i numeri figurati

RACCONTARE LA
MATEMATICA
NUMERI PITAGORICI O
FIGURATI
PITAGORA (570-500 a.C.)
A Pitagora si può attribuire la fondazione
dell'ARITMETICA (dal greco Arithmòs= Numero) con la
quale, mediante i Numeri, è possibile spiegare ogni cosa:
dal mondo che ci circonda al moto degli astri, al
succedersi delle stagioni, dalle armonie della Musica al
ciclo della vegetazione. Per Pitagora il Numero è tutto, è l
l'elemento di cui tutte le cose sono costituite.
I Numeri erano divisi in pari e dispari, positivi e negativi,
maschili e femminili.
L'ordine e la perfezione stanno dalla parte dei numeri
dispari, mentre , al contrario, il disordine ed il male
stanno sempre dalla parte dei pari
La Scuola Pitagorica
LA SCUOLA PITAGORICA
Pitagora fondò una scuola a
Crotone(Magna Grecia) alla quale
erano ammesse anche le
donne(fatto assai strano per
quell’epoca!)
Era una sorta di società segreta
dove venivano imposte delle regole
di vita molto rigide ad es. erano
tutti vegetariani)
LA SCUOLA DI ATENE
Uno dei simboli della scuola pitagorica era il
pentagono stellato
si disegna tracciando tutte le
diagonali possibili di un pentagono
regolare fino ad ottenere una stella
a 5 punte.
COSTRUIAMO LA LINEA DEL TEMPO E
INSERIAMO PITAGORA
L’ARITMOGEOMETRIA
Per aritmogeometria si intende la sintesi
fra aritmetica (scienza dei soli numeri) e
geometria (scienza delle sole figure).
Con il termine numero Pitagora intendeva
qualcosa di completo: la dimensione
essenziale delle cose
In altri termini Pitagora assegnò un
significato spaziale ai numeri. Ve ne sono
così di triangolari, di quadrati, di
pentagonali,…
NELL’ ARITMOGEOMETRIA
1, la Monade rappresenta la Ragione, l’Uno, il principio
primo, è considerato impari cioè né pari né dispari e
geometricamente rappresenta il punto.
2, la Diade rappresenta la parte femminile, l’indefinito e
illimitato, l’opinione (sempre duplice) e geometricamente
la linea.
3, la Triade rappresenta la parte maschile, il definito e
limitato e geometricamente il piano.
4, la Tetrade rappresenta la giustizia in quanto divisibile
equamente da entrambe le parti.
5, la Pentade, rappresenta lo sposalizio poiché è la somma
della parte femminile (2) e maschile (3), simboleggia la
vita e il potere; il pentagramma è il simbolo dei pitagorici.
TETRAKTYS
10, la Decade è il numero perfetto, la
fonte e radice dell’eterna natura
perché il 10 “contiene” l’intero
universo essendo la somma di 1,2,3 e
4; esso veniva rappresentato con la
tetractys, il triangolo equilatero di lato
4, sul quale veniva fatto il giuramento
di adesione alla scuola pitagorica.
TETRAKTYS
NUMERI TRIANGOLARI
Come si ottengono i numeri
triangolari (con i numeri)
1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+4=10
1+2+3+4+5=15
....
Come si ottengono i numeri
triangolari (con le figure)
Come si ottengono i numeri
triangolari (con le parole)
SOMMANDO
SUCCESSIVAMENTE I
NUMERI NATURALI
NUMERI QUADRATI
Come si ottengono i numeri quadrati
(con i numeri)
1=1x1=1
1+3=2x2=4
1+3+5=3x3=9
1+3+5+7=4x4=16
1+3+5+7+9=5x5=25
1+3+5+7+9+11=6x6=36
....
Come si ottengono i numeri quadrati
(con le figure)
Come si ottengono i numeri quadrati
(con le parole)
SOMMANDO SUCCESSIVAMENTE I
NUMERI DISPARI
RELAZIONE FRA NUMERI QUADRATI E
NUMERI TRIANGOLARI (con i numeri)
4=1+3
9=3+6
16=6+10
25=10+15
36=15+21
…
Relazione fra numeri triangolari e
numeri quadrati (con le figure)
RELAZIONE FRA NUMERI QUADRATI E
NUMERI TRIANGOLARI (con le parole)
LA SOMMA DI 2 NUMERI
TRIANGOLARI SUCCESSIVI E’
SEMPRE UN NUMERO QUADRATO
NUMERI RETTANGOLARI
Come si ottengono i numeri
rettangolari (con i numeri)
2=2
2+4=6
2+4+6=12
2+4+6+8=20
2+4+6+8+10=30
….
Come si ottengono i numeri
rettangolari (con le figure)
Come si ottengono i numeri rettangolari
(con le parole)
SOMMANDO
SUCCESSIVAMENTE I
NUMERI PARI
RELAZIONE FRA NUMERI RETTANGOLARI
E NUMERI TRIANGOLARI (con i numeri)
1+1=2
3+3=6
6+6=12
10+10=20
15+15=30
…
Relazione fra numeri triangolari e
numeri rettangolari (con le figure)
RELAZIONE FRA NUMERI RETTANGOLARI
E NUMERI TRIANGOLARI (con le parole)
UN NUMERO RETTANGOLARE
E’ LA SOMMA DI DUE
TRIANGOLARI UGUALI
NUMERI QUADRATI
nxn
cioè n²
NUMERI RETTANGOLARI
n(n+1)
NUMERI TRIANGOLARI
n(n+1)/2
SCOPRIAMO
ALCUNE
PROPRIETA’
QUADRATI DEI NUMERI CHE
TERMINANO CON LA CIFRA 5
5² =25; 15² =225; 25² =625;
35²
=1225…
Finiscono tutti con 25
Le cifre prima del 25 (0, 2, 6, 12…) si
ottengono moltiplicando la cifra che
nella base precede il 5 (0, 1, 2, 3,…)
per il suo successivo: 0x1=0; 1x2=2;
2x3=6; 3x4=12…
QUANTI TRIANGOLI NEI NUMERI
TRIANGOLARI?
CONTIAMO
1 (0=0x0)
3 (1=1x1)
6 (4=2x2)
10 (9=3x3)
15 (16=4x4)
….
SONO NUMERI QUADRATI!!!
ULTIMA CIFRA DEI NUMERI QUADRATI
0
Sì
1
Sì
2
No
3
No
4
sì
5
Sì
6
Sì
7
No
8
No
9
sì
OGNI NUMERO QUADRATO O E’ UN MULTIPLO DI 5 O
UN SUO PRECEDENTE O UN SUO SUCCESSIVO
1=0X5=0
4=1X5-1=5-1
9=2X5-1=10-1
16=3X5+1=15+1
25=5X5=25
36=7X5+1=35+1
49=10x5-1=50-1
NUMERI PENTAGONALI
Come si ottengono i numeri
pentagonali (con i numeri)
1=1
1+4=5
1+4+7=12
1+4+7+10=22
1+4+7+10+13=35
....
Come si ottengono i numeri pentagonali (con
le figure)
Come si ottengono i numeri pentagonali (con
le parole)
1-5-12-22-35….
La differenza di 2 numeri successivi parte
da 4 e aumenta sempre di 3
NUMERI ESAGONALI
Come si ottengono i numeri esagonali
(con i numeri)
1=1
1+6=7
1+6+12=19
1+6+12+18=37
....
Come si ottengono i numeri esagonali
(con le figure)
Come si ottengono i numeri esagonali (con le
parole)
1-7-19-37…
La differenza di 2 numeri successivi partendo
da 6 aumenta sempre di 6
NUMERI MEMORABILI
NON SOLO PITAGORICI
10 PUNTI IN 5 FILE DA 4
INDOVINA IL NUMERO
25 10 21 100 64 28 35 40 3 37
È un numero figurato
25 10 21 100 64 28 3
È un numero triangolare
10 21 28 3
È un multiplo di 7
21 28
È divisibile per 4
28