Giochi di sorte
Definizione: giochi nei quali la vincita è legata solo al caso (e non all'abilità del giocatore!)
TEORIA
In un gioco di sorte, indico con
p.c.= prova casuale
S= importo che posso vincere
P= probabilità di vincita
Si definisce con
S·p=speranza matematica della vincita
Schematizzazione del gioco
X: guadagno al gioco
X è una variabile casuale1 così strutturata
X
S
0
p
p
1-p
1
Il guadagno, ovvero i valori assunti dalla v.c., posso essere sintetizzati con una media aritmetica ponderata2:
M(X)=S·p+0·(1-p)=S·p
La speranza matematica della vincita è la media della v.c. guadagno.
Interpretazione della speranza matematica:
Importo che vinco mediamente3 partecipando molte volte al gioco.
Un gioco può essere più articolato e produrre più vincite (ma anche perdite!). In tal caso il calcolo della s.m. viene
necessariamente fatto come media della v.c. guadagno.
X
p
S1
p1
S2
p2
…
S3
p3
1
1
Si definisce VARIABILE CASUALE una variabile che assume valori al verificarsi di certi eventi casuali, ovvero con certe probabilità; gli eventi casuali
devono essere incompatibili e complementari e la somma delle probabilità deve essere sempre = 1.
Struttura di una V.C.:
E
X
p
E1
x1
p1
E2
x2
p2
La prima colonna (degli eventi casuali)
…….
generalmente si omette
En
xn
pn
1
2
Si definisce media aritmetica ponderata la media di un insieme di valori legati a dei pesi:
x1
x2
….
xn
p1
p2
…
pn
n
Media
x1 p1 x2 p2 ... xn pn
p1 p2 ... pn
x p
i
i 1
i
n
p
i 1
i
Nel caso di v.c. il denominatore vale 1.
3
mediamente: se ogni volta vincessi la stessa somma ogni volta vincerei la speranza matematica.
1
ESEMPI
Gioco 1: estraggo una carta da un mazzo di 40; vinco € 1,5 solo se esce una figura.
p.c.= estrazione carta da un mazzo di 40
S= € 1,5
p= 12/40
speranza matematica=1,5·12/40=0,45
X: guadagno al gioco
X
1,5
0
p
12/40
28/40
M(X)=…=0,45
Interpretazione:
Partecipando molte volte a questo gioco vincerò mediamente € 0,45, ovvero se ogni volta dovessi realizzare la stessa
vincita, questa sarebbe di € 0,45.
Gioco 2: estraggo una carta da un mazzo di 40 e vinco € 1,5 se è una figura , € 2,5 se è un asso altrimenti perdo € 2.
X
1,5
2,5
-2
p
12/40
4/40
24/40
1
M(X)=1,5·12/40+2,5·4/40-2·24/40= -0,5
In tal caso, partecipando molte volte al gioco, perdo mediamente € 0,5.
2
Equità di un gioco di sorte
Definizione: un gioco di sorte si dice equo se la s.m. vale 0.
Importante: per valutare l'equità di un gioco di sorte occorre
1. Costruire la v.c. che esprime il guadagno
2. Calcolarne la media e vedere se vale 0
Un gioco non equo può essere corretto modificando una qualche vincita o perdita imponendo alla s.m. di essere =0.
Giochi organizzati.
Definizione: un gioco di sorte si dice organizzato quando un antagonista è un professionista, ovvero vuole assicurarsi
guadagni con il gioco.
Esempi:
Gioco del Lotto, del SuperEnalotto; l'organizzatore-professionista è, in questo caso, lo Stato (che si assicura con tali
giochi notevoli guadagni!)
Gratta e vinci: l'organizzatore è ancora lo Stato.
Roulette, slot-machine, giochi del Casinò
Video-poker…?
Assicurazioni: possono essere viste come giochi di sorte nei quali pago un importo (detto premio in gergo
assicurativo) e ricevo importi se si verificano eventi casuali (incidente, vita, morte,…).
Nei giochi organizzati pago un prezzo per partecipare.
P=prezzo.
X=v.c. guadagno
X
p
S1-P
p1
S2-P
p2
…
S3-P
p3
1
Il gioco sarà equo se M(X)=0.
M(X)=(S1-P)·p1+ (S2-P)·p2+…+ (Sn-P)·pn=0
raccogliendo ed esplicitando rispetto P
P= S1·p1+ S2·p2+…+ Sn·pn
Dunque il gioco sarà equo se il prezzo è uguale alla speranza matematica della vincita.
Osservazione importante sui giochi organizzati:
Un gioco organizzato è necessariamente un gioco non equo, in quanto deve assicurare un guadagno all'organizzatore.
Oltretutto l'organizzatore deve coprire delle spese fisse di organizzazione.
Sorgono allora le seguenti domande:
Domanda: Ha senso partecipare ad un gioco non equo? (ovvero con speranza matematica del guadagno negativa)
Risposta: Ha senso partecipare poche volte: infatti la perdita certa si verificherebbe solo effettuando molte volte il gioco
(vedi definizione iniziale). Partecipando invece poche volte, occasionalmente, si può tentare la fortuna e si possono
realizzare vincite.
Domanda: L'organizzatore è certo di realizzare guadagni?
Risposta: Sì, in quanto l'organizzatore effetta moltissime volte il gioco e dunque la speranza matematica effettiva sarà
vicinissima a quella attesa.
3
Il gioco precedente non è equo in quanto avvantaggia il mio antagonista.
Modificare la perdita in modo da renderlo equo.
X
1,5
2,5
-x
p
12/40
4/40
24/40
1
M(X)=1,5·12/40+2,5·4/40-x·24/40=0
risolvendo l'equazione si ottiene: x=1,17
Gioco del Lotto
Punto € 2,5 su un ambo di una certa ruota. Lo Stato, in caso di vincita, mi restituisce 250 volte il prezzo pagato, ovvero €
2,5·250=625. Valutare l'equità del gioco.
X= v.c. vincita
X
p
625
2/801
0
1-2/801
1
M(X)= 625·2/801=1,56
1,56<2,5 il gioco non è equo: avvantaggia lo Stato.
Quanto dovrebbe restituire lo Stato nel caso precedente se il gioco fosse equo?
X
p
P·x
2/8014
0
1-2/801
1
P·x·2/801=P
x·2/801=1
x=801/2=400,5
In caso di equità lo Stato dovrebbe restituire 400,5 volte il prezzo pagato.
Quanto si aspetta di guadagnare lo Stato su 3.000 puntate di € 2,5 ciascuna su un ambo di una certa ruota?
Mediamente € 0,945 per puntata, dunque, complessivamente, 0,94· 3.000=€ 2.820
4
5
88
2
3
p
...
801
90
5
0,94=2,5-1,56, calcolato precedentemente.
4
