Primitive - Math Unipd

PRIMITIVE
Umberto Marconi
Dipartimento di Matematica – Padova
Nel seguito f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) è una funzione a valori complessi continua
su un aperto D del piano complesso.
1. Esercizio. Da [DM] studiare attentamente 10.6.4 e 10.6.5.
La seguente proposizione è per la variabile complessa l’analogo di [DM, 6.6.1].
Teorema 2 Sia D un aperto connesso (= connesso per archi) del piano complesso e sia
f (z) continua su D. Sono equivalenti:
1. f (z) ammette una primitiva olomorfa globalmente su D.
2. Se α e β sono cammini in D con la stessa origine e lo stesso estremo, allora si ha:
∫
∫
f (z) dz =
f (z) dz
α
β
3. Per ogni circuito γ di D si ha:
∫
f (z) dz = 0
γ
Dimostrazione. 1 ⇒ 2. Sia F una primitiva di f . Per il teorema fondamentale del
calcolo [BCA, pag. 11] si ha:
∫
∫
f (z) dz = F (α(b)) − F (α(a)) = F (β(b)) − F (β(a)) =
f (z) dz
α
β
2 ⇐⇒ 3. Ovvio.
∫
2 ⇒ 1. Fissato z0 ∈ D, sia F (z) = γz f (ζ) dζ, dove γz è un cammino in D che congiunge
z0 con z. F (z) è ben definita per 2. Facendo variare z + h in una palla aperta di centro z
tutta contenuta in D, possiamo calcolare F (z + h) percorrendo prima un cammino γz e
poi il segmento [z, z + h]. Si ottiene allora, integrando sul segmento [z, z + h]:
) 1
1(
F (z + h) − F (z) =
h
h
∫
∫
1
f (z + th)h dt =
0
0
1
h→0
∫
f (z + th)dt −−−→
1
f (z)dt = f (z)
0
come volevasi dimostrare. Il passaggio al limite è garantito dal teorema di continuità per
integrali dipendenti da parametro.
Proposizione 3 Se f (z) = f (x + iy) è di classe C 1 in senso reale e ammette localmente
una primitiva in senso complesso, allora f (z) è olomorfa.
Dimostrazione. Se f = u + iv, con u, v ∈ C 1 (D), sia F = U + iV una primitiva locale
di f . Allora:
F ′ = ∂x F = ∂x U + i∂x V = u + iv
1
ovvero:
∂x U = u
∂x V = v
(1)
Poiché F è olomorfa, si ha anche:
∂y U = −∂x V
∂x U = ∂y V
(2)
Tenendo conto di (1) e (2) si ottiene:
∂x u = ∂x ∂x U = ∂x ∂y V = ∂y ∂x V = ∂y v
∂y u = ∂y ∂x U = ∂x ∂y U = ∂x (−∂x V ) = −∂x v
come volevasi.
Osservazione 4 Vedremo più avanti che se una funzione continua f ammette localmente
una primitiva in senso complesso, allora essa stessa è olomorfa.
Sia f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) continua sull’aperto D. Si consideri la forma
differenziale:
(
)
f (z) dz = u(x, y) + iv(x, y) (dx + idy) = u dx − v dy + i(v dx + u dy)
Si ha:
ℜ(f (z) dz) = u dx − v dy
ℑ(f (z) dz) = v dx + u dy
Osservazione 5 Si osservi che f è olomorfa se e solo se le forme differenziali u dx − v dy
e v dx + u dy sono entrambe di classe C 1 e chiuse.
Proposizione 6 Le seguenti condizioni sono equivalenti per una funzione continua f (z).
1. La funzione f (z) ammette localmente una primitiva olomorfa.
2. Le forme differenziali u dx − v dy e v dx + u dy sono localmente esatte.
Dimostrazione. 1 ⇒ 2. Sia F = U + iV una primitiva locale di f = u + iv. Allora
∂x U = u e ∂x V = v. Poiché U + iV è olomorfa si ha ∂y U = −∂x V = −v, per cui U è
primitiva di u dx − v dy. Analogamente si dimostra che V è primitiva di v dx + u dy.
2 ⇒ 1. Siano U primitiva di u dx − v dy e V primitiva di v dx + u dy. Allora ∂x U = u e
∂x V = v, per cui ∂x F = f .
Rimane da dimostrare che U + iV soddisfa le condizioni di Cauchy-Riemann, e questo
discende elementarmente dalla definizione di primitiva di una forma differenziale.
Teorema 7 Per una funzione continua f = u + iv sono equivalenti:
1. f è olomorfa.
2. Le forme differenziali u dx − v dy e v dx + u dy sono localmente esatte.
3. f ammette localmente una primitiva olomorfa.
4. Se α e β sono circuiti omotopi in D allora:
∫
∫
f (z) dz =
f (z) dz
α
β
2
Dimostrazione. 1 ⇒ 2. Siccome sono soddisfatte le condizioni di Cauchy-Riemann, le
forme differenziali u dx − v dy e v dx + u dy sono chiuse (v. Oss. 5) e quindi localmente
esatte.
2 ⇐⇒ 3 è la Prop. 6.
2 ⇒ 4 Poiché le forme differenziali ℜf (z) dz e ℑf (z) dz sono localmente esatte, esse
hanno integrali uguali su circuiti omotopi in D [DM, 6.8.5]. Pertanto la forma differenziale
f (z) dz = ℜf (z) dz + iℑf (z) dz ha integrali uguali su circuiti omotopi in D.
4 ⇒ 3. Se A è un rettangolo aperto
(o un aperto stellato) contenuto in D, ogni circuito γ
∫
in A è nullomotopo; pertanto γ f (z) dz = 0 per ogni circuito γ in A e quindi per il Teor. 2
f (z) ammette una primitiva olomorfa su A.
3 ⇒ 1. Se f è di classe C 1 segue dalla Prop. 3, se f è continua segue dall’Oss. 4.
Definizione 8 Un aperto D del piano complesso si dice semplicemente connesso se è
connesso e ogni circuito in D è nullomotopo.
Dai teoremi 7 e 2 si ottiene:
Proposizione 9 Se f (z) è olomorfa su un aperto semplicemente connesso D, allora f (z)
ammette una primitiva olomorfa globalmente su D.
Dimostrazione. Se α è un circuito in D allora α è omotopo a un circuito costante κ.
Dunque per la condizione 4 del Teor. 7 si ha:
∫
∫
f (z) dz = f (z) dz = 0
α
κ
La conclusione segue dalla condizione 3 del Teor. 2.
BIBLIOGRAFIA
[DM] G. De Marco, Analisi Due, Decibel-Zanichelli.
[SP] G. De Marco, Serie di potenze ed esponenziale complesso.
[BCA] Basic Complex Analysis
3