Calcolo delle Probabilità 2016/17 – Foglio di esercizi 2†

Calcolo delle Probabilità 2016/17 – Foglio di esercizi 2†
Calcolo combinatorio e probabilità condizionale.
Si consiglia in particolare di svolgere (nell’ordine) gli esercizi n. 1(a,d,f ), 5, 6, 8, 11, 12.
Parte I. Calcolo combinatorio.
Esercizio 1. In un mazzo di 52 carte da Poker ogni carta è identificata da un seme (cuori
♥, quadri ♦, fiori ♣, picche ♠) e da un tipo (un numero da 1 a 10 oppure J, Q, K). Quindi
il mazzo di carte può essere identificato con l’insieme
M := {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K} × {♥, ♦, ♣, ♠} .
Una “mano” consiste in un sottoinsieme di 5 carte estratte dal mazzo, ossia un elemento di
Ω := {A ⊆ M : |A| = 5} .
Munendo Ω della probabilità uniforme, si calcoli la probabilità di ottenere i seguenti punti
(in ordine decrescente di valore):
(a) scala reale (5 carte dello stesso seme e con tipi crescenti in progressione aritmetica di passo 1, per es. {5♥, 6♥, 7♥, 8♥, 9♥}, {8♦, 9♦, 10♦, J♦, Q♦}; le progressioni ammissibili
sono {1, 2, 3, 4, 5}, {2, 3, 4, 5, 6}, . . . , {9, 10, J, Q, K} e infine {10, J, Q, K, 1});
(b) poker (4 carte dello stesso tipo, la quinta arbitraria);
(c) full (3 carte dello stesso tipo, le altre 2 carte dello stesso tipo, ovviamente diverso dal
precedente);
(d) colore (5 carte dello stesso seme, ma non sono in progressione aritmetica di passo 1);
(e) scala semplice (5 carte con tipi crescenti in progressione aritmetica di passo 1, cf. la
scala reale, ma non tutte dello stesso seme);
(f) tris (3 carte dello stesso tipo, le altre 2 arbitrarie, ma tali da non produrre un poker
né un full);
(g) doppia coppia (2 carte dello stesso tipo, 2 altre carte dello stesso tipo diverso dal
precedente, la quinta carta arbitraria, ma tale da non produrre un full);
(h) coppia (2 carte dello stesso tipo, le altre 3 arbitrarie, ma tali da non produrre un tris
né un poker né un full).
Esercizio 2. Sia Ω = {ω1 , . . . , ωn } un insieme di n ∈ N elementi. Si consideri la σ-algebra
A = P(Ω) data dall’insieme delle parti di Ω. Provare che la cardinalità di A è pari a 2n .
Esercizio 3. Si lanciano 12 dadi. Qual è la probabilità che ognuno dei numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6
compaia esattamente 2 volte?
Esercizio 4 (Estrazioni con reimmissione da un’urna). Si estraggono con reimmissione n
palline da un’urna che ne contiene N (di cui M rosse e N − M verdi). Numeriamo le palline
da 1 a N e supponiamo che le palline rosse siano quelle numerate da 1 a M .
Si calcoli la probabilità che esattamente k delle palline estratte siano rosse. Si osservi che
la risposta è funzione di n, k e del rapporto p := M
N.
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Ultima modifica: 10 ottobre 2016.
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Esercizio 5 (Estrazioni senza reimmissione da un’urna). Si estraggono senza reimmissione
n palline da un’urna che ne contiene N (di cui M rosse e N − M verdi). Numeriamo le
palline da 1 a N e supponiamo che le palline rosse siano quelle numerate da 1 a M .
Si calcoli la probabilità che esattamente k delle palline estratte siano rosse, usando uno
dei due spazi seguenti (muniti della probabilità uniforme):
(a) Ω1 = disposizioni semplici di n elementi estratti da {1, 2, . . . , N }
(b) Ω2 = combinazioni di n elementi estratti da {1, 2, . . . , N }
Esercizio 6 (Es. 1 del IV appello 2013/14). In ciascuna ruota del Lotto vengono estratti
uniformemente cinque numeri distinti (senza reimmissione) nell’insieme {1, 2, . . . , 90}, e le
estrazioni su ruote diverse sono indipendenti. Consideriamo i seguenti eventi:
• A := “il primo numero estratto sulla ruota di Genova, il primo numero estratto sulla
ruota di Milano e il primo numero estratto sulla ruota di Napoli sono quadrati perfetti”,
• B := “i primi tre numeri estratti sulla ruota di Firenze sono quadrati perfetti”,
e indichiamone le probabilità rispettivamente con pA e pB .
(a) Si calcolino pA e pB , mostrando che pA > pB .
(b) Matteo sceglie 3 numeri aleatori con il seguente meccanismo: lancia innanzitutto una
moneta equilibrata; se esce testa, sceglie il primo numero estratto sulla ruota di Genova,
il primo numero estratto sulla ruota di Milano e il primo numero estratto sulla ruota
di Napoli; se invece esce croce, sceglie i primi 3 numeri estratti sulla ruota di Firenze.
Matteo mi comunica che i numeri che ha scelto sono tutti quadrati perfetti. Sulla
base di questa informazione, è più probabile che sia uscita testa o croce?
Esercizio 7. Si eseguano n estrazioni casuali con reimmissione da un’urna contenente 2n
oggetti distinti. Sia pn la probabilità che gli n oggetti estratti siano tutti diversi.
(a) Determinare pn .
(b) Introduciamo la notazione an ∼√bn per indicare che an /bn → 1 per n → ∞. Usando la
formula di Stirling n! ∼ nn e−n 2πn, si mostri che pn ∼ c%n , determinando c e %.
Parte II. Probabilità condizionale.
Esercizio 8. Per rilevare la presenza di una certa malattia, si effettua un test. Se la persona
sottoposta al test è malata, il test dà sempre esito positivo (non ci sono dunque “falsi
negativi”). Se invece la persona sottoposta al test è sana, il test dà (erroneamente) esito
positivo con probabilità 0.01. Indichiamo con α ∈ (0, 1) l’incidenza della malattia nella
popolazione (cioè la frazione di persone malate). Si determini, in funzione di α, la probabilità
pα che una persona risultata positiva al test sia effettivamente malata. Si calcoli il valore
trovato per α = 0.1, 0.01, 0.001 e se ne descriva il comportamento asintotico per α → 0.
Esercizio 9. Durante la notte, un taxi ha causato un incidente. In città operano due
compagnie di taxi, una con i taxi gialli (che sono l’85% del totale) l’altra con i taxi bianchi.
Un testimone ha dichiarato che il taxi coinvolto nell’incidente era giallo. La probabilità che
un testimone, di notte, identifichi correttamente il colore del taxi è pari a 0.8.
(a) Sulla base di queste informazioni, qual è la probabilità che il taxi coinvolto nell’incidente
fosse in realtà bianco?
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(b) Supponiamo che un secondo testimone abbia dichiarato che il taxi era giallo, e che la
correttezza dell’identificazione del colore da parte di questo testimone sia indipendente
da quella del primo. Sulla base di questa ulteriore informazione, qual è ora la probabilità
che il taxi coinvolto nell’incidente fosse in realtà bianco?
Esercizio 10. Infilo in una busta tre carte: una ha entrambe le facce rosse, una le ha
entrambe nere, una ha una faccia rossa e una nera. Con gli occhi chiusi, pesco una carta a
caso e la depongo sul tavolo su una faccia a caso, quindi apro gli occhi.
Se la faccia che vedo è rossa, qual è la probabilità che anche l’altra faccia sia rossa?
Esercizio 11. Una coppia ha due figli(e). Assumiamo che ciascun figlio possa essere maschio
o femmina con la stessa probabilità, indipendentemente dal sesso dell’altro figlio.
(a) Sapendo che il primogenito è maschio, qual è la probabilità che anche il secondogenito
lo sia?
(b) Sapendo che il secondogenito è maschio, qual è la probabilità che anche il primogenito
lo sia?
(c) Sapendo che almeno un figlio è maschio, qual è la probabilità che anche l’altro lo sia?
Il sabato pomeriggio la madre esce a passeggio con uno dei due figli, mentre il padre resta a
casa con l’altro. Supponiamo che la madre scelga il figlio con cui uscire in modo casuale.
(d) Se incontro la madre a passeggio con un figlio maschio, qual è la probabilità che anche
l’altro figlio sia maschio?
(e) Come cambia la risposta al quesito precedente se invece la madre avesse una particolare
predilezione per i figli maschi e pertanto decidesse sempre di uscire con un figlio maschio
(quando ne ha uno; altrimenti esce con una delle due figlie)?
Esercizio 12 (Es. 1 del IV appello 2014/15). Un segnale può assumere due stati: positivo
(+) o negativo (−). Il segnale viene inizialmente trasmesso nello stato +, quindi attraversa
due canali successivi, infine viene ricevuto. Ciascun canale trasmette il segnale correttamente
con probabilità del 90%, altrimenti lo inverte (se era + diventa −, e viceversa). I canali
agiscono indipendentemente.
(a) Qual è la probabilità che il segnale venga ricevuto correttamente (ossia nello stato +)?
(b) Se il segnale viene ricevuto correttamente, qual è la probabilità che il primo canale lo
abbia trasmesso correttamente?
Esercizio 13. (*) Ho a disposizione n ∈ N monete: la i-esima moneta dà testa con probabilità
i
n , per 1 ≤ i ≤ n. Scelgo una moneta a caso e la lancio k ∈ N volte.
(a) Qual è la probabilità pn,k che esca sempre testa nei k lanci?
(b) Supponendo che sia effettivamente uscita sempre testa nei k lanci, qual è la probabilità
(condizionata) qn,k che esca testa anche al lancio successivo?
(c) Si calcoli il limite per n → ∞ (con k fissato) dei risultati ottenuti.