Foglio n. 2 - e-Learning

Calcolo delle Probabilità 2015/16 – Foglio di esercizi 2†
Per l’esercitazione del 19/10/2015: provare a risolvere gli esercizi n. 1, 6, 7, 10.
Per l’esercitazione del 26/10/2015: provare a risolvere gli esercizi n. 2, 4, 8, 17.
Parte I. Calcolo combinatorio.
Esercizio 1. In un mazzo di 52 carte da Poker ogni carta è identificata da un seme (cuori
♥, quadri ♦, fiori ♣, picche ♠) e da un tipo (un numero da 1 a 10 oppure J, Q, K). Quindi
il mazzo di carte può essere identificato con l’insieme
M := {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K} × {♥, ♦, ♣, ♠} .
Una “mano” consiste in un sottoinsieme di 5 carte estratte dal mazzo, ossia un elemento di
Ω := {A ⊆ M : |A| = 5} .
Munendo Ω della probabilità uniforme, si calcoli la probabilità di ottenere i seguenti punti
(in ordine decrescente di valore):
(a) scala reale (5 carte dello stesso seme e con tipi crescenti in progressione aritmetica di passo 1, per es. {5♥, 6♥, 7♥, 8♥, 9♥}, {8♦, 9♦, 10♦, J♦, Q♦}; le progressioni ammissibili
sono {1, 2, 3, 4, 5}, {2, 3, 4, 5, 6}, . . . , {9, 10, J, Q, K} e infine {10, J, Q, K, 1});
(b) poker (4 carte dello stesso tipo, la quinta arbitraria);
(c) full (3 carte dello stesso tipo, le altre 2 carte dello stesso tipo, ovviamente diverso dal
precedente);
(d) colore (5 carte dello stesso seme, ma non sono in progressione aritmetica di passo 1);
(e) scala semplice (5 carte con tipi crescenti in progressione aritmetica di passo 1, cf. la
scala reale, ma non tutte dello stesso seme);
(f) tris (3 carte dello stesso tipo, le altre 2 arbitrarie, ma tali da non produrre un poker
né un full);
(g) doppia coppia (2 carte dello stesso tipo, 2 altre carte dello stesso tipo diverso dal
precedente, la quinta carta arbitraria, ma tale da non produrre un full);
(h) coppia (2 carte dello stesso tipo, le altre 3 arbitrarie, ma tali da non produrre un tris
né un poker né un full).
Esercizio 2. Si lanciano 12 dadi. Qual è la probabilità che ognuno dei numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6
compaia esattamente 2 volte?
Esercizio 3. Quattro coppie di sposi salgono su un minibus con otto posti a sedere, disposti
in quattro coppie di sedili adiacenti.
Se le otto persone scelgono i posti in modo casuale, qual è la probabilità che ciascuno sposo
sieda accanto alla propria consorte?
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Ultima modifica: 27 ottobre 2015.
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Esercizio 4. 21 passeggeri salgono su un treno della metropolitana vuoto formato da 3
vagoni, e ognuno sceglie a caso il vagone su cui viaggiare. Si calcoli la probabilità che
(a) ci siano 4 passeggeri nel primo vagone;
(b) ci siano 7 passeggeri in ciascun vagone;
(c) 5 persone siano su un vagone, 6 su un altro e 10 sul rimanente.
Esercizio 5. Si estraggono senza reimmissione n palline da un’urna che ne contiene N (di
cui M rosse e N − M verdi). Numeriamo le palline da 1 a N e supponiamo che le palline
rosse siano quelle numerate da 1 a M . Si calcoli la probabilità che esattamente k delle palline
estratte siano rosse, usando uno dei due spazi seguenti (muniti della probabilità uniforme):
(a) Ω1 = disposizioni semplici di k elementi estratti da {1, 2, . . . , N }
(b) Ω2 = combinazioni di k elementi estratti da {1, 2, . . . , N }
Esercizio 6. Si eseguano n estrazioni casuali con reimmissione da un’urna contenente 2n
oggetti distinti. Sia pn la probabilità che gli n oggetti estratti siano tutti diversi.
(a) Determinare pn .
(b) Introduciamo la notazione an ∼√bn per indicare che an /bn → 1 per n → ∞. Usando la
formula di Stirling n! ∼ nn e−n 2πn, si mostri che pn ∼ c%n , determinando c e %.
Parte II. Probabilità condizionale e indipendenza.
Esercizio 7. Durante la notte, un taxi ha causato un incidente. In città operano due
compagnie di taxi, una con i taxi gialli (che sono l’85% del totale) l’altra con i taxi bianchi.
Un testimone ha dichiarato che il taxi coinvolto nell’incidente era giallo. La probabilità che
un testimone, di notte, identifichi correttamente il colore del taxi è pari a 0.8.
(a) Sulla base di queste informazioni, qual è la probabilità che il taxi coinvolto nell’incidente
fosse in realtà bianco?
(b) Supponiamo che un secondo testimone abbia dichiarato che il taxi era giallo, e che la
correttezza dell’identificazione del colore da parte di questo testimone sia indipendente
da quella del primo. Sulla base di questa ulteriore informazione, qual è ora la probabilità
che il taxi coinvolto nell’incidente fosse in realtà bianco?
Esercizio 8. Per rilevare la presenza di una certa malattia, si effettua un test. Se la persona
sottoposta al test è malata, il test dà sempre esito positivo (non ci sono dunque “falsi
negativi”). Se invece la persona sottoposta al test è sana, il test dà (erroneamente) esito
positivo con probabilità 0.01. Indichiamo con α ∈ (0, 1) l’incidenza della malattia nella
popolazione (cioè la frazione di persone malate). Si determini, in funzione di α, la probabilità
pα che una persona risultata positiva al test sia effettivamente malata. Si calcoli il valore
trovato per α = 0.1, 0.01, 0.001 e se ne descriva il comportamento asintotico per α → 0.
Esercizio 9. Tre amici vogliono gareggiare in un gioco a turni. In tale gioco, a ogni turno, è
necessario estrarre una delle tre persone in modo uniforme, ossia con probabilità 13 . Tuttavia,
i tre amici hanno a disposizione solo una moneta (equa) per effettuare tale estrazione.
Per risolvere il problema, si può usare un metodo detto di accettazione-rifiuto. Si considera
un opportuno esperimento aleatorio e si fissa un opportuno insieme A di esiti (evento di
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accettazione); si ripete quindi l’esperimento finché l’esito non cade in A. Le probabilità
vengono quindi calcolate usando la probabilità condizionale P( · |A)
(a) Si descriva un possibile metodo di accettazione-rifiuto per scegliere uniformemente un
amico dei tre, usando (anche ripetutamente) una moneta.
Supponiamo ora che il gioco si svolga tra sette persone. L’estrazione dovrà avvenire ancora
una volta in modo uniforme e, adesso, si ha a disposizione un dado a sei facce (non truccato).
(b) Riuscireste ad estendere il metodo e la dimostrazione proposti nel punto precedente
dell’esercizio a questa situazione?
Esercizio 10. Ho a disposizione n ∈ N monete: la i-esima moneta dà testa con probabilità
i
n , per 1 ≤ i ≤ n. Scelgo una moneta a caso e la lancio k ∈ N volte.
(a) Qual è la probabilità pn,k che esca sempre testa nei k lanci?
(b) Supponendo che sia effettivamente uscita sempre testa nei k lanci, qual è la probabilità
(condizionata) qn,k che esca testa anche al lancio successivo?
(c) Si calcoli il limite per n → ∞ (con k fissato) dei risultati ottenuti.
Esercizio 11. Infilo in una busta tre carte: una ha entrambe le facce rosse, una le ha
entrambe nere, una ha una faccia rossa e una nera. Con gli occhi chiusi, pesco una carta a
caso e la depongo sul tavolo su una faccia a caso, quindi apro gli occhi. Se la faccia che vedo
è rossa, qual è la probabilità che anche l’altra faccia sia rossa?
Esercizio 12. Una coppia ha due figli(e). Assumiamo che ciascun figlio possa essere maschio
o femmina con la stessa probabilità, indipendentemente dal sesso dell’altro figlio.
(a) Sapendo che il primogenito è maschio, qual è la probabilità che anche il secondogenito
lo sia?
(b) Sapendo che il secondogenito è maschio, qual è la probabilità che anche il primogenito
lo sia?
(c) Sapendo che almeno un figlio è maschio, qual è la probabilità che anche l’altro lo sia?
Il sabato pomeriggio la madre esce a passeggio con uno dei due figli, mentre il padre resta a
casa con l’altro. Supponiamo che la madre scelga il figlio con cui uscire in modo casuale.
(d) Se incontro la madre a passeggio con un figlio maschio, qual è la probabilità che anche
l’altro figlio sia maschio?
(e) Come cambia la risposta al quesito precedente se invece la madre avesse una particolare
predilezione per i figli maschi e pertanto decidesse sempre di uscire con un figlio maschio
(quando ne ha uno; altrimenti esce con una delle due figlie)?
Parte III. Esercizi aggiuntivi.
Esercizio 13. In una estrazione del Lotto su una determinata ruota vengono estratti a caso
5 numeri tra 1 e 90. Si calcoli la probabilità di fare:
(a) ambata giocando un numero n (cioè n è tra i 5 numeri estratti);
(b) ambo giocando due numeri n, m (cioè n e m sono tra i 5 numeri estratti);
(c) terno giocando tre numeri n, m, k (cioè n, m e k sono tra i 5 numeri estratti);
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[Nella realtà che le vincite vengono pagate molto meno di quanto sarebbe “equo”: per
l’ambata si oggiene 11.23 volte la giocata (invece di 18), per l’ambo 250 volte (invece di
400.5), per il terno 4500 volte (invece di 11748).]
Esercizio 14. Una lotteria emette n biglietti, di cui m < n sono vincenti. Qual è la
probabilità che un possessore di r biglietti ne abbia almeno uno di vincente?
Esercizio 15. Si supponga di avere un mazzo di n chiavi diverse. Dovendo aprire una
serratura di cui si ha la chiave, si provano a caso le n chiavi, mettendo da parte quello già
provate, fino a che non si è trovata la chiave giusta. Qual è la probabilità di trovare la chiave
giusta al k-esimo tentativo, con 1 ≤ k ≤ n?
Esercizio 16. n paia di guanti vengono mescolate, e poi distribuite a caso a n persone (due
guanti per persona).
(a) Qual è la probabilità pn che ognuno riceva un guanto per la mano destra e uno per la
sinistra?
(b) Si determini√
il comportamento asintotico pn per n → ∞ usando la formula di Stirling
n
−n
n! ∼ n e
2πn.
Esercizio 17. Un commerciante acquista certe componenti elettriche in egual misura da
due fornitori A e B. Viene a sapere che il 15% delle componenti provenienti da B è difettosa,
cioè si rompono dopo poche ore di utilizzo, contro solo il 3% di quelle provenienti da A.
Il commerciante è in procinto di mettere in vendita una confezione tali componenti, tutte
provenienti dallo stesso fornitore, ma di cui non ha registrato la provenienza. Per conoscerne
la provenienza ne testa 20, di cui 2 risultano difettose. Con quale grado di confidenza può
ritenere che la partita gli sia stata fornita da B?
Esercizio 18. Da un’urna contenente n palline di cui k rosse e n−k verdi, con 1 ≤ k ≤ n−1,
si estrae una pallina e quindi, senza reimmetterla nell’urna, si estrae una seconda pallina.
Si calcoli la probabilità degli eventi A1 := “la prima pallina estratta è rossa” e A2 := “la
seconda pallina estratta è rossa”. Essi sono indipendenti?
Esercizio 19. Quante volte n è necessario lanciare un “dado regolare a N facce”, affinchè
la probabilità di ottenere almeno una volta il numero “1” sia superiore al 90%? Si calcoli
esplicitamente il valore di n per N = 6, 100, 1000.
Esercizio 20. Ho una moneta A regolare e una moneta B truccata, per cui la probabilità
di ottenere testa vale 34 . Scelgo una moneta a caso, con uguale probabilità, e la lancio. Se
esce testa, qual è la probabilità che la moneta scelta sia stata B?
Esercizio 21. Siano assegnati tre numeri: α1 , α2 ∈ [0, 1] e β ∈ (0, 1).
(a) Si mostri che esiste uno spazio di probabilità contenente due eventi A, B tali che
P(B) = β ,
P(A|B) = α1 ,
P(A|B c ) = α2 .
[Sugg. Si consideri Ω = {ab, ab̄, āb, āb̄} = {a, ā} × {b, b̄}, definendo A := {ab, ab̄}, B := {ab, āb}
e mostrando che esiste un’unica probabilità P su Ω che soddisfa le specifiche richieste.]
(b) Si mostri che come spazio di probabilità per il punto precedente si può prendere
(Ω = (0, 1), A = B((0, 1)), P = Leb), con B := (0, β) e definendo opportunamente A.