Liceo Classico e Internazionale “C

Liceo Classico e Internazionale “C. Botta” – Ivrea
LAVORI ESTIVI
Anno scolastico: 2014-2015
Classe:2B, 2E, 2F, 2G, 2I, 2M
Docente: Ilenia Fecchio
Disciplina Matematica
Ripassare tutto il programma preparando un formulario per i principali argomenti.
Delle prime 5 schede svolgere i primi 3 esercizi di ogni scheda.
Scheda 6 e 7: tutte.
Scheda 8: es. n. 3-4-5-6-11-12-143-14.
Delle restanti schede svolgere sempre i primi 3 esercizi di ogni scheda.
Ivrea, 11 giugno 2015
Il Docente
………………………………..
LE DISEQUAZIONI LINEARI Recupero
RECUPERO
LE DISEQUAZIONI NUMERICHE INTERE
1
COMPLETA
Risolvi la seguente disequazione intera:
5
(x ⫺ 1)2
(x ⫹ 3)2
x⫺4
ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ ⱕ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ
3
2
2
6
5
x2 … ⫹ 1
x2 … ⫹ 9
x⫺4
ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ ⱕ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ
3
2
2
6
m.c.m. (3, …, 6) ⫽ 6
Sviluppa i prodotti notevoli al numeratore.
Calcola il m.c.m. dei denominatori.
10x ⫹ 3(x 2 … ⫹ 1) ⱕ 3(x 2 … ⫹ 9) ⫹ x ⫺ 4
10x ⫹ 3x 2 … ⫹ 3 ⱕ 3x 2 … ⫹ 27 ⫹ x ⫺ 4
Elimina i denominatori moltiplicando entrambi
i membri per il m.c.m.
Esegui le moltiplicazioni e applica la regola di cancellazione.
10x …… ⫺ x ⱕ ⫺ 3 ⫹ 27 ⫺ 4
… x ⱕ 20 → … x ⱖ … 20
Applica la regola del trasporto.
Cambia segno ai due membri e verso alla disequazione.
20
…
x ⱖ … ᎏᎏ → x ⱖ … ᎏᎏ
…
…
2
Ricava la soluzione.
PROVA TU
L’insieme delle soluzioni della disequazione x … ⫺ 2 si può rappresentare sulla retta come:
…
3
–2
oppure come
]⫺ ⬁; …[
PROVA TU
Risolvi la seguente disequazione intera:
3 (x ⫺ 2)2 ⫺ 2 ⫺ 6x 2 ⬎ 3(1 ⫺ x)(1 ⫹ x) ⫹ 2x.
3(x 2 ⫺ … x ⫹ …) ⫺ 2 ⫺ 6x 2 ⬎ 3(1 ⫺ x …) ⫹ 2x
3x 2 ⫺ … x ⫹ … ⫺ 2 ⫺ 6x 2 ⬎ 3 ⫺ 3x … ⫹ 2x
3x 2 ⫺ … x ⫺ 6x 2 ⫹ 3x … ⫺ 2x ⬎ ⫺ … ⫹ 2 ⫹ 3
…x ⬍⫹…
…
x ⬍ ᎏᎏ
…
] ⫺ …; …[.
...
⫺…x ⬎⫺…
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Questo file è una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini, Anna Trifone e Graziella Barozzi
1
LE DISEQUAZIONI LINEARI Recupero
Risolvi le seguenti disequazioni.
4
5x ⫹ 11 ⬍ 2x ⫹ 2
[x ⬍ ⫺ 3]
5
3 ⫺ x ⱖ 2(4x ⫺ 3)
[x ⱕ 1]
6
2(x ⫺ 2) ⫹ 3(x ⫺ 3) ⱖ 2
[x ⱖ 3]
7
(x ⫹ 3)2 ⫹ 3 ⱕ x(x ⫹ 2)
[x ⱕ ⫺ 3]
8
3 ⫹ (x ⫹ 2)(x ⫺ 3) ⱖ (x ⫹ 1)2
1
ᎏᎏ x ⫺ 2 ⬎ x ⫺ 1
4
2x ⫺ 1
x
10 ᎏᎏ ⱖ ᎏᎏ
2
5
x⫹4
1 ⫺ 2x
x⫹3
11 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⱖ ᎏᎏ
2
3
2
9
12 (x ⫹1)2 ⫺x ⬍x (x ⫹1)⫹2x ⫺1
冢
冣
1
13 2x x ⫹ᎏᎏ ⫺1⬎(x ⫹1)(2x ⫹3)⫺3x
8
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冤x ⱕ ⫺ ᎏ43ᎏ冥
冤x ⬍ ⫺ ᎏ43ᎏ冥
冤x ⱖ ᎏ58ᎏ冥
冤x ⱕ ᎏ54ᎏ冥
[x ⬎1]
冤x ⬍⫺ᎏ17ᎏ6 冥
2
LE DISEQUAZIONI LINEARI Recupero
RECUPERO
I SISTEMI DI DISEQUAZIONI
1
COMPLETA
Risolvi il seguente sistema di disequazioni:
(x ⫹ 4)(x ⫺ 3) ⱕ ⫺ 2 ⫹ (x ⫺ 3)(x ⫹ 3)
冦6(2x ⫺ 3) ⫺ 2(x ⫹ 1) ⬍ 3(5x ⫺ 6)
x 2 ⫺ … x ⫹ … x ⫺ 12 ⱕ ⫺ 2 ⫹ x 2 ⫺ …
12x ⫺ … ⫺ 2x ⫺ … ⬍ … x ⫺ 18
冦
⫺ … x ⫹ … x ⱕ ⫹12 ⫺ 2 ⫺ …
冦12x ⫺ 2x ⫺ … x ⬍ ⫹ …
…ⱕ1
冦⫺ 5x ⬍ …
→
Esegui le moltiplicazioni e sviluppa il prodotto notevole.
Applica la regola di cancellazione e la regola del trasporto
e somma i termini simili.
…ⱕ1
冦x ⬎ …
…ⱕ1
Risolvi due disequazioni.
1
Rappresenta le soluzioni delle due disequazioni.
x ⬎⫺…
...
…⬍x ⱕ1
2
Scrivi la soluzione del sistema: sono i valori di x che
soddisfano contemporaneamente le due disequazioni.
PROVA TU
Risolvi il seguente sistema di disequazioni:
3(x ⫺ 4) ⫺ 9x ⬍ 2(2x ⫺ 1)
冦6(x ⫺ 2) ⬍ 3(x ⫺ 3) ⫺ 8x ⫺ 3
3x ⫺ … ⫺ 9x ⬍ … x ⫺ 2
x ⬎⫺…
3x ⫺ 9x ⫺ … x ⬍ ⫹ … ⫺ 2
6x ⫺ … x ⫹ 8x ⬍ ⫹ … ⫺ 9 ⫺ 3
x ⬍0
冦6x ⫺ … ⬍ … x ⫺ 9 ⫺ 8x ⫺ 3
冦
⫺…x ⬍…
冦… x ⬍ 0
→
...
x ⬎⫺…
冦x ⬍ 0
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⫺…⬍x ⬍0
0
ossia
]…; 0[.
1
LE DISEQUAZIONI LINEARI Recupero
Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni.
3
冦 x9 ⫺⫺ 22x⬎⬎73x⫹ ⫺4x1
4
冦 (x2(3x⫹ ⫺1) 5)ⱕ⫺x(x1 ⬍⫹x3)⫺ 1
5
冦
3
2x ⫹ 3
ᎏᎏ x ⬎ ᎏᎏ
2
3
2x ⫹ 1 ⱕ 2 ⫹ 3x
6
冦
(2x ⫺ 1)2 ⬎ (4x ⫺ 1)(x ⫹ 3)
x ⫺ 2 ⬍ 4 ⫺ 2x
7
冦
1
3
1
2
ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ x ⬍ ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ
6
2
2
3
5
x
x ⫹ ᎏᎏ ⬍ ᎏᎏ ⫺ 2
2
2
冦
冦
冦
冦
2x ⫺ 9
4
ᎏᎏ ⱖ 4x ⫺ ᎏᎏ
3
3
(x ⫺ 1)2 ⬍ x(x ⫺ 3)
8
9
10
11
12
2
x⫺1
x⫹1
ᎏᎏ ⬎ ᎏᎏ
2
4
x ⫺ 2(3x ⫹ 5) ⬍ 0
[x ⬍ ⫺ 3]
[1 ⱕ x ⬍ 2]
冤x ⬎ ᎏ65ᎏ冥
冤x ⬍ ᎏ145ᎏ冥
[impossibile]
[x ⬍ ⫺ 1]
[x ⬎ 3]
x⫹1
3x ⫹ 1
ᎏᎏ ⬎ ᎏᎏ
2
3
2
3(x ⫺ 1) ⫺ x ⬍ 2 ⫺ (x ⫺ 1)(x ⫹ 1)
冤x ⬍ ᎏ13ᎏ冥
(x ⫺ 1)2 ⱕ 5 ⫹ x(x ⫺ 3)
1
ᎏᎏ x ⫹ 3 ⬎ 2x
3
冤x ⬍ ᎏ59ᎏ冥
(x ⫹ 2)(x ⫺ 3) ⫹ x 2 ⬎ (2x ⫺ 1)(x ⫹ 1)
冦 3(x ⫹ 1) ⫹ 2(x ⫺ 2) ⬍ x ⫹ 4
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冤x ⬍ ⫺ ᎏ2ᎏ冥
5
2
L’EQUIVALENZA DELLE SUPERFICI PIANE Recupero
RECUPERO
IL TEOREMA DI PITAGORA
1
COMPLETA
Scrivi le possibili equivalenze applicando il teorema di Pitagora alla figura a lato.
Con la scrittura Q (AB) si intende il quadrato costruito su AB.
C
A
2
B
H
Q (CA) ⬟ Q(…) ⫹ Q (CH ).
Applica il teorema di Pitagora al triangolo CHA.
Q (…) ⬟ Q (…) ⫹ Q(HB).
Applica il teorema di Pitagora al triangolo CHB.
Q(…) ⬟ Q(CA) ⫹ Q(CB).
Applica il teorema di Pitagora al triangolo ACB.
PROVA TU
Scrivi le possibili equivalenze applicando il teorema di Pitagora alla figura a lato.
C
Q (CB) ⬟ Q(…) ⫹ Q (CA).
Q (…) ⬟ Q(AK) ⫹ Q (…).
K
Q(AB) ⬟ Q(AK) ⫹ Q(…).
Q (…) ⬟ Q(PK) ⫹ Q (PB).
A
Q(KA) ⬟ Q (KP) ⫹ Q (…).
3
4
Osserva la figura e dimostra che
Q(AB) ⫹ Q(CD) ⬟ Q (BC ) ⫹ Q (AD).
B
P
Data la figura, completa le uguaglianze indicate
sotto.
D
C
C
A
A
D
B
E
B
Q(ED) ⬟ Q(…) ⫹ Q(DA);
Q(EB) ⬟ Q(…) ⫺ Q(CB).
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1
L’EQUIVALENZA DELLE SUPERFICI PIANE Recupero
5
Dimostra che un quadrato è equivalente alla metà del quadrato costruito sulla sua diagonale.
6
Dimostra che il quadrato costruito sul semiperimetro di un rombo è equivalente alla somma dei quadrati
costruiti sulle diagonali.
7
Osserva la figura.
C
A
D
B
Dimostra che la differenza dei quadrati costruiti su CB e su CD è equivalente alla differenza dei quadrati costruiti su AB e AD.
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2
L’EQUIVALENZA DELLE SUPERFICI PIANE Recupero
RECUPERO
I TEOREMI DI EUCLIDE
1
COMPLETA
Scrivi le possibili equivalenze applicando il primo teorema di Euclide nella figura a lato.
Con la scrittura ᏾ (AB; AC) indichiamo il rettangolo di lati AB e AC.
C
H
A
Q (AC ) ⬟ ᏾(…; CH).
B
K
Applica il primo teorema di Euclide al triangolo ABC.
Q(…) ⬟ ᏾(…; HB).
Applica il primo teorema di Euclide al triangolo AHB.
Q(…) ⬟ ᏾(AK; …).
Q(HB) ⬟ ᏾(KB; …).
2
PROVA TU
Scrivi le possibili equivalenze applicando il secondo teorema di Euclide nella figura a lato.
C
H
Q (AH) ⬟ ᏾(CH ; …).
Q (…) ⬟ ᏾(AK; …).
3
4
A
Nel triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, sia
AH l’altezza relativa all’ipotenusa. Dimostra che
il rettangolo avente i lati congruenti a BH e CH è
equivalente a un rettangolo avente un lato congruente ad AC e l’altro congruente alla proiezione
di AH su AC.
Osserva la figura: P è
un punto esterno alla
circonferenza da cui
sono condotte le tangenti PA e PB.
Applica i teoremi di
Euclide al triangolo
rettangolo PAO.
5
Osserva la figura. AB è il
diametro di una circonferenza e CD è una corda a esso perpendicola- A
re. A quale figura è
equivalente il quadrato
costruito su CH? Perché?
P
B
K
C
B
H
D
A
H
B
O
6
Da un punto P esterno a una
circonferenza traccia le due tangenti PA e PC.
Traccia il diametro AB e, da B, una perpendicolare al diametro che incontra in E la retta PC. Dimostra che il quadrato costruito su un raggio
della circonferenza è equivalente al rettangolo
avente come lati i segmenti CE e CP.
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1
INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ Recupero
RECUPERO
LA PROBABILITÀ DI UN EVENTO
1
COMPLETA
In un raccoglitore ci sono 15 cartelle gialle, 12 bianche e 28 rosse. Calcola la probabilità di prendere dal
raccoglitore una cartella gialla.
Casi possibili ⫽ 15 ⫹ … ⫹ … ⫽ … .
Conta i casi possibili, cioè il numero di cartelle
contenute nel raccoglitore.
Casi favorevoli ⫽ … .
Individua il numero di casi favorevoli,
cioè il numero di cartelle gialle.
Calcola la probabilità.
casi favorevoli
…
p ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ … .
…
casi possibili
2
PROVA TU
In una scatola di gelati ci sono 5 coppe, 3 cornetti e 4 ghiaccioli. Calcola la probabilità di prendere dal
contenitore un cornetto.
Casi possibili ⫽ 5 ⫹ … ⫹ … ⫽ … .
Casi favorevoli ⫽ … .
casi favorevoli
…
p ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ … .
casi possibili
…
3
Una scatola contiene 3 triangoli, 5 quadrati e 7
rombi. Calcola la probabilità di estrarre un trian1 1
golo e quella di estrarre un quadrato.
ᎏᎏ; ᎏᎏ
5 3
冤
4
冥
Un libro di 600 pagine ha 30 pagine con illustrazioni. Calcola la probabilità che hai, aprendo il libro, di trovare una pagina senza figure.
19
ᎏᎏ
20
冤 冥
5
Il sacchetto della tombola contiene 90 numeri.
Viene estratto un numero. Calcola la probabilità
che si abbia:
a) un numero dispari;
b) un numero minore o uguale a 30;
c) un multiplo di 8.
1
1
11
a) ᎏᎏ; b) ᎏᎏ; c) ᎏᎏ
2
3
90
冤
6
Sugli scaffali di una libreria ci sono 7 libri gialli,
12 romanzi e 3 libri di fantascienza. Calcola la
probabilità che hai di prendere:
a) un romanzo;
b) un giallo.
6
7
a) ᎏᎏ; b) ᎏᎏ
11
22
冤
7
冥
In un mazzo di 52 carte sono state smarrite alcune figure. La probabilità di estrarre una figura in
questo mazzo ora è 0,2. Determina quante figure
[10]
sono rimaste nel mazzo.
冥
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1
INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ Recupero
RECUPERO
LA PROBABILITÀ DELLA SOMMA LOGICA
DI EVENTI
1
COMPLETA
Nel sacchetto della tombola ci sono 90 numeri. Calcola la probabilità di estrarre:
a) un numero di una cifra o un multiplo di 11;
b) un numero pari o multiplo di 15.
a)
…
p(E1) ⫽ ᎏᎏ ⫽ … .
90
…
p(E2) ⫽ ᎏᎏ ⫽ … .
90
Calcola la probabilità di estrarre un numero di una cifra.
Calcola la probabilità di estrarre un multiplo di 11.
p ⫽ p(E1) ⫹ p(E2) ⫽ … ⫹ … ⫽ … .
Calcola la probabilità dell’unione degli eventi,
osservando che sono eventi incompatibili.
b)
…
p(E1) ⫽ ᎏᎏ ⫽ … .
90
…
p(E2) ⫽ ᎏᎏ ⫽ … .
90
…
p(E1 傽 E2) ⫽ ᎏᎏ ⫽ … .
90
Calcola la probabilità di estrarre un numero pari.
Calcola la probabilità di estrarre un multiplo di 15.
Gli eventi sono compatibili: calcola la probabilità dell’evento
intersezione (estrarre un numero pari e multiplo di 15).
p ⫽ p(E1) ⫹ p(E2) ⫺ p(E1 傽 E2) ⫽ … ⫹ … ⫺ … ⫽ … .
2
Calcola la probabilità dell’evento unione.
PROVA TU
In un sacchetto ci sono 30 dischi numerati da 1 a 30. Calcola la probabilità di estrarre:
a) un disco con un numero dispari o multiplo di 10;
b) un disco con un numero a due cifre o multiplo di 7.
a) E1 ⫽ «estrazione di un numero dispari»; E2 ⫽ «estrazione di un ……………… di 10».
…
p(E1) ⫽ ᎏᎏ ⫽ … .
30
…
p(E2) ⫽ ᎏᎏ ⫽ … .
30
p ⫽ p(E1) ⫹ p(E2) ⫽ … ⫹ … ⫽ … .
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1
INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ Recupero
b) E1 ⫽ «estrazione di un numero a due cifre»; E2 ⫽ «estrazione di un ……………… di 7».
…
p(E1) ⫽ ᎏᎏ ⫽ … .
30
…
p(E2) ⫽ ᎏᎏ ⫽ … .
30
…
p(E1 傽 E2) ⫽ ᎏᎏ ⫽ … .
30
p ⫽ p(E1) ⫹ p(E2) ⫺ p(E1 傽 E2) ⫽ … ⫹ … ⫺ … ⫽ … .
3
4
Un sacchetto contiene 20 dischi, numerati da 1 a 20. Calcola la probabilità di pescare:
a) un disco con un multiplo di 10 o con due cifre uguali;
b) un disco con un multiplo di 4 o di 6.
7
b) ᎏᎏ冥
冤a) ᎏ23ᎏ;
0
20
Un’urna contiene 3 palline rosse, 3 palline verdi, 5 cubetti rossi e 2 cubetti blu. Calcola la probabilità di
estrarre:
a) una pallina o un oggetto blu;
b) una pallina o un oggetto rosso.
8
11
a) ᎏᎏ; b) ᎏᎏ
13
13
冤
冥
5
Un pacchetto di caramelle contiene 3 caramelle alla fragola, 4 all’arancia, 3 alla menta e 2 al limone. Calcola
1
la probabilità di prendere una caramella al limone o all’arancia.
ᎏᎏ
2
6
Un pacco di biscotti ne contiene 100. Metà sono alle mandorle e metà al cacao. Di ogni gusto, metà sono
tondi e metà rettangolari. Calcola la probabilità che hai di prendere un biscotto alle mandorle o un biscotto
di forma rettangolare.
3
ᎏᎏ
4
冤 冥
冤 冥
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2
INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ Recupero
RECUPERO
LA PROBABILITÀ CONDIZIONATA
E IL PRODOTTO LOGICO DI EVENTI
1
COMPLETA
Un’urna contiene 15 palline numerate. Calcola la probabilità che, estraendo una pallina, essa rechi un
numero pari sapendo che è uscito un numero divisibile per 3.
E1 ⫽ «estrazione numero divisibile per 3».
Considera i due eventi ed essendo compatibili
calcola la probabilità della loro intersezione.
E2 ⫽ «estrazione numero…».
…
p(E1 傽 E2) ⫽ ᎏᎏ .
15
…
p(E1) ⫽ ᎏᎏ .
…
Calcola la probabilità dell’evento che si è verificato.
p(E1 傽 E2)
…
p(E2⏐E1) ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ .
p (E1)
…
2
Calcola il rapporto fra la probabilità dell’evento
intersezione e la probabilità dell’evento che si è
verificato.
PROVA TU
Un’urna contiene delle palline numerate da 1 a 20: le prime dodici sono rosse, le altre sono blu. Si
estrae una pallina. Calcola la probabilità che sia una pallina numerata con un numero multiplo di 3,
sapendo che è rossa.
E1 ⫽ «estrazione di una pallina ……».
E2 ⫽ «estrazione di un numero ……».
…
…
p(E1 傽 E2) ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ .
20
…
…
…
p(E1) ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ .
…
…
p(E1 傽 E2)
…
…
p(E2⏐E1) ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ .
p(E1)
…
…
3
Calcola la probabilità che, estraendo una carta da un mazzo di 40, essa sia un numero minore di 3, sapendo
che è di coppe.
1
ᎏᎏ
5
冤 冥
4
Calcola la probabilità che nel lancio di un dado esca un numero primo, sapendo che è uscito un numero mi1
nore di 5.
ᎏᎏ
2
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冤 冥
1
INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ Recupero
5
Da una scatola contenente 20 palline, numerate da 1 a 20, viene estratta a caso una pallina. Calcola la probabilità che si sia realizzato l’evento «estrazione di un multiplo di 3», sapendo che è uscito un numero minore
3
di 12.
ᎏᎏ
11
冤 冥
6
Un’urna contiene palline numerate da 1 a 12: le prime 7 sono nere, le altre rosse. Calcola la probabilità che
3
venga estratta una pallina con numero pari condizionata dal fatto che la pallina sia nera.
ᎏᎏ
7
7
COMPLETA
冤 冥
Una confezione di cioccolatini contiene 20 cioccolatini farciti e 10 ricoperti. Calcola la probabilità di
prenderne due ricoperti, sia nel caso in cui il primo venga rimesso nella scatola prima di estrarre il secondo, sia nel caso che vengano presi uno dopo l’altro senza rimettere a posto il primo.
…
p(E1) ⫽ ᎏᎏ ⫽ … .
30
…
p(E2) ⫽ ᎏᎏ ⫽ … .
30
Nel primo caso gli eventi sono indipendenti.
Calcola la probabilità di prendere un cioccolatino ricoperto.
Calcola la probabilità di prenderne un altro ricoperto
dopo aver rimesso il primo nella scatola.
p ⫽ p(E1) ⭈ p(E2) ⫽ … ⭈ … ⫽ … .
…
p(E1) ⫽ ᎏᎏ ⫽ … .
30
…
p(E2⏐E1) ⫽ ᎏᎏ ⫽ … .
30
Calcola la probabilità del primo evento.
Nel secondo caso, quando non rimetti il cioccolatino
a posto, i due eventi sono dipendenti; calcola
la probabilità di estrarre il primo cioccolatino ricoperto.
Calcola la probabilità di prendere un secondo
cioccolatino ricoperto, supponendo di averne già
preso uno dalla confezione.
p ⫽ p(E1) ⭈ p(E2⏐E1) ⫽ … ⭈ … ⫽ … .
8
Calcola la probabilità del secondo evento.
PROVA TU
Una scatola contiene 3 ghiaccioli alla menta e 5 al limone. Calcola la probabilità di prenderne consecutivamente uno alla menta e uno al limone, sia nel caso in cui il primo venga rimesso nella scatola prima
di estrarre il secondo, sia nel caso che vengano presi uno dopo l’altro senza rimettere a posto il primo.
Primo caso
…
p(E1) ⫽ ᎏᎏ
8
…
p(E2) ⫽ ᎏᎏ
8
p ⫽ p(E1) ⭈ p(E2) ⫽ … ⭈ … ⫽ … .
Secondo caso
…
p(E1) ⫽ ᎏᎏ
8
…
p(E 2⏐E 1) ⫽ ᎏᎏ
7
p ⫽ p(E1) ⭈ p(E 2⏐E 1) ⫽ … ⭈ … ⫽ … .
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2
INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ Recupero
9
Un cassetto contiene 6 paia di calze rosse e 12 paia di calze nere. Calcola la probabilità di pescare due calzini
neri, sia nel caso che il primo calzino venga rimesso a posto prima di estrarre il secondo, sia nel caso che
non venga rimesso a posto.
4 46
ᎏᎏ; ᎏᎏ
9 105
冤
冥
10 Una confezione di 2500 puntine ne contiene il 20% spuntato. Si pescano due puntine consecutivamente, sen499
za rimetterle nella confezione. Calcola la probabilità che siano entrambe senza punta.
ᎏᎏ
12 495
冤
冥
11 Un cestino contiene 100 biglie di cui 50 rosse, 30 bianche e 20 nere. Calcola la probabilità che, estraendo
consecutivamente due biglie senza rimettere la prima estratta nel cestino, si ottengano una biglia bianca e
una nera.
4
ᎏᎏ
33
冤 冥
12 Calcola la probabilità di estrarre 4 assi da un mazzo di 40 carte in questo ordine: asso di bastoni, asso di coppe, asso di denari, asso di spade.
1
ᎏᎏ
2 193 360
冤
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冥
3
I NUMERI REALI E I RADICALI Recupero
RECUPERO
SEMPLIFICARE UN RADICALE E TRASPORTARE
UN FATTORE FUORI DAL SEGNO DI RADICE
1
COMPLETA
Nel seguente radicale, trasporta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili, supponendoli non
negativi:
3
4 3
4 2
4
兹苶
a苶
x苶
⫹苶a
3苶苶
x苶
⫹苶a
3苶苶
x苶
⫹苶a苶4 .
3
兹苶
a 4苶x
(苶3苶
⫹苶x
3苶2苶
⫹苶
…苶
⫹苶)
1苶 ⫽
3
…
兹苶
a4苶x
(苶⫹
苶苶)
…苶
⫽
Scomponi in fattori il radicando cominciando con un raccoglimento totale.
Termina la scomposizione riconoscendo lo sviluppo del cubo di un binomio.
n
3
n
m
r
a(x ⫹ 1)… 兹苶
a…
苶 Entrambi gli esponenti che compaiono sono ⱖ3, perciò puoi usare 兹苶
a苶
⫽ a q 兹苶a苶,
dove q è il quoziente di m ⬊ n e r il resto per portare fuori dal segno di radice.
2
PROVA TU
Nel seguente radicale trasporta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili, supponendoli non
negativi:
冪莦莦莦莦莦
3
b4 x ⫺ b 4
ᎏᎏ
.
x5 y
冪莦莦莦莦莦莦
b
1)
⫽ ᎏᎏ 冪ᎏ
莦b莦x(x莦⫺莦ᎏ
x
…莦莦
3
b4 (………)
ᎏ5ᎏ ⫽
xy
…
3
…
…
Trasporta fuori dal segno i fattori possibili, supponendoli non negativi.
3
兹x苶4苶y3苶
[x2y 兹y苶]
7
兹5(
苶x苶2苶
⫺苶xy
2苶苶
⫹苶y2苶)
4
冪ᎏ莦4x莦yᎏ莦
冤ᎏ兹2yᎏ苶x 冥
8
兹27
苶(x
苶2苶
⫺苶x
6苶⫹
苶苶)
9苶
5
冪莦莦莦
a 苶冥
冤ᎏaxᎏb 兹苶b
9
6
兹16
苶x苶2苶
⫺苶6
1苶
[4兹x苶2苶
⫺苶]
1
10
2
3
a5b4
ᎏᎏ
x3
3
2
[(x ⫺ y)兹5苶]
3
2
[3 兹(x
苶苶
⫺苶)
3苶]
5 3
2
兹苶
x 苶a
(苶苶⫺
苶苶a
3苶苶
b苶
⫹苶a
3苶苶
b2苶
⫺苶b3苶)
3
2
[x (a ⫺ b)兹苶
x 苶]
冪莦莦莦莦莦
x 1
冤ᎏybᎏ ⭈ 冪莦ᎏ
莦xyᎏ莦冥
3
b3x ⫺ b3
ᎏᎏ
xy 5
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3
3
3
⫺
2
1
I NUMERI REALI E I RADICALI Recupero
Semplifica i seguenti radicali.
4
[y2兹苶
x⏐
⏐苶]
5
[2ay2]
x2苶y8苶
11 兹苶
5 10
苶a苶y
苶苶
12 兹32
13
冪莦莦
14
冪莦莦莦莦
x4
ᎏᎏ
y2
6
冤
冥
冤冪莦莦冥
27a5
ᎏᎏ
12ab4
3
3a2
ᎏᎏ
2b2
6
[兹苶
苶苶4苶
⏐x苶⫺
⏐]
4
[兹苶
苶苶3⏐
苶]
⏐x苶⫺
x2苶
⫺苶x
8苶⫹
苶苶6
1苶
15 兹苶
x2苶
⫺苶x
6苶⫹
苶苶
9
16 兹苶
17
x2
ᎏᎏ
⏐y⏐
x2 ⫺8x⫹16
ᎏᎏ
x2 ⫺6x⫹9
冪莦
6
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3
冤冪兩莦ᎏ
莦xx ⫺⫺莦ᎏ莦34 莦兩 冥
3
2
IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA Recupero
RECUPERO
LE RETTE PARALLELE E LE RETTE PERPENDICOLARI
1
COMPLETA
Scrivi le equazioni delle rette in forma esplicita e indica se le rette sono parallele o perpendicolari.
1
r: 3x ⫺y ⫺ 1 ⫽ 0;
s: 6x ⫺2y ⫹ 4 ⫽ 0;
t: ᎏᎏ x ⫹ y ⫺ 1 ⫽ 0.
3
Scrivi le equazioni delle tre rette in forma esplicita y ⫽ mx ⫹ q.
r: y ⫽ 3x ⫺ …
s: 2y ⫽ 6x ⫹ … → y ⫽ 3x ⫹ …
1
t: y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫹ …
3
1
m r ⫽ 3, m s ⫽ …, m t ⫽ ⫺ ᎏᎏ
3
m r ⫽ … ⇒ r //…
1
m t ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⇒ t ⊥ …
m…
1
m t ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⇒ t ⊥ …
m…
Individua i coefficienti angolari delle tre rette.
Scrivi le relazioni tra i coefficienti angolari e
le conseguenti posizioni tra le rette:
ma ⫽ mb ⇒ a //b;
1
ma ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⇒ a ⊥ b.
mb
Disegna le rette nel piano cartesiano e controlla i risultati ottenuti.
y s ...
...
2
1
O
–1
3
x
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1
IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA Recupero
2
PROVA TU
Scrivi le equazioni delle rette in forma esplicita e indica se le rette sono parallele o perpendicolari.
r : 2x ⫹ 2y ⫺ 4 ⫽ 0;
s: 3x ⫹ 3y ⫹ 9 ⫽ 0;
t: x ⫺ y ⫹ 1 ⫽ 0.
r: 2y ⫽ ⫺ 2x ⫹ … → y ⫽ ⫺ x ⫹ …
...
s: 3y ⫽ ⫺ 3x ⫺ … → y ⫽ ⫺ x ⫺ …
t: y ⫽ x ⫹ …
...
y
s
m r ⫽ ⫺ 1, m s ⫽ …, m t ⫽ ⫹ 1.
2
1
m r ⫽ m… ⇒ r //…
1
m r ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⇒ r ⊥ …
m…
1
m… ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⇒ … ⊥ s.
ms
O
–3
2
x
–3
Rappresenta nel piano cartesiano le seguenti rette e stabilisci se sono fra loro parallele o perpendicolari.
3
r: y ⫹ 2x ⫽ 0;
s: y ⫹ 2x ⫺ 3 ⫽ 0;
t: 2y ⫺ x ⫺ 4 ⫽ 0.
冤r: y ⫽ ⫺ 2x; s: y ⫽ ⫺ 2x ⫹ 3; t: y ⫽ ᎏ2ᎏ x ⫹ 2; r // s; r ⊥ t; s ⊥ t冥
1
4
r: y ⫺ 3x ⫹ 1 ⫽ 0;
s: ⫺9x ⫹ 3y ⫺ 12 ⫽ 0;
t: 3y ⫹ x ⫹ 9 ⫽ 0.
冤r : y ⫽ 3x ⫺ 1; s : y ⫽ 3x ⫹ 4; t: y ⫽ ⫺ ᎏ3ᎏ x ⫺ 3; r //s; r ⊥ t; s ⊥ t冥
1
5
r : y ⫺ 2x ⫽ 0;
6
r : y ⫺ 2x ⫺ 1 ⫽ 0;
7
r : 4x ⫺ y ⫹ 1 ⫽ 0;
8
r: x ⫹ y ⫺ 1 ⫽ 0;
9
r : x ⫺ 3y ⫹ 2 ⫽ 0;
s: y ⫺ 2x ⫹ 2 ⫽ 0;
t: 2y ⫹ x ⫺ 3 ⫽ 0.
冤r: y ⫽ 2x; s: y ⫽ 2x ⫺ 2; t: y ⫽ ⫺ ᎏ12ᎏ x ⫹ ᎏ32ᎏ ; r // s; t ⊥ r; t ⊥ s冥
s: ⫺ 4x ⫹ 2y ⫺ 6 ⫽ 0;
t: 2y ⫹ x ⫽ 0.
冤r : y ⫽ 2x ⫹ 1; s: y ⫽ 2x⫹ 3; t: y ⫽ ⫺ ᎏ12ᎏ x ; r // s; t ⊥ r; t ⊥ s冥
s: 8x ⫺ 2y ⫹ 4 ⫽ 0;
1
t: ᎏᎏ x ⫹ y ⫺ 2 ⫽ 0.
4
1
r : y ⫽ 4x ⫹ 1; s: y ⫽ 4x⫹ 2; t: y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫹ 2; r // s; t ⊥ r; t ⊥ s
4
冤
s: 2x ⫹ 2y ⫹ 5 ⫽ 0;
冥
t: y ⫺ x ⫹ 4 ⫽ 0.
冤r: y ⫽ ⫺ x ⫹ 1; s : y ⫽ ⫺ x ⫺ ᎏ52ᎏ ; t: y ⫽ x ⫺ 4; r // s; t ⊥ r; t ⊥ s冥
10 r : y ⫺ 2x ⫹ 5 ⫽ 0;
s: 2x ⫺ 6y ⫺ 2 ⫽ 0;
t: 6x ⫹ 2y ⫺ 3 ⫽ 0.
1
2
1
1
3
r : y ⫽ ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ ; s: y ⫽ ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ ; t: y ⫽ ⫺ 3x ⫹ ᎏᎏ ; r // s; t ⊥ r; t ⊥ s
3
3
3
3
2
冤
s: 2y ⫺ 4x ⫺ 3 ⫽ 0;
冥
t: 2y ⫹ x ⫺ 4 ⫽ 0.
冤r: y ⫽ 2x ⫺ 5; s: y ⫽ 2x ⫹ ᎏ32ᎏ ; t: y ⫽ ⫺ ᎏ12ᎏ x ⫹ 2; r // s; t ⊥ r; t ⊥ s冥
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2
IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA Recupero
11 r : x ⫺ 2y ⫹ 3 ⫽ 0;
s: 3x ⫺ 6y ⫺ 2 ⫽ 0;
12 r : 3y ⫺ x ⫺ 3 ⫽ 0;
s: 6y ⫺ 2x ⫹ 4 ⫽ 0;
t: y ⫹ 2x ⫺ 2 ⫽ 0.
1
3
1
1
r: y ⫽ ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ; s: y ⫽ ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ ; t: y ⫽ ⫺ 2x ⫹ 2; r // s; t ⊥ r; t ⊥ s
2
2
2
3
冤
冥
t: 2y ⫹ 6x ⫺ 3 ⫽ 0.
1
1
2
3
r : y ⫽ ᎏᎏ x ⫹ 1; s: y ⫽ ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ ; t: y ⫽ ⫺ 3x ⫹ ᎏᎏ ; r // s; t ⊥ r; t ⊥ s
3
3
3
2
冤
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冥
3
IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA Recupero
RECUPERO
IL FASCIO IMPROPRIO
1
COMPLETA
Scrivi l’equazione del fascio improprio di rette contenente la retta di equazione 3x ⫹ 2y ⫺ 1 ⫽ 0.
3
2y ⫽ ⫺ 3x ⫹ … → y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫹ …
2
m⫽…
y⫽…x⫹q
2
Scrivi l’equazione della retta in forma esplicita.
Ricava il coefficiente angolare della retta m.
Scrivi l’equazione del fascio di rette y ⫽ mx ⫹ q.
PROVA TU
Scrivi l’equazione del fascio improprio di rette contenente la retta di equazione 4x ⫹ 2y ⫺ 4 ⫽ 0.
2y ⫽ … x ⫹ 4 → y ⫽ … x ⫹ 2
m⫽…
y⫽…x⫹q.
Scrivi l’equazione del fascio improprio di rette, contenente le rette seguenti.
3
y ⫽ 5x ⫹ 3
4
2x ⫺ 3y ⫹ 1 ⫽ 0
5
y ⫽ 3x ⫺ 4
[y ⫽ 3x ⫹ q]
6
2x ⫺ y ⫹ 1 ⫽ 0
[y ⫽ 2x ⫹ q]
7
3x ⫹ 2y ⫺ 6 ⫽ 0
8
x ⫹ 3y ⫹ 4 ⫽ 0
9
4
y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫹ 1
3
10 2y ⫺ x ⫹ 1 ⫽ 0
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[y ⫽ 5x ⫹ q]
冤y ⫽ ᎏ3ᎏ x ⫹ q冥
2
冤y ⫽ ⫺ ᎏ32ᎏ x ⫹ q冥
冤y ⫽ ⫺ ᎏ13ᎏ x ⫹ q冥
冤y ⫽ ⫺ ᎏ43ᎏ x ⫹ q冥
冤y ⫽ ᎏ12ᎏ x ⫹ q冥
1
IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA Recupero
RECUPERO
IL FASCIO PROPRIO
1
COMPLETA
Scrivi l’equazione del fascio proprio di rette, passante per il punto P(2; ⫺ 1).
x 1 ⫽ 2, y 1 ⫽ …
y ⫺ (⫺1) ⫽ m(x ⫺ …)
y ⫽ m(x ⫺ …) ⫺ …
2
Scrivi l’equazione del fascio
utilizzando la formula y ⫺ y 1 ⫽ m(x ⫺ x 1 ).
Svolgi i calcoli e scrivi l’equazione del fascio proprio per P.
PROVA TU
冢
冣
1
Scrivi l’equazione del fascio proprio di rette, passante per il punto P ⫺2; ᎏᎏ .
5
1
x 1 ⫽ …, y 1 ⫽ ᎏᎏ
5
y ⫺ … ⫽ m[x ⫺ (⫺2)]
y ⫽ m(x ⫹ 2) ⫹ …
y ⫽ m(x ⫹ 2) ⫹ … ∨ x ⫽ …
Scrivi l’equazione del fascio proprio di rette passante per il seguente punto.
3
4
冢
冢
冣
1
P ⫺4; ᎏᎏ
3
2
1
P ᎏᎏ ; ⫺ ᎏᎏ
3
2
冤y ⫽ m(x ⫹ 4) ⫹ ᎏ3ᎏ冥
2
1
冤y ⫽ m冢x ⫺ ᎏ3ᎏ冣 ⫺ ᎏ2ᎏ冥
1
冣
5
P(⫺ 2; 1)
[y ⫽ m(x ⫹ 2) ⫹ 1]
6
P(2; ⫺ 3)
[y ⫽ m(x ⫺ 2) ⫺ 3]
冢
冢
冢
冢
冣
冣
冣
2
P ⫺ ᎏᎏ ; 1
3
1
8 P ⫺ 2 ; ᎏᎏ
3
2
9 P 5 ; ⫺ ᎏᎏ
3
1
2
10 P ᎏᎏ ; ⫺ ᎏᎏ
2
3
7
冣
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冤y ⫽ m冢x ⫹ ᎏ23ᎏ冣 ⫹ 1冥
冤y ⫽ m(x ⫹ 2) ⫹ ᎏ13ᎏ冥
冤y ⫽ m(x ⫺ 5) ⫺ ᎏ23ᎏ冥
冤y ⫽ m冢x ⫺ ᎏ12ᎏ冣 ⫺ ᎏ23ᎏ冥
1
IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA Recupero
RECUPERO
LA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI
1
COMPLETA
Scrivi l’equazione della retta passante per la seguente coppia di punti:
A(⫺ 2; 3), B(4; ⫺1).
y⫺3
x⫹2
ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ
…⫺3
…⫹2
y⫺3
x⫹2
ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ
⫺…
6
Applica la formula dell’equazione
della retta per due punti A (xA; yA), B (xB; yB):
y ⫺ yA
x ⫺ xA
ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ .
yB ⫺ yA
xB ⫺ xA
6(y ⫺ 3) ⫽ ⫺ …(x ⫹ 2)
6y ⫺ 18 ⫽ ⫺ … x ⫺ …
6y ⫹ … x ⫺ 10 ⫽ 0
…
5
y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ
3
3
2
Semplifica e scrivi l’equazione della retta in forma esplicita.
PROVA TU
Scrivi l’equazione della retta passante per la coppia di punti A(⫺ 2; ⫺ 4), B(5; 3).
Primo metodo
Secondo metodo
y ⫹ 4 ⫽ m(x ⫹ …)
3 ⫹ 4 ⫽ m(… ⫹ …)
7⫽…m
m ⫽1
y ⫹4
x⫹ …
ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ
…⫹4
5⫹ …
y⫹4
x⫹…
ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ
…
…
y ⫹4⫽x ⫹…
y ⫽x ⫹…⫺4
y ⫽x ⫺…
y ⫹ 4 ⫽ 1(x ⫹ …)
y ⫽x ⫹…⫺4
y ⫽x ⫺…
Scrivi l’equazione della retta passante per le seguenti coppie di punti.
A(5; 2),
4
1
5
A ⫺ ᎏᎏ; 6 , B ᎏᎏ; ⫺3 .
2
2
5
A(1; 3),
B(⫺ 2; 0).
6
A(1; 2),
B(0; 3).
冢
B (⫺2; 3).
冣 冢
冤y ⫽ ⫺ ᎏ7ᎏ x ⫹ ᎏ7ᎏ冥
9
冤y ⫽ ⫺ 3x ⫹ ᎏ2ᎏ冥
1
3
冣
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19
[y ⫽ x ⫹ 2]
[y ⫽ ⫺ x ⫹ 3]
1
IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA Recupero
7
A(2; 5),
B(3; ⫺ 2).
8
A(3; ⫺ 2),
B(⫺ 1; 4).
9
A(0; 1),
B(3; 2).
10 A(⫺ 2; 1),
B(4; ⫺ 1).
[y ⫽ ⫺ 7x ⫹ 19]
冤y ⫽ ⫺ ᎏ32ᎏ x ⫹ ᎏ52ᎏ冥
冤y ⫽ ᎏ13ᎏ x ⫹ 1冥
冤y ⫽ ⫺ ᎏ13ᎏ x ⫹ ᎏ13ᎏ冥
11 A(⫺ 3; ⫺ 2), B(0; 4).
[y ⫽ 2x ⫹ 4]
12 A(1; ⫺ 2),
[y ⫽ 2x ⫺ 4]
B(3; 2).
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2
IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA Recupero
RECUPERO
RISOLVERE PROBLEMI SU RETTE E SEGMENTI
1
COMPLETA
Scrivi l’equazione della retta che soddisfa le seguenti condizioni:
a) è perpendicolare alla retta per A(⫺1; ⫺2) e B(2; 3);
b) passa per il punto C (3; ⫺1).
⫺2 ⫺ …
…
…
mAB ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ⫹ ᎏᎏ
⫺1 ⫺ 2
⫺3
3
1
3
m⫽⫺ ᎏ
ᎏ
… ⫽⫺ᎏ
…
ᎏᎏ
3
y ⫹ 1 ⫽ m(x ⫺ …)
3
y ⫹ 1 ⫽ ⫺ ᎏᎏ (x ⫺ …)
…
3
y ⫹ 1 ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫹ …
…
3
y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫹ … ⫺ 1
…
3
…
y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ
…
…
2
Determina il coefficiente angolare
della retta AB utilizzando la formula
yA ⫺ yB
mAB ⫽ ᎏᎏ .
xA ⫺ xB
Scrivi il coefficiente angolare della retta perpendicolare ad AB
1
m ⫽ ⫺ ᎏᎏ .
mAB
Scrivi l’equazione della generica retta per C: y ⫺ yC ⫽ m(x ⫺ xC).
Scrivi l’equazione della retta per C perpendicolare ad AB.
PROVA TU
Scrivi l’equazione della retta che soddisfa le seguenti condizioni:
a) è perpendicolare alla retta per A(4; ⫺ 2) e B(⫺ 1; 6);
b) passa per il punto C (2; 3).
6⫹ …
…
…
m AB ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ
⫺1 ⫺4
⫺5
5
⫺1
1
5
m ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏ
⫽ ⫹ ᎏᎏ
…
m AB
…
⫺ ᎏᎏ
5
y ⫺ 3 ⫽ m(x ⫺ …)
5
y ⫺ 3 ⫽ ᎏᎏ (x ⫺ …)
…
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y
6
...
3
...
4
O
–1
...
x
2
...
1
IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA Recupero
5
y ⫺ 3 ⫽ ᎏᎏ x ⫺ …
…
5
y ⫽ ᎏᎏ x ⫺ … ⫹ 3
…
5
y ⫽ ᎏᎏ x ⫹ … .
…
Risolvi i seguenti problemi.
3
Scrivi l’equazione della retta passante per A(1; 2) e parallela alla retta passante per l’origine e per B(3; 1).
1
5
y ⫽ ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ
3
3
冤
4
冥
Determina il perimetro del triangolo di vertici: A(3; 2), B (1; ⫺6) e C (5; ⫺4).
[2 (兹10
苶 ⫹ 兹17
苶 ⫹ 兹5苶)]
5
Verifica che il triangolo di vertici A(2; 1), B (7; 6) e C (⫺1; 9) è isoscele e calcolane l’area.
冤CA ⬵ CB; ᎏ2ᎏ冥
55
6
Scrivi l’equazione della retta passante per A(⫺ 2; 1) e perpendicolare alla retta di equazione 2x ⫺ 3y ⫹ 2 ⫽ 0.
3
y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫺ 2
2
7
Scrivi l’equazione della retta passante per l’origine e per A(1; 2).
8
Scrivi l’equazione della retta passante per A(1; ⫺ 2) e parallela alla retta 2x ⫹ 4y ⫺ 5 ⫽ 0.
9
Scrivi l’equazione della retta passante per A(5; ⫺ 2) e B(3; 1).
冤
冥
[y ⫽ 2x]
冤y ⫽ ⫺ ᎏ12ᎏ x ⫺ ᎏ32ᎏ冥
冤y ⫽ ⫺ ᎏ32ᎏ x ⫹ ᎏ121ᎏ冥
10 Dato il segmento AB di estremi A(⫺ 5; 2) e B(1; 3), determina la sua lunghezza e le coordinate del punto medio.
5
苶B
A
苶 ⫽ 兹37
苶; M ⫺ 2; ᎏᎏ
2
冤
11 Verifica che il triangolo di vertici A(5; 0), B(⫺1; 4) e C(3; ⫺2) è isoscele.
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冢
冣冥
[A
苶B
苶⫽B
苶C
苶 ⫽ 兹52
苶]
2
I SISTEMI LINEARI Recupero
RECUPERO
IL METODO DI SOSTITUZIONE
E IL METODO DEL CONFRONTO
1
COMPLETA
Risolvi il seguente sistema con i metodi di sostituzione e del confronto:
2(y ⫺ 1) ⫹ 3(x ⫹ 1) ⫽ 0
冦y ⫹ 2 ⫺ (x ⫹ 1) ⫽ 0
2(y ⫺ 1) ⫹ 3(x ⫹ 1) ⫽ 0
冦y ⫹ 2 ⫺ (x ⫹ 1) ⫽ 0
2 … ⫺ … ⫹ 3x ⫹ 3 ⫽ 0
冦…………⫺ x ⫺ 1 ⫽ 0
3x ⫹ … ⫽ ⫺ 1
冦⫺ x ⫹ … ⫽ ⫺ 1
Esegui le moltiplicazioni nelle due equazioni.
Applica la regola del trasporto e somma i termini simili
per portare il sistema in forma normale.
3x ⫹ … ⫽ ⫺ 1
冦x ⫺ … ⫽ ⫹ 1
Metodo di sostituzione
Ricava x dalla seconda equazione.
3x ⫹ … ⫽ ⫺ 1
冦x ⫽ 1 ⫹ …
Nella prima equazione, al posto di x,
sostituisci l’espressione trovata per x in funzione di y.
3(1 ⫹ y) ⫹ … ⫽ ⫺ 1
冦x ⫽ 1 ⫹ …
3 ⫹ 3y ⫹ … ⫽ ⫺ 1
冦x ⫽ 1 ⫹ …
冦
…y⫽⫺4
x⫽1⫹…
冦
4
y ⫽ ⫺ ᎏᎏ
…
4
1
x ⫽ 1 ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ
…
5
→
冢
Esegui le operazioni nella prima equazione.
冦
Ricava y dalla prima equazione.
4
y ⫽ ⫺ ᎏᎏ
…
x⫽1⫹…
4
Sostituisci y ⫽ ⫺ ᎏᎏ nella seconda equazione e ricava x.
5
冣
1
4
La soluzione è ᎏᎏ; ⫺ ᎏᎏ .
5
…
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Scrivi la soluzione del sistema.
1
I SISTEMI LINEARI Recupero
Metodo del confronto
冦
⫺ 2y ⫺ 1
x ⫽ ᎏᎏ
…
x⫽…⫹1
冦
⫺ 2y ⫺ 1
ᎏᎏ ⫽ … ⫹ 1
…
x⫽…⫹1
Ricava x da entrambe le equazioni.
Uguaglia le espressioni ottenute ricavando un’equazione nella
sola variabile y e metti a sistema con un’equazione.
Risolvi l’equazione nella sola variabile y.
⫺ 2y ⫺ 1 ⫽ … ⫹ 3
冦x ⫽ … ⫹ 1
冦
…
5y ⫽ … → y ⫽ ⫺ ᎏᎏ
5
x⫽…⫹1
Ricava y nella prima equazione.
冦
…
y ⫽ ⫺ ᎏᎏ
5
…
…
x ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫹ 1 ⫽ ᎏᎏ
5
5
Sostituisci il valore di y nella seconda equazione.
冢
冣
1
…
La soluzione è ᎏᎏ; ⫺ ᎏᎏ .
5
5
2
Scrivi la soluzione del sistema.
PROVA TU
Risolvi il seguente sistema con il metodo di sostituzione e con quello del confronto:
冦
冦
冦
3
1
3y ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ x
2
4
x⫹1
2
ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ x ⫺ y
3
3
3
1
3y ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ x
2
4
x⫹1
2
ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ x ⫺ y
3
3
12y ⫺ …
⫺x
ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ
…
4
x⫹…
… ⫺ 3y
ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ
3
3
x ⫹…y ⫽…
冦 … ⫹ 3y ⫽ ⫺ 1
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2
I SISTEMI LINEARI Recupero
Metodo del confronto
x ⫽6⫺…
x ⫽ 3y ⫹ …
Metodo di sostituzione
x ⫽ ⫺ 12y ⫹ …
⫺ (⫺12y ⫹ …) ⫹ 3y ⫽ ⫺ …
冦
冦
x ⫽ ⫺ 12y ⫹ …
冦 x ⫽ 3y ⫹ …
6 ⫺ … ⫽ 3y ⫹ …
冦 …y ⫽…
x ⫽ ⫺ 12y ⫹ …
冦x ⫽ 3y ⫹ …
冦
5
1
y ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ
…
…
1
x ⫽ ⫺ 12 ᎏᎏ ⫹ … ⫽ …
…
冦x ⫽ 3y ⫹ …
冦 …y ⫺ … ⫹ 3y ⫽ ⫺ …
⫺ … ⫺ 3y ⫽ ⫺ 6 ⫹ …
⫺ …y ⫽ ⫺ 5
冢 冣
冢
冦
冣
1
La soluzione è: … ; ᎏᎏ .
…
5
1
y ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ
…
…
1
x ⫽ 3 ᎏᎏ ⫹ 1 ⫽ …
…
冢 冣
冢
冣
1
La soluzione è: … ; ᎏᎏ .
…
Risolvi i seguenti sistemi con i metodi di sostituzione e del confronto.
2x ⫹ y ⫽ 1
3
冦3x ⫹ 3y ⫽ 6
4
冦x ⫹ 2y ⫽ 4
5
冦6x ⫹ 3y ⫽ ⫺ 9
6
冦x ⫺ y ⫽ 1
7
8
[(⫺1; 3)]
9
冦x ⫺ 6y ⫽ 2
5x ⫺ 6y ⫽ 4
冤冢ᎏ2ᎏ ; ⫺ ᎏ4ᎏ冣冥
[(0; 2)]
10
冦x ⫺ 4y ⫽ 3
2x ⫹ y ⫽ 3
冤冢ᎏ3ᎏ ; ⫺ ᎏ3ᎏ冣冥
冣冥
11
冦3x ⫹ 2y ⫽ 2
[(3; 2)]
12
冦7x ⫺ 9y ⫽ ⫺ 1
3x ⫹ y ⫽ 2
冤冢ᎏ2ᎏ ; ᎏ2ᎏ冣冥
2 2
ᎏᎏ ; ᎏᎏ
3 3
冣冥
13
冦6x ⫹ 3y ⫽ ⫺ 8
3x ⫹ 4y ⫽ 1
冤冢⫺ ᎏ3ᎏ ; 2冣冥
[(⫺ 2; 2)]
14
冦 3x ⫹ 3y ⫽ 12
x⫺y⫽⫺2
2x ⫺ y ⫽ 1
冤冢
1
⫺ ᎏᎏ ; ⫺2
2
4x ⫺ 3y ⫽ 6
冦
2x ⫹ y ⫽ 2
x ⫺ 4y ⫽ ⫺ 2
4x ⫹ 3y ⫽ ⫺ 2
2x ⫺ y ⫽ ⫺ 6
冦
冤冢
1
1
5
1
2x ⫹ y ⫽ 1
5x ⫺ 2y ⫽ ⫺ 1
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[(0; 1)]
1
1
7
[(1; 3)]
3
I SISTEMI LINEARI Recupero
RECUPERO
IL METODO DI RIDUZIONE
1
COMPLETA
Risolvi il seguente sistema con il metodo di riduzione:
冦
冦
冦
3
1
3y ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ᎏᎏ x
2
4
x⫹1
2
ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ x ⫺ y
3
3
3
1
3y ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ᎏᎏ x
2
4
x⫹1
2
ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ x ⫺ y
3
3
12y ⫺ …
⫺x
ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ
…
4
x⫹…
… ⫺ 3y
ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ
3
3
ⴙ
Calcola il m.c.m. dei denominatori delle equazioni.
x⫹…y⫽…
冦… ⫹ 3y ⫽ ⫺ 1
// … y ⫽ 5
Scrivi il sistema in forma normale.
Per eliminare x somma le due equazioni membro a membro.
5
1
y ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ
…
…
Ricava y.
x⫹…y⫽…
ⴢ(ⴚ4) 冦… ⫹ 3y ⫽ ⫺ 1
ⴙ
Per eliminare y, moltiplica la seconda equazione per (⫺4).
x⫹ …y⫽…
冦… ⫺ 12y ⫽ ⫹ 4
5x //
⫽…
…
x ⫽ ᎏᎏ ⫽ …
5
1
S ⫽ …; ᎏᎏ
…
冢
2
Somma membro a membro.
Ricava x.
冣
Scrivi la soluzione del sistema.
PROVA TU
Risolvi il seguente sistema con il metodo di riduzione:
3
3 (x ⫺ y) ⫽ y ⫺ ᎏᎏ
2
1
3 x ⫺ ᎏᎏ y ⫺ 1 ⫽ ⫺ 2y
2
冦冢
冣
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1
I SISTEMI LINEARI Recupero
冦冢
冦
3
3(x ⫺ y) ⫽ y ⫺ ᎏᎏ
2
1
3 x ⫺ ᎏᎏ y ⫺ 1 ⫽ ⫺ 2y
2
冣
3
3x ⫺ 3… ⫽ y ⫺ ᎏᎏ
2
3
3x ⫺ ᎏᎏ … ⫺ 3 ⫽ ⫺ 2y
2
6x ⫺ 6… ⫽ 2y ⫺ …
冦6x ⫺ 3… ⫺ 6 ⫽ ⫺ 4y
6x ⫺ … y ⫽ ⫺ …
冦6x ⫹ … y ⫽ ⫹ 6
Metodo di riduzione
Eliminiamo x moltiplicando i termini della seconda equazione per ⫺ 1 e sommando membro a membro
6x ⫺ …y ⫽ ⫺ …
冦⫺ 6x ⫺ …y ⫽ ⫺ 6
//
⫺ …y ⫽ ⫺ 9
y⫽⫹…
Eliminiamo y moltiplicando per 8 i termini della seconda equazione e sommando membro a membro
6x ⫺ …y ⫽ ⫺ …
48
54x // ⫽ …
…
…
x ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ
54
6
…
La soluzione è: ᎏᎏ ; … .
6
冦48x ⫹ …y ⫽
冢
冣
Risolvi i seguenti sistemi con i metodi di sostituzione e del confronto.
3
4
冦
冦
2
x ⫺ ᎏᎏ y ⫽ 2
3
1
1
ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ y ⫽ ⫺ 2
2
3
2y ⫺ 1
1 ⫹ 2x
ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ
x
3x
2
4
ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ
3
x⫹y
冤冢
冣冥
9
⫺1; ⫺ ᎏᎏ
2
[(4; 2)]
x ⫺ 3y ⫽ a ⫺ 3b
5
冦2x ⫹ y ⫽ 2a ⫹ b
6
冦2x ⫹ y ⫽ 2a
7
冦2x ⫺ 3y ⫽ a
8
冦2x ⫹ y ⫽ a
x ⫺ 3y ⫽ a
x ⫹ y ⫽ 3a
⫺x ⫹ 3y ⫽ 3a
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[(a; b)]
[(a; 0)]
[(2a; a)]
[(0; a)]
2
I SISTEMI LINEARI Recupero
RECUPERO
RISOLVERE PROBLEMI MEDIANTE I SISTEMI
1
COMPLETA
In un rettangolo ABCD di base AB, il perimetro è 52 cm e il doppio della base
8
è gli ᎏᎏ dell’altezza. Determina le dimensioni del rettangolo.
9
2A
苶苶
B ⫹ 2… ⫽ 52
8
苶苶
B ⫽ ᎏᎏ…
2A
9
A
苶苶
B ⫽ x; 苶
…⫽y
x ⫹ … ⫽ 26
4
x ⫽ ᎏᎏ…
9
Semplifica le equazioni del sistema
dividendole entrambe per 2.
Risolvi il sistema utilizzando il metodo di sostituzione.
4… ⫹ 9… ⫽ 234
4
x ⫽ ᎏᎏ…
9
→
冦
13… ⫽ 234
4
x ⫽ ᎏᎏ…
9
→
… ⫽ 18
冦x ⫽ …
● Le soluzioni sono ……… perché sono entrambe …………. .
●
2
B
Scrivi il sistema risolvente e poni le condizioni
che x e y siano positivi.
4
ᎏᎏ… ⫹ … ⫽ 26
9
4
x ⫽ ᎏᎏ…
9
冦
A
Introduci le incognite x e y.
冦
冦
C
Scrivi le relazioni del problema.
2x ⫹ 2… ⫽ 52
8
2x ⫽ ᎏᎏ…
9
x⬎…ey⬎…
冦
D
AB ⫽ …… e … ⫽ 18 cm.
Controlla che le soluzioni siano accettabili.
Scrivi le dimensioni del rettangolo.
PROVA TU
In un rettangolo il perimetro è 84 cm e il doppio della base è uguale all’altezza diminuita di 12 cm.
Determina le dimensioni del rettangolo.
D
...
A
...
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1
I SISTEMI LINEARI Recupero
苶苶
B ⫹ 2… ⫽ 84
冦2A
2A
苶苶
B ⫽ … ⫺ 12
苶苶
B ⫽ x;
A
…… ⫽ y
x ⬎ 0; y ⬎ …
⫽ 84
冦2x2x ⫹⫽ 2…
… ⫺ 12
冦x2x⫹⫽……⫽⫺4212
冦x…⫹⫽…2x⫽⫹4212
冦x…⫹⫽…2x⫹⫹1212⫽ 42
⫽ 30
冦…x
… ⫽ 2x ⫹ 12
冦x…⫽⫽1032
Le soluzioni sono …………… perché sono entrambe ………… .
La base è AB ⫽ 10 cm e l’altezza è ……… ⫽ 32 cm.
Risolvi i seguenti problemi.
3
4
2
3
La somma dei ᎏᎏ del numeratore con i ᎏᎏ del denominatore di una frazione è uguale a 8; aggiungendo 5 al
5
4
5
5
triplo del numeratore si ottengono i ᎏᎏ del denominatore. Determina la frazione.
ᎏᎏ
2
8
16
8
4 4
La media di due numeri razionali è ᎏᎏ, mentre la loro differenza è ᎏᎏ. Determina i due numeri.
ᎏᎏ; ᎏᎏ
15
15
3 5
冤 冥
冤 冥
5
La somma di due numeri è 55 e la loro differenza è 11. Determina i due numeri.
6
La differenza tra due numeri è 5. Determina i due numeri sapendo che il triplo del minore è uguale al dop[10; 15]
pio del maggiore.
7
5
Trova due numeri sapendo che la loro somma è 40 e che l’uno è i ᎏᎏ dell’altro.
3
8
Calcola le dimensioni di un rettangolo sapendo che il perimetro è 112 cm e che la base supera l’altezza di
[27 cm; 29 cm]
2 cm.
9
In un rettangolo la base supera l’altezza di 6 cm e il doppio dell’altezza supera la base di 10 cm. Determina le
[16 cm; 22 cm]
dimensioni del rettangolo.
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[33; 22]
[15; 25]
2
I SISTEMI LINEARI Recupero
5
10 In un rettangolo il perimetro è 80 cm e la base supera di 8 cm i ᎏᎏ dell’altezza. Determina le dimensioni del
3
[12 cm; 28 cm]
rettangolo.
11 La somma di € 240,00 è formata in parte da monete da € 1,00 e in parte da banconote da € 5,00. Sapendo
[140; 20]
che complessivamente i pezzi sono 160, quante sono le monete e quante le banconote?
12 Tre persone hanno insieme 150 anni. La seconda ha 20 anni in più della prima, la terza ha 6 anni di meno
[29; 49; 72]
della somma delle altre due. Trova le età delle tre persone.
13 In un parcheggio si contano 2 manubri e 18 ruote per un totale di 6 veicoli tra biciclette, furgoni a tre ruote e
automobili. Quanti sono i veicoli di ciascun tipo?
[2; 2; 2]
14 Mio padre ha 25 anni in più di me. Sette anni fa aveva il doppio dei miei anni. Quali sono le nostre età attuali?
[32; 57]
15 Determina la lunghezza di tre segmenti sapendo che la loro somma è 85 cm e che il primo è doppio del ter[34 cm; 34 cm; 17 cm]
zo, mentre il terzo è la metà del secondo.
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3