Calcolo delle probabilità e
ragionamento bayesiano
Unit 6, lez 4-6 – Corso di Logica
Sommario
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Nozioni probabilistiche
Probabilità condizionata
Ragionamento bayesiano
Applicazioni a giochi e giochi equi
Nozione di probabilità
• Dato un insieme di eventi, di cui un evento
A fa parte, con p(A) indichiamo la
probabilità che A accada (o che
l’asserzione A sia vera)
Interpretazioni per p
• p(A) può essere interpretata in modo
– Soggettivo, se p(A) misura il grado di credenza
di un agente razionale sul fatto che A accada
– Logico, quando p(A) misura a priori il contenuto
informativo in modo inversamente
proporzionale (A debole ha probabilità alta)
– Frequentista, se p(A) misura la frequenza con
cui A accade in relazione ad una certa classe
– Classico, se p(A) misura a priori, ma solo in
contesti finiti equiprobabili, l’incidenza dei casi
favorevoli rispetto
a quelli possibili
Esempi - probabilità
• Estrazione di una carta da un mazzo francese
(52 carte: ♠♥♦♣ semi; 1,2,…,10,J,Q,K per ogni seme)
– E2=“esce un due”, EC=“esce un cuori”,
E2C=“esce il due di cuori”, ecc.
– p(E2C)=
1/52=0.019
51/52=.981
– p(~E2C)=
– p(EA)=
4/52=.076
2/52=.038
– p(EACvEAQ)=
13/52=.25
– p(EC)=
Esempi - probabilità
• Estrazione di una carta da un mazzo francese
(52 carte: ♠♥♦♣ semi; 1,2,…,10,J,Q,K per ogni seme)
– p(E6)=
4/52=.076
– p(E6vEK)=
8/52=.152
– p(~E6vEK)=
48/52=.924
– p(EACvE3QvE9F)= 3/52=.057
– p((EAvE3)&EC)= 2/52=.38
– p(EAC&EAQ)=
0/52=0
– p(ECvEQvEFvEP)= 52/52=1
Calcolo delle probabilità
• È un sistema teorico che consiste di tre
assiomi e delle loro conseguenze deduttive
• Assiomi:
– p(A)≥0
– se A è un evento certo (ovvero una tautologia),
allora p(A)=1
– se A e B sono mutuamente esclusivi (ovvero il
presentarsi dell’uno esclude il presentarsi
dell’altro), allora p(AvB)=p(A)+p(B)
Prime conseguenze
• Se A è contraddittoria, p(A)=0
– p(EAC&~EAC)=0
• Per qualunque A, 0≤p(A)≤1
• p(A)=1-p(~A)
– p(E5F)=1-p(~E5F)=1-51/52=1/52
• Se A e B sono verofunzionalmente
equivalenti, p(A)=p(B)
– da cui possono derivarsi molte conseguenze,
ad es. p(A→B)=1-p(A&~B)
• Dimostrazione: A→B equivalente a ~(A&~B), perciò
p(A→B)=p(~(A&~B))=1-p(A&~B)
Prime conseguenze teoriche
• Per qualunque A e B
p(AvB)=p(A)+p(B)-p(A&B)
– p(E5)=4/52, p(EC)=13/52, p(E5&EC)=1/52
p(E5vEC)=4/52+13/52-1/52=16/52
A
• p(A&B)≤p(A), p(A&B)≤p(B)
B
Chi è Bill?
Bill ha 34 anni. E’ intelligente ma senza
immaginazione, ossessivo e senza vita sociale.
A scuola era bravo in matematica ma non era
portato negli studi umanistici e sociali.
Assegnare un ordine probabilistico:
a) Bill è un fisico che gioca a poker per hobby.
b) Bill è un architetto.
c) Bill è un ragioniere.
d) Bill suona il jazz per hobby.
e) Bill è un ragioniere che suona il jazz per hobby.
f) Bill scala le montagne per hobby.
Fallacia di congiunzione
Bill è un ragioniere = R Bill suona il jazz per hobby = J • Dunque p(R&J)≤p(R), p(R&J)≤p(J),
• Quando si conclude l’opposto si commette una
tipica fallacia di congiunzione, ovvero si assume
che una congiunzione è più probabile di uno dei
suoi congiunti
Altre conseguenze
• Se p(A)=p(B)=0 allora p(AvB)=0
• Se p(A)=1 allora p(A&B)=p(B)
• Se A è conseguenza logica di B
(cioè se p(B→A)=1)
allora p(A&B)=p(B)
– Essendo E5C⊢E5 (ovvero ⊢ E5C→E5 )
p(E5&E5C)=p(E5C)=1/52
Probabilità condizionale
• Con probabilità condizionale di A dato
B si intende la probabilità dell’asserzione A
data la verità dell’asserzione B, e si indica
con p(A|B)
• È anche (banalmente) il rapporto tra casi
favorevoli per A&B e casi favorevoli per B
Esempi – prob. condizionali
• Estrazione di una carta da un mazzo francese
(52 carte: ♠♥♦♣ semi; 1,2,…,10,J,Q,K per ogni seme)
– E2=“esce un due”, EC=“esce un cuori”,
E2C=“esce il due di cuori”, ecc.
– p(E2C|E2)=
1/4=.25
1/13=.981
– p(E7C|EC)=
– p(EAQ|~E2C)= 1/51=.076
0/13=.038
– p(E7C|EQ)=
1/1=1
– p(EA|EAC)=
– p(EACvE2C|(ECvEF)&E<6)= 2/10=.2
Conseguenze
• p(A|A)=1
– p(E5F|E5F)=1
• p(~A|A)=0
– p(~E4F|E4F)=0
• Se B è certa (tautologica), p(A|B)=p(A)
• Se A e B sono verofunzionalmente
equivalenti, allora
p(A|C)=p(B|C) e p(C|A)=p(C|B)
Conseguenze
• p(A&B)=p(A|B)p(B)
– Essendo EF&E5=E5F si ha p(EF&E5)=1/52
con questa relazione invece
p(EF&E5)=p(EF|E5)p(E5)=(1/4)(4/52)=1/52
• p(A1&A2&B)=p(A1&A2|B)p(B)
Altre conseguenze
• Se A e B sono indipendenti, allora
p(A&B)=p(A)p(B)
– In quanto p(A|B)=p(A)
• p(~A|B)=1-p(A|B)
– p(~E7|EQ) =1-p(E7|EQ)=1-1/13=12/13
• p(AvB|C)=p(A|C)+p(B|C)-p(A&B|C)
– p(E6vE7|EQ)=p(E6|EQ)+p(E7|EQ)-p(E6&E7|EQ)=
=1/13+1/13-0/13=2/13
• E molte altre ancora…
FALLACIE PROBABILISTICHE
Guardate un po’…
Numeri più frequenti
Numeri meno frequenti
Numeri ritardatari
Fonte: www.superenalotto.com
Data:27/04/2015
Ritardi e “Legge dei grandi numeri”
• “Il 24 non esce da 110 settimane. Dunque
me lo gioco, perché è più probabile che
esca alla prossima estrazione”
– Premesse implicite: a) i numeri sono
equiprobabili; b) un numero in ritardo dovrà
presto riallinearsi alle uscite degli altri numeri
– Legge dei grandi numeri (o legge empirica
del caso): le frequenze di uscita dei numeri
tendono al valore teorico se le estrazioni sono
infinite (non con un numero molto grande!)
– L’argomento è fallace: le probabilità non
cambiano perché gli eventi sono indipendenti!
Fallacia Montecarlo
• La fallacia Montecarlo (o dello
scommettitore) si commette quando dal
verificarsi (o dal non verificarsi) di una
serie di eventi di un tipo si inferisce come
più probabile che si presentino eventi di
tipo opposto e indipendenti
– È da tanto che x non si verifica
:. x si verificherà presto
• Una variante meno diffusa è:
– È da tanto che x non si verifica
:. x non si verificherà più
Esempi
• “Il 29 è sempre uscito nelle ultime due
settimane. Stavolta non uscirà.”
– Fallacia Montecarlo: sono eventi indipendenti.
• “Nell’ultimo mese è piovuto tutte le
domeniche. La prossima domenica non
pioverà.”
– Fallacia Montecarlo: si possono considerare
eventi indipendenti.
Esempio
• Lanciamo 6 volte un dado non truccato.
Quale sequenza è più probabile?
• sequenza 1
• sequenza 2
– Molti credono la 1. Invece sono sequenze
equiprobabili, come ogni altra sequenza di
lunghezza 6! È una fallacia Montecarlo
Esempio crimini - introduzione
• “La maggior parte degli extracomunitari è
delinquente. Infatti la maggior parte dei
reati commessi in Italia è commessa da
extracomunitari.”
• Che ne pensate? Com’è la probabilità
induttiva?
Osservazione
• In generale p(A|B) e p(B|A) (si dicono
converse) sono distinte e non correlate
– Esempio: estrazione nel gioco del Lotto
(numeri da 1 a 90). Consideriamo
A=“numero pari” e B=“numero <=10”
– p(A)=45/90=.5; p(B)=10/90=.11;
p(A&B)=5/90=.055
– p(A|B)=.055/.11=.5
p(B|A)=.055/.5=.11
Esempio crimini – cont.
• “La maggior parte degli extracomunitari è
delinquente. Infatti la maggior parte dei reati
commessi in Italia è commessa da
extracomunitari.”
– (P1) La maggior parte dei reati commessi in Italia
è commessa da extracomunitari.
:. La maggior parte degli extracomunitari è
delinquente.
– E=“extracomunitari”, D=“atto delinquenziale”
(P1) p(E|D) è superiore al 50%
(C) si conclude che p(D|E) è superiore al 50%
– È un ragionamento fallace
Fallacia della prob. condizionale
• La fallacia della probabilità
condizionale si commette quando si
argomenta usando la probabilità
condizionata conversa al posto di quella
pertinente (cioè p(A|B) al posto di p(B|A),
o viceversa)
Altre insidie probabilistiche
Abbiamo 3 scatole chiuse e non trasparenti, ciascuna
contenente 2 palline: una ne contiene due d'oro, una
due d'argento, e l'ultima una d'oro e una d'argento.
Scegliamo una scatola a caso e prendiamo una
pallina a caso da quella scatola.
• Dato questo contesto, valutiamo l’argomento:
E’ stata estratta una pallina d’oro.
:. La probabilità che la stessa scatola contenga
un’altra pallina d’oro è 1/2.
Altre insidie probabilistiche (cont.)
In altri termini: se ho estratto una pallina
d’oro, la probabilità che la seconda pallina
della stessa scatola sia d’oro è il 67%.
Dunque l’argomento precedente è fallace.
Altre insidie probabilistiche (cont.)
Problema analogo: scegliamo una scatola a caso,
prendiamo una pallina a caso e risulta essere d'oro.
Pescando un'altra pallina dalla stessa scatola, qual è
la probabilità che sia ancora d'oro?
• Valutiamo l’argomento:
E’ stata estratta una pallina d’oro.
:. La probabilità che dalla stessa scatola si
estragga un’altra pallina d’oro è 1/2.
• È fallace: la probabilità è 5/6=.83
LOGICA BAYESIANA
Teorema di Bayes
• Permette di calcolare una probabilità
condizionale a partire dalla conversa
• Se A1,A2,… An sono mutualmente esclusive
Esempio 1
• In Italia il 50% delle auto è del tipo X, il
20% delle auto è di colore bianco, ed il
25% delle X è di colore bianco.
• Argomento: Io ho un’auto bianca. Dunque
è di tipo X.
– L’argomento è forte? Con che probabilità è di
tipo X?
– A=“è una X”, B=“è di colore bianco”
Perché?
• In Italia il 50% delle auto è del tipo X, il
20% delle auto è di colore bianco, ed il
25% delle X è di colore bianco.
• Supponiamo che le auto siano
complessivamente 200, allora:
– Le auto X sono il 50%, ovvero 100
– Le auto X bianche sono il 25% di 100, cioè 25
– Le auto bianche sono il 20% di 200, cioè 40
– Dunque, data un’auto bianca (in totale sono
40), la probabilità che sia una X è data da
25/40=0.625
Esempio 2
• Tre macchine A, B e C producono il 25%, il 35%,
ed il 40% delle lampadine totali. Vengono prodotte
anche lampadine difettose con percentuali: il 5%
per A, il 15% per B, il 12% per C.
• Argomento:
Ho una lampadina difettosa. Date tali probabilità, la
lampadina è stata prodotta da A.
– Qual è la probabilità che sia stata prodotta da A?
• A=“prodotta da A”, B=“prodotta da B”,
C=“prodotta da C”, D=“difettosa”
– Noi dobbiamo calcolare p(A|D)
– p(A)=.25; p(B)=.35; p(C)=.4
– p(D|A)=.05; p(D|B)=.15; p(D|C)=.12
Esempio 2 (cont.) - calcolo
p(A)=.25; p(B)=.35; p(C)=.4
p(D|A)=.05; p(D|B)=.15; p(D|C)=.12
p(A)p(D | A)
p(A | D) =
=
p(A)p(D | A) + p(B)p(D | B) + p(C)p(D | C)
.25⋅.05
=
= .11
.25⋅.05 +.35⋅.15 +.4 ⋅.12
• Dunque abbiamo l’11% che sia sta prodotta da A:
l’argomento è debole.
• Ugualmente possiamo calcolare p(B|D)=...=.46
e p(C|D)=...=.42
Esempio 3
• Abbiamo una malattia
contratta da 1% della
popolazione.
• Un test diagnostico dà
risultato positivo nel 90%
dei malati e nel 5% dei non malati.
• Argomento da valutare:
La malattia è contratta da 1% della popolazione.
Il test diagnostico dà risultato positivo nel 90%
dei malati e nel 5% dei non malati.
Il test diagnostico mi dà esito positivo.
:. Ho contratto la malattia.
Esempio 3 (cont.) - calcolo
Siano M=”malato”,
P=“positivo al test”
Voglio conoscere p(M|P)
Dunque l’argomento è debole, perché la probabilità
di aver contratto la malattia è solo del 15.38%
Esempio 3 (cont.) - perché?
Supponiamo la popolazione sia composta da 100000
individui.
Malati: 1000
Malati positivi al test: 900
Non Malati: 99000
Non Malati positivi al test: 4950
Quanti sono i malati positivi rispetto a tutti i positivi?
900/(900+4950)=15.4%
Esempio 3 (cont.) - conclusioni
Valutiamo invece l’argomento:
Il test diagnostico mi dà esito negativo; […]
:. Non ho contratto la malattia.
Dobbiamo calcolare p(~M|~P)
L’argomento è forte! (fare attenzione a cosa si
chiede!)
Conferma bayesiana
A ipotesi
B evidenza
Possiamo chiederci: quanto l’evidenza B conferma A?
Definizioni:
B conferma A se e solo se p(A|B)>p(A),
ovvero se e solo se p(B|A)>p(B);
B disconferma A se e solo se p(A|B)<p(A),
ovvero se e solo se p(B|A)<p(B);
B è neutrale rispetto ad A se e solo se p(A|B)=p(A),
ovvero se e solo se p(B|A)=p(B).
Il grado di conferma dell’evidenza B all’ipotesi A è dato
da p(A|B)-p(A).
Holmes e Barbaglio d’argento
Gara: Barbaglio d’Argento è il favorito.
La sera precedente il cavallo viene rapito.
Il fantino viene ritrovato
morto. Per la polizia è stato il
ragazzo sconosciuto che quella
stessa sera ha litigato col boss.
Iniziano le indagini di S.H.
-”C’è qualche altro punto su
cui lei ritiene opportuno
attrarre la mia attenzione?”
-”Sì, sullo strano incidente del cane,
quella notte.”
-”Ma, quella notte, il cane non ha fatto nulla.”
-”Questo appunto è l’incidente curioso.”
Holmes e Barbaglio d’argento (cont.)
Argomentazione della Polizia:
Un cavallo rapito e un fantino ucciso.
Un ragazzo sconosciuto aveva litigato la sera prima
con il boss.
:. È stato il ragazzo sconosciuto.
Argomentazione di Sherlock Holmes:
Un cavallo rapito e un fantino ucciso.
Un ragazzo sconosciuto aveva litigato la sera prima
con il boss.
Il cane a guardia non ha abbaiato.
:. Non è stato uno sconosciuto.
Holmes e Barbaglio d’argento (cont.)
H=“c’è uno sconosciuto” (ipotesi)
E=“il cane non abbaia” (evidenza)
Per S.H.: p(H|E)<p(H). Ok?
(ovvero p(E|H)<p(E))
– Dunque E disconferma l’ipotesi H.
Invece p(H|~E)>p(H). Ok?
(ovvero p(~E|H)>p(~E))
– Cioè solo ~E confermerebbe l’ipotesi H.
Conclusione. L’evidenza E rende meno probabile
H, dunque aumenta la probabilità di ~H.
Invece ~E avrebbe confermato l’ipotesi H.
Il nome della rosa
Video
Cimitero innevato. C’è della terra rimossa vicino ad
una croce. Frate Guglielmo: “E’ morto qualcuno di
recente?”
R=“terra rimossa vicino alla croce”, M=“c’è un morto”
Secondo Fr. Guglielmo p(M|R)>p(M). R conferma M?
Ora p(R|M)>p(R) dunque
R conferma M
Invece p(~R|M)<p(~R) dunque
~R disconfermerebbe M
Perciò, dato R, la nostra credenza in M aumenta. Ma
se fosse stato ~R, la credenza in M sarebbe
diminuita, anche se di poco
Modelli di conferma
• Modello fondamentale (o sillogismo
euristico)
H→E
E
:. H è più credibile
• Se rimaniamo ancorati alla logica
deduttiva ciò sarebbe fallace, ma in
un’ottica induttiva si tratta di un
ragionamento plausibile
Altri modelli
• Modello della conseguenza
improbabile
La conseguenza E di H (H→E) è molto
improbabile
E si è verificata
:. H è molto più credibile
• Modello della conseguenza probabile
La conseguenza E di H (H→E) è molto
probabile
E si è verificata
:. H è di poco più credibile
Il Dilemma Monty Hall
• Siamo in un gioco a premi, con 3 scatole
chiuse: 2 vuote e 1 con monete d’oro.
• Scegliamo una scatola.
• Il conduttore del gioco, che sa
cosa si nasconde dentro ciascuna
scatola, ne apre una mostrando che è vuota. Poi
dice: ”Se vuoi, puoi cambiare scatola.”
• Per prendere una decisione valutiamo:
(P) Adesso abbiamo due scatole ed una è vuota.
:. La probabilità che le monete d’oro siano nella mia
scatola è del 50%.
:. Con ogni scelta ho la stessa probabilità di vincere
Il Dilemma Monty Hall (cont.)
S1M=“scatola 1 con monete”, S1V=“scatola 1 vuota”, …
1
2
Scelgo la scatola 1. Le p(S1M ) = = .33 p(S1V ) = = .67
3
3
probabilità iniziali sono
Viene aperta la scatola 2 che è vuota. Le probabilità
1
adesso sono p(S | S ) = 1 = .5
p(S1V | S2V ) = = .5
1M
2V
Dunque
p(S1M
2
2
| S2V ) = .5 > p(S1M ) = .33 p(S1V | S2V ) < p(S1V )
Ma… questa conferma è stata “forzata” dal
presentatore: la sua azione non dovrebbe alterare le
probabilità iniziali!
Dunque l’argomento è debole: si tratta di una fallacia
dell’evidenza soppressa (ho scelto a caso fra 3 scatole)!
Non vi ho convinto? Simuliamo…
Scelta
Eliminazione
Cambio
Fate il vostro gioco…
Siamo ad un gioco a premi con dieci scatole. Dentro una scatola
ci sono monete d’oro, le altre sono vuote.
Prendiamo 2 scatole, su invito del conduttore.
Il conduttore del gioco, che conosce il contenuto di ciascuna
scatola, ne apre sette mostrando che sono vuote. Rimangono 3
scatole: 1 al conduttore, 2 a noi.
Poi ci domanda: "Vorresti cambiare le tue due scatole con la
scatola che rimane?”
Per prendere una decisione valutiamo:
(P) Abbiamo due scatole sulle tre rimaste.
:. La probabilità che le monete d’oro siano nella mia scatola è
del 67% circa (2 su 3).
:. Non mi conviene cambiare
Fate il vostro gioco… (cont.)
• È una variante del Monty Hall.
• Con le prime due scelte (supponiamo le scatole 1 e
2) abbiamo probabilità di vincere p(E1MvE2M)=.2
• Dopo aver eliminato 7 scatole vuote (ad es. dalla 4
alla 10) abbiamo p(E1MvE2M|E4V&E5V&…&E10V)=.67
• Sembra che lo scambio sia sconveniente
considerando le 3 scatole rimanenti, ma così stiamo
eliminando informazioni fondamentali
• Invece conviene cambiare: aumentiamo la
probabilità di vincere, passando dal 20% all’80%
GIOCHI EQUI
A che gioco giochereste?
Coppa del mondo ITALIA-­‐BRASILE ITALIA 3.30 X 3.30 BRASILE 3.30 Riviste specializzate
• “Previsioni super
studiate!”
• “Con LottoPiù si vince alla
grande!”
• “Gli ambi secchi più e
meno vincenti a maggio”
• “3 numeri che stanno
vincendo sempre di
martedì”
• “Nuova eccezionale
vincita…”
• Mediavideo pag. 621-622
Proposta di gioco
Valutiamo l’argomento:
(P1) Ho una probabilità bassa di vincere
(P2) Il costo della puntata è relativamente
basso rispetto alle mie disponibilità
economiche
(P3) Se indovino le somme che si vincono
sono abbastanza alte
:. Mi conviene giocare
Gioco equo
• Ricordiamo che la media (o valore atteso) è la
somma delle uscite (positive e negative) moltiplicate
per le rispettive probabilità
• Il valore atteso di un gioco è la media tra uscite
positive (vincenti) e negative (perdenti) moltiplicate
per le loro probabilità
• Un gioco è equo se il valore atteso è zero, cioè se le
somme che si vincono/perdono sono bilanciate
rispetto alle probabilità di vincere/perdere.
• Se un gioco non è equo, può essere favorevole
(valore atteso>0) o in perdita (valore atteso <0)
• Giocando all’infinito, un gioco in perdita (risp.
favorevole) produce perdite (risp. vincite) sicure
Esempi
Lancio moneta equa: p(C)=.5, p(T)=.5
Indovinando si vince 1 €, altrimenti si perde 1 €
– V=.51+.5(-1)=0 dunque il gioco è equo
Stesso gioco, ma indovinando si vince 1 €,
altrimenti si perdono 2 €
– V=.51+.5(-2)=-.5 dunque il gioco non è equo, ma
è in perdita
Lancio moneta non equa: p(C)=.8, p(T)=.2
la giocata costa 1 €. Quanto dovrei vincere “in
modo equo” puntando su T?
– VT=.8(-1) +.2(x)=0 da cui x=4 €
Esempio 1
Prendiamo i numeri da 1 a 90. Potete scegliere 6
numeri: se non ne indovinate almeno 3 perdete 0.50 €,
altrimenti vincete le somme a seguire.
Ci conviene giocare?
Fonte: www.superenalotto.com - Data: 27/04/2015
Esempio 1 (cont.)
• Scegliamo 6 numeri e denotiamo
I<3=“meno di 3 numeri esatti”,
I6=“esattamente 6 num. esatti”, I5, I4, I3;
• p(I6)=.00000000160613
vincendo S6
• p(I5)=.000000809489
vincendo S5
• p(I4)=.0000839845
vincendo S4
• p(I3)=.003060769
vincendo S3
• V=p(I<3)(-.5)+p(I6)S6+p(I5)S5+
+p(I4)S4+p(I3)S3
Esempio 1 (cont.)
Consideriamo le vincite medie al SuperEnalotto
p(Ia)
a=6
a=5
a=4
a=3
a<3
.0000000016061
.0000008094895
.0000839845347
.0030607697092
.996854435
val. atteso
Vincita media
31257532 €
49256 €
398.78 €
16.13 €
-.5 €
-.314
Il gioco con queste vincite è in perdita: dunque
l’argomento è debole.
Per essere equo, in questo gioco ogni colonna
dovrebbe costare “solo” 18.5 centesimi.
SuperEnalotto
• Il gioco precedente è un’approssimazione del
SuperEnalotto, in cui il montepremi cambia di volta
in volta: è il 34.648% della raccolta
– Di cui il 20% ai “6”, 20% ai “5+”, 15% ai “5”, 15% ai “4”,
30% ai “3”; in assenza di “6″ o “5+” il montepremi
relativo incrementa il montepremi successivo
• Esempio: immaginiamo banco e un solo giocatore
(tutti giocatori sono in società). Il giocatore fa una
serie di puntate su alcuni numeri
premio
vincita
per complessivi € 100. Le sue
6
6.9296
5+
6.9296
vincite sono divise in questo modo
5
5.1972
• Margine del banco in questo gioco
4
5.1972
3
10.3944
collettivo: 65.452%
MONTEPR. 34.648
SuperEnalotto – estraz. del 21/3/15
Ma considerando individualmente ogni singola giocata,
visto che le somme sono da dividere tra i giocatori vincenti
(tutti i “3” dividono un montepremi loro destinato, ecc.),
abbiamo (dati dall’estrazione del 21/03/2015):
premio
vincitori
vincita
vincita equa
margine
del banco
individuale
6
1
5+
0
5
32
4
2206
3
62113
9,577,624.44 €
310,328,077.50 €
96.91%
7,780.84 €
615,730.31 €
98.74%
114.08 €
5,934.75 €
98.08%
7.57 €
162.84 €
95.35%
Conclusione. Su ogni singola giocata il banco ha un
margine molto alto, che aumenta all’aumentare del
numero dei vincitori
Il gioco del Lotto
Facciamo una giocata di 5 numeri
A tutto ciò, per vincite superiori a € 500, va aggiunta
una trattenuta diretta del 6% sulla parte eccedente gli
€ 500.
La roulette francese
Scommesse sportive
Coppa del mondo • Nelle scommesse sportive
ITALIA-­‐BRASILE vengono indicate le somme
ITALIA 2.95 X 3.20 BRASILE 2.50 lorde corrisposte
• Il gioco è equo? Oppure, qual è il profitto del
gestore?
Vincita lorda
Per vincere 100 € occorre
giocare G1=100/V1
Probabilità di uscita stimata
P1=(G1x100)/(Somma delle G)
V
1
X
2
2.95
3.20
2.50
G 33.90 € 31.25 €
40 €
P 32.24% 29.72% 38.04%
Vincita se il gioco fosse equo
E
3.10
3.36
2.63
Margine del gestore M1=1-V1/E1
M
4.8%
4.8%
4.9%
E il Gratta e Vinci?
Vediamo l’Asso
Pigliatutto
Costo biglie9o: 3 € Vincita possibile 200,000 € Informazioni pubbliche: hIp://www.loIomaLcaitalia.it/
graIaevinci/classico/premi.html Qualche news…
Asso Pigliatutto
• Primo lotto biglietti: Nr. 33,600,000
Massa premi: € 67,344,000
– Lo Stato incassa 100.8 mln,
ne distribuisce 67.3 mln
• “Solo” 1 biglietto su 3,68 è vincente
• In generale:
–
–
–
–
–
–
–
–
61.14% perdi 3 € (oltre 20 mln di biglietti)
17.96% torni in pari (oltre 6 mln di biglietti)
16.71% vinci 5 € (vincita netta di 2€)
3.12% vinci 10 € (vincita netta 7 €)
.9% vinci 20 € (vincita netta 17 €)
… vincite di 30 €, 100 €, 200 €, 500 €, 1000 €
.00007% vinci 10,000 € (24 biglietti su 33,6 mln);
.00001% vinci 200,000 € (4 biglietti su 33,6 mln)
61.14%
79.10%
95.81%
98.93%
99.80%
Conclusioni “Asso Pigliatutto”
• Il gioco
è equo?
vincita 0 3 5 neIa -­‐3 0 2 % 61.14 17.96 16.71 10000 200000 … 9997 199997 .00007 .00001 – E(X)=(-3*.6114) + (0*.1796) + (2*.1671) . . . =-.996
• Se consideriamo anche la tassazione (6% per
vincite eccedenti i 500 €), il valore atteso
diventa -1.006
– Dunque, anche se acquistassimo tutti i biglietti, per
ogni biglietto avremmo una perdita di 1.006 €, ovvero
per avere un gioco equo dovremmo pagare per ogni
biglietto “solo” € 1.994
Differenze
Margine banco
Lotto
Margine banco
Asso pigliatutto
Margine banco
Roulette
37%
(medio) 33.23%
2.77%
37%
62%
76%
86%
Margine banco
scom. sportive
Margine banco
SuperEnalotto
(totale) 65,35%
(individ.) anche
>90%
2.85%
2.94%
3.03%
3.28%
3.84%
4.76%
(medio) 5-10%
Conclusione. Tra quelli esaminati, il gioco che è meno in
perdita è la Roulette francese, seguita dalle scommesse
sportive, e in nessun caso il gioco è equo (vedi margine).
Dunque…
L’argomentazione seguente è buona:
Nei giochi d’azzardo con il banco, tipo Gratta e Vinci, Lotto
e SuperEnalotto, una parte della somma giocata è
trattenuta dal banco stesso per costi di gestione e
guadagno (erario e tutta la filiera dei giochi). Dunque non
conviene giocare.
Ma anche l’argomentazione seguente è buona:
La massa di giocatori che gioca al Gratta e Vinci, al Lotto e
al SuperEnalotto, garantisce un gettito erariale
significativo, con entrate annue intorno agli 8 mld di Euro
negli ultimi anni. Dunque, se non ci fossero i giochi
d’azzardo di Stato e una massa così grande di giocatori,
occorrerebbe o tagliare ulteriori spese o sostituire il gettito
con altre forme, ad esempio con altre tasse ed imposte a
carico della collettività.
Per casa
• Leggere
– Varzi, cap. 10 e par. 8.4
– Dispense su conferma bayesiana e su gioco
equo
• Esercizi sul Varzi
• E poi (non prima!), esercizi online
