenza è puramente immaginaria e la resistenza si riduce alla sola reattanza. Come per la
resistenza, la reattanza di due elementi in serie è la somma delle reattanze dei due elementi e cosı̀
dunque per l’impedenza.
Possiamo deﬁnire anche l’inverso dell’impedenza come Y = Z −1 = I/V che prende il nome di ammettenza e si misura in Siemens (Ω−1 ). Anche questa è un numero complesso e lo possiamo scrivere
come
Y = G + iB,
(2.13)
dove la parte reale G è chiamata conduttanza (che è l’inverso della resistenza) e la parte immaginaria
B è la suscettanza.
Come già anticipato, nel caso di N elementi in serie, vale:
Zeq = (Z1 + Z2 + ... + ZN ) ,
Yeq =
�
1
1
1
+ + ... +
Y1 Y2
YN
�−1
.
(2.14)
Se si hanno N elementi in parallelo, l’impedenza e l’ammettenza equivalenti sono:
Zeq =
�
1
1
1
+ + ... +
Z1 Z2
ZN
�−1
Yeq = Y1 +Y2 + ... +YN .
(2.15)
12
CAPITOLO 2. CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA
A seconda dei casi, può essere più utile usare l’impedenza Z o la ammettenza Y .
Dalla 2.9 si può facilmente ricavare il modulo della corrente come
� �
�V �
V0
⇒
I0 = √
.
(2.16)
|I| = ��
2
Z
R + X2
Lo sfasamento tra corrente e tensione sarà invece legato all’argomento dell’impedenza e, essendo Z
a denominatore della 2.9
tan φ = −
Im(Z)
Re(Z)
⇒
φ = − tan−1 (X/R)
(2.17)
Vediamo, per ﬁssare meglio le idee qualche applicazione del mettodo simbolico.
2.6
Circuito RLC serie
Il circuito RLC serie e schematicamente rappresentato nella Figura 2.7, in cui una resistenza, un
condensatore ed un’induttanza sono disposti in serie ad un generatore di tensione alternata e(t) =
V (t) = V0 cos ωt.
Passiamo alle grandezze complesse V = V0 eiωt e I = I0 ei(ωt+φ)
L’impedenza totale è la somma delle impedenze dei singoli elementi,
Z = R + i(ωL − 1/ωC)
(2.18)
V
R + i(ωL − 1/ωC)
(2.19)
e possiamo subito scrivere la corrente (complessa)
I=
Prendendo il modulo di quest’ultima ricaviamo I0 ,
V0
I0 = �
.
2
R + (ωL − 1/ωC)2
Lo sfasamento della corrente rispetto alla tensione è invece dato da
�
�
�
�
−1 ωL − 1/ωC
−1 1/ωC − ωL
φ = − tan
= tan
.
R
R
(2.20)
(2.21)
Prima di analizzare la tensione sui singoli elementi, è necessario commentare le due espressioni
ottenute.
In particolare l’andamento con la frequenza dell’ampiezza della corrente è particolarmente interessante. Per ω → 0 (frequenze molto basse), I0 → 0, infatti la reattanza capacitiva diventa sempre più
grande e fa tendere a zero la corrente. Questo è comprensibile per quanto detto sempre sul condensatore che, rispetto alle correnti continue, si comporta come un circuito aperto e non fa passare corrente.
Per lo sfasamento vale φ → π/2.
Se invece facciamo il limite ω → ∞ (alte frequenze), otteniamo ugualmente I0 → 0 e lo sfasamento
φ → −π/2. Fisicamente, ad alte frequenze domina la reattanza induttiva e il circuito diventa sempre
più “pigro” e la corrente sempre più piccola.
2.6. CIRCUITO RLC SERIE
13
Figura 2.7: Schema del circuito RLC serie.
Figura 2.8: Andamento della tensione
ai capi della resistenza in funzione della
frequenza.
In Figura 2.8 l’andamento dell’ampiezza della corrente (equivalente alla tensione ai capi della resistenza) è rappresentato in funzione della pulsazione ω del generatore. Quando la pulsazione è quella
per cui si ha il massimo, si dice che il circuito è in risonanza e tale pulsazione vale:
√
ω∗ = 1/ LC
(2.22)
Per tale valore si ha:
I0 = V0 /R
φ=0
(2.23)
Alla frequenza di risonanza il circuito è puramente resistivo e tutto va come se condensatore e induttanza non fossero presenti. Al valore della risonanza
√ l’ampiezza è massima perche stiamo stimolando
il circuito alla frequenza propria del circuito (1/ LC è in realtà la frequenza propria del circuito LC
equivalente). Tale fenomeno è esattamente identico all’oscillatore forzato in meccanica.
Se volessimo ora calcolare le differenze di potenziale ai capi dei vari elementi, dovremmo semplecemente parire dalla 2.19 e applicare la legge di Ohm generalizzata 2.9.
Per la resistenza abbiamo
RV
(2.24)
VR = RI =
Z
da cui ricaviamo
�
�
V0 R
−1 1/ωC − ωL
VR = I0 R = �
(2.25)
.
φR = tan
R
R2 + (ωL − 1/ωC)2
La tensione sulla resistenza è in fase con la corrente.
Per quanto riguarda la caduta di potenziale ai capi del condensatore, possiamo scrivere
VC = ZC I =
ZCV
(−i/ωC)V
V
=
=
2
Z
R + i(ωL − 1/ωC)) (1 − ω LC) + iωRC
(2.26)
14
CAPITOLO 2. CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA
da cui possiamo calcolare il modulo e lo sfasamento (sempre rispetto a V).
�
�
ωRC
V0
.
φC = tan−1
VC = �
1 − ω2 LC
(1 − ω2 LC)2 + ω2 R2C2
(2.27)
E si hanno i seguenti comportamenti per i vari limiti che si possono fare per la frequenza:
ω→0:
VC → V0 , φC → 0
ω→∞:
ω → ω∗+ :
ω → ω∗− :
VC → 0, φC → 0
V0 �
VC →
L/C, φC → π/2
R
V0 �
VC →
L/C, φC → −π/2
R
Consideriamo inﬁne la differenza di potenziale ai capi dell’induttanza. Possiamo in questo caso
scrivere
VL = ZL I =
ZLV
(iωL)V
=
=
Z
R + i(ωL − 1/ωC))
(2.28)
da cui possiamo calcolare il modulo e lo sfasamento (sempre rispetto a V).
V0 ω2 LC
VL = �
(1 − ω2 LC)2 + ω2 R2C2
φL = tan
−1
�
�
ωRC
.
ω2 LC − 1
(2.29)
E si hanno i seguenti comportamenti per i vari limiti che si possono fare per la frequenza:
ω → 0,
ω → ∞,
VC → 0
φC → 0
VC → V0
φC → 0
�
ω → ω , VC → (V0 /R) L/C φC → −π/2
�
ω → ω∗− , VC → (V0 /R) L/C φC → π/2
∗+
In Figura 2.9 sono rappresentati gli andamenti delle differenze di potenziale ai capi dei vari elementi
in funzione della frequenza.
È interessante notare come, alla frequenza di risonanza le differenze di potenziale ai capi del condensatore e dell’induttanza sono esattamente uguali ma la fase è opposta (una vale π/2 mentre l’altra vale
−π/2). Questo conferma che alla risonanza il circuito si comporta come se ci fosse la sola resistenza.
Le differenze di potenziale ai capi del condensatore e dell’induttanza possono essere anche molto
maggiori dell’ampiezza massima della tensione del generatore. D’altra parte queste hanno una fase
molto diversa (soprattutto intorno alla frequenza di risonanza) e dunque vale che VR +VC +VL = Vgen
Data la risposta in frequenza della corrente o della VR ,il circuito risonante appena trattato può essere
utilizzato per operare un ﬁltro che faccia passare solo un ben determinato intervallo di frequenze. In
questo senso, un fattore importante del circuito risonante RLC è il cosiddetto fattore di merito Q che
ci dice quanto è stretto il picco della risonanza. Questo è deﬁnito come
2.7. POTENZA NEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA
15
Figura 2.9: Andamento delle differenze potenziale VR , VC e VL al variare della pulsazione ω.
ω∗
,
Δω
√
dove Δω è l’intervallo di pulsazioni in cui VR > V0 / 2. Svolgendo i conti si può trovare facilmente:
�
1 L
∗L
Q=ω =
R R C
Q=
2.7
Potenza nei circuiti in corrente alternata
Vediamo cosa succede alla potenza dissipata in un circuito in corrente alternata. In generale la potenza
è il prodotto della tensione ai capi di un’elemento per la corrente che lo sta attraversando. Possiamo
scrivere:
P = iΔV = I0 cos(ωt + φ)V0 cos(ωt)
Questa è la potenza istantanea. Quello che è più interessante è la potenza media su un periodo
T = 2π/ω.
Pmed
�
�
1 T
I0V0 T
=
I0 cos(ωt + φ)V0 cos(ωt)dt =
(cos ωt cos φ − sin ωt sin φ) cos ωtdt
T 0
T 0
� T
1
I0V0
cos φ
cos2 ωtdt = I0V0 cos φ = Ie f f Ve f f cos φ,
(2.30)
=
T
2
0
avendo introdotto le grandezze efﬁcaci
I0
Ie f f = √
2
V0
Ve f f = √ .
2
16
CAPITOLO 2. CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA
Il termine cos φ è chiamato fattore di potenza. La potenza in regime alternato data dalla 2.30 è
sempre positiva dato che −π/2 < φ < π/2. Nel caso del resistore questa coincide con l’usuale potenza
P = iΔV a patto di usare le grandezze efﬁcaci. Inﬁne questa può essere nulla se φ = ±π/2 cioè nel
caso di impedenze puramente immaginarie, ad esempio il caso di un condensatore o di un induttanza
o di una loro combinazione.
È interessante osservare che nella potenza istantanea, data dalla funzione integranda della 2.30,
compare un termine (a media nulla su un periodo) che vale:
1
− I0V0 sin φ sin(2ωt)
2
Tale termine può essere positivo o negativo e corrisponde ad un’energia che viene immagazzinata dal
condensatore o dall’induttore (se > 0) o restituita da questi al generatore (se < 0) nell’unità di tempo.
Il valore massimo di questa potenza (1/2 I0V0 sin φ) prende il nome di potenza reattiva.
2.8
Esempi di circuiti in corrente alternata
Di seguito verranno illustrati alcuni esempi notevoli di circuiti in corrente alternata
2.8.1
Circuito RLC parallelo
Nella Figura 2.10 è illustrato lo schema di un circuito RLC
parallelo. Come prima, vogliamo studiare l’andamento
della corrente totale. Possiamo procedere in vari modi.
Consideriamo l’impedenza totale come il parallelo delle tre
impedenze
Z=
�
1
1
+ iωC +
R
iωL
�−1
Usando sempre la legge di Ohm generalizzata 2.9 possiamo
allora scrivere
Figura 2.10: Circuito RLC parallelo.
�
�
��
1
1
V
+ i ωC −
,
I = =V
Z
R
ωL
da cui si può subito ricavare il modulo della corrente e il suo sfasamento rispetto alla tensione del
generatore. In particolare si ha
�
�
�
�
�
1 2
1
−1
I0 = V0
+
ωC
−
,
φ
=
tan
R(ωC
−
1/ωL)
.
R2
ωL
√
La corrente ora ha un minimo proprio per il valore ω = 1/ LC e aumenta in modo lineare con la
pulsazione per ω → 0 o per ω → ∞. Tale comportamento, detto di antirisonanza, si spiega con il
fatto che ad alte frequenza, l’impedenza (reattanza) del condensatore è molto piccola mentre a basse
frequenze l’induttanza ha un’impedenza molto piccola e, nel parallelo, queste dominano sulle altre.
2.8. ESEMPI DI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA
2.8.2
17
Filtri RC e CR
Consideriamo ora i due curcuiti della Figura 2.11 in cui
Vin = V0 cos ωt, cioè alimentati con un generatore di tensione alternata. Vogliamo scrivere l’ampiezza della tensione in
uscita al variare della frequenza.
La corrente che corre nella maglia di destra, chiusa sul
generatore è la stessa per entrambi e vale:
I=
V
V
=
Z
R − i/ωC
(2.31)
Per ottenere la tensione ai capi del resistore (circuito in alto)
e del condensatore (circuito in basso) devo semplicemente
applicare 2.9 e moltiplicare per l’impedenza dell’elemento
corrispondente.
Per il resistore abbiamo
VR =
da cui, se prendiamo il modulo, otteniamo
VR
R − i/ωC
V0
ΔVR = �
,
1 + (ω0 /ω)2
Figura 2.11: Circuiti RC.
ω0 = 1/RC,
La frequenza ω0 è detta frequenza di taglio. Un tale circuito è detto ﬁltro passa-alto per il fatto che
fa passare le alte frequenze e attenua le basse. Scegliendo opportunamente i valori di C e C possiamo
decidere la frequenza di taglio desiderata.
La tensione ai capi del condensatore (circuito in basso) invece sarà
VC =
da cui, se prendiamo il modulo, otteniamo
V (−i/ωC)
R − i/ωC
V0
ΔVC = �
.
1 + (ω/ω0 )2
Questo ha un comportamento esattamente opposto al precedente, fa passare le basse frequenze
e
√
attenua le alte. La frequenza di taglio corrisponde a quella frequenza per cui la Vout = Vin / 2.
In generale vale che la frequenza di risonanza (o anti-risonanza) di un generico circuito in corrente
alternata, se esiste, è la frequenza che rende la reattanza nulla, cioè l’impedenza reale e dunque
puramente resistiva.
18
2.9
CAPITOLO 2. CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA
Trasformatore e la trasmissione di potenza
Il trasformatore è un dispositivo che consente di trasformare la tensione e la corrente alternata senza
un’apprezzabile perdita di potenza. Il suo utilizzo, tra
le altre cose, costituisce uno dei motivi principale per
l’utilizzo di correnti alternate, piuttosto che continue,
nell’uso comune.
Il trasformatore consiste in due bobine avvolte intorno ad un nucleo di ferro, come mostrato in Figura 2.12. C’è un circuito primaria, con N1 avvolgimenti, ed un circuito, secondario con N2 avvolgimenti. Il nucleo di ferro serve a convogliare il campo
magnetico che creano le correnti, in modo tale che il
ﬂusso del campo su una qualsiasi sezione del toroide
quadrato è costante.
Scriviamo le equazioni per la corrente sul circuito primario (I1 ) e su quello secondario (I2 ) tenen- Figura 2.12:
Disegno schematico di un
do conto che c’è sia l’auto indizione che la mutua trasformatore e suo circuito equivalente.
induzione.
di2
di1
−M
− R1 i1 = 0
dt
dt
di2
di1
(2.32)
+M
+ R2 i2 = 0
L2
dt
dt
Il sistema 2.32 può essere facilmente risolto nelle due correnti i1 e i2 usando il metodo simbilico.
Tuttavia la soluzione generale porta a delle espressioni abbastanza complicate e poco istruttive. La
situazione si sempliﬁca molto se ci mettiamo nella situazione di mutua induzione totale (assumiamo
che il ﬂusso del campo magnetico si conservi completamente, ﬂusso disperso nullo). I coefﬁcenti di
autoinduzione e di mutua induzione valgono allora:
ε − L1
√
N12
N2
N1 N2
Σ,
L2 = µ 2 Σ,
M=µ
Σ = L1 L2 .
d
d
d
dove d è la lunghezza del tratto dove si hanno gli avvolgimenti (uguale per i due) e Σ è la sezione della
nucleo di ferro. Mettiamoci inoltre nella situazione di una resistenza piccola nel circuito primario, in
particolare sia R1 � ωL1 .
In tale situazione si trova:
L1 = µ
ωL2 − iR2
M
N2
ε,
i2 = −
ε=−
ε.
ωL1 R2
L1 R2
N1 R2
Da queste si possono ricavare i rapporti tra i moduli delle correnti e il rapporto tra le tensioni
i1 =
i2
Mω
N1 N2 ω
=�
=�
,
i1
ω2 L22 + R22
N24 ω2 + (d/Σµ)2 R22
N2
V2 i2 R2
=
=−
ε
ε
N1
2.9. TRASFORMATORE E LA TRASMISSIONE DI POTENZA
19
La cosa importante da osservare è che la tensione in uscita è N2 /N1 volte la tensione del generatore
di ingresso e in opposizione di fase. Questo ci permette di variare a nostro piacere l’ampiezza della
tensione alternata, regolando opportunamente il numero degli avvolgimenti del circuito primario e
secondario.
Dalle equazioni si vede anche che se aumento (diminuisco) la tensione, diminuisce (aumenta) la
corrente sul secondario, in modo tale che la potenza non aumenti (nel secondario). Si trava infatti che
il rapporto della potenza in uscita su quella in ingresso vale
N12 N22 ω
P2 i22 R2
= �
=
.
P1
i1 ε
N12 N24 ω2 + (d/Σµ)2 R22
Questo rapporto tende ad 1 se possiamo trascurare R2 , cioè nel limite R2 � ωL2 .
La trattazione seguita descrive un trasformatore ideale, in cui non c’è ﬂusso disperso. Nella realtà
tale ﬂusso disperso, per quanto piccolo, è sempre presente e riduce le prestazioni del trasformatore
diminuendo la potenza in uscita. Nel circuito tale ﬂusso disperso può essere rappresentato ponendo
un secondo induttore nel circuito primario in parallelo a quello che da la mutua induzione.
La capacità offerta dal trasformatore di cambiare a proprio piacimento la tensione e la corrente di un
circuito, senza un’apprezzabile perdita di potenza, ha fatto sićhe le correnti alternate fossero di gran
lunga preferite alle correnti continue. Il trasporto dell’energia elettrica su lunghe distanze avviene
per mezzo degli elettrodotti, lunghissimi cavi di rame. Data una certa potenza P del sistema questa
possiamo esprimerla in termini della tensione e della corrente come
P = ΔV I.
(2.33)
Data una certa potenza possiamo decidere di avere o una grande corrente e una bassa tensione oppure
una grande tensione e una piccola corrente.
D’altra parte la potenza che si dissipa sul ﬁlo che trasporta la corrente vale
PJoule = I 2 R.
Se vogliamo dunque minimizzare la dissipazione per effetto Joule è bene lavorare con basse correnti
e dunque alte tensioni. Questo è il motivo per cui le line che portano l’energia elettrica hanno alte
tensioni (∼ 300 kV). La tensione viene poi via via ridotta passando alla distribuzione locale e poi
nelle case.