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FISICA QUANTISTICA I – PROVA SCRITTA DEL 22/06/2015
1. Si consideri una particella vincolata a muoversi in una dimensione e soggetta al
potenziale
αδ(x) se − a ≤ x ≤ a,
(1)
V (x) =
+∞ altrimenti,
con α > 0. Discutere gli autovalori dell’operatore hamiltoniano, confrontando i
risultati ottenuti con quelli del caso limite α = 0.
2. Si consideri il moto unidimensionale di una particella inizialmente preparata nello
stato fondamentale di una buca a pareti infinite,
0
se − a ≤ x ≤ a,
V (x) =
(2)
+∞ altrimenti.
Al tempo iniziale (t = 0) si espandono istantaneamente le pareti, in modo tale che
la regione a potenziale nullo diventa −2a ≤ x ≤ 2a.
(i) Scrivere la funzione d’onda della particella ψ(x, t) (per t > 0).
(ii) Trovare i possibili risultati della misura dell’energia della particella al tempo t
e le probabilità di ottenere tali risultati.
(iii) Calcolare il valor medio dell’energia in funzione del tempo. Come si confronta
il risultato ottenuto con il valore dell’energia prima dell’espansione?
Nota: potrebbe risultare utile il seguente risultato:
∞
X
n=0
(2n + 1)2
π2
=
.
[(2n + 1)2 − 4]2
16
(3)
3. Per una particella libera in una dimensione l’operatore hamiltoniano H costituisce
un set completo di osservabili che commutano (C.S.C.O.)? In caso di risposta
negativa, quale osservabile A potremmo aggiungere ad H in modo che {H, A} sia
C.S.C.O.?
1
SOLUZIONI PROVA SCRITTA DEL 22/06/2015
1. Sfruttiamo la simmetria del potenziale, V (x) = V (−x), per cercare separatamente
le autofunzioni pari e dispari dell’operatore hamiltoniano.
√
Per le soluzioni pari, φ(x) = A sin(kx)+B cos(kx) per 0 ≤ x ≤ a, con k = 2mE/~
e φ(−x) = φ(x). Dalla continuità di φ(x) per x = 0 otteniamo l’identità B = B,
dalla condizione di raccordo delle derivate per x = 0,
dφ dφ 2mα
−
= 2 φ(0),
(4)
dx 0+
dx 0−
~
2
ricaviamo B = ~mαk A. Dalla condizione di annullamento della funzione d’onda per
x = a, φ(a) = 0, abbiamo infine
tan(ka) = −
~2 k
.
mα
(5)
Tale equazione può essere risolta graficamente, e le soluzioni kn , con n = 1, 3, 5, ...
sono comprese tra nπ/2a e (n + 1)π/2a. Quindi le corrispondenti energie
En =
~2 kn2
π 2 ~2
>
n2 ,
2m
2m(2a)2
(6)
dove le energie scritte a destra sono quelle di una buca infinita di larghezza 2a e
vengono ritrovate nel limite α → 0.
Per le soluzioni dispari, utilizziamo sempre φ(x) = A sin(kx) + B cos(kx) per 0 ≤
x ≤ a, ma ora φ(−x) = −φ(x). Dalla continuità di φ(x) per x = 0 otteniamo
B = 0, dalla condizione di raccordo delle derivate per x = 0 ricaviamo l’identità
kA − kA = 0. Infine dalla condizione di annullamento della funzione d’onda per
x = a, φ(a) = 0, deriviamo kn a = nπ/2 e quindi le energie
En =
~2 π 2
n2 ,
2m(2a)2
(7)
con n = 2, 4, .... Gli autovalori per n pari sono quindi semplicemente quelli della
buca infinita di larghezza 2a. Questo in quanto le corrispondenti autofunzioni si
annullano nell’origine e quindi la delta di Dirac δ(x) non ha effetto su tali stati.
2. (i) L’energia dello stato fondamentale della buca prima dell’espansione è E1 =
π 2 ~2
e la corrispondente autofunzione
2m(2a)2
πx 1
= ψ(x, 0).
φ1 (x) = √ cos
2a
a
(8)
Dopo l’espansione gli autovalori del sistema sono dati da
Ēn =
π 2 ~2
n2 ,
2m(4a)2
2
(9)
con n = 1, 2, 3, ... e le corrispondenti autofunzioni sono
1 inπx/4a
φ̄n (x) = √
e
+ (−1)n+1 e−inπx/4a .
2 2a
(10)
La funzione d’onda al tempo t è quindi data da
ψ(x, t) =
∞
X
cn e−iĒn t/~φ̄n (x),
(11)
n=1
con
cn = hφ̄n |ψ(0)i.
(12)
Per n pari, cn = 0 in quanto ψ(x, 0) è una funzione pari e φ̄n (x) è dispari. Per n
dispari otteniamo invece
√
nπ 8 2 1
.
(13)
cos
cn = −
π n2 − 4
4
(ii) I risultati che possono esser ottenuti quando si misura l’energia sono gli autovalori Ēn , ottenuti con probabilità
pn ≡ p(E = Ēn ) = |cn |2 =
64
1
2
2
π (n − 4)2
(14)
per n dispari, mentre pn = |cn |2 = 0 per n pari.
(iii) L’energia non varia nel tempo ed è uguale all’energia della particella prima
dell’espansione delle pareti. Infatti
∞
(2n + 1)2
16E1 X
= E1 ,
hHi =
Ēn |cn | =
π 2 n=0 [(2n + 1)2 − 4]2
n=1
∞
X
2
(15)
con E1 = Ē1 /4 energia dello stato fondamentale della particella prima dell’espansione
delle pareti.
3. L’operatore hamiltoniano H = P 2 /2m ha come autofunzioni le onde piane |pi, con
−∞ < p < +∞, con come corrispondenti autovalori p2 /2m. Quindi gli autovalori
dell’operatore hamiltoniano sono degeneri, dato che le autofunzioni |pi e | − pi
corrispondono al medesimo autovalore. Quindi {H} non è un C.S.C.O..
Per rimuovere la degenerazione con un operatore che commuti con H possiamo ad
esempio aggiungere l’operatore di parità Π oppure l’operatore quantità di moto P .
I set {H, Π} e {H, P }√sono C.S.C.O.. Nel primo caso vediamo che le combinazioni
lineari (|pi ± | − pi)/ 2 sono autofunzioni di H corrispondenti al medesimo autovalore p2 /2m ma con differenti autovalori di Π, π = ±1; nel secondo caso abbiamo
P | ± pi = ±p| ± pi.
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