TAVOLA DI ADDIZIONE DEI NUMERI PARI E DEI
NUMERI PRIMI PER CONGETTURA DEBOLE DI
GOLDBACH (NUMERI DISPARI COME SOMMA DI TRE
PRIMI)
(Additive table about weak Goldbach conjecture)
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
ABSTRACT
In this paper we show an additive table of even numbers and
primes, about weak Goldbach conjecture
RIASSSUNTO
In questo breve lavoro mostriamo una tavola di addizione dei
numeri pari P e dei numeri primi p, ottenendo tutti i numeri
dispari come somma di tre primi ( due nei numeri pari P
come somma di due primi, almeno una volta) e l’altro è il
primo che viene aggiunto.
TAVOLA DI ADDIZIONE dei numeri pari Pari P e primi p
Dispari, con la quale si ottengono tutti i numeri dispari > 7,
1
come somme di tre primi, poichè il numero pari P > 4 è a sua
volta somma di due primi, (almeno una volta), per esempio
14 = 3 + 11 e 7+7. Se a 14 aggiungiamo tutti i numeri primi
(eccetto il 2, che è pari) abbiamo infiniti (ma non tutti) numeri
dispari somma di tre primi. Nella riga rossa relativa al 14,
mancano però i numeri dispari maggiori di 14 e cioè 15, 23, 29,
35 e 39 (poichè 15 = 14 + 1, 23 =14 + 9 non primo, 29= 14 +15
non primo, 35= 14 +21 non primo, 39 =14 + 25 non primo) che
però troviamo nelle altre righe, relative ad altri numeri pari P,
per esempio 23 si trova nella riga del 4, del 6, del 10, del
12, del 16, del 18 e del 20, e quindi ampiamente recuperato,
così per gli altri numeri dispari mancanti in qualche riga
relativa a qualche numero pari. Quindi tutti i numeri dispari
sono, almeno una volta, somma di tre numeri primi, e quindi
la congettura debole di Goldbach è vera, come da recente
dimostrazione da parte del matematico tedesco Harald
Helfgott.
2
TAVOLA DI ADDIZIONE PARI P E PRIMI p
P/p
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
...
3
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
....
5
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
...
7
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
...
11
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
...
13
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
...
17
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
...
19
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
...
23
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
...
29
33
35
37
39
41
43
45
47
49
51
...
31
35
37
39
41
43
45
47
49
51
53
...
Ovviamente, essendo gli insiemi P e p diversi, la Tavola non è
simmetrica rispetto alla diagonale.
Estendendo tale tabella a numeri pari e primi più grandi, si
ottengono tutti i numeri dispari D = p + q + r ancora più
grandi in proporzione. Il più grande è ovviamente il numero in
basso a destra, cioè all’incrocio tra l’ultima riga e l’ultima
colonna, e cioè 53 , come possiamo ben vedere
La suddetta Tavola è un modo per mostrare e comprendere
3
meglio la verità della ex congettura debole di Goldbach,
ormai dimostrata. Ne consegue che una nuova Tavola di
addizione dei numeri dispari maggiori di 7 (compreso), darà
numeri pari somma di sei numeri primi (tranne il due), poiché
se un numero dispari è somma di tre primi, la somma S pari
di due numeri dispari risulta anche somma di sei numeri
primi.
TAVOLA DI ADDIZIONE DEI NUMERI DISPARI
D
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
...
7
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
....
9
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
...
11
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
...
13
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
...
15
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
...
17
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
...
19
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
...
21
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
...
23
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
...
25
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
...
Ora invece la Tavola è simmetrica rispetto alla diagonale.
Il numero minimo è 14 = 2*7. Dovrebbe essere 12=2*6, ma
4
qui non abbiamo considerato il numero primo 2.
Come vediamo, abbiamo tutti i numeri pari > 14, e anche più
volte . Per esempio, 28 è presente quattro volte, 30 cinque
volte , ecc. ( quelle scritte in grassetto, le altre sono
simmetriche ed equivalenti)) e ciò significa che sono somme
di sei primi rispettivamente in quattro o cinque modi diversi.
CONCLUSIONI e accenno ai numeri simil - RSA
Possiamo concludere che tutti i numeri pari o dispari sono la
somma di k numeri primi, purchè il numero minimo pari o
dispari sia 2k se k è pari, 2k +1 se k è dispari, come mostrato
in Rif. 3, sulle possibili estensioni delle due congetture, forte e
debole, di Goldbach. Anche queste rientrano in questa regola,
poichè la congettura forte, numeri pari come somma di due
primi ( k =2), richiede come numero minimo 4 =2k, mentre la
congettura debole, numeri dispari come somma di tre primi,
(k=3) prevede come numero minimo 7 = 2k +1. Nulla infatti
5
impedisce a nessun numero pari o dispari N di essere la
somma di k numeri primi, purché N sia rispettivamente
uguale o maggiore di 2k e di 2k+1 , e cioè N > 2k e N >2k+1.
Con ciò terminiamo la ricerca sugli aspetti additivi classici
della congettura forte di Goldbach e relative estensioni, per
poi eventualmente considerare anche gli aspetti moltiplicativi,
con apposite Tavole di moltiplicazione, limitate inizialmente
alla sola congettura forte.
Anticipiamo solo una piccola parte della tabella di
moltiplicazione dei numeri primi, con possibili considerazioni
sui numeri RSA, prossimi alla diagonale centrale da sinistra a
destra.
primi
2
3
5
7
11
13
...
2
4
6
10
14
22
26
...
3
6
9
15
21
33
39
...
5
10
15
25
35
55
65
...
7
14
21
35
49
77
91
...
6
11
22
33
55
77
121
143
...
13
26
39
65
91
143
169
...
Come possiamo vedere, la parte superiore (in grassetto) è
simmetrica ed equivalente rispetto alla parte inferiore e
quindi possiamo considerare solo la parte superiore, sopra la
diagonale centrale dei quadrati (in rosso). Circa i numeri RSA,
poiché in essi il rapporto massimo r = q/p è di circa 2 o poco
più , essi si trovano nella fascia centrale, più prossima ai
quadrati (rapporto q/p = n/n =1). Esempio, per 91 = 13 *7, con
13/7 =1,85 ≈ 2, e infatti 91 non è molto distante da 121 e 169,
quadrati rossi lungo la diagonale centrale. 33=11*3 invece è
più lontano, poichè il rapporto 11/3 = 3,66 , più grande di 2 e
quindi non numero simil - RSA, a differenza di 91 = 13*7.
Con tabelle virtualmente estese a numeri RSA veri, prodotti di
due numeri primi p e q di qualche centinaio di cifre, il
fenomeno sarebbe simile, ma attualmente di difficile studio,
essendo impossibile scrivere tabelle così grandi. Quindi
l’approccio potrebbe essere solo teorico, basato sul calcolo
approssimativo della differenza q – p , traendone possibili
7
lumi sulla probabile grandezza di q e p, ai fini di una possibile
fattorizzazione più veloce, basata sull’apposito algoritmo di
Fermat, che guarda caso usa la semidifferenza d = (q - p)/2,
insieme alla semisomma s = (p +q)/2 , tali che, com’è noto,
p= s–d e
q=s+d .
Ce ne occuperemo meglio in futuro, nei prossimi anni , e
dopo aver terminato il programma di ricerche in corso su
qualche problema del millennio.
RIFERIMENTI
1) “I numeri primoriali p# alla base della dimostrazione
definitiva della congettura di Goldbach (nuove evidenze
numeriche)”
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
2) “NOVITA ‘ SULLA CONGETTURA DEBOLE DI
GOLDBACH”
Gruppo “B.Riemann”
Francesco Di Noto,Michele Nardelli
8
3) “ESTENSIONI DELLE CONGETTURE, FORTE E
DEBOLE, DI GOLDBACH (a k = primi , con N e k entrambi
pari o dispari)”
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
4) “IPOTESI SULLA VERITA’ DELLE CONGETTURE SUI
NUMERI PRIMI CON GRAFICI COMET E CONTRO
ESEMPI NULLI” (Legendre, Goldbach, Riemann…)
Michele Nardelli ,Francesco Di Noto
5) “Congettura debole di Goldbach già dimostrata.
Ne consegue la congettura forte (accenni alla fattorizzazione
alla Fermat e alla RH1)”
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardell
6) “From the weak Goldbach’s Conjecture to the strong
Conjecture (hints to the RH1)”
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
9
