I NUMERI TRIANGOLARI
Un numero triangolare è un numero figurato poligonale che rappresenta un triangolo,
ovvero, nella successione di numeri triangolari l'indice della posizione di ogni
numero rappresenta la quantità (ad esempio di fagioli) necessari per costruire un
triangolo costituito dal numero di file uguale all'indice del numero nella sequenza e
costituito dalla base formata dallo stesso numero di fagioli dell'indice della
successione.
A scopo esemplificativo si guardi la sequenza triangolare che:
La successione dei numeri triangolari per n può essere calcolata con la formula di
Gauss:
an
nn 1)
2
a0=0, a1=1, a2=3, a3= 6, a4= 10, a5= 15, a6= 21, a7=28, a8=36, ....
Per comprendere questa formula non è necessario effettuare alcuno studio particolare,
basta immaginare di costruire un triangolo formato da n file di fagioli, per semplicità
ci si riferisca all'esempio precedente n =6 , quindi ci saranno 21 fagioli; si immagini
un triangolo uguale e lo si ruoti ed avvicini al precedente in modo da formare un
rettangolo in cui due lati sono di dieci file e due di 11 (= 10 + 1) in quanto alla punta
c'è un fagiolo; quindi calcolandone l'area e dividendo per due perché ci si riferisce al
triangolo interno si ottiene la formula:
I primi numeri triangolari sono:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231,
253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741,
780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431
La somma di due numeri triangolari successivi è un numero quadrato: infatti
Per costruire numeri triangolari si può anche procedere come segue:
0=0
0+1=1
0+1+2=3
0+1+2+3=6
0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10
0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28
0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36
0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
e così via ...
In pratica se vogliamo determinare, ad esempio, il quinto numero triangolare
dobbiamo fare la somma dei primi cinque numeri naturali; così il sesto numero
triangolare sarà uguale alla somma dei primi sei numeri naturali, eccetera eccetera ...
Per essere più veloci, possiamo anche fare:
0+1=1
1+2=3
3+3=6
6 + 4 = 10
10 + 5 = 15
15 + 6 = 21
21 + 7 = 28
28 + 8 = 36
36 + 9 = 45
..................
Archimede nel suo problema chiede, quale ultima condizione che la somma dei buoi
tori biondi e variopinti sia un numero triangolare………………
