0PercentualiProbabilità - IIS Severi

Le percentuali
Sconti, interessi
e giochi d’azzardo
Perché le percentuali
• Ci sembra “naturale”, per misurare qualcosa,
rapportarla ad un’altra presa come riferimento:
da 0 a 100 quanto vale … ?
Il valore percentuale è in effetti un rapporto:
5%  5/100 ;
il valore 100 è preso come unità di misura:
100%  1
• Misurano quantità relative
• Non hanno una unità di misura da dichiarare
Il significato della percentuale
La “naturalezza” del nostro modo di valutare le
quantità relative in termini percentuali è
dovuta alla semplicità della relazione di
proporzionalità diretta:
“Il PIL è in crescita del 1,2 %” significa che, se P è
stato il PIL del precedente anno, quello di
quest’anno è aumentato di x , ove x soddisfa la
proporzione x : P = 1,2 : 100
Il PIL di quest’anno sarà quindi: P + x
La percentuale in fisica
Si è visto come l’errore relativo, misura della
precisione di una misura, venga spesso
comunicato in percentuale.
Un errore relativo del 100 % corrisponde ad un
errore assoluto pari al valore attendibile!
 rel
errore _ assoluto
100

valore _ attendibile
La percentuale negli acquisti
2 al prezzo di 1: che sconto ci viene fatto?
Prendi 3 paghi 2: che sconto ci viene fatto?
Un prodotto il cui prezzo intero è C ci viene
offerto al prezzo scontato S: la percentuale di
sconto è:
  CS 100
C
La percentuale negli interessi
• Se lasciamo in una banca una somma
(capitale) C, ci viene riconosciuto un interesse
(tasso creditore) che è espresso in
percentuale:  %
• Se chiediamo ad una banca il prestito di una
somma D , dobbiamo riconoscere alla banca
un interesse (tasso debitore) che è espresso in
percentuale:  %
Un esercizio
• Chiedo in prestito una somma di 10 € ad un
“amico” (?) promettendogli di restituirgliela
dopo un pò di tempo con il tasso d’interesse
mensile del 5 % . Quanto dovrò restituire se
aspetto tre mesi ? E se aspetto un anno ?
(e se l’interesse fosse del 10 % ?)
• Dipende dal regime concordato di
“indebitamento”; di solito si stabilisce un
regime di capitalizzazione annuale composto
La soluzione dell’esercizio
• In 3 mesi:
Semplice
Composto
• in un anno:
Semplice
Composto
5%
11,50 €
11,58 €
5%
16,00 €
17,96 €
10%
13,00 €
13,31 €
10%
22,00 €
31,38 €
l’interesse è
il doppio
più del doppio
L’ Indice Sintetico di Costo (ex TAEG)
Il Tasso Annuo Effettivo Globale rappresenta il costo effettivo
dell'operazione espresso in percentuale che il cliente deve alla
società che ha erogato il prestito o il finanziamento. Detto in
poche parole il T.A.E.G. racchiude contemporaneamente sia il
T.A.N. (Tasso Annuo Nominale), cioè la percentuale di
interesse che grava sul prestito, che le spese di emissione
della pratica e della documentazione; quindi:
T.A.E.G. = T.A.N. + spese di istruttoria e documentazione
Le percentuali nelle “torte”
17%
15%
fondo
servizi
investimenti
23%
interessi
45%
Alcune problematiche …
Rincaro e sconto sono commutativi?:
• Un rincaro del r% è seguito da uno sconto del
s% . Se C è il costo iniziale il costo finale
dipende dall’ordine?
C  C(1+r/100) C(1+r/100)(1-s/100)
• No
Sotto quali condizioni vale Cf  C ?
C(1+r/100)(1-s/100)  C
s

100
r
s
r
r
1
100
Composizioni di rincari
• È vero un rincaro del r1% seguito da un rincaro
del r2% è equivalente ad un rincaro del
(r1+r2)% ?
C  C(1 + r1/100)(1 + r2/100) =
= C[1 + (r1+r2)/10000 + (r1+r2)/100]
C  C[1 + (r1+r2)/100)]
No: la composizione dei due rincari provoca un
aumento di C (r1+r2)/10000 , corrispondente al
[(r1+r2)/100]% rispetto al rincaro del (r1+r2)%
Una proposta indecente
• Su una spesa C un acquirente può contare su
una detrazione fiscale del d% , però deve
pagare l’iva al i% .
Dalle sue tasche uscirà quindi:
C(1 + i/100) – Cd/100 = C(1 + i/100 – d/100)
• Il venditore pagherà invece una tassa t% sul
guadagno G = C – S
Il guadagno netto del venditore è
quindi G(1-t/100)
• Il venditore però per avere un guadagno netto
G propone all’acquirente di pagare in nero
applicandogli uno sconto del s%.
• Sottolineando che l’accettazione della
proposta comporta un danno alla comunità,
sotto quali condizioni è conveniente
(egoisticamente) questa proposta?
Poiché dalle tasche dell’acquirente
uscirebbe C(1 – s/100)
dovrà essere soddisfatta la relazione:
C(1 – s/100) < C(1 + i/100 – d/100)
cioè:
S>d–i
In realtà la detrazione fiscale è dilazionata in più
anni (n = 10) per cui lo sconto da accettare
può anche essere inferiore se si pensa di poter
investire il risparmio
In n anni
Il risparmio C(i/100 + s/100) crescendo al tasso
di interesse composto del f% diventerà:
s 
f 
 i
C

1 

 100 100  100 
n
Mentre i frutti annuali della detrazione, se
investiti allo stesso tasso d’interesse
daranno alla fine dell’n-esimo anno:
d
k
n
f 

100
C
1 


n k 1  100 
Cioè:
n


Cd 
f  
f 
1 
 1 
  1
nf  100   100 

Perché la proposta sia conveniente
(egoisticamente):
100d
s
nf

f
f 

 1 

1 
 100  100 
1 n

 i

• n = 10 anni , d = 50 % , f = 2 % , i = 22 %
s > 23,8 %
Le percentuali nei giochi d’azzardo
• Anche le probabilità di vincita ad un gioco
d’azzardo si esprimono in percentuali
• Qual è la probabilità che, lanciando una
moneta non truccata, esca “testa”?
• Qual è la probabilità che, lanciando un dado
non truccato, esca “sei”?
Come si calcola la probabilità
casi _ favorevoli
p
casi _ possibili
La definizione classica:
k
f 
La definizione frequentista:
n
Ove n è il numero di lanci effettuati e k è il
numero di successi; f è in realtà la frequenza
relativa; però:
vale la “Legge dei grandi numeri “ o “Legge
empirica del caso”:
p  lim f
n 
La definizione soggettiva
S1
p
S
S1 è la somma che si è
disposti a pagare sapendo
che, in caso di vincita, si
riceverà S (de Finetti)
Un gioco in cui la probabilità classica è
uguale a quella soggettiva è equo
Se gioco n volte  pago nS1
Se ne vinco k  ricevo kS
La frequenza è k/n ,
giocando sempre, per la legge dei grandi
numeri:
k/n = p
e , se S1=pS , da: k S1
n


S
kS = nS1
Nella rete (voce “gioco equo”)
In probabilità , prende il nome di gioco equo quel gioco
di probabilità che paga al vincitore una vincita equa,
cioè pari all'importo giocato moltiplicato per il
reciproco della probabilità di vittoria (da wikipedia)
Il gioco è equo se il prezzo P pagato è uguale al
prodotto della eventuale vincita moltiplicata per la
probabilità di vincerla.
(da http://www.mateweb.it/lezioni/Varcasuali/Gequo.htm)
Osservazioni
• Se un gioco è equo, giocando sempre non
perderò niente, ma non vincerò niente.
• L’impulso a giocare è chiaramente irrazionale
• Chi gioca spera di avere “fortuna”
• Dovrebbe smettere quando la vincita supera
le somme pagate (stabilendo un valore
ritenuto soddisfacente)
• Si può soddisfare l’avidità e la presunzione
umana?
Alla fin fine chi ci guadagna …
È il banco
Che si trova a gestire dei soldi in prestito senza
interessi
Lettura delle pagine da 4 a 11 del saggio di
Packel, Matematica dei giochi e dell’azzardo,
Zanichelli