La gestione tecnico attuariale delle imprese di assicurazione
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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO BICOCCA FACOLTÀ DI SCIENZE STATISTICHE Corso di laurea in Scienze Statistiche ed Economiche Corso in ECONOMIA DELLE ASSICURAZIONI Professoressa Chiara Parrini [email protected] Considerazioni generali sulle imprese di assicurazione (1/2) L’art. 1882 del Codice Civile definisce il contratto di assicurazione come “il contratto con il quale l’assicuratore, verso pagamento di un premio, si obbliga a rivalere l’assicurato, entro i limiti convenuti, del danno ad esso prodotto da un sinistro, ovvero a pagare un capitale o una rendita al verificarsi di un evento attinente alla vita umana”. Assicurazioni contro i danni Assicurazioni sulla vita Considerazioni generali sulle imprese di assicurazione (2/2) Assicurazioni contro i danni Assicurazioni sulla vita - Le prestazioni sono prevalentemente - Le prestazioni sono importi prefissati a carattere risarcitorio (o comunque determinabili in modo prefissato) - Breve durata contrattuale - Medio/lunga durata contrattuale (in genere un anno) - Ripetibilità dell’evento dannoso (ad esempio alcune fanno riferimento all’intera durata residua della vita umana) - Non ripetibilità dell’evento Le assicurazioni contro i danni (1/2) CLASSIFICAZIONE Con riferimento alle coperture che prevedono una prestazione avente carattere di risarcimento assicurazioni di danni a beni di proprietà assicurazioni di responsabilità civile (ad esempio rischio credito, furto, incendio e trasporti ) (ad esempio l’assicurazione di responsabilità civile autoveicoli) Le assicurazioni contro i danni (2/2) CLASSIFICAZIONE Nelle assicurazioni contro i danni si collocano inoltre alcune coperture riguardanti i danni alla persona Rischio infurtunio Rischio malattia Le assicurazioni contro i danni alla persona possono non avere carattere di risarcimento e prevedere, analogamente alle assicurazioni sulla vita, una prestazione di importo prefissato in conseguenza di un infortunio o di una malattia. Rami Danni in Italia (decreto legislativo 17 marzo 1995, n. 175) (1) infortuni (compresi infortuni sul lavoro e malattie professionali); (2) malattia; (3) corpi di veicoli terrestri (esclusi quelli ferroviari); (4) corpi di veicoli ferroviari; (5) corpi di veicoli aerei; (6) corpi di veicoli marittimi, lacustri e fluviali; (7) merci trasportate (compresi merci, bagagli ed ogni altro bene); (8) incendio ed elementi naturali (in particolare, i danni causati da un incendio, da un’esplosione e da una tempesta); (9) altri danni ai beni (in particolare, i danni causati dalla grandine, dal gelo e dal furto); (10) responsabilità civile autoveicoli terrestri; (11) responsabilità civile aeromobili; (12) responsabilità civile veicoli marittimi, lacustri e fluviali; (13) responsabilità civile generale; (14) credito (compresi credito all’esportazione, vendite a rate, credito agricolo e perdite patrimoniali derivanti da insolvenze); (15) cauzione (diretta o indiretta); (16) perdite pecuniarie di vario genere (in particolare, i rischi relativi all’occupazione e la perdita di fitti o di redditi); (17) tutela giudiziaria; (18) assistenza. Le assicurazioni sulla durata vita • Contratto mediante il quale l’assicurato versa, anticipatamente, uno o più premi, affinché la Compagnia di Assicurazione si impegni a pagare uno o più capitali, al verificarsi di eventi legati alla sopravvivenza o alla premorienza di un individuo o gruppo di individui. • Nella polizza si individuano: – Assicuratore: impresa (autorizzata) che si impegna ad erogare il capitale assicurato al verificarsi dell’evento/i considerati, – Contraente: soggetto che stipula il contratto e paga il premio, – Assicurato/i: testa/e a cui si riferiscono gli eventi assicurati, – Beneficiario: soggetto a cui verranno pagate le somme assicurate. Le assicurazioni sulla durata vita CLASSIFICAZIONE DEI CONTRATTI Una prima classificazione di base è prevista dal decreto legislativo 174 del 1995 il quale classifica i contratti in 6 rami: • I - Le assicurazioni sulla durata della vita umana. • II - Le assicurazioni di nuzialità, le assicurazioni di natalità. • III - Le assicurazioni di cui ai punti I e II connesse con fondi di investimento. • IV - L'assicurazione malattia di cui all'art. 1, numero 1, lettera d), della direttiva CEE n. 79/267 del 5 marzo 1979. • V - Le operazioni di capitalizzazione di cui all'art. 40 del presente decreto. • VI - Le operazioni di gestione di fondi collettivi costituiti per l'erogazione di prestazioni in caso di morte, in caso di vita o in caso di cessazione o riduzione dell'attività lavorativa. Le assicurazioni sulla durata vita I TIPI DI POLIZZA • Polizze TRADIZIONALI: Prestazioni e premi monetariamente predeterminati (livelli costanti o variabili in modo prefissato) alla stipulazione del contratto. • Polizze FLESSIBILI: non c’è predeterminazione monetaria degli importi assicurati, si fissano delle regole di determinazione degli stessi. Le assicurazioni sulla durata vita LE POLIZZE TRADIZIONALI • • • • Assicurazione di capitale in caso di vita: • Capitale differito Rendite in caso di vita: • Rendita vitalizia: – Anticipata/posticipata – Temporanea – Differita – Frazionata – Con rate in progressione aritmetica Assicurazioni di capitale in caso di morte: • Assicurazione a vita intera • Assicurazione temporanea e differita • Assicurazione di annualità Assicurazioni miste: • Mista semplice • Mista doppia • Mista a capitale raddoppiato • Semi-mista Le assicurazioni sulla durata vita LE POLIZZE FLESSIBILI (1/3) ¾ Tipi di flessibilità nelle prestazioni • Connessione ad indicatori economico-finanziari “interni” o “esterni” alla Compagnia: • Rendimento delle investimenti collegati alle riserve matematiche, • Inflazione, • Indici di borsa. • Opportunità fornita al contraente di variare le condizioni contrattuali: • Livello dei premi, • Sospensione del pagamento dei premi, • Eventuali prelevamenti di quote della riserva matematica. Le assicurazioni sulla durata vita LE POLIZZE FLESSIBILI (2/3) ¾ MOTIVAZIONI • • • • Inflazione Rendimento investimenti/tasso tecnico Partecipazione degli assicurati all’utile della Compagnia Concorrenza sul mercato finanziario ¾ ALCUNI ESEMPI Assicurazioni indicizzate: Assicurazioni rivalutabili: Garantisce la protezione totale del potere d’acquisto delle somme assicurate Viene retrocesso agli assicurati parte dell’utile finanziario della Compagnia dietro adeguamento del premio Le assicurazioni sulla durata vita LE POLIZZE FLESSIBILI (3/3) ¾ UNIT e INDEX LINKED • Forme assicurative caratterizzate da una diretta dipendenza dalle prestazioni al valore di un fondo o di un indice azionario o altro valore di riferimento. POLIZZA UNIT-LINKED POLIZZA INDEX-LINKED Le assicurazioni contro i danni Condizioni Contrattuali di Copertura (1/4) Assicurazioni di danni a beni di proprietà V: massimo danno possibile, possibile distribuzione totale del bene. V°: valore del bene all’epoca di stipulazione del contratto. > V = V° < L: massimo danno probabile (“maximum probable loss”) estremo superiore degli importi ai quali viene soggettivamente attribuita una probabilità positiva di verificarsi. L≤V Le assicurazioni contro i danni Condizioni Contrattuali di Copertura (2/4) Assicurazioni di danni a beni di proprietà Copertura totale l’assicurato decide di assicurare il bene per l’intero valore, V° la scelta è fatta dall’assicurato in base allo stato di informazione a sua disposizione all’epoca di stipulazione del contratto Copertura parziale l’assicurato decide di assicurare il bene per un valore, V', inferiore all’intero valore ad esempio il massimo danno probabile Sottoassicurazione Le assicurazioni contro i danni Condizioni Contrattuali di Copertura (3/4) Assicurazioni di responsabilità civile Non essendo specificato un bene di riferimento, non risulta individuabile un valore in grado di rappresentare il massimo danno possibile…… 1) assicurazione a garanzia illimitata risarcimento del danno senza alcuna limitazione Copertura totale del rischio 2) assicurazione con massimale di garanzia risarcimento del danno stabilito nei limiti di un importo, M, prefissato, denominato massimale di garanzia Copertura parziale del rischio Le assicurazioni contro i danni Condizioni Contrattuali di Copertura (4/4) Assicurazioni di responsabilità civile L’introduzione del massimale di garanzia (eventualmente posto eguale al massimo danno probabile) si prefigge di contenere, contenere entro un limite ragionevole, l’esposizione monetaria al rischio dell’assicuratore. Obiettivo importante per il rapporto assicurativo, in assenza di un valore rappresentativo del massimo danno possibile. Le assicurazioni contro i danni Clausole Contrattuali di Copertura FRANCHIGIA (1/2) Clausola frequentemente utilizzata sia nelle assicurazioni di danni a beni di proprietà che nelle assicurazioni di responsabilità civile • Franchigia di valore di importo f i danni di importo non superiore a f non vengano risarciti, mentre i danni di importo superiore a f, vengano risarciti: Parzialmente, per l’eccedenza rispetto ad f, FRANCHIGIA ASSOLUTA Integralmente, FRANCHIGIA RELATIVA Le assicurazioni contro i danni Clausole Contrattuali di Copertura FRANCHIGIA (2/2) • Franchigia di valore Nell’assicurazione di danni a beni di proprietà, risulta frequente esprimere la franchigia in percentuale del valore del bene assicurato (soprattutto nelle assicurazioni contro il rischio di incendio e nelle assicurazioni delle merci trasportate). • Franchigia temporale generalmente espressa in numero di giorni Una franchigia di durata t (giorni) indica il fissato numero di giorni, giorni a partire dalla data di accadimento del sinistro, durante i quali la garanzia non è operante. operante (assicurazioni contro il rischio di incendio, assicurazioni dei danni indiretti da guasti alle macchine, assicurazioni sulla salute) Le assicurazioni contro i danni Clausole Contrattuali di Copertura SCOPERTO Clausola utilizzata soprattutto nelle coperture contro il rischio di insolvenza dei crediti commerciali Viene fissata un’aliquota ξ (0 < ξ < 1) del rischio (quindi del risarcimento relativo ad un sinistro) posta a carico dell’assicurato OSSERVAZIONE: In un’assicurazione di danni a beni di proprietà, la clausola di scoperto corrisponde formalmente ad una copertura assicurativa a valore parziale. In questo caso, però, però la situazione di sottoassicurazione deriva da una decisione dell’assicuratore e non da una scelta dell’assicurato Le assicurazioni contro i danni Clausole Contrattuali di Copertura OBIETTIVI 1. L’obiettivo prioritario è ridurre il valore atteso dei risarcimenti 2. La franchigia, eliminando i piccoli sinistri (“small claims”), generalmente numerosi, è in grado di realizzare una riduzione delle spese di gestione connesse alla liquidazione dei sinistri Sostanzialmente le clausole contrattuali producono una (talvolta rilevante) diminuzione del prezzo della copertura assicurativa Le assicurazioni contro i danni Clausole Contrattuali di Copertura EFFETTO PSICOLOGICO Le clausole contrattuali corresponsabilizzano l’assicurato sollecitandolo ad adottare tutte le precauzioni possibili ai fini della prevenzione dei sinistri riducono il Fenomeno del “Moral Hazard” rischio, per l’assicuratore, di un aumento della sinistrosità derivante da un imprudente comportamento dell’assicurato. Le assicurazioni contro i danni ULTERIORI CLAUSOLE CONTRATTUALI Assicurazioni sulla salute: rischio infortunio e rischio malattia a) Periodo di carenza iniziale (“waiting period”) arco di tempo, tempo susseguente la stipula del contratto, che esclude dalla copertura assicurativa le malattie che in esso si manifestano Contiene i costi e contrasta, contrasta almeno parzialmente, gli effetti del fenomeno di “antiselezione” antiselezione b) Periodo di qualificazione (in genere breve: qualche settimana) arco di tempo, tempo a partire dal verificarsi della malattia o dall’insorgere dell’incapacità lavorativa, necessario affinché l’assicurato sia titolato a percepire il beneficio Tale periodo opera come “franchigia relativa”. Può essere incluso nel periodo di franchigia (rendite o diarie) LE ASSICURAZIONI CONTRO I DANNI La base tecnica del rischio Sinistri, danni e risarcimenti (1/2) Nel periodo di copertura, in genere un anno, il contratto di assicurazione è colpito da un numero aleatorio, N, di sinistri. Ciascun sinistro determina un danno di importo aleatorio. aleatorio Sia Zi il danno derivante dall’i-esimo (i=1,2,…) sinistro in ordine cronologico. N: variabile aleatoria che rappresenta il numero di sinistri, le cui possibili determinazioni sono i numeri naturali Zi: variabile aleatoria che rappresenta il danno relativo all’i-esimo sinistro, sinistro le cui possibili determinazioni sono i numeri reali Sinistri, danni e risarcimenti (2/2) In corrispondenza del danno Zi l’assicuratore effettua, a beneficio dell’assicurato, il pagamento dell’importo aleatorio Yi , denominato risarcimento. • Relazione tra il Danno ed il Risarcimento Yi = ϕ ( Z i ) Funzione di risarcimento: rappresentativa delle condizioni contrattuali di copertura (ovviamente 0 ≤ Yi ≤ Zi ) Funzione di risarcimento (1/6) ESEMPIO (1/6) Y=Z Funzione di risarcimento rappresentativa di una copertura che garantisce il risarcimento dell’intero importo del danno determinato da un sinistro ¾ copertura a valore intero, nel caso di un’assicurazione di danni a beni di proprietà ¾ copertura a garanzia illimitata, nel caso di un’assicurazione di responsabilità civile Funzione di risarcimento (2/6) ESEMPIO (2/6) ⎧Z Y=⎨ ⎩M se Z ≤ M o, Y = min ( Z , M ) , se Z > M equivalente mente Funzione di risarcimento rappresentativa di una copertura che garantisce il risarcimento del danno nei limiti di un importo prefissato M ¾ copertura a primo rischio assoluto, nel caso di un’assicurazione di danni a beni di proprietà ¾ copertura con massimale di garanzia, nel caso di un’assicurazione di responsabilità civile Funzione di risarcimento (3/6) ESEMPIO (3/6) ⎧ 0 Y=⎨ ⎩Z − f se Z ≤ f se Z > f o, anche Y = max (0, Z − f ) , ¾ Funzione di risarcimento rappresentativa, sia nel caso di un’assicurazione di danni a beni di proprietà sia nel caso di un’assicurazione di responsabilità civile, di una copertura con franchigia assoluta (di importo f). Funzione di risarcimento (4/6) ESEMPIO (4/6) ⎧0 Y=⎨ ⎩Z se Z ≤ f se Z > f ¾ Funzione di risarcimento rappresentativa, sia nel caso di un’assicurazione di danni a beni di proprietà sia nel caso di un’assicurazione di responsabilità civile, di una copertura con franchigia relativa (di importo f). Funzione di risarcimento (5/6) ESEMPIO (5/6) ⎧ 0 ⎪ Y = ⎨Z−f ⎪M − f ⎩ se Z ≤ f se f < Z ≤ M se Z > M o, Y = min [ max (0, Z − f ) , M − f ] , Funzione di risarcimento rappresentativa di una copertura che, in presenza di una franchigia assoluta (di importo f), garantisce il risarcimento del danno nei limiti di un importo prefissato M ¾ copertura a primo rischio assoluto con franchigia assoluta, nel caso di un’assicurazione di danni a beni di proprietà ¾ copertura con massimale di garanzia e franchigia assoluta, nel caso di un’assicurazione di responsabilità civile. Funzione di risarcimento (6/6) ESEMPIO (6/6) Y = (1 − ξ) Z , con 0 < ξ < 1 ¾ Funzione di risarcimento rappresentativa, sia nel caso di un’assicurazione di danni a beni di proprietà sia nel caso di un’assicurazione di responsabilità civile, di una copertura con scoperto (di aliquota ξ). Il risarcimento globale 0 ⎧ X=⎨ ⎩Y1 + Y2 + ⋅ ⋅ ⋅ + YN se N = 0 se N ≥ 1 o, anche, X= N ∑ Yi , i=0 dove Y0 è l’importo certo nullo. X: variabile aleatoria che rappresenta il risarcimento globale, le cui possibili determinazioni sono i numeri reali non negativi. 9 NOTA: Si evidenzia che è trascurata la componente finanziaria relativa alla diversa collocazione temporale dei sinistri e dei conseguenti risarcimenti posti a carico dell’assicuratore. Ciò si giustifica con l’usuale brevità del periodo di copertura. copertura La Base Tecnica del Rischio (1/7) IPOTESI (1/3) Si consideri un portafoglio di contratti di assicurazione riferiti ad un medesimo tipo di rischio IPOTESI: IPOTESI 1. I contratti siano tutti contemporaneamente stipulati 2. I contratti siano contraddistinti da un eguale periodo di copertura 3. Il portafoglio sia composto da rischi analoghi, analoghi con riferimento: 1) alle caratteristiche del rischio adeguatamente valutabili, all’epoca di stipulazione del contratto, da parte dell’assicuratore; 2) alle condizioni contrattuali di copertura 3) ai valori monetari di esposizione al rischio (ad esempio i valori dei beni assicurati o i massimali di garanzia) La Base Tecnica del Rischio (2/7) IPOTESI (2/3) In tali ipotesi i rischi del portafoglio sono tra loro : -qualitativamente e quantitativamente omogenei rispetto ai suddetti elementi ; -eterogenei rispetto ad eventuali caratteristiche non adeguatamente valutabili all’epoca di stipulazione del contratto (ad esempio, nell’assicurazione di responsabilità civile autoveicoli: il comportamento alla guida, la conoscenza del codice, i chilometri annui percorsi,…..) La Base Tecnica del Rischio (3/7) IPOTESI (3/3) Si scelga a caso un rischio nel portafoglio e sia X= N ∑ Yi , i=0 il risarcimento globale a carico dell'assicuratore, con Yi = φ(Zi). ULTERIORI IPOTESI (semplificatrici della realtà): 1. il numero di sinistri, N, e il danno Zi (e quindi, il risarcimento Yi) relativo all’i-esimo (i=0,1,…; Z0≡0) sinistro, in ordine cronologico, siano tra loro indipendenti; 2. per ogni determinazione k (k ≠ 0) della v.a. N, i danni Z1, Z2, …, Zk (e quindi, i risarcimenti Y1,Y2,…,Yk) siano tra loro indipendenti ed identicamente distribuiti La Base Tecnica del Rischio (4/7) FUNZIONE DI RIPARTIZIONE DEL RISARCIMENTO GLOBALE Indicato con: - FZ (rispettivamente, FY) la funzione di ripartizione del danno Z (rispettivamente, del risarcimento Y) - FN la funzione di ripartizione del numero di sinistri N funzione di ripartizione del risarcimento globale +∞ FX ( x ) = ∑ pk FYk * ( x ) , per ogni x ≥ 0 k =0 pk = Pr{N = k} ⎧k ⎫ F ( x ) = Pr ⎨∑ Yi ≤ x ⎬ ⎩ i =0 ⎭ k* Y La Base Tecnica del Rischio (5/7) CONVOLUZIONE • Convoluzione k-esima di FY k ⎧ ⎫ FYk * ( x ) = Pr ⎨∑ Yi ≤ x ⎬ , ⎩ i =0 ⎭ con FY0* = 1 per ogni x ≥ 0 è la funzione di ripartizione della somma di k importi aleatori non negativi, indipendenti e identicamente distribuiti La Base Tecnica del Rischio (6/7) La Base Tecnica del Rischio è la distribuzione di probabilità del risarcimento globale X Le distribuzioni di probabilità del numero di sinistri N e del danno Z costituiscono la base tecnica del rischio. La Base Tecnica del Rischio (7/7) FUNZIONE DI RIPARTIZIONE DEL RISARCIMENTO In forza della relazione esistente tra danno e risarcimento, la funzione di ripartizione FY (quindi, la FYk* per k ≥ 1) è costruita a partire: dalla funzione di ripartizione del danno, FZ dalla funzione di risarcimento, φ LE ASSICURAZIONI CONTRO I DANNI I modelli probabilistici per le variabili aleatorie La distribuzione di probabilità del numero di sinistri N: variabile aleatoria che rappresenta il numero di sinistri, le cui possibili determinazioni sono i numeri naturali Individuare i modelli probabilistici più adeguati per descrivere la distribuzione di probabilità del numero di sinistri N N è rappresentata da una distribuzione di probabilità discreta {k, pk ; k = 0,1,2,…} possibili determinazioni probabilità La distribuzione del numero di sinistri MODELLI PROBABILISTICI Modelli più frequentemente adottati (1) distribuzione di Poisson; (2) distribuzione di Poisson doppia; (3) distribuzione mistura finita di Poisson; (4) distribuzione binomiale negativa; (5) distribuzione mistura di Poisson: a) modello Poisson-gamma b) modello Poisson-gaussiana inversa La distribuzione del numero di sinistri MODELLI PROBABILISTICI • Distribuzione di Poisson di parametro positivo λ pk = e − λ λk k! Propensione al sinistro: numero atteso di sinistri che colpiscono il rischio nel periodo di copertura PROPRIETÀ della distribuzione di Poisson la distribuzione di Poisson soddisfa la formula ricorrente ⎛λ ⎞ pk = ⎜ ⎟ pk −1 , ⎝k⎠ k = 1, 2, ... , con p0 = e-λ La distribuzione del numero di sinistri MODELLI PROBABILISTICI INCONVENIENTE della distribuzione di Poisson E(N) = var(N) = λ Mentre le usuali evidenze empiriche mostrano varianza più elevata del valor medio DISTRIBUZIONE DI POISSON DOPPIA La distribuzione del numero di sinistri MODELLI PROBABILISTICI • Distribuzione di Poisson doppia di parametri positivi ε, λ1 e λ2 , con 0 < ε < 1 ⎛ − λ λk2 ⎞ ⎛ − λ λk1 ⎞ ⎟ . ⎟ + (1 − ε) ⎜ e 2 p k = ε ⎜⎜ e 1 ⎟ ⎜ ⎟ k ! k ! ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Combinazione lineare di 2 variabili di Poisson PROPRIETÀ: Valore atteso e Varianza E(N) = ε λ1 + (1-ε) λ2 var(N) = ε λ1 + (1-ε) λ2 + ε (1-ε) (λ1 + λ2)2 E(N) Componente positiva che fa risultare la varianza superiore alla media La distribuzione del numero di sinistri MODELLI PROBABILISTICI La distribuzione di Poisson doppia è adatta a rappresentare il numero di sinistri nell’ipotesi che il portafoglio sia costituito da rischi caratterizzati da 2 diverse propensione al sinistro ESEMPIO Portafoglio costituito: - da una percentuale ε di rischi “buoni” (vale a dire, con propensione al sinistro λ1) - da una percentuale 1-ε di rischi “cattivi” (con propensione al sinistro λ2, essendo λ2 > λ1). Dove la differenza tra i primi ed i secondi è dovuta ad alcune caratteristiche del rischio non adeguatamente valutabili all’epoca di stipulazione dei contratti. La distribuzione del numero di sinistri MODELLI PROBABILISTICI • Distribuzione mistura finita di Poisson di parametri positivi εj e λj (j=1,2,…,m), con ∑ j ε j = 1. Generalizziamo il ragionamento precedente considerando una “mistura” di m distribuzioni poissoniane, poissoniane con m numero intero non inferiore a due ⎛ −λ1 λ1k ⎞ ⎟⎟ + ... + ε m pk = ε1 ⎜⎜ e k! ⎠ ⎝ ⎛ −λm λkm ⎞ ⎜⎜ e ⎟⎟ k! ⎠ ⎝ MEDIA E VARIANZA m E( N) = ∑ ε j λ j j=1 ; ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ var(N) = ∑ ε j λ j + ∏ ε j ∑ λ j ⎟ ⎜ j=1 ⎟ ⎜ j=1 ⎟ j=1 ⎠ ⎝ ⎠⎝ m m m 2 Componente aggiuntiva . La distribuzione del numero di sinistri MODELLI PROBABILISTICI • Distribuzione Binomiale Negativa di parametri positivi r e q, con 0 < q < 1 ⎛ r + k − 1⎞ r p k = ⎜⎜ ⎟⎟ q (1 − q) k , ⎝ k ⎠ ⎛ r + k − 1⎞ (r ) k ⎟⎟ = , con (r)k = r(r+1)…(r+k-1) e, in particolare, (r)0 = 1 k! ⎝ k ⎠ dove è ⎜⎜ PROPRIETÀ della distribuzione di Poisson la distribuzione Binomiale Negativa soddisfa la formula ricorrente ⎡ (1 − q )(r + k − 1) ⎤ p k −1 , pk = ⎢ ⎥ k ⎦ ⎣ k = 1, 2, ... , con p0 = qr La distribuzione del numero di sinistri MODELLI PROBABILISTICI • Distribuzione Binomiale Negativa MEDIA E VARIANZA r (1 − q) E( N) = , q var( N) = var(N) > E(N) (Ricordiamo che 0 < q < 1) r (1 − q ) q 2 . La distribuzione del numero di sinistri MODELLI PROBABILISTICI • Distribuzione mistura di Poisson di parametro aleatorio positivo Λ pk = +∞ ∫ p k (λ) dFΛ (λ ) , 0 p k (λ ) = Pr{N = k | Λ = λ} = e − λ k λ , k! Funzione peso (della mistura) funzione di ripartizione FΛ del parametro Λ, con FΛ(0) = 0 Λ : variabile aleatoria che rappresenta la diversa propensione dei rischi presenti nel portafoglio assicurativo FΛ si prefigge di descrivere l’eterogeneità dei rischi del portafoglio attribuibile ad alcune caratteristiche non adeguatamente valutabili all’epoca di stipulazione del contratto La distribuzione del numero di sinistri MODELLI PROBABILISTICI • Distribuzione mistura di Poisson 9 OSSERVAZIONE: OSSERVAZIONE rappresenta l’estensione, estensione al caso continuo, continuo della mistura finita di Poisson. Poisson MEDIA E VARIANZA E(N) = E[E(N|Λ)] = E(Λ) var(N) = E(Λ) + var(Λ) var(N) > E(N) e la differenza è data da var(Λ), aspetto positivo per il modello La distribuzione del numero di sinistri MODELLI PROBABILISTICI • Distribuzione mistura di Poisson ¾ Scelta delle Funzione Peso: MODELLO POISSON-GAMMA Se il parametro Λ è rappresentato da una distribuzione gamma di parametri positivi α e β, con densità (per λ > 0): βα α −1 −β λ f Λ (λ ) = λ e , Γ (α ) Funzione gamma +∞ Γ( u ) = ∫ x u −1 e − x dx 0 integrale finito per u > 0 La distribuzione del numero di sinistri MODELLI PROBABILISTICI MODELLO POISSON-GAMMA βα + ∞ α + k −1 − (β +1)λ pk = e dλ λ ∫ Γ(α) k! 0 α ⎛ α + k − 1⎞ ⎛ β ⎞ ⎛ 1 ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ k ⎝ ⎠ ⎝ β + 1⎠ ⎝ β + 1⎠ k . equivale ad assumere che il numero di sinistri, N, abbia distribuzione binomiale negativa β di parametri r e q, con r = α e q = β +1 La distribuzione del numero di sinistri MODELLI PROBABILISTICI MODELLO POISSON-GAMMA 9 OSSERVAZIONE Differenza tra il Modello Poisson-gamma e la distribuzione Binomiale Negativa: nel modello Poisson-gamma il numero dei sinistri (aleatorio) è rappresentato da un parametro aleatorio in grado di dare maggiore flessibilità (possibilità di scelta dei parametri della funzione peso) MEDIA E VARIANZA E(N ) = α , β var( N ) = α ( β + 1) . 2 β La distribuzione del numero di sinistri MODELLI PROBABILISTICI • Distribuzione mistura di Poisson ¾ Scelta delle Funzione Peso: MODELLO POISSON-GAUSSIANA INVERSA Se il parametro Λ è rappresentato da una distribuzione gaussiana inversa di parametri positivi ν e ς, con densità (per λ > 0): f Λ (λ ) = ν 2πζλ3 e (λ − ν ) 2 − 2ζλ . La distribuzione del numero di sinistri MODELLI PROBABILISTICI MODELLO POISSON-GAUSSIANA INVERSA pk = p0 k k −1 ν k! ∑ j= 0 (k − 1 + j)! ⎛ ζ ⎞ ⎜ ⎟ (k − 1 − j)! j! ⎝ 2ν ⎠ per k=1,2,… con p0 = e ν (1− 1+ 2ζ ) ζ . j k+ j − (1 + 2ζ ) 2 , La distribuzione del numero di sinistri MODELLI PROBABILISTICI MODELLO POISSON-GAUSSIANA INVERSA • PROPRIETÀ La distribuzione Poisson-gaussiana inversa soddisfa (per k = 2,3,…) la formula ricorrente ς(2k − 3) ν2 pk = p k −1 + pk −2 , (1 + 2ς)(k − 1) (1 + 2ς)k ( k − 1) con p1 = p 0 ν 1 + 2ς La distribuzione del numero di sinistri MODELLI PROBABILISTICI MODELLO POISSON-GAUSSIANA INVERSA MEDIA E VARIANZA E(N) = ν var(N) = ν (1+ς) . var(N) > E(N) La distribuzione del numero di sinistri ASIMMETRIE DELLE DISTRIBUZIONI • Coefficiente di asimmetria E[( N − E ( N )) 3 ] γ (N ) = [var( N )] 3 / 2 Le distribuzioni del numero di sinistri osservate in pratica, seppur con differenze non trascurabili tra i vari rami danni, sono tipicamente caratterizzate da asimmetria positiva. I modelli presi in considerazione per descrivere la distribuzione del numero di sinistri presentano un coefficiente di asimmetria positivo per qualunque valore possa essere assunto dai parametri del modello La distribuzione del numero di sinistri ASIMMETRIE A CONFRONTO • Coefficienti di asimmetria a confronto ¾ ¾ 1 γ ( N) = λ γ (N ) = distribuzione di Poisson 2−q distribuzione Binomiale negativa r (1 − q) ψ (σ 2 − μ ) 2 ⎤ 1 ⎡ 2 ¾ γ ( N) = 3 ⎢3σ − 2μ + ⎥, μ σ ⎣ ⎦ distribuzione Mistura di Poisson - con μ = E(N), σ = [var(N)]½ ; - mentre la costante reale ψ dipende dalla distribuzione del parametro Λ La distribuzione del numero di sinistri ASIMMETRIE A CONFRONTO • Coefficienti di asimmetria a confronto ψ (σ 2 − μ ) 2 ⎤ 1 ⎡ 2 ¾ γ ( N) = 3 ⎢3σ − 2μ + ⎥, μ σ ⎣ ⎦ con μ = E(N), σ = [var(N)]½ e distribuzione Mistura di Poisson ψ=2 ψ=3 MODELLO POISSON-GAMMA MODELLO POISSON-GAUSSIANA INVERSA La distribuzione del numero di sinistri ASIMMETRIE A CONFRONTO Il modello Poisson-gaussiana inversa presenta (a parità di valore atteso e di varianza) una maggiore asimmetria (positiva) rispetto al modello Poisson-gamma. Il modello Poisson-gaussiana inversa realizza frequentemente un migliore adattamento ai dati osservati La distribuzione di probabilità del danno Zi: variabile aleatoria che rappresenta il danno relativo all’i-esimo sinistro, sinistro le cui possibili determinazioni sono i numeri reali Individuare i modelli probabilistici più adeguati per descrivere la distribuzione di probabilità del danno Z IPOTESI: Z è rappresentata da una distribuzione di probabilità continua e dotata di densità fZ(x) continua per ogni x > 0 La distribuzione del danno MODELLI PROBABILISTICI Modelli più frequentemente adottati (1) distribuzione Esponenziale; (2) distribuzione di Weibull; (3) distribuzione Gamma; (4) distribuzione Lognormale; (5) distribuzione di Pareto: (6) distribuzione mistura di Esponenziali a) modello Esponenziale-gamma La distribuzione del danno • DISTRIBUZIONE ESPONENZIALE di parametro positivo v f Z ( x) = v e − vx Reciproco del danno atteso relativo a un sinistro che colpisce il contratto nel periodo di copertura MEDIA E VARIANZA 1 E(Z ) = v 1 var( Z ) = 2 v La distribuzione del danno DISTRIBUZIONE ESPONENZIALE PROPRIETÀ della distribuzione Esponenziale Proprietà di mancanza di memoria: se Z ha distribuzione esponenziale di parametro v anche (Z – c) | Z > c ha distribuzione esponenziale di parametro v 9 OSSERVAZIONE: La proprietà di mancanza di memoria risulta utile in coperture assicurative caratterizzate dalla presenza di una franchigia assoluta La distribuzione del danno • DISTRIBUZIONE DI WEIBULL di parametri positivi v e δ f Z ( x) = v δ x δ −1 e − vx δ 9 OSS: Posto δ = 1 si ha la distribuzione esponenziale di parametro v MEDIA E VARIANZA 1/ δ ⎛1⎞ E(Z ) = ⎜ ⎟ ⎝v⎠ 1/ δ ⎛1⎞ var( Z ) = ⎜ ⎟ ⎝v⎠ 1⎞ ⎛ Γ⎜1 + ⎟ ⎝ δ⎠ 2 ⎧⎪ ⎛ 2⎞ ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎫⎪ ⎨ Γ⎜ 1 + ⎟ − ⎢ Γ⎜ 1 + ⎟⎥ ⎬ ⎪⎩ ⎝ δ ⎠ ⎣ ⎝ δ ⎠⎦ ⎪⎭ La distribuzione del danno • DISTRIBUZIONE GAMMA di parametri positivi α e v vα f Z ( x) = xα −1 e −vx Γ(α ) 9 OSS: Posto α = 1 si ha la distribuzione esponenziale di parametro v MEDIA E VARIANZA E(Z ) = α v α var( Z ) = 2 v La distribuzione del danno • DISTRIBUZIONE LOGNORMALE di parametri μ e σ, con σ > 0 f Z ( x) = 1 2π σ x e (log x − μ ) 2 − 2σ 2 MEDIA E VARIANZA E(Z ) = e μ+ σ2 2 ( var( Z ) = e 2 μ +σ 2 )(e ) σ 2 −1 La distribuzione del danno LA DISTRIBUZIONE LOGNORMALE 9 OSSERVAZIONE In base al teorema centrale del limite, la distribuzione lognormale è adatta a rappresentare il danno nell’ipotesi (poco realistica) che esso sia generato da un numero sufficientemente grande di caratteristiche del rischio: - indipendenti, - identicamente distribuite - operanti in senso moltiplicativo La distribuzione del danno • DISTRIBUZIONE DI PARETO di parametri positivi η e θ f Z ( x) = ηθ η (θ + x )η +1 MEDIA E VARIANZA E(Z ) = var( Z ) = θ η −1 ηθ , 2 (η − 1) (η − 2) 2 se η > 1 , se η > 2 La distribuzione del danno LA DISTRIBUZIONE DI PARETO PROPRIETÀ della distribuzione di Pareto se Z ha distribuzione di Pareto di parametri η e θ (Z – c) | Z > c ha distribuzione di Pareto di parametri η e θ + c 9 OSSERVAZIONE: Ancora una volta (analogamente al caso della distribuzione Esponenziale), è evidente l’utilità di tale proprietà in coperture assicurative caratterizzate dalla presenza di una franchigia assoluta La distribuzione del danno • DISTRIBUZIONE MISTURA DI ESPONENZIALI di parametro aleatorio positivo V +∞ f Z ( x) = ∫ f Z |V ( x | v ) dFV ( v ) 0 f Z |V ( x | v ) = v e − vx Funzione peso (della mistura) funzione di ripartizione FV del parametro V, con FV (0) = 0 La distribuzione del danno MISTURA DI ESPONENZIALI (1/5) V : variabile aleatoria che rappresenta il reciproco del danno atteso relativo a un sinistro che colpisce il contratto nel periodo di copertura FV (funzione peso) si prefigge di descrivere l’eterogeneità dei rischi del portafoglio relativa all’importo dei sinistri ed attribuibile ad alcune caratteristiche del rischio non adeguatamente valutabili all’epoca di stipulazione del contratto La distribuzione del danno MISTURA DI ESPONENZIALI (2/5) MEDIA E VARIANZA ⎛1⎞ E ( Z ) = E[ E ( Z | V )] = E ⎜ ⎟ ⎝V ⎠ ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎛ 1 ⎞ var( Z ) = 2 E ⎜ 2 ⎟ − E ⎢ E ⎜ ⎟⎥ ⎝V ⎠ ⎣ ⎝ V ⎠⎦ 2 Forte dipendenza dalla scelta della distribuzione che rappresenta la variabile aleatoria relativa al parametro V La distribuzione del danno MISTURA DI ESPONENZIALI (3/5) ¾ Scelta delle Funzione Peso: Se il parametro V è rappresentato da una distribuzione gamma di parametri positivi α e β, con densità (per λ > 0): βα α −1 −β λ f Λ (λ ) = λ e , Γ (α ) Funzione gamma +∞ Γ( u ) = ∫ x u −1 e − x dx 0 integrale finito per u > 0 MODELLO ESPONENZIALE-GAMMA La distribuzione del danno MISTURA DI ESPONENZIALI (4/5) MODELLO ESPONENZIALE-GAMMA βα f Z (x) = Γ (α ) = +∞ ∫ v α e − ( x + β) v dv 0 α αβ (β + x ) α +1 . equivale ad assumere che il danno abbia distribuzione di Pareto di parametri η e θ, con η = α e θ = β La distribuzione del danno MISTURA DI ESPONENZIALI (5/5) MODELLO ESPONENZIALE-GAMMA MEDIA E VARIANZA E(Z ) = β α −1 , se α > 1 αβ 2 var( Z ) = , 2 (α − 1) (α − 2) se α > 2 La distribuzione del danno ASIMMETRIE DELLE DISTRIBUZIONI • Coefficiente di asimmetria E[( Z − E ( Z )) 3 ] γ (Z ) = [var(Z )] 3 / 2 Le distribuzioni del danno osservato , seppur con differenze non trascurabili tra i vari rami danni, sono tipicamente caratterizzate da asimmetria positiva. I modelli presi in considerazione per la distribuzione del danno, (ad eccezione della distribuzione di Weibull: coefficiente di asimmetria positivo solo per valori di v inferiori a v* ≈ 3,6 ) presentano un coefficiente di asimmetria positivo per qualunque valore possa essere assunto dai parametri La distribuzione del danno ASIMMETRIE A CONFRONTO • Coefficienti di asimmetria a confronto ¾ γ(Z) = 2 2 ¾ γ ( Z) = α distribuzione Esponenziale distribuzione Gamma σ2 +2 ⎞ σ2 ⎛ ⎟ e −1 ¾ γ ( Z) = ⎜ e ⎝ ⎠ ¾ 2 η − 2 (η + 1) γ ( Z) = η (η − 3) distribuzione Lognormale se η>3, distribuzione di Pareto 2 α − 2 (α + 1) γ ( Z) = se α >3, α (α − 3) modello Esponenziale-gamma La distribuzione del danno CODA (DESTRA) DELLA DISTRIBUZIONE (1/3) • Probabilità relativa all’evento {Z > x}, per ogni x > 0 FZ ( x ) = 1 − FZ ( x ) DISTRIBUZIONI a CODA LEGGERA (“light tail”) (ad esempio quelle riguardanti varie coperture per il rischio infortunio o malattia) a CODA PESANTE (“heavy tail”) (ad esempio quelle riguardanti le coperture del ramo responsabilità civile aeromobili) La distribuzione del danno CODA (DESTRA) DELLA DISTRIBUZIONE (2/3) • Code delle distribuzioni: − vx F ( x ) = e ¾ Z ¾ FZ ( x ) = e ¾ distribuzione Esponenziale − vx δ ⎛ θ ⎞ FZ ( x ) = ⎜ ⎟ ⎝θ+ x⎠ distribuzione di Weibull η distribuzione di Pareto 9 OSSERVAZIONE: In genere la distribuzione esponenziale è adottata come “benchmark” ai fini della classificazione delle distribuzioni del danno in distribuzioni con coda leggera e distribuzioni con coda pesante. La distribuzione del danno CODA (DESTRA) DELLA DISTRIBUZIONE (3/3) • Confronto tra distribuzioni la distribuzione esponenziale ha e − vx una coda meno pesante lim = 0 η x → +∞ rispetto alla distribuzione ⎛ θ ⎞ ⎟ ⎜ di Pareto ⎝θ + x ⎠ (la coda dell’esponenziale tende più rapidamente a 0) ¾ La coda della distribuzione di Weibull risulta: - compresa tra le altre due per 0 < δ < 1 - addirittura più leggera della coda della distribuzione esponenziale per δ > 1 ¾ La distribuzione Gamma presenta una coda leggera ¾ La distribuzione Lognormale presenta una coda pesante La distribuzione del danno ANALISI DEI GRANDI SINISTRI (1/3) • Grandi Sinistri (“Large Claims”): sinistri caratterizzati da un danno ben più elevato rispetto ai restanti sinistri osservati. Carenza di dati statistici Effetti negativi (per l’assicuratore) Utilizzare una base statistica riferita ad un più ampio orizzonte temporale • Reale praticabilità • Soddisfazione nei risultati derivanti da un’eventuale sottovalutazione La distribuzione del danno ANALISI DEI GRANDI SINISTRI (2/3) Risulta opportuno adottare MISURE PRUDENZIALI ¾ In particolare adottare un modello probabilistico caratterizzato da una coda sufficientemente pesante 9 La distribuzione di Pareto è particolarmente adatta a tale scopo: essa consente anche di ottenere un’espressione analiticamente semplice per la probabilità FZ La distribuzione del danno ANALISI DEI GRANDI SINISTRI (3/3) ¾ È possibile generalizzare la distribuzione di Pareto DISTRIBUZIONE DI BURR Z=H distribuzione di Burr di parametri η, θ e d con densità η d θ η x d −1 f Z ( x) = (θ + x d )η +1 1/ d d>0 distribuzione di Pareto di parametri η e θ La distribuzione del danno DISTRIBUZIONE DI BURR (1/2) MEDIA E VARIANZA θ E(Z ) = var( Z ) = 1/ d 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ Γ⎜η − ⎟ Γ⎜1 + ⎟ d⎠ ⎝ d⎠ ⎝ , Γ(η ) 2 2 θ 2 / d Γ⎛⎜η − ⎞⎟ Γ⎛⎜1 + ⎞⎟ ⎝ d⎠ ⎝ Γ(η ) d⎠ se dη > 1 − 2 1⎞ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎡ 1/ d ⎛ ⎢θ Γ⎜η − d ⎟ Γ⎜1 + d ⎟ ⎥ ⎠⎥ , ⎠ ⎝ ⎝ ⎢ Γ(η ) ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ se dη > 2 La distribuzione del danno DISTRIBUZIONE DI BURR (2/2) CODA DELLA DISTRIBUZIONE θ η ⎛ ⎞ FZ ( x ) = ⎜ d ⎟ ⎝θ + x ⎠ ¾ Rispetto alla coda della distribuzione di Pareto, la coda della distribuzione di Burr risulta: - più pesante per 0 < d < 1 CASO DI INTERESSE (utilmente impiegabile ai fini della descrizione del danno, ad esempio, nelle assicurazioni di responsabilità civile aeromobili) - più leggera per d > 1 Distribuzioni normalizzate (1/2) • Nelle applicazioni assicurative le determinazioni relative alle distribuzioni di probabilità sia del numero di sinistri che del danno sono di norma contenute in un intervallo limitato I ¾ N: NUMERO DI SINISTRI Intervallo di riferimento I={0,1,…,nmax} massimo numero di sinistri probabile: massimo numero di sinistri al quale viene soggettivamente attribuita una probabilità positiva di accadimento ¾ Z: DANNO Intervallo di riferimento I=(0,zmax) - valore del bene nel caso di un’assicurazione a beni di proprietà; - massimo danno probabile nel caso di un’assicurazione di responsabilità civile. Distribuzioni normalizzate (2/2) Per descrivere la base tecnica del rischio vanno considerate le distribuzioni (sia del danno che del numero dei sinistri) condizionate all'ipotesi di appartenenza ai relativi intervalli di riferimento. ¾ N: NUMERO DI SINISTRI a partire dalla probabilità, pk pk Pr{N = k | N ∈ I } = , pi ∑ i∈I ¾ Z: DANNO k∈I a partire dalla densità, fZ f Z |Z∈I ( x ) = ∫ I f Z ( x) , f Z ( x ) dx x∈I La distribuzione di probabilità del risarcimento (1/5) Yi: variabile aleatoria che rappresenta il risarcimento relativo all’i-esimo sinistro. sinistro ¾ La distribuzione di probabilità del risarcimento è ottenibile a partire dalla distribuzione di probabilità del danno tenuto anche conto delle condizioni contrattuali di copertura riassunte dalla funzione di risarcimento, φ (che individua la relazione tra danno e risarcimento) Ad esempio la distribuzione del risarcimento può essere ottenuta mediante TRONCAMENTO (metodologia tipica in presenza di una limitazione superiore al risarcimento del danno) La distribuzione di probabilità del risarcimento (2/5) ESEMPIO di DISTRIBUZIONE TRONCATA ¾ Copertura di responsabilità civile con massimale di garanzia (di importo M) Risarcimento: Y = min (Z, M) Funzione di ripartizione del risarcimento: ⎧ FZ ( x ) FY ( x ) = ⎨ ⎩ 1 se x < M se x ≥ M viene concentrata in M tutta la restante massa di probabilità 9 Tale funzione di ripartizione è valida anche nel caso di una copertura a primo rischio assoluto La distribuzione di probabilità del risarcimento (3/5) ¾ Copertura con franchigia assoluta (di importo f) Risarcimento: Y = max (0, Z - f) Funzione di ripartizione del risarcimento: FY ( x ) = FZ ( x + f ) ¾ Copertura con franchigia relativa (di importo f) Risarcimento: ⎧0 Y=⎨ ⎩Z se Z ≤ f se Z > f Funzione di ripartizione del risarcimento: ⎧ FZ (f ) FY ( x ) = ⎨ ⎩ FZ ( x ) se x < f se x ≥ f La distribuzione di probabilità del risarcimento (4/5) ¾ Copertura di responsabilità civile con massimale di garanzia e franchigia assoluta (rispettivamente, di importo M e f) Risarcimento: Y = min [ max (0, Z - f), M - f] Funzione di ripartizione del risarcimento: ⎧ FZ ( x + f ) FY ( x ) = ⎨ 1 ⎩ se x < M − f se x ≥ M − f La distribuzione di probabilità del risarcimento (5/5) ¾ Copertura con scoperto (di aliquota ξ) Risarcimento: Y = (1 - ξ) Z Funzione di ripartizione del risarcimento: ⎛ x ⎞ FY ( x ) = FZ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝1− ξ ⎠ 9 OSSERVAZIONE: In conclusione, si osserva come ai fini dei calcoli (relativi ad ogni tipo di copertura assicurativa) è sufficiente esprimere la variabile aleatoria risarcimento in funzione della variabile aleatoria danno seguendo la relazione esistente tra le due entità. La distribuzione di probabilità del risarcimento globale (1/2) X: variabile aleatoria che rappresenta il risarcimento globale. Ricavare i modelli probabilistici più frequentemente adottati per descrivere la distribuzione di probabilità del risarcimento globale X sulla base delle scelte effettuate con riferimento alle variabili aleatorie numero di sinistri e danno (risarcimento) IPOTESI: La funzione di ripartizione di X è definita, per ogni x ≥ 0, da: +∞ FX ( x ) = ∑ pk FYk * ( x ) , con FX(0) = p0 se è Y = Z k =0 La distribuzione di probabilità del risarcimento globale (2/2) Se il risarcimento Y ha distribuzione esponenziale di parametro v • Convoluzione k-esima: k −1 F ( x) = 1 − ∑ k* Y i =0 (vx )i e − vx i! • Funzione di ripartizione del risarcimento globale: ⎡ k −1 ( vx)i e − vx ⎤ FX ( x ) = p 0 + ∑ p k ⎢1 − ∑ ⎥ i ! k =1 ⎦ ⎣ i =0 +∞ = 1− +∞ k −1 k =1 i =0 ∑ pk ∑ ( vx )i e − vx . i! La distribuzione del risarcimento globale MODELLI PROBABILISTICI Modelli più frequentemente adottati (1) distribuzione di Poisson composta; (2) distribuzione Binomiale negativa composta; (3) distribuzione mistura di Poisson composta; La distribuzione del risarcimento globale • DISTRIBUZIONE DI POISSON COMPOSTA ¾ Il numero di sinistri N ha distribuzione di Poisson di parametro λ Distribuzione di N (Poisson) +∞ FX ( x ) = ∑ e −λ k =0 λk k! FYk * ( x ) Distribuzione di Poisson composta di parametri λ e FY La distribuzione del risarcimento globale DISTRIBUZIONE DI POISSON COMPOSTA (1/3) • ESEMPIO Nel caso in cui risarcimento Y ha distribuzione esponenziale di parametro v FX ( x ) = 1 − e −( λ + vx ) +∞ ∑ k =1 λk k! k −1 ∑ i =0 ( vx )i i! La distribuzione del risarcimento globale DISTRIBUZIONE DI POISSON COMPOSTA (2/3) • PROPRIETÀ Se X1, X2, …, XS sono S v.a. indipendenti e X h = ∑iN=h0 Yi, h (h=1,2,…,S) ha distribuzione di Poisson composta di parametri λh e FY h X TOT = S ∑ Xh h =1 ha distribuzione di Poisson composta di parametri λ e FY , con S λ = ∑ λh h =1 S FY ( x ) = ∑ h =1 ⎛ λh ⎞ ⎜ ⎟ FYh ( x ) ⎝λ⎠ La distribuzione del risarcimento globale DISTRIBUZIONE DI POISSON COMPOSTA (3/3) 9 OSSERVAZIONE: Se X1, X2, …, XS sono anche identicamente distribuite con distribuzione di Poisson composta di parametri λ e FY, allora i parametri di XTOT sono rispettivamente λ = Sλ e F Y = FY La distribuzione del risarcimento globale • DISTRIBUZIONE BINOMIALE NEGATIVA COMPOSTA ¾ Il numero di sinistri N ha distribuzione Binomiale negativa di parametri r e q Distribuzione di N (Binomiale negativa) +∞ FX ( x ) = ∑ k =0 ( r )k r q (1 − q)k FYk * ( x ) k! Distribuzione Binomiale negativa composta di parametri r, q e FY La distribuzione del risarcimento globale DISTRIBUZIONE BINOMIALE NEGATIVA COMPOSTA • PROPRIETÀ Se X1, X2, …, XS sono S v.a. - indipendenti - identicamente distribuite con distribuzione binomiale negativa composta di parametri r, q e FY X TOT = S ∑ Xh h =1 ha distribuzione Binomiale negativa composta di parametri Sr, q e FY La distribuzione del risarcimento globale • DISTRIBUZIONE MISTURA DI POISSON COMPOSTA ¾ Il numero di sinistri N ha distribuzione mistura di Poisson di parametro aleatorio Λ Distribuzione di N (Mistura di Poisson) ⎞ k* ⎛ +∞ −λ λk FX ( x ) = ∑ ⎜⎜ ∫ e dFΛ (λ ) ⎟⎟ FY ( x ) k! k =0 ⎝ 0 ⎠ +∞ Distribuzione mistura di Poisson composta di parametri Λ e FY Calcolo dei principali momenti del risarcimento globale (1/13) ¾ Le principali valutazioni attuariali (calcolo del premio, valutazione delle riserve tecniche, …) di norma richiedono la conoscenza di almeno i primi due momenti del risarcimento globale X • Nelle ipotesi classiche della teoria del rischio (indipendenza tra numero di sinistri e danni, risarcimenti indipendenti ed identicamente distribuiti) VALORE ATTESO E ( X ) = E [ E ( X | N )] = E ( N ) E (Y ) Fattorizzazione del valore atteso nel numero di sinistri e nel risarcimento Calcolo dei principali momenti del risarcimento globale (2/13) MOMENTO SECONDO E ( X 2 ) = E ( N ) var(Y ) + E ( N 2 ) [ E (Y )]2 VARIANZA var( X ) = E ( N ) var(Y ) + var( N ) [ E (Y )] 2 Calcolo dei principali momenti del risarcimento globale (3/13) MOMENTI DI ORDINE SUPERIORE AL SECONDO • Funzione generatrice dei momenti M X (τ ) = E ( eτX ) = +∞ ∫ eτx dFX ( x ) , −∞ posto che il valore atteso esista finito in un intorno dell'origine (vale a dire, per |τ| ≤ τ0) • Il momento r-esimo (r = 1,2,…) di X dr μr ( X ) = M X (τ ) r dτ τ =0 Ricordiamo che μr(X) = E(Xr) Calcolo dei principali momenti del risarcimento globale (4/13) FUNZIONE GENERATRICE DEI MOMENTI • Nelle date ipotesi probabilistiche M X (τ ) = E [ E ( eτX | N )] = E [( M Y (τ )) N ] = M N [log M Y (τ )] funzione generatrice dei momenti del numero di sinistri funzione generatrice dei momenti del risarcimento ¾ La funzione generatrice dei momenti del risarcimento globale si ricava a partire dalle funzione generatrice dei momenti - del numero di sinistri - del risarcimento Calcolo dei principali momenti del risarcimento globale (5/13) FUNZIONE GENERATRICE DEI MOMENTI • PROPRIETÀ Se X1, X2, …, XS sono S v.a. - indipendenti - con funzioni generatrici dei momenti: +∞ ( ) ∫e M X h (τ ) = E eτX h = −∞ M X TOT (τ ) = τx dFX h ( x ) per MX1, MX2, …, MXS S ∏ h =1 M X h (τ ) dove X TOT = S ∑ Xh h =1 Calcolo dei principali momenti del risarcimento globale (6/13) FUNZIONE GENERATRICE DEI SEMINVARIANTI (o, anche, funzione generatrice dei cumulanti) ΨX (τ ) = log M X (τ ) = ΨN [ ΨY (τ )] funzione generatrice dei seminvarianti del numero di sinistri funzione generatrice dei seminvarianti del risarcimento ¾ La funzione generatrice dei seminvarianti: -si ricava a partire dalla funzione generatrice dei momenti - si esprime mediante la funzione generatrice dei seminvarianti del numero dei sinistri e del risarcimento. Calcolo dei principali momenti del risarcimento globale (7/13) FUNZIONE GENERATRICE DEI SEMINVARIANTI • Seminvariante (o cumulante) r-esimo (r = 1,2,…) di X dr κr ( X ) = ΨX (τ ) r dτ τ =0 ¾ κ 1 ( X ) = μ1 ( X ) = E ( X ) 2 ¾ κ 2 ( X ) = μ2 ( X ) − [ μ1 ( X )] = var( X ) 3 ' ¾ κ 3 ( X ) = μ3 ( X ) − 3μ1 ( X ) μ2 ( X ) + 2[ μ1 ( X )] = μ3 ( X ) μ3' ( X ) momento centrale terzo di X, E [( X − E ( X )) 3 ] Calcolo dei principali momenti del risarcimento globale (8/13) FUNZIONE GENERATRICE DEI SEMINVARIANTI • PROPRIETÀ Se X1, X2, …, XS sono S v.a. - indipendenti - con funzioni generatrici dei seminvarianti: ΨX h (τ) = log M X h (τ) , per ΨX , ΨX , …, ΨX 1 ΨX TOT (τ ) = S ∑Ψ h =1 Xh (τ ) dove X 2 TOT S = S ∑ Xh h =1 Calcolo dei principali momenti del risarcimento globale (9/13) SEMINVARIANTI ¾ Dalla proprietà della funzione generatrice dei seminvarianti κr ( X TOT S ) = ∑ κ r (X h ) h =1 i seminvarianti di v.a. indipendenti godono della proprietà additiva ¾ Seminvarianti e Coefficiente di asimmetria E [( X − E ( X )) 3 ] κ3( X ) γ (X ) = = 3/ 2 [var( X )] [κ 2 ( X )]3 / 2 Calcolo dei principali momenti del risarcimento globale (10/13) Valore atteso, varianza e funzione generatrice dei momenti nel caso in cui il risarcimento globale, X, abbia: (1) distribuzione di Poisson composta; (2) distribuzione Binomiale negativa composta; (3) distribuzione mistura di Poisson composta; Calcolo dei principali momenti del risarcimento globale (11/13) • DISTRIBUZIONE DI POISSON COMPOSTA di parametri λ e FY VALORE ATTESO VARIANZA E ( X ) = λ E (Y ) var( X ) = λ E (Y 2 ) FUNZIONE GENERARICE DEI MOMENTI M X (τ ) = eλ [ log M Y (τ )−1] Calcolo dei principali momenti del risarcimento globale (12/13) • DISTRIBUZIONE BINOMIALE NEGATIVA COMPOSTA di parametri r, q e FY VALORE ATTESO r (1 − q) E( X ) = E (Y ) q r (1 − q) r (1 − q) 2 VARIANZA var( X ) = var(Y ) + [ E ( Y )] q q2 FUNZIONE GENERARICE DEI MOMENTI qr M X (τ ) = [1 − (1 − q ) log M Y (τ )]r Calcolo dei principali momenti del risarcimento globale (13/13) • DISTRIBUZIONE MISTURA DI POISSON COMPOSTA di parametri Λ e FY VALORE ATTESO VARIANZA E ( X ) = E ( Λ ) E (Y ) var( X ) = E ( Λ ) E (Y ) + var(Λ ) [ E (Y )] 2 FUNZIONE GENERARICE DEI MOMENTI M X (τ ) = M Λ [ log M Y (τ ) − 1 ] 2 Calcolo dei principali momenti del risarcimento globale OSSERVAZIONI 1) ASIMMETRIA DELLE DISTRIBUZIONI: - la distribuzione di Poisson composta e la distribuzione Binomiale negativa composta hanno un coefficiente di asimmetria positivo per qualunque valore possa essere assunto dai parametri del modello; - tale risultato, in generale, non è invece valido nel caso della distribuzione mistura di Poisson composta. 2) DISTRIBUZIONE DI POISSON COMPOSTA E MISTURA DI POISSON COMPOSTA A CONFRONTO: - a parità di valore atteso, E(λ)= λ, la distribuzione mistura di Poisson composta ha varianza superiore; superiore 2 - il termine aggiuntivo, aggiuntivo var( Λ ) [ E (Y )] , dipende dalla varianza del parametro aleatorio Λ. Maggiore flessibilità del modello mistura di Poisson Composta rispetto al modello di Poisson composta LE ASSICURAZIONI SULLA DURATA VITA La base tecnica del rischio La base tecnica del rischio • Le basi tecniche rappresentano le ipotesi fissate al momento della stipula del contratto e che non possono essere variate nel corso del contratto. l’ipotesi demografica: tale ipotesi esprime la probabilità di verificarsi dell’evento. Può essere calcolata o definendo apposite leggi analitiche in grado di rappresentare la durata di vita oppure costruendo delle tavole di sopravvivenza (strada adottata nella pratica). l’ipotesi finanziaria: tale ipotesi si basa sulla determinazione di un tasso (pari alle aspettative di rendimento future) sulla base del quale viene calcolato il premio. In realtà con l’introduzione di polizze rivalutabili prima e delle nuove tipologie (index e unit linked) tale ipotesi viene riformulata in modo differente. Aspetti demografici ¾ La funzione di sopravvivenza…….. • • • Una testa alla nascita (x = 0) T0 durata aleatoria di vita della testa x La funzione di ripartizione della variabile aleatoria: F0 (t ) = Ρ{T0 ≤ t} • La funzione di sopravvivenza è quindi: S (t ) = Ρ{T0 > t} = 1 − F0 (t ) Aspetti demografici ¾ …..in generale per una testa di età x • Per l’età x = 0,1,2,..., ω − 1 Tx = (T0 − x )T0 > x • La funzione di ripartizione per la generica età x: Fx (t ) = Ρ{Tx ≤ t} = Ρ{T0 ≤ x + t T0 > x} = Ρ{x ≤ T0 ≤ x + t} F0 ( x + t ) − F0 ( x ) = = = Ρ{T0 > x} 1 − F0 ( x ) S (x ) − S (x + t ) S (x + t ) = = 1− S (x ) S (x ) Aspetti demografici ¾ Probabilità di vita e di morte S (x + t ) ⇒ t qx = 1 − S (x ) S x+t ⇒ t px = Sx • Probabilità che la testa di età attuale x deceda entro t anni. • Probabilità che la testa di età attuale x sopravviva t anni. Aspetti demografici ¾ Tavola di sopravvivenza • Nella pratica attuariale si usa costruire un modello probabilistico discreto, partendo dall’osservazione di una tavola l x (numero probabile di viventi all’età x) ricavata da osservazioni statistiche; • Si suppone che la collettività sia chiusa a nuovi ingressi e che l’unica causa d’uscita sia il decesso. • Si stabilisce un’età estrema ω, intesa come un’età che concretamente non è raggiungibile da un individuo. • Si definisce tavola di sopravvivenza, il numero dei viventi per ogni età intera a, a+1, a+2,…, ω-1, l a , l a +1 ,..., lω −1 Aspetti demografici ¾ Elementi della tavola • Probabilità di decesso tra l’età x e l’età x+1 • Probabilità di sopravvivenza tra l’età x e l’età x+1 • Soggetti deceduti in età x • Soggetti sopravvissuti all’età x qx px = 1 − qx d x = lx ⋅ qx l x +1 = l x ⋅ p x Aspetti demografici ¾ Costruzione della tavola • Ad una popolazione fittizia di 100.000 unità vengono applicate le probabilità di sopravvivenza ricavate dai dati di censimento: q 0 = 0,00879 ⇒ (1 − q 0 ) = p 0 = 0,99121 l 0 = 100000 l1 = l 0 ⋅ p 0 = 100000 ⋅ 0,99121 = 99121 Aspetti demografici ¾ La tavola di mortalità età qx px = 1 − qx lx dx 0 0,00879 0,99121 100000 879 1 0,000454 0,999546009 99121 45 2 0,000333 0,999666922 99076 33 3 0,000252 0,999747584 99043 25 4 0,000212 0,999787917 99018 21 5 0,000202 0,999797974 98997 20 6 0,000202 0,999797933 98977 20 7 0,000202 0,999797892 98957 20 8 0,000192 0,999807959 98937 19 Aspetti demografici ¾ La tavola di mortalità • La tavola di sopravvivenza indica per una collettività chiusa a nuovi ingressi il numero di viventi alle diverse età x. • Tali tavole, poi utilizzate nel mercato assicurativo vengono costruite con rilevazioni per contemporanei nel corso delle indagini censuarie. Eta' 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Sopravviventi Decessi Probabilità di morte (per mille) Speranza di vita 100000 521 5,20828 76,541 99479 28 0,28554 75,939 99451 22 0,2247 74,961 99428 18 0,17836 73,978 99411 15 0,14676 72,991 99396 14 0,13678 72,001 99383 13 0,12822 71,011 99370 13 0,12666 70,02 99357 12 0,12132 69,029 99345 12 0,11581 68,037 99334 12 0,12307 67,045 99321 14 0,13802 66,053 99308 17 0,17028 65,062 99291 23 0,2267 64,073 99268 29 0,29334 63,088 99239 37 0,37697 62,106 99202 49 0,49352 61,129 99153 60 0,60776 60,159 99093 73 0,73771 59,196 99019 85 0,85959 58,239 98934 92 0,92733 57,289 Breve estratto dalle Tavole Istat 2000 per la popolazione maschile Dal momento che i contratti di assicurazione sulla vita, possono avere una durata particolarmente rilevante occorre: una scelta opportuna delle tavole di sopravvivenza una costante revisione nei nuovi contratti da parte delle imprese delle basi demografiche alla luce degli scenari evolutivi Aspetti demografici ¾ L’invecchiamento della popolazione italiana anno Struttura per età della popolazione italiana 1990-2050 %0-14 %15-64 %65+ %85+ 1990 16,8 68,5 14,7 1,2 2005 14,2 66,4 19,5 2,0 2010 14,0 65,5 20,5 2,8 2020 13,2 63.7 23,2 3,9 2030 12,2 60,8 27,0 4,7 2040 12,4 55,6 32,0 5,8 2050 12,7 53,7 33,6 7,8 Aspetti demografici ¾ L’effetto longevity LONGEVITY RISK: Possibilità che l’evoluzione della mortalità sia diversa rispetto a quella prevista: in particolare possibilità che la mortalità sia inferiore a quella attesa. 2005 2030 2050 Uomini 77,4 81,0 83,6 Donne 83,3 86,6 88,8 Vita media Aspetti demografici ¾ L’effetto longevity Le analisi dell’andamento della curva di sopravvivenza (probabilità di sopravvivenza alle diverse età) nel corso degli anni hanno mostrato un: - processo di espansione - processo di rettangolarizzazione Curve di sopravvivivenza popolazione maschile italiana sim51 sim61 sim71 sim81 sim91 istat98 istat99 1 0,75 0,5 0,25 0 0 20 40 60 80 100 Aspetti demografici ¾ L’effetto longevity: CONSEGUENZE • Importanza della valutazione accurata dei costi e della scelta delle basi tecniche nei prodotti che erogano prestazioni previdenziali e assicurative • Possibilità di incorrere in un rischio sistematico (longevity risk) • Tentativo di trasferimento del rischio verso gli assicurati: - coefficienti di conversione non garantiti - erogazione di rendite esclusivamente finanziarie (rendite certe) • Facoltà di ricorso alla riassicurazione • Costruzione di tavole proiettate Aspetti demografici ¾ L’effetto longevity Le principali forme assicurative soggette al rischio Longevity sono le seguenti: - Rendite vitalizie immediate - Rendite in corso di godimento derivanti da opzioni - Rendite differite - Tariffe con opzione di rendita - Fondi pensionistici individuali (FIP) Aspetti demografici ¾ L’effetto longevity: POSSIBILI RIMEDI (1/2) Per la gestione del Longevity Risk, si agisce: - a priori, adottando opportune politiche di: tariffazione: utilizzo di tavole demografiche proiettate e selezionate, porre limitazioni rispetto all’epoca in cui verranno riconosciute le garanzie o rispetto alla portata della garanzia offerta riassicurazione: Non è di uso comune per la difficoltà di trovare riassicuratori disposti a coprire questo rischio, anche per le difficoltà di valutazione. Sempre più spesso i riassicuratori preferiscono offrire il loro supporto in fase di pricing delle garanzie (studio delle dinamiche della mortalità, revisione delle basi demografiche, ecc.) - a posteriori in sede di calcolo della riserva: L’utilizzo di tavole proiettate non elimina completamente il longevity risk e comunque le compagnie hanno in portafoglio molti contratti di rendita stipulati precedentemente all’entrata in vigore delle tavole proiettate . E’ pertanto necessario, in sede di bilancio, provvedere ad una integrazione di riserva per tener conto della sopravvivenza reale degli assicurati rispetto a quella prevista dalle basi di primo ordine. Un obbligo in tal senso è attualmente previsto dall’articolo 26 del decreto legislativo 174 del 17/3/95, successivamente precisato dal provvedimento ISVAP n° 1380 del 22/12/1999. Aspetti demografici ¾ L’effetto longevity: POSSIBILI RIMEDI (2/2) Un netto miglioramento nella tariffazione deriva dall’utilizzo di tavole demografiche costruite in base ai concetti di proiezione e di selezione. Proiezione: Una tavola proiettata è una tavola costruita in modo tale da tener conto della prevista evoluzione della mortalità entro un certo periodo. Un metodo per realizzare questo è costruire una tavola demografica “per generazioni”, con quozienti di mortalità variabili non soltanto in base all’età, ma anche alla generazione di appartenenza. Selezione: Una tavola selezionata è una tavola applicabile a particolari gruppi di assicurati ottenuta variando la mortalità di tavole “standard” in funzione dell’effettiva mortalità rilevata in precedenza per tali gruppi. A partire dal 1999 il mercato italiano,recependo le disposizioni della circolare ISVAP n° 343 del 1998, utilizza, per le assicurazioni di rendita, la tavola RG48. Il monitoraggio eseguito dall’ANIA su un campione rappresentativo di alcune compagnie italiane ha evidenziato alcuni problemi di “tenuta” della base demografica RG48 nelle età anziane. Aspetti demografici ¾ L’effetto longevity: LE TAVOLE A CONFRONTO Tavole Istat 2000: Tavole di sopravvivenza pubblicate dall’Istat Tavole RG48sel: tavole selezionate e proiettate costruite dalla Ragioneria Generale dello Stato Tavole IPPsel: tavole proiettate e selezionate, recentemente presentate dall’Ania Confronto Tavole Maschili Confronto Tavole Femminili 100000 100000 80000 80000 60000 60000 40000 40000 20000 20000 Istat00M IPPselF rg48selF Istat00F 40 50 80 90 10 0 11 0 rg48selM 60 70 IPPselM 20 30 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 0 10 0 0 Aspetti finanziari • L’altro aspetto fondamentale nel vita riguarda la scelta del tasso tecnico a cui valutare i contratti di assicurazione. • Il tasso tecnico risulta di fondamentale importanza sia per il calcolo del premio sia per il calcolo delle riserve. • A differenza dei contratti di assicurazione contro i danni, i contratti di assicurazione sulla vita presentano una durata di medio lungo periodo e non è quindi possibile trascurare l’aspetto finanziario. • È dunque opportuno effettuare una adeguata scelta del tasso tecnico anche in relazione ai possibili investimenti delle riserve con i conseguenti rendimenti prevedibili Aspetti finanziari IL TASSO TECNICO • Il tasso tecnico viene fissato al momento della sottoscrizione del contratto. • La scelta del tasso tecnico risulta particolarmente delicata in quanto l'assicuratore garantisce tale rendimento all'assicurato già nel calcolo del premio e della prestazione (dunque alla stipula del contratto e per tutta la durata contrattuale). • Il tasso tecnico deve comunque essere inferiore ad un tasso massimo garantibile fissato, a tutela degli assicurati, dalla normativa e variabile in funzione dei rendimenti dei titoli obbligazionari (tale tasso massimo è determinato con regolamento dell'ISVAP ma non può superare il 60% del tasso medio dei prestiti obbligazionari – art. 33 Codice delle Assicurazioni). La base tecnica del rischio • Il tasso tecnico e la tavola di mortalità (i, q) rappresentano la base tecnica del rischio • Occorre distinguere in: BASE TECNICA DEL PRIMO ORDINE BASE TECNICA DEL SECONDO ORDINE Il calcolo del premio viene effettuato sulla base delle basi tecniche scelte, delle caratteristiche dell’assicurato (età e sesso) e delle caratteristiche contrattuali (tipologia di premio e prestazione, durata) IL PREMIO considerazioni generali La scomposizione del premio • Il premio assicurativo: - premio equo: basato sul principio di “equità finanziaria e attuariale”. • Il valore atteso della perdita L deve essere nullo alla stipula del contratto: ~ E ( L ) = 0 → E ( I x( c ) ) = E ( I x( a ) ) → PU = E ( I x( a ) ) • In altre parole: il valore attuale atteso delle prestazioni dell’assicuratore deve coincidere con il valore attuale atteso delle prestazioni dell’assicurato - premio netto: pari ad un premio equo più un caricamento di sicurezza (implicito o esplicito). Il caricamento ha lo scopo sia di far fronte ad eventuali scostamenti in negativo delle realtà rispetto alle ipotesi fatte (basi tecniche), sia di garantire un margine di profitto alla compagnia. - premio di tariffa: pari al premio netto più i caricamenti per spese. I caricamenti Esistono generalmente tre tipi di caricamenti per spese: per spese di acquisizione (provvigioni d’acquisto,spese di emissione polizza, spese per visite mediche ed accertamenti). Si tratta di spese sostenute generalmente al momento della stipula del contratto o comunque nel primo anno di durata contrattuale per spese di incasso (provvigioni di incasso, diritti di quietanza, contabilizzazione dell’introito). Si tratta di spese che vengono sostenute in corrispondenza dell’incasso della rata di premio. Di conseguenza avranno le stessa tempistica del pagamento premi per spese di gestione: si tratta di spese non direttamente imputabili al singolo contratto. Generalmente a ciascun contratto viene assegnata una quota annua di spese pari a una fissata aliquota del capitale assicurato Premio equo e base tecnica del rischio • Le imprese di assicurazione sono caratterizzate da un inversione del ciclo produttivo: infatti viene pagato anticipatamente un premio a fronte di una prestazione futura collegata al verificarsi di un determinato evento. • Di conseguenza l’ipotesi più semplice è la seguente: Non si verifica l’evento assicurato • Premio Unico o sequenza di premi Si verifica l’evento assicurato Non vi è alcuna prestazione Pagamento del Capitale Assicurato Quindi fissato il capitale assicurato, per il calcolo del premio occorrerà tener conto della probabilità di verificarsi dell’evento e dei rendimenti finanziari derivanti dal fatto che intercorre un orizzonte temporale tra il momento di incasso del premio e l’istante in cui viene erogata la prestazione. IL PREMIO nelle assicurazioni contro i danni Il premio: premio equo, premio puro, premio di tariffa • Un contratto di assicurazione contro i danni prevede il pagamento di un premio in un’unica soluzione (all’epoca di stipulazione del contratto) rateizzato nel periodo di copertura (supposto di durata annuale) ¾ Premio equo: valore atteso del risarcimento globale a carico dell’assicuratore nel periodo di copertura ¾ Premio puro (o, anche, premio netto): corrispettivo del risarcimento globale trasferito a carico dell’assicuratore ¾ Premio di tariffa (o, anche, premio commerciale): importo richiesto dall’assicuratore a fronte della stipulazione del contratto Caricamento di sicurezza e premio puro Premio equo + Caricamento di sicurezza = Premio puro - introdotto per fronteggiare la rischiosità dell’operazione assicurativa - eguale al valore atteso del guadagno che l’assicuratore consegue in relazione al contratto Caricamento per spese e premio di tariffa Premio puro + Caricamento per spese = Premio di tariffa - introdotto allo scopo di coprire le varie spese sostenute dall’assicuratore in relazione al contratto 9 Il premio effettivamente pagato dal contraente (prezzo della copertura assicurativa) è ottenuto sommando al premio di tariffa le tasse e gli eventuali altri contributi che gravano sul contratto Il calcolo del premio equo • METODOLOGIE DI CALCOLO ¾ APPROCCIO TEORICO: fondato sull’individuazione di un opportuno modello per la descrizione della base tecnica del rischio (distribuzione di probabilità del risarcimento globale X) nell’ambito di un portafoglio di rischi analoghi ¾ APPROCCIO EMPIRICO: fondato sull’osservazione di un opportuno portafoglio di contratti assicurativi registrando, per ciascuno di essi, i sinistri accaduti (e denunciati) ed i relativi danni e risarcimenti Il calcolo del premio equo L’APPROCCIO TEORICO (1/2) P = E ( X ) = E ( N ) E (Y ) valore atteso del risarcimento globale a carico dell’assicuratore nel periodo di copertura (nelle ipotesi classiche della teoria del rischio precedentemente formulate) in media si ottiene l’equilibrio tra le entrate (introito del premio equo) e le uscite (pagamento dei risarcimenti per sinistri) Il calcolo del premio equo L’APPROCCIO TEORICO (2/2) EFFETTO MUTUALISTICO: trasferimento di risorse finanziarie, all’interno di un dato portafoglio di rischi analoghi, tra rischi sinistrati e rischi non sinistrati - Aspetto caratteristico dell’attività assicurativa Permette di realizzare, in media, l’equilibrio tra le entrate e le uscite Il calcolo del premio equo L’APPROCCIO EMPIRICO (1/2) Il premio equo viene valutato mediante un’opportuna osservazione statistica Portafoglio di rischi analoghi (a quello in esame) con riferimento: a) alle caratteristiche del rischio adeguatamente valutabili, all’epoca di stipulazione del contratto, da parte dell’assicuratore b) alle condizioni contrattuali di copertura c) ai valori monetari di esposizione al rischio (ad esempio i valori dei beni assicurati o i massimali di garanzia) In riferimento ad una durata annuale Il calcolo del premio equo L’APPROCCIO EMPIRICO (2/2) ¾ Quota risarcimenti (impropriamente detta quota danni) danni y1 + y2 + ... + ym Q= R numero (sufficientemente grande) di rischi presenti nel portafoglio y1, y2 ,..., ym singoli risarcimenti relativi ad ognuno degli m sinistri che si suppone avere osservato nel periodo di riferimento Premio equo osservato La scomposizione del premio equo osservato ⎛m⎞ Q=⎜ ⎟ y ⎝R⎠ INDICE DI SINISTROSITÀ (impropriamente detto frequenza di sinistro): numero medio di sinistri relativi ad un rischio risarcimento medio relativo ad un sinistro Q: IMMAGINE STATISTICA DEL PREMIO EQUO indice di sinistrosità, ψ, stima del valore atteso, E(N), del numero di sinistri risarcimento medio relativo ad un sinistro, y , stima del valore atteso, E(Y), del singolo risarcimento La scomposizione dell’indice di sinistrosità ⎛ R1 + 2 R2 + ... + hRh ⎞ ⎛ R − R0 ⎞ ⎟⎟ ⎜ ψ = ⎜⎜ ⎟ = ξϕ ⎝ R1 + R2 + ... + Rh ⎠ ⎝ R ⎠ indice di ripetibilità: numero medio di sinistri relativi ad un rischio sinistrato frequenza dei rischi sinistrati Ri (i=0,1,…,h): numero di rischi colpiti da ‘i’ sinistri h: numero massimo di sinistri rilevati in relazione ad almeno uno dei rischi osservati Esposizione monetaria al rischio e tasso medio di premio (equo) Nel caso più realistico di diverse esposizioni monetarie al rischio: y1 + y 2 + ... + y m τ= w1 + w 2 + ... + w R esposizioni monetarie relative ad ognuno degli ‘R’ rischi osservati Tasso medio di premio in breve detto Tasso di premio Premio equo osservato In riferimento ad un’unità monetaria di esposizione La scomposizione del tasso medio di premio ⎛m⎞ ⎛ y ⎞ τ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝R⎠ ⎝w⎠ Indice di sinistrosità grado medio di risarcimento (impropriamente detto grado medio di danno): rapporto (adimensionale) esprimente il risarcimento medio per unità monetaria di esposizione 9 RELAZIONE TRA PREMIO EQUO E TASSO MEDIO DI PREMIO: Nel caso in cui w1 = w2 = … = wR = w è immediata la relazione P = τw tra il premio equo, P, ed il tasso di premio,τ (copertura assicurativa caratterizzata da eguale esposizione monetaria al rischio) Caricamento di sicurezza e premio puro • Guadagno: G =Π− X importo aleatorio eguale alla differenza tra il premio incassato, Π, ed il risarcimento globale X Il premio equo, P = E(X), è quel particolare premio che rende nullo il guadagno atteso per l’assicuratore Π=P ⇒ E (G ) = P − E ( X ) = 0 Principio di calcolo del premio detto principio di equità Il principio di equità privo di interesse economico: non consente all’assicuratore di conseguire un guadagno atteso positivo al momento della stipulazione del contratto L’assicuratore è disponibile ad accettare la copertura del rischio solo se Π > E(X) Π = E( X ) + r r = E(G) > 0 caricamento di sicurezza Il premio puro • Premio ottenuto sommando al premio equo un caricamento di sicurezza • Anche detto premio netto poiché determinato al netto del corrispettivo per le spese che l’assicuratore sostiene in relazione al contratto. GIUSTIFICAZIONE TEORICA: a) criterio della probabilità di rovina, nell’ambito della teoria del rischio b) criterio dell’utilità attesa, nell’ambito della teoria del comportamento di un soggetto economico in condizioni di incertezza Il criterio della probabilità di rovina • Teorema della rovina del giocatore: i. se un giocatore (ad esempio l’assicuratore) dispone di una data ricchezza iniziale ed affronta, in condizioni di equità, una sequenza potenzialmente infinita di partite contro un avversario infinitamente ricco (ad esempio la massa degli assicurati), essendo i risultati delle singole partite indipendenti ed identicamente distribuiti, allora è certa la rovina del giocatore (vale a dire, la perdita della ricchezza iniziale). ii. se invece, ceteris paribus, le singole partite prevedono un guadagno atteso positivo per il giocatore, allora la rovina non è un evento certo (probabilità di rovina del giocatore funzione decrescente - in particolare, di tipo esponenziale - del guadagno relativo alla singola partita) Il criterio dell’utilità attesa ¾ l’assicuratore, soggetto economico tipicamente avverso al rischio, giudica vantaggiosa l’operazione assicurativa soltanto nell’ipotesi che il premio sia maggiore del valore atteso di X ¾ l’assicurato, anch’egli soggetto economico tipicamente avverso al rischio, giudica vantaggiosa l’operazione assicurativa malgrado malgrad la non equità del relativo prezzo L’operazione assicurativa può così essere vantaggiosa per entrambe le parti contraenti per l’assicuratore, grazie al caricamento di sicurezza per l’assicurato, malgrado il caricamento di sicurezza Il caricamento di sicurezza l’adozione di un caricamento di sicurezza nel premio ha lo scopo di fronteggiare la rischiosità dell’operazione assicurativa la dimensione del caricamento è legata ad un’opportuna misura di questa rischiosità (varianza, scarto quadratico medio, …) implicito • Caricamento di sicurezza esplicito IL caricamento di sicurezza implicito Generalmente praticato nelle assicurazioni sulla vita ¾ Introdotto mediante l’adozione, ai fini del calcolo del premio equo, di una base tecnica favorevole all’assicuratore (base tecnica prudenziale) Essa è anche detta base tecnica di primo ordine. ordine E′(X) < E(X) valutazione realistica che l’assicuratore attribuisce al risarcimento globale X il premio (equo) P è in grado di garantire all’assicuratore un guadagno atteso positivo E ′(G ) = E ( X ) − E ′( X ) > 0 Il caricamento di sicurezza esplicito Usuale nelle assicurazioni contro i danni ¾ Commisurato ad uno o più valori caratteristici (varianza, percentili, …) della distribuzione di probabilità del risarcimento globale X 9 Talvolta al caricamento esplicito si aggiunge un caricamento implicito ottenuto mediante l’adozione, ai fini del calcolo del premio equo, di una base tecnica prudenziale (relativa al numero di sinistri e/o al danno). Il calcolo del premio puro (1/2) Π = H(X ) principio di calcolo del premio puro: funzionale che associa un numero reale (il premio puro) alla distribuzione di probabilità di X (rappresentativa del rischio oggetto della copertura assicurativa) il premio puro dipende, in generale, dalla funzione di ripartizione di X Il calcolo del premio puro (2/2) ¾ I più importanti principi di calcolo del premio puro sono funzione solamente dei principali valori caratteristici della distribuzione di probabilità di X Scarsità di basi statistiche attendibili adottare un principio di calcolo che non richieda la conoscenza dei momenti di ordine superiore al secondo relativamente alla distribuzione di probabilità di X 9 Rischi assicurabili: il funzionale H può non essere definito o può assumere valore infinito per alcuni rischi in quest’ottica la scelta del principio di calcolo del premio puro gioca un ruolo chiave I principi di calcolo del premio puro (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) principio del valore atteso; principio della varianza; principio dello scarto quadratico medio; principio dell’utilità attesa; principio del percentile; principio del massimo danno probabile; principio di Esscher; principio di Orlicz; principio di Wang. Il principio del valore atteso Π = (1 + α ) E ( X ) α>0 adimensionale PROPRIETÀ: inadeguatezza rispetto all’obiettivo prefissato (la rischiosità del contratto non è opportunamente sintetizzata dal valore atteso di X ) semplicità di calcolo (talvolta utilizzato nella pratica assicurativa) Il principio della varianza Π = E ( X ) + β var( X ) β>0 di dimensione eguale al reciproco di un importo PROPRIETÀ: il caricamento di sicurezza è proporzionale alla rischiosità del contratto misurata mediante la varianza di X (la varianza è un buon indicatore della rischiosità di una variabile aleatoria) frequentemente impiegato nella pratica assicurativa Caricamento per spese e premio di tariffa Le spese vengono imputate all’assicurato mediante un caricamento per spese Premio di tariffa (o, anche, premio commerciale) C =Π+s Al premio puro si aggiunge il caricamento per spese 9 L’incidenza percentuale del caricamento per spese sul premio di tariffa (“expense ratio”) dipende fortemente dalle caratteristiche del rischio assicurato Caricamento per spese • Decomposizione del caricamento per spese s = s1 + s2 caricamento globale relativo alle spese di acquisizione del contratto e di incasso premi (a) e (b) caricamento relativo alle spese generali di gestione (c) 9 Nel caso in cui il caricamento per spese venga quantificato mediante il principio di equità, l’ammontare del caricamento, (per ciascuna categoria di spese), è eguale al valore atteso delle spese medesime, determinato secondo una valutazione realistica. 9 Nella pratica assicurativa viene in genere adottato un margine implicito di caricamento per spese a favore dell’assicuratore (ipotesi prudenziale sulle spese) La dimensione è generalmente modesta (per lo più, non superiore al 3-4%). La giustificazione risiede nell’aleatorietà connessa alle spese che l’assicuratore sostiene in relazione al contratto (usualmente modesta) IL PREMIO nelle assicurazioni sulla vita Base tecnica e premio equo (1/2) T ⎡ ⎤ −t Ρ Ε ⎢ ∑ Ft (1 + i ) ⎥ ⎢⎣t = 0 ⎥⎦ RISCHIO DEMOGRAFICO RISCHIO FINANZIARIO Base tecnica e premio equo (2/2) T T ⎤ ⎡ −t −t Ρ VAA = Ε ⎢ ∑ Ft (1 + i ) ⎥ = ∑ Ft (1 + i ) ⋅ pt ⎥⎦ t = 0 ⎢⎣t = 0 • Il calcolo del valore attuale atteso (VAA) richiede l’introduzione di un modello probabilistico. Nel caso delle assicurazioni sulla vita, il modello riguarda la durata aleatoria della vita dell’assicurato. Il premio assicurativo Il calcolo dei premi assicurativi è determinato in funzione di due elementi unilateralmente fissati dalla Compagnia di Assicurazione: – Un modello probabilistico; – Una struttura dei tassi. VAA = T −t ( ) F 1 + i ⋅ pt = PREMIO ∑ t t =0 Il guadagno atteso • Il premio calcolato con un tasso i, pari a quello ottenuto dall’investimento del premio, e con una probabilità p, pari alla probabilità di sopravvivenza che la Compagnia attribuisce all’assicurato, porta alla determinazione del premio equo. • Il premio equo, secondo la base tecnica di primo ordine deve risultare “favorevole” all’assicuratore. Ε P [Π(i )] > 0 • La coppia (i, p) va rivista in termini (i*, p*), con l’obiettivo di analizzare il guadagno atteso. La scelta della base tecnica • La coppia (i, p), impiegata per il calcolo del premio, è detta base tecnica di primo ordine • La nuova coppia (i*, p*), che esprime uno scenario demografico-finanziario più realistico, è detta base tecnica di secondo ordine • Il tasso di interesse adottato nella base tecnica può essere estratto da una struttura per scadenze piatta o dinamica. • La probabilità deriva da un modello probabilistico a tempo discreto o continuo. • Ipotesi semplificatrice: tasso costante e tempo discreto. Premi unici o premi periodici IL PRINCIPIO DI EQUITÀ Il valore attuariale delle prestazioni corrisponde al PREMIO UNICO PURO [] ~ Ε Y = PU Il concetto di equità è strettamente legato alla base tecnica adottata. L’uso di una base tecnica “realistica” comporterebbe un guadagno atteso nullo e un significativo rischio di perdite. Premi periodici • Controprestazione ripartita tra più rate, costanti o variabili, pagate ad intervalli regolari (anni, mesi,…). • Pagamento anticipato, con inizio all’epoca di stipulazione e per un tempo non superiore alla scadenza del contratto. • L’importo assicurato e i premi periodici rappresentano le rate di ammortamento demografico-finanziario del premio unico. • Il pagamento di premi periodici, al contrario del premio unico, è subordinato alla sopravvivenza del soggetto assicurato. POSSIBILI ESEMPI: - Premi variabili - Premi costanti - Premi unici ricorrenti Premi unici ricorrenti • Tipici dei contratti assicurativi a prestazioni differite (capitale differito, rendite differite, caso morte differita). • Costituiscono una forma di “piano previdenziale” a mediolungo termine. • I versamenti periodici garantiscono l’acquisto di una quota di polizza. • Il capitale assicurato è noto solo alla fine di tutti i versamenti. Premi naturali • Obiettivo: il frazionamento del premio unico deve, in ogni periodo, garantire la copertura degli impegni assunti dalla Compagnia. • Analisi: confronto tra l’introito dei premi (in genere costanti) e il profilo temporale dei costi annui attesi. • Problema: sottofinanziamento. • Strumento: PREMIO NATURALE Singolo premio commisurato al valore atteso degli impegni della Compagnia, in ciascun periodo del frazionamento preso in esame. Caricamento di sicurezza Differenza tra il premio puro adottato e il premio equo calcolato con la base realistica. Il caricamento può essere: • IMPLICITO: determinato dall’uso di basi tecniche più “favorevoli” all’assicuratore • ESPLICITO: dato da una specifica maggiorazione applicata al premio equo. Premio di tariffa • Rappresenta l’esborso effettivo del contraente, cioè copre il premio puro e le spese: di acquisizione, di incasso, di gestione,… • Il caricamento può essere: – Proporzionale al capitale assicurato, hC, – Proporzionale al premio puro, HP, o al premio di tariffa HPT, – Parte in percentuale del capitale assicurato e parte in percentuale del premio puro o di tariffa. PT = P + hC + HP oppure PT = P + hC + HPT Analogamente per il premio unico Le riserve tecniche considerazioni generali Le riserve tecniche • Le riserve tecniche servono a far fronte allo sfasamento temporale delle prestazioni tipico del ciclo assicurativo. • Con i premi incassati l’assicuratore deve gestire il contratto nel corso della sua durata……….. • ………. per farlo deve accantonare risorse da cui poter attingere al momento di necessità. • Tali accantonamenti sono imposti per legge (dal Codice Civile) al fine di tutelare gli assicurati dal rischio di insolvenza dell’assicuratore. • Le riserve tecniche sono vincolate, regolarmente valutate e controllate dagli organi di Vigilanza e non possono essere liberamente investite sul mercato. Le riserve tecniche nelle assicurazioni contro i danni Le riserve tecniche ¾ Le riserve tecniche, con il cui termine vengono indicate sia la riserva premi che la riserva sinistri, costituiscono un debito dell’assicuratore nei confronti dell’assicurato CONTRADDISTINDE DALLE RISERVE PATRIMONIALI fondi liberi da impegni gestionali e pertanto quantità a disposizione dell’impresa 9 Sostanzialmente si formano mediante accantonamento di utili e sono utilizzate per fronteggiare altri obblighi di gestione e non quelli tecnici Quadro legislativo italiano (1/2) D.L. 175/’95 L’articolo 23 del D.L. 175/’95 dichiara: 1. “Le imprese di assicurazioni che svolgono la loro attività nei rami danni devono costruire la riserva dei premi per i rischi che sono in corso alla fine di ogni esercizio, iscrivendo nel bilancio l’importo delle frazioni di premio di competenza degli esercizi successivi e quello delle annualità dei premi pagati anticipatamente per gli anni futuri…” (Relativamente alla riserva premi). 2. Le imprese debbono inoltre costruire alla fine di ogni anno di esercizio la riserva sinistri, iscrivendo nel bilancio l’ammontare complessivo delle somme che, da una prudente valutazione effettuata…, risultino necessarie per far fronte al pagamento dei sinistri avvenuti…e non ancora liquidati…” (Relativamente alla riserva sinistri). 3. La riserva per rischi in corso deve essere calcolata con il metodo prorata-temporis…” (Relativamente alla valutazione della riserva premi). Quadro legislativo italiano (2/2) D.L. 175/’95 Con l’articolo 26 viene introdotta l’obbligatorietà di costituire anche la riserva per sinistri IBNR “le imprese di assicurazione hanno l’obbligo di costituire…una riserva per i sinistri avvenuti nell’esercizio, ma non ancora denunciati al termine dell’esercizio stesso…” ¾ Con il successivo decreto legislativo 173/’97 sono poi apportate alcune modifiche……… La riserva premi Riserva per frazioni di premio Riserva per rischi in corso utilizzata per coprire quei rischi i cui premi sono già stati incassati, ma la cui durata va oltre la chiusura di esercizio considera il rapporto sinistri/premi (loss ratio) ed è utilizzata a valutarne la sua capacità di far fronte al rischio assicurato durante l’intera copertura contrattuale La gestione del premio (1/2) ¾ Si consideri un portafoglio di contratti sufficientemente omogenei in base a quanto sia possibile affermare al tempo 0 - Tutti i contratti vengono stipulati al tempo 0 - Tutti i contratti sono di durata annuale - Il tempo 0 coincide con l’epoca di avvio dell’attività assicurativa Al tempo 0 l’assicuratore incassa un premio (somma dei premi di tariffa complessivi) comprensivo dei vari caricamenti C = ε1C + ε 2C caricamento per spese di acquisizione caricamento per spese di gestione 9 La terza componente (spese di liquidazione dei sinistri), si considera compresa nell’entità dei risarcimenti, X La gestione del premio (2/2) Con l’ulteriore condizione di spese di gestione uniformemente distribuite nel corso dell’anno d (t ) = C (t ) − X (t ) ammontare complessivo dei premi che restano a disposizione all’epoca t Disponibilità all’epoca t importo dei risarcimenti complessivamente cumulato da 0 a t d (t ) = C (t ) − X (t ) = C − ε1C − tε 2C − X (t ) = = C (1 − ε 1 − tε 2 ) − X (t ). La gestione del premio: riserva premi ¾ La disponibilità all’epoca t non rappresenta il guadagno dell’assicuratore al tempo t Tra t ed 1, infatti, la compagnia di assicurazione dovrà sostenere ulteriori uscite, sia per spese di gestione che per i relativi risarcimenti; mentre le entrate saranno pari a 0 All’epoca t, ci sono ancora impegni futuri che l’assicuratore detiene nei confronti degli assicurati e che devono essere calcolati sulla base della suddetta disponibilità RISERVA PREMI Riserva premi Se si assume che anche gli oneri avvengano con continuità ed uniformità nel corso dell’anno RISERVA PREMI R p (t ) = (1 − t )(1 − ε 1 )C 9 Si osservi che, al tempo 0, all’assicuratore resta a disposizione C (1- ε1) per fare fronte alle spese di gestione e di liquidazione sinistri poiché il caricamento C ε1 è interamente utilizzato in 0 per le spese di acquisizione dei contratti • Guadagno al tempo t g (t ) = d (t ) − R p (t ) Guadagno • Guadagno al tempo t g (t ) = d (t ) − R p (t ) • Guadagno alla scadenza dei contratti g (1) = d (1) = C (1 − ε1 − ε 2 ) − X (1) ¾ Ovviamente il guadagno in 1 può essere maggiore, minore, o uguale a 0, a seconda che gli esborsi complessivi, X(1) , risultino, rispettivamente, inferiori, superiori, o uguali al premio puro al tempo 1, dato da C (1- ε1 - ε2) Metodi di valutazione per la riserva premi ¾ La valutazione della riserva premi avviene all’epoca di bilancio (che in genere coincide con la fine dall’anno solare) ¾ La stima si basa sulla durata media residua dei contratti assicurativi • Ai fini dei calcoli, esistono due approcci: a) Metodo sintetico o forfettario b) Metodo individuale o pro-rata-temporis Metodi di valutazione per la riserva premi METODO SINTETICO O FORFETTARIO ¾ Esso consiste nell’individuare un’unica durata residua media a partire dalle ‘m’ durate residue, tj + 1 - t, relative ai singoli contratti • Per farlo si sintetizza gli ‘m’ valori effettuandone una media Ipotizzando uniforme distribuzione nell’incasso premi m R p (1) = ∑ t j (1 − ε 1 )C j ≈ j =1 ≈ 1 (1 − ε 1 )C j 2 Sostanzialmente, le ‘m’ durate residue sono state sintetizzate in un’unica durata media residua posta pari a metà anno t= 1 2 Metodi di valutazione per la riserva premi METODO INDIVIDUALE O PRO-RATA-TEMPORIS (1/2) ¾ Se si utilizza questo metodo vengono invece considerate tutte le durate residue relative ad ogni singolo contratto stipulato dall’assicuratore sono esaminati tutti gli ‘m’ contratti senza alcuna aggregazione • Nello specifico, viene individuata un’unità di misura di tempo rispetto alla quale calcolare la durata residua relativamente ad ognuno degli ‘m’ contratti Metodi di valutazione per la riserva premi METODO INDIVIDUALE O PRO-RATA-TEMPORIS (2/2) ¾ L’unità di misura presa a riferimento può essere: a) Il mese Metodo dei 12-esimi b) Il mezzo mese Metodo dei 24-esimi c) Il giorno Metodo dei 365-esimi Metodi di valutazione per la riserva premi METODO INDIVIDUALE O PRO-RATA-TEMPORIS a) Metodo dei 12-esimi ESEMPIO Se l’unità di misura è il mese, nell’anno che si è appena concluso e per un contratto stipulato il 22 ottobre risultano essere state coperte 3 unità (mesi); mentre ne restano fuori le rimanenti 9 Posto (1 − ε 1 )C j = 100 9 R p (1) = 100 ⋅ 12 Metodi di valutazione per la riserva premi METODO INDIVIDUALE O PRO-RATA-TEMPORIS b) Metodo dei 24-esimi ESEMPIO Se l’unità di misura è il mezzo mese, nell’anno che si è appena concluso e per un contratto stipulato il 22 ottobre risultano essere state coperte 5 unità (mezzo mese); mentre ne restano fuori le rimanenti 19 Posto (1 − ε 1 )C j = 100 19 R p (1) = 100 ⋅ 24 Metodi di valutazione per la riserva premi METODO INDIVIDUALE O PRO-RATA-TEMPORIS c) Metodo dei 365-esimi ESEMPIO Se l’unità di misura è il giorno, nell’anno che si è appena concluso e per un contratto stipulato il 22 ottobre risultano essere state coperte 70 unità (giorni); mentre ne restano fuori le rimanenti 295 Posto (1 − ε 1 )C j = 100 295 R p (1) = 100 ⋅ 365 Metodi di valutazione per la riserva premi OSSERVAZIONI 1) Osserviamo che i 3 metodi ammettono risultati diversi: in particolare si conseguono valori crescenti 9 In genere, viene utilizzato il secondo metodo, quello dei 24-esimi 2) Il metodo individuale o pro-rata-temporis fornisce una stima esatta della riserva premi nel caso di uniforme distribuzione degli impegni nel corso del tempo; mentre il metodo sintetico o forfetario è in grado di fornire solo una stima molto approssimata 3) Il pro-rata-temporis è di facile applicazione con l’utilizzo di calcolatori elettronici, sebbene implichi un certo costo La riserva per rischi in corso D.L. 173/’97 ¾ RISERVA PER RISCHI IN CORSO consente una visione globale della posizione assicurativa ed i futuri risarcimenti sono confrontati con le quote di premio già incassate più le rate che verranno corrisposte in seguito dall’assicurato S P × Riserva per frazioni di premio + Rate di premio a scadere (-) “loss ratio” rapporto sinistri/premi Riserva per frazioni di premio + Rate di premio a scadere L’evoluzione dei sinistri e la riserva sinistri ¾ Per quanto analizzato fino adesso, i sinistri risultano essere immediatamente denunciati, registrati e liquidati nel momento stesso in cui essi avvengono EVOLUZIONE DI UN SINISTRO non registrato t epoca di accadimento t+s epoca di denuncia e registrazione aperto liquidato t+s+r epoca in cui è definito l’ammontare del risarcimento chiuso L’evoluzione dei sinistri e la riserva sinistri ¾ Esiste dunque un ulteriore debito che l’assicuratore detiene nei confronti degli assicurati. È necessaria una ulteriore riserva tecnica RISERVA SINISTRI al fine di adempiere a quei risarcimenti relativi a sinistri già avvenuti, ma per i quali non è stato effettuato ancora alcun pagamento, o lo è stato fatto solo in parte Riserva sinistri ¾ Nello specifico, la riserva sinistri è costituita da due elementi: - il primo attinente a quei sinistri registrati, ma non ancora pagati o pagati solo in parte, detta riserva IBNER - il secondo relativo a quei sinistri non ancora registrati, detta riserva IBNR IBNER (Incurred But Not Enough Reserved): Riserva Sinistri sinistri registrati ma non ancora pagati o pagati solo in parte IBNR (Incurred But Not Reported): sinistri non registrati Riserva sinistri e guadagno ¾ Considerando anche la riserva sinistri • Guadagno al tempo t g (t ) = d (t ) − R p (t ) − Rs (t ) • Guadagno alla scadenza dei contratti g (1) = d (1) − Rs (1) 9 È interessante osservare che il guadagno in 1 non è più un valore certo, così come lo era in presenza della sola riserva premi: - la stima della riserva sinistri lo rende infatti una quantità stimata. Metodi di valutazione per la riserva sinistri ALCUNE CONSIDERAZIONI (1/2) ¾ Analizziamo in dettaglio i due elementi che individuano la riserva sinistri - la riserva IBNER viene utilizzata per risarcire quei sinistri denunciati e registrati, ma non ancora definitivamente chiusi. comprende i sinistri aperti ed i liquidati - la riserva IBNR, serve a risarcire le cosiddette tardive denunce, ossia quei sinistri che all’epoca di valutazione sono già avvenuti, ma non sono ancora stati denunciati comprende i sinistri non registrati (TARDIVE DENUNCE) Metodi di valutazione per la riserva sinistri ALCUNE CONSIDERAZIONI (2/2) 1) Da un punto di vista assicurativo, è facilmente comprensibile la maggiore importanza della componente IBNER. (La riserva IBNR riguarda infatti un numero piccolo di sinistri, verificatisi in prossimità della data di valutazione) 2) Da un punto di vista riassicurativo, le tardive denuncie conseguono non solo da parte degli assicurati nei confronti degli assicuratori diretti; bensì, anche e soprattutto, da parte degli assicuratori diretti nei confronti dei riassicuratori Metodi di valutazione per la riserva sinistri (1/2) ¾ La stima della riserva sinistri è in genere effettuata alla fine di un certo anno solare (ossia ad un 31/12) • Esistono due approcci di stima: a) Metodo collettivo o sintetico si basa su una collettività di rischi il più possibile omogenei tra loro b) Metodo individuale o analitico considera ogni singolo sinistro e lo segue nel tempo in un ottica di monitoraggio Metodi di valutazione per la riserva sinistri (2/2) ¾ Vantaggi e svantaggi dei due approcci - dipendono dalle caratteristiche del portafoglio assicurativo 1) Se l’assicuratore ha a disposizione un portafoglio con un numero sufficientemente grande ed omogeneo di rischi, caratterizzato da risarcimenti di importo medio-basso, l’approccio collettivo è in grado di dare buoni risultati a) necessità anche di stabilità, ossia dovrebbero restare costanti nel tempo le modalità di liquidazione dei sinistri, così come i relativi costi 2) L’approccio individuale, invece, risulta opportuno in presenza di pochi sinistri ma molto onerosi Metodi di valutazione per la riserva sinistri APPROCCIO COLLETTIVO (1/5) ANNO DI DIFFERIMENTO 0 1 . . . . 0 ANNO DI DENUNCIA 1 . . . . γ ij γˆij k ¾ Base di partenza . k k+1 Metodi di valutazione per la riserva sinistri APPROCCIO COLLETTIVO (2/5) - k: numero massimo di anni in cui si presuppone completare il pagamento di ogni singolo sinistro coincide anche con l’anno corrente, (al momento il 2007); - il tempo 0 comprende anche tutti quei sinistri che non sono stati chiusi nel periodo k prestabilito, sebbene questi non siano molti (circa un 1%,2%), nel caso in cui il valore di k sia stato scelto adeguatamente La loro entità complessiva è supposta nota ed è espressa con R0,k+1 Metodi di valutazione per la riserva sinistri APPROCCIO COLLETTIVO (3/5) ¾ Lettura della tabella - per riga troviamo l’evoluzione di una generazione di sinistri rispetto alle epoche in cui vengono effettuati i risarcimenti - per colonna abbiamo il trend negli anni di differimento: come si comportano le varie generazioni dei sinistri relativamente ad un dato anno di differimento. Ad esempio, un trend decrescente all’interno di una colonna, corrisponde ad un anno in cui i risarcimenti diminuiscono nel corso del tempo - sulla diagonale sono presenti i pagamenti relativi all’anno di valutazione Metodi di valutazione per la riserva sinistri APPROCCIO COLLETTIVO (4/5) ¾ Stime la diagonale suddivide la tabella in due triangoli - un triangolo superiore, dove si trovano gli elementi noti, la base statistica a disposizione - un triangolo inferiore, dove verranno inserite le stime future Le stime, ed in conseguenza le quantità a disposizione per effettuarle, possono basarsi su γ ij Yij risarcimenti non cumulati relativi alla generazione i, con j anni di differimento Xij risarcimenti cumulati relativi alla generazione i, e risarciti al massimo entro j anni di differimento Metodi di valutazione per la riserva sinistri APPROCCIO COLLETTIVO (5/5) • OSSERVAZIONI 1) Le considerazioni effettuate fanno riferimento ai sinistri liquidati: - l’analisi esclude i sinistri aperti, che dovranno poi essere inseriti nel costo complessivo 2) I dati della base statistica derivano o proprio dalla compagnia di assicurazione o da un gruppo di compagnie. - I problemi maggiori riguardano i riassicuratori, i quali sono costretti a svolgere i loro calcoli sulla base di dati molto incompleti 3) Per avere una stima della riserva IBNR basterebbe considerare l’anno di accadimento, anziché quello di denuncia Approccio collettivo METODI DI STIMA (1/4) ¾ Le stime che devono essere individuate sono - γˆ ij che può rappresentare o i singoli risarcimenti o i risarcimenti cumulati - Rˆ i ,k +1 che determina quei sinistri che appartengono alla generazione i e che non vengono risarciti in k anni di differimento Le ipotesi dell’approccio collettivo sono a) una base statistica appropriata b) la disponibilità di un modello di proiezione Approccio collettivo METODI DI STIMA (2/4) ¾ Metodi di proiezione a) Metodi deterministici forniscono una stima puntuale della riserva b) Metodi stocastici permettono di considerare l’aleatorietà del portafoglio analizzato, creandone una stima intervallare entro la quale la riserva sinistri si collocherà 9 Sono evidenti i vantaggi dei metodi stocastici, in grado di fornire misure di variabilità della stima individuata ed il conseguente livello di fiducia ad essa attribuita Approccio collettivo METODI DI STIMA (3/4) ¾ Metodi deterministici - possono basarsi su 2 tecniche di proiezione distinte a) “grossing up” fa riferimento alla proporzione di risarcimenti effettuati nel corso degli anni di differimento in rapporto al totale ⎛ ⎜ Y r0 = ⎜ i 0 ⎜ ∑ Yij ⎝ j ⎞ ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ Y ⎟ ⎟; r1 = ⎜ i1 ⎟; ⎟ ⎜ ∑ Yij ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ j ...... ⎛ ⎜ Y rh = ⎜ ih ⎜ ∑ Yij ⎝ j ⎞ ⎟ ⎟; ⎟ ⎠ ...... Approccio collettivo METODI DI STIMA (4/4) ¾ Metodi deterministici b) “link ratio” considera la proporzione dei risarcimenti effettuata nel corso degli anni di differimento in rapporto all’anno precedente ⎛ Yi 2 ⎞ ⎛ Yi1 ⎞ r0 = ⎜⎜ ⎟⎟; r1 = ⎜⎜ ⎟⎟; ⎝ Yi1 ⎠ ⎝ Yi 0 ⎠ ...... ⎛ Yih +1 ⎞ ⎟⎟; rh = ⎜⎜ ⎝ Yih ⎠ ...... 9 La logica è poi quella di moltiplicare gli elementi che si trovano sulla diagonale, (valori più recenti a disposizione), per i coefficienti, r0, r1,…, rh, a secondo della tecnica utilizzata Approccio collettivo RISERVA SINISTRI (1/2) ¾ Una volta individuate le stime relative agli elementi del triangolo inferiore: - l’entità della riserva sinistri è determinata semplicemente sommando tutti questi valori; - ed aggiungendo, inoltre, i termini aggiuntivi (anche questi stimati), Ri,k+1, (i =1,2,…,k), relativi alle riserve per i pagamenti effettuati con più di k anni di differimento Approccio collettivo RISERVA SINISTRI (2/2) 1) Nel caso di singoli risarcimenti γ ij = Yij R IBNER (k ) ⎛ k ˆ ⎞ = ∑ ⎜⎜ ∑ Yij + Rˆ i ,k +1 ⎟⎟ + R0,k +1 i =1 ⎝ j = k −i +1 ⎠ k 2) Nel caso di risarcimenti cumulati γ ij = X ij k [( ) ] ˆ −X ˆ R(IBNER = X + R ∑ k) ik ik − i i , k +1 + R 0 , k +1 i =1 Metodo della catena (Chain-Ladder) (1/4) ¾ Il metodo si basa sugli importi cumulativamente pagati per sinistri della generazione i nei primi j anni di differimento, Xij La tecnica di proiezione su cui si basa è quella del “link ratio” IPOTESI: esiste una “legge di smontamento” dei sinistri costante per ogni anno di generazione - Tale legge rappresenta la progressione dei risarcimenti cumulati nel corso degli anni di differimento X 01 X 11 X 21 = = = ...... X 00 X 10 X 20 Metodo della catena (Chain-Ladder) (2/4) ¾ I rapporti X ij non dipendono, a meno di variazioni X ij −1 aleatorie, dall’anno di denuncia i, ma solo dall’anno di generazione j ¾ Stima dei rapporti m j = X ij X ij −1 k− j mj = ∑X i =0 k− j ∑X i =0 ij ij −1 , j = 1,2,..., k Metodo della catena (Chain-Ladder) (3/4) ¾ Una volta individuati tutti i coefficienti mi, (i =1,2,…k), le stime sono facilmente calcolabili Xˆ hz = X hk − h z Cm j = k − h +1 h = 1,2,..., k j z = k − h + 1,..., k ¾ I termini aggiuntivi sono invece stimati con Rˆ i ,k +1 = Xˆ ik m k +1 dove m k +1 = X 0 k + R0,k +1 X 0k Metodo della catena (Chain-Ladder) (4/4) • OSSERVAZIONI 1) In questo caso vengono considerati tutti i dati disponibili relativi a due colonne consecutive - esistono ulteriori versioni del metodo, le cui stime si basano solo su alcuni dei dati a disposizione 2) Si può pensare di utilizzare i valori relativi solo agli ultimi 3 o 5 anni di generazione oppure assegnare “pesi” diversi alle quantità note -il fine è quello di attribuire ai dati una importanza diversa in base al loro riferimento temporale. (Ad esempio, è plausibile ritenere più affidabili i dati più recenti) Varianti del metodo della catena (1/5) Le Ipotesi A fronte dei pochi dati richiesti ai fini dei calcoli, - il metodo presuppone anche l’ipotesi di costanza, rispetto alle varie generazioni, della progressione dei pagamenti cumulati LIMITE ¾ Nel tempo può variare - la gestione amministrativa dell’impresa in ambito della liquidazione dei sinistri - il comportamento della magistratura ed in conseguenza i tempi di indennizzo - ci sono poi gli effetti inflazionistici Varianti del metodo della catena (2/5) FATTORI “ESOGENI” E “TASSI INFLATIVI” ¾ È possibile attutire l’effetto dei cosiddetti fattori “esogeni”, ossia esterni all’attività assicurativa, introducendo tassi “inflativi” sulla base delle osservazioni passate • I “tassi inflativi” non corrispondono a quelli ufficiali dell’inflazione economica: - considerano anche gli effetti, diretti ed indiretti, sulla gestione di impresa in ambito costi per risarcimenti Varianti del metodo della catena (3/5) ¾ Procedimento operativo I. Il primo passo è quello di decomporre i risarcimenti cumulati, per ogni anno di generazione, nei diversi importi relativi ai singoli anni di differimento. Si considerano le quantità Yij = X ij − X ij −1 II. Si “inflazionano” poi questi valori prendendo come anno di riferimento quello della generazione più recente (nel caso il 2007) e si ottengono pertanto importi “inflazionati”, Yij* , in euro 2007 j III. Si ricostruiscono i risarcimenti cumulati, X ij∗ = ∑ Yiz∗ , e si z =0 applica il classico metodo della catena a questi nuovi valori, che, a questo punto, risultano espressi in euro 2007 Varianti del metodo della catena (4/5) OSSERVAZIONE ¾ La stima non è ancora completa Occorre considerare anche l’inflazione presente negli anni futuri la valutazione Si utilizza un procedimento analogo a quello utilizzato per gli anni passati; mentre il tasso di inflazione è ipotizzato essere costante nel tempo ed è calcolato come una media dei tassi riscontrati nel passato Varianti del metodo della catena (5/5) ¾ Procedimento operativo per gli anni futuri la valutazione IV. Si costruisce la matrice triangolare inferiore dei pagamenti annuali previsti in futuro, che ricordiamo essere espressi in euro 2007, Yˆij∗ = Xˆ ij∗ − Xˆ ij∗−1 V. Si “inflazionano” questi valori sulla base dell’ipotesi di tasso costante precedentemente effettuata VI. La somma delle righe, (senza eventualmente ritornare agli importi cumulati), rappresenta il valore della riserva globale che, pertanto, considera sia l’inflazione relativa agli anni passati, sia l’inflazione relativa agli anni futuri. Metodo dei minimi quadrati di De Vylder (1/4) ¾ Il metodo, creato da De Vylder nel 1978, si basa sul criterio dei minimi quadrati ¾ I dati a disposizione sono i singoli importi relativi alla generazione i risarciti con j anni di differimento Yij • BASE STATISTICA abbiamo a disposizione solo un insieme di informazioni parziali, diciamo D, o per carenza di dati, o per loro inattendibilità (i valori del triangolo superiore, quelli che costituiscono la base statistica, non sono necessariamente tutti disponibili, oppure lo sono, ma risultano inattendibili ) 9 Aspetto molto diffuso anche nella realtà assicurativa Metodo dei minimi quadrati di De Vylder (2/4) IPOTESI: il singolo risarcimento può essere fattorizzato in Yij = p i r j quantità che dipende dall’anno di generazione i e ne esprime il risarcimento complessivo parametro adimensionale che dipende dall’anno di differimento e rappresenta la “legge di smontamento dei sinistri” 9 La fattorizzazione è individuata a meno di una costante moltiplicativa ed è univocamente determinata nel caso si assuma la normalizzazione k ∑r j =0 j =1 Metodo dei minimi quadrati di De Vylder (3/4) La tecnica di proiezione su cui si basa è quella del “grossing up” ¾ Le stime si ottengono secondo il criterio dei minimi quadrati ∑ (Y ( i , j )∈D ij − pi rj ) insieme delle coppie (i,j) effettivamente disponibili 2 Metodo dei minimi quadrati di De Vylder (4/4) ¾ Soluzioni la soluzione, normalizzata, si ottiene utilizzando un processo iterativo sulle quantità ∑Y r = ∑r ij j a) pi j 2 j ; i = 1,2,..., k Si parte da valori arbitrari assegnati alle rj, (sotto la condizione ∑ r = 1 ), da sostituire nell’ espressione (a) per poi passare a calcolare la (b), quindi ritornare alla (a), …… e così via iterativamente k j j j =0 ∑Y p = ∑p ij b) rj i i 2 i i ; j = 1,2,..., k Alcune osservazioni sui metodi di stima (1/2) 1) La scelta dei metodi di stima da utilizzare ai fini dei calcoli della riserva sinistri dipende molto dalle ipotesi su cui i criteri si basano - Il realismo delle ipotesi è spesso difficile da realizzare ed è quindi difficile stabilire il metodo di valutazione appropriato 2) Criteri diversi possono apportare risultati di gran lunga differenti - In genere la stima viene effettuata utilizzando più metodi di calcolo; - il valore finale deriva poi da una media dei singoli risultati ottenuti Alcune osservazioni sui metodi di stima (2/2) 3) I modelli statistici possono essere controllati sfruttando, con il passare del tempo, le informazioni passate, efficaci elementi di confronto con le passate previsioni. - Al riguardo, sarebbe invece auspicabile riferirsi ad uno stesso modello di valutazione ed in conseguenza ai maggiori dati disponibili nel corso del trascorrere dei diversi anni di esercizio 4) Comprensibile necessità di utilizzare modelli diversi per portafogli con caratteristiche differenti. 5) L’importo finale della riserva sinistri (alla chiusura di un esercizio) rappresenta una stima dell’impegno complessivo dell’impresa nei confronti dei rischi assicurati e non un suo valore attuale Altre riserve tecniche (1/2) ¾ Riserve di perequazione devono essere accantonate allo scopo di: - perequare le fluttuazioni del tasso dei sinistri negli anni futuri; - coprire rischi particolari. • Riserva di compensazione - deve essere costituita dalle imprese che operano nel ramo credito, accantonando una percentuale dell’eventuale saldo tecnico positivo del ramo secondo apposite modalità indicate nell’art. 80 del D.L. n.173 del 1997, allo scopo di compensare i risultati (positivi e negativi) di più esercizi. • Riserva di equilibrio per rischi di calamità naturali - è prevista per tutti i rami danni, ad eccezione dei rami credito e cauzione, e deve essere accantonata (secondo modalità stabilite con apposito decreto ministeriale) allo scopo di compensare nel tempo l’andamento della sinistralità. Altre riserve tecniche (2/2) ¾ Riserva di senescenza - deve essere accantonata per quei contratti di assicurazione contro le malattie con durata pluriennale e nei quali i premi sono calcolati in base all’età dell’assicurato al momento della stipulazione del contratto stesso; - è destinata a compensare l’aggravarsi del rischio dovuto al crescere dell’età degli assicurati; - è calcolata su basi attuariali ma può anche essere calcolata forfettariamente, in misura non inferiore al 10% dei premi lordi dell’esercizio relativi ai contratti considerati. ¾ Riserve per partecipazioni agli utili e ristorni - comprendono gli importi da attribuire agli assicurati o ai beneficiari dei contratti a titolo di partecipazioni agli utili tecnici e di ristorni. Le riserve nelle assicurazioni sulla vita Le riserve matematiche • L’articolo 36 del codice delle assicurazioni prevede per i contratti di assicurazione sulla vita l’obbligo di costituire riserve tecniche sufficienti a garantire le obbligazioni assunte e le spese future • Secondo quanto previsto dall’art 25 del D.Lgs 174 l’impresa deve accantonare una riserva matematica, calcolata, secondo un metodo attuariale prospettivo sufficientemente prudente, utilizzando le stesse basi tecniche (di primo ordine) adottate per il calcolo del premio. • Per alcuni contratti assicurativi (collegati a fondi o a indici azionari) la riserva dev’essere calcolata facendo riferimento ai valori di mercato. • Le riserve calcolate tenendo contro delle prestazioni e dei premi puri, senza considerare caricamenti di sicurezza e spese, vengono spesse definite riserve matematiche pure. • Tale voce, registrata nel passivo dello stato patrimoniale, esprime la valutazione in un determinato istante dell’ammontare degli impegni futuri nei confronti degli assicurati La riserva matematica prospettiva • Il decreto 174 prevede che la riserva venga calcolata con il metodo prospettivo: la riserva esprime, cioè, la differenza tra il valore attuale atteso, alla data di calcolo della riserva, degli impegni futuri dell’assicuratore e il valore attuale atteso degli impegni dell’assicurato. • Il principio di equità richiede che al momento della stipulazione del contratto l’impegno del contraente e dell’assicuratore coincidano: E 0 (I (c ) x ) = E 0 (I (a ) x ) • Tale uguaglianza non sussiste necessariamente in epoche di valutazione diverse dal momento della stipulazione de contratto: E t ( I x( c ) ) ≠ E t ( I x( a ) ) • Tale relazione può essere trasformata in uguaglianza introducendo la riserva matematica: E t ( I x( a ) ) = E t ( I x( c ) ) + V t ( p ) • Da cui si può ricavare la formulazione della riserva matematica prospettiva: V t ( p ) = E t ( I x( a ) ) − E t ( I x( c ) ) Alcuni commenti • Accanto alla riserva matematica possono risultare necessari ulteriori accantonamenti per far fronte a particolari impegni che gravano sul contratto. In particolare possono essere previste, ad esempio, delle riserve spese di gestione per far fronte alle spese che si originano nei contratti. • Inoltre, l’utilizzo di basi tecniche di primo ordine per il calcolo della riserva matematica potrebbe portare ad una sottostima dell’impegno rispetto all’effettiva realtà demografica e finanziaria. • Alcune circolari Isvap hanno, così, previsto la necessità di effettuare accantonamenti nel caso di variazioni sfavorevoli di alcune ipotesi: - la circolare 343 D prevede l’accantonamento di una riserva basi demografiche per i contratti di rendita o con opzione per tener conto del longevity risk - la circolare 1801 prevede la stima della capacità delle riserve attuali di far fronte agli impegni futuri legati ai contratti rivalutabili sulla base dei rendimenti previdibili attesi. Il ruolo dell’attuario e l’impatto del progetto Solvency II Il ruolo dell’attuario incaricato ¾ Principali compiti dell’attuario incaricato nel settore danni: - una verifica preventiva delle basi tecniche, delle metodologie statistiche, delle ipotesi tecniche e finanziarie utilizzate ai fini della determinazione del fabbisogno tariffario e degli ulteriori elementi considerati; - una valutazione preventiva dei premi di tariffa in funzione dei parametri di riferimento utilizzati; - la stesura di una relazione tecnica sulla tariffe e sulle riserve; - lo stabilire rapporti diretti con l’Isvap, con la società di revisione e con il collegio sindacale. I Principi Contabili Internazionali (IAS) e la riserva sinistri (1/2) ¾ I principi IAS sono stati stabiliti al fine di creare una contabilità internazionale uniforme per ciascuna attività economica • In un’ottica di “globalizzazione” il risultato delle imprese deve essere confrontabile a livello internazionale A differenza di quanto stabilito dal Codice Civile nazionale, il cui principio cardine è quello della prudenza, i nuovi Principi Contabili Internazionali (IAS) tendono a privilegiare il principio della competenza. I Principi Contabili Internazionali (IAS) e la riserva sinistri (2/2) ¾ Principio della competenza I bilanci devono presentarsi senza alcuna asimmetria: - dovranno essere contabilizzati anche proventi non realizzati sotto la voce costi e ricavi; - verrà favorito il criterio del valore corrente ( “fair value”), anziché quello del “costo storico” per quanto riguarda le voci attività e passività. Sono richiesti metodi di valutazione capaci di assicurare una maggiore armonizzazione delle pratiche nazionali La necessità di modelli stocastici ¾ Sia nell’ottica di introduzione dei nuovi principi contabili internazionali, sia nell’ottica dell’individuazione di un requisito di solvibilità secondo i principi di Solvency II, appare necessaria una valutazione “Market Consistent” delle riserve tecniche. ¾ Tale valutazione, definita anche al “fair value”, prevede la quantificazione non solo del valore puntuale della riserva tecnica ma una descrizione della variabilità della stessa ed eventualmente dell’intera distribuzione di probabilità della riserva ¾ In quest’ottica assumono particolare rilevanza metodi che permettono la determinazione non solo del valore puntuale ma anche una stima della variabilità (metodi stocastici) Una valutazione “market consistent” L’impatto del progetto Solvency II ¾ Una rilevante fonte di rischio per le compagnie di assicurazione contro i danni è costituita dalla possibile sottostima degli impegni di rimborso in essere, da cui la conseguente insufficienza della riserva sinistri • In tale ambito uno degli argomenti più dibattuti negli ultimi anni riguarda l’impiego di metodologie di calcolo di tipo deterministico o stocastico per la valutazione della riserva sinistri • A seguito del progetto Solvency II, l’impiego di metodologie stocastiche dovrà diffondersi sempre di più………… - Tra i vari aspetti il CEIOPS (Committee of European Insurance and Occupational Pension Supervisors), su richiesta della Commissione Europea, ha posto come obiettivo il raggiungimento di un benchmark armonizzato in chiave probabilistica quale requisito regolamentare per la riserva sinistri ¾ Questo obiettivo può essere raggiunto solamente mediante l’utilizzo di un modello di valutazione di tipo stocastico alla serie storica dei sinistri I nuovi requisiti di riserva ¾ Il nuovo sistema di calcolo delle riserve dovrebbe basarsi sulla somma di due distinte componenti: - la best estimate, quale valore medio atteso dei futuri impegni nei confronti degli assicurati; - il risk margin, quale margine addizionale predisposto per formalizzare quantitativamente l’incertezza degli impegni futuri, generata da fattori di rischio esogeni • Mentre la definizione della best estimate come valore atteso della distribuzione dei futuri impegni nei confronti degli assicurati è condivisa da molti, vi è in corso un ampio dibattito per quel che riguarda la definizione quantitativa del risk margin • È prassi comune che il risk margin debba rappresentare un margine prudenziale destinato a compensare l’incertezza attinente gli importi futuri delle prestazioni secondo una impostazione coerente con una valutazione di mercato In questa ottica il risk margin rappresenterebbe il premio per il rischio che un altro assicuratore richiederebbe per rilevare gli impegni in essere del portafoglio considerato in una libera trattativa di mercato Il risk margin (1/2) ¾ Nell’ambito del progetto Solvency II sono stati presi in esame due metodi per il calcolo del risk margin: - il quantile approach, secondo il quale il risk margin è definito come la differenza tra il valore degli obblighi futuri scelto ad un prefissato livello di probabilità, tipicamente uguale al 75-esimo o 90-esimo quantile, e la best estimate; - il cost-of-capital approach, secondo il quale il risk margin è dato dal costo del patrimonio di vigilanza (reserve risk capital) richiesto dalla normativa per coprire il rischio di insolvenza fino all’estinzione completa della riserva sinistri. Il risk margin (2/2) - il quantile approach, secondo il quale il risk margin è definito come la differenza tra il valore degli obblighi futuri scelto ad un prefissato livello di probabilità, tipicamente uguale al 75esimo quantile, e la best estimate; - il cost-of-capital approach, secondo il quale il risk margin è dato dal costo del patrimonio di vigilanza (reserve risk capital) richiesto dalla normativa per coprire il rischio di insolvenza fino all’estinzione completa della riserva sinistri. CoC_factor = 6% (SCR): è il livello di capitale che un assicuratore dovrebbe disporre, in un approccio di tipo going-concern, prefissato un certo livello di confidenza ed un certo orizzonte temporale Il prediction error (1/2) ¾ Un aspetto di interesse nella pratica attuariale è quello di ottenere l’errore di previsione della riserva totale Data la correlazione nella procedura di stima, presente sia tra le righe (anni di generazione) che tra le colonne (anni di bilancio), la varianza di previsione non può essere determinata sommando semplicemente le varianze di previsione delle riserve delle singole generazioni anche se i pagamenti cumulati corrispondenti a differenti generazioni sono indipendenti per ipotesi Il prediction error (2/2) ¾ La variabilità totale del processo deve includere sia la variabilità insita nei dati stimati (varianza del processo), sia l’incertezza nella stima dei parametri (varianza della stima) • Sotto la tipica assunzione di indipendenza tra le osservazioni passate e quelle future ed ipotizzando la correttezza……. Scomposizione dell’errore quadratico medio di previsione (RMSEP, dall’inglese Root Mean Squared Error of Prediction) ( ) 2 RMSEP = E ⎡ X − X̂ ⎤ = ⎢⎣ ⎥⎦ [ = E ( X − E ( X )) 2 ] varianza di previsione varianza del processo rappresenta la variabilità presente nei dati iniziali + ( ( )) ⎤⎥⎦ E ⎡ Xˆ − E Xˆ ⎢⎣ 2 varianza della stima (la cui radice quadrata è lo standard error) PREDICTION ERROR = rappresenta la variabilità dovuta alla stima RMSEP La riassicurazione La riassicurazione ¾ L’attività concernente le assicurazioni contro i danni è tipicamente basata sulla gestione di un portafoglio di rischi sufficientemente omogenei, in base allo stato di informazione disponibile all’epoca di stipulazione dei contratti aspetti che non emergono nel caso l’interesse sia focalizzato sul singolo rapporto assicurativo Quantificazione della rischiosità del portafoglio Limitazione della rischiosità del portafoglio Quantificazione della rischiosità del portafoglio ¾ Avviene mediante opportuni valori sintetici del portafoglio 1) l’indice di fluttuazione 2) l’indice di rischio 3) l’indice di stabilità relativa 9 Indici sintetici che consentono di avere una visione globale dell’attività assicurativa - l’ambito di riferimento è l’intero portafoglio assicurativo, non il singolo contratto Limitazione della rischiosità del portafoglio ¾ Avviene mediante opportuni strumenti 1) la coassicurazione mediante la quale l’assicuratore assume ciascun rischio in compartecipazione con altri assicuratori, detti coassicuratori, e ciascuno di essi diviene responsabile, in caso di sinistro, per la frazione di rischio assunta 2) la riassicurazione mediante la quale l’assicuratore trasferisce ad un altro soggetto, detto riassicuratore, (almeno) una parte (di alcuni) dei rischi assunti Valutazione della rischiosità di un portafoglio di assicurazioni contro i danni (1/2) ¾ Si consideri un portafoglio costituito da n contratti di assicurazione contro i danni riferiti a un medesimo tipo di rischio Tali contratti siano: - contemporaneamente stipulati - contraddistinti da un eguale periodo di copertura (annuale) - relativi a rischi analoghi con riferimento a. alle caratteristiche del rischio adeguatamente valutabili, all’epoca di stipulazione del contratto, da parte dell’assicuratore; b. alle condizioni contrattuali di copertura, ma non necessariamente anche ai valori monetari di esposizione al rischio Valutazione della rischiosità di un portafoglio di assicurazioni contro i danni (2/2) ¾ In relazione al j-esimo (j=1,2,…,n) contratto si ha numero di sinistri che colpiscono il contratto risarcimento a carico dell’assicuratore in relazione all’i-esimo sinistro in ordine cronologico (i=0,1,…;Y0,j≡0) Nj X j = ∑ Yi , j i =0 n n X = ∑ Xj = ∑ j=1 risarcimento globale posto a carico dell’assicuratore per il singolo contratto del portafoglio Nj ∑ j=1 i = 0 Yi, j risarcimento globale a carico dell’assicuratore (considerando l’intero portafoglio) Guadagno di portafoglio (1/2) ¾ Gj = Π j − X j Guadagno relativo al j-esimo contratto del dato portafoglio premio puro relativo al j-esimo contratto del dato portafoglio ¾ Principali valori caratteristici della distribuzione di probabilità di Gj • E ( G j ) = Π j − Pj = r j 2 var( G ) = var( X ) = σ • j j j dove Pj e rj indicano, rispettivamente, il premio equo (vale a dire, Pj=E(Xj)) ed il caricamento di sicurezza per il dato contratto Guadagno di portafoglio (2/2) ¾ G= n ∑G j =1 j Guadagno di portafoglio =Π−X n n j =1 j =1 Π = ∑ Π j = ∑ ( Pj + rj ) = P + r n E (G ) = ∑ rj = r j =1 n var(G ) = var( X ) = ∑ σ 2j = σ 2 j =1 nell’ipotesi che i risarcimenti globali X1, X2, …, Xn siano tra loro indipendenti Probabilità annuale di perdita (1/3) ¾ Probabilità dell’evento “l’onere aleatorio per risarcimenti supera l’ammontare globale dei premi puri” Pr{G < 0} = Pr{X > P + r} = η probabilità annuale di perdita probabilità per l’assicuratore di non riuscire a fronteggiare l’onere di sinistrosità impiegando le sole risorse provenienti dai premi 9 L’obiettivo è quello di mantenere sufficientemente bassa, in particolare eguale ad una data soglia η* ritenuta accettabile, tale probabilità Probabilità annuale di perdita (2/3) ¾ Si può convenientemente considerare la variabile aleatoria standardizzata X −P σ σ = σ(X) scarto quadratico medio di X ⎧X −P r ⎫ ⎛r⎞ > ⎬ = 1 − Φ⎜ ⎟ η = Pr ⎨ σ⎭ ⎩ σ ⎝σ ⎠ Φ : funzione di ripartizione di (X-P)/σ Obiettivo dell’assicuratore è “controllare” la probabilità η mediante il caricamento di sicurezza (globale) r Probabilità annuale di perdita (3/3) ¾ Non formulando alcuna ipotesi sulla distribuzione di probabilità di X ⎧X −P r ⎫ ⎛r⎞ > ⎬ = 1 − Φ⎜ ⎟ η = Pr ⎨ σ⎭ ⎩ σ ⎝σ ⎠ r σ = Φ −1 (1 − η ) dove Φ-1(1-η) è il percentile di ordine (1-η) della distribuzione di probabilità di (X-P)/σ Fissato un livello, η* (ad esempio η* = 0.005), che l’assicuratore ritiene accettabile per la probabilità annuale di perdita si ricava il valore (r/σ)* di r/σ che consente di raggiungere il dato obiettivo Probabilità annuale di perdita OSSERVAZIONI 1) Nella particolare ipotesi che il portafoglio sia costituito da un numero sufficientemente grande di contratti, si può opportunamente assumere l’approssimazione normale per la distribuzione di probabilità di X (con valore medio P e scarto quadratico medio σ). - In tal caso Φ è la funzione di ripartizione della distribuzione normale standardizzata 2) Posto μ= r σ μ = Φ −1 (1 − η ) è immediato rilevare come il caricamento di sicurezza, r, da applicare (globalmente) al portafoglio sia proporzionale allo scarto quadratico medio, σ, del risarcimento globale X Indice di fluttuazione e indice di rischio ¾ Indice di fluttuazione σ r ξ = =μ P P Aliquota di caricamento di sicurezza (per unità di premio equo) da applicare in corrispondenza di ciascun contratto del portafoglio ¾ Indice di rischio ρ= σ P coefficiente di variazione di X A differenza dell’indice di fluttuazione, ξ, il quale dipende dal fissato livello di caricamento di sicurezza μ, il rapporto ρ costituisce una misura oggettiva di rischio del portafoglio Probabilità annuale di rovina (1/2) ¾ Probabilità dell’evento “l’onere aleatorio per risarcimenti supera la somma dell’ammontare globale dei premi puri e del margine di solvibilità inizialmente a disposizione dell’assicuratore in relazione al portafoglio” ε = Pr{G < -W} = Pr{X > W + P + r} Probabilità annuale di rovina probabilità per l’assicuratore di non riuscire a fronteggiare l’onere di sinistrosità pur impiegando tutte le risorse, costituite dai premi e dai mezzi propri, a sua disposizione Probabilità annuale di rovina (2/2) ε = Pr{G < -W} = Pr{X > W + P + r} W : margine di solvibilità, costituito da mezzi propri (capitale, riserve libere) dell’assicuratore non destinati, a differenza delle riserve tecniche, alla copertura di specifici impegni in termini di valore atteso ¾ Altro obiettivo dell’assicuratore consiste nel mantenere sufficientemente bassa, in particolare eguale ad una data soglia ε* ritenuta accettabile, tale probabilità ⎧X −P W +r⎫ ⎛W + r ⎞ ε = Pr ⎨ > ⎟ ⎬ = 1 − Φ⎜ σ ⎭ ⎩ σ ⎝ σ ⎠ Indice di stabilità relativa di portafoglio ¾ s= W +r σ Fissato un livello, ε* (ad esempio ε* = 0.001), che l’assicuratore ritiene accettabile per la probabilità annuale di rovina Dalla s = Φ-1(1-ε*) ⎧X −P W +r⎫ ⎛W + r ⎞ 1 > = − Φ ⎟ ⎜ ⎬ σ ⎭ ⎩ σ ⎝ σ ⎠ dove ε = Pr ⎨ si ottiene il valore s* dell’indice di stabilità relativa, s, che consente di raggiungere il dato obiettivo Indice di stabilità relativa di portafoglio OSSERVAZIONI (1/2) 1) Dalla s = Φ-1(1-ε*) è immediato rilevare come la probabilità annuale di rovina, ε, decresca al crescere dell’indice di stabilità relativa, s, del portafoglio 2) Nella particolare ipotesi che il portafoglio sia costituito da un numero sufficientemente grande di contratti, si può opportunamente considerare l’approssimazione normale ai fini della distribuzione di probabilità di X 3) L’indice di stabilità relativa del portafoglio ha interesse anche quando, non formulando alcuna ipotesi sulla distribuzione di probabilità di (X-P)/σ, si scelga di ricorrere al calcolo di limitazioni superiori per la probabilità di rovina Indice di stabilità relativa di portafoglio OSSERVAZIONI (2/2) ¾ Probabilità di rovina e indice di stabilità relativa di portafoglio Dalla disuguaglianza di Cantelli 1 Pr{X - P ≥ tσ } ≤ 1+ t 2 con t > 0 Posto tσ = W+r (quindi, t = s), si ottiene 1 Pr{G ≤ - W} ≤ 1+ s2 L’indice di stabilità relativa di portafoglio pone una limitazione superiore alla probabilità di rovina Probabilità annuale di rovina e indice di stabilità relativa di portafoglio (1/2) ¾ Al fine di ridurre la probabilità annuale di rovina, ε, l’assicuratore può opportunamente operare sull’indice di stabilità relativa del portafoglio, s incrementando almeno una delle seguenti due variabili decisionali a) il margine di solvibilità, W - frequentemente ostacolata dall’effettiva situazione patrimoniale dell’assicuratore b) il caricamento di sicurezza, r - spesso resa problematica dalle condizioni di mercato Probabilità annuale di rovina e indice di stabilità relativa di portafoglio (2/2) ¾ Nelle situazioni in cui è fortemente limitata la possibilità di intervento sulle precedenti variabili decisionali l’assicuratore deve ricorrere a strumenti che accrescano l’indice di stabilità relativa del portafoglio mediante una riduzione dello scarto quadratico medio, σ, del risarcimento globale X la coassicurazione la riassicurazione Coassicurazione e riassicurazione (1/2) ¾ Coassicurazione l’assicuratore assume ciascun rischio in compartecipazione con altri assicuratori, detti coassicuratori, e ciascuno di essi diviene responsabile, in caso di sinistro, per la frazione di rischio assunta ¾ Riassicurazione l’assicuratore trasferisce ad un altro soggetto, detto riassicuratore, (almeno) una parte (di alcuni) dei rischi assunti Coassicurazione e riassicurazione (2/2) ¾ Coassicurazione Si attua un trasferimento del rischio su base orizzontale (vale a dire, riferito all’epoca di stipulazione del contratto di assicurazione) e l’assicurato è a conoscenza dell’esistenza del rapporto coassicurativo ¾ Riassicurazione Si attua un trasferimento del rischio su base verticale (vale a dire, successivo all’epoca di stipulazione del contratto di assicurazione) e l’assicurato è del tutto estraneo al rapporto riassicurativo Rapporti e trattati di riassicurazione (1/6) ¾ In generale, un rapporto di riassicurazione si instaura secondo una delle seguenti due modalità a) tra l’assicuratore, detto cedente, ed un altro assicuratore, il quale opera come riassicuratore cessionario b) tra l’assicuratore cedente ed un riassicuratore professionale, il quale non svolge lavoro diretto (vale a dire, non offre copertura ai rischi provenienti direttamente dagli assicurati) Rapporti e trattati di riassicurazione (2/6) ¾ Riassicurazione passiva e riassicurazione attiva a) La cessione dei rischi operata dall’assicuratore (cedente) è denominata riassicurazione passiva b) L’assunzione dei rischi operata dal riassicuratore (sia egli cessionario o professionale) viene denominata riassicurazione attiva (o, anche, lavoro indiretto in quanto questa attività non deriva dalle acquisizioni dirette dei rischi degli assicurati) • E’ frequente il caso in cui il riassicuratore non accetti l’intera cessione dei rischi richiesta dall’assicuratore - quest’ultimo ricorrerà ad un secondo riassicuratore (eventualmente ad un terzo, …) al quale cederà le parti residue di rischio non accettate dal primo riassicuratore Rapporti e trattati di riassicurazione (3/6) ¾ Riassicurazione di secondo livello Caso in cui il riassicuratore, dopo avere accolto la richiesta dell’assicuratore, procede alla cessione ad altro riassicuratore (di una parte) dei rischi accettati La riassicurazione di secondo livello è denominata retrocessione e i soggetti in essa coinvolti sono chiamati, rispettivamente, retrocedente e retrocessionario 9 È il riassicuratore ad attuare un nuovo rapporto di riassicurazione; e non l’assicuratore diretto Rapporti e trattati di riassicurazione (4/6) ¾ Il rapporto tra l’assicuratore ed il riassicuratore può inoltre avvenire secondo una delle seguenti tre modalità a) riassicurazione facoltativa; - la cessione è effettuata contratto per contratto, secondo le specifiche esigenze dell’assicuratore - il riassicuratore può non accettare la cessione b) riassicurazione obbligatoria e riassicurazione “facob” (vale a dire, facoltativa-obbligatoria) - il rapporto tra le parti è regolamentato da un trattato di riassicurazione che ne disciplina i diversi aspetti (date di inizio e fine rapporto, la forma riassicurativa, i limiti di ritenzione dell’assicuratore, i limiti di accettazione del riassicuratore, l’importo e le modalità di pagamento del premio di riassicurazione) Rapporti e trattati di riassicurazione (5/6) b) riassicurazione obbligatoria l’assicuratore è obbligato a cedere assegnate quote di rischio ed il riassicuratore è obbligato ad accettarle (il trattato è pertanto anche detto automatico) c) riassicurazione “facob” il riassicuratore è obbligato ad accettare, entro limiti prestabiliti, le quote di rischio che l’assicuratore decide di cedere OSSERVAZIONE 1) Le forme riassicurative facoltative riguardano prevalentemente singoli rischi. - Ad esse si rivolge di norma l’assicuratore per coprire nuovi rischi, difficilmente inseribili all’interno di un collettivo preesistente e caratterizzato dal requisito dell’omogeneità 2) I trattati di riassicurazione riguardano, per lo più, gruppi di rischi Rapporti e trattati di riassicurazione (6/6) ¾ Riassicurazione individuale e riassicurazione globale Il rapporto di riassicurazione, qualunque sia la modalità prescelta, può infine essere definito in base ad un approccio a) individuale (vale a dire, con riferimento al singolo contratto): in questo caso si ha una riassicurazione individuale b) globale (vale a dire, con riferimento all’intero portafoglio): in questo caso si ha una riassicurazione globale Forme di riassicurazione (1/2) ¾ Si distinguono le seguenti due forme di riassicurazione a) riassicurazione proporzionale; l’assicuratore e il riassicuratore si accordano su una ripartizione di ciascun rischio del portafoglio. - Nella medesima proporzione viene ripartito il risarcimento relativo a ciascun eventuale sinistro b) riassicurazione non proporzionale; l’assicuratore e il riassicuratore si accordano generalmente su un importo monetario corrispondente al massimo risarcimento che l’assicuratore è disposto ad effettuare, secondo la particolare modalità riassicurativa prescelta Forme di riassicurazione (2/2) b) riassicurazione non proporzionale; L’importo monetario corrispondente al massimo risarcimento che l’assicuratore è disposto ad effettuare viene valutato in riferimento a: - ad un sinistro che colpisce un dato contratto del portafoglio; - ai sinistri che, derivanti da un unico evento (il quale può avere, in particolare, natura catastrofale), colpiscono contemporaneamente più contratti del portafoglio; - ai sinistri che, nel corso di un assegnato intervallo di tempo (ad esempio, un anno), colpiscono il portafoglio 9 Con riferimento a quest’ultima modalità l’accordo tra le parti può, in alternativa, essere basato sul rapporto percentuale sinistri a premi di competenza (“loss ratio”) del portafoglio, considerando quindi una limitazione espressa in termini percentuali (e non in termini monetari) ai fini della ripartizione del risarcimento globale tra le parti Forme di riassicurazione OSSERVAZIONI 1) La riassicurazione operante tra due assicuratori può prevedere una clausola di reciprocità, in base alla quale i due assicuratori concordano la reciproca cessione, in un’assegnata misura, dei rischi direttamente acquisiti sul mercato 2) Nella pratica riassicurativa le forme proporzionali e non proporzionali sono frequentemente combinate tra loro, definendo in questo modo varie riassicurazioni miste particolarmente efficaci per le diverse esigenze dell’assicuratore e del riassicuratore La riassicurazione: obiettivi e ruoli (1/2) ¾ L’obiettivo principale della riassicurazione, considerando il punto di vista dell’assicuratore, è evidentemente la riduzione della rischiosità del portafoglio - In conseguenza si determina anche un aumento della capacità di assunzione dei rischi - La considerazione che la riassicurazione può determinare un significativo rafforzamento della solvibilità dell’assicuratore ad esempio misurata mediante il rapporto tra l’ammontare dei mezzi propri ed il volume dei premi incassati, calcolati al netto delle cessioni in riassicurazione La riassicurazione: obiettivi e ruoli (2/2) ¾ Il rapporto riassicurativo fa anche sì che l’assicuratore possa ricevere, nella fase di progettazione di nuovi prodotti assicurativi, un’adeguata assistenza tecnica (innanzitutto, nella scelta delle basi tecniche) da parte del riassicuratore. - In special modo se il rapporto viene instaurato con un riassicuratore professionale • OBIETTIVO DEL RIASSICURATORE Dal punto di vista del riassicuratore va invece segnalato l’obiettivo di quest’ultimo di poter partecipare alla totalità (o, quanto meno, alla gran parte) degli impegni assunti dall’assicuratore La riassicurazione: profili attuariali (1/2) ¾ Si consideri un portafoglio costituito da n contratti di assicurazione contro i danni contemporaneamente stipulati, aventi un eguale periodo (annuale) di copertura e relativi a rischi analoghi - La riassicurazione del portafoglio può essere opportunamente descritta tramite una n-pla di applicazioni Xj ⎯ ⎯→ X jA , j = 1,2,..., n che decrivono, nei riguardi dei singoli contratti del portafoglio, il risarcimento globale conservato dall’assicuratore, indicato con X Aj La riassicurazione: profili attuariali (2/2) ¾ Il risarcimento globale ceduto al riassicuratore è pertanto dato dalla X Rj = X j − X jA ed è indicato con X Rj Con riferimento all’intero portafoglio si ha il risarcimento globale conservato dall’assicuratore n X = ∑ X jA A j =1 ed il risarcimento globale ceduto al riassicuratore n X = ∑ X Rj = X − X A R j =1 Riassicurazioni proporzionali ¾ Nell’ambito della riassicurazione proporzionale si hanno le seguenti forme riassicurative 1) riassicurazione in quota; 2) riassicurazione per eccedente di somma Entrambe le garanzie prevedono che il rapporto tra l’assicuratore ed il riassicuratore sia definito a livello di singolo contratto (riassicurazione individuale) Riassicurazione in quota ¾ Nella riassicurazione in quota (o, anche, riassicurazione “quota-share”) l’assicuratore ed il riassicuratore fissano un’unica aliquota di conservazione (o, anche, aliquota di ritenzione) che è applicata all’esposizione monetaria associata a ciascun contratto del portafoglio. - Tale esposizione monetaria è espressa in termini di a) valore (del bene) assicurato o valore del massimo danno probabile, nel caso di assicurazioni di danni a beni di proprietà; b) massimale di garanzia, nel caso di assicurazioni di responsabilità civile Riassicurazione in quota ESEMPIO (1/2) In un portafoglio di assicurazioni di danni a beni di proprietà costituito da n contratti, contemporaneamente stipulati, di durata annuale e con valori assicurati V1, V2, …, Vn, sia a (0<a<1) l’aliquota di conservazione concordata tra le parti e, quindi, (1-a) l’aliquota corrispondente alla cessione in riassicurazione • In relazione al j-esimo contratto del portafoglio il valore assicurato conservato dall’assicuratore è quindi V jA = aV j mentre il valore assicurato ceduto al riassicuratore è V jR = (1 − a )V j Riassicurazione in quota ESEMPIO (2/2) • In relazione all’intero portafoglio il risarcimento globale conservato dall’assicuratore è n n X A = ∑ X jA = a ∑ j =1 Nj ∑Y i, j j =1 i = 0 mentre il risarcimento globale ceduto al riassicuratore è n n X R = ∑ X Rj = (1 − a ) ∑ j =1 Nj ∑Y j =1 i = 0 i, j Riassicurazione in quota OSSERVAZIONI 1) È molto semplice a fini operativi 2) Riesce ad aumentare significativamente la capacità di assunzione dei rischi da parte dell’assicuratore 3) Malgrado riduca la variabilità (in termini assoluti) del risarcimento globale a carico dell’assicuratore, non realizza un’efficace omogeneizzazione dei valori assicurati e, quindi, non si ottiene una soddisfacente riduzione della rischiosità del portafoglio 4) Dal punto di vista del riassicuratore va evidenziato l’aspetto positivo derivante dalla sua partecipazione alla totalità degli impegni assunti dall’assicuratore Riassicurazione per eccedente di somma ¾ Nella riassicurazione per eccedente di somma (o, anche, riassicurazione “surplus”) l’assicuratore ed il riassicuratore fissano un pieno di conservazione corrispondente alla massima esposizione al rischio, in termini monetari, che l’assicuratore accetta di conservare per ciascun contratto. ESEMPIO In un portafoglio di assicurazioni di danni a beni di proprietà costituito da n contratti, contemporaneamente stipulati, di durata annuale e con valori assicurati V1, V2, …, Vn, sia C il pieno di conservazione concordato tra le parti Riassicurazione per eccedente di somma ESEMPIO (1/3) • Il valore assicurato conservato dall’assicuratore è V jA = min (V j ; C ) mentre il valore assicurato ceduto al riassicuratore, detto eccedente (o, anche, “surplus”), è V jR = max (V j − C ; 0 ) Riassicurazione per eccedente di somma ESEMPIO (2/3) • In relazione al j-esimo contratto del portafoglio la riassicurazione per eccedente di somma individua l’aliquota di conservazione aj = min (V j ; C ) Vj ⎛C ⎞ = min⎜ ;1⎟ ⎜V ⎟ ⎝ j ⎠ con 0 ≤ aj ≤ 1 Nella riassicurazione per eccedente di somma i limiti di accettazione stabiliti dal riassicuratore, come il seguente esempio pone in evidenza, sono di norma espressi in multipli interi del pieno di conservazione Riassicurazione per eccedente di somma ESEMPIO (3/3) • In relazione all’intero portafoglio il risarcimento globale conservato dall’assicuratore è n ∑ XA= j =1 X iA = n Nj ∑∑a j =1 i = 0 j Yi , j mentre il risarcimento globale ceduto al riassicuratore è XR = n ∑ j =1 X iR = n Nj ∑ ∑ (1 − a ) Y j =1 i = 0 j i, j Riassicurazione per eccedente di somma OSSERVAZIONI (1/2) 1) La riassicurazione per eccedente di somma, è contraddistinta da una maggiore complessità operativa rispetto alla riassicurazione in quota 2) Realizza un’efficace omogeneizzazione dei valori assicurati e, quindi, una significativa riduzione della rischiosità del portafoglio - a parità di sacrificio per l’assicuratore in termini di valore atteso del guadagno di portafoglio (vale a dire, in termini di caricamento di sicurezza), comporta una maggiore riduzione della probabilità di rovina rispetto al caso della riassicurazione in quota - sotto opportune ipotesi, la riassicurazione per eccedente di somma rappresenta la garanzia riassicurativa che ottiene la minima probabilità di rovina per ogni assegnato livello di sacrificio fissato dall’assicuratore Riassicurazione per eccedente di somma OSSERVAZIONI (2/2) 3) Per quanto concerne la provvigione di riassicurazione riconosciuta all’assicuratore si osserva che in questo caso essa è di norma inferiore a quella prevista nella riassicurazione in quota la cessione riguarda i rischi più grandi (generalmente, i peggiori) e gli utili attesi trasferiti al riassicuratore sono pertanto sensibilmente ridotti 9 Al riassicuratore viene trasferita la parte più elevata dell’ammontare dei risarcimenti relativa ad ogni esborso Combinazioni di riassicurazioni proporzionali (1/2) ¾ Nei mercati riassicurativi sono talvolta applicate combinazioni di coperture riassicurative proporzionali • In riferimento ad un portafoglio di assicurazioni di danni a beni di proprietà costituito da n contratti contemporaneamente stipulati, di durata annuale e con valori assicurati V1, V2, …, Vn ESEMPIO 1 assicuratore che conserva la quota a (0<a<1) di ciascun contratto del portafoglio, con una massima esposizione monetaria eguale al pieno di conservazione C a 'j = ( min aVj ; C Vj ) = min⎛⎜ C ; a ⎞⎟ ⎜ Vj ⎝ ⎟ ⎠ In riferimento al j-esimo contratto del portafoglio Combinazioni di riassicurazioni proporzionali (2/2) ESEMPIO 2 assicuratore che conserva la quota a (0<a<1) di ciascun contratto del portafoglio per il quale ha in precedenza operato una cessione riassicurativa per eccedente di somma con pieno di conservazione C • Aliquota di conservazione in riferimento al j-esimo contratto del portafoglio a = '' j a min (V j ; C ) Vj ⎛ aC ⎞ = min⎜ ;a⎟ ⎜V ⎟ ⎝ j ⎠ Riassicurazioni non proporzionali ¾ Nell’ambito della riassicurazione non proporzionale si hanno le seguenti forme riassicurative 1) riassicurazione “excess of loss”; 2) riassicurazione “stop-loss”. Il rapporto tra l’assicuratore ed il riassicuratore può essere definito a livello di singolo contratto (riassicurazione individuale) oppure a livello di portafoglio (riassicurazione globale) Riassicurazione “excess of loss” ¾ Nella riassicurazione “excess of loss” l’assicuratore e il riassicuratore fissano un importo monetario, denominato priorità, corrispondente al massimo risarcimento che l’assicuratore è disponibile ad effettuare, secondo la particolare modalità riassicurativa prescelta • La priorità è fissata in relazione: a) ad un sinistro che colpisce un dato contratto del portafoglio, riassicurazione “per risk excess of loss” b) ai sinistri che, derivanti da un unico evento, colpiscono più contratti del portafoglio contemporaneamente, riassicurazione “per event excess of loss” c) ai sinistri che, nel corso di un assegnato intervallo di tempo (ad esempio, un anno), colpiscono il portafoglio, riassicurazione “aggregate excess of loss” Riassicurazione “per risk excess of loss” (1/3) Con riferimento ad un portafoglio di assicurazioni di responsabilità civile costituito da n contratti contemporaneamente stipulati, di durata annuale e con massimali di garanzia M1,M2,…,Mn ¾ Sia Lj la priorità fissata in corrispondenza del j-esimo contratto Y = min (Yi , j ; L j ) A i, j Importo che rimane a carico dell’assicuratore in relazione all’i-esimo sinistro che colpisce il contratto • Se il trattato non prevede limiti di accettazione da parte del riassicuratore Yi ,Rj = max (Yi , j − L j ; 0 ) Importo che viene trasferito al riassicuratore in relazione all’i-esimo sinistro che colpisce il contratto È trasferita l’intera eccedenza rispetto alla priorità Riassicurazione “per risk excess of loss” (2/3) ¾ La massima esposizione del riassicuratore nei confronti di un sinistro è definita portata • La portata può essere: - totale (vale a dire, eguale alla differenza Mj-Lj) - parziale (vale a dire, inferiore alla differenza Mj-Lj) • Risarcimento globale conservato dall’assicuratore in relazione all’intero portafoglio n XA =∑ Nj A Y ∑ i, j = j =1 i = 0 Nj ∑ ∑ min (Y n i, j j =1 i = 0 ; Lj ) risarcimento globale ceduto al riassicuratore (portata totale) n X =∑ R Nj ∑Y j =1 i = 0 R i, j n =∑ Nj ∑ max (Y j =1 i = 0 i, j − L j ;0 ) Riassicurazione “per risk excess of loss” (3/3) ¾ Nella pratica riassicurativa la portata prevista nella copertura “per risk excess of loss” è generalmente parziale • Risarcimento ceduto al riassicuratore in relazione all’i-esimo sinistro che colpisce il j-esimo contratto del portafoglio Portata parziale Yi ,Rj = min[max(Yi , j − L j ;0) ; Q j ] l’assicuratore deve pertanto procurarsi ulteriori garanzie riassicurative, usualmente articolate in “layers” (o, anche, “fasce”) 9 Il riassicuratore che copre il primo “layer”, detto “working layer”, è evidentemente più esposto al rischio di risarcimenti a suo carico rispetto ai riassicuratori che coprono i “layers” successivi Riassicurazione “per event excess of loss” Con riferimento ad un portafoglio di assicurazioni di responsabilità civile costituito da n contratti contemporaneamente stipulati e di durata annuale, sia Z il risarcimento globale relativo ai sinistri che, derivanti da un unico evento, colpiscono più contratti del portafoglio • Sia LC la priorità fissata in corrispondenza di tale evento Z A = min( Z ; LC ) Z = max( Z − L ;0) R C Importo che rimane a carico dell’assicuratore Importo trasferito al riassicuratore (portata totale) Z R = min[max( Z − LC ;0) ; Q C ] Importo trasferito al riassicuratore (portata parziale, QC) Riassicurazione “aggregate excess of loss” Con riferimento ad un portafoglio di assicurazioni di responsabilità civile costituito da n contratti contemporaneamente stipulati e di durata annuale, - sia LG la priorità fissata in corrispondenza del portafoglio, anche denominata priorità globale X A = min( X ; LG ) X R = max( X − LG ;0) Risarcimento globale conservato dall’assicuratore Importo trasferito al riassicuratore (portata totale) X = min[max( X − L ;0) ; Q ] R G G Importo trasferito al riassicuratore (portata parziale, QG ) Riassicurazione “aggregate excess of loss” OSSERVAZIONI 1) La riassicurazione “aggregate excess of loss” è molto vantaggiosa per l’assicuratore, il quale ottiene in tal modo la copertura dell’eventuale eccedenza positiva del risarcimento globale nei confronti della sua previsione 2) Tale copertura non è altrettanto gradita dal riassicuratore a causa dell’elevata aleatorietà connessa ai risarcimenti trasferiti a suo carico nel premio di riassicurazione vi è un più consistente caricamento di sicurezza rispetto ad altre forme di riassicurazione 3) E’frequente l’impiego di questa copertura in combinazione con una riassicurazione proporzionale, in quota o per eccedente di somma Riassicurazione “stop loss” (1/2) ¾ Nella riassicurazione “stop-loss” l’assicuratore ed il riassicuratore stabiliscono un valore, corrispondente al massimo risarcimento che, espresso in percentuale dei premi, l’assicuratore è disponibile ad effettuare in relazione ai sinistri che colpiscono il portafoglio in un anno • Il valore concordato tra le parti è denominato priorità globale 9 La riassicurazione “stop-loss” è definita a livello di portafoglio (riassicurazione globale) ed opera in modo analogo alla riassicurazione “aggregate excess of loss”, con l’unica differenza che per la priorità globale viene ora considerato un valore percentuale anziché un valore monetario Riassicurazione “stop loss” (2/2) Con riferimento ad un portafoglio di assicurazioni di responsabilità civile costituito da n contratti contemporaneamente stipulati e di durata annuale, si indichi con q il rapporto aleatorio sinistri a premi di competenza del portafoglio • Sia qSL la fissata priorità globale Percentuale dell’ammontare globale dei premi incassati nell’anno conservata dall’assicuratore q A = min(q; q SL ) q R = max(q − q SL ;0) R q = min[max(q − q SL Percentuale ceduta (portata totale) ;0); q*] Percentuale ceduta (portata parziale, q*) Combinazioni di riassicurazioni non proporzionali (1/2) ¾ Nei mercati riassicurativi vengono frequentemente applicate alcune combinazioni di forme riassicurative non proporzionali ESEMPIO In riferimento ad un portafoglio di assicurazioni di responsabilità civile costituito da n contratti contemporaneamente stipulati e di durata annuale Combinazione di una riassicurazione “per risk excess of loss” con una riassicurazione “aggregate excess of loss”, in linea con le seguenti ipotesi: a) la riassicurazione “per risk excess of loss” è caratterizzata, con riferimento al j-esimo contratto del portafoglio, da una priorità Lj e da una portata parziale Qj b) la riassicurazione “aggregate excess of loss” è caratterizzata da una priorità LG e da una portata parziale QG Combinazioni di riassicurazioni non proporzionali (2/2) • Risarcimento globale conservato dall’assicuratore X = min ( X ; L ) A A (1) G n con X (A1) = ∑ Nj ∑ min (Y j =1 i = 0 i, j ; Lj ) risarcimento globale conservato dall’assicuratore per effetto della sola componente “per risk excess of loss” • Risarcimento globale ceduto al riassicuratore X R = min [max ( X (R1) − LG ;0); Q G ] con n X (R1) = ∑ Nj ∑ min [max (Y j =1 i = 0 i, j − L j ;0) ; Q j ] risarcimento globale ceduto al riassicuratore per effetto della sola componente “per risk excess of loss” Riassicurazioni miste ESEMPIO Si considerino una riassicurazione “aggregate excess of loss” ed una riassicurazione in quota ⎧ X se X ≤ LG ⎪ XA = ⎨ ⎪LG + a (X − LG ) se X > LG ⎩ ⎧ 0 se X ≤ LG ⎪ XR = ⎨ ⎪(1 − a )(X − LG ) se X > LG ⎩ Importo che rimane a carico dell’assicuratore Importo trasferito al riassicuratore Riassicurazioni miste OSSERVAZIONI 1) Alcune riassicurazioni miste, ottenute mediante combinazione di una forma riassicurativa proporzionale con una forma riassicurativa non proporzionale, sono di notevole interesse teorico oltrechè applicativo • SULL’ESEMPIO PROPOSTO a) È frequentemente in uso nei mercati riassicurativi b) È pienamente rispondente alle esigenze dell’assicuratore c) È preferita dal riassicuratore rispetto alle due garanzie che la compongono - a differenza della riassicurazione “aggregate excess of loss” coinvolge l’assicuratore anche per i sinistri eccedenti la priorità - a differenza della riassicurazione in quota non prevede la partecipazione del riassicuratore alla copertura dei piccoli sinistri Il premio di riassicurazione (1/2) ¾ A fronte della cessione (parziale o totale) di rischi l’assicuratore deve corrispondere al riassicuratore un premio di riassicurazione, prezzo della garanzia riassicurativa ¾ In generale, esso comprende sia un caricamento di sicurezza sia un caricamento per spese ed è inoltre fortemente influenzato da diversi fattori di natura non tecnica: - le condizioni del mercato riassicurativo; - il rapporto esistente tra le parti. • Ai fini della determinazione del premio equo di riassicurazione occorre distinguere tra riassicurazioni proporzionali e riassicurazioni non proporzionali Il premio di riassicurazione (2/2) ¾ Nelle riassicurazioni proporzionali il premio equo è ricavato applicando la percentuale di trasferimento del rischio al corrispondente premio della copertura assicurativa di base ¾ Nelle riassicurazioni non proporzionali a) metodo dell’ “exposure rating” il premio equo viene determinato ripartendo il premio della copertura assicurativa di base tra l’assicuratore e il riassicuratore in misura proporzionale all’esposizione al rischio delle parti b) metodo dell’ “experience rating” il premio equo viene determinato mediante l’esperienza di sinistrosità, concernente un’opportuna collettività di rischi riassicurati Il premio di riassicurazione: “EXPOSURE RATING” (1/4) ¾ L’aliquota di premio riconosciuta al riassicuratore deve tenere conto della differenza esistente tra la distribuzione degli importi di un sinistro e la distribuzione dei massimali di garanzia (nel caso di assicurazioni di responsabilità civile) oppure della distribuzione dei valori (dei beni) assicurati (nel caso si consideri un portafoglio di assicurazioni di danni a beni di proprietà) Vi sarà prevalenza di sinistri di importo inferiore al massimale Il premio di riassicurazione: “EXPOSURE RATING” (2/4) ESEMPIO Al riassicuratore che garantisce una copertura “per risk excess of loss” con priorità eguale al 50% del massimale di garanzia di ciascun contratto va riconosciuta un’aliquota del premio della copertura assicurativa di base comunque inferiore al 50%……….. ¾ Nella pratica riassicurativa, la ripartizione dei premi tra le parti è di norma ottenuta utilizzando una delle seguenti procedure: a) si costruiscono apposite tavole, note come “first loss scales” b) si costruiscono apposite curve, note come “exposure curves” Il premio di riassicurazione: “EXPOSURE RATING” (3/4) ¾ Procedure: a) si costruiscono apposite tavole, “first loss scales”: esse stabiliscono l’aliquota di premio di pertinenza del riassicuratore per ogni valore della fissata priorità espresso in percentuale del massimale di garanzia (o del valore assicurato, …) b) si costruiscono apposite curve, “exposure curves”: apposite curve tracciate nel primo quadrante di un piano cartesiano con - sull’asse delle ascisse i valori percentuali del rapporto tra la fissata priorità ed il massimale di garanzia (o il valore assicurato, …); - mentre sull’asse delle ordinate le corrispondenti aliquote di premio di pertinenza dell’assicuratore Il premio di riassicurazione: “EXPOSURE RATING” (4/4) • OSSERVAZIONI a) Le “first loss scales”, costruite sulla base dei dati raccolti nel corso del tempo da parte degli assicuratori e dei riassicuratori, variano per categorie di rischi assicurati e, inoltre, da un riassicuratore ad un altro b) Le “exposure curves” si trovano sempre al di sopra della bisettrice del primo quadrante (nel caso di coincidenza si ha la ripartizione proporzionale dei premi in base al rischio assunto). - Più elevata è l’incidenza di sinistri di importo inferiore al massimale di garanzia (o al valore assicurato, …) più marcata è la concavità verso il basso della curva Il premio di riassicurazione: “EXPERIENCE RATING” (1/3) ¾ Nella pratica riassicurativa è frequentemente adottato il metodo del “burning cost” • Il “burning cost” è definito come il rapporto percentuale sinistri a premi (annuali) di competenza del riassicuratore METODO DEL “BURNIG COST” consiste nel calcolare un’opportuna media dei valori del “burning cost” osservati dal riassicuratore, in un dato intervallo di tempo (per lo più, 3 o 5 anni), su un portafoglio di rischi riassicurati k τ= ∑ j =1 k ∑ j =1 S Cj Tasso di premio PjC Il premio di riassicurazione: “EXPERIENCE RATING” (2/3) • OSSERVAZIONI 1) Il tasso τ è propriamente un tasso di premio equo se i premi presi in considerazione sono i premi equi. - Nella pratica riassicurativa è tuttavia usuale il riferimento ai premi di tariffa. 2) I valori del rapporto percentuale sinistri a premi di competenza osservati in anni diversi da parte del riassicuratore sono sottoposti ad un’opportuna indicizzazione per poter essere confrontati tra loro - essi sono generalmente originati da portafogli raramente omogenei sia sotto il profilo dei rischi assicurati sia sotto il profilo delle garanzie riassicurative adottate Il premio di riassicurazione: “EXPERIENCE RATING” (3/3) ¾ Il metodo del “burnig cost” può essere utilmente utilizzato: a) in modo retrospettivo, per adeguare nel tempo il tasso di premio relativo ad un rischio riassicurato b) in modo prospettivo, per ottenere la stima iniziale del tasso di premio relativo ad un nuovo rischio riassicurato ¾ Nella pratica riassicurativa l’uso dei metodi è fortemente condizionato: - dai dati a disposizione del riassicuratore - dal “layer” al quale il calcolo fa riferimento Il premio di riassicurazione: “EXPERIENCE RATING” E “EXPOSURE RATING” A CONFRONTO a) Il metodo dell’“experience rating” è largamente adottato con riferimento al “working layer”, per il quale le esperienze di sinistrosità sono più numerose ed affidabili b) Il metodo dell’“exposure rating” è frequentemente in uso con riferimento ai “layers” successivi, per i quali è opportuno sfruttare le esperienze di sinistrosità relative a portafogli più numerosi Il premio di riassicurazione: ALTRI METODI DI CALCOLO ¾ Metodi in uso ai fini del calcolo del premio (equo) della riassicurazione “per event excess of loss” e soprattutto nel caso di evento catastrofale a) il “rate on line” ottenuto rapportando alla portata globale del trattato (supposto di durata annuale) i relativi premi annui b) il “payback period ” reciproco del “rate on line”: numero di anni necessari per recuperare, mediante l’introito di premi costanti di riassicurazione, il cosiddetto “sinistro totale” (vale a dire, un esborso per il riassicuratore eguale alla portata globale del trattato). Il premio di riassicurazione: CARICAMENTO DI SICUREZZA (1/2) ¾ Il corrispondente margine applicato nella copertura assicurativa di base costituisce soltanto un elemento di riferimento per il calcolo di questa grandezza, anche nel caso delle garanzie riassicurative proporzionali: a) la cessione dei rischi in riassicurazione determina il trasferimento al riassicuratore di utili attesi dall’assicuratore in conseguenza a quest’ultimo (assicuratore) è riconosciuta una provvigione di riassicurazione più o meno consistente a seconda della forma riassicurativa adottata Il premio di riassicurazione: CARICAMENTO DI SICUREZZA (2/2) b) le diverse forme di riassicurazione sono caratterizzate da differenti livelli di esposizione al rischio del riassicuratore esigenza, da parte di quest’ultimo (riassicuratore), di introdurre differenti livelli di caricamento di sicurezza nel premio puro c) la base statistica utilizzata dal riassicuratore per la valutazione dei rischi riassicurati non necessariamente coincide con quella adottata dall’assicuratore al momento dell’assunzione dei medesimi rischi Il premio di riassicurazione: PROVVIGIONE DI RIASSICURAZIONE ¾ È di norma ottenuta in percentuale dei premi e può essere determinata: a) a priori: in tal caso si ha una provvigione fissa b) a posteriori: in tal caso si ha una provvigione scalare Le parti generalmente concordano una provvigione provvisoria che viene inizialmente applicata e poi eventualmente adeguata alla fine del rapporto riassicurativo • Le formule adottate per il calcolo della provvigione scalare sono basate tradizionalmente sull’andamento del rapporto percentuale sinistri a premi di competenza del portafoglio ( e consentono di premiare l’assicuratore nel caso in cui l’onere per sinistri osservato, in rapporto al volume dei premi incassati, sia stato inferiore alle attese) Riassicurazione ed inflazione ¾ Nelle forme di riassicurazione non proporzionali occorre anche tenere conto delle conseguenze dell’inflazione • L’ inflazione può far sì che il risarcimento relativo ad un sinistro che colpisce un contratto (o relativo ad una massa di sinistri che colpiscono un portafoglio) superi, al momento della liquidazione, la fissata priorità (in particolare, se la liquidazione dei sinistri è notevolmente differita nel tempo) Clausola di stabilità impegna l’assicuratore ad indicizzare il livello della sua ritenzione adeguandolo nel tempo al potere d’acquisto della moneta Riassicurazione ECOMOR (“Excedent du COut MOyen Relatif” ) ¾ Copertura riassicurativa non proporzionale, introdotta da Thépaut (1950), che si prefigge di limitare le conseguenze negative derivanti dall’inflazione • Nell’ipotesi che i risarcimenti siano ordinati in senso non crescente, la riassicurazione “E.CO.MO.R.” opera in modo analogo alla riassicurazione “excess of loss”, con la differenza che la priorità corrisponde ora al risarcimento relativo all’m-esimo sinistro, per importo, che colpisce il portafoglio Al riassicuratore sono pertanto trasferiti i risarcimenti eccedenti tale priorità, riguardanti i primi (più grandi) m-1 sinistri Riassicurazione ECOMOR APPLICABILITÀ ¾ Ai fini della sua applicazione è necessario ordinare i sinistri in base all’ammontare del relativo risarcimento Y1:N ≥ Y2:N ≥ ... ≥ Yj:N ≥ ... ≥ YN:N essendo i risarcimenti ordinati in senso non crescente • OSSERVAZIONE Il riferimento è l’intero portafoglio e non il singolo contratto del portafoglio (N: numero di sinistri che colpiscono il dato portafoglio) 9 Impostazione collettiva della teoria del rischio, alternativa all’impostazione individuale della teoria del rischio Riassicurazione ECOMOR: RISARCIMENTO TRATTENUTO E RISARCIMENTO CEDUTO ¾ Risarcimento globale conservato dall’assicuratore X = A N ∑ j = m +1 Y j:N + mYm:N ¾ Risarcimento globale ceduto al riassicuratore m X = ∑ Y j:N − mYm:N R j =1 9 La priorità corrisponde al risarcimento, Ym:N Riassicurazione ECOMOR: ESEMPIO (1/2) • In riferimento ad un portafoglio di assicurazioni contro i danni contemporaneamente stipulate e di durata annuale si ipotizzi: a) che i risarcimenti siano ordinati in senso non crescente y1:k ≥ y2:k ≥ ... ≥ yj:k ≥ ... ≥ yk:k si tiene conto, a posteriori, dei risarcimenti osservati: k sinistri che nell’anno di copertura riassicurativa hanno colpito il dato portafoglio b) che la priorità corrisponda al risarcimento, ym:k, m-esimo più grande sinistro tra i k sinistri osservati, con m fissato all’inizio del rapporto riassicurativo c) che la distribuzione di probabilità del risarcimento, Y, sia ben rappresentata da una distribuzione di Pareto di parametro η (con η > 1) e θ = 1 FY ( y ) = 1 − y −η , y ≥1 funzione di ripartizione Riassicurazione ECOMOR: ESEMPIO (2/2) ¾ Premio equo di riassicurazione P R = E ( X R ) = (m − 1) E[Y | Y > ym:k ] = ∫ = (m − 1) +∞ y m:k y −η dy 1 − FY ( ym:k ) = (m − 1) ym:k . η −1 dipende anche dall’importo ym:k (noto solo alla fine dell’anno di copertura riassicurativa) 9 Ai fini della determinazione del premio puro di riassicurazione, ad esempio mediante il principio della varianza, occorre evidentemente che si abbia η > 2 Politiche ottimali di riassicurazione ¾ Un fondamentale aspetto dei profili attuariali della riassicurazione per le assicurazioni contro i danni è rappresentato dalla ricerca di una politica di ritenzione ottimale dei rischi (o, anche, politica ottimale di riassicurazione) con riferimento ad un portafoglio assicurato (in forma proporzionale o non proporzionale, individuale o globale,…) • Il problema può essere affrontato: a) da un punto di vista dell’assicuratore, definendo così una politica unilaterale di ritenzione ottimale dei rischi; b) da un punto di vista dell’assicuratore e del riassicuartore, definendo così una politica bilaterale di ritenzione ottimale dei rischi. Politiche unilaterali ottimali di riassicurazione (1/3) ¾ Criteri di valutazione (a) Criterio dell’utilità attesa; (b) Criterio della probabilità di rovina. (a) Criterio dell’utilità attesa L’obiettivo dell’assicuratore consiste nella massimizzazione dell’utilità attesa del guadagno aleatorio di portafoglio (ex-post la riassicurazione) con riferimento ad un orizzonte temporale di durata annuale Ricerca dei valori delle variabili decisionali (aliquote di conservazione, priorità) che massimizzano l’utilità attesa del guadagno relativo al portafoglio riassicurato Politiche unilaterali ottimali di riassicurazione (2/3) (b) Criterio della probabilità di rovina L’obiettivo dell’assicuratore consiste nella minimizzazione della varianza del guadagno aleatorio di portafoglio (ex-post la riassicurazione) condizionatamente ad una prefissata riduzione del guadagno atteso (di portafoglio) conseguente alla riassicurazione (con i rischi l’assicuratore cede anche parte dei relativi utili) Ricerca delle aliquote di conservazione (non negative e non superiori all’unità), in accordo al problema di ottimizzazione per una politica unilaterale ottimale di riassicurazione (con il criterio della probabilità di rovina) proposto da de Finetti (1940) Politiche unilaterali ottimali di riassicurazione (3/3) ¾ In accordo al problema di ottimizzazione proposto da de Finetti a) Problema dei pieni relativi (di conservazione) Ricerca delle aliquote di conservazione (non negative e non superiori all’unità), che rendono minima la varianza del guadagno aleatorio di portafoglio (ex-post la riassicurazione) condizionatamente ad una prefissata riduzione del guadagno atteso (di portafoglio) conseguente alla data garanzia riassicurativa b) Problema dei pieni assoluti (di conservazione) Ricerca delle aliquote di conservazione (non negative e non superiori all’unità), condizionatamente ad una prefissata probabilità di rovina, ε*, che l’assicuratore ritiene accettabile (e che determina anche la conseguente riduzione di guadagno atteso di portafoglio conseguente alla riassicurazione) Politiche bilaterali ottimali di riassicurazione (1/2) ¾ In accordo al problema di ottimizzazione proposto da Benktander (1975) • In base al criterio dell’utilità attesa, se l’assicuratore è più avverso al rischio del riassicuratore, esiste un intervallo di trattativa (intervallo di valori) che rende vantaggioso il rapporto riassicurativo per entrambe le parti. Intervallo di trattativa: È compreso tra il premio di indifferenza del riassicuratore, Π”, ed il premio di indifferenza dell’assicuratore, Π’ che è più alto perché l’assicuratore è (per ipotesi realistica) più avverso al rischio del riassicuratore Politiche bilaterali ottimali di riassicurazione (2/2) Π” Π’ ΠR Premio di riassicurazione ¾ È realistico pensare che l’assicuratore ed il riassicuratore possano concordare su una garanzia che - massimizzi la differenza Π’ - Π”; - ripartisca al meglio la riduzione di varianza del risarcimento globale conseguente alla decomposizione in risarcimento trattenuto e risarcimento ceduto. A cura di: Chiara Parrini [email protected]
