Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (M

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (M-Z)
Università di Roma ‘La Sapienza’
CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA
ESAME DEL 16/06/2016
NOME:
COGNOME:
MATRICOLA:
Esercizio 1
Cinque lettere vengono estratte a caso dalle 21 lettere dell’alfabeto italiano; (i) con rimpiazzamento
(ii) senza rimpiazzamento. Trova per ciascuna ipotesi di lavoro (i) e (ii) la probabilitá che la parola
formata
a) contenga la lettera a.
b) sia costituita da sole vocali
c) sia la parola amore
N.B. lasciare le formule scritte senza calcolare risultato numerico
Soluzione:
a) Indichiamo con A l’evento ”la parola contiene la lettera a”:
( )5
caso (i): P (A) = P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) = 1 − 20
essendo X ∼ Bin(5, 1/21).
21
(20) (21)
caso (ii): P (A) = 4 / 5 , la quale potrebbe interpretarsi come un ipergeometrica essendo l’urna
composta da 20 palline di insuccesso e una di successo...
b) Indichiamo con B l’evento ”la parola contiene solo vocali”;
( 5 )5
caso (i): P (B) = P (X = 5) = 21
essendo X ∼ Bin(5, 5/21).
(21)
caso (ii) P (B) = 1/ 5
c) Indichiamo con C l’evento ”la parola é amore” e consideriamo le possibili sequenze di 5 lettere
estratte nelle due modalitá (i) e (ii); nel primo caso avremo
caso (i): P (C) = P (”estraggo a”)P (”estraggo m”)... =
1
1
21 ... 21
= 1/215 .
caso (ii): P (C) = P (”estraggo a”)P (”estraggo m”|”estratto a”)... =
1 1 1 1 1
21 20 19 18 17
N.B: A questa domanda si puó anche rispondere non tenendo conto dell’ordine e cioé pensando
che la parola amore possa essere formata ogni qualvolta si estragga il sottogruppo di lettere
{a, m, o, r, e}, in tal caso le risposte precedenti sarebbero da moltiplicare per 5!
1
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ESAME DEL 16/06/2016
Esercizio 2
Sia (X, Y ) un vettore discreto con la seguente distribuzione congiunta: p1,1 = p1,0 = p0,0 = p−1,1 =
1
3
10 , p0,1 = p−1,0 = 10 , dove pi,j = P (X = i, Y = j).
a) Trovare le distribuzioni marginali di X e Y
b) Dire se X e Y sono indipendenti
c) Trovare la distribuzione di X 2
d) Trovare la distribuzione di XY
e) Calcolare la covarianza tra X e Y
N.B. tutti i passaggi devono essere opportunamente giustificati
Soluzione:
Come detto tante volte a lezione, quando una coppia di variabili casuali discrete ha un supporto abbastanza piccolo puó essere conveniente descrivere la funzione massa di probabilitá di quest’ultima
tramite una tabella
Y =0 Y =1
P (x, y)
X = −1 3/10
1/10
X=0
1/10
3/10
X=1
1/10
1/10
a) Le distribuzioni marginali si ottengono sommando sulle righe e sulle colonne della tabella. In
particolare P (X = −1) = 4/10, P (X = 0) = 4/10, P (X = 1) = 2/10, mentre per la Y si ha
P (Y = 0) = P (Y = 1) = 1/2.
b) Le due variabili aleatorie non sono indipendenti perché per esempio:
P (−1, 0) = 3/10
̸=
P (X = −1)P (Y = 0) = 1/5
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c) Z = X é una variabile casuale discreta dicotoma con la seguente distribuzione di probabilitá
P (Z = 0) = P (X = 0) = 2/5
P (Z = 1) = P (X = 1) + P (X = −1) = 3/5
d) Z = XY é una variabile casuale discreta con la seguente funzione massa di probabilitá:
P (Z = 1)
=
P (Z = −1) =
P (Z = 0)
=
P (X = 1, Y = 1) = 1/10
P (X = −1, Y = 1) = 1/10
1 − 2/10 = 8/10
e) Calcoliamo prima i seguenti valori E(X) = −2/10, E(Y ) = 1/2, E(XY ) = 0, pertanto
Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) = 1/10.
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Esercizio 3
In una pasticceria, un terzo dei clienti é solito comprare 1 torta (cioé ogni cliente ha probabilit
1/3 di comprare una torta), un altro terzo dei clienti é solito comprare 2 torte, mentre i clienti
rimanenti vanno solitamente via senza comprare nulla.
a) Sapendo che oggi sono entrati 50 clienti, qual é la probabilitá che siano state vendute piú di 60
torte?
Si assuma adesso che il peso della generica torta venduta dalla pasticceria abbia una distribuzione
gaussiana con varianza nota σ 2 = 0.25kg 2 e ci si domandi quale sia il peso medio. Si assuma inoltre
che tra le torte prodotte sia stato registrato il peso di 5 torte scelte a caso trovando (in kg) 1.10,
1.05, 1.00, 1.20, 1.10,
b) Dare un intervallo di confidenza bilaterale al 95 % per il peso medio µ delle torte prodotte dalla
pasticceria.
N.B. tutti i passaggi devono essere opportunamente giustificati. Si utilizzi la seguente informazione
z0.025 = 1.96
Soluzione:
a)
Indichiamo con X la variabile casuale discreta che registra il numero di torte acquistate dal generico
cliente della pasticceria. Per ipotesi di lavoro sia ha
P (X = 0) = P (X = 1) = P (X = 2) = 1/3
e dunque E(X) = 1 e var(X) = 2/3. La domanda del testo allora si traduce nella richiesta di
calcolare la probabilitá che la somma di 50 variabili indipendenti ed identicamente distribuite come
la X sia maggiore di 60, cioé
( 50
)
(∑
)
50
∑
√
60 − 50
i=1 Xi − 50
√
P
Xi > 60 = P
>√
= 1 − Φ( 3) = 0.0416
50 · 2/3
50 · 2/3
i=1
b) La domanda non ha nulla a che vedere con la prima. Sia adesso X una variabile casuale
continua che descrive il peso della generica torta prodotta dalla pasticceria. Per ipotesi di lavoro
X ∼ N (µ, 0.25). Si estrae un campione di 5 oggetti descritti da questa variabile casuale e si
richiede intervallo di confidenza al 95% per la media di una popolazione normale con varianza
nota. Pertanto la risposta é la seguente
[
√
√ ]
X̄ − zα/2 σ/ n, X̄ − zα/2 σ/ n = [0.6517, 1.5283]
,
avendo utilizzato le seguenti quantitá X̄ = 1.0900, zα/2 = z0.025 = 1.96, σ =
√
0.25 = 0.5kg, n = 5.
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Domanda 1 Si dimostri la seguente identitá e se ne dia possibilmente anche un’interpretazione
combinatoria.
( ) (
) (
)
n
n−1
n−1
=
+
k
k
k−1
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Domanda 2 Si enunci il teorema centrale del limite
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ESAME DEL 16/06/2016
Domanda 3 Si descrivano le ipotesi di lavoro necessarie per poter eseguire un test statistico sulla
media di una popolazione gaussiana.