Esercitazione 2 del 9 marzo 2016 Scelta del

Esercitazione 2 del 9 marzo 2016
Scelta del consumatore – beni normali – beni sostituti – beni complementi
Dott.ssa Sabrina Pedrini
Domande a risposta multipla
1) Il saggio marginale di sostituzione tra il bene x e il bene y rappresenta:
a)
b)
c)
d)
Il rapporto tra il prezzo del bene x e quello del bene y;
La quantità di y alla quale si è disposti a rinunciare per ottenere un’unità aggiuntiva di x;
Il rapporto tra la quantità del bene y e quella del bene x;
La pendenza del vincolo di bilancio.
2) Una curva di indifferenza misura ______________ e la sua inclinazione è uguale a
____________________
a. le diverse combinazioni di due beni o servizi che portano allo stesso livello di
soddisfazione; il prezzo di un bene rispetto all’altro.
b. le diverse combinazioni di due beni o servizi che portano allo stesso livello di
soddisfazione; il saggio marginale di sostituzione.
c. le diverse combinazioni di due beni o servizi che un consumatore può permettersi; il
rapporto dei prezzi dei due beni.
d. le diverse combinazioni di due beni o servizi che un consumatore può permettersi; il
saggio marginale di sostituzione;
3) Al punto in cui la curva di indifferenza è tangente alla retta di bilancio:
a. il saggio marginale di sostituzione è minore del rapporto dei prezzi dei due beni, e il
consumatore può scegliere soltanto un paniere di mercato in cui i due valori sono uguali.
b. il saggio marginale di sostituzione è minore del rapporto dei prezzi dei due beni, e la
soddisfazione del consumatore si può aumentare scegliendo un paniere di mercato su una
curva di indifferenza più alta.
c. il saggio marginale di sostituzione è uguale al rapporto dei prezzi dei due beni, e la
soddisfazione del consumatore è massimizzata.
d. sono vere entrambe le risposte b e c.
4) L’effetto sulla retta di bilancio di un identico aumento percentuale di prezzi e reddito
dovuto all’inflazione è:
a. che le rette di bilancio traslano in parallelo allontanandosi dall’origine con l’aumento del
reddito, ma non tanto quanto avverrebbe se i prezzi fossero rimasti costanti.
b. per rispondere a questa domanda servirebbero più informazioni su reddito, prezzi e tasso
di inflazione.
c. niente: la retta di bilancio non si sposta né ruota, in questo scenario.
d. che le rette di bilancio traslano in parallelo avvicinandosi all’origine con l’aumento del
reddito, ma non tanto quanto avverrebbe se il reddito fosse rimasto costante.
4) Se un consumatore è disposto a scambiare sempre tre penne rosse con quattro penne blu e la
sua funzione di utilità è definita solo su questi due beni, le sue curve di indifferenza saranno:
a)
b)
c)
d)
rette;
iperboli;
parabole;
spezzate.
5) Se per Armando vasi e fiori sono beni perfetti complementi, un aumento del consumo di vasi
a parità di consumo di fiori comporterà per lui:
a) un aumento dell’utilità;
b) una diminuzione dell’utilità;
c) nessuna variazione dell’utilità;
d) il raggiungimento di una curva di indifferenza più alta;
Esercizio 1 (Vincolo di bilancio)
Durante il suo primo anno di università, Antonio può acquistare al massimo 5 nuovi libri di testo al
prezzo di 80 euro ciascuno. I testi usati costano solo 50 euro. Quando la libreria annuncia che
imporrà un aumento del 10% del prezzo dei nuovi libri e del 5% di quello dei testi usati, il padre di
Antonio offre lui 40 euro extra.
Cosa accade al vincolo di bilancio di Antonio? Illustrate il cambiamento rappresentando i nuovi
libri sull’asse verticale;
Svolgimento
Nel primo anno Antonio spende 80 euro per ognuno dei 5 libri che acquista per un totale di 400
euro. Per lo stesso ammontare di denaro avrebbe potuto acquistare 8 libri usati. Il suo vincolo di
bilancio è rappresentato, quindi, da una retta negativamente inclinata con intercette in
corrispondenza dei punti 8 (asse orizzontale su cui è rappresentata la scelta dell'usato e quindi il
nuovo corrisponde a 0) e 5 (asse verticale che rappresenta i libri nuovi acquistati in corrispondenza
dell'usato pari a 0). La funzione che descrive il vincolo di bilancio sarà 80N+50U=400 dove N e U
indicano i libri nuovi ed usati.
A seguito del cambiamento i nuovi libri costano 88 euro mentre quelli usati 52,5 euro e Antonio ha
un reddito di 440 euro. Se dovesse decidere di spendere tutto il suo reddito potrebbe allora
comprare 5 libri nuovi o 8,4 libri usati. Il nuovo vincolo di bilancio è rappresentato da una nuova
retta (tratteggiata) la cui funzione è 88N+52,5U=440. La retta ha ruotato rispetto il punto 5 ed è
adesso meno inclinata che in precedenza.
Esercizio 2 (Vincolo di bilancio)
Anna ha uno stipendio di 1.000 euro al mese, che spende totalmente in cene (il cui prezzo medio è
di 50 euro) e scarpe (il cui prezzo medio è pari a 100 euro).
1) Scrivere e rappresentare il vincolo di bilancio di Anna;
2) Anna si fidanza e, siccome il suo reddito è più alto di quello del suo fidanzato, deve pagare
per tutti e due. Il costo di una cena diviene 100 euro. Cosa accade al vincolo di bilancio?
3) La casa di moda preferita da Anna presenta la collezione primavera-estate con un nuovo
modello il cui prezzo è pari a 200. Anna decide di comprarlo. Cosa accade al vincolo?
4) Anna ottiene un aumento di stipendio. Il suo reddito mensile passa a 1200 euro. Come si
sposta il vincolo?
Svolgimento
Punto (1)
Per scrivere il vincolo di bilancio è necessario individuare prezzi dei beni e reddito a disposizione. I
prezzi sono
mentre il reddito è R=1000.
L’equazione del vincolo di bilancio sarà allora
Ricordando che per rappresentare il vincolo è sufficiente conoscere due punti sugli assi e che questi
saranno ricavati, partendo dalla funzione di vdb. Avremo (R/Ps)= 10 sull'asse verticale e (R/Pc)= 20
su quello orizzontale. La pendenza del vincolo pari a (Pc/Ps)=-1/2. Graficamente:
Punto (2)
Il prezzo delle cene è raddoppiato. Il vincolo di bilancio allora diverrà
La variazione del prezzo ha quindi determinato un aumento dell’inclinazione della retta (in valore
assoluto). Il vincolo di bilancio ruota in senso orario facendo perno sull’intercetta verticale (dato
che non varia la quantità massima di scarpe che Anna può permettersi).
Punto (3)
In questo caso a variare è il prezzo delle scarpe. Il vincolo di bilancio allora diventerà:
La variazione del prezzo ha determinato una riduzione dell’inclinazione della retta (in valore
assoluto). Il vincolo di bilancio ruota in senso antiorario facendo perno sull’intercetta orizzontale
(dato che non varia la quantità massima di cene che Anna può permettersi).
Punto (4)
In questo caso il vincolo di bilancio sarà
L’aumento non ha determinato una riduzione dell’inclinazione della retta. Ancora una volta non è
mutato il costo opportunità dei due beni. Il vincolo si sposta parallelamente a se stesso verso destra
ad indicare un aumento delle possibilità di consumo di Anna.
Esercizio 3
La funzione di utilità di un consumatore è U(x1;x2) = x12.x2
Il prezzo del bene 1 è p1 =1 , il prezzo del bene 2 è p2= 3 ed il reddito del consumatore è
R = 180. Determinare il paniere ottimo per il consumatore (si ricordi la formual per il caso CobbDouglas: SMS= 2x2/ x1).
Svolgimento
Nel punto di ottimo il paniere scelto dal consumatore si trova sulla curva di indifferenza più alta
raggiungibile con il suo vincolo di bilancio (vdb): nel punto di ottimo il vdb del consumatore è
tangente ad una delle curve della sua mappa di indifferenza. Poiché le due curve sono tangenti, in
quel punto dovranno essere caratterizzate dalla stessa pendenza.
La pendenza di una curva di indifferenza è espressa in valore assoluto da SMS = (αy/βx intendendo
per α e β gli esponenti delle variabili e per x e y le variabili che si trovano sull’asse orizzontale e
verticale rispettivamente), ossia dal rapporto fra le utilità marginali, mentre la pendenza del vdb è
espressa dal rapporto fra i prezzi dei due beni
(-p2/p1).
Nel nostro caso specifico avremo il seguente vincolo di bilancio: p1x1+p2x2=R x1+3x2=180
da cui il valore aasoluto della pendenza, ossia il rapporto tra i prezzi, è 1/3, mentre SMS=2x2/ x1.
Nel punto di ottimo deve, quindi, essere verificata la relazione di uguaglianza tra pendenza della
curva di indifferenza e pendenza del vdb. Da tale uguaglianza si verifica che il consumo del bene 1
sarà sei volte più grande del consumo del bene 2. Inoltre, il paniere di consumo ottimale deve essere
un paniere ammissibile per il consumatore, ossia deve trovarsi sul suo vdb. Perciò deve valere:
Il paniere ottimale di consumo è (x1*,x2*)=(120,20).
In corrispondenza di questo paniere il consumatore ha l’utilità massima che può raggiungere con il
suo vdb, corrispondente a u*=u(x1*,x2*)=x1*2x2*=1202.20=288.000.
Esercizio 4
Un consumatore ha a disposizione un reddito pari a R = 320 e le sue preferenze sono descritte
dalla funzione di utilità U(x, y) = xy . Il SMS è dunque pari a y/x.
a) Determinare l’equazione di una generica curva di indifferenza
b) Determinare il paniere di consumo ottimale in corrispondenza dei prezzi px = 2 e py = 5.
c) Si supponga che il prezzo py diminuisca, così che ora p'y = 4 . Calcolare la nuova scelta ottima
del consumatore.
Soluzione
a) La curva di indifferenza rappresenta l’insieme delle combinazioni di x e y che danno al
consumatore lo stesso livello di utilità u .
Essendo la funzione di utilità in oggetto U(x, y) = xy possiamo determinare l’equazione della
generica curva di indifferenza in questo modo:
b) Per determinare l’ottimo del consumatore occorre risolvere il sistema all’interno del quale sono
presenti la condizione di ottimo del consumatore e il vdb. La condizione di ottimo, determinata
dall'uguaglianza tra SMS (=y/x) e valore assoluto della pendenza del VDB (=2/5). Il sistema a due
equazioni e due incognite è:
Dalla prima equazione otteniamo y=(2/5)x che sostituita all'interno del vdb ci permette di ottenere
le grandezze di equilibrio. Quindi il paniere ottimo del consumatore è dato da (80,32).
c) Se il prezzo del bene y passa da 5 a 4, il nuovo ottimo del consumatore si ricava dalla soluzione
del sistema
da cui procedendo come nel punto precedente si ottengono i punti (80; 40).
Esercizio 5 (beni sostituti)
Emiliano ha un saggio marginale di sostituzione per la pizza ed il gelato pari a 2 (e dunque
costante). Il prezzo di una pizza è 8€, il prezzo di un gelato è 3€ ed il reddito settimanale di
Emiliano è 40€. Determinare il punto di scelta ottima di Emiliano. [Il SMS della generica funzione
di utilità è data dal rapporto (a/b)].
Svolgimento
Il saggio marginale di sostituzione di Emiliano fra pizza e gelato è costante: i due beni sono, perciò,
perfetti sostituti e la mappa di curve di indifferenza è costituita da rette inclinate negativamente.
Si ipotizzi che la generica funzione di utilità che descrive la mappa di indifferenza abbia equazione
con a e b costanti positive e non note. La funzione che descrive il saggio marginale di sostituzione
sarà: SMS p,g= (a/b) = 2, da cui si può ipotizzare che a=2 e b=1. Questo ci permette di ottenere la
seguente funzione di utilità:
Fra tutte le diverse curve di indifferenza appartenenti alla mappa descritta, Emiliano sceglierà quella
che è più facilmente raggiungibile dato il suo reddito. Il suo vincolo di bilancio è
Come si può notare dalla figura in questo caso non esiste un punto di tangenza fra vincolo di
bilancio e mappa di indifferenza che possa aiutare nella determinazione del punto di consumo
ottimale: il vincolo di bilancio e le curve di indifferenza, infatti, sono rette con inclinazione
differente e, quindi, mai tangenti fra loro. Il vincolo di bilancio interseca diverse curve di
indifferenza, ma la più alta (cioè quella ad utilità maggiore) viene raggiunta quando Emiliano
consuma solo gelato: in questo caso tutto il reddito di Emiliano sarà allocato sull’acquisto del gelato
e si avrà
In corrispondenza di questo punto di consumo, l’utilità di Emiliano sarà
In generale per i beni perfetti sostituti sia le curve di indifferenza, sia il vincolo di bilancio del
consumatore sono rette inclinate negativamente. Sono, quindi, possibili tre differenti casi:
1. il vincolo di bilancio ha pendenza maggiore della mappa di indifferenza.
In questo caso la curva di indifferenza ad utilità maggiore si raggiunge nel punto di intersezione fra
il vincolo di bilancio e l’asse verticale: in altri termini, il consumatore sceglierà di consumare
solamente il bene 2 (asse verticale).
2. il vincolo di bilancio ha pendenza minore della mappa di indifferenza
In questo caso la curva di indifferenza ad utilità maggiore si raggiunge nel punto di intersezione fra
il vincolo di bilancio e l’asse orizzontale: in altri termini, il consumatore sceglierà di consumare
solamente il bene 1 (asse orizzontale).
3. il vincolo di bilancio è parallelo alla mappa di indifferenza
In questo caso la curva di indifferenza ad utilità maggiore coincide con il vincolo di bilancio: in altri
termini, tutti i panieri sul vincolo di bilancio avranno la stessa utilità e saranno ottimi per il
consumatore.
Nel nostro caso, partendo da VDB ed esprimendo il vincolo in funzione del bene che si trova
sull'asse verticale otteniamo:
La pendenza del vincolo di bilancio è, quindi, pari a -3/8, mentre quella della mappa di indifferenza
è pari a -1/2: si tratta, quindi, del caso in cui la pendenza del vincolo di bilancio è minore di quella
della mappa di indifferenza. Come già visto il punto di ottimo del consumatore corrisponde, perciò,
al punto di intersezione del vincolo di bilancio con l’asse orizzontale:
Da cui il punto di ottimo:
In corrispondenza del punto di ottimo l’utilità del consumatore vale:
Esercizio 6 (beni complementari)
La funzione di utilità di un consumatore è u(x, y) = min{x, y2 }
a) Determinare l’utilità del consumatore in corrispondenza dei panieri (x,y)=(4,3), (x,y)=(4,2) e
(x,y)=(5,2);
b) Si supponga che px=10, py=15 e che il consumatore acquisti 100 unità del bene x. Qual è il
reddito del consumatore?
Svolgimento
a) I valori di utilità corrispondenti ai panieri dati sono:
u(4;3) = min {x, y2 }= {4, 32 }= {4, 9 }= 4
u(4;2) = min {x, y2 }= {4, 22 }= {4, 4 }= 4
u(5;2) = min {x, y2 }= {5, 22 }= {5, 4 }= 4
I panieri dati si trovano, perciò, sulla stessa curva di indifferenza del consumatore. In particolare, le
curve di indifferenza sono quelle relative ai beni perfetti complementi, rappresentate tramite
spezzate a “L”.
b) Per beni perfetti complementi il punto di consumo è sempre un punto d’angolo delle curve della
mappa di indifferenza: pertanto, se il consumatore acquista 100 unità del bene x si avrà anche un
consumo di y2=100, ossia di y=10 (si ricorda che l’altra soluzione possibile – y=-10 – non è
accettabile).
Dato il livello dei prezzi dei due beni la spesa complessiva sostenuta dal consumatore per i suoi
acquisti sarà
pxx+pyy=10*100+15*10=1.150
Poiché il paniere scelto dal consumatore deve essere il suo paniere ottimo esso deve rappresentare il
punto d’angolo della curva di indifferenza più alta che il consumatore può raggiungere dato il suo
reddito: in altri termini, il punto di consumo deve trovarsi sul vdb. La conseguenza è che la spesa
sostenuta dal consumatore per l’acquisto deve coincidere con il suo reddito, perciò R=1.150.