Gioco equo Una delle situazioni più importanti in cui un giocatore può utilizzare le sue conoscenze probabilistiche è nel decidere se in un gioco è davvero conveniente giocare. Per far ciò il giocatore deve calcolare la sua attesa di vincita. In generale, data una variabile casuale X, con uscite x1, x2, … xn, e rispettive probabilità di uscita p1, p2, … pn, il valore atteso E(X) della variabile X (o la sua media) è la somma pesata delle uscite rispetto alle rispettive probabilità, ovvero !
𝐸 𝑋 =
𝑥! 𝑝! !!!
Se la variabile X è un gioco con uscite casuali, nel quale le uscite identificano le somme vinte e perse a seconda dell’uscita che si verifica (con le rispettive probabilità di vincere o perdere tali somme), è importate valutare il valore atteso di X proprio per valutare la convenienza del gioco. Ad esempio, in un gioco G1 che prevede il lancio di una moneta non truccata, cioè avente uscite equiprobabili, ed in cui l’uscita di T (testa) ci fa vincere 2 € e l’uscita di C (croce) ci fa perdere 3 €, possiamo descrivere tutto attraverso la variabile casuale 2
−3
𝐺! = 1
1 2
2
!
!
il cui valore atteso è 𝐸 𝐺! = 2 ! − 3 ! = −.5 In generale, diciamo che un gioco X è equo se il suo valore atteso E(X) è nullo, altrimenti diciamo che: è vantaggioso se E(X)>0, è in perdita se E(X)<0. Ad esempio, il gioco G1 descritto sopra è un gioco in perdita. Consideriamo un altro gioco G2, consistente nel lancio di un dado non truccato, in cui l’uscita di un numero dispari ci fa perdere 1 €, le uscite del 2 o del 4 ci fanno vincere 0.50 €, l’uscita del 6 ci fa vincere 2 €. Il gioco G2 è equo? Il gioco di G2 può essere descritto con la seguente variabile casuale −1 0.5
2
𝐺! = 3
2
1 6
6
6
!
!
!
ed il valore atteso di G2 risulta essere 𝐸 𝐺! = −1 ! + 0.5 ! + 2 ! = 0, dunque il gioco è equo. Il valore atteso di una variabile rappresenta l’aspettativa che si ha ad ogni uscita. Nel caso dei giochi in cui le uscite determinano le somme vinte o perse, il valore atteso identifica la somma che in media vinceremo o perderemo (a seconda che sia positiva o negativa) nella prossima uscita. Dunque un gioco equo è assolutamente bilanciato: le somme che si vincono e si perdono sono perfettamente equilibrate rispetto alle probabilità di vincita e perdita. Osservazione. Cosa accadrebbe giocando all’infinito in un gioco in perdita? Accadrebbe che, per la legge dei grandi numeri (che attesta che all’infinito le uscite tendono al valore teorico), l’attività di gioco andrebbe incontro ad una sicura perdita. Analogamente, giocando all’infinito in un gioco vantaggioso, si andrebbe incontro ad una sicura vincita. Nei giochi in cui vi è un gestore, che solitamente è denominato banco, la perdita del gioco viene chiamata margine del banco, ed è calcolata attraverso vincita effettiva − vincita equa
margine del banco =
vincita effettiva
Come rendere un gioco equo Altro importante aspetto da considerare è sul come calcolare la somma da pagare (o, rispettivamente, la somma da puntare) per rendere un gioco equo. Per calcolare la somma da pagare basta considerare la variabile casuale del gioco e assegnare un valore incognito alla uscita vincente. A questo punto, imponendo che il gioco sia equo, si ottiene un’equazione di primo grado la cui risoluzione fornisce il valore cercato. Ad esempio, se nel gioco G1 precedente volessimo conoscere quanto pagare l’uscita vincente, dalla nuova variabile casuale G3, in cui abbiamo sostituito y al valore eventualmente vinto 𝑦
−3
𝐺! = 1
1 2
2
avremmo, imponendo l’equità del gioco, che !
!
𝐸 𝐺! = 𝑦 ! − 3 ! = 0 da cui 𝑦 = 3 . Esercizio. In un gioco viene effettuata un’estrazione da un mazzo di carte francesi (52 carte, 4 semi, valori dal 2 al 10 e con J, Q, K e A). Per scommettere su un valore (2, oppure 3, ecc.) è necessario puntare € 1 e in caso il valore venga indovinato si vincono € 5. Il gioco è equo? Se non lo è, quale somma bisognerebbe assegnare in modo equo alla vincita? Soluzione. In questo gioco la variabile casuale, indipendentemente dal valore specifico scelto è la seguente (per ogni valore scelto abbiamo quattro carte, una per seme; ad esempio, scegliendo il 7, abbiamo quattro 7 nel mazzo) −1
5
𝐺 = 48
4
52
52
!"
!
!!"!!"
!"
!
per cui 𝐸 𝐺 = −1 !" + 5 !" = !" = − !" = − !" . Dunque il gioco è in perdita. Per calcolare la somma da vincere in modo equo consideriamo −1
𝑦
𝐺! = 48
4
52
52
!"
!
ed imponiamo che il gioco sia equo. Da 𝐸 𝐺! = −1 !" + 𝑦 !" = 0 otteniamo 𝑦 = 12. In altri termini, affinchè il gioco G sia equo, la somma da vincere nel caso di valore indovinato dovrebbe essere di € 12.
