Valori estremi e rischi assicurativi
di Anna Maria Fiori
[email protected]
Tradizionalmente rivolta ad ambiti propri dell’ingegneria e delle scienze ambientali (climatologia,
idrologia, geologia), la teoria statistica dei valori estremi ha recentemente conquistato un ruolo di
primo piano nelle discipline attuariali e finanziarie. Alcune fondamentali pubblicazioni apparse
negli Anni Novanta (ad esempio Beirlant, Teugels e Vynckier, 1996; Embrechts, Klüppelberg e
Mikosch, 1997) hanno, infatti, accreditato la convinzione che una metodologia appropriata per
modellare perdite estreme in contesti assicurativi e finanziari sia la stessa che da tempo viene
applicata per valutare l’eccezionalità degli eventi di pioggia intensa (cfr. “La statistica ed il
dissesto idrogeologico” di A. Bodini su SIS-Magazine del 19.04.2010) o i livelli massimi delle
maree in zone soggette a rischio di inondazioni (cfr. “Valori estremi e analisi dei rischi ambientali”
di S. A. Padoan su SIS-Magazine del 13.05.2011). Un contesto privilegiato per illustrare questo
parallelismo riguarda la valutazione dei trattati di riassicurazione.
Nonostante la maggioranza delle persone sia titolare di una o più polizze assicurative, nessun
soggetto privato entra normalmente in contatto con il ramo della riassicurazione. Quest’ultimo
ha dunque “vissuto nell’anonimato” per circa 150 anni, considerato che la fondazione della prima
riassicurazione professionale, Cologne Re, è avvenuta nel 1842 in seguito ad un incendio che
aveva devastato la città di Amburgo. Il recente incremento dei costi assicurativi conseguenti a
calamità naturali e disastri provocati dall’uomo (cfr. figura sottostante) ha, tuttavia, modificato
questa situazione, facendo uscire dall’ombra un’industria che riveste un ruolo primario per la
stabilità del settore assicurativo e, più in generale, dell’economia nel suo complesso.
Costi globalmente sostenuti dalle assicurazioni per eventi catastrofali
(in miliardi di Dollari USA, a prezzi 2011)
Fonte: http://www.swissre.com/media
Disciplinata nell’art. 1929 del Codice Civile italiano, la riassicurazione è il contratto con il quale un
soggetto, ossia l’assicuratore diretto (compagnia cedente o riassicurato) trasferisce parte del
rischio o dei rischi assunti ad un altro assicuratore (il riassicuratore o cessionario), versandogli
contestualmente un premio. A questo contratto rimane estraneo l’assicurato principale, che non
ha rapporti diretti con il riassicuratore. Sotto il profilo tecnico-economico, i vantaggi per la
compagnia cedente spaziano da una composizione più equilibrata del portafoglio di rischi
all’ampliamento della capacità di sottoscrizione, alla riduzione del capitale proprio a copertura
dell’attività (come consentito nell’attuale regime di Solvency I1). Sul piano economico-sociale, la
riassicurazione consente di rendere assicurabili rischi che per la loro natura, per le dimensioni o
per l’esposizione a particolari situazioni di casualità (“concentrazione di rischi”, ad esempio
l’incendio di un grattacielo, ed il conseguente cumulo di sinistri) non sarebbero normalmente
assumibili. I principali attori del mercato riassicurativo sono necessariamente società di
dimensioni rilevanti, che diversificano i rischi su base mondiale, avvalendosi frequentemente
della retrocessione ad altre compagnie riassicurative. Munich Re, Swiss Re, Hannover Re,
Berkshire Hathaway e Lloyds sono le prime cinque presenti sul mercato, ordinate in base alla
raccolta premi nel 2009.
Nella pratica, i trattati riassicurativi si distinguono in proporzionali e non proporzionali. La
riassicurazione proporzionale, che prevede una suddivisione pro-quota di responsabilità e premi
tra assicuratore diretto e riassicuratore, è comunemente utilizzata per rischi di “moderata”
entità. A fronte di eventi rari ma potenzialmente in grado di compromettere la solvibilità delle
compagnie cedenti (ad es. un terremoto, un incendio distruttivo…), l’offerta delle società di
riassicurazione si è progressivamente orientata verso soluzioni alternative, sviluppando apposite
coperture di tipo non proporzionale.
Nella riassicurazione non proporzionale per eccesso di sinistro (excess of loss, o XL), l’obbligo di
prestazione del riassicuratore scatta soltanto quando il danno supera un limite monetario D
(priorità) contrattualmente prefissato, cosicché restano in carico all’assicuratore diretto tutti i
risarcimenti di entità non superiore a D. Nella terminologia propria del ramo vita, il limite D è
chiamato livello di ritenzione della compagnia cedente, mentre nel ramo danni – in cui l’entità del
danno da risarcire non è nota in anticipo – si usa di preferenza il termine deducibile. Se si denota
con Y la variabile casuale rappresentativa del danno oggetto di copertura riassicurativa,
l’impegno a carico del riassicuratore in un trattato XL con priorità D si concretizza nel
risarcimento dell’importo (aleatorio):
(Y − D )+
se Y ≤ D
0
=
Y − D se Y > D
Il premio equo Π Y (D ) per questo impegno risarcitorio corrisponde al suo valore atteso
(aspettativa o media), al quale concorre il contributo di due fattori:
Π Y (D ) = Valore medio[(Y − D )+ ] = eY (D) ⋅ FY (D)
1
(1)
Disciplina di vigilanza prudenziale del settore assicurativo europeo, che prescrive dei capitali minimi a garanzia degli
impegni assunti nei confronti degli assicurati.
Il termine FY (D) - funzione di sopravvivenza di Y calcolata in D - rappresenta la probabilità di
osservare un danno eccedente la priorità D contrattualmente prefissata: Prob (Y > D). Il termine
eY (D) – funzione eccesso medio – esprime invece, condizionatamente al verificarsi dell’evento (Y
> D), il valore atteso del corrispondente eccesso di danno (Y – D). Pur non richiedendo la
conoscenza dell’intera distribuzione di probabilità di Y, la (1) presenta un’intrinseca difficoltà di
valutazione in conseguenza della rarità di eventi significativi per il calcolo sia di FY (D) sia di
eY (D) .
Questa considerazione viene di seguito esemplificata su un dataset assicurativo incluso nei
moduli software EVIR ed EVIM, che eseguono analisi statistiche di valori estremi in ambienti,
rispettivamente, R e Matlab. Il dataset dan comprende danni da incendio di entità almeno pari ad
1 milione di Corone danesi (DKK), verificatisi fra il 1980 ed il 1990 e rivalutati ai prezzi del 1985
per tenere conto dell’inflazione del periodo (Fonte: Danish Re). Gli n = 2167 valori del dataset
(figura sottostante) possono intendersi come altrettante realizzazioni campionarie y1,…,yn del
danno globale Y (ad edifici, arredi, oggetti personali… incluse eventuali perdite di profitto) in
conseguenza dell’incendio. In figura è visualizzata un’ipotetica ripartizione del danno fra
assicuratore diretto e riassicuratore in presenza di copertura riassicurativa XL con priorità D = 150
milioni di DKK.
Serie storica “Danish fire losses” (dan), in milioni di DKK (Fonte: Danish Re), con
indicazione degli unici due danni eccedenti un’ipotetica priorità D = 150.
Poiché il campione a disposizione include due sole eccedenze rispetto a 150 (rispettivamente
263,25 e 152,41, visualizzate in figura), una stima intuitiva della funzione eY (D) si ottiene
prendendo la media aritmetica dei due corrispondenti eccessi di danno:
(263,25 − 150) + (152,41 − 150)
= 57,83
2
mentre FY (D) - ovvero la probabilità dell’evento (Y > 150) – può essere approssimata con la sua
frequenza relativa campionaria:
fr (Y > 150) =
2
= 0,00092
2167
Inseriti nella (1), questi risultati consentono un’immediata valutazione empirica del premio equo
di riassicurazione (in milioni di DKK):
ˆ EMP (D ) = e EMP (D) ⋅ FEMP (D) = 0,0534
Π
57,83 0,00092
Chiaramente, l’affidabilità di un calcolo basato su due sole osservazioni campionarie non può che
suscitare qualche perplessità. Peggio ancora: che cosa succederebbe se la compagnia cedente
volesse fissare D ad un livello superiore a 263,25 (ovvero il massimo danno storicamente
accertato)? Semplicemente, la serie storica a disposizione non conterrebbe l’informazione
necessaria per una valutazione puramente empirica del premio di riassicurazione (1).
Una soluzione alternativa per quantificare il premio di questa copertura riassicurativa proviene
dall’analisi statistica dei valori estremi, la cui variante condizionale propone di descrivere la
distribuzione delle “ultime” osservazioni, ovvero quelle superiori ad un’opportuna soglia u
(threshold), tramite un modello parametrico fornito dalla legge di Pareto generalizzata (GP).
Condizionatamente al verificarsi di un sinistro Y eccedente u, la probabilità che l’eccesso di danno
(Y – u) superi un determinato valore y può essere approssimata mediante la funzione di
sopravvivenza:
1
−
y ξ
1 + ξ
β
Gξ , β ( y ) =
y
−
e β
ξ ≠0
ξ =0
dipendente dai due parametri ξ (forma) e β > 0 (scala). Stimati questi ultimi con opportuni
metodi statistici, l’approssimazione GP consente una valutazione parametrica del premio equo
(1) muovendo da un approccio noto come “Peaks-over-Threshold” (POT), per la cui descrizione si
rimanda ai testi segnalati in bibliografia. Le condizioni di validità per questa approssimazione
sono analoghe a quelle richieste nella versione classica della teoria dei valori estremi per l’utilizzo
di una legge GEV – di identico parametro ξ – come distribuzione limite per i massimi campionari
(cfr. Padoan, SIS-Magazine, 2011). Si tratta di condizioni tipicamente soddisfatte dalla
maggioranza delle distribuzioni di uso comune in statistica (dall’esponenziale alla gamma, dalla
normale alla lognormale, dalla Dagum alla Weibull...).
Data la priorità D = 150, il metodo POT fornisce una stima parametrica del premio equo (1) pari a:
ˆ POT (D ) = e POT (D) ⋅ FPOT (D) = 0,0617
Π
152,37 0,000405
un risultato sensibilmente superiore alla precedente valutazione empirica (0,0534). Il confronto
fra le due impostazioni, l’empirica e la parametrica, è stato replicato al variare del deducibile D,
riscontrando le divergenze riportate in tabella:
Deducibile
D
No.
eccedenze
campionarie
(yi > D)
25
Premio equo XL
Valutazione empirica
Valutazione parametrica (POT)
24
0,3416
0,3329
50
7
0,2029
0,1779
100
3
0,1201
0,0918
150
2
0,0534
0,0617
200
1
0,0292
0,0465
300
0
-
0,0310
Premio equo (in milioni DKK) di una copertura riassicurativa XL contro il
rischio di incendio, al variare del deducibile D: confronto fra valutazione
empirica e valutazione parametrica (basata sulla teoria dei valori estremi).
Mentre un approccio puramente empirico diventa meno consigliabile al diminuire del numero di
eccedenze campionarie osservate (e del tutto impraticabile per D > 263,25 = max{y1,…,yn}), il
metodo POT basato sulla teoria dei valori estremi consente una valutazione parametrica della (1)
anche in corrispondenza di D prossimo -o addirittura esterno- al range campionario.
Specificamente rivolta alla modellizzazione di eventi rari, l’analisi statistica dei valori estremi può
fornire un utile supporto quantitativo nella determinazione dei premi di riassicurazione e, più in
generale, nella valutazione probabilistica dei costi associati a rischi estremi o “catastrofali”.
Tuttavia, non potendo per definizione operare su numerosità campionarie elevate, questa
metodologia è soggetta ad ampi margini di incertezza. Analisi di scenario, rivalutazione dei
risultati al variare della soglia prescelta per l’approssimazione GP, prove di stress vanno
necessariamente affiancate alla tecnica di base al fine di consentirne un’applicazione
consapevole e calibrata ai casi concreti.
Per saperne di più
… Sulla riassicurazione:
Swiss Re, The essential guide to reinsurance. http://www.swissre.com/publications/
Romanello, L., Stocco, A. (2011). Assicurazioni vita: rischio, solvibilità e riassicurazione. Seminario
presentato al Dipartimento di Metodi Quantitativi per le Scienze Economiche ed Aziendali,
Università di Milano-Bicocca. Testo della presentazione accessibile da: http://webnuovo.dimequant.unimib.it/~annafiori/filesRA/riassicurazione-romanello-stocco.pptx
… Sull’analisi statistica dei valori estremi e le sue applicazioni finanziarie/assicurative:
Beirlant, J., Teugels, J.L., Vynckier, P. (1996). Practical analysis of extreme values. Leuven
University Press.
Embrechts, P., Klüppelberg, C., Mikosch, T. (1997). Modelling extremal events for insurance and
finance. Springer, Berlin.
Beltrami, D. (2010). L’analisi statistica dei valori estremi: aspetti metodologici ed applicazioni
finanziarie. Tesi di laurea magistrale in Economia e Finanza, Università di Milano-Bicocca.
Zerbinati, F. (2011). La riassicurazione e l’analisi statistica dei valori estremi. Tesi di laurea
magistrale in Economia e Finanza, Università di Milano-Bicocca.
L’autore
Anna Maria Fiori, Dipartimento di Metodi Quantitativi per le Scienze Economiche ed Aziendali,
Università di Milano-Bicocca (anna.fiori_AT_unimib.it)
