Capitolo 2

CAPITOLO 2
RICHIAMI DI TERMODINAMICA
Premessa.
Dal punto di vista dei bilanci energetici, una macchina a fluido può essere schematizzata come
un sistema termodinamico delimitato da superfici di confine di diverso tipo e sede di
trasformazioni e scambi energetici operati su fluidi comprimibili o incomprimibili che, come già
osservato, sono i vettori energetici delle trasformazioni.
Richiamiamo di seguito in modo sintetico le leggi che governano l'equilibrio termodinamico di
un sistema fluido e le relazioni relative al trasporto ed allo scambio di massa ed energia.
2.1) Sistemi termodinamici: condizioni d'equilibrio ed equazioni di stato.
Con sistema termodinamico s'intende un insieme di punti materiali nello spazio separato dal
resto mediante superfici di confine di diversa natura (volume di controllo). Il sistema è detto
adiabatico quando le superfici di confine non permettono lo scambio di energia termica con
l’esterno, anergico quando non vi è scambio di lavoro con l’esterno e chiuso o aperto a seconda
che la superficie di confine sia impermeabile o meno al flusso di materia; un sistema, chiuso,
anergico e adiabatico è detto isolato. Un sistema potrà essere, inoltre, omogeneo o eterogeneo a
seconda che sia costituito da una o più fasi o sostanze chimiche.
Quando, in un determinato istante, le condizioni interne di un sistema isolato rimangono costanti,
lo stesso si dice in equilibrio termodinamico nel dato istante; nella termodinamica classica lo
stato d’equilibrio di un sistema omogeneo isolato è completamente individuato dalla definizione
di tre parametri generalmente chiamati variabili di stato e legati fra loro da relazioni generali
dette equazioni di stato.
Le variabili di stato più comunemente usate nello studio delle macchine sono la pressione p, la
temperatura T, il volume specifico v, la massa volumica o densità ρ, l'energia interna u e
l'entalpia h.
Per la definizione delle condizioni di equilibrio di un sistema eterogeneo sarà inoltre necessario
conoscere le concentrazioni e le fasi dei diversi costituenti la miscela; un sistema eterogeneo
costituito da sostanze chimiche della stessa fase può comunque essere trattato come un sistema
omogeneo purché si faccia riferimento a grandezze medie globali e non a grandezze locali.
Quando lo stato di equilibrio di un sistema è perturbato dall’esterno e il sistema evolve verso un
ulteriore stato di equilibrio attraverso successivi stati intermedi che siano, a loro volta, stati di
equilibrio, allora le trasformazioni da uno stato all'altro saranno dette trasformazioni quasi
statiche-reversibili (trasformazioni infinitesime o infinitamente lente). Tali condizioni non sono
generalmente verificate nelle macchine, dove al contrario si realizzano trasformazioni molto
veloci cui sono associati effetti dissipativi e perciò le trasformazioni reali sono dette anche
irreversibili.
Stati d'equilibrio termodinamico e trasformazioni quasi statiche reversibili sono rigorosamente
rappresentabili su piani termodinamici vale a dire su piani cartesiani definiti da due parametri
termodinamici comunque scelti, ad esempio (p, T), (h, S) ecc.; non così, invece, per ciò che
concerne le trasformazioni reali, anche se, per ragioni di utilità, è prassi usuale la loro
rappresentazione su un piano termodinamico mediante una linea i cui punti, per quanto detto,
non hanno alcun significato termodinamico.
Per un sistema omogeneo, l'equazione che descrive lo stato d'equilibrio di un sistema può essere
espressa nella forma generale:
(2.1)
F ( p, ρ,T ) = 0
che, nel caso di fluidi incomprimibili, si riduce a:
5
(2.2)
ρ = cost
In condizioni lontane dalla saturazione, i liquidi reali possono essere considerati con buona
approssimazione fluidi incomprimibili in un ampio campo di variazione della temperatura e della
pressione.
Per i gas perfetti, l'equazione di stato (2.1) assume la forma:
m
(2.3)
pV = nRT =
RT
PM
dove n = m/PM è il numero di moli, m la massa del gas contenuta nel volume V, PM il peso
molecolare del gas e R = 8314.39 J/(kmole K) è la costante universale dei gas.
Dalla (2.3) si deduce:
p
= RT
(2.4)
ρ
dove ρ = m/V è la densità del gas e R = R/PM è la costante del gas (per l'aria secca PM = 28.97
kg/kmole e R = 287 J/(kg K).
Nella pratica, solo i gas leggeri come l'idrogeno, l'ossigeno, l'azoto, l'aria secca o i gas nobili e in
condizioni operative lontane da quelle critiche, vale a dire a basse pressioni ed elevate
temperature, soddisfano la (2.3) e possono, quindi, essere considerati perfetti nelle correnti
applicazioni nel campo delle macchine.
Per i gas che non obbediscano all'equazione dei gas perfetti, quali i vapori o i gas di peso
molecolare elevato, o per condizioni prossime a quelle critiche, è possibile utilizzare una
relazione formalmente analoga alla (2.4):
p
= zRT
(2.5)
ρ
dove il coefficiente di comprimibilità z, che dipende dal gas, rappresenta il rapporto fra il volume
specifico effettivo e quello che il gas avrebbe, alla stessa pressione ed alla stessa temperatura, nel
comportamento di gas ideale. Per un gas perfetto risulta ovviamente z = 1 mentre lo scostamento
di z dall’unità costituisce un indice per misurare l’entità dell’effetto di gas reale.
Fig. 2.1
La molteplicità dei comportamenti dei gas reali può essere notevolmente ridotta sulla base del
principio degli stati corrispondenti, secondo il quale sostanze diverse, in stati termodinamici
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caratterizzati da uguali valori delle grandezze ridotte, hanno un comportamento simile sia dal
punto di vista volumetrico e sia da quello termico.
In Fig. 2-1 è riportato il coefficiente di comprimibilità di alcune sostanze in funzione della
pressione ridotta π=p/pc e della temperatura ridotta θ=T/Tc, dove con pc e Tc si sono
rispettivamente indicate pressione critica e temperatura critica dei gas.
Si può osservare che per π ≤ 0.2 e θ ≥ 1.3 si commettono errori contenuti considerando i gas reali
come perfetti.
In alternativa alla (2.5) si possono utilizzare altre e più complesse equazioni che tengono conto
del volume proprio delle molecole e delle forze intermolecolari quali, ad es. quella di Van der
Waals:
⎛
n2 ⎞
⎜ p + a 2 ⎟(V − nb) = nRT
V ⎠
⎝
dove a e b sono costanti che dipendono dal gas.
In genere, queste equazioni sono riportate e parametrate in diagrammi termodinamici quali ad es.
il diagramma di Mollier per l'acqua o per altre sostanze.
2.2) Energia interna ed entalpia.
Da un punto di vista fenomenologico, è definita energia interna una qualsiasi forma d'energia
accumulabile all'interno di una sostanza e dipendente dalla struttura molecolare della materia: a
una qualunque variazione della struttura molecolare (legame chimico, stato d'eccitazione delle
molecole, forze di coesione, ecc.) sarà perciò associabile, per definizione, una variazione
d'energia interna che dipenderà soltanto dalla nuova condizione d'equilibrio raggiunta e non dal
cammino percorso (funzione di stato).
Per ragioni di chiarezza esplicativa, è utile suddividere la variazione complessiva d'energia
interna per unità di massa in una somma di diversi possibili contributi:
du = dum + du f + duc + du p + dua + duirr
(2.6)
Il termine dum rappresenta la variazione di energia interna associata alla trasformazione di massa
in energia a seguito di reazioni nucleari e che non è messa in gioco nelle ordinarie applicazioni.
Il termine duc rappresenta la variazione dell'energia di coesione ed è associata al cambiamento
dello stato di aggregazione delle molecole (passaggio di fase vapore → liquido, liquido →
solido, ecc.).
Il termine duf entra in gioco ogni volta che avvengano reazioni chimiche che trasformino un
sistema chimicamente definito da una data energia di formazione uf in un altro cui corrisponda
un'altra uf..
Il quarto e quinto termine rappresentano rispettivamente la variazione d'energia interna dovuta ad
un cambiamento dello stato di polarizzazione delle molecole dovuto all'azione di campi
magnetici e la variazione dovuta al cambiamento dello stato di agitazione (eccitazione dello stato
di moto) delle molecole.
Si può osservare che il minimo livello energetico è quello in cui l'energia di agitazione è nulla e
corrisponde allo stato in cui la temperatura del sistema è uguale allo zero assoluto (questa, in
realtà, è la definizione dello zero assoluto che è la temperatura cui corrisponde uno stato nullo di
agitazione molecolare.
L'ultimo termine duirr rappresenta, infine, la degradazione di energia interna per effetto delle
resistenze passive che si manifesta nelle trasformazioni reali non quasi statiche reversibili.
Per i gas perfetti, l'energia interna è solo funzione della temperatura (legge di Joule), mentre per i
gas reali è funzione sia della temperatura e sia della pressione.
Poiché le due forme uc e ua intervengono fenomenologicamente assieme, si usa indicare
semplicemente con u=uc+ua l'energia interna (termica).
Si definisce entalpia di un sistema la funzione di stato:
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h = u+
p
ρ
(2.7)
che, per i gas perfetti, diviene:
h = u + RT
(2.8)
Come per l'energia interna, l'entalpia di un gas perfetto è funzione della sola temperatura, mentre
quella di un gas reale sarà funzione sia della temperatura e sia della pressione.
L'importanza dell'entalpia nella pratica delle macchine a flusso continuo sarà messa in evidenza
nei paragrafi successivi.
2.3) Lavoro e calore.
E' detto lavoro interno Li l'energia scambiata da un generico sistema fluido e dovuta all'azione di
forze interne di superficie ad esso applicate. Si definisce lavoro meccanico scambiato con
l'esterno Le (altrimenti detto semplicemente lavoro esterno) l'energia scambiata dalla massa
fluida per effetto dell'azione di superfici di confine mobili o deformabili. Per un sistema che non
scambia lavoro con l'esterno (sistema anergico) sarà Le= 0 condizione che, come si vedrà più
oltre, non implica necessariamente Li= 0.
In generale, le forze che agiscono su un elemento di massa fluida possono essere suddivise in
forze di volume e forze di superficie: le forze di volume si riducono essenzialmente al peso mg
dell'elemento di massa m (con g si è indicata l'accelerazione di gravità), mentre le forze
superficiali si possono distinguere in forze normali (forze di pressione) e forze tangenziali. Le
prime operano per una dilatazione o compressione del sistema mentre le seconde lavorano per
uno scorrimento della superficie.
Indicando con dS la superficie di contorno di un elemento infinitesimo di un generico volume di
controllo dΩ, la forza superficiale infinitesima agente su dS sarà quindi esprimibile mediante le
relazioni:
(2.9)
dFs = dFn + dFt = σdSn − τdSt = − pdSn − τdSt
(pressione)
e
tangenziale
dove σ e τ sono, rispettivamente, i moduli della componente normale
della risultante degli sforzi superficiali agenti su dS, e n e t sono i versori, normale e
tangenziale, caratterizzanti la giacitura di dS nello spazio. I segni "−" stanno a indicare che la
pressione è diretta in senso contrario al versore n , assunto positivo se uscente dalla superficie di
contorno (gli sforzi normali contrastano la dilatazione), e che gli sforzi viscosi si oppongono al
movimento.
Per uno spostamento infinitesimo dz del baricentro della massa fluida m, nell'ipotesi che alla
scala delle macchine industriali l'accelerazione di gravità si mantenga costante, il lavoro
elementare per unità di massa delle forze di volume sarà esprimibile mediante la relazione:
dlg = g × z dz = −gdz = −d ( gz)
(2.10)
dove il segno "−" sta a indicare che i versi di g e z sono opposti.
E' consuetudine suddividere il lavoro delle forze di pressione nei due contributi:
dlp = δln + δltr = − pdv − vdp
dove con δln si è indicato il lavoro di deformazione, con δltr il lavoro associato al trasporto
rigido (lavoro di pulsione) della massa fluida e con v il volume specifico ; il simbolo δ sta ad
indicare che i lavori di dilatazione e di trasporto non sono funzioni di stato ma dipendono dal
cammino percorso e, quindi, il loro differenziale non è un differenziale esatto.
Per uno scorrimento relativo, il lavoro elementare dovuto agli effetti viscosi sarà dato da:
1
(2.11)
δlt =
τdSt × t dx = −τdv
dm
Il lavoro interno δlt è trascurabile per i moti di fluidi a bassa viscosità, come normalmente è nelle
applicazioni correnti delle macchine operanti con aria o acqua.
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Il lavoro delle forze viscose non va confuso con l'effetto dell'interazione tra fluido e pareti esterne
di un condotto, comunemente detto lavoro perso per attrito, in quanto, per quest'ultimo, non si
tratta di lavoro (la velocità del fluido alle pareti è nulla per il principio di aderenza) ma di
un'alterazione del campo delle pressioni e delle sollecitazioni agenti sul fluido. Gli effetti
dell'interazione tra fluido e parete si manifestano come variazione (degradazione) di energia
interna "nobile" duirr.
Giova rimarcare che il lavoro elementare delle forze di pressione è un differenziale esatto soltanto
nel caso di regime di moto permanente e che tale proprietà non è estendibile ai regimi di moto
vario quali quelli che, normalmente, si producono nelle macchine.
Analogamente a quanto fatto per il lavoro, distingueremo in calore (o energia termica) prodotto
o generato all'interno di un sistema Qi e calore scambiato con l'esterno Qe.; in generale si potrà
scrivere:
δQ = δQi + δQe
(2.12)
Con "calore generato all'interno" s'intende il calore sviluppato dalla liberazione di una delle
forme nobili di energia interna a seguito di una reazione chimica, nucleare o di un passaggio di
fase.
Con "calore scambiato con l'esterno" s'intende l'energia scambiata attraverso le pareti di confine
(reali o ideali) per effetto di una differenza di temperatura tra l'interno del sistema e l'ambiente
esterno.
Gli effetti dello scambio di energia termica sui parametri caratterizzanti l'equilibrio
termodinamico di un sistema saranno discussi più avanti, limitandoci per ora a osservare che, per
un sistema chiuso e anergico, in assenza di reazioni chimiche e nucleari e in assenza di passaggi
di fase, lo scambio di energia termica con l'esterno provocherà variazioni di temperatura e/o di
pressione del sistema.
2.4) Calori specifici.
In assenza di reazioni chimiche, nucleari o di passaggi di fase, si definisce calore specifico o
capacità termica a volume costante il rapporto:
⎛ δQ ⎞ ⎛ du ⎞
cv = ⎜ e ⎟ = ⎜ ⎟
(2.13)
⎝ dT ⎠ v ⎝ dT ⎠ v
Rinviando alla teoria cinetica dei gas per un'analisi più approfondita, ci limitiamo qui a ricordare
che per i gas perfetti il calore specifico a volume costante è una funzione di stato che dipende
dalla temperatura secondo relazioni del tipo:
cv = A + BT + CT2 + DT3 +
(2.14)
dove A, B… sono costanti dipendenti dalla struttura della molecola.
Per i gas ideali, i calori specifici a volume costante dipendono solo dalla struttura molecolare
della sostanza e precisamente valgono:
J/(kg K)
per i gas monoatomici
cv = 3/2 R
cv = 5/2 R
J/(kg K)
per i gas biatomici o poliatomici a catena lineare
cv = 3 R
J/(kg K)
per i gas triatomici a catena non lineare
Nella realtà si comportano come ideali i gas monoatomici (gas nobili) o i gas poliatomici a basse
pressioni e temperature elevate.
Per i gas reali, il calore specifico cv è una funzione di stato che dipende sia dalla temperatura che
dalla pressione secondo relazioni che possono essere scritte nella forma:
c v (T, p) = c v 0 (T ) + Δc v (T, p)
(2.15)
dove cv0 è il calore specifico del gas corrispondente ad un volume specifico infinito (gas perfetto),
e Δcv tiene conto del contributo relativo alle forze d'attrazione molecolare ed è genericamente
proporzionale alla pressione ed inversamente proporzionale alla temperatura.
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Sotto le medesime premesse più sopra specificate, si definisce calore specifico o capacità termica
a pressione costante il rapporto:
⎛ δQ ⎞ ⎛ dh ⎞
cp = ⎜ e ⎟ = ⎜ ⎟
(2.16)
⎝ dT ⎠ p ⎝ dT ⎠ p
Per i gas perfetti, tra i calori specifici a pressione e a volume costante è possibile ricavare la
relazione:
⎛ dh ⎞ ⎛ du ⎞ d ( pv )
(2.17)
cp = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ +
= cv + R
⎝ dT ⎠ p ⎝ dT ⎠ v
dT
nota come relazione di Mayer, dalla quale si deduce che, per un gas perfetto, il calore specifico a
pressione costante dipende dalla temperatura nello stesso modo in cui vi dipende il calore
specifico a volume costante.
Introducendo l'esponente della trasformazione isoentropica k = cp/cv, dalla relazione di Mayer si
ottiene ancora:
k
R
cp =
R=
(2.18)
k −1
ϕ
Per i gas perfetti k e ϕ dipenderanno dalla temperatura, mentre per i gas ideali sarà:
k = 5/3 = 1.66
k = 7/5 = 1.4
k = 4/3 = 1.33
rispettivamente per gas monoatomici, biatomici e triatomici. Per i gas reali, si potranno scrivere
per il cp relazioni formalmente analoghe alla (2.15). Per i fluidi di più comune interesse tecnico, i
dati relativi ai parametri termodinamici sono reperibili in tabelle o diagrammi di origine per lo
più sperimentale, mentre per quelli di cui non siano disponibili i dati si potrà fare ricorso alla
legge degli stati corrispondenti. A titolo d'esempio, in fig. 2.2 sono riportati i contributi di gas
reale Δcp/R in funzione della pressione e della temperatura ridotte.
Fig. 2.2
Dalle relazioni (2.13) e (2.16) sono immediatamente deducibili le relazioni che permettono il
calcolo delle variazioni di energia interna e di entalpia tra un generico stato iniziale ed uno finale:
Tf
u f − ui = ∫T c v dT = c v Tf − Ti ⎫⎪
i
⎬
(2.19)
Tf
h f − hi = ∫T c p dT = c p Tf − Ti ⎪⎭
i
dove c v e c p sono i calori specifici medi, rispettivamente a volume e pressione costante,
nell'intervallo d'integrazione ΔT=Tf – Ti. Per i liquidi perfetti (incomprimibili) si definisce un solo
calore specifico, coincidente con quello a volume costante; la variazione d'entalpia tra uno stato
iniziale ed uno finale sarà data da:
(
(
h f − hi =
∫
Tf
Ti
(
)
)
)
(
) (
c v dT + v p f − pi = c v Tf − Ti + v p f − pi
)
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Volendo rimarcare il diverso peso dei due termini nella relazione precedente, si può osservare
che, supponendo l'acqua un liquido perfetto con densità pari a 1000 kg/m3, sarà necessaria una
variazione di pressione di circa 420 bar per produrre una variazione di temperatura pari a 10° C.
2.5) Primo principio della termodinamica.
Per un sistema chiuso e trasformazioni infinitesime, il principio di conservazione dell'energia
può essere scritto nella forma:
dut = δq − δle
(2.19)
in cui i segni dipendono dalla convenzione di segno assunta (calore positivo se entrante nel
sistema e lavoro positivo se uscente) e dove si sono trascurate le variazioni di energia cinetica e
di energia potenziale gravitazionale.
In assenza di reazioni chimiche o nucleari e per trasformazioni quasi statiche reversibili si
ottiene:
du = δqe − pdv
(2.20)
e dalla definizione dell'entalpia:
dh = δqe + vdp
(2.21)
Vogliamo osservare che, in virtù del 1° principio, un sistema può scambiare energia con l'esterno
sotto forma di energia termica o di lavoro ma, una volta che lo scambio sia avvenuto, non è più
possibile distinguere "la forma" sotto cui l'energia è stata scambiata, essendo comunque la
variazione di energia interna l'unico effetto finale.
Essendo l'energia interna u una funzione di stato, dalla (2.19) per trasformazioni cicliche si
ottiene:
le = qe
da cui
(2.22)
∫ δle = ∫ δqe
che evidenzia il principio di equivalenza dell'energia termica e dell'energia meccanica.
Analogamente, per trasformazioni in cui un sistema non vari il proprio stato durante gli scambi
d'energia meccanica e termica, si potrà scrivere:
2
2
δqe − ∫1 δle = 0
(2.23)
1
Un sistema che riceva energia meccanica dall'esterno (le < 0) deve, quindi, affinché il suo stato
non cambi, fornire all'esterno un'equivalente quantità d'energia termica (qe > 0).
A titolo d'esempio, consideriamo una macchina adiabatica per cui il ciclo di lavoro si possa
pensare suddiviso nelle seguenti fasi:
1a fase: aspirazione alla pressione costante p1 di una quantità m di un generico fluido
comprimibile
2a fase: compressione adiabatica del fluido dalla pressione p1 a una pressione p2 > p1
3a fase: espulsione alla pressione costante p2 della stessa quantità m di fluido aspirata
La macchina e le diverse fasi sono rappresentate in fig. 2.3
∫
Fig. 2.3
Il lavoro per unità di massa fornito dall'esterno (lavoro all'asse) le sarà dato dalla somma
algebrica dei singoli contributi:
fase 0-1: l1 = p1v1
entrante nel sistema con la massa aspirata
fase 1-2: l2 =
∫
2
1
pdv =
∫
2
1
du = u2 − u1
fatto sul sistema chiuso
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fase 2-0: l3 = p2v 2
uscente dal sistema con la massa espulsa.
Tenendo conto delle convenzioni di segno, si ottiene:
−le = −l1 − l2 + l3 = − p1v1 + u2 − u1 + p2v 2 = h2 − h1
(2.24)
I contributi l1 e l3 sono i lavori di trasporto più sopra richiamati e entrano in gioco nella
valutazione dei lavori scambiati con l'esterno da sistemi aperti; come si può osservare dalla
(2.24), essi sono implicitamente contenuti nella variazione d'entalpia. Da quanto detto risulta,
quindi, evidente come l'uso dell'entalpia renda più agevole l'analisi delle macchine a flusso
continuo (sistemi aperti).
2.6) Secondo principio della termodinamica. Entropia.
Secondo il 1° postulato entropico, per un qualsiasi sistema in condizioni d'equilibrio
termodinamico è definibile una funzione termodinamica di stato detta entropia la cui variazione,
per trasformazioni reversibili, è data da:
δq
(2.25)
ds =
T
e dal 1° principio:
du + pdv
dh − vdp
e
(2.26)
ds =
ds =
T
T
relazioni che prendono il nome rispettivamente di 1a e 2a equazione di Gibbs.
Per un sistema isolato e in assenza di reazioni chimiche o nucleari, la variazione di entropia a
seguito di una trasformazione qualsiasi è sempre positiva e tende a zero per trasformazioni
reversibili: tale variazione è detta produzione di entropia o produzione entropica (2° postulato
entropico).
Scomponendo per comodità d'esposizione la variazione d'entropia nei diversi contributi si potrà
scrivere:
ds = dse + dsi + dsirr
dove con dse= δqe/T si è indicata la variazione reversibile d'entropia dovuta a scambi di calore
con l'esterno, con dsi= δqi/T la variazione reversibile d'entropia per effetto di reazioni chimiche,
nucleari o passaggi di fase e con dsirr la variazione d'entropia dovuta alla degradazione di energia
interna per effetto delle resistenze passive.
Poiché per un sistema isolato è δqe = 0, nel caso in cui sia anche δqi = 0 si avrà per il secondo
postulato entropico:
du
ds = dsirr = irr > 0
T
Dall'enunciato del 2° postulato entropico discende ancora che, se δqi = 0, trasformazioni
adiabatiche ideali sono anche isoentropiche.
Essendo l'entropia una funzione di stato, è possibile calcolarne la variazione per una qualsiasi
trasformazione reale tra uno stato iniziale e uno finale, sostituendo al processo reale un processo
reversibile fittizio che avvenga tra gli stessi stati iniziali e finali del processo reale.
Si consideri, a titolo d'esempio, un sistema chiuso e adiabatico che scambi lavoro con l'esterno
compiendo una trasformazione irreversibile. La (2.21) permetterà di determinare le condizioni
d'equilibrio finali caratterizzate da vf, vi, e uf =ui ± le a seconda che il lavoro sia entrante o uscente
dal sistema.
Considerando ora la trasformazione data come combinazione di una trasformazione isocora, per
la quale è le = 0, e di un'isoentropica, per la quale è Δs2 = 0, che conduca allo stesso stato finale
della trasformazione reale; per la prima delle (2.26) si potrà scrivere:
f du
f
dT
Δs = Δs1 + Δs2 = ∫ i
= ∫ cv
i
T
T
facilmente calcolabile una volta nota la dipendenza del calore specifico dalla temperatura.
12
2.7) Trasformazioni politropiche.
Si definisce politropica una trasformazione quasi statica-reversibile in cui, lungo la
trasformazione "x", è costante il calore specifico cx definito come:
⎛ δq ⎞
c x = ⎜ e′ ⎟
(2.27)
⎝ dT ⎠ x
dove δqe' è il calore scambiato con l'esterno lungo un elemento della politropica.
Per un'isobara sarà x = p = cost e cx = cp mentre per un'isocora x=v=cost e cx = cv. Per un'isoterma
è dT = 0 e δqe '≠ 0 e cx = ±∞ a seconda che il calore sia entrante o uscente dal sistema mentre per
un'adiabatica δqe'=0 e cx=0.
Da quanto sopra detto si deduce che il calore specifico cx può assumere tutti i valori compresi tra
+∞ e –∞.
L'equazione generale delle politropiche che lega le variazioni di pressione alle variazioni di
volume specifico può essere dedotta dalla (2.27) mediante semplici passaggi. Tenendo presente il
1° principio della termodinamica si otterrà:
du
dv
dv
(2.28)
cx =
+p
= cv + p
dT
dT
dT
e dall'equazione di stato dei gas perfetti:
pdv + vdp = RdT
sostituendo dT nella (2.28)si ricava:
pdv
cx = cv + R
pdv + vdp
da cui:
vdp
R
= 1+
pdv
cx − cv
e ancora:
dp ⎛ c x − c v − R ⎞ dv
⎜
⎟
p ⎝ cx − cv ⎠ v
Tenendo presente la relazione di Mayer (2.17) si ottiene:
dp ⎛ c x − c p ⎞ dv
dv
=⎜
⎟ =m
p ⎝ cx − cv ⎠ v
v
Integrando e tenendo presente le proprietà dei logaritmi si ottiene infine:
(2.29)
pv m = cost
dove m = (cx-cp)/(cx-cv) è l'esponente della politropica. Per una trasformazione isoterma sarà m=1,
per un'isobara m=0, per un'isocora m=–∞ e per un'isoentropica m=cp/cv=k, dove k è l'esponente
dell'isoentropica più sopra richiamato.
Dalla relazione (2.29) e dall'equazione di stato dei gas perfetti si ricava con ovvi passaggi:
Tv m−1 = cost
dove si è operata la sostituzione:
1−m
m
e
Tp
ϕ′ =
m −1
m
2.8) Scambi energetici lungo le trasformazioni politropiche.
= Tp−ϕ ′ = cost
(2.30)
13
Data una generica trasformazione che evolva da uno stato iniziale ad uno finale senza passaggi di
fase o qualsivoglia reazione chimica, possiamo osservare che:
- i punti di inizio e fine trasformazione, che sono normalmente punti d'equilibrio termodinamico,
saranno legati dalla relazione (2.29):
pv m = cost
- la variazione d'entalpia, essendo l'entalpia funzione di stato, per la 2a delle (2.19) sarà data da:
h f − hi =
∫
Tf
Ti
(
c p dT = c p Tf − Ti
)
- il calore scambiato con l'esterno lungo una politropica che evolva tra gli stessi stati d'inizio e
fine trasformazione per la (2.27) sarà:
q′e =
-
∫
Tf
Ti
(
c x dT = c x Tf − Ti
)
il lavoro scambiato con l'esterno lungo una politropica che evolva tra gli stessi stati d'inizio e
fine trasformazione sarà:
1−m
⎤
f
piv i ⎡⎛ v f ⎞
⎢⎜ ⎟ −1⎥
per un sistema chiuso
(2.31)
l′e = ∫ i pdv =
1 − m ⎢⎣⎝ v i ⎠
⎥⎦
l′e =
∫
f
i
m −1
⎡
⎤
ϕ′
⎡
⎤
⎛
⎞
p
m ⎢ f m
⎥ RTi ⎢⎛ p f ⎞
vdp = piv i
⎜ ⎟ −1⎥ =
⎜ ⎟ −1⎥
m −1 ⎢⎝ pi ⎠
ϕ′ ⎢⎣⎝ pi ⎠
⎥⎦
⎢⎣
⎥⎦
per un sistema aperto (2.32)
Tenendo presente il 1° principio della termodinamica e le definizioni di cp e cv, la (2.31) può
essere scritta nella forma:
l′e = q′e − Δu = (c x − c v ) Tf − Ti
e la (2.32) nella forma:
l′e = q′e − Δh = c x − c p Tf − Ti
(
(
)
)(
)
Concludiamo queste note osservando che l'e e q'e coincideranno rispettivamente con le e qe solo
per trasformazioni reversibili mentre saranno differenti per generiche trasformazioni reali in
quanto le e qe risentiranno degli effetti delle irreversibilità.