ALLA RICERCA DEL PIGRECO: DIVERTITI CON L’INGEGNO
“Che cosa penso della domanda: la geometria euclidea è vera? Essa non ha significato.
È come chiedersi … se la geometria delle coordinate cartesiane è vera e quella delle
coordinate polari è falsa. Una geometria non può essere più vera di un’altra; essa può
essere solo più conveniente”
H. Poincaré
1) IL CIONDOLO DI ARCHIMEDE
Il ciondolo di Archimede ha la forma mostrata nella figura a
fianco. Prova a determinare l’area in millimetri quadrati del
ciondolo, sapendo che ciascuno degli archi (una
semicirconferenza e due quarti di circonferenza) è ottenuto da
una circonferenza di raggio 10 mm. [200]
2) CERCHI COMPLANARI
Due cerchi complanari di raggio √ mm sono disposti in modo tale che la circonferenza
di ognuno passa per il centro dell'altro. Qual è l'area dell'intersezione dei due cerchi
espressa in millimetri quadrati? [ (
√ )]
3) UNA FIGURA
Nel quadrato a fianco, gli archi sono tutti quarti di circonferenza e
hanno, due a due, gli estremi in comune. Quanto vale il rapporto
tra il perimetro della figura in azzurro ed il perimetro del quadrato?
[ ]
4) UNA CAPRA AL PASCOLO
Una capretta è legata ad una corda lunga 24 m fissata
nel punto A del fabbricato riportato in figura. Quanto
misura in m² l’estensione del prato in cui può
]
pascolare? [
5) L’OCCHIO DEL GIGANTE
Nella piazza di Mathlandia vi è una statua
gigante del fondatore supremo dello Stato.
L’occhio della statua è di forma triangolare
con una pupilla circolare perfettamente
tangente ai lati dell’occhio, come mostrato
nella figura a fianco. Sai dire quanto vale
l’area della pupilla espressa in centimetri
quadrati ? [
(
√ )]
6) LA SALIERA DI ARCHIMEDE
Archimede si occupò della saliera che è raffigurata qui a
fianco. Il contorno della figura è costituito da quattro
semicirconferenze, di diametri AB, AC, BD e CD. Supposto
che AC=BD=25cm e CD=50cm. Calcola l'area della saliera
in cm2. [
]
7) LA LUNULA
Una regione di piano delimitata da due archi di circonferenza
aventi gli estremi in comune si chiama lunula. Nella figura qui a
fianco ABC è un triangolo rettangolo isoscele e la lunula colorata
è limitata da una semicirconferenza di diametro AB e dall'arco
AB della circonferenza avente centro in C e raggio BC=20m.
Quanto vale l’area della lunula espressa in metri quadrati?
[200]
8) IL PALCOSCENICO A MATHLANDIA
La piazza centrale del paese di Mathlandia è ottenuta con tre
cerchi a due a due tangenti esternamente di raggio 30, 30 e 20
metri. Per premiare le mascherine del prossimo carnevale si
decide di costruire un palco al centro della piazza unendo tra loro i
tre punti di tangenza. Qual è la superficie del palco espressa in
metri quadrati? [288]
9) LE CIAMBELLE DI GAUSS
Gauss si appresta a mangiare una delle sue famose ciambelle, che è rappresentata da
una corona circolare. Eulero, sempre attento, nota che la corda AB, tangente alla
circonferenza interna, è lunga 40 mm. Quanto vale l'area della ciambella in millimetri
]
quadrati? [
10) GIARDINI FATATI
Il giardino del castello del principe cadetto di Franquavia è ottenuto dall’unione di 6 cerchi
di raggio 10m, i cui diametri sono lati di un esagono regolare. Qual è l’area del giardino
espressa in metri quadrati? [
(
√ )]
11) I BISCOTTI DI AGNESE
Agnese, per realizzare dei biscotti, stende uno strato
omogeneo di impasto a forma di cerchio di diametro 15cm e
ritaglia 7 biscotti come in figura. Recuperando tutto l’impasto,
quanti altri biscotti riesce a fare? [2]
12) FINESTRE PARTICOLARI
A Mathlandia le case hanno le finestre quadrate di 10dm di
lato e sono chiuse da una vetrata qui rappresentata.
Le superfici di vetro sono delimitate da due quarti di cerchio
centrati sui vertici inferiori del quadrato. Sapresti determinare
l’area della parte centrale più grande espressa in decimetri
quadrati? [ (
√ )]
13) IL SIMBOLO MAGICO
Il mago del popolo Matù ha un simbolo magico che ti guarisce da
tutte le malattie. All’interno di un cerchio di raggio 10 cm si
tracciano 3 archi di circonferenza, anch’essi di raggio 10 cm,
centrando nei vertici di un triangolo equilatero inscritto nella
circonferenza.
Quanto vale l’area della zona ombreggiata in centimetri
quadrati? [
√ ]
14) MONETE D’ARGENTO
Una moneta d’oro è circondata da quattro monete d’argento uguali tra loro. Ogni moneta
d’argento è tangente alla moneta d’oro e a due monete d’argento. Trovare il rapporto tra il
raggio della moneta d’oro e quello delle monete d’argento. [√
]
15) PIZZE ESAGONALI
Le pizze più richieste a Mathlandia sono quelle di forma esagonale
come mostrata in figura. La parte centrale è farcita con ogni tipo di
specialità. Sapresti calcolare l’area (in centimetri quadrati) della
parte farcita sapendo che è delimitata da archi di circonferenza di
raggio 10 cm ? [
( √
)]
16) IL QUADRIFOGLIO
Un quadrifoglio di Mathalandia è perfettamente inscrivibile in un
quadrato come mostrato in figura. È formato da quattro archi di
circonferenza ciascuno avente centro in uno dei vertici del
quadrato e raggio pari al lato del quadrato, che misura 500 tilli (il
tilli è l’unità di misura di Mathlandia). Quanto vale la distanza tra
A e B espressa in tilli? [
(√
√ )]
17) AIUOLE LUNARI
Pasquale vuole realizzare un’aiuola particolare: traccia prima un rettangolo le cui diagonali
misurano 1,2m e il cui lato minore misura 0,6m; traccia poi la circonferenza in cui è
inscritto il rettangolo ed esternamente al rettangolo traccia quattro semicirconferenze che
hanno per diametri i lati del rettangolo stesso. Qual’è l’area, in m2, delle aiuole a forma di
lunula che Pasquale ha così realizzato? [
√
]
18) L’OCCHIO DEL SULTANO
Il pittore Jafar deve dipingere sull’ingresso della casa del sultano un occhio perfetto.
Traccia quindi prima un rettangolo ABB’A’, con AB=2m. Internamente al rettangolo
disegna due semicerchi T1 di diametro AB e tangente al lato A’B’ e T 2 di diametro A’B’ e
tangente ad AB. Dipinge quindi l’occhio così ottenuto, cioè l’area dell’insieme piano
racchiusa dall’intersezione dei due semicerchi T1 e T2. Calcolare tale area in m2. [
UN ULTIMO PROBLEMA DI GEOMETRIA
Ogni sera Januar scrive su una tavoletta un problema di
geometria e Neytiri incuriosita si cimenta a risolverlo. Ma quello
di questa sera è particolarmente ostico. In un quadrato ABCD di
lato a=1920 si tracciano i due archi di cerchio BD e AC di centri
rispettivamente A e B e raggio a. Detto P il punto di intersezione
di tali archi si costruisce il quadrato EFGH inscritto nel triangolo
mistilineo APB con E sull'arco AP ed F sull'arco BP. Calcola il
raggio del cerchio inscritto nel triangolo mistilineo EPF. Aiutala
tu. [234]
√
]
