Concetti fondamentali
Lo studio della geometria secondo il metodo assiomatico prevede che si assumano
alcuni concetti come primitivi ,di cui cioè non si dà una definizione (ne sono un esempio il
punto e la retta) e alcune proposizioni come assiomi (di cui cioè non si dà una
dimostrazione).
Gli assiomi sono anche detti postulati. Una volta stabiliti gli assiomi, partendo da essi
derivano con ragionamenti logici tutte le altre proposizioni, dette teoremi.
Si dicono corollari quei teoremi che sono di immediata conseguenza degli assiomi o di
teoremi già dimostrati.
Si dicono lemmi quei teoremi che vengono dimostrati allo scopo di pervenire più
facilmente alla dimostrazione di un teorema particolarmente significativo.
r
B
A
segmento AB
retta r
Il segmento è allora…………………………………………………………………………..
Ciascuno dei punti A e B divide la retta in due ……………………………………………
Se due rette hanno un punto di intersezione allora si dicono incidenti, mentre se non
hanno alcun punto in comune si dicono parallele.
Disegna nello spazio sottostante due rette incidenti e due rette parallele.
A
B
A precede B
B segue A
I punti di una retta sono ordinati in due diversi sensi, uno opposto all’altro. Quando si fissa
uno dei due versi, la retta è orientata, e , comunque dati su di essa due punti A e B, uno
dei due precede l’altro e il secondo segue il primo.
A A precede B
B
B segue A
A
A
B
A precede B
B segue A
B
C
segmenti consecutivi
C
A
A
A
B
B
s
C
segmenti adiacenti
B
segmenti consecutivi
Due semirette a e b aventi l’origine in comune dividono il piano in due parti , ciascuna delle
quali è detta angolo di vertice O e di lati le due semirette.
B
A precede B
B segue A
angolo concavo
C
A
a
angolo convesso
B
C
segmenti adiacenti
b
Come confrontare due angoli o operare con essi?
Il laboratorio della carta ci può dare una mano a comprendere le situazioni qui di seguito
rappresentate
O'
A
E
D
C'
B
O
Mediante il trasporto si possono agevolmente confrontare gli angoli. Ad esempio
trasportando l’angolo AÔB in modo che il primo lato coincida con O’C e il secondo, O’E, si
trovi dalla stessa parte di O’D; se O’E è interno all’angolo CÔ’D, allora AÔB< CÔ’D.
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Analogamente per sommare due angoli si trasporta uno dei due per renderli consecutivi: si
trasporta AÔB in modo che il primo lato coincida con O’D e il secondo , O’E sia da parte
opposta rispetto a O’C.
L’angolo CÔ’E è la somma dei due angoli:
α + AÔB + CÔ’D CÔ’E
Disegna nello spazio sottostante i due angoli e la loro somma.
Ricorda: Un angolo congruente al suo adiacente è detto retto. Un angolo minore di un
angolo retto è detto acuto, e uno convesso maggiore di un angolo retto è detto ottuso.
Due angoli la cui somma è un angolo retto si dicono complementari, due angoli la cui
somma è un angolo piatto si dicono supplementari, due angoli la cui somma è un angolo
giro si dicono esplementari.
Disegna nello spazio sottostante gli angoli appena descritti
Si dice spezzata, o poligonale, la linea formata da più segmenti consecutivi: I segmenti
sono i lati e gli estremi dei segmenti sono i vertici della spezzata. Se il primo estremo del
primo segmento coincide con il secondo estremo dell’ultimo segmento la spezzata si dice
chiusa; in caso contrario la spezzata si dice aperta. Se i vertici di una spezzata sono
distinti, nessuno è interno a un lato e due lati non hanno mai un punto in comune tranne
eventualmente il vertice, la spezzata è semplice, altrimenti è intrecciata.
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angolo convesso
O
b
C'
B
H
G
B
A
E
C
D
L
poligono concavo
I
poligono convesso
Un poligono è detto convesso se…………………………………………………………....
………………………………………………………………………………………………………...
Un poligono è detto concavo se……………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
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I criteri di congruenza dei triangoli
Due triangoli sono uguali se è possibile sovrapporre l’uno all’altro in modo che coincidano i
loro contorni. E se concidono i contorni è evidente che coincidono, e sono quindi uguali,
anche i lati di uno con i lati dell’altro e gli angoli di uno con gli angoli dell’altro.
Però dati due triangoli, per decidere se essi sono o no uguali è sufficiente verificare
alcune uguaglianze opportunamente scelte fra i lati e gli angoli. Si hanno, così, i seguenti
tre criteri di eguaglianza, che esprimono le condizioni sufficienti affinché due triangoli siano
eguali.
Primo criterio di congruenza dei triangoli
Se due triangoli hanno ordinatamente uguali due lati e l’angolo fra essi compreso,
sono uguali.
A
A’
C
C’
B’
B
hp : AB = A’B’,
AC = A’C’,
 = ’
th : ABC = A’B’C’
Essendo uguali, per ipotesi, gli angoli in A e A’, è possibile sovrapporre uno di questi
all’altro in modo che la semiretta AB vada a coincidere con la semiretta A’B’ e la semiretta
AC con la semiretta A’C’.
E poiché, per ipotesi, è AB = A’B’ ed AC = A’C’, B coinciderà con B’ e C con C’ e di
conseguenza vengono a coincidere i contorni dei due triangoli, i quali risultano quindi
eguali.
Poiché i due triangoli risultano eguali, essi avranno ordinatamente eguali anche tutti i
rimanenti elementi, ossia si ha anche:
BC B' C ' ; Bˆ Bˆ ' ; Cˆ Cˆ '
Dalla dimostrazione appena ottenuta si può concludere che in due triangoli congruenti, a
lati uguali si oppongono angoli uguali, ad angoli uguali si oppongono lati uguali.
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Secondo criterio di congruenza dei triangoli
Se due triangoli hanno ordinatamente uguali due angoli e uguali il lato ad essi
comune, sono uguali.
A
A’
B
C B’
C’
hp : BC B' C ' ; Bˆ Bˆ ' ; Cˆ Cˆ '
th : ABC = A’B’C’
Infatti, trasportiamo il semipiano limitato dalla retta BC e contenente il punto A sul
semipiano limitato dalla retta B’C’ e contenente A’, in modo che il segmento BC coincida
con il segmento B’C’ al quale è, per ipotesi, uguale.
Per l’uguaglianza degli angoli in B e in B’ la semiretta BA coinciderà con la semiretta B’A’.
così pure, per l’uguaglianza degli angoli in C e in C’, la semiretta CA andrà a coincidere
con la semiretta C’A’.
Di conseguenza, il punto A, comune alle semirette BA e CA, coinciderà con il punto A’,
comune alle semirette B’A’ e C’A’.
Dunque, il movimento considerato ha fatto coincidere i tre vertici e perciò anche i contorni
dei due triangoli, i quali risultano, quindi, uguali.
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Terzo criterio di congruenza dei triangoli
Se due triangoli hanno i tre lati ordinatamente uguali sono uguali.
A’
A
B
M
C B’
C’
A’’
hp : AB = A’B’,
AC = A’C’, BC = B’C’
th : ABC = A’B’C’
Per dimostrare l’uguaglianza dei due triangoli, basta dimostrare che:
BAˆ C B' Aˆ ' C'
perché allora i due triangoli, avendo ordinatamente uguali due lati e l’angolo fra essi
compreso, risultano uguali per il 10criterio di congruenza.
Trasportiamo ora il triangolo A’B’C’ sul semipiano opposto a quello che ha come origine la
retta BC e contiene il triangolo ABC ed in modo che i vertici B’ e C’ coincidano
rispettivamente con ni vertici B e C (il che è possibile perché, per ipotesi, è B’C’ = BC) e
sia A’’BC la nuova posizione così assunta dal triangolo B’A’C’; quindi si ha :
AB = A’’B’’ (perché A’’B = A’B’ ed A’B’ = AB)
AC = A’’C (perché A’’C = A’C’ ed A’C’ = AC)
Congiungiamo ora A con A’’ e, pichè questi due punti sono da parti opposte rispetto alla
retta BC, tale congiungente taglia questa retta in un punto M, il quale può essere, rispeto
al segmento BC: interno (come in figura), esterno o coincidere con uno dei suoi estremi.
Nel caso in figura, i due triangoli BAA’’ e CAA’’ risultano isosceli sulla base comune AA’’ e
quindi avranno gli angoli alla base uguali, cioè:
BAˆ A' ' BAˆ ' ' A e CAˆ A' ' CAˆ ' ' A
E sommando membro a membro, si ha :
BAˆ A' 'CAˆ A' ' BAˆ ' ' A CAˆ ' ' A , ossia: BAˆ C BAˆ ' ' C
E poiché B' Aˆ ' C' BAˆ ' ' C , si ha infine:
BAˆ C B' Aˆ ' C'
e quindi i triangoli ABC ed A’B’C’ risultano uguali per il I criterio di uguaglianza.
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Costruzione dell’altezza in un triangolo mediante l’uso del software Cabri
1. Il primo passo consiste nella costruzione del triangolo. Cabri ci viene in aiuto. Disegniamo,
mediante la voce Punto, tre punti arbitrari nel foglio di lavoro.
2. Scegliamo dalla terza tendina da sinistra la voce Triangolo, e clicchiamo con il puntatore di
seguito sui tre punti disegnati primi, i quali costituiranno i vertici del triangolo.
3. Chiamiamo i vertici A,B,C, partendo dal vertice in alto e procedendo in senso antiorario.
Questa operazione si esegue scegliendo dalla penultima tendina la voce Nomi; con il
cursore si passa su ciascun punto e quando compare la scritta questo punto si clicca e si
digita all’interno della casella di testo che compare la lettera scelta per il vertice.
4. Dalla quarta tendina da sinistra selezioniamo la 1a voce Retta perpendicolare; passiamo
con il puntatore sul vertice A e comparirà la scritta questo punto, confermeremo ciccando e
poi passeremo con il cursore sul segmento BC. Comparirà la scritta questo segmento e
ciccheremo per conferma. Abbiamo ottenuto la retta passante per il vertice A e
perpendicolare al lato BC del triangolo.
5. Dalla seconda tendina scegliamo la voce Intersezione di due oggetti e con il cursore
passiamo sulla retta cliccando alla comparsa della scritta questa retta e successivamente
passiamo sul lato BC ciccando per confermare che abbiamo scelto questo triangolo.
6. Diamo al punto ottenuto dall’intersezione dei due oggetti il nome H, esattamente come
abbiamo fatto per nominare i vertici del triangolo. H sarà il piede della perpendicolare dal
vertice A al segmento BC.
7. Dalla terza tendina scegliamo la voce Segmento e con il cursore clicchiamo sul punto A e
sul punto H.
8. Ora nascondiamo la retta scegliendo la prima voce Mostra/Nascondi dell’ultima tendina e
poi cliccando con il puntatore sulla retta. Abbiamo costruito l’altezza di un triangolo!
9. Ma che succede se con il puntatore afferriamo il punto A (quando con il puntatore
passiamo sul vertice A compare una manina con la quale possiamo afferrare il punto e
trascinarlo semplicemente tenendo premuto il tasto di sinistra del mouse)?
L’altezza si muove insieme al vertice finchè ad un certo punto scompare dallo schermo.
Come mai? Cosa accade al triangolo mentre operiamo questo movimento sulla figura? Gli
angoli e i lati del triangolo sono cambiati? Che tipo di triangolo avevamo in partenza? E
quello ottenuto quando l’altezza è scomparsa dalla nostra visuale?
10. Ma possiamo far riapparire l’altezza senza trucchi e senza inganni!!!! Facciamo un piccolo
passo indietro: tracciamo una retta che passi per il segmento BC, mediante la voce Retta
dalla terza tendina. Con il cursore andiamo sul punto B e clicchiamo; facciamo la stessa
cosa sul vertice C. Poi costruiamo nuovamente il lato BC del triangolo usando la voce
Segmento e cliccando di seguito su B e C. Con il cursore clicchiamo poi sul segmento AH,
il quale comincerà a lampeggiare: premiamo il tasto Del o Canc della tastiera per eliminare
l’altezza e ridefinirla in modo nuovo.
11. Seguiamo la stessa procedura descritta dal punto 4 fino al punto 8 per tracciare la nuova
altezza: attenzione questa volta quando tracciamo la perpendicolare, al passaggio con il
cursore sul triangolo, alla domanda quale oggetto: questa retta oppure questo triangolo,
sceglieremo questa retta.
12. Definita l’altezza possiamo nascondere anche la retta passante per il lato BC sempre con
la voce Mostra/Nascondi.
13. Se ora proviamo ad afferrare il punto A e a trascinarlo, scopriremo che l’altezza non
scompare, ovvero quella che prima scompariva in realtà cadeva fuori dal triangolo e quindi
risultava invisibile in quanto costruita come segmento di perpendicolare al lato e non alla
retta contenente/passante per il lato!
14. Il triangolo per il quale le altezze cadono al di fuori della figura si chiama ottusangolo,
mentre il triangolo dal quale siamo partiti per la costruzione della nostra figura è
acutangolo e in esso le tre altezze sono tutte interne. Infine nel triangolo rettangolo due
altezze coincidono con due lati del triangolo detti cateti (essi infatti formano un angolo di
900).
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A
B
C
H
triangolo acutangolo
A
C
B
H
triangolo ottusangolo
A
H C
B
triangolo rettangolo
9
Rette parallele
Consideriamo la retta r e le due rette a e b dello stesso piano perpendicolari ad r,
rispettivamente, nei punti (distinti) A e B. Osserviamo che le rette a e b non hanno nessun
punto in comune, perché se si incontrassero in un punto, per questo passerebbero due
perpendicolari distinte alla retta r, il che non è possibile (per il teorema: Per un punto si può
condurre una ed una sola retta perpendicolare ad una retta data). Si dice che a e b sono
parallele.
Definizione: Due rette di uno stesso piano sono parallele fra loro quando non hanno
alcun punto in comune.
Sappiamo che nel IV° secolo a.C. Euclide organizza le precedenti conoscenze geometriche in
un sistema completo, gli Elementi. Gli Elementi si aprono con la definizione di termini, assiomi
e postulati.
Tra gli enti fondamentali su cui Euclide costruisce la geometria ci sono il concetto di punto
(punto è ciò che non ha parti), di linea (linea è lunghezza senza larghezza), di superficie
(superficie è ciò che soltanto lunghezza e larghezza) e di parallele (Paralleli sono i segmenti
di un piano che, prolungati indefinitamente da tutte e due le parti, in nessuna di esse
di incontrano).
Premesso ciò Euclide enuncia cinque postulati. Particolarmente importante è il seguente:
Postulato "delle parallele": Per un punto non giacente su una retta si può condurre
una ed una sola parallela alla retta data.
Da questo postulato deriva che:
Due rette parallele ad una terza sono parallele tra loro.
Dimostrazione
Infatti se le rette a e b, parallele alla stessa retta c, si incontrassero in un punto P, per tale
punto passerebbero due rette distinte parallele a c, il che non è ammissibile perché contrasta
con il postulato delle parallele.
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Rette parallele tagliate da una trasversale
Per esprimere le proprietà relative alle rette parallele, osserviamo che due rette a e b tagliate da
una trasversale c formano otto angoli che vengono denominati nel modo seguente:
Somma degli angoli interni di un triangolo
Consideriamo un triangolo ABC e un suo lato qualsiasi, ad esempio BC. Tracciamo la retta r
parallela al lato BC e passante per A. Tale retta è unica per il quinto postulato. I due angoli 2 e
2' e i due angoli 3 e 3' sono uguali in quanto alterni interni ( i lati AB e AC tagliano infatti rette
parallele). Dalla somma 2’+3’+ 1 = 1800 segue che la somma dei tre angoli del triangolo è
uguale a un angolo piatto cioè è uguale a 180°.
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