Liceo Galvani
Programma finale Matematica 1 Q
Anno scolastico 2014-2015
Docente: Leonardo Rossi
Aritmetica:
Gli insiemi numerici e le operazioni al loro interno. Operazioni interne in N (numeri
naturali); potenze, multipli e divisori. La definizione dell’insieme dei numeri interi Z
come ampliamento di N: la differenza come operazione interna; conseguenza del
mantenimento delle proprietà delle operazioni anche in Z: necessità della regola dei
segni usuale . Divisione con resto fra interi; minimo comune multiplo e massimo
comune divisore di due o più numeri; l’algoritmo di Euclide per la ricerca del M.C.D.
fra due interi.
Le frazioni e le operazioni con esse, frazioni equivalenti. L’insieme Q definito
attraverso le classi di frazioni equivalenti. Q come ampliamento dei numeri interi: la
divisione ( con divisore diverso da zero) come operazione interna.
Passaggio da frazioni a numeri decimali e viceversa: frazioni generatrici; numeri
decimali non corrispondenti ad alcuna frazione : numeri irrazionali. Definizione di
percentuale di un numero; definizione di proporzioni fra numeri e loro proprietà.
Esempi di insiemi dotati di “somma” e “prodotto” con un numero finito di elementi:
le classi di equivalenza di numeri interi che hanno stesso resto rispetto alla divisione
per un fissato numero naturale k : Zk. .
Geometria:
Postulati ed enti primitivi della geometria euclidea ( o geometria sintetica); il concetto
di dimostrazione. Operazioni su segmenti ed angoli e postulati relativi.
I criteri di congruenza fra triangoli. Le disuguaglianze triangolari e il primo teorema
dell’angolo esterno. Proprietà dei triangoli isosceli: altezza e mediana della base e
bisettrice dell’angolo opposto alla base.
Il concetto di rette perpendicolari e parallele. Il quinto postulato di Euclide. I criteri di
congruenza dei triangoli rettangoli. Due rette parallele tagliate da una trasversale:
classificazione delle coppie di angoli. Il teorema delle rette parallele tagliate da una
trasversale. Corollari: il secondo teorema dell’angolo esterno e la somma degli angoli
interni di un triangolo; la somma degli angoli interni ed esterni di un poligono:
formula in funzione del numero di lati (con dimostrazione).
Classificazione dei quadrilateri particolari: i parallelogrammi e i trapezi. Criteri
necessari e sufficienti per essere, rispettivamente, parallelogramma, rombo, rettangolo
e quadrato.
Il teorema del fascio di rette parallele tagliato da una trasversale (piccolo teorema di
Talete).
Il concetto di luogo di punti. La definizione di circonferenza, diametro, corda, arco,
settore circolare. Proprietà dell’asse di una corda. La dimostrazione dell’esistenza (e
unicità ) della circonferenza passante per tre punti non allineati. Proprietà delle corde.
Insiemi, logica, funzioni:
Insiemi e loro rappresentazioni, i sottoinsiemi. Le operazioni fra insiemi e le loro
proprietà: intersezione, unione, differenza, prodotto cartesiano, complementare.
Proposizioni logiche ed enunciati aperti (predicati); insieme di verità di un predicato.
Le operazioni logiche attraverso le loro tavole di verità: negazione, congiunzione,
disgiunzione ( inclusiva o esclusiva), implicazione materiale; analogia con le
operazioni insiemistiche.
Condizioni necessarie e condizioni sufficienti e loro interpretazione insiemistica;
differenza fra implicazione logica e implicazione materiale.
I quantificatori; proprietà delle operazioni logiche; le leggi di De Morgan.
Il concetto di relazione e sua rappresentazione; proprietà delle relazioni. La relazione
di equivalenza.
Le funzioni come caso particolare di relazioni: il dominio e il condominio. Funzioni
iniettive, suriettive, biettive; la funzione inversa, composizione fra funzioni. La
rappresentazione cartesiana di una funzione (grafico); le funzioni numeriche di tipo
analitico (espresse attraverso la formula y=f(x): espressione analitica); ricerca del
dominio di una funzione analitica.
Esempi di funzioni analitiche e dei loro grafici: proporzionalità diretta, inversa,
quadratica e cubica; le funzioni lineari e il coefficiente angolare.
Calcolo letterale:
Significato di espressione algebrica. I monomi e le operazioni interne fra essi.
Massimo comun divisore e minimo comune multiplo fra monomi.I polinomi e le
operazioni di somma e differenza, prodotto ed elevamento a potenza. I prodotti
notevoli, il triangolo di Tartaglia e la potenza di un binomio.
Polinomio multiplo di un altro polinomio e la divisibilità ( esatta) fra polinomi.
Divisione (lunga) con resto fra polinomi e analogia con la divisione fra interi. Il
teorema del resto e di Ruffini (con dimostrazione). Criterio per la ricerca di eventuali
zeri interi o razionali di un polinomio.
Tecniche di scomposizione di un polinomio: Raccoglimenti parziali, totali,
riconoscimento di prodotti notevoli, il trinomio particolare di II grado, scomposizione
mediante uso del teorema di Ruffini e dei criteri per la ricerca degli zeri di un
polinomio.
La definizione di frazione algebrica, dominio ( o campo di esistenza) ;
semplificazione di frazioni algebriche e frazioni equivalenti. Le operazioni fra
frazioni algebriche.
Il concetto di equazione e differenza con l’identità. Principi di equivalenza per le
equazioni e regole del trasporto. Classificazione delle equazioni e delle possibili
soluzioni: equazioni determinate, indeterminate, impossibili. Risoluzione di
un‘equazione lineare numerica intera. La legge di annullamento del prodotto e la
risoluzione di particolari equazioni di grado superiore al primo. La risoluzione di
un’equazione lineare fratta; condizioni di esistenza ed accettabilità delle soluzioni. La
risoluzione di un’equazione lineare letterale ( o parametrica ) : discussione della
possibile risolvibilità al variare del parametro.
Argomento svolti durante la compresenza del lettore relativi al testo in inglese:
Proportions, percentages, map scales, simple and compound interest, problems solved
by linear equations, trigonometry, lower and upper bound, vectors, sets.
Bologna 3-6-2015
Firma dei rappresentanti degli studenti
