serie numeriche

SERIE NUMERICHE
esercizi
R. Argiolas
1+ 2 + 3 +L+ n
=?
∑
2
n =1
n
∞
SERIE NUMERICHE
Questa piccola raccolta di esercizi sulle serie numeriche è rivolta agli studenti del
corso di analisi matematica I. E’ bene precisare fin da ora che possedere e
svolgere gli esercizi di questa dispensa non è condizione né necessaria né
sufficiente per il superamento dell’esame stesso. Questa dispensa non
sostituisce il libro di testo adottato, ne sostituisce le esercitazioni svolte dal
docente. Questa dispensa è solo di supporto a tutti coloro che vogliano
approfondire la loro preparazione all’esame con ulteriori esercizi oltre quelli
del libro di testo suggerito dal docente.
In questa dispensa sono stati raccolti alcuni degli esercizi svolti a lezione e
assegnati alle prove scritte, sono quindi esercizi che possono trovarsi in un
qualsiasi testo di analisi matematica del primo anno del corso di studi. Lo scopo
della dispensa è di fornire una guida per la soluzione degli esercizi.
Ringrazio anticipatamente tutti coloro che vorranno segnalarmi eventuali errori.
R.A.
43
SERIE NUMERICHE
Richiami
Sia a una successione di numeri reali. Si definisce serie di termini a
la successione s così definita:
n
n
n
s0 = a0
s1 = a 0 + a1
s 2 = a 0 + a1 + a 2
LLL
s n −1 = a 0 + a1 + a 2 + L + a n −1
s n = a 0 + a1 + a 2 + L + a n −1 + a n
L’elemento s si chiama somma parziale (o ridotta) n-esima della
serie.
Una serie si dirà convergente, divergente o irregolare a seconda che la
successione s sia convergente, divergente o irregolare. Nel caso la
successione converga, il limite di tale successione si dirà somma della
serie.
n
n
Condizione necessaria (ma non sufficiente) per la convergenza di
una serie numerica:
∞
“Affinchè una serie numerica ∑a possa convergere, il termine
n =0
n
generale della serie deve tendere a zero, cioè lima = 0 ”.
n →∞
n
Osservazione
Vengono proposti una serie di esercizi relativi alla condizione necessaria per la
convergenza di una serie che sono anche un occasione per ricordare il calcolo dei
limiti di successione. Per un esercizio più approfondito sui limiti di successione si
veda anche la dispensa “Successioni”.
44
SERIE NUMERICHE
Esercizi
n2 + 3
, verificare se la condizione
∑
2
n = 0 3n
+4
∞
65. Assegnata la serie
necessaria è soddisfatta.
soluzione
Verifichiamo prima la presenza di una forma indeterminata, passiamo poi al
calcolo del limite mettendo in evidenza a numeratore e denominatore.
 3
n 2 1 + 
n + 3 ∞ 
 n = 1
lim
=   = lim
2
n→∞
n→∞
4 3
3n + 4  ∞ 

n2 3 + 2 
n 

2
La serie non converge.
66. Assegnata la serie ∑(− 3n − 2n + 6) , verificare se la condizione
∞
2
n =0
necessaria è soddisfatta.
soluzione
2 6

(− 3n2 − 2n + 6) = lim
lim
n 2  − 3 − + 2  = −∞
n → +∞
n→∞
n n 

La condizione necessaria non è soddisfatta quindi la serie assegnata diverge.
67. Assegnata la serie ∑ (− 2n
necessaria è soddisfatta.
∞
n=0
4
− 3n2 + 5n3 − 1) ,
soluzione
45
verificare se la condizione
SERIE NUMERICHE
(
)
3 5 1

lim − 2n 4 − 3n 2 + 5n 3 − 1 = lim n 4  − 2 − 2 + − 4
n→∞
n→∞
n n
n


 = −∞

Anche in questo caso la serie diverge.
68. Assegnata la serie ∑ (2n − 3n + 5n + 7n − 8n + 4) , verificare se
∞
5
4
3
2
n=0
la condizione necessaria è soddisfatta.
soluzione
(
)
3 5
7
8
4 

lim 2n 5 − 3n 4 + 5n 3 + 7n 2 − 8n + 4 = lim n 5  2 − + 2 + 3 − 4 + 5  = +∞
n→∞
n →∞
n n
n
n
n 

La condizione necessaria non è verificata quindi la serie diverge.
∞
69. Assegnata la serie ∑
n =0
4n + 3
, verificare se la condizione
n2 + 4
necessaria è soddisfatta.
soluzione
Si ha:
3

n 4 + 
4n + 3  ∞ 
n
lim 2
=0
=   = lim 
n →∞ n + 4
 ∞  n → ∞ n 2 1 + 4 

2 
 n 
Poiché la condizione necessaria è verifica la serie potrebbe convergere.
n 2 − 2n + 1
, verificare se la condizione
70. Assegnata la serie ∑
n =0
2n + 1
∞
necessaria è soddisfatta.
soluzione
46
SERIE NUMERICHE
Si ha che:
 2 1 
n 2 1 − + 2 
n − 2n + 1  ∞ 
n n 
lim
= +∞
=   = lim 
n→∞
2n + 1
 ∞  n → ∞ n 2 + 1 


n

2
La serie diverge.
n 2 − 5n + 2
, verificare se la condizione
2
n = 0 3n
+ 4n + 5
∞
71. Assegnata la serie ∑
necessaria è soddisfatta.
soluzione
Si ottiene:
 5 2 
n 2 1 − + 2 
n − 5n + 2  ∞ 
n n  1
lim 2
=
=   = lim 
n → ∞ 3n + 4n + 5
n
→
∞
4 5  3
∞
2
n 3 + + 2 
n n 

2
La serie diverge.
∞
72. Assegnata la serie ∑
n=0
n(n + 2)
, verificare se la condizione
n+9
necessaria è soddisfatta.
soluzione
Si ha che:
47
SERIE NUMERICHE
 2
n 2 1 + 
n(n + 2 )  ∞ 
n
= +∞
lim
=   = lim 
n→∞ n + 9
n
→
∞
 9
∞ 
n 1 + 
 n
La serie diverge.
∞
73. Assegnata la serie ∑
(1 − n )(n − 3) , verificare se la condizione
n2 + 4
n=0
necessaria è soddisfatta.
soluzione
Si ottiene:
 1  3 
n 2  − 11 − 
(1 − n )(n − 3) =  ∞  = lim  n  n  = −1
lim
 ∞  n →∞
n→∞
4 
n2 + 4

 
n 2 1 + 2 
 n 
La serie diverge.
∞
74. Assegnata la serie ∑
n=0
n−3
, verificare se la condizione
n3 − 4
necessaria è soddisfatta.
soluzione
Si ottiene:
 3
n 1 − 
n − 3 ∞ 
n
=0
lim 3
=   = lim 
n→∞ n − 4
n
→
∞
4 
∞ 
3
n 1 − 3 
 n 
La serie potrebbe converge.
48
SERIE NUMERICHE
n2 + 5
, verificare se la condizione
n+3
∞
75. Assegnata la serie ∑
n=0
necessaria è soddisfatta.
soluzione
Si ottiene:
5
n +5
n2
lim
=1
= lim
n→∞
n →∞
n+3
 3
n 1 + 
 n
n 1+
2
La serie diverge.
76. Assegnata la serie
∞
∑
n=0
n2 + 5 + n2 + 4
,
n+3
verificare se la
condizione necessaria è soddisfatta.
soluzione

5
4 
n 1 + 2 + 1 + 2 
n
n 
n2 + 5 + n2 + 4
lim
=2
= lim 
n→∞
n →∞
n+3
 3
n1 + 
 n
La serie diverge.
∞
3n + 5 + n
n=2
2n − 3
77. Assegnata la serie ∑
necessaria è soddisfatta.
soluzione
49
, verificare se la condizione
SERIE NUMERICHE


5
n  3 + + 1
n
3n + 5 + n
 = 3 +1
lim
= lim 
n→∞
n →∞
3
2
2n − 3
n 2−
n
La serie diverge.
Le Principali Serie Numeriche
La serie geometrica
La serie geometrica è la seguente:
∞
∑ q = 1 + q + q + ... + q + ...
n
2
n
n =0
dove il termine “q” si chiama ragione della serie.
La somma parziale ennesima (somma dei primi n termini della serie) è
data da:
s n = 1 + q + q 2 + ... + q n
Tale somma (che rappresenta la somma dei primi n termini di una
progressione geometrica) può essere scritta anche come:
1 − q n +1
sn =
1− q
Si osservi che:
 1
1 − q
n +1

1− q
lim
S = lim
s
=
=
+ ∞
n
n → +∞
n → +∞
1− q
non esiste


50
se
q <1
se q ≥ 1
se q ≤ -1
SERIE NUMERICHE
1

convergente con somma 1 − q

∞
pertanto la serie: ∑ q n è diverge a + ∞
n =0
non esiste


se
se q ≥ 1
se q ≤ -1
Grafico della serie geometrica di ragione 1/2:
2
1.5
1
0.5
10
20
30
40
50
30
40
50
Grafico della serie geometrica con ragione 1:
50
40
30
20
10
10
20
Grafico della serie geometrica con ragione 1,03:
51
q <1
SERIE NUMERICHE
120
100
80
60
40
20
10
20
30
40
50
Esercizi
n
x +3
78. Studiare la convergenza della serie geometrica: ∑ 
 .
n=0
 x + 4
∞
Calcolare se è possibile la somma.
Soluzione
Abbiamo stabilito che la serie geometrica converge per tutti quei valori per cui
q < 1 , quindi affinché la serie assegnata converga è sufficiente richiedere che:
7
x+3
<1 ⇒ x +3 < x + 4 ⇒ x > −
x+4
2
(x ≠ −4)
Si osservi che anche la condizione necessaria è verificata!
La somma della serie è data da:
S=
1
=
1− q
1
= x+4
x+3
1−
x+4
n
x−2
79. Studiare la convergenza della serie geometrica: ∑ 
 .
n=0
 x−3
∞
Calcolare, se è possibile, la sua somma.
Soluzione
52
SERIE NUMERICHE
Abbiamo stabilito che la serie geometrica converge per tutti quei valori per cui
q < 1 , quindi affinché la serie assegnata converga è sufficiente richiedere che:
x−2
5
<1 ⇒ x −2 < x −3 ⇒ x <
x−3
2
(x ≠ 3)
Si osservi che anche la condizione necessaria è verificata!
La sua somma è data da:
S=
1
=
1− q
1
= 3− x
x−2
1−
x−3
n
x2 −1 
 .
2
n=0
 x −2
80. Studiare la convergenza della serie geometrica: ∑ 
∞
Calcolare, se è possibile, la sua somma.
Soluzione
Affinchè la serie assegnata converga è sufficiente richiedere che:
x2 −1
3
< 1 ⇒ x2 −1 < x2 − 2 ⇒ <x<
2
x −2
2
3
2
Si osservi che anche la condizione necessaria è verificata!
La sua somma è data da:
S=
1
=
1− q
1
= 2 − x2
x2 −1
1− 2
x −2
La serie armonica
E’ la serie dei reciproci dei numeri naturali, così definita:
∞
1
n
1
2
1
3
1
4
1
n
∑ = 1 + + + + ... + + ...
n =1
53
(x ≠ ± 2 )
SERIE NUMERICHE
La serie armonica è un esempio di serie che non converge, benché il termine
generale della serie tenda a zero:
lim
n→∞
1
=0
n
(ricordiamo infatti che questa è solo una condizione necessaria ma non sufficiente
per la convergenza).
Grafico della serie armonica:
4
3
2
1
10
20
30
40
50
La serie armonica generalizzata
E’ definita come:
∞
∑
n =1
1
1
1
1
1
= 1 + p + p + p + ... + p + ...
p
2
3
4
n
n
dove p è un numero reale
La serie armonica generalizzata converge per valori di p > 1 e diverge per p ≤ 1 .
Grafico della serie armonica generalizzata con p=2:
54
SERIE NUMERICHE
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
10
20
30
40
50
Grafico della serie armonica generalizzata con p=1/2:
12
10
8
6
4
2
10
20
30
40
50
La serie telescopica
L’esempio più semplice di serie telescopica è la serie di Mengoli. É la
serie:
∞
1
∑ ( )
n n +1
n =1
Si osservi che
1
1
1
= −
n(n + 1) n n + 1
Quindi si ha anche che:
∞
∑
n =1
∞
1
1 
1
= ∑ −
n(n + 1) n =1  n n + 1
55
SERIE NUMERICHE
Calcoliamo la sua somma:
n
sn = ∑
k =1
n
1
1 
1
= ∑ −
=
k (k + 1) k =1  k k + 1
1 
1
1
 1 1 1 1 1
1 −  +  −  +  −  + ... +  −
 = 1−
n +1
 2  2 3 3 4
 n n +1
questo grazie al fatto che i termini si semplificano 2 a 2.
Da questo si vede come il termine generale della serie a sia del tipo:
k
a k = c k − c k +1
di conseguenza grazie alle cancellazioni si trova, in generale, che:
s = c − c se il termine c → 0 , la serie è convergente e ha somma c .
n
n +1
1
1
n
Grafico della serie di Mengoli:
1
0.8
0.6
0.4
0.2
10
20
30
40
50
Esercizi
1
∞
81. Dimostrare che la serie ∑
n =1
(2n + 1)(2n + 3)
è convergente e
calcolare la sua somma.
Soluzione
Si osservi che il termine generale può anche essere scritto come:
56
SERIE NUMERICHE
1
(2n + 1)(2n + 3)
=
1 1
1 


−
2  (2n + 1) 2n + 3 
la somma ennesima è data da:
sn =
11 1
1 1
1  11
1 
−
 −  +L+ 
=  −

23 5
2  2n + 1 2n + 3  2  3 2n + 3 
e quindi:
11
1  1
lim
s n = lim
 −
=
n→∞
n→∞
2  3 2n + 3  6
1
∞
82. Dimostrare che la serie ∑
n =1
(3n + 2)(3n + 5)
è convergente e
calcolare la sua somma.
Soluzione
Si osservi che il termine generale può anche essere scritto come:
1 1
1 

= 
−
(3n + 2)(3n + 5) 3  (3n + 2) 3n + 5 
1
la somma ennesima è data da:
11 1
1 1
1  11
1 
sn =  −  + L + 
−
=  −

35 8
3  3n + 2 3n + 5  3  5 3n + 5 
e quindi:
11
1  1
lim
s n = lim
 −
=
n→∞
n→∞
3  5 3n + 5  15
57
SERIE NUMERICHE
Criteri di convergenza per serie a termini non negativi
Il criterio del confronto
Enunciato
“Date due serie a termini positivi ∑ a e ∑ b tali che a ≤ b , allora:
n
n
n
n
1. se ∑ a diverge anche ∑ b diverge,
n
n
2. se ∑ b converge anche ∑ a converge.”
n
n
83. Utilizzando il criterio del confronto, verificare la convergenza
delle seguenti serie.
∑
a)
b)
∑
1
n +1
3
2
n + 2n + 4
2
n
(n + 2)3
c)
∑
d)
∑(
n
2n 2 −1)
e) ∑
n+3
(n + 2)
n+4
(negli esercizi precedenti il segno di sommatoria varia per n che va da zero
all’infinito).
soluzioni
58
SERIE NUMERICHE
1
1
< 3 . Infatti per poter maggiorare è sufficiente
n +1 n
diminuire la quantità a denominatore (ricordiamo che n assume valori
sempre positivi).
1
1
Ora 3 è il termine generale della serie ∑ 3 che è armonica generalizzata
n
n
con esponente maggiore di uno (in questo caso infatti l’esponente è 3), dunque
la serie converge. Per il criterio del confronto converge anche la serie
assegnata.
a) Abbiamo che
b) Abbiamo che
3
2
2
2
< 2
< 2 .
n + 2n + 4 n + n n
2
2
è il termine generale della serie armonica generalizzata con esponente
n2
maggiore di uno (in questo caso infatti l’esponente è 2), dunque la serie
converge. Per il criterio del confronto converge anche la serie assegnata.
Ora
n
1
< 2 . Per rendersi conto della maggiorazione basta
3
(n + 2) n
sviluppare il cubo di binomio a denominatore e procedere come nei casi
precedenti.
1
Ora 2 è il termine generale della serie armonica generalizzata con esponente
n
maggiore di uno (in questo caso infatti l’esponente è 2), dunque la serie
converge. Per il criterio del confronto converge anche la serie assegnata.
c) Abbiamo che
d) Abbiamo che
n
>
n
1
=
. In questo caso stiamo minorando.
2
2n
2n
2n − 1
1
è il termine generale della serie armonica che diverge. Per il criterio
Ora
n
del confronto diverge anche la serie assegnata.
e) Abbiamo che
2
n+3
(n + 2)
n+4
>
n+3
n+3
1
.
=
>
(n + 2)(n + 4) (n + 3)(n + 4) n + 4
1
è il termine generale della serie armonica dunque la serie diverge.
n+4
Per il criterio del confronto diverge anche la serie assegnata.
Ora
59
SERIE NUMERICHE
Il Criterio Asintotico
Enunciato:
“Due serie a termini positivi ∑ a e ∑ b tali che a ~ b , hanno lo
stesso comportamento, cioè entrambe o convergono o divergono.”
n
n
n
n
Osservazione
Già nella dispensa “successioni” abbiamo osservato che calcolare il limite di
una successione può essere particolarmente difficoltoso. Talvolta, si cerca di
semplificare la successione utilizzando la relazione di asintotico.
Ricordiamo:
La gerarchia degli infiniti
1. Ogni infinito esponenziale è di ordine superiore a ogni infinito
potenza.
2. Ogni infinito potenza è di ordine superiore a ogni infinito
logaritmo.
Detto in altri termini: “L’esponenziale va più velocemente all’infinito della
potenza, la potenza va più velocemente all’infinito del logaritmo”.
84. Utilizzando il criterio asintotico, verificare la convergenza delle
seguenti serie.
3n 2 + cos 2n + 5
n=0
2n 5 + 7
∞
∑
a)
∞
∑
b)
n =1
c)
n 3 + log n + 5 sin n
5n 7 + 9
− 4n 2 + cos 2 (3n ) + 2 n
∑
n=2
n 5 − 5n
∞
n 2 + log 2 n + 3 n +1
∑
4
n =1 − 3n
− 2 −n + 32 n
∞
d)
n 3 − cos 4n
e) ∑
2
n =1 log n
+ sin (3n ) + n 4
∞
60
SERIE NUMERICHE
Soluzioni
a) Si verifica facilmente che
3n 2 + cos 2n + 5
3
~ 3 .
5
2n + 7
2n
3
è armonica generalizzata (con esponente maggiore di uno)
2n 3
quindi converge. Per il criterio asintotico converge anche la serie assegnata.
La serie
∑
n 3 + log n + 5 sin n
1
~ 4
b) In questo caso si ha:
7
5n + 9
5n
1
La serie ∑ 4 è armonica generalizzata (con esponente maggiore di uno)
5n
quindi converge. Per il criterio asintotico converge anche la serie assegnata.
− 4n 2 + cos 2 (3n ) + 2 n
2
~−  .
c) Abbiamo che
5
n
n −5
5
n
2
La serie − ∑   è geometrica con ragione minore di uno, quindi
5
converge. Per il criterio asintotico converge anche la serie assegnata.
n
n −1
n 2 + log 2 n + 3 n +1  1 
d) Si verifica che
~  .
− 3n 4 − 2 − n + 3 2 n  3 
n −1
1
La serie ∑   è geometrica con ragione minore di uno, quindi converge.
3
Per il criterio asintotico converge anche la serie assegnata.
1
n 3 − cos 4n
~ .
2
4
log n + sin (3n ) + n n
1
La serie ∑ è armonica quindi divergente. Per il criterio asintotico diverge
n
anche la serie assegnata.
e) Si ha:
61
SERIE NUMERICHE
Il criterio della radice
Enunciato
“Sia ∑ a una serie a termini non negativi per la quale esista il
lim a = l . Allora se:
n
n
n→∞
n
< 1

n
lim
a n = l = > 1
n→∞
= 1

la serie converge
la serie diverge
caso dubbio
Osservazione
Nel caso l=1, il criterio della radice, così come il successivo criterio del rapporto,
non forniscono alcuna informazione circa la convergenza o meno della serie
considerata. Ciò equivale a dire che il carattere della serie va studiato con altri
metodi ma non che essa è indeterminata.
85. Utilizzando il criterio della radice, verificare la convergenza
delle seguenti serie.
nn
a) ∑ n
n=0 3
∞
2n  1 
b) ∑ n +1 1 + 
n =1 3
 n
∞
c)
n2
2n + n 3 + 1
2
1 − 2 
∑
n
n=2
5
 n 
∞
3
 n −1
d) ∑  3

n =1
 n + 1
∞
n
n4
soluzioni
a) La serie è a termini non negativi, quindi è applicabile il criterio della
radice. Si ha:
nn
n
n
= lim
= +∞ .
lim
n
n → +∞
n→∞
3
3
62
SERIE NUMERICHE
La serie assegnata diverge.
b) La serie è a termini positivi quindi è applicabile il criterio della radice. Si
2n  1 
n
ha: lim
1 + 
n→∞
3 n +1  n 
n2
n
2 1
2e
> 1.
= lim
1 +  =
n→∞
3 n
3
La serie diverge.
c) La serie è a termini positivi. Quindi:
n
2n + n 3 + 1 
2
1
2 1
lim
1 − 2  = < 1 .
1 − 2  = lim
n
n→∞
n→∞
5
5 n  5
 n 
n
La serie converge.
d) La serie è a termini positivi, è quindi applicabile il criterio della radice.
3
 n −1
n
lim
 3

n→∞
 n + 1
n4

 1 − 2 
lim
n→∞
 n3 + 1

n3
n3
3
2 
 n −1

= lim
 3
 = lim
1 − 3
 =
n→∞
n→∞
 n + 1
 n +1
n 3 +1




n3
n 3 +1
=
1
<1
e2
La serie converge.
Il criterio del rapporto
Enunciato
“Sia ∑ a una serie a termini positivi per la quale esista il lim
n
n→∞
Allora se:
< 1
a n +1

lim
= l = > 1
n→∞
an
= 1

la serie converge
la serie diverge
caso dubbio
63
a n +1
=l.
an
SERIE NUMERICHE
Si ricordi che:
n!= n(n − 1)(n − 2 )(n − 3)L (n − k + 1) , si assume per
convenzione: 0!= 1
esempio: 5!= 5 ⋅ 4!= 5 ⋅ 4 ⋅ 3!= 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2!= 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120
86. Utilizzando il criterio del rapporto, verificare la convergenza
delle seguenti serie.
∞
∑
a)
n =1
n!
n3
n2
∑
n =1 n!
∞
b)
(n + 1)
∑
(n + 2)!
2
c)
n=0
4n
d) ∑
n = 0 (n + 1)!
∞
2 n +1
∑
n =1 (n − 1)!
∞
e)
f)
2 n +1
∑
n
n =1 (n − 1)! n
∞
g)
∞
(2n )!
n =1
n!n n
∑
soluzioni
64
SERIE NUMERICHE
a) Il termine generale della serie è: a n =
è a n +1 =
n!
mentre il termine successivo
n3
(n + 1)! . Si osservi che per poter scrivere il termine successivo
(n + 1)
3
di una serie basta sostituire al termine assegnato, n+1, al posto di n.
La serie è a termini positivi, applichiamo quindi il criterio. Si ha:
(n + 1)! ⋅ n 3 = lim (n + 1)n! ⋅ n 3 = lim(n + 1) ⋅  n  = +∞ .
an+1
lim
lim
=


n →∞
n →∞
(n + 1)3 n! n→∞ (n + 1)3 n! n→∞
an
 n + 1
3
La serie diverge.
n2
b) Il termine ennesimo della serie assegnata è a n =
mentre
n!
2
(
n + 1)
a n +1 =
quindi:
(n + 1)!
a n +1
(n + 1) ⋅ n! = lim 1  n + 1  = 0 < 1 .
lim
= lim


n→∞
n→∞
(n + 1)! n 2 n→∞ n + 1  n 
an
2
2
La serie converge.
c) Il termine generale della serie è a n
(n + 2)
(n + 3)!
2
(
n + 1)
=
(n + 2)!
mentre il termine
2
successivo è a n +1 =
quindi:
a n +1
(n + 2) ⋅ (n + 2)! = lim 1  n + 2  = 0 < 1 .
lim
lim
=


n→∞
n→∞
(n + 3)! (n + 1)2 n→∞ n + 3  n + 1 
an
2
2
La serie converge.
d) Il termine ennesimo della serie è a n =
a n +1
4 n +1
=
quindi:
(n + 2)!
65
4n
mentre il successivo è
(n + 1)!
SERIE NUMERICHE
lim
n→∞
a n +1
4 n +1 (n + 1)!
4
= lim
⋅
=
lim
= 0 < 1.
n
n→∞
n→∞
(n + 2)! 4
an
n+2
La serie converge.
e) Il termine ennesimo della serie è a n =
a n +1
2 n +1
mentre il successivo è
(n − 1)!
2 n+2
=
quindi:
(n )!
lim
n→∞
a n +1
2 n + 2 (n − 1)!
2
= lim
⋅ n +1 = lim
= 0 < 1.
n→∞
n→∞
(n )! 2
an
n
La serie converge.
f) Il termine generale della serie è a n =
a n +1 =
2 n +1
mentre il successivo è
(n − 1)!n n
2 n+2
quindi:
(n )!(n + 1)n +1
a n +1
(n − 1)!n n = lim 2 1 − 1  = 0 < 1 .
2 n+2
= lim
⋅


n +1
n→∞
n→∞
an
n(n + 1)  n + 1 
2 n +1
n!(n + 1)
n
lim
n→∞
La serie converge.
g) Il termine ennesimo della serie è a n =
a n +1 =
(2n + 2)!
(n + 1)!(n + 1)
n +1
(2n )!
n!n n
mentre il successivo è
quindi:
a n +1
(2n + 2)! ⋅ n!n n = lim (2n + 2)(2n + 1) 1 − 1  = 4 > 1 .
lim
lim
=


n→∞
n→∞
(n + 1)!(n + 1)n +1 (2n )! n→∞ (n + 1)2  n + 1  e
an
n
La serie diverge.
Osservazione
66
SERIE NUMERICHE
Utilizzando il criterio del rapporto si osserva come il fattoriale va più
velocemente all’infinito dell’esponenziale, e come n n va più velocemente
all’infinito del fattoriale (e quindi dell’esponenziale).
Il criterio di condensazione
Enunciato
“ La serie a termini positivi ∑ a converge se è solo se converge la
serie ∑ 2 a .”
n
n
2n
87. Utilizzando il criterio di condensazione, verificare la
convergenza delle seguenti serie.
a)
∞
∑
n=2
b)
∑
3
n log 2n
∞
4
∞
n=2
c)
1
n log 2 n
3
∑
n=2
2
n log n
soluzioni
a) Consideriamo la serie
∑ 2 a =∑
n
2n
n =1
2n
1
1
=∑
⋅ 2 n .
3n
n 2
log 2 n 4
2 (log 2 )
Quest’ ultima converge per il criterio della radice, infatti:
n
lim
n→∞
1
1
1
⋅ 2 n = < 1.
log 2 n 4
4
Quindi anche la serie assegnata per il criterio di condensazione converge.
67
SERIE NUMERICHE
b) Consideriamo la serie
∑ 2 n a 2n =3∑
n =1
2n
3
1
.
=
∑
2n
n +1
2 (log 2 ) log 2 (n + 1)2 n
Quest’ultima converge per il criterio della radice, infatti:
n
lim
n→∞
3
1
1
= <1.
n
log 2 (n + 1)2
2
Quindi anche la serie assegnata per il criterio di condensazione converge.
2n ⋅ 4
n
4
22
c) Consideriamo la serie ∑ 2 n a 2 n =∑ n
.
=
∑
n =1
n +1
(
)
log
2
n
+
1
2
2 (log 2 )
Quest’ultima diverge per il criterio della radice, infatti:
n
4
22
n
lim
= 2 > 1.
n→∞
log 2 (n + 1)
Quindi anche la serie assegnata per il criterio di condensazione diverge.
(si osservi come in questo caso utilizzare il criterio della radice è superfluo in
quanto il termine generico della serie non soddisfa la condizione necessaria
per la convergenza!)
Serie a termini di segno qualsiasi
E’ spontaneo chiedersi se i criteri utilizzati precedentemente per le
serie a termini non negativi, possono in generale essere utilizzati per le
serie a termini di segno qualsiasi. Questo è possibile grazie al seguente
teorema:
Teorema
“ Se la serie ∑ a converge allora converge anche la serie ∑ a ”
n
n
Attenzione!
Il viceversa non è vero!!!
Definizione:
68
SERIE NUMERICHE
“ Una serie ∑ a si dirà assolutamente convergente se converge la
serie ∑ a .
n
n
La convergenza assoluta implica la convergenza semplice (cioè
quella classica), ma non è vero il viceversa.
D’ora in avanti quando parleremo di convergenza ci riferiremo sempre
alla convergenza semplice, preciseremo invece sempre quando la
convergenza è di tipo assoluto.
Esercizi
88. Studiare la semplice e assoluta convergenza delle seguenti serie.
(− 1) n
∑
(6n − 4)
n
a)
b)
2
4
∑ (− 1)
n
(n + 2)
(n + 4) n + 1
2
(− 1) n
∑
(n + 3)
n
c)
d)
e)
∑
3
∑
(− 1)
n
n4 + 4
(− 1)
n
2n 2 + 3n − 5
(nei precedenti esercizi i valori di n nel segno di sommatoria della serie variano da
0 a infinito).
Soluzione
a) Consideriamo la serie dei valori assoluti:
n2
.
6n 4 − 4 )
∑(
n2
1
~ 2,
4
(6n − 4) 6n
che converge in quanto serie armonica generalizzata con esponente maggiore
La serie ottenuta converge per il criterio asintotico infatti
69
SERIE NUMERICHE
di uno, quindi la serie converge assolutamente e di conseguenza
semplicemente.
b) Consideriamo la serie dei valori assoluti:
∑
(n + 2) .
(n + 4) n + 1
La serie ottenuta converge per il criterio asintotico infatti la serie ottenuta
(n + 2)
1
~ 3 , che converge
converge per il criterio asintotico infatti 2
(n + 4) n + 1 n 2
in quanto serie armonica generalizzata con esponente maggiore di uno, quindi
la serie converge assolutamente e di conseguenza semplicemente.
∑
c) Consideriamo la serie dei valori assoluti:
n
. Quest’ultima è
(n + 3)3
1
, che converge in quanto serie armonica generalizzata con
n2
esponente maggiore di uno, quindi la serie converge assolutamente e di
conseguenza semplicemente.
asintotica a
1
1
. Quest’ultima è asintotica a 4 ,
n +4
n
che converge in quanto serie armonica generalizzata con esponente
maggiore di uno, quindi la serie converge assolutamente e di conseguenza
semplicemente.
d) La serie dei valori assoluti è:
∑
e) La serie dei valori assoluti è:
∑
4
1
. Quest’ultima è asintotica a
2n + 3n − 5
2
1
, che converge in quanto serie armonica generalizzata con esponente
2n 2
maggiore di uno, quindi la serie converge assolutamente e di conseguenza
semplicemente.
Serie a termini di segno alterno
Il Criterio di Leibniz
Enunciato
“La serie a termini di segno alterno ∑ (− 1) a
converge se:
n
70
n
con a n > 0 ∀n ∈ N
SERIE NUMERICHE
1. a è decrescente
n
2. lim a = 0 . “
n→∞
n
Inoltre le somme parziali di indice pari approssimano la somma per
eccesso, mentre le somme parziali di indice dispari approssimano la
somma per difetto.
Ricordiamo che:
Una successione è decrescente se:
(1)
∀n .
a n ≥ a n +1
Poiché per applicare il criterio di Leibniz si richiede che a > 0 , la (1)
è equivalente a dire che:
n
a n +1
≤1
an
∀n
89. Utilizzando il criterio di Leibniz, verificare la convergenza delle
seguenti serie.
a)
∑
n =1
b)
c)
d)
e)
∑
(− 1)
n
n5 + 7
(− 1)
n
n2 + n +1
∑
∑
(− 1)
(n + 1)
3
(− 1)
3
n
n +1
(− 1)
∑
(n + 1)
71
n
n
n
SERIE NUMERICHE
∑
f)
(− 1)
+ 4(− 1) n
n
3n 2
n
(negli esercizi precedenti il valore di n nel segno di sommatoria va sempre da 1 a
infinito).
Soluzione
a) Abbiamo che lim
n→∞
1
= 0 , inoltre si verifica facilmente che:
n +7
5
a n +1
n5 + 7
=
<1
(n + 1)5 + 7
an
∀n ≥ 1 ,
quindi sono verificate le ipotesi del criterio di Leibniz.
b) Abbiamo che lim
n→∞
1
= 0 , inoltre si verifica facilmente che:
n + n +1
2
a n +1
n2 + n +1
= 2
<1
an
n + 3n + 9
per ogni valore di n ≥ 1 ,
quindi sono verificate le ipotesi del criterio di Leibniz.
c) Abbiamo che lim
n→∞
1
= 0 , inoltre si verifica facilmente che:
(n + 1)3
a n +1 (n + 1)
=
<1
(n + 2)3
an
3
per ogni valori di n ≥ 1 ,
quindi sono verificate le ipotesi del criterio di Leibniz.
d) Abbiamo che lim
n→∞
a n +1
=
an
1
3
3
3
(n + 1)
= 0 , inoltre si verifica facilmente che:
(n + 1)
<1
(n + 2)
per qualsiasi valore di n ≥ 1 ,
quindi sono verificate le ipotesi del criterio di Leibniz.
72
SERIE NUMERICHE
e) Abbiamo che lim
n→∞
1
(n + 1)
n
= 0 , inoltre si verifica facilmente che:
a n +1
(n + 1) n < (n + 2) n =
=
an
(n + 2) (n + 1) (n + 2) (n + 1)
n
(n + 1)
< 1 per qualsiasi valore di n ≥ 1
quindi sono verificate le ipotesi del criterio di Leibniz.
f) Osserviamo intanto che i termini della serie sono:
1

 3n 2 + 4n
an = 
1

 3n 2 − 4n
se n è pari
se n è dispari
La prima condizione del teorema di Leibniz è banalmente soddisfatta (la
successione è infinitesima). Vediamo ora di studiarne la monotonia.
Se n è pari ( e quindi n+1 è dispari!) dobbiamo verificare che:
a n ≥ a n +1
∀n .
Si ha:
1
1
≥
2
3n + 4n 3(n + 1) − 4(n + 1)
2
da cui segue che
3(n + 1) − 4(n + 1) ≥ 3n 2 + 4n
2
Svolgendo il quadrato di binomio e semplificando si vede facilmente come
non ci sia nessun valore di n pari che soddisfa la disuguaglianza.
Questo ci permette di dire che la serie non converge?
Ovviamente no! Perché il criterio di Leibniz, così come tutti i
criteri precedentemente illustrati sono solo condizioni
sufficienti per la convergenza.
Per stabilire se la serie considerata converge possiamo allora andare a
studiarne la convergenza assoluta ricordando che questa implica la semplice.
La serie dei valori assoluti è la seguente:
73
SERIE NUMERICHE
∑
1
n
3n + 4(− 1) n
2
Utilizzando il criterio del confronto si ha che:
1
1
~
n
3n + 4(− 1) n
3n 2
2
che converge essendo il termine generico di una serie armonica generalizzata
con esponente maggiore di 1.
Esercizi vari
∞
(log n )
n =1
n4
90. Studiare la convergenza della serie: ∑
4
soluzione
La serie assegnata è a termini non negativi, per stabilire la convergenza
possiamo utilizzare il criterio di condensazione.
inoltre:
∑2
n4
2 n n 4 (log 2 )
4
=∑
= (log 2 ) ∑ 3 n
2 4n
2
4
n
a 2n
Utilizzando il criterio del rapporto si ha:
(log 2)(n + 1)
lim
4
n→∞
2 3n+3
4
(n + 1) ⋅ 1 = 1 < 1
2 3n
⋅ 4
= lim
4
n→∞
23
n log 2
n4 8
4
La serie converge.
91. Studiare la convergenza assoluta e semplice della serie:
cos nπ
3
n =0 n + 4
∞
∑
soluzione
74
SERIE NUMERICHE
La serie converge assolutamente infatti, considerata la serie dei moduli, per il
criterio del confronto si ha:
cos nπ
1
< 3 ,
3
n +4 n
che rappresenta il termine generale della serie armonica generalizzata con
esponente maggiore di uno e quindi converge.
92. Studiare la convergenza della seguente serie:
∑ (− 1)
∞
n +1
n =1
2
1
sin
3n + 4
n+3
2
soluzione
La serie converge assolutamente infatti, considerata la serie dei moduli, per il
criterio del confronto si ha:
2
1
2 1
,
sin
≤
5
3n + 4
n + 3 3 n2
2
che rappresenta il termine generale della serie armonica generalizzata con
esponente maggiore di uno e quindi converge.
93. Assegnata la serie: ∑ 1 −
∞
n=3

3 

n +1
n4 +2
n 2 −1
a) Verificare che il termine generico è un infinitesimo,
b) Utilizzando un criterio stabilirne la convergenza.
soluzione
Verifichiamo se la serie può convergere calcolando il limite del termine
ennesimo:
3 

lim
1 −

n→∞
 n +1
n4 +2
n 2 −1

3 
 1 −
= lim

n→∞ 
 n +1
75
n +1




n4 +2
 n 2 −1  ( n +1 )


= 0.
SERIE NUMERICHE
La serie può dunque convergere. Osserviamo che i termini della serie sono
positivi possiamo quindi applicare il criterio della radice:
3 

n
lim
1 −

n→∞
 n + 1
n4 +2
n 2 −1
3 

= lim
1 −

n→∞
 n +1
n4 +2
n3 − n

3 
 1 −
= lim

n→∞ 
 n +1
n +1




n4 +2
 n 3 − n  ( n +1 )


=
1
< 1.
e3
La serie converge.
n +5

2
n=2
 n + 3
94. Assegnata la serie: ∑ 
∞
2
n 5 +1
1− n 1
a) Verificare che la condizione necessaria è soddisfatta,
b) Stabilire la convergenza utilizzando il criterio più opportuno.
soluzione
Verifichiamo se la serie può convergere calcolando il limite del termine
ennesimo:
n 5 +1
n 5 +1

2  1− n
 n + 5  1− n

 1 + 2 
lim
= lim
= lim
 2

1 + 2

n→∞
n→∞
n→∞

n + 3
n2 + 3
 n + 3


2
n2 +3




n 5 +1
(1− n ) n 2 + 3 


=0
utilizzando il criterio della radice si ricava:
n 5 +1
n 5 +1
2  1− n
 n + 5  1− n

n
n
n
lim
= lim
= lim
 2

1 + 2

n→∞
n→∞
n→∞
n + 3
 n + 3

2

 1 + 2 

n2 + 3

n2 +3




n 5 +1
(1 − n ) n 2 + 3 


=
1
n +1
n +1
n

n 2 +3
n2 +3
n (1 − n )  n 2 + 3 
(1− n ) n 2 + 3  








 1 + 2  
 1 + 2  


=
lim
= 0 <1
= lim
n→∞
n→∞

n2 + 3 
n2 + 3 

  





5
5
La serie assegnata converge.
∞
95. Studiare la convergenza della seguente serie: ∑
n =1
soluzione
76
4
n 2 + 3 log n + 1
n 3 + 16n 4 + 5
SERIE NUMERICHE
Utilizzando il criterio asintotico (la serie è a termini positivi) si ha:
4
n 2 + 3 log n + 1
1
~
3
4
n + 16n + 5
2 n
L’ultimo termine è il termine generico della serie armonica generalizzata con
esponente minore di uno, quindi divergente.
96. Studiare al variare del parametro α ∈ ℜ il comportamento della
seguente serie:
∞
4 + n4
n =1
nα 1 + n 3
∑
soluzione
La serie è a termini positivi possiamo, per esempio applicare il criterio asintotico
per stabilire la natura della serie assegnata. Si verifica che:
4 + n4
nα 1 + n 3
∞
∑n
la serie
5
−α
2
n4
~
= n2
−α
nα n 2
è armonica generalizzata con p = α −
n =0
per α >
5
3
5
, quindi la serie converge
2
7
7
e diverge per α ≤ .
2
2
32 Studiare al variare del parametro α ∈ ℜ il comportamento della
seguente serie:
∞
∑
n =0
2n 2α 3 2 + n 2
(n
3
+ 1+ n
)
3 −α
soluzione
La serie è a termini positivi possiamo, per esempio applicare il criterio asintotico
per stabilire la natura della serie assegnata. Si verifica che:
2n 2 α 3 2 + n 2
(n
3
+ 1+ n
)
3 −α
2α +
2
25
5α −
2n 3
~ 9 − 3α = n 3
n
77
SERIE NUMERICHE
∞
5α −
25
3
è armonica generalizzata con p = 25 − 5α , quindi la serie
n =0
3
22
22
converge per α <
e diverge per α ≥ .
15
15
la serie
∑n
1
è convergente e
n =1 (5n − 4 )(5n + 1)
∞
97. Dimostrare che la serie ∑
calcolare la sua somma.
Soluzione
Si osservi che il termine generale può anche essere scritto come:
1
=
(5n − 4)(5n + 1)
1 1
1 


−
5  (5n − 4 ) 5n + 1 
la somma ennesima è data da:
1 1
1 1
1 
s n = 1 −  + L + 
−
=
5 6
5  5n − 4 5n + 1 
1
1 
1 −

5  5n + 1 
e quindi:
1
1  1
lim
s n = lim
1 −
= .
n→∞
n→∞
5  5n + 1  5
n+ 2
98. Assegnata la serie: ∑ 4 n 

n =1
 n +1 
∞
3− n3
a) Studiare la condizione necessaria,
b) Stabilire la convergenza utilizzando un criterio.
soluzione
Iniziamo col verificare se la condizione necessaria è soddisfatta. Si ha:
78
SERIE NUMERICHE
n+ 2
4n
lim


n→∞
 n +1 
3− n 3
1 

4n 1 +
= lim


n→∞
 n +1
3− n

n +1

1   n +1
lim
 
  1 +
n→∞
1
n
+

 


3
3− n 3
=
1
3− n
 4n
n +1


1   4 n ( n +1 )
 1 +
=0
 
 = lim
n→∞ 
+
1
n






3
Utilizzando ora il criterio della radice si ricava:
n
lim
n →∞
4n
1 

1 +

+1
n

3− n3

3− n3
n +1

n +1


   1 + 1  
= lim
n→∞
    n + 1  


1





1
4n
n
3− n3
n +1

4 n 2 ( n +1 )


1
 = lim 1 + 1  
=
<1.
n →∞ 

4

+
1
n
 
e



La serie assegnata converge.
n
2
 x − x + 1
99. Studiare la convergenza della serie geometrica: ∑  2
 .
n =0
 x +1 
∞
Calcolare, se è possibile, la sua somma.
Soluzione
Affinché la serie assegnata converga è sufficiente richiedere che:
x2 − x +1
< 1 ⇒ x2 − x +1 < x2 +1 ⇒ x > 0
x2 +1
Si osservi che anche la condizione necessaria è verificata!
La sua somma è data da:
S=
100.
1
=
1− q
1
1+ x2
=
x2 − x +1
x
1−
2
x +1
∞
(n − 1)!
n =1
n 3 3n
Studiare la convergenza della seguente serie: ∑
Soluzione
79
SERIE NUMERICHE
Il termine generale della serie è: a n =
a n +1 =
(n )!
(n + 1) 3
3
n +1
(n − 1)!
n 3 3n
mentre il termine successivo è
. Si osservi che per poter scrivere il termine successivo di
una serie basta sostituire al termine assegnato, n+1, al posto di n.
La serie è a termini positivi, applichiamo quindi il criterio. Si ha:
a n +1
(
n )!
n 3 3n
n(n − 1)!
n3
n4
lim
= lim
⋅
= lim
⋅
= lim
= +∞ .
n→∞
n→∞
an
(n + 1)3 3 n +1 (n − 1)! n→∞ 3(n + 1)3 (n − 1)! n→∞ 3(n + 1)3
La serie diverge.
Osservazione
• Se ∑ a converge e ∑ b converge allora ∑ (a + b ) converge
• Se ∑ a converge e ∑ b diverge allora ∑ (a + b ) diverge
• Se ∑ a diverge e ∑ b converge allora ∑ (a + b ) diverge
n
n
n
n
n
101.
n
n
n
n
n
n
n
Studiare la convergenza della seguente serie:
cos 2n + (− 1) n 3
∑
n5 + 1
n
(con n da 1 all’infinito)
Soluzione
La serie assegnata può essere scritta anche cosi:
(
cos 2n + (− 1) n 3
cos 2n
− 1) n 3
=∑ 5
+∑ 5
∑
n5 + 1
n +1
n +1
n
n
La prima serie converge per il criterio del confronto infatti:
cos 2n 1
≤
n5 + 1 n5
la serie maggiorante è armonica generalizzata con esponente maggiore di uno
(in questo caso 5) quindi convergente.
La seconda serie invece converge per il criterio di Leibniz, come si verifica
facilmente. La serie di partenza quindi converge essendo somma di serie
convergenti.
80
SERIE NUMERICHE
102.
∞
Studiare la convergenza della seguente serie: ∑
4n + n2en
n =0
n
33
Soluzione
La serie assegnata può essere scritta anche cosi:
∑
4n + n2en
=∑
n
33
4n
n
33
+∑
n2en
n
33
n
 4 
4
La prima serie ∑ n = ∑  3  è geometrica con ragione 3 > 1 quindi
3
 3
33
diverge.
4n
Anche la seconda serie diverge come si può vedere utilizzando il criterio della
radice:
lim
n
n→∞
n2en
3
n
3
=
e
3
3
> 1.
La serie di partenza quindi diverge essendo somma di serie divergenti .
81