Stesso valore medio per distribuzioni diverse

Fonti e strumenti statistici
per la comunicazione
Prof.ssa Isabella Mingo
A.A. 2014-2015
Stesso valore medio per
distribuzioni diverse
ui
X11
X12
X13
A
22
1
21
B
22
8
21
C
20
10
21
D
23
32
21
E
19
34
21
F
20
41
21
M
21
21
21
• Un uguale valore medio può sintetizzare
distribuzioni molto diverse tra loro
• Nell’esempio le tre distribuzioni hanno la
medesima media aritmetica, ma
la
tendenza di ogni unità ad assumere valori
diversi dalla media è differente in ciascuna
distribuzione
a.a. 2014-2015
1
Variabilità o Dispersione
Attitudine di un fenomeno ad assumere diverse modalità
 Caratteri quantitativi: variabilità e dispersione
 Caratteri qualitativi: mutabilità
Misure di sintesi
 Indici di variabilità/dispersione
 Indici di mutabilità
Caratteri quantitativi
La variabilità/dispersione
La variabilità o la dispersione di una distribuzione esprime la tendenza
dei caratteri o dei fenomeni ad assumere differenti valori.
Requisiti di un indice di variabilità-dispersione:
Assume valore minimo se e sole se tutte le u.s. presentano la stessa
modalità
Positivo se c’è variabilità o dispersione
Aumenta all’aumentare della diversità tra le modalità assunte dalle
u.s.
Non cambia se le frequenze vengono moltiplicate per una costante
positiva
a.a. 2014-2015
2
Indici di variabilità e dispersione
Indici di variabilità reciproca
 La variabilità si misura considerando tutte le differenze tra le
modalità della distribuzione presentate dalle u.s. prese due a due 
Differenze Medie
Indici di dispersione rispetto ad un valore centrale
 La dispersione si misura con gli scarti tra le modalità presentate
dalle u.s. e un indice di dimensione della distribuzione (M o Me)
 Varianza
 Scostamento (scarto) quadratico medio
 Nella pratica i due termini vengono spesso usati come sinonimi
Caratteri quantitativi
Varianza
 E’ la media dei quadrati degli scarti dalla media aritmetica
 Si calcola sommando gli scarti elevati al quadrato e dividendoli per
la numerosità della distribuzione.
n
2
(x  M)
j
Var( X )   2( X ) 
j1
N
La radice quadrata della varianza è la deviazione standard o scarto quadratico medio
3
Esempio: calcolo della varianza e dello scarto
quadratico medio
10
N  10
 xj
U.S.
Temperatura
Minima
A
(xj - M)
(xj - M)2
6.9
47.61
9
B
-2
-4.1
16.81
C
4
1.9
3.61
D
-3
-5.1
26.01
E
-2
-4.1
16.81
F
0
-2.1
4.41
G
6
3.9
15.21
H
4
1.9
3.61
I
-4
-6.1
37.21
9
6.9
47.61
J
Var ( X ) 
10

j 1
M

218.9
 21.89
10
21
 2.1
10
•
Il numeratore della varianza è detto
devianza
•
L’elevazione a quadrato trasforma
tutte le differenze negative in positive
e mette in maggiore risalto le
differenze grandi rispetto a quelle
piccole.
•
La varianza non possiede la stessa
unità di misura dei valori della
distribuzione
2
10
10

Osservazioni:
218.9
x j  M 
j 1
•La radice quadrata della varianza è la
deviazione standard o scarto quadratico
medio. Ha la stessa unità di misura dei
valori della distribuzione.
 ( X )  Var ( X )  21.89  4.679
Devianza - Varianza-Scarto quadratico medio
Calcolo da una distribuzione unitaria
Devianza
Dev( X )  x1  M 2   x2  M 2   xN  M 2
 Varianza (non ha la stessa
unità di misura del
carattere)
 Scostamento quadratico
medio (deviazione standard)
Var ( X ) 
 
x1  M 2  x2  M 2    xN  M 2
N
x1  M 2  x2  M 2    xN  M 2
N
4
Esempio: calcolo della varianza e dello
scarto quadratico medio
Distribuzione degli studenti di SDC frequentanti la facoltà
nell’a.a. 2001/2002 per Numero di Corsi Frequentati
Num.
Corsi
Freq.
1
2
3
4
5
6
7
Totale
nj
xjnj
15
43
103
80
32
8
2
283
(x j -M )2 (x j -M )2 n j
15
86
309
320
160
48
14
952
5,57
1,85
0,13
0,41
2,69
6,97
13,25
83,55
79,55
13,39
32,80
86,08
55,76
26,50
377,63
K 7
N  283
7
 x jnj
M
j 1

283
952
 3.36
283
7
2
 x j  M  n j
Var( X ) 
j 1
283

377.63
 1.33
283
 ( X )  Var( X )  1.33  1.15
Devianza - Varianza-Scarto quadratico medio
Calcolo da una distribuzione semplice di frequenze
• Devianza
Dev( X )  x1  M2 n1  xj  M2 nj  xK  M2 nK
 Varianza (non ha la stessa
unità di misura del
carattere)
Var( X ) 
Scostamento quadratico
medio (deviazione standard)

x1  M 2 n1  x j  M 2 n j   xK  M 2 nK
N
x1  M 2 n1    x j  M 2 n j    xK  M 2 nK
N
5
Proprietà della varianza
 e Var sono valori medi : forniscono il valor medio della
dispersione dei valori assunti dalle u.s. rispetto ad un
valore centrale della distribuzione
Sono pari a zero se tutte le u.s. presentano la stessa
modalità del carattere
 ha la stessa unità di misura del carattere
 è invariante per trasformazioni lineari
Var( X )  Var(Y )  a 2Var( X )
x j  y j  axj  b
 ( X )   (Y )  a ( X )
Esempio: invarianza per trasformazioni lineari
M ( X )  M (Y )  aM ( X )  b
x j  y j  ax j  b
Var ( X )  Var (Y )  a 2Var ( X )
 ( X )   (Y )  a ( X )
X=Temperatura in Gradi Centigradi
Y=Temperatura in Gradi Fahrenheit
U.S.
1983
1984
1985
1986
1987
Temperatura
Temperatura
Gradi Centigradi Gradi Fahrenheit
X
Y
18.4
65.12
16.8
62.24
16.9
62.42
17.7
63.86
16.8
62.24
M ( X )  17.32
Var( X )  0.4056
Trasformazione lineare
Y  1.8 X  32
a  1.8
b  32
M (Y )  (1.8 17.32)  32  63.18
Var(Y )  (1.8)2  0.406 3.24 0.406  1.315
6