ESPERIENZA DEL CARRELLO
• SCOPO: Verifica della seconda legge della Dinamica e dell’ equivalenza tra
massa gravitazionale e massa inerziale.
• RICHIAMI TEORICI: In Fisica si attribuisce al concetto di massa un duplice
significato.
1. Massa gravitazionale mG
La massa gravitazionale mG di un corpo è la misura dell’intensità della
forza con cui tale corpo è attratto da un corpo di riferimento arbitrario ma
prefissato (di massa MG ) in base alla Legge di gravitazione universale di
Newton. Nel caso di masse puntiformi o a simmetria sferica essa è data da:
FG = G
mG MG
r2
dove la costante di gravitazione universale è G = 6.673 10−8 cm3 g−1 s−2 ed
r è la distanza tra i due corpi.
2. Massa inerziale mI
La massa inerziale mI di un corpo è la misura dell’inerzia con cui esso si
oppone alla forza che lo fa accelerare. Infatti maggiore è la massa e minore
è la variazione della velocità, quindi minore è l’accelerazione, che si ottiene
a parità di forza. In altre parole la massa inerziale di un corpo esprime la
capacità di resistere a qualsiasi causa che tenda a mutarne il suo stato di
quiete o di moto rettilineo uniforme. In base a questa definizione ci si riporta
alla seconda legge della dinamica:
FI = a mI
dove a è l’accelerazione impartita al corpo.
A questo punto entra in gioco una delle ipotesi basilari su cui si fonda la teoria
della relatività generale, ovvero il Principio di equivalenza, secondo il quale non
è possibile, tramite esperimenti locali cioè condotti su piccola scala, distinguere
tra forza gravitazionali e forze inerziali. In altre parole, non è possibile in linea
di principio riconoscere in laboratorio se la forza che mette in moto un corpo è
dovuta all’accelerazione del sistema cui è solidale o se è da attribuirsi all’attrazione
gravitazionale esercitata da un altro corpo.
Il legame tra i due tipi di massa può essere evidenziato considerando l’esempio
di un corpo in caduta libera in prossimità della superificie terrestre. Deve valere:
1
FG = FI
=⇒
mG
G MT
= mI g
RT2
dove g = 9.807 m s−2 è accelerazione di gravità terrestre; MT = 5.97 1027 g è
la massa della terra; RT = 6.371 108 cm è il raggio terreste; G = 6.673 10−8 cm3
g−1 s−2 è la costante digravitazione universale.
R2 g
Raggruppando tutte le costanti nel parametro adimensionale K = T
vale
G MT
la relazione:
mG = KmI
Un obiettivo di questa esperienza è verificare che K = 1.
• APPARATO STRUMENTALE: Rotaia metallica a cuscino d’aria munita
di scala graduata. Essa è dotata di fori sulla sezione superiore da cui fuoriesce
dell’aria, creando un cuscino d’aria che permette ad un carrello (slitta) di scorrere
su di essa senza strisciare (attrito radente trascurabile).
2
Il carrellino è dotato ad un estremità di una parte in ferro. All’estremità sinistra
della guidovia è posto un elettromagnete che può essere attivato o disattivato
manualmete (interruttore) in modo da tenere fermo o lasciare libero il carrellino.
Il carrello, durante il percorso, passa in prossimità di due fotocellule, collegate
ad un cronometro digitale che si attiva quando il carrellino passa davanti alla
prima fotocellula e si disattiva appena esso giunge in prossimità della seconda. La
posizione della prima fotocellula viene mantenuta fissa durante tutte le misurazioni,
mentre la secoda viene fatta scorrere di 10 cm alla volta.
Alla base dell’apparato è presente una vite mediante la quale è possibile inclinare la guidovia. Ogni giro completo della vite corrisponde ad un’inclinazione
di 5’, pari a (1.45 10−3 rad per giro). La massa del carrellino è di 76 g. Esiste una
massa aggiuntiva (zavorra) dello stesso peso da usare all’occorrenza.
Errori di sensibilità degli strumenti di misura:
• Sensibilità del cronometro: 0.001 s
• Sensibilità della scala graduata: 0.1 cm
• Rappresentazione schematica della configurazione dinamica relativa al carrello
Detto α l’angolo di inclinazione del piano rispetto all’orizzontale, nell’ipotesi
di poter trascurare gli attriti di tipo viscoso e radente, le forze agenti sul carrello
sono:
3
1. la componente della forza peso normale alla superficie del carrello, di modulo
m g cos α;
2. la componente della forza peso parallela alla superficie del carrello, di modulo
m g sin α.
La componente normale è equilibrata dalla reazione vincolare della superficie
del piano, quindi l’unica forza attiva agente sul carrello è m g sin α, che ha modulo
costante.
Il moto è quindi uniformemente accelerato −→ accelerazione, velocità e spazio
percorso dal corpo in funzione del tempo sono date da:
a = g sin α
v = vo + a t
1
s = so + vo t + a t2
2
PRIMO SCOPO dell’esperienza: verifica che il moto è uniformemente accelerato, e quindi che la dipendenza dello spazio dal tempo è quadratica.
SECONDO SCOPO dell’esperienza: verifica della seconda legge della Dinamica e dell’equivalenza tra massa gravitazionale e massa inerziale.
• OPERAZIONI DI MISURA:
1. Azzeramento, ovvero ricerca della posizione orizzontale che servirà di riferimento.
Va eseguita due volte, usando la manopola. In questo modo si ricava anche
l’indeterminazione da associare all’inclinazione.
Procedimento: Si pone il carrello sulla rotaia ad elettromagnete disinserito e
sia avvia il compressore in posizione 3. Per tentativi ruotando la manopola di
deve cercare la configurazione per cui risulti il carrello fermo o in oscillazione
attorno ad una posizione di equibrio. A questo punto si registra la posizione
sulla manopola (con scala graduata). Quindi si stara la manopola e si ripete
l’operazione. Il secondo risultato sarà in genere diverso. L’angolo compreso
tra le due tacche ∆α verrà assunto come indeterminazione sull’inclinazione
(da esprimersi in radianti!).
2. Condizioni iniziali.
Si fissa la prima fotocellula in corrispondenza della posizione sulla scala graduata in cui il carrello è a contatto con l’elettromagnete, in modo che essa
4
rappresenti il punto di riferimento delle condizioni iniziali
s0 = 0, t0 = 0, v0 = 0, vale a dire l’origine delle misure di distanza, di
tempo e con velocità iniziale nulla.
Con queste condizioni la relazione cinematica del moto uniformemente accelerato:
1
s = s0 + v0 (t − t0 ) + a(t − t0 )2
2
si semplifica come
1
s = at2
2
3. Misure di tempo.
Posizione del compressore a 3. Si considerano tre diverse inclinazioni della
rotaia (15’,30’,45’). Per ogni inclinazione si fissa la seconda fotocellula a
distanze crescenti di 10 cm in 10 cm (fino a 100 cm) e per ogni distanza si
effettuano 10 misure del tempo impiegato dal carrellino a percorrerla. Totale
di 100 misure per ogni inclinazione.
Per l’inclinazione di 45’ si prendono altre 100 misure, zavorrando il carrellino
con il peso aggiuntivo, e posizionando il compressore in posizione 4 (per
contrastare il maggior attrito).
I dati vengono registrate in 4 tabelle con le misurazioni di tempo e di distanza
(dimensioni 10 × 10).
• ELABORAZIONE DEI DATI
• La distanza s tra le due fotocellule si ottiene come differenza tra le due
rispettive posizioni, cioè s = x2 − x1 . A ciascuna posizione si associa l’errore
di sensibilità dato dalla scala graduata, ∆x = 0.1 cm, che può essere visto
come errore massimo. L’indeterminazione della coordinata spaziale s è data
dalla propagazione degli errori massimi, cioè ∆s = ∆x + ∆x = 2∆x.
• Nel caso delle misure di tempo, la sensibilità è sufficientemente elevata da
rendere possibile il manifestarsi degli errori accidentali, per cui i risultati
della misura sono descrivibili da una distribuzione normale.
Il valore di aspettazione è meglio approssimato dalla media aritmetica
nj
X
t̄j =
tij
i=1
nj
con j = 1, 2, · · · N ; dove tij è la misura i-esima della distanza j-esima, nj è
il numero di misure effettuate per la distanza j-esima, ed N è il numero dei
gruppi di misure (ovvero il numero di distanze considerate). Nello specifico
nj = 10 (10 misure per ogni distanza) e N = 10 (10 valori di distanza).
5
• L’ indeterminazione da associare ad ogni media è lo scarto quadratico medio
della media
v
u nj
uX
u
(tij − t̄j )2
u
u
σt̄j = t i=1
nj (nj − 1)
Riportare tabella con il valore medio dei tempi e relativa indeterminazione
statistica per ogni inclinazione e per ogni distanza (dimensioni 4 × 10).
• Prima verica: moto uniformemente accelerato
Nell’ipotesi di moto uniformemente accelerato la relazione tra spazio percorso
e tempo impiegato nel piano logaritmico (0, log s, log t):
log s = 2 log t − log 2 + log a
definisce l’equazione di una retta di coefficiente angolare 2 e intercetta − log 2+
log a sull’asse delle ordinate.
Per ogni valore dell’inclinazione produrre il relativo grafico (4 figure), riportando i 10 punti a disposizione e associando a ciascuno il rettangolo di errore
6
massimo, avente come semi-dimensioni le quantità: 3
Tabella che riporti:
log(s), log(t) per α = 150 ;
log(s), log(t) per α = 300 ;
log(s), log(t) per α = 450 ;
log(s), log(t) per α = 450 + zavorra.
σt̄j ∆s
e
t̄j
s
• Registrare i due valori dell’intercetta verticale, q1 e q¯ 2 e calcolare
il valore
¯
q1 + q2 ¯¯ q2 − q1 ¯¯
medio e relativa indeterminazione massima: q =
±¯
2
2 ¯
• Per ogni inclinazione l’allineamento dei punti è verificato nei limiti d’errore
se esiste un insieme di rette, limitato dalle due di minima e massima pendenza,
che passano per tutti i rettangoli di errore. Se la verifica è soddisfatta significa
che la dipendenza dello spazio dal tempo è decrivibile da una legge di potenza del
tipo s = A tB .
• La condizione di moto uniformemente accelerato, ovvero la dipendenza quadratica della coordinata spaziale da quella temporale (caso B = 2), è verificata nei
limiti d’errore se è possibile individuare la retta di coefficiente angolare 2 passante
per tutti i rettangoli di errore e compresa tra le 2 rette di max a min pendenza.
La costanza dell’accelerazione supporta anche la trascurabilità dell’attrito viscoso,
assunta come ipotesi di lavoro.
• Utilizzare il metodo dei minimi quadrati per determinare il coefficiente angolare e l’intercetta della retta che meglio si adatta ai punti nel piano log(t) − log(s),
con le rispettive incertezze. Calcolare infine il coefficiente di correlazione r.
• Soluzione del problema della misura relativo all’accelerazione
Per ogni valore dell’inclinazione e per ogni valore della distanza, l’accelerazione
media si può stimare come:
2sj
āj = 2
t̄j
Per quanto riguarda l’indeterminazione associata, questa si deriva mediante la
propagazione
in quadratura):
v degli errori statistici (sommav
!2 Ã
!2
uÃ
u ∂āj
∂ā
j
σāj = t
σs +
σt̄j
∂sj
∂ t̄j
!2 Ã
!2
uÃ
u 2
−2s
j
= t 2 σs +
3 σt̄j
t̄j
7
t̄j
Tabella che riporti per ogni inclinazione e per ogni distanza l’ accelerazione
media e la relativa indeterminazione.
Infine per ogni inclinazione, la miglior stima dell’accelerazione è data dalla
media pesata, previa verifica della compatibilità dei dati a disposizione (metodo
grafico o analitico basato sul Nσ ).
Per ogni inclinazione si calcola:
nj
X
āp =
āj pj
j=1
nj
X
pj
j=1
e la relativa
indeterminazione:
v
u
u 1
σāp = u
u nj
uX
t
pj
j=1
dove i pesi sono
!2
Ã
1
.
pj =
σāj
Tabella che riporti per ogni inclinazione accelerazione media pesata e indeterminazione statistica.
• Stimata l’accelerazione si calcolano le intercette minima e massima della retta
di equazione
log s = − log 2 + log a + 2 log t, vale a dire:
q̃min = − log 2 + log(āp − 3σāp ) e
q̃max = − log 2 + log(āp + 3σāp )
Si calcola valor medio
massima:
¯ e intederminazione
¯
q̃min + q̃max ¯¯ q̃min − q̃max ¯¯
q̃ =
±¯
¯.
2
2
Infine si confronta con la stima precedente q (a partire dalle rette di minima e
massima pendenza) e se ne valuta la compatibilità.
• Verifica dell’equivalenza tra mI e MG .
Si calcola la forza agente sul carrellino per ogni configurazione dell’apparato
strumentale:
GMT
FI =
mG sin(α)
RT2
8
Si costruisce un grafico nel piano (0, a, FI ) riportando i 5 punti noti: quello di
coordinate (0,0) relativo alla configurazione orizzontale, più gli altri quattro per
α > 0. I rettangoli di errore hanno semi-base pari a 3σāp e semi-altezza pari a
∆FI, max , errore massimo sulla forza.
Quest’ultimo si ottiene mediante la formula di propagazione degli errori massimi:
¯
¯¶
¯
µ¯
¯
¯
¯ ∂FI ¯
¯ ∆mG + ¯ ∂FI ∆α¯
∆FI, max = ¯¯
¯
¯
¯
∂α
à ∂mG
!
GMT
GMT
=
sin(α)∆mG +
mG cos(α)∆α
RT2
RT2
= g sin(α) ∆mG + g mG cos(α)∆α
GMT
dove si è posto g =
.
RT2
Da notare che ∆mG = 1 g nei casi senza zavorra e ∆mG = 2 g nel caso con
zavorra.
9
• Verificare la seconda legge della Dinamica significa verificare l’allineamento
dei punti (per ogni valore dell’inclinazione), ovvero la proporzionalità diretta tra
forza e accelerazione, dove il coefficiente di proporzionalità è la massa inerziale. In
pratica, ciò si traduce nel dimostrare l’esistenza di un fascio di rette passanti per
tutti i rettangoli d’errore e limitato da due rette di minima a massima pendenza
(mmin
e mmax
rispettivamente).
I
I
• Sappiamo che, per fissato angolo di inclinazione α, l’accelerazione con cui
si muove un corpo che scivoli lungo il piano in assenza di attriti è data da a =
GMT
sin(α), ovvero è indipendente dalla massa del corpo in questione. Questo
RT2
punto è verificato dall’ allineamento dei 2 punti corrispondenti ad α = 450 senza
e con zavorra lungo una retta parallela all’asse FI . Tale condizione rappresenta
un’ulteriore verifica della seconda legge della Dinamica, implicando una proporzionalità diretta tra massa inerziale e forza inerziale.
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• Infine la prova dell’equivalenza tra mI e mG è fornita dall’esistenza di un’intersezione
non nulla tra l’angolo definito dalla coppia di rette di pendenze mmin
e mmax
,e
I
I
l’angolo definito dalle rette di pendenze mG − ∆mG e mG + ∆mG (passanti per
il punto di intersezione della prima coppia per comodità di rappresentazione; area
tratteggiata in figura).
11
