Il Corpo Nero e la costante di Planck

Il Corpo Nero e la costante di Planck
Prof.ssa Garagnani Elisa
Max Planck (1858-1947)
Prof.ssa Garagnani Elisa
Il Corpo Nero e la costante di Planck
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Radiazione e materia
L’Universo è fatto di materia e di radiazione. L’energia radiante che si
propaga sotto forma di onde elettromagnetiche costituisce uno degli
aspetti più rilevanti della natura che ci circonda poiché essa è emessa
e assorbita da tutti i corpi e permea tutto lo spazio.
Quando la radiazione (costituita da onde radio, luce, raggi X, raggi
gamma, ecc...) incontra sul suo cammino la materia, viene in tutto o
in parte assorbita.
L’assorbimento deve essere accompagnato dall’emissione (perché?),
nel corso della quale la materia cede a sua volta energia al campo.
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Radiazione e materia
L’Universo è fatto di materia e di radiazione. L’energia radiante che si
propaga sotto forma di onde elettromagnetiche costituisce uno degli
aspetti più rilevanti della natura che ci circonda poiché essa è emessa
e assorbita da tutti i corpi e permea tutto lo spazio.
Quando la radiazione (costituita da onde radio, luce, raggi X, raggi
gamma, ecc...) incontra sul suo cammino la materia, viene in tutto o
in parte assorbita.
L’assorbimento deve essere accompagnato dall’emissione (perché?),
nel corso della quale la materia cede a sua volta energia al campo.
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Irraggiamento
La radiazione emessa da un corpo dipende sia dalla natura della
materia di cui è fatto, ma soprattutto dalla sua temperatura.
A seconda della temperatura, varia la frequenza delle onde
elettromagnetiche. Ad esempio, a temperatura ambiente vengono
emesse onde infrarosse (ed è per questo che gli occhiali infrarossi
permettono di vedere gli esseri viventi anche di notte); oggetti molto
freddi emettono onde radio; oggetti molto caldi onde ultraviolette fino
ai raggi X e gamma.
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La seguente legge fu scoperta sperimentalmente da Stefan nel 1879 e
spiegata teoricamente per la prima volta da Boltzmann nel 1884.
Legge di Stefan-Boltzmann
Ogni corpo irradia una quantità di energia per unità di tempo e per unità di
superficie (detta emittanza) proporzionale alla quarta potenza della sua
temperatura assoluta T.
e.m.
Etot.
= σT 4
dove σ = 5, 67 · 10−8 W m−2 K−4 è detta costante di Stefan-Boltzmann.
In realtà, l’energia emessa da un emettitore reale è inferiore ed il valore
sopra rappresenta il caso ideale.
Questa legge gioca un ruolo simile alle proprietà dei gas ideali (la cui
energia interna risulta proporzionale semplicemente alla sua
temperatura assoluta) cioè rappresenta, come vedremo una proprietà
termodinamica universale.
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La seguente legge fu scoperta sperimentalmente da Stefan nel 1879 e
spiegata teoricamente per la prima volta da Boltzmann nel 1884.
Legge di Stefan-Boltzmann
Ogni corpo irradia una quantità di energia per unità di tempo e per unità di
superficie (detta emittanza) proporzionale alla quarta potenza della sua
temperatura assoluta T.
e.m.
Etot.
= σT 4
dove σ = 5, 67 · 10−8 W m−2 K−4 è detta costante di Stefan-Boltzmann.
In realtà, l’energia emessa da un emettitore reale è inferiore ed il valore
sopra rappresenta il caso ideale.
Questa legge gioca un ruolo simile alle proprietà dei gas ideali (la cui
energia interna risulta proporzionale semplicemente alla sua
temperatura assoluta) cioè rappresenta, come vedremo una proprietà
termodinamica universale.
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La seguente legge fu scoperta sperimentalmente da Stefan nel 1879 e
spiegata teoricamente per la prima volta da Boltzmann nel 1884.
Legge di Stefan-Boltzmann
Ogni corpo irradia una quantità di energia per unità di tempo e per unità di
superficie (detta emittanza) proporzionale alla quarta potenza della sua
temperatura assoluta T.
e.m.
Etot.
= σT 4
dove σ = 5, 67 · 10−8 W m−2 K−4 è detta costante di Stefan-Boltzmann.
In realtà, l’energia emessa da un emettitore reale è inferiore ed il valore
sopra rappresenta il caso ideale.
Questa legge gioca un ruolo simile alle proprietà dei gas ideali (la cui
energia interna risulta proporzionale semplicemente alla sua
temperatura assoluta) cioè rappresenta, come vedremo una proprietà
termodinamica universale.
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Emettitore ideale ed assorbitore ideale
Se un’alta capacità di emissione non fosse bilanciata da un’alta
capacità di assorbimento, tutta l’energia di un corpo andrebbe perduta
ed esso raggiungerebbe una temperatura prossima allo zero assoluto.
Viceversa se una bassa capacità di emissione non fosse bilanciata da
una bassa capacità di assorbimento, l’energia interna di un corpo
tenderebbe a crescere ed esso raggiungerebbe una temperatura sempre
maggiore.
Dunque la capacità di emettere energia è strettamente legata alla
capacità di assorbirla.
In altre parole l’emettitore ideale sembra essere anche l’assorbitore
ideale.
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Emettitore ideale ed assorbitore ideale
Se un’alta capacità di emissione non fosse bilanciata da un’alta
capacità di assorbimento, tutta l’energia di un corpo andrebbe perduta
ed esso raggiungerebbe una temperatura prossima allo zero assoluto.
Viceversa se una bassa capacità di emissione non fosse bilanciata da
una bassa capacità di assorbimento, l’energia interna di un corpo
tenderebbe a crescere ed esso raggiungerebbe una temperatura sempre
maggiore.
Dunque la capacità di emettere energia è strettamente legata alla
capacità di assorbirla.
In altre parole l’emettitore ideale sembra essere anche l’assorbitore
ideale.
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Il Corpo nero: l’assorbitore ideale
Per corpo nero si intende un corpo che assorbe tutta la radiazione che
lo colpisce, senza riflettere (da qui il termine “nero”) né trasmettere
nulla.
Un simile corpo non esiste in natura ma può essere approssimato e
realizzato in modo da poter eseguire delle misure.
Nel 1860, il fisico tedesco Kirchhoff dimostrò che un corpo cavo, per
esempio un forno, si comporta come un corpo nero quasi ideale purché
le pareti del corpo siano mantenute a temperatura T costante
(temperatura del corpo nero) e che nel corpo sia praticato un foro
piccolo rispetto alle dimensioni del corpo stesso.
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Il Corpo nero: l’assorbitore ideale
Una buona approssimazione di corpo nero può essere costruita con una
cavità, di forma qualsiasi, di materiale con una elevata conducibilità termica
e pareti poco riflettenti, posta in comunicazione con l’esterno mediante un
piccolo foro, in tal modo la radiazione che entra nella cavità e colpisce la
parete interna, viene in parte riflessa e in parte assorbita perdendo energia,
in questo modo la radiazione è destinata a compiere moltissime riflessioni
prima di potere eventualmente uscire dalla cavità cosicché una volta uscito
la sua energia residua è così piccola da potere essere trascurata. La
superficie immaginaria individuata dal foro si comporta quindi come un
corpo nero nei confronti della radiazione incidente.
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... ora studiamo l’emissione del corpo nero
Quando la cavità è in equilibrio termico e ha la temperatura T , il foro
diventa anche lo spioncino per studiare l’energia che viene emessa sotto
forma di radiazione.
Si osserva che questa radiazione si distribuisce in funzione della lunghezza
d’onda λ (o, equivalentemente, della frequenza f ). In altre parole, si può
misurare quanta energia viene emessa per piccoli intervalli di lunghezza
d’onda o di frequenza.
Si ottiene così uno spettro elettromagnetico che riporta l’energia emessa in
funzione della lunghezza d’onda per la determinata temperatura.
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Universalità dello spettro del Corpo Nero
Lo spettro della radiazione elettromagnetica in equilibrio termico
emessa dal corpo nero è una funzione universale.
In altre parole, qualunque sia la sostanza di cui è fatta la cavità, ad
una fissata temperatura T , il foro emette sempre la stessa quantità di
radiazione per unità di superficie e per ogni fissata frequenza.
Dimostrabile teoricamente...
... confermato sperimentalmente!
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Universalità dello spettro del Corpo Nero
Lo spettro della radiazione elettromagnetica in equilibrio termico
emessa dal corpo nero è una funzione universale.
In altre parole, qualunque sia la sostanza di cui è fatta la cavità, ad
una fissata temperatura T , il foro emette sempre la stessa quantità di
radiazione per unità di superficie e per ogni fissata frequenza.
Dimostrabile teoricamente...
... confermato sperimentalmente!
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Il problema del corpo nero
Come possiamo misurare la distribuzione spettrale dell’energia
nella radiazione di corpo nero a una data temperatura e come
possiamo ricavare una relazione che riproduca la distribuzione
stessa? (Kirchhoff – 1859)
Con il rapido progredire dell’industria e delle
tecnologie elettriche, dal 1880 circa le
compagnie elettriche tedesche cercavano di
mettere a punto lampadine e fanali più
efficienti di quelli dei loro concorrenti
americani e britannici. Fu per questo che la
misura dello spettro del corpo nero e il
problema di Kirchhoff del corpo nero
tornarono alla ribalta.
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Lo spettro del corpo nero
Nel 1887, il governo tedesco fonda il PTR (Physikalisch-Technische
Reichsanstalt, ovvero l’Istituto Imperiale di fisica e tecnologia) che si
specializzò proprio nelle determinazioni (non semplici) sperimentali dei
vari spettri di emissione. È infatti qui che diversi gruppi di ricercatori
riuscirono a detreminarla sperimentalmente.
1893: Wien trova sperimentalmente la sua famosa ”legge di
spostamento”.
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Lo spettro del corpo nero
Fissata la temperatura,
cosa rappresenta l’area del
sottografico?
L’area sotto ciascuna
curva rappresenta
l’energia totale emessa
relativa a quella
temperatura ed il
confronto ra le aree
conferma la
proporzionalità diretta con
T 4 della legge di
Stefan-Boltzmann.
Cosa notate relativamente
al massimo?
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Lo spettro del corpo nero
Fissata la temperatura,
cosa rappresenta l’area del
sottografico?
L’area sotto ciascuna
curva rappresenta
l’energia totale emessa
relativa a quella
temperatura ed il
confronto ra le aree
conferma la
proporzionalità diretta con
T 4 della legge di
Stefan-Boltzmann.
Cosa notate relativamente
al massimo?
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Lo spettro del corpo nero
Fissata la temperatura,
cosa rappresenta l’area del
sottografico?
L’area sotto ciascuna
curva rappresenta
l’energia totale emessa
relativa a quella
temperatura ed il
confronto ra le aree
conferma la
proporzionalità diretta con
T 4 della legge di
Stefan-Boltzmann.
Cosa notate relativamente
al massimo?
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Legge dello spostamento di Wien
La frequenza rispetto alla quale si ha l’emissione più intensa è direttamente
proporzionale alla temperatura assoluta T .
fmax = kT
dove k = 5.88 × 1010 s−1 K−1 .
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In termini di lunghezza d’onda:
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Un corpo nero... molto colorato!
Se il modello del corpo nero potesse essere applicato alle stelle ci
permetterebbe di calcolare la temperatura della superficie dell’astro,
soltanto dalla distribuzione della sua energia irradiata. Sappiamo, infatti,
che ad ogni temperatura corrisponde una ben determinata curva a
campana con un certo valore del picco più alto.
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Dalle lampadine alle stelle!
Il corpo nero ha la caratteristica di assorbire tutta l’energia che
proviene dall’esterno e riemetterla solo in base alla temperatura. La
stella è qualcosa di molto simile: non riflette assolutamente niente ed
emette solo in funzione della temperatura dello strato più superficiale.
OK! Allora La prima enorme conquista è stata ottenuta! Analizzando
la distribuzione della luce alle varie lunghezze d’onda è possibile,
confrontando lo spettro della stella con quello del corpo nero che più
gli assomiglia, RICAVARE la temperatura del corpo nero e quindi della
stella (senza aver avuto bisogno di un termometro cosmico!). Proprio
ciò che abbiamo mostrato nella Figura dello spettro del Sole.
Semplicemente fantastico!
Anche se non sappiamo ancora interpretare il modello del corpo nero
all’interno di un quadro teorico, ci ha già dato grandi soddisfazioni.
Proviamo ad immaginare se riuscissimo pure a capire a livello teorico il
suo comportamento.
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Verso l’ipotesi di Planck...
Lo spettro di emissione del corpo nero, mostra che l’intensità
dell’emissione tende a zero sia per alte che per basse frequenze e la
curva di emissione assume la forma di una campana asimmetrica.
Proprio la spiegazione della forma di questa curva rappresentò per
un’intera generazione di fisici teorici un vero rompicapo!
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Verso l’ipotesi di Planck...
La legge di Stefan-Boltzmann e quella di Wien sono due leggi molto
interessanti e molto utili, dato che legano molto bene temperatura,
frequenza ed energia totale irradiata. Tuttavia, sarebbe molto bello
saper descrivere matematicamente la “campana”, osservata
direttamente negli esperimenti.
In altre parole, cercare di andare oltre alla legge di Stefan-Boltzmann,
e calcolare teoricamente non solo l’energia totale, ma quella relativa a
ogni singola frequenza.
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Verso l’ipotesi di Planck...
L’idea che la materia fosse formata da sistemi di cariche elettriche,
legate fra loro da forze elettromagnetiche, costituiva un buon punto di
partenza per comprendere sia l’emissione sia l’assorbimento della luce
da parte della materia.
Il modello che sembrava più promettente consisteva nello
schematizzare un corpo nero con un insieme di cariche che oscillavano
armonicamente, ciascuna con una sua propria frequenza.
Queste particelle cariche oscillano armonicamente attorno a una
posizione di equilibrio ed entrano in risonanza con la radiazione che le
investe. È allora naturale pensare che tali oscillatori siano sensibili alle
onde elettromagnetiche da cui sono investiti, così come possono essere
a loro volta sorgenti di onde elettromagnetiche.
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Verso l’ipotesi di Planck...
L’idea che la materia fosse formata da sistemi di cariche elettriche,
legate fra loro da forze elettromagnetiche, costituiva un buon punto di
partenza per comprendere sia l’emissione sia l’assorbimento della luce
da parte della materia.
Il modello che sembrava più promettente consisteva nello
schematizzare un corpo nero con un insieme di cariche che oscillavano
armonicamente, ciascuna con una sua propria frequenza.
Queste particelle cariche oscillano armonicamente attorno a una
posizione di equilibrio ed entrano in risonanza con la radiazione che le
investe. È allora naturale pensare che tali oscillatori siano sensibili alle
onde elettromagnetiche da cui sono investiti, così come possono essere
a loro volta sorgenti di onde elettromagnetiche.
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Verso l’ipotesi di Planck...
L’idea che la materia fosse formata da sistemi di cariche elettriche,
legate fra loro da forze elettromagnetiche, costituiva un buon punto di
partenza per comprendere sia l’emissione sia l’assorbimento della luce
da parte della materia.
Il modello che sembrava più promettente consisteva nello
schematizzare un corpo nero con un insieme di cariche che oscillavano
armonicamente, ciascuna con una sua propria frequenza.
Queste particelle cariche oscillano armonicamente attorno a una
posizione di equilibrio ed entrano in risonanza con la radiazione che le
investe. È allora naturale pensare che tali oscillatori siano sensibili alle
onde elettromagnetiche da cui sono investiti, così come possono essere
a loro volta sorgenti di onde elettromagnetiche.
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L’atto di disperazione di Planck (1900)
In poche parole, ciò che feci può essere descritto semplicemente
come un atto di disperazione. (Max Planck)
e(f , T ) =
8πhf 3
1
· hf /kT
c2
e
−1
Tale formula si adatta bene alla curva sperimenatle a patto di porre:
h ' 6 · 10−34 Js
Oggi il valore più attendibile di questa costante è
h = 6, 6256 · 10−34 Js
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Le sei settimane successive l’atto di disperazione
Lo stesso giorno in cui formulai questa legge mi dedicai al
compito di conferirle un vero significato fisico. (Max Planck)
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