Il ragionamento induttivo
Unit 6 – Corso di Logica
Ricordiamo che…
• C’è una differenza generale tra deduzione
(conclusione necessaria) e induzione
(probabilità induttiva della conclusione)
• In un argomento induttivo la conclusione è
probabilmente vera se:
– le premesse sono vere e pertinenti
– si rispetta il requisito dell’evidenza totale
– la probabilità induttiva è alta
• fallacie di pertinenza,
fallacia dell’evidenza soppressa
Forza delle asserzioni
• La probabilità induttiva (o forza di
un’argomentazione) dipende anche dalla
“forza” di premesse e conclusione
• La forza di un’asserzione è tanto più alta
quante meno situazioni la ammettono (è
inversamente proporzionale al numero di
situazioni in cui l’asserzione stessa è vera)
– la forza di un’asserzione aumenta con
l’aumentare del numero di informazioni
trasmesse, e non dipende dallo specifico valore
di verità
Esempi di forza
A. “Mi trovo in Italia”
C D
A B B. “Mi trovo a Treviso”
C. “Mi trovo nell’hotel Maggior Consiglio a
Treviso”
D. “Mi trovo nell’hotel Maggior Consiglio a
Treviso, alla lezione di Logica”
1. “Ti ho telefonato ieri”
2. “Ti ho telefonato ieri alle 11:56”
3. “Ti ho telefonato ieri ma non erano le
11:56”
2 3 1 Forza relativa
• La definizione è piuttosto vaga
• Solitamente (non sempre) è più facile
considerare la forza relativa
– Se A è logicamente equivalente a B allora A e B
hanno la stessa forza
– Se A implica deduttivamente B, ma non
viceversa, allora A è più forte di B
• Casi estremi
– le asserzioni contraddittorie sono le più forti in
assoluto,
– le asserzioni logicamente vere sono le più
deboli in assoluto
Ovvero…
• La probabilità induttiva tende a variare
– in modo direttamente proporzionale alla forza
delle premesse
– in modo inversamente proporzionale alla forza
della conclusione
• Dunque un’argomentazione diventa più
forte (risp. debole)
– aumentando (risp. diminuendo) la forza delle
premesse
– diminuendo (risp. aumentando) la forza della
conclusione
Esempi sulla forza
• Cosa cambia all’aumentare di x?
– Gli x corvi osservati sono tutti neri.
:. I corvi sono tutti neri
• Se x aumenta allora aumenta anche la forza
dell’argomentazione (perché aumenta la forza della
premessa)
– L’altezza media degli uomini italiani è di 175
cm.
:. Il Sig. Rossi (che non conosco) è alto 175
cm, con un’approssimazione di x cm.
• Se x aumenta allora aumenta anche la forza
dell’argomentazione (perché diminuisce la forza della
conclusione)
Sillogismi statistici e humeani
• Supponiamo che, dall’analisi di una certa
popolazione, in una certa quantità di casi le
cose vanno in certo modo
– In un caso specifico della popolazione cosa
posso concludere?
Sillogismi statistici e humeani (2)
Statistico
Humeano
Sfrutta solo le conseguenze
matematiche
Sfrutta un presupposto di
uniformità del mondo
• Premesse
• Premesse
– n% degli A è B
– x è A
• Conclusioni ragionevoli
– se n>50
– se n<50
:. x è B
:. x non è B
– Ho osservato c casi di A e
n% sono B
– x è A
• Conclusioni ragionevoli
presumendo l’uniformità
della popolazione
– n>50
– n<50
:. x è B
:. x non è B
Il tacchino induttivista (B. Russell)
Generalizzazione statistica
• In una generalizzazione statistica da
statistiche riguardanti alcuni elementi della
popolazione (scelti casualmente) si
inferisce su tutta la popolazione
– L’80% dei 1000 studenti intervistati a caso è
d’accordo sull’abolizione delle tasse
universitarie.
:. Circa l’80% degli studenti è d’accordo
sull’abolizione delle tasse universitarie.
Elementi essenziali della G. S.
• n% di c elementi scelti a caso tra gli F è G
:. Circa n% degli F è G
• c: dimensione del campione
• scelto a caso: ciascun elemento ha uguale
probabilità di essere scelto
• Circa: rende più forte l’argomentazione
• Teorema: per la maggior parte dei
sottoinsiemi di F di dimensione c, la
proporzione dei G è circa la stessa
• Dunque la probabilità induttiva è determinata in
modo puramente matematico
Esempio
• Abbiamo una popolazione di 500 individui F, e di
questi il 75% è G.
Facciamo campionamenti a caso rispettivamente di
40, 80, 120 e 160 individui.
% di G
c=40
c=80
c=120
c=160
75%
15%
11%
9%
9%
75 ± 2,5%
43%
52%
60%
68%
75 ± 5%
66%
80%
88%
94,0%
75 ± 7,5%
82%
93,4%
97,9%
99,4%
75 ± 10%
91,5%
98,4%
99,8%
99,9%
Sono a caso?
• Rispetto a tutti gli italiani
– le persone che rispondono ad un annuncio
– i lettori di un giornale (uno qualsiasi) o i
telespettatori di un canale (uno qualsiasi)
– le persone incontrate per strada, andando in
varie città italiane
– Persone estratte a sorte dagli elenchi telefonici di
varie città, con una città per ogni regione
– Persone estratte dai registri dell’anagrafe con un
metodo tipo lotteria
Probabilità induttiva nella G.S.
• Dipende principalmente da due fattori
– dimensione del campione (l’aumento di c
rafforza la premessa in modo pertinente)
– forza della conclusione (l’aumento del margine
d’errore rende più debole la conclusione)
• Dunque, la prob. induttiva di una
generalizzazione statistica aumenta
(diminuisce) se
– aumenta (diminuisce) la dimensione del
campione, e/o
– aumenta (diminuisce) il margine d’errore
Sondaggi e Audience
• Sono stime probabilistiche derivanti da
generalizzazioni statistiche
– Quando si afferma: “il 60% degli studenti
intervistati pensa che X con un margine d’errore
del 2,5%” oppure “Ieri sera il TG1 è stato visto
da 10 milioni di italiani, con circa il 40% di
share”
– si intende: “siamo sicuri al 95% che
nell’intervallo tra 57,5% e 62,5% ci sia la
proporzione reale degli studenti che pensano X”
• Ma sono importanti anche l’assunzione di
sincerità, il modo di porre le domande, ecc.
Generalizzazione induttiva
• In alcune situazioni non è possibile un campione
scelto a caso, ad esempio quando si includono
anche oggetti ed eventi futuri
• In questi casi si ha una generalizzazione
induttiva (di tipo humeano) della forma
– Sono stati osservati c individui aventi
proprietà F. Tra questi, n% è G.
:. Circa n% degli F è G
• Usata costantemente nelle leggi
scientifiche di tipo empirico o osservativo
Generalizzazioni fallaci
• Quando si trae una conclusione su un’intera
classe di oggetti a partire da dati scarsi o
viziati si commette una fallacia (induttiva)
che rientra nelle generalizzazioni indebite
(o hasty generalizations)
• Alcuni tipi di fallacie di questa classe sono la
non rappresentatività ed il campione troppo
piccolo
Fallacia di non rappresentatività
• Fallacia della rappresentatività (o
distorsione sistematica), quando il
campione non è scelto a caso e non è
rappresentativo della popolazione
– “Oggi abbiamo intervistato 1000 uomini e
donne al mercato sullo stato della crisi italiana.
Di questi, l’80% dice di essere in gravissime
difficoltà. Dunque, l’80% della popolazione
italiana direbbe di essere in gravissime
difficoltà.”
Esempi di campioni troppo piccoli
• Fallacia del campione troppo piccolo (o
secundum quid), se la numerosità del
campione è esigua a fronte di una
conclusione troppo forte
– “I nigeriani sono tutti disonesti. Ne ho avuti
due come vicini di casa: uno spacciava, l’altro
era un ladro.”
Statistiche tendenziose
• Si commettono fallacie per statistiche
tendenziose quando i dati statistici sono
usati in modo inappropriato, ad esempio:
• quando si confonde il reale significato dei
dati statistici (fallacia statistico-semantica)
– “I numeri parlano chiaro. Se volete combattere
l’illegalità votate per me. Da quando sono al
governo l’illegalità si è ridotta ben del 15%.”
(e magari il dato si riferisce solamente alla diminuzione
della microcriminalità)
Statistiche tendenziose (2)
• quando si inferisce una correlazione
inesistente tra fenomeni (fallacia della
correlazione indebita)
– “La lotta allo spaccio di droga sta dando i suoi
effetti. Nell’ultimo anno i sequestri antidroga
sono calati del 20%.”
• quando il dato statistico è interpretato in
modo isolato inferendo conclusioni più
ampie (fallacia del termine di paragone
assente)
– “Conviene comprare le azioni Fiat.
Recentemente hanno avuto un rialzo del 16%.”
Statistiche tendenziose (3)
• quando il dato statistico assoluto viene
frainteso con il dato relativo, che è
espresso in percentuale (fallacia della linea
di base)
– “Le coppie che si separano sono in aumento.
Rispetto al 2005, il numero di divorzi è
raddoppiato.”
– E se fosse aumentata la popolazione? Oppure il
numero dei matrimoni?
La mucca dal treno…
• Ci sono tre uomini su un treno: un
economista, un matematico e un
logico. Hanno appena oltrepassato
il confine per la Scozia quando dal
finestrino del treno vedono una
mucca marrone in un campo.
• L'economista: “Guardate, le mucche in Scozia
sono marroni”.
• Il matematico: “No. In Scozia c’è almeno una
mucca marrone”.
• Il logico: “No. C'è almeno una mucca in Scozia, e
uno dei due fianchi è visibilmente marrone”.
ANALOGIA
Argomentazione per analogia
• L’argomentazione per analogia è
induttiva di tipo humeano: dal confronto
tra due situazioni, diciamo x e y, che
hanno delle caratteristiche comuni si
inferisce che un’ulteriore caratteristica di x
appartiene anche a y
• Un argomento analogico è raramente
valido: se è ben costruito può essere forte
Argomento analogico
• Premessa analogica: il caso x ed il caso y
hanno in comune alcune caratteristiche
C1, C2, …, Cn
• Premessa attributiva: il caso x presenta
un’ulteriore caratteristica G
• Conclusione: anche il caso y presenta la
caratteristica G
Premesse analogiche
C1x & C2x & … & Cnx
C1y & C2y & … & Cny
Premessa attributiva
Gx
Conclusione
:. Gy
Esempi
• “Un’ape operaia x è stata chiusa in un
barattolo. Un’ape operaia y era stata
chiusa ieri in un barattolo ed oggi è morta.
Domani sarà morta anche l’ape x.”
• “Non correre così tanto quando vai in
automobile, potresti correre dei pericoli.”
“Ma figurati… Giuseppe ha il mio stesso
stile di guida, va anche lui sempre a 180
all’ora e non si è mai fatto un graffio!”
Analogia impropria
• Quando un ragionamento analogico è
fallace si parla di analogia impropria (o
falsa analogia)
• Di solito, la principale ragione alla base
della fallacia è il basso grado di pertinenza
della premessa analogica
– “Il buon governo della cosa pubblica può
essere assimilato a una buona gestione
aziendale. Infatti, come in un’azienda il
pareggio dei bilanci è un indice di gestione
sana, così i cittadini a consuntivo devono
ricevere quanto hanno investito”.
INFERENZE CAUSALI
Concetto di causa
• La causalità è definibile come relazione
tra due eventi, causa ed effetto, in cui
l’effetto è una conseguenza della causa (o
di un insieme di fattori-cause)
• Potremmo dire che A è causa di B solo se:
– A e B si sono verificati effettivamente
– A ha preceduto temporalmente B
– il verificarsi di A fa la differenza rispetto al
verificarsi di B
– si può escludere l’influenza di un altro evento C
che è causa sia di A che di B
Inferenze causali
• Non sempre (anzi quasi mai) ciò che
avviene è riconoscibile causalmente
• Un’inferenza causale mira a riconoscere la
causa di un certo effetto
• È una procedura complessivamente
induttiva, ma con due passaggi
1. passaggio induttivo (di solito basato
sull’analogia): formulazione di una lista di
possibili cause sospette
2. passaggio deduttivo (basato sul confronto di
casi): eliminazione per osservazione di cause
sospette dalla lista
Tipi di cause
• Causa necessaria (condizione
causalmente necessaria): C è una causa
necessaria per l’effetto E se è una
condizione in assenza della quale E non si
verifica mai
• Causa sufficiente (condizione
causalmente sufficiente): C è una causa
sufficiente per E se in presenza di C
l’evento E si verifica sempre
Tipi di cause (2)
• Causa necessaria e sufficiente: non c’è
causa senza effetto ed effetto senza causa
• Dipendenza causale di quantità variabili:
una quantità variabile B è causalmente
dipendente da una quantità variabile A se
al variare di A si produce sempre un
cambiamento corrispondente in B
Eventi e cause
• A=accensione del ventilatore, B=inserimento
della spina nella presa di corrente
• A=spegnimento del ventilatore, B=spegnimento
dell’interruttore generale della casa
• A=avvio allarme antincendio, B=uscita dall’aula
• A=innalzamento delle temperature terrestri,
B=scioglimento dei ghiacci polari
• A=aumento temperatura freezer,
B=scioglimento cubetti di ghiaccio
• A=aumento della legna nel camino acceso,
B=aumento della temperatura nella stanza
BnA
BsA
AsB
AdB
AnsB
AdB
Metodi di Mill
• Facilitano l’individuazione della causa reale
tramite eliminazione delle cause sospette
Metodo
accordo
differenza
congiunto
variazione
concomitante
Per eliminare
cause necessarie
cause sufficienti
cause necessarie e sufficienti
dipendenze causali
Fallacie causali
• Esistono diverse fallacie causali, ne
vediamo solo alcune che comportano
errori nell’identificazione delle cause reali
– falsa causa, ed una serie di sue varianti
– post hoc ergo propter hoc
– causa comune
– direzione sbagliata
– causa complessa
NOZIONI PROBABILISTICHE
Nozione di probabilità
• Dato un insieme di eventi, di cui un evento
A fa parte, con p(A) indichiamo la
probabilità che A accada (o che
l’asserzione A sia vera)
Interpretazioni per p
• p(A) può essere interpretata in modo
– Soggettivo, se p(A) misura il grado di credenza
di un agente razionale sul fatto che A accada
– Logico, quando p(A) misura a priori il contenuto
informativo in modo inversamente
proporzionale (A debole ha probabilità alta)
– Frequentista, se p(A) misura la frequenza con
cui A accade in relazione ad una certa classe
– Classico, se p(A) misura a priori, ma solo in
contesti finiti equiprobabili, l’incidenza dei casi
favorevoli rispetto
a quelli possibili
Esempi - probabilità
• Estrazione di una carta da un mazzo francese
(52 carte: ♠♥♦♣ semi; 1,2,…,10,J,Q,K per ogni seme)
– E2=“esce un due”, EC=“esce un cuori”,
E2C=“esce il due di cuori”, ecc.
– p(E2C)=
1/52=0.019
51/52=.981
– p(~E2C)=
– p(EA)=
4/52=.076
2/52=.038
– p(EACvEAQ)=
13/52=.25
– p(EC)=
– p(EAC&EAQ)=
0/52=0
– p(ECvEQvEFvEP)= 52/52=1
Calcolo delle probabilità
• È un sistema teorico che consiste di tre
assiomi e delle loro conseguenze deduttive
• Assiomi:
– p(A)≥0
– se A è un evento certo (ovvero una tautologia),
allora p(A)=1
– se A e B sono mutuamente esclusivi (ovvero il
presentarsi dell’uno esclude il presentarsi
dell’altro), allora p(AvB)=p(A)+p(B)
• Ne scaturiscono molte conseguenze…
Probabilità condizionale
• Con probabilità condizionale di A dato
B si intende la probabilità dell’asserzione A
data la verità dell’asserzione B, e si indica
con p(A|B)
• È anche (banalmente) il rapporto tra casi
favorevoli per A&B e casi favorevoli per B
FALLACIE PROBABILISTICHE
Ritardi e “Legge dei grandi numeri”
• “Il 24 non esce da 110 settimane. Dunque
me lo gioco, perché è più probabile che
esca alla prossima estrazione”
– Premesse implicite: a) i numeri sono
equiprobabili; b) un numero in ritardo dovrà
presto riallinearsi alle uscite degli altri numeri
– Legge dei grandi numeri (o legge empirica
del caso): le frequenze di uscita dei numeri
tendono al valore teorico se le estrazioni sono
infinite (non con un numero molto grande!)
– L’argomento è fallace: le probabilità non
cambiano perché gli eventi sono indipendenti!
Fallacia Montecarlo
• La fallacia Montecarlo (o dello
scommettitore) si commette quando dal
verificarsi (o dal non verificarsi) di una
serie di eventi di un tipo si inferisce come
più probabile che si presentino eventi di
tipo opposto e indipendenti
– È da tanto che x non si verifica
:. x si verificherà presto
• Una variante meno diffusa è:
– È da tanto che x non si verifica
:. x non si verificherà più
Esempio
• Lanciamo 6 volte un dado non truccato.
Quale sequenza è più probabile?
• sequenza 1
• sequenza 2
– Molti credono la 1. Invece sono sequenze
equiprobabili, come ogni altra sequenza di
lunghezza 6! È una fallacia Montecarlo
Esempio
• “La maggior parte degli extracomunitari
commette reati. Infatti la maggior parte dei
reati commessi in Italia è commessa da
extracomunitari.”
• Che dite?
Fallacia della prob. condizionale
• In generale p(A|B) e p(B|A) (si dicono
converse) sono distinte e non correlate
A
B
• La fallacia della probabilità
condizionale si commette quando si
argomenta usando la probabilità
condizionata conversa al posto di quella
pertinente
Esempio
• “La maggior parte degli extracomunitari
commette reati. Infatti la maggior parte dei
reati commessi in Italia è commessa da
extracomunitari.”
– (P1) La maggior parte dei reati commessi in Italia
è commessa da extracomunitari.
:. La maggior parte degli extracomunitari
commette reati.
– E=“azione di extracomunitari”, R=“reato”
(P1) p(E|R) è superiore al 50%
(C) si conclude che p(R|E) è superiore al 50%
– È una fallacia della probabilità condizionale!
LOGICA BAYESIANA
Teorema di Bayes
• Permette di calcolare una probabilità
condizionale a partire dalla conversa
• Se A1,A2,… An sono mutualmente esclusive
Esempio 1
• In Italia il 50% delle auto è del tipo X, il
20% è di colore bianco, ed il 25% delle X
è di colore bianco.
• Argomento: Io ho un’auto bianca. Dunque
è di tipo X.
– L’argomento è forte? Con che probabilità è di
tipo X?
– A=“è una X”, B=“è di colore bianco”
Esempio 3
Abbiamo una malattia contratta dall’1% della
popolazione.
Un test diagnostico dà risultato positivo nel 90% dei
malati e nel 5% dei non malati.
Valutiamo l’argomento (che dite?):
Il test diagnostico mi dà esito positivo.
:. Ho contratto la malattia.
In sintesi: risultato positivo
nel 90% dei malati (negativo
nel 10% dei malati) e nel
5% dei non malati (negativo
nel 95% dei non malati).
Esempio 3 (cont.) - calcolo
Siano M=”malato”,
P=“positivo al test”
Voglio conoscere p(M|P)
Dunque l’argomento è debole, perché la probabilità
di aver contratto la malattia è solo del 15.38%
Esempio 3 (cont.) - perché?
Supponiamo la popolazione sia composta da 100000
individui.
Malati: 1000
Malati positivi al test: 900
Non Malati: 99000
Non Malati positivi al test: 4950
Quanti sono i malati positivi rispetto a tutti i positivi?
900/(900+4950)=15.4%
Esempio 3 (cont.) - conclusioni
Valutiamo l’argomento:
Il test diagnostico mi dà esito negativo; dunque non
ho contratto la malattia.
Dobbiamo calcolare p(~M|~P)
L’argomento è forte!
Conclusione: fare attenzione a cosa si chiede (e
saper calcolare le probabilità)!
Conferma bayesiana
A ipotesi
B evidenza
Possiamo chiederci: quanto l’evidenza B conferma A?
Definizioni:
B conferma A se e solo se p(A|B)>p(A),
ovvero se e solo se p(B|A)/p(B)>1;
B disconferma A se e solo se p(A|B)<p(A),
ovvero se e solo se p(B|A)/p(B)<1;
B è neutrale rispetto ad A se e solo se p(A|B)=p(A),
ovvero se e solo se p(B|A)/p(B)=1.
Il grado di conferma dell’evidenza B all’ipotesi A è dato
da p(A|B)-p(A).
Holmes e Barbaglio d’argento
Gara: Barbaglio d’Argento è il favorito.
La sera precedente il cavallo viene rapito.
Il fantino viene ritrovato
morto. Per la polizia è stato il
ragazzo sconosciuto che quella
stessa sera ha litigato col boss.
Iniziano le indagini di S.H.
-”C’è qualche altro punto su
cui lei ritiene opportuno
attrarre la mia attenzione?”
-”Sì, sullo strano incidente del cane,
quella notte.”
-”Ma, quella notte, il cane non ha fatto nulla.”
-”Questo appunto è l’incidente curioso.”
Holmes e Barbaglio d’argento (cont.)
Argomentazione della Polizia:
Un cavallo rapito e un fantino ucciso.
Un ragazzo sconosciuto aveva litigato la sera prima
con il boss.
:. È stato il ragazzo sconosciuto.
Argomentazione di Sherlock Holmes:
Un cavallo rapito e un fantino ucciso.
Un ragazzo sconosciuto aveva litigato la sera prima
con il boss.
Il cane a guardia non ha abbaiato.
:. Non è stato uno sconosciuto.
Holmes e Barbaglio d’argento (cont.)
H=“c’è uno sconosciuto” (ipotesi)
E=“il cane non abbaia” (evidenza)
Per S.H.: p(H|E)<p(H). Ok?
(ovvero p(E|H)<p(E))
– Dunque E disconferma l’ipotesi H.
Invece p(H|~E)>p(H). Ok?
(ovvero p(~E|H)>p(~E))
– Cioè solo ~E confermerebbe l’ipotesi H.
Conclusione. L’evidenza E rende meno probabile
H, dunque aumenta la probabilità di ~H.
Invece ~E avrebbe confermato l’ipotesi H.
Modelli di conferma
• Modello fondamentale (o sillogismo
euristico)
H→E
E
:. H è più credibile
• Se rimaniamo ancorati alla logica
deduttiva ciò sarebbe fallace, ma in
un’ottica induttiva si tratta di un
ragionamento plausibile
Altri modelli
• Modello della conseguenza
improbabile
La conseguenza E di H (H→E) è molto
improbabile
E si è verificata
:. H è molto più credibile
• Modello della conseguenza probabile
La conseguenza E di H (H→E) è molto
probabile
E si è verificata
:. H è di poco più credibile
Il Dilemma Monty Hall
• Siamo in un gioco a premi, con 3 scatole
chiuse: 2 vuote e 1 con monete d’oro.
• Scegliamo una scatola.
• Il conduttore del gioco, che sa
cosa si nasconde dentro ciascuna
scatola, ne apre una mostrando che è vuota. Poi
dice: ”Se vuoi, puoi cambiare scatola.”
• Per prendere una decisione valutiamo:
(P) Adesso abbiamo due scatole ed una è vuota.
:. La probabilità che le monete d’oro siano nella mia
scatola è del 50%.
:. Con ogni scelta ho la stessa probabilità di vincere
Il Dilemma Monty Hall (cont.)
S1M=“scatola 1 con monete”, S1V=“scatola 1 vuota”, …
1
2
Scelgo la scatola 1. Le p(S1M ) = = .33 p(S1V ) = = .67
3
3
probabilità iniziali sono
Viene aperta la scatola 2 che è vuota. Le probabilità
1
adesso sono p(S | S ) = 1 = .5
p(S1V | S2V ) = = .5
1M
2V
Dunque
p(S1M
2
2
| S2V ) = .5 > p(S1M ) = .33 p(S1V | S2V ) < p(S1V )
Ma… questa conferma è stata “forzata” dal
presentatore: la sua azione non dovrebbe alterare le
probabilità iniziali!
Dunque l’argomento è debole: si tratta di una fallacia
dell’evidenza soppressa (ho a scelto a caso fra 3 scatole)!
GIOCHI EQUI
A che gioco giochereste?
Coppa del mondo ITALIA-­‐BRASILE ITALIA 3.30 X 3.30 BRASILE 3.30 Proposta di gioco
Valutiamo l’argomento:
(P1) Ho una probabilità bassa di vincere
(P2) Il costo della puntata è relativamente
basso rispetto alle mie disponibilità
economiche (ovvero, posso decidere che
somma giocare)
(P3) Se indovino le somme che si vincono
sono abbastanza alte
:. Mi conviene giocare
Riviste specializzate
• “Previsioni super
studiate!”
• “Con LottoPiù si vince alla
grande!”
• “Gli ambi secchi più e
meno vincenti a maggio”
• “3 numeri che stanno
vincendo sempre di
martedì”
• “Nuova eccezionale
vincita…”
• Mediavideo pag. 621-622
Gioco equo
• Ricordiamo che la media (o valore atteso) è la
somma delle uscite (positive e negative) moltiplicate
per le rispettive probabilità
• Il valore atteso di un gioco è la media tra uscite
positive (vincenti) e negative (perdenti) moltiplicate
per le loro probabilità
• Un gioco è equo se il valore atteso è zero, cioè se le
somme che si vincono/perdono sono bilanciate
rispetto alle probabilità di vincere/perdere.
• Se un gioco non è equo, può essere favorevole
(valore atteso>0) o in perdita (valore atteso <0)
• Giocando all’infinito, un gioco in perdita (risp.
favorevole) produce perdite (risp. vincite) sicure
Esempi
Lancio moneta equa: p(C)=.5, p(T)=.5
Indovinando si vince 1 €, altrimenti si perde 1 €
– V=.51+.5(-1)=0 dunque il gioco è equo
Stesso gioco, ma indovinando si vince 1 €,
altrimenti si perdono 2 €
– V=.51+.5(-2)=-.5 dunque il gioco non è equo, ma
è in perdita
Lancio moneta non equa: p(C)=.8, p(T)=.2
la giocata costa 1 €. Quanto dovrei vincere “in
modo equo” puntando su T?
– VT=.8(-1) +.2(x)=0 da cui x=4 €
SuperEnalotto
• Il gioco precedente è un’approssimazione del
SuperEnalotto, in cui il montepremi cambia di volta
in volta: è il 34.648% della raccolta
– Di cui il 20% ai “6”, 20% ai “5+”, 15% ai “5”, 15% ai “4”,
30% ai “3”; in assenza di “6″ o “5+” il montepremi
relativo incrementa il montepremi successivo
• Esempio: immaginiamo banco e un solo giocatore
(tutti giocatori sono in società). Il giocatore fa una
serie di puntate su alcuni numeri
premio
vincita
per complessivi € 100. Le sue
6
6.9296
5+
6.9296
vincite sono divise in questo modo
5
5.1972
• Margine del banco in questo gioco
4
5.1972
3
10.3944
collettivo: 65.452%
MONTEPR. 34.648
SuperEnalotto – estraz. del 21/3/15
Ma considerando individualmente ogni singola giocata,
visto che le somme sono da dividere tra i giocatori vincenti
(tutti i “3” dividono un montepremi loro destinato, ecc.),
abbiamo (dati dall’estrazione del 21/03/2015):
Premio
vincitori
vincita
vincita equa
margine
del banco
individuale
6
1
5+
0
5
32
4
2206
3
62113
9,577,624.44 €
310,328,077.50 €
96.91%
7,780.84 €
615,730.31 €
98.74%
114.08 €
5,934.75 €
98.08%
7.57 €
162.84 €
95.35%
Conclusione. Su ogni singola giocata il banco ha un
margine molto alto, che aumenta all’aumentare del
numero dei vincitori
Il gioco del Lotto
Facciamo una giocata di 5 numeri
A tutto ciò, per vincite superiori a € 500, va aggiunta
una trattenuta diretta del 6% sulla parte eccedente gli
€ 500.
La roulette francese
Scommesse sportive
Coppa del mondo • Nelle scommesse sportive
ITALIA-­‐BRASILE vengono indicate le somme
ITALIA 2.95 X 3.20 BRASILE 2.50 lorde corrisposte
• Il gioco è equo? Oppure, qual è il profitto del
gestore?
Vincita lorda
Per vincere 100 € occorre
giocare G1=100/V1
Probabilità di uscita stimata
P1=(G1x100)/(Somma delle G)
V
1
X
2
2.95
3.20
2.50
G 33.90 € 31.25 €
40 €
P 32.24% 29.72% 38.04%
Vincita se il gioco fosse equo
E
3.10
3.36
2.63
Margine del gestore M1=1-V1/E1
M
4.8%
4.8%
4.9%
E il Gratta e Vinci?
Vediamo l’Asso
Pigliatutto
Costo biglie9o: 3 € Vincita possibile 200,000 € Informazioni pubbliche: hDp://www.loDomaGcaitalia.it/
graDaevinci/classico/premi.html Asso Pigliatutto
• Primo lotto biglietti: Nr. 33,600,000
Massa premi: € 67,344,000
– Lo Stato incassa 100.8 mln,
ne distribuisce 67.3 mln
• “Solo” 1 biglietto su 3,68 è vincente
• In generale:
–
–
–
–
–
–
–
–
61.14% perdi 3 € (oltre 20 mln di biglietti)
17.96% torni in pari (oltre 6 mln di biglietti)
16.71% vinci 5 € (vincita netta di 2€)
3.12% vinci 10 € (vincita netta 7 €)
.9% vinci 20 € (vincita netta 17 €)
… vincite di 30 €, 100 €, 200 €, 500 €, 1000 €
.00007% vinci 10,000 € (24 biglietti su 33,6 mln);
.00001% vinci 200,000 € (4 biglietti su 33,6 mln)
61.14%
79.10%
95.81%
98.93%
99.80%
Conclusioni “Asso Pigliatutto”
• Il gioco
è equo?
vincita 0 3 5 neDa -­‐3 0 2 % 61.14 17.96 16.71 10000 200000 … 9997 199997 .00007 .00001 – E(X)=(-3*.6114) + (0*.1796) + (2*.1671) . . . =-.996
• Se consideriamo anche la tassazione (6% per
vincite eccedenti i 500 €), il valore atteso
diventa -1.006
– Dunque, anche se acquistassimo tutti i biglietti, per
ogni biglietto avremmo una perdita di 1.006 €, ovvero
per avere un gioco equo dovremmo pagare per ogni
biglietto “solo” € 1.994
Differenze
Margine banco
Lotto
Margine banco
Asso pigliatutto
Margine banco
Roulette
37%
(medio) 33.23%
2.77%
37%
62%
76%
86%
Margine banco
scom. sportive
Margine banco
SuperEnalotto
(totale) 65,35%
(individ.) anche
>90%
2.85%
2.94%
3.03%
3.28%
3.84%
4.76%
(medio) 5-10%
Conclusione. Tra quelli esaminati, il gioco che è meno in
perdita è la Roulette francese, seguita dalle scommesse
sportive, e in nessun caso il gioco è equo (vedi margine).
Dunque…
L’argomentazione seguente è buona:
Nei giochi d’azzardo con il banco, tipo Gratta e Vinci, Lotto
e SuperEnalotto, una parte della somma giocata è
trattenuta dal banco stesso per costi di gestione e
guadagno (erario e tutta la filiera dei giochi). Dunque non
conviene giocare.
Ma anche l’argomentazione seguente è buona:
La massa di giocatori che gioca al Gratta e Vinci, al Lotto e
al SuperEnalotto, garantisce un gettito erariale
significativo, con entrate annue intorno agli 8 mld di Euro
negli ultimi anni. Dunque, se non ci fossero i giochi
d’azzardo di Stato e una massa così grande di giocatori,
occorrerebbe o tagliare ulteriori spese o sostituire il gettito
con altre forme, ad esempio con altre tasse ed imposte a
carico della collettività.
Per casa
• Leggere
– Varzi, par. 8.4, cap. 9 e 10
– Paoli, cap. 6 e 12
– Dispense gioco equo e conferma bayesiana
• Esercizi sul Varzi
• E poi (non prima!), esercizi online
