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Appunti di
Geometria 1
Universitesto
D.L. Ferrario
© D.L. Ferrario, -
Appunti del corso di Geometria I (A.A. 2013/2014)
D.L. Ferrario
Dipartimento di Matematica e Applicazioni
Università di Milano-Bicocca
[Versione preliminare del 2014-05-30]
PREMESSA
Queste sono le note per il corso di Geometria I (primo anno del CdL
in Matematica), tenuto nel secondo semestre dell’A.A. 2013/2014 presso
il Dipartimento di Matematica e Applicazioni dell’Università di MilanoBicocca. Gli argomenti presentati a lezione sono riassunti in modo molto
schematico (e approssimativo nonché non esente da errori di varia natura* );
approssimativamente ogni settimana viene presentato un elenco di esercizi
assegnati (facoltativi ma fortemente consigliati). Tra questi e analoghi
a questi ce ne saranno alcuni da risolvere in gruppi di studio e da
consegnare per ottenere un bonus di punti all’esame. La parte teorica
di queste note non può essere considerata un testo su cui studiare, ma
solo un compendio abbastanza dettagliato degli argomenti affrontati. Lo
studio deve essere necessariamente svolto sui libri consigliati (o sui
numerosi volumi presenti in letteratura e in biblioteca dedicati a questi
argomenti) e sui propri appunti, possibilmente confrontando quanto si
legge con quanto presentato in queste note. Gli esercizi proposti settimanalmente possono essere semplici, di media difficoltà, oppure presentare
difficoltà significative (questi esercizi sono segnalati in genere con uno
o più asterischi). A volte l’asterisco segnala semplicemente l’importanza
dell’argomento affrontato nell’esercizio. Nel tempo le note sono state e
saranno modificate, corrette e integrate, per cui si consiglia verso la fine
del corso di ristampare o di controllare la nuova versione.
Milano, 2014-05-30
D.L. Ferrario
*A
proposito di errori: la segnalazione di errori (a lezione, ricevimento, esercitazione o tutoraggio) è ben accetta. Sia di quelli che potrebbero essere stati inseriti
involontariamente che quelli volontari.
i
ii
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
INDICE
1 Richiami, aperti di spazi metrici
§ 1 Richiami . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 1.1 Richiami di logica matematica . . . .
§ 1.2 Richiami di teoria degli insiemi . . .
§ 2 Spazi metrici e continuità: topologia degli
§ 2.1 Proprietà dei sottoinsiemi aperti . .
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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spazi metrici
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1
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1
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1
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4
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5
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7
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2 Chiusi e topologie
§ 3 Sottoinsiemi chiusi di uno spazio metrico . . . . . . . . . . . .
§ 4 Spazi topologici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 4.1 Base di una topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 4.2 Topologia indotta (topologia dei sottospazi, sottospazi
topologici) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 4.3 Opzionale: Contare le topologie finite . . . . . . . . . .
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
13
18
21
3 Omeomorfismi, topologia prodotto e topologia quoziente
§ 5 Funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 6 Topologia prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 7 Spazi di identificazione e topologie quoziente . .
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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27
27
33
34
41
4 Compattezza
§ 8 Compattezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 8.1 Spazi di funzioni e convergenza puntuale (opzionale) . . .
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
45
54
58
5 Compattezza negli spazi euclidei
§ 9 Compattezza in spazi metrici ed euclidei .
§ 10 Spazi metrici completi . . . . . . . . . . .
§ 10.1Opzionale: costruzione di R (Cantor)
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
63
71
74
76
iii
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21
22
24
iv
INDICE
6 Connessione
§ 11 Spazi connessi . . . . . . . . .
§ 11.1Spazi connessi per archi .
§ 11.2Opzionale: construzione di
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . .
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81
81
90
95
97
7 Gruppi di trasformazioni
§ 12 Gruppi di matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 13 Gruppi di trasformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
103
111
123
8 Spazi affini
§ 14 Spazi affini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 15 Sottospazi affini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 15.1Opzionale: piani affini finiti e quadrati latini,
latini e magici . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
129
136
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R
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(Dedekind)
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greco. . . .
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141
150
9 Trasformazioni affini, incidenza e parallelismo
§ 16 Mappe affini . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 17 Incidenza e parallelismo . . . . . . . . . . .
§ 17.1Proiezioni parallele e non dello spazio
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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su un
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piano
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155
155
161
166
168
10 Spazi euclidei e isometrie
§ 18 Spazi affini euclidei e isometrie . .
§ 19 Angoli e proiezioni ortogonali . . . .
§ 19.1Area e volume negli spazi affini
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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173
173
181
186
191
11 Spazi proiettivi e proiettività
§ 20 Spazi proiettivi . . . . . . . . . . . . . .
§ 20.1Isomorfismi proiettivi e proiettività
§ 20.2Incidenza di sottospazi . . . . . . . .
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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199
199
207
209
215
A Alcuni esercizi svolti
§ 1 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 2 Seconda parte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 3 Alcuni œrrori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
219
219
240
270
B Temi d’esame
§ 4 AA 2008-09
§ 5 AA 2009-10
§ 6 AA 2010-11
§ 7 AA 2011-12
275
275
283
291
300
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v
INDICE
§ 8 AA 2012-13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
C Esercizi dati ai gruppi
317
Bibliografia
329
Indice analitico
331
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vi
INDICE
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
Settimana N° 1
RICHIAMI, APERTI DI SPAZI METRICI
§ 1.
RICHIAMI
§ 1.1.
RICHIAMI DI LOGICA MATEMATICA
(Cfr.)*
Definire cos’è un enunciato, una proposizione (elemento primitivo della
logica delle proposizioni). La definizione è data in termini di una proprietà dell’enunciato: l’essere vero o falso (logica bivalente). Dunque si
assume che ogni proposizione abbia un solo valore di verità scelto tra i
due: vero oppure falso. Sistemi logici più completi possono averne altri
(indeterminato, per esempio).
Variabili: Lettere dell’alfabeto (maiuscole o minuscole), se serve con
sottoscritte (con apici o pedici): A, x, B1 , j, …Assegnamento di valore
alle variabili.
Connettivi logici: : (Operazioni binarie, unarie tra proposizioni). Si
formano nuove proposizioni a partire da proposizioni date.
- negazione: ¬p.
- congiunzione (AND): p ∧ q.
- disgiunzione (OR, p vel q): p ∨ q.
- disgiunzione esclusiva (p XOR q, aut p aut q) : p ⊕ q.
- implicazione (materiale) (se p allora q, p implica q):
p =⇒ q.
- doppia implicazione (se e solo se): p ⇐⇒ q.
* Cfr:
M. Conti, D.L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini: Analisi matematica, Vol I, dal
calcolo all’analisi, Apogeo, 2006. Cap. ℵ.
1
2
#1.
RICHIAMI, APERTI DI SPAZI METRICI
Valori di verità: Vero (1) e Falso (0). Dato che gli enunciati p, q,
…assumo valori di verità 0/1, è possibile definire i connettivi logici
scrivendo le corrispondenti tabelle di verità.
p
1
0
¬p
0
1
p
1
0
1
0
q
1
1
0
0
p
1
0
1
0
q
1
1
0
0
p =⇒ q
1
1
0
1
p∧q
1
0
0
0
p
1
0
1
0
q
1
1
0
0
p q p∨q
1 1
1
0 1
1
1 0
1
0 0
0
p ⇐⇒ q
1
0
0
1
p
1
0
1
0
q
1
1
0
0
p XOR q
0
1
1
0
Simboli primitivi ed espressioni logiche: A partire da proposizioni
date p, q, r, …si costruiscono espressioni composte (dette anche forme
o espressioni, nel calcolo delle proposizioni), utilizzando le parentesi
per esplicitare la precedenza tra le operazioni. Alcune espressioni sono
sempre vere (cioè assumono valore di verità 1 per ogni possibile scelta
dei valori delle variabili), e si chiamano tautologie. Altre, invece,
sono sempre false (cioè assumono valore di verità 0 per ogni possibile
scelta dei valori delle variabili): si chiamano contraddizioni. Quando due
espressioni hanno le medesime tavole di verità si dicono equivalenti. A e
B sono equivalenti se e solo se A ⇐⇒ B è una tautologia.
Le seguenti sono tautologie:
(i) A ∨ ¬A (terzo escluso);
(ii) ¬( A ∧ ¬A) (non contraddizione);
(iii) ¬(¬A) ⇐⇒ A (doppia negazione);
(iv) A ∧ A ⇐⇒ A, A ∨ A ⇐⇒ A;
(v) A ∨ B ⇐⇒ B ∨ A, A ∧ B ⇐⇒ B ∧ A (commutatività);
(vi) associatività:
( A ∨ B) ∨ C ⇐⇒ A ∨ ( B ∨ C );
( A ∧ B) ∧ C ⇐⇒ A ∧ ( B ∧ C );
(vii) Leggi distributive:
A ∧ ( B ∨ C ) ⇐⇒ ( A ∧ B) ∨ ( A ∧ C );
A ∨ ( B ∧ C ) ⇐⇒ ( A ∨ B) ∧ ( A ∨ C );
(viii) Leggi di de Morgan:
¬( A ∧ B) ⇐⇒ ¬A ∨ ¬B;
¬( A ∨ B) ⇐⇒ ¬B ∧ ¬A;
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
§ 1.
3
RICHIAMI
Le seguenti tautologie sono uno schema del ragionamento logico formale.
Sono esempi di sillogismi, riscritti nei termini della logica matematica
delle proposizioni.
(i) ( A ∧ B) =⇒ A;
(ii) ( A =⇒ B)
assurdo);
⇐⇒
(¬B
=⇒
¬A) (contronominale, contrapposizione, per
(iii) ( A =⇒ B) ∧ A =⇒ B (modus ponens);
(iv) ( A =⇒ B) ∧ ¬B =⇒ ¬A (modus tollens);
(v) ( A =⇒ B) ∧ ( B =⇒ C ) =⇒ ( A =⇒ C ) (modus barbara, sillogismo ipotetico);
(vi) (( A ∨ B) ∧ ¬A) =⇒ B (sillogismo disgiuntivo).
Predicati: Quando una espressione p( x ) contiene delle variabili (x) che
non sono state assegnate (variabili libere) si dice predicato, proprietà,
funzione proposizionale o anche enunciato aperto.
Quantificatori: I quantificatori trasformano enunciati aperti in proposizioni (vere o false). Se ci sono più variabili libere, si possono
usare più quantificatori. Le variabili con un valore assegnate oppure
quantificate da un quantificatore si dicono vincolate.
- Quantificatore universale: ∀ (per ogni, per tutti).
Uso: ∀x, p( x ).
Significato: Per ogni x (nell’universo U), la proprietà p( x ) è vera
(cioè x gode della proprietà p). Anche: ∀x ∈ U, p( x ).
- Quantificatore esistenziale: ∃ (esiste, esiste almeno un x).
Uso: ∃x : p( x ).
Significato: Esiste almeno un x (nell’universo U) per cui la
proprietà p( x ) è vera (cioè x gode della proprietà p). Anche: ∃x ∈ U : p( x ).
- ¬(∀x, p( x )) ⇐⇒ ∃x : ¬p( x ) (principio di negazione).
- ¬(∃x : p( x )) ⇐⇒ ∀x, ¬p( x ) (principio di negazione).
- ∀x, ∀y, p( x, y) ⇐⇒ ∀y, ∀, x p( x, y) (principio di scambio).
- ∃x : ∃y : p( x, y) ⇐⇒ ∃y : ∃ : x p( x, y) (principio di scambio).
- ∃x : ∀y, p( x, y) =⇒ ∀y, ∃x : p( x, y) (principio di scambio).
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4
#1.
§ 1.2.
RICHIAMI, APERTI DI SPAZI METRICI
RICHIAMI DI TEORIA DEGLI INSIEMI
(Cfr.)*
Concetti primitivi (non definiti):
- Insieme di oggetti/elementi (anche: collezione, famiglia).
- Relazione di appartenenza: x ∈ X, x ̸∈ X.
In altri termini, in questa teoria intuitiva (naive) degli insiemi† si
definisce un insieme come collezione di oggetti definiti e distinguibili
(cioè si deve essere in grado di stabilire se x = y oppure x ̸= y). Si assumono
anche i seguenti principi:
(i) Principio di estensione: Due insiemi sono uguali se e solo se hanno
gli stessi elementi.
(ii) Principio di astrazione: Una proprietà p( x ) definisce un insieme A con
la convenzione che gli elementi di A sono esattamente gli “oggetti” x
per cui P ( x ) è vera:
A = {x : p( x )}.
(iii) Assioma della …
Estensioni di questa notazione:
{x ∈ A : p( x )} Esempio: {x ∈ R : x ≥ 4}
{ f ( x ) : p( x )}
Esempio: {x 2 : x ∈ Z}
{1, 2, 3}, {1, 2}
Insieme vuoto‡ : ∅.
Relazioni tra insiemi:
- (Inclusione) A ⊂ B (anche A ⊆ B): se x ∈ A implica x ∈ B. A è un
sottoinsieme di B.
- A ⊃ B: se B ⊂ A.
- A = B se e solo se ( A ⊂ B) e ( B ⊂ A).
* Cfr:
Stoll, Robert R.: Set theory and logic, (1961).
Cantor (1845–1918). Il termine intuitiva è usato anche poiché la sola intuizione
dovrebbe essere il criterio per stabilire cosa è un insieme e cosa no; conseguenze di questo
approccio sono famosi paradossi (contraddizioni), come il paradosso di Russell (1901): sia
X l’insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi, cioè che non hanno se
stessi come elementi (x ̸∈ x); se X appartiene a se stesso, X ∈ X, allora per definizione
X ̸∈ X, cioè X non appartiene a se stesso. Viceversa…
‡ Il concetto complementare di insieme vuoto è quello di insieme universo. S’intende
che questo viene scelto – e sottinteso – in dipendenza dal contesto. Per esempio: numeri
naturali, numeri reali, …
† G.
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§ 2.
SPAZI METRICI E CONTINUITÀ: TOPOLOGIA DEGLI SPAZI METRICI
5
Operazioni con gli insiemi:
- Unione A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.
- Intersezione A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} (due insiemi sono disgiunti quando
A ∩ B = ∅).
- Prodotto cartesiano (insieme delle coppie ordinate) A × B = {(a, b) : a ∈
A, b ∈ B} = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}.
- Complemento
B : x ̸∈ A}.
di A in B ⊃ A (differenza tra insiemi): A′ (= Ac = B ∖ A) = {x ∈
- Insieme delle parti: P( X ) = 2X = l’insieme dei sottoinsiemi di X (cioè
l’insieme delle funzioni f : X → {0, 1}).
Operazioni per collezioni/famiglie di insiemi: come il simbolo di som∑
matoria
può essere usato per definire la somma di una serie di numeri,
così i simboli di unione e intersezione possono essere usati per famiglie
di insiemi. Siano J e U due insiemi non vuoti e f : J → 2U una funzione. Per
ogni i ∈ J, il sottoinsieme f (i ) ∈ 2U può anche essere denotato con Xi , per
esempio (cf. successioni xi vs. funzioni x = f (i )).
∪
Xi := {x ∈ U : (∃i ∈ I : x ∈ Xi )}, o equivalentemente*
i∈J
-
∩
i∈J
∪
i∈J
Xi := {x ∈ U : x ∈ Xi per qualche
i ∈ I}.
Xi := {x ∈ U : (∀i ∈ J, x ∈ Xi )}, o equivalentemente
∩
i∈J
Xi := {x ∈ U : x ∈ Xi per tutti gli
i ∈ J}.
In ultimo, si ricordi che una funzione f : X → Y si dice iniettiva se
∀x ∈ X, ∀y ∈ Y , ( x ̸= y =⇒ f ( x ) ̸= f (q)), suriettiva se ∀y ∈ Y , ∃x ∈ X : f ( x ) = y, bijettiva
(biunivoca) se è sia iniettiva sia suriettiva.
(1.1) Definizione. Sia f : X → Y una funzione. Se B ⊂ Y è un sottoinsieme di
Y , la controimmagine di B è
f −1 ( B) = {x ∈ X : f ( x ) ∈ B}.
§ 2.
SPAZI METRICI E CONTINUITÀ: TOPOLOGIA DEGLI SPAZI METRICI
(Cfr.)†
Ricordiamo alcuni fatti elementari sugli spazi metrici.
* Si
noti l’uso del simbolo “:=” usato per le definizioni o gli assegnamenti.
Cap I, §1; Sernesi Vol II [1].
† Cfr:
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
6
#1.
RICHIAMI, APERTI DI SPAZI METRICI
(2.1) Definizione. Uno spazio metrico è un insieme X munito di una funzione
d : X × X → R tale che per ogni x1 , x2 , x3 ∈ X:
(i) ∀x1 , ∀x2 , d ( x1 , x2 ) ≥ 0 e d ( x1 , x2 ) = 0 se e solo se x1 = x2 .
(ii) Simmetria: d ( x1 , x2 ) = d ( x2 , x1 ).
(iii) Disuguaglianza triangolare: d ( x1 , x3 ) ≤ d ( x1 , x2 ) + d ( x2 , x3 ).
La funzione d viene chiamata metrica su X. Gli elementi di X vengono anche
chiamati punti.
(2.2) Esempio. Metrica su R: d : R × R → R, d ( x, y) = |x − y|, ha le proprietà che
per ogni x, y ∈ R
(i) |x − y| ≥ 0 e |x − y| = 0 ⇐⇒ x = y.
(ii) |x − y| = |y − x|.
(iii) |x − z| ≤ |x − y| + |y − z|.
Importante concetto associato al concetto di metrica e di distanza:
(2.3) Definizione. Palla aperta (intorno circolare)
in x0 ∈ X (X spazio metrico):
di raggio r e centro
Br ( x0 ) = {x ∈ X : d ( x, x0 ) < r}.
(Anche più esplicitamente Br ( x0 , X ))
(2.4) Nota. Una funzione f : A ⊂ R → R è continua nel punto x ∈ A se per ogni
ϵ > 0 esiste un δ > 0 tale che |x − y| < δ =⇒ | f ( x ) − f (y)| < ϵ . Cioè, equivalentemente,
f è continua in x ∈ R se per ogni ϵ > 0 esiste δ > 0 tale che y ∈ Bδ ( x ) =⇒ f (y) ∈
Bϵ ( f ( x )), cioè
f ( Bδ ( x )) ⊂ Bϵ ( f ( x )).
In generale, f : A → R è continua in A ⊂ R se è continua per ogni x ∈ A,
cioè se per ogni ϵ > 0 e per ogni x ∈ A esiste δ (dipendente da ϵ e x) tale
che f ( Bδ ( x )) ⊂ Bϵ ( f ( x )).
Dal momento che f (U ) ⊂ V ⇐⇒ U ⊂ f −1V (esercizio (1.7) a pagina 12), la
funzione f è continua in x ∈ A se e solo se per ogni ϵ > 0 esiste δ (dipendente
da ϵ) tale che Bδ ( x ) ⊂ f −1 ( Bϵ ( f ( x ))).
(2.5) Definizione. Un sottoinsieme* U di uno spazio metrico X si dice
intorno di un punto x ∈ U se contiene un intorno circolare di x, cioè se
esiste δ > 0 tale che
Bδ ( x ) ⊂ U
Se U è un intorno di x, si dice che x è interno ad U.
*U
può non essere aperto…
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§ 2.
SPAZI METRICI E CONTINUITÀ: TOPOLOGIA DEGLI SPAZI METRICI
7
(2.6) Nota. Se U è un intorno di x e U ⊂ V , allora V è un intorno di x.
Con questo linguaggio, la
controimmagine f −1 ( Bϵ ( f ( x ))) di
di x. Notiamo anche il fatto
suo punto (esercizio (1.10) a
definizione di continuità in x diventa: la
ogni intorno circolare di f ( x ) è un intorno
importante che una palla è intorno di ogni
pagina 12).
(2.7) Se f : A ⊂ X → Y è continua in A, allora la controimmagine di ogni
palla Br (y) in Y (intervallo!) è intorno di ogni suo punto.
Dim. Se x ∈ f −1 Bϵ (y), cioè f ( x ) ∈ Bϵ (y), allora esiste r abbastanza piccolo per
cui Br ( f ( x )) ⊂ Bϵ (y). Dal momento che f è continua in x, f −1 ( Br ( f ( x ))) è intorno
di x. Ma
Br ( f ( x )) ⊂ Bϵ (y) =⇒ f −1 ( Br ( f ( x ))) ⊂ f −1 ( Bϵ (y))
e quindi f −1 ( Bϵ (y)) è un intorno di x.
⨳
(2.8) Definizione. Un sottoinsieme A ⊂ X di uno spazio metrico si dice
aperto se è intorno di ogni suo punto (equivalentemente, ogni punto di A
ha un intorno circolare tutto contenuto in A, o, equivalentemente, ogni
punto di A ha un intorno tutto contenuto in A).
(2.9) Una palla aperta Br ( x ) è un aperto.
Dim. (Esercizio (1.10) di pagina 12)
⨳
(2.10) Una funzione f : X → Y è continua in X se e soltanto se la controimmagine in X di ogni palla Br (y) di Y è un aperto.
Dim. Per la proposizione precedente se una funzione è continua allora la
controimmagine di ogni palla è un aperto. Viceversa, assumiamo che la
controimmagine di ogni palla Br (y) è un aperto. Allora, per ogni x ∈ X e per
ogni ϵ > 0
f −1 ( Bϵ ( f ( x )))
è un aperto, ed in particolare è un intorno di x; per definizione di
intorno, quindi per ogni x e ϵ esiste δ > 0 tale che Bδ ( x ) ⊂ f −1 ( Bϵ ( f ( x ))), cioè
f è continua.
⨳
§ 2.1.
PROPRIETÀ DEI SOTTOINSIEMI APERTI
Se A ⊂ X è aperto, allora per ogni x ∈ A esiste r = r ( x ) > 0 tale che Br ( x ) ⊂ A,
e quindi A è unione di (anche infinite) palle aperte
∪
A=
Br ( x ) ( x ).
x∈A
Viceversa, si può mostrare che l’unione di una famiglia di palle aperte è
un aperto. Quindi vale:
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8
#1.
RICHIAMI, APERTI DI SPAZI METRICI
(2.11) Un sottoinsieme A ⊂ X è aperto se e solo se è unione di intorni
circolari (palle).
(2.12) Corollario. L’unione di una famiglia qualsiasi di aperti è un aperto.
(2.13) Nota. Osserviamo che le dimostrazioni appena viste per funzioni
reali non utilizzano null’altro che proprietà degli intorni circolari in
R. Dato che queste proprietà valgono in generale per spazi metrici, le
medesime proposizioni valgono per spazi metrici.
(2.14) Sia X uno spazio metrico. Allora l’insieme vuoto e X sono aperti.
(2.15) Siano A e B due aperti di X spazio metrico. Allora l’intersezione
A ∩ B è un aperto.
Dim. Sia x ∈ A ∩ B. Dato che A e B sono aperti, esistono r A e r B > 0 tali che
Br A ( x ) ⊂ A
e
Br B ( x ) ⊂ B.
Sia r il minimo tra r A e r B : Br ⊂ Br A , Br ⊂ Br B , e quindi Br ⊂ A ∧ Br ⊂ B( ⇐⇒ Br ⊂
A ∩ B). Quindi A ∩ B è intorno di x e la tesi segue dall’arbitrarietà di x. ⨳
Riassumiamo le proprietà degli aperti: consideriamo il sottoinsieme
dell’insieme delle parti A ⊂ 2X che consiste di tutti i sottoinsiemi aperti
di X.
(2.16) L’insieme A di tutti gli aperti (secondo la definizione (2.8) di
pagina 7) di uno spazio metrico X verifica le seguenti proprietà:
(i) ∅ ∈ A, X ∈ A,
∪
(ii) B ⊂ A =⇒ B∈B B ∈ A,
(iii) B ⊂ A, B è finito, allora
∩
B∈B
B ∈ A.
(2.17) Possiamo riassumere le proprietà degli intorni circolari di uno
spazio metrico X:
(i) Ogni elemento x ∈ X ha almeno un intorno (aperto) B ∋ x.
(ii) L’intersezione di due intorni circolari B1 ∩ B2 è un aperto, e quindi
per ogni x ∈ B1 ∩ B2 esiste un terzo intorno circolare B di x per cui
x ∈ B ⊂ B1 ∩ B2 .
(2.18) Definizione. La topologia di uno spazio metrico X è la famiglia A
di tutti i sottoinsiemi aperti definita poco sopra. Si dice anche che A
è la topologia di X generata dagli intorni circolari (definiti a partire
dalla metrica).
( X, d ) 7→ ( X, d, A)
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§ 2.
SPAZI METRICI E CONTINUITÀ: TOPOLOGIA DEGLI SPAZI METRICI
9
Si possono riassumere tutti i fatti visti sulle funzioni continue nel
seguente teorema.
(2.19) Teorema. Una funzione f : X → Y (spazi metrici) è continua se e solo
se la controimmagine di ogni aperto di Y è un aperto di X.
Dim. Sia V un aperto di Y . Allora è unione di intorni circolari B j := Br j (y j )
∪
V=
Bj
j∈J
e dunque la sua controimmagine
∪ ∪
f −1V = f −1 B j =
f −1 B j
j∈J
j∈J
è unione di aperti, e quindi è un aperto. Viceversa, se la controimmagine di
ogni aperto in Y è un aperto di X, allora in particolare la controimmagine
di ogni intorno circolare di Y è un aperto di X, e quindi f è continua. ⨳
La continuità di una funzione quindi dipende solo dal comportamento di
f sulle famiglie di aperti degli spazi in considerazione, e non dal valore
della metrica.
Dal momento che per determinare la continuità di una funzione è sufficiente conoscere le famiglie di aperti (nel dominio e codominio) e le
controimmagini degli stessi, diciamo che due metriche sono equivalenti se
inducono la stessa topologia.
(2.20) Definizione. Si dice che due metriche sullo stesso insieme X sono
equivalenti se inducono la stessa topologia su X.
(2.21) Due metriche d e d ′ su X sono equivalenti se e solo se la seguente
proprietà è vera: per ogni x ∈ X e per ogni palla Brd ( x ) (nella metrica d)
′
′
esiste r ′ > 0 tale che Brd′ ( x ) ⊂ Brd ( x ) (dove Brd′ ( x ) è la palla nella metrica d ′ )
′
e, viceversa, per ogni r ′ e x esiste r tale che Brd ( x ) ⊂ Brd′ ( x ).
Dim. Supponiamo che le due metriche d e d ′ siano equivalenti e siano x e
r > 0 dati. Per (2.9) la palla Brd ( x ) è aperta nella topologia indotta da
d e quindi anche nella topologia indotta da d ′ : pertanto esiste r ′ tale
′
che Brd′ ( x ) ⊂ Brd ( x ). Analogamente se si scambia il ruolo di d e d ′ . Viceversa,
supponiamo A aperto secondo la topologia indotta da d. Per ogni x ∈ A esiste,
per definizione, r = r ( x ) > 0 tale che
Brd ( x ) ⊂ A,
ed un corrispondente r ′ > 0 tale che
′
Brd′ ( x ) ⊂ Brd ( x ).
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10
#1.
RICHIAMI, APERTI DI SPAZI METRICI
Cioè, per ogni x esiste r ′ = r ′ ( x ) > 0 tale che
′
Brd′ ( x ) ⊂ A,
e quindi A è aperto nella topologia indotta da d ′ . Analogamente, ogni aperto
nella topologia indotta da d ′ è anche aperto nella topologia indotta da d
e quindi le due topologie coincidono.
⨳
(2.22) Esempio. Esempi di metriche su R2 :
√
(i) d ( x, y) = ( x1 − y1 )2 + ( x2 − y2 )2 = |x − y| (metrica euclidea).
se x = y
0
(metrica discreta).
(ii) d ( x, y) =
1
altrimenti
(iii) d ( x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 |.
(iv) d ( x, y) = max |xi − yi |.
i=1,2
(v) d ( x, y) = min |xi − yi | (?).
i=1,2
(vi) d ( x, y) = ( x1 − y1 )2 + ( x2 − y2 )2 (?).
(2.23) Esempio. Sia p ∈ N un primo ≥ 2. Sappiamo che ogni intero n ∈ Z ha una
decomposizione in fattori primi, per cui esiste unico l’esponente α per
cui n = pα k, dove l’intero k non contiene il fattore primo p. Si consideri
in Z la funzione | · | p definita da
|pα k| p = p−α
ogni volta che k è primo con p, e |n| p = 0 quando n = 0. Sia quindi d : Z × Z → Q ⊂ R
la funzione definita da d ( x, y) = |x − y| p . Si può vedere che è una metrica su Z
(perché?).
(2.24) Esempio. Consideriamo la funzione f : R2 → R, definita da
x|y|
se ( x, y) ̸= (0, 0);
2
x + y2
f ( x, y) =
0
se ( x, y) = (0, 0).
Osserviamo che per ogni x0 ∈ R la funzione
f ( x0 , −) : R → R
è continua, e che per ogni y0 ∈ R la funzione
f (−, y0 ) : R → R
è continua. Si può dedurre che la funzione f è continua, quindi? Se f fosse
continua, dovrebbe essere continua anche la funzione
t|t|
t
φ(t ) = f (t, t ) = 2 =
,
2|t|
2t
che continua non è, malgrado le apparenze.
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11
Esercizi
ESERCIZI
(1.1) Dimostrare che:
(i) L’insieme vuoto ∅ è unico.
(ii) per ogni insieme A, ∅ ⊂ A.
(iii) per ogni insieme A, A ⊂ A.
(iv) per ogni insieme A, A = A ∪ ∅.
(1.2) Dimostrare che se A, B, C e X sono insiemi arbitrari:
(i) A ∪ B = B ∪ A.
(ii) A ∩ B = B ∩ A.
(iii) ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ).
(iv) ( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ).
(v) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ).
(vi) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ).
(vii) Se A ⊂ X, allora X ∖ ( X ∖ A) = A.
(viii) Se A, B ⊂ X, allora X ∖ ( A ∪ B) = ( X ∖ A) ∩ ( X ∖ B).
(ix) Se A, B ⊂ X, allora X ∖ ( A ∩ B) = ( X ∖ A) ∪ ( X ∖ B).
(1.3) Dimostrare che le seguenti proposizioni sono equivalenti:
(i) A ⊂ B;
(ii) A ∩ B = A;
(iii) A ∪ B = B.
(1.4) Costruire una bijezione tra l’insieme delle parti P( X ) di un insieme
X e l’insieme delle funzioni f : X → {0, 1}.
*(1.5) Siano A e B due insiemi e X l’insieme definito da X = {{{a}, {a, b}} : a ∈
A, b ∈ B}. Mostrare che {{a}, {a, b}} = {{b}, {b, a}} se e solo se a = b e costruire una
bijezione X → A × B.
*(1.6) Sia f : X → Y una funzione tra insiemi. Dimostrare che, se A ⊂ X e B ⊂ Y
sono sottoinsiemi di X e Y :
(
)
(i) f f −1 ( B) ⊂ B.
(ii) f è suriettiva se e solo se per ogni B ⊂ Y , f f −1 ( B) = B.
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12
#1.
RICHIAMI, APERTI DI SPAZI METRICI
(iii) A ⊂ f −1 f ( A).
(1.7) Sia f : X → Y una funzione tra insiemi, A ⊂ X e B ⊂ Y sottoinsiemi di X
e Y . Dimostrare che:
f ( A) ⊂ B ⇐⇒ A ⊂ f −1 B.
(1.8) Sia X un insieme e f : X × X → R una funzione tale che:
(i) f ( x, y) = 0 se e solo se x = y.
(ii) ∀x, y, z ∈ X, f ( x, z ) ≤ f ( x, y) + f (z, y).
Dimostrare che f è una metrica su X.
(1.9) Dimostrare che ogni intervallo aperto di R è intorno di ogni suo
punto.
*(1.10) Dimostrare che in uno spazio metrico ogni palla è intorno di ogni
suo punto (cioè è un aperto).
(1.11) Dimostrare che l’unione di una famiglia qualsiasi di palle aperte
di uno spazio metrico è un aperto.
*(1.12) Sia {B j } j∈J una famiglia di insiemi in Y e f : X → Y una funzione.
Dimostrare che
∪ ∪
f −1 B j
f −1 B j =
j∈J
j∈J
(1.13) Quali tra questi sottoinsiemi di R2 (con la metrica euclidea) sono
aperti?
(i) {( x, y) ∈ R2 : x 2 + y2 < 1} ∪ {(1, 0)}.
(ii) {( x, y) ∈ R2 : x 2 + y2 ≤ 1}.
(iii) {( x, y) ∈ R2 : x 2 + y2 > 1}.
(iv) {( x, y) ∈ R2 : x 4 + y4 ≤ −1}.
(v) {( x, y) ∈ R2 : x 4 + y4 ≥ 1}.
*(1.14) È vero che l’intersezione di una famiglia qualsiasi di intorni
aperti di R è un aperto? Se la famiglia è finita?
*(1.15) Dimostrare che, dato uno spazio metrico X e un punto x0 ∈ X, la
funzione f ( x ) = d ( x, x0 ) è continua.
(1.16) Dimostrare che una metrica d e la metrica 2d sono equivalenti. Quali
delle metriche dell’esempio (2.22) sono equivalenti?
(1.17) Trovare gli errori inseriti nelle lezioni (valido anche nelle
prossime lezioni).
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Settimana N° 2
CHIUSI E TOPOLOGIE
§ 3.
SOTTOINSIEMI CHIUSI DI UNO SPAZIO METRICO
(3.1) Definizione. Sia A ⊂ X un sottoinsieme di uno spazio metrico X. Un
punto x ∈ X si dice di accumulazione (anche: punto limite) per A in X se per
ogni r > 0 l’intersezione Br ( x ) ∩ A contiene almeno un punto oltre al centro
x.
Idea: i punti di accumulazione di A dovrebbero essere i punti limite di
successioni in A. Se A = {xn }n∈N ⊂ X è una successione convergente, allora il
limite della successione è punto limite di A. È davvero cosí?
(3.2) Se x ∈ X è di accumulazione per A ⊂ X in X, e A ⊂ B ⊂ X, allora x è di
accumulazione per B in X.
Dim. Per ogni r > 0 l’intersezione Br ( x ) ∩ A contiene almeno un punto oltre
al centro x, e dato che A ⊂ B si ha
Br ( x ) ∩ A ⊂ Br ( x ) ∩ B,
quindi Br ( x ) ∩ B contiene almeno un punto oltre a x, cioè x è di accumulazione
per B.
⨳
(3.3) Definizione. Sia X uno spazio metrico. Un sottoinsieme C ⊂ X si dice
chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
(3.4) Il complementare in X di un chiuso è aperto. Il complementare in X
di un aperto è chiuso. Quindi C ⊂ X è chiuso se e solo se X ∖ C è aperto.
Dim. Sia C ⊂ X un chiuso e x ∈ X ∖ C. Dato che C è chiuso, x non può essere un
punto di accumulazione, e quindi esiste r > 0 per cui Br ( x ) ∩ C = ∅. Ma allora
Br ( x ) ⊂ ( X ∖ C ) e quindi X ∖ C è intorno di x. Per l’arbitrarietà di x in X ∖ C
si ha che X ∖ C è aperto.
13
14
#2.
CHIUSI E TOPOLOGIE
Viceversa, sia A ⊂ X un aperto e sia C il complementare X ∖ A. Se x è
un punto di accumulazione di C allora non è un punto di A: infatti, A
sarebbe intorno di x, per cui ci sarebbe r > 0 tale che Br ( x ) ⊂ A, ma allora
Br ( x ) ∩ C ⊂ A ∩ C = ∅, cioè x non sarebbe di accumulazione per C. In altre
parole, i punti di accumulazione di C sono contenuti in C e dunque C è
chiuso.
⨳
(3.5) L’insieme C di tutti i chiusi di uno spazio metrico X verifica le
seguenti proprietà:
(i) ∅ ∈ C, X ∈ C,
∩
(ii) B ⊂ C =⇒ C∈B C ∈ C,
(iii) B ⊂ C, B è finito, allora
∪
C∈B C
∈ C.
Dim. Basta considerare la proposizione (2.16) e il fatto che i chiusi sono
i complementari degli aperti (dualità), oppure applicare direttamente la
definizione (esercizio).
⨳
(3.6) Definizione. Sia A ⊂ X. L’unione di A con l’insieme di tutti i suoi
punti di accumulazione si dice chiusura di A in X e si indica con A.
(3.7) Nota. La chiusura A di A contiene A. Inoltre, se A ⊂ B, si ha che
A ⊂ B (esercizio (2.6)).
(3.8) Proposizione. Un sottoinsieme A ⊂ X è chiuso se e soltanto se A = A.
Dim. Se A è chiuso, allora contiene i suoi punti di accumulazione, e quindi
A = A. Viceversa, se A = A, allora A contiene i suoi punti di accumulazione,
e quindi è chiuso.
⨳
(3.9) La chiusura A di A è uguale all’intersezione di tutti i chiusi che
contengono A, ed è un chiuso. È il più piccolo insieme chiuso che contiene
A.
Dim. Consideriamo un insieme chiuso C che contiene A. Dato che A ⊂ C, si
ha che A ⊂ C, ed essendo C chiuso si ha: C = C. Ma allora A ⊂ C, cioè A
è contenuto in tutti i chiusi che contengono A. Sia K l’intersezione di
tutti i chiusi che contengono A. Allora K è chiuso (perché intersezione
di chiusi) e A ⊂ K, da cui A ⊂ K. Se x ̸∈ A, allora x non è né punto di A
né punto di accumulazione, e dunque esiste r > 0 per cui Br ( x ) ∩ A = ∅; dato
che Br ( x ) è aperto, il suo complementare C = X ∖ Br ( x ) è un chiuso che non
contiene x e che contiene A. Ma questo implica che K ⊂ C (dato che C è un
chiuso che contiene A) e che quindi nemmeno K contiene x (dato che C non
contiene x). Quindi K non contiene nessun x ̸∈ A, cioè K ⊂ A. Dunque K = A,
A è chiuso ed è uguale all’intersezione di tutti i chiusi che contengono
A.
⨳
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§ 3.
SOTTOINSIEMI CHIUSI DI UNO SPAZIO METRICO
15
(3.10) Sia f una funzione f : X → Y tra spazi metrici. Le tre proposizioni
seguenti sono equivalenti:
(i) f è continua
(ii) ∀A ⊂ X, f ( A) ⊂ f ( A).
(iii) per ogni C ⊂ Y chiuso, la sua controimmagine f −1 (C ) ⊂ X è chiuso.
Dim. Supponiamo che la funzione f sia continua. Mostriamo che 1 =⇒ 2.
Sia x ∈ A. Se x ∈ A, allora f ( x ) ∈ f ( A) ⊂ f ( A), e quindi f ( x ) ∈ f ( A). Se x ∈ A ∖ A,
allora x deve essere di accumulazione per A. Vogliamo mostrare che o f ( x )
appartiene a f ( A) oppure ne è punto di accumulazione. Se f ( x ) ∈ f ( A), allora
non c’è altro da dimostrare. Supponiamo altrimenti che f ( x ) ̸∈ f ( A). Ora, dato
che f è continua, per ogni r > 0 la controimmagine dell’intorno circolare
f −1 ( Br ( f ( x ))) è un intorno di x, e quindi esiste ϵ > 0 (che dipende da r e
x) per cui Bϵ ( x ) ⊂ f −1 ( Br ( f ( x ))). Ma x è di accumulazione per A, e quindi
Bϵ ( x ) ∩ A ̸= {x}, cioè esiste un punto z ∈ Bϵ ( x ) ∩ A, z ̸= x, ed in particolare
f (z ) ⊂ Br ( f ( x ))
Dato che stiamo supponendo f ( x ) ̸∈ f ( A) e che z ∈ A, si ha che f (z ) ∈ f ( A) e
quindi f (z ) ̸= f ( x ). Cioè, per ogni r > 0 l’intorno Br ( f ( x )) contiene punti di
f ( A) diversi da f ( x ), e quindi f ( x ) è di accumulazione per f ( A).
Ora dimostriamo che (ii) =⇒ (iii). Sia C ⊂ Y un chiuso e A = f −1C la sua
controimmagine in X. Dal momento che f ( A) ⊂ f ( A), e che f ( A) ⊂ C, f ( A) ⊂ C = C,
e quindi A ⊂ f −1C. Ne segue che A ⊂ A, da cui A = A, visto che anche A ⊂ A.
Ora dimostriamo che (iii) =⇒ (i). Se A ⊂ Y è aperto, allora C = Y ∖ A
è chiuso in Y , e quindi f −1C è chiuso in X, il che implica che X ∖ f −1C è
aperto. Ma
X ∖ f −1C = {x ∈ X : f ( x ) ̸∈ C} = f −1 ( X ∖ C ) = f −1 ( A),
quindi f −1 ( A) è aperto.
⨳
(3.11) Nota. Continuità: f (lim ) = lim ( f ) …
Ancora: Tutti i punti di uno spazio metrico sono chiusi. Infatti, se
y ̸= x ∈ X e r = d ( x, y), allora r > 0 e y ∈ Br/2 (y) ̸∋ x, cioè X ∖ {x} è aperto.
(3.12) Esempio. Si consideri la funzione f : X = R → Y = R definita da f ( x ) = ex .
Se A = X, allora A è chiuso e A = A = R, mentre
f ( A) = {ex : x ∈ R} = (0, +∞)
f ( A) = [0, +∞).
Quindi si ha
f ( A) ⊂ f ( A),
ma f ( A) ̸= f ( A).
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16
#2.
CHIUSI E TOPOLOGIE
(3.13) Esempio. Se A = Z ⊂ R, allora A non ha punti di accumulazione,
dato che se ϵ < 1 e n ∈ Z, allora Bϵ (n) ∩ Z = {n}. I punti di accumulazione
dell’insieme
{
}
1
: n ∈ Z, n > 0
n
sono dati dall’insieme {0}. Perché (esercizio).
(3.14) Esempio. Quali sono i punti di accumulazione dell’insieme X ⊂ Q
costituito da tutti i numeri che si possono scrivere come somme
l
∑
1
k
j=1 j
per certi interi k j ≥ 2 tutti distinti k j ∈ N, j = 1, . . . , l (cioè tali che
i ̸= j =⇒ ki ̸= k j )? Esercizio (2.3), google: egyptian fractions.
Opzionale: alcuni passi delle soluzione di questo esempio/esercizio.
(Passo 1) Se x è di accumulazione per X, allora x ≥ 0.
Dim. Basta mostrare che se x < 0, allora x non è di accumulazione per X.
Se x < 0, allora esiste ϵ > 0 tale che Bϵ ( x ) è composto da soli numeri < 0;
quindi Bϵ ( x ) non contiene punti di X e x non è di accumulazione.
⨳
Sia ora x ≥ 0. Se x = 0, allora la successione {1/n} converge a x, e quindi
0 è di accumulazione per X.
Sia invece x > 0. Per ogni n ∈ N, n ≥ 2 e per ogni x ∈ R, x > 0, sia
f (n, x ) = min{k ∈ N : k ≥ n ∧
cioè
1
≤ x},
k
⌈ ⌉
1
f (n, x ) = max(n,
),
x
dove la funzione ceiling ⌈x⌉ è definita da
⌈x⌉ = min{k ∈ N : k ≥ x}.
Quindi si ha che
n⌈ ⌉
f (n, x ) =
1
x
se 1/(n − 1) ≤ x
altrimenti .
Definiamo una successione n1 , n2 , . . . , nl , . . . di interi e una corrispondente
successione x0 = x, x1 , …, xl di reali nel modo seguente. Ricordiamo che f
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§ 3.
17
SOTTOINSIEMI CHIUSI DI UNO SPAZIO METRICO
non è definita per x ≤ 0.
1
n1
1
n2 = f (n1 + 1, x1 ),
x2 = x1 −
n2
1
n3 = f (n2 + 1, x2 ),
x3 = x2 −
n3
.
.
.
.
.
.
1
nl = f (nl−1 + 1, xl−1 ) xl = xl−1 −
nl
n1 = f (2, x ),
x1 = x −
Per definizione si ha
nk > nk−1 ,
(3.15)
1
≤ xk−1 .
nk
Se per un certo k si ha xk = 0, la successione termina. Si tratta certamente
di x ∈ Q, quindi se x ̸∈ Q, la successione non può terminare. *
(Passo 2) La successione nk è strettamente crescente. La successione xk è
strettamente decrescente e positiva.
Dim. Dato che f (n, x ) ≥ n, si ha nk = f (nk−1 + 1, xk−1 ) ≥ nk−1 + 1, per ogni k. Inoltre
1
nk > 0, e quindi xk = xk−1 −
< xk−1 , quindi xk è strettamente decrescente. Per
nk
la (3.15), xk ≥ 0 per ogni k (ed è 0 solo quando termina la successione). ⨳
Osserviamo che se x > 1/2, i primi n termini della successione saranno
k1 = 2, k2 = 3, …, kn = n + 1, ed esiste certamente un n tale che
1 1
1
1 1
1
1
+ +···+
≤ x < + +···+
+
,
2 3
n+1
2 3
n+1 n+2
dato che la serie armonica diverge.
(Passo 3) Sia x > 0, x ̸∈ Q, e nk , xk le successioni corrispondenti. Allora
∞
∑
1
= x,
n
k=1 k
e quindi x è di accumulazione per X.
Dim. Le somme parziali
n
∑
1
Sn =
n
k=1 k
verificano per ogni n
x = Sn + xn .
* Ma
quando questa successione termina? Su ogni x razionale positivo o solo su alcuni?
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18
#2.
CHIUSI E TOPOLOGIE
Basta quindi mostrare che xn → 0. Osserviamo che non può essere definitivamente nk = k + 1, perché la serie (armonica) diverge. Quindi devono esserci
infiniti k per cui risulta
nk+1 = f (nk + 1, xk ) ̸= nk + 1,
cioè infiniti k per cui
xk <
1
.
nk
1
è una successione monotona decrescente che tende a zero, e 0 < xk ,
nk
quindi xk → 0.
⨳
Ma
(Passo 4) Ogni reale x ≥ 0 è di accumulazione per X.
Dim. Se x ∈ R, x ≥ 0, in ogni intorno Bϵ ( x ) cadono certamente infiniti punti
irrazionali positivi, e quindi almeno uno diverso da x, che chiamiamo z.
Dato che Bϵ ( x ) è intorno aperto di z, che è di accumulazione per X, in Bϵ ( x )
ci sono altri punti di X, e quindi x è di accumulazione per X.
⨳
Risultato: i punti di accumulazione di X sono
{x ∈ R : x ≥ 0}.
(3.16) Nota. Quanti termini servono per scrivere
1 1
1
1 1
1
1
+ + . . . + ≤ 100 < + + . . . + +
?
2 3
n
2 3
n n+1
Osserviamo che
∫
ln(n + 1) − ln 2 =
2
n+1
dx 1 1
1
< + +...+ <
x
2 3
n
∫
1
n
dx
= ln n,
x
quindi dovrà essere
ln(n + 1) − ln 2 < 100 < ln(n + 1),
cioè più o meno dieci septillioni di termini
n ∈ (e100 − 1, 2e100 − 1).
§ 4.
SPAZI TOPOLOGICI
(Cfr.)*
Se si analizzano le dimostrazioni delle proprietà finora vista degli
aperti, chiusi e funzioni continue di spazi metrici, ci si rende conto che
* Cfr:
Cap I § 2-3, Sernesi Vol II [1].
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§ 4.
19
SPAZI TOPOLOGICI
la metrica serve solo per definire la famiglia degli intorni circolari e
alcune proprietà caratterizzanti.
Sia X un insieme. Una famiglia di sottoinsiemi A ⊂ 2X che verifica le
proprietà di (2.16) consente di fatto di introdurre una definizione non
solo metrica di continuità.
(4.1) Definizione. Una famiglia A ⊂ 2X di sottoinsiemi di un insieme X si
dice topologia se verifica le seguenti proprietà:
(i) ∅ ∈ A, X ∈ A,
∪
(ii) B ⊂ A =⇒ B∈B B ∈ A,
(iii) B ⊂ A, B è finito, allora
∩
B∈B
B ∈ A.
Uno spazio X munito di una topologia A ⊂ 2X (spesso indicata con la lettera
τ) viene detto spazio topologico* e gli elementi di A si dicono gli aperti
di X.
È banale verificare che la definizione di aperto di uno spazio metrico
consente di associare ad ogni spazio metrico una topologia come nella
definizione (2.18), che è detta anche topologia metrica. Sappiamo già che
spazi metrici diversi possono avere la stessa topologia metrica (se le
metriche sono equivalenti). Non tutti gli spazi topologici però ammettono
l’esistenza di una metrica che genera la topologia (cioè, non tutti sono
metrizzabili).
(4.2) Esempio. Consideriamo le due topologie estreme, cioè quella con più
aperti possibile e quella con meno aperti possibile.
(i) Topologia banale: ha solo i due aperti A = {∅, X} ⊂ 2X (che devono esistere
per poter soddisfare tutti gli assiomi della definizione (4.1)).
(ii) Topologia discreta: tutti i sottoinsiemi sono aperti A = 2X .
(iii) Topologia metrica: in uno spazio metrico, la topologia generata dalla
metrica si chiama topologia metrica.
(4.3) Esempio. Su Z sia A la famiglia di tutte le unioni di progressioni
aritmetiche (Ua,b = {a + kb : k ∈ Z} ⊂ Z). Allora la famiglia A è una topologia di
Z, e in questa topologia, le progressioni Ua,n sono sia aperti che chiusi.
Perché?
Questo serve a rilassare il concetto di “vicinanza” che è intrinseco
per gli spazi metrici.
* Così
come uno spazio metrico X è più propriamente una coppia ( X, d ), anche uno spazio
topologico dovrebbe essere indicato come coppia ( X, τ ) con τ ⊂ 2X , ma per brevità la topologia
non viene espressamente indicata, se non quando necessario.
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20
#2.
CHIUSI E TOPOLOGIE
(4.4) Definizione. Se X è uno spazio topologico, A ⊂ X è un sottoinsieme
e x ∈ A, si dice che A è un intorno di x se contiene un aperto B tale che
x ∈ B ⊂ A.* Allora x si dice punto interno di A.
Possiamo anche definire funzioni continue usando la caratterizzazione
del teorema (2.19).
(4.5) Definizione. Siano X e Y spazi topologici. Una funzione f : X → Y si
dice continua se per ogni aperto A ⊂ Y la controimmagine f −1 A è aperto di
X.
Anche il concetto di sottoinsieme chiuso, di punto di accumulazione e
di chiusura può essere esteso agli spazi topologici, utilizzando il fatto
che gli aperto sono per definizione intorni dei propri punti.
(4.6) Definizione. Sia A ⊂ X un sottoinsieme di uno spazio topologico X. Un
punto x ∈ X si dice di accumulazione (anche: punto limite) per A in X se
per ogni intorno B di x l’intersezione B ∩ A contiene almeno un altro punto
oltre a x. La chiusura A di A è definita come l’unione di A con tutti i
suoi punti di accumulazione.
(4.7) Sia X uno spazio topologico e C ⊂ X un suo sottoinsieme. Le seguenti
proposizioni sono equivalenti.
(i) X ∖ C è aperto.
(ii) C contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
Dim. Basta ripetere la dimostrazione di (3.4) sostituendo ovunque intorni
aperti invece che intorni circolari.
⨳
(4.8) Definizione. Un sottoinsieme C ⊂ X di uno spazio topologico si dice
chiuso se una delle due proposizioni equivalenti di (4.7) è verificata.
Ancora, cambiando di poco la dimostrazione di (3.9) si può dimostrare
che (vedi esercizio (2.9)):
(4.9) La chiusura A di un sottoinsieme A ⊂ X è il più piccolo sottoinsieme
chiuso di X che contiene A (in altre parole: l’intersezione di tutti i
chiusi che contengono A). In particolare, è un chiuso.
(4.10) Definizione. Se A ⊂ X è un sottoinsieme tale che A = X, allora si
dice che A è denso in X.
* Alcuni
definiscono intorni solo gli aperti che contengono x.
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§ 4.
21
SPAZI TOPOLOGICI
§ 4.1.
BASE DI UNA TOPOLOGIA
La topologia metrica è generata dalla famiglia di tutti gli intorni
circolari, nel senso che gli aperti sono tutti e soli le unioni di intorni circolari. Ci si può chiedere quando una famiglia di insiemi genera
una topologia in questo modo. Basta prendere le proprietà degli intorni
circolari di spazi metrici di (2.17).
(4.11) Definizione. Una famiglia di sottoinsiemi B ⊂ 2X di un insieme X si
dice base se le seguenti proprietà sono soddisfatte:
(i) per ogni x ∈ X esiste almeno un elemento della base B ∈ B che contiene
∪
x (equivalentemente, X = B∈B B).
(ii) Se B1 , B2 ∈ B e x ∈ B1 ∩ B2 , allora esiste Bx ∈ B tale che x ∈ Bx ⊂ B1 ∩ B2
(equivalentemente, B1 ∩ B2 è unione di elementi della base).
Possiamo riscrivere (2.17) dicendo: gli intorni circolari costituiscono
una base. Il modo di generare una topologia a partire da una base procede
dall’osservazione che gli aperti sono le unioni di intorni circolari.
(4.12) Sia X un insieme. Data una base B ⊂ 2X , sia A ⊂ 2X la famiglia di
tutte le unioni di elementi di B unita a ∅. Allora A è una topologia per
X ed è la più piccola topologia in cui gli elementi della base B sono
aperti.
Dim. Esercizio.
⨳
(4.13) Definizione. La topologia generata come in (4.12) si dice topologia
generata dalla base B.
(4.14) Esempio. In X = N = {1, 2, 3, . . .} siano Bi = {ki : k ∈ N} = {n ∈ N : n ≡ 0 mod i}.
Sono una base? La topologia in N è quella metrica? È quella discreta? È
metrizzabile (cioè può essere generata da una metrica)?
§ 4.2.
TOPOLOGIA INDOTTA (TOPOLOGIA DEI SOTTOSPAZI, SOTTOSPAZI TOPOLOGICI)
(Cfr.)*
Se X è uno spazio topologico, la topologia τ di X induce una topologia, detta topologia indotta per restrizione sui sottospazi Y ⊂ X. Cioè,
per definizione A ⊂ Y è aperto se e solo se esiste U ⊂ X aperto la cui
intersezione con Y è A: gli aperti di Y sono tutte e sole le intersezioni
A= Y ∩U
di aperti di X con Y . Quando si considerano sottoinsiemi di uno spazio topologico, si assume che abbiano la topologia indotta, se non esplicitamente
indicato in altro modo.
* Cfr:
Sernesi, Vol II, Cap II §5 [1].
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22
#2.
CHIUSI E TOPOLOGIE
(4.15) Nota. Tutti gli intervalli del tipo [a, b), con a < b costituiscono
una base per la retta reale R. La topologia che ne risulta ha piú aperti
di quella generata dalla metrica euclidea. Gli intervalli del tipo (−∞, b),
con b ∈ R sono una base? Se sí, essa genera una topologia con piú o meno
aperti di quella euclidea? Esiste una metrica che genera questa topologia?
Quando una funzione è semicontinua superiormente?
(4.16) Esempio. Se X = R con la topologia metrica (euclidea), Y = [0, 1] ⊂ X,
allora l’intervallo [0, 1/2) è un aperto di Y (perché [0, 1/2) = (−1/2, 1/2) ∩ Y ), ma
non è un aperto di X (dato che 0 non è interno a [0, 1/2) in X, ma lo è in
Y ).
(4.17) Esempio. La topologia indotta da R (con la topologia metrica standard) su Z ⊂ R è uguale alla topologia discreta su Z. Basta osservare che
i punti di Z sono tutti aperti nella topologia indotta da R in Z. Ma non
sono aperti della topologia di R!
§ 4.3.
OPZIONALE: CONTARE LE TOPOLOGIE FINITE
Sia X un insieme: ricordiamo che R una relazione (binaria) su X è una
forma proposizionale su X × X, cioè una funzione R : X × X → {0, 1} (o Vero/Falso),
indicata nei due modi R( x, y) = xRy. La relazione è riflessiva se per ogni
x ∈ X si ha che xRx = 1 (è vero), e transitiva se per ogni x, y, z ∈ X si ha
che xRy = yRz = 1 =⇒ xRz = 1. Una relazione binaria riflessiva e transitiva è
detta relazione di preordine parziale.
(4.18) Nota. Sia X un insieme finito, con una topologia A. Allora A
definisce una relazione di preordine parziale R su X (che possiamo indicare
con RA ) nel modo seguente: se x, y ∈ X, si definisce
xRy ⇐⇒
(
)
“ogni aperto U di X che
contiene x contiene anche y”
che è una relazione riflessiva e transitiva (perché?).
(4.19) Nota. Se R è una relazione di preordine parziale su X, allora
definiamo una topologia A su X nel modo seguente: sia, per ogni x ∈ X, U x
l’insieme definito da
U x = {y ∈ X : xRy}.
Se x1 e x2 sono due elementi di X e z ∈ U x1 ∩ U x2 , allora x1 Rz e x2 Rz, e quindi
Uz = {y ∈ X : zRy} ⊂ U x1 ∩ U x2 = {y ∈ X : x1 Ry ∧ x2 Ry},
dato che zRy ∧ x1 Rz =⇒ x1 Ry, zRy ∧ x2 Rz =⇒ x2 Ry. Inoltre x ∈ U x (perché riflessiva), e dunque gli U x costituiscono una base per una topologia di X, la
topologia associata alla relazione R.
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§ 4.
23
SPAZI TOPOLOGICI
Utilizzando (4.18) e (4.19), si può mostrare che le topologie su X sono
in corrispondenza biunivoca con le relazioni riflessive e transitive su X.
Problema: come elencare tutte le relazioni riflessive e transitive su un
insieme finito X? È possibile scrivere un algoritmo che le elenca? Vediamo
per X = {1, 2} si hanno le seguenti topologie.
[
]
1 0
(i) Matrice (relazione binaria):
0 1
A = {{} , {1} , {2} , {1, 2}} ⊂ 2X
[
(ii) Matrice (relazione binaria):
1 0
1 1
]
A = {{} , {1} , {1, 2}} ⊂ 2X
[
1 1
(iii) Matrice (relazione binaria):
0 1
]
A = {{} , {2} , {1, 2}} ⊂ 2X
[
1 1
(iv) Matrice (relazione binaria):
1 1
]
A = {{} , {1, 2}} ⊂ 2X
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24
#2.
CHIUSI E TOPOLOGIE
ESERCIZI
(2.1) Dimostrare che, se A, B ⊂ X sono sottoinsiemi di uno spazio metrico:
(i) A ∪ B = A ∪ B.
(ii) A ∩ B ⊂ A ∩ B.
(2.2) Trovare i punti di accumulazione dei seguenti sottoinsiemi di R:
(i) { n1 : n ∈ N, n > 0}.
(ii) { nk : k, n ∈ N, n > 0}.
(iii) { 2kn : k, n ∈ N} (razionali diadici positivi).
(iv) { 1k +
1
n
: k, n ∈ N, k, n > 0}.
**(2.3) Quali sono i punti di accumulazione in R dell’insieme X ⊂ Q ⊂ R
costituito da tutti i numeri che si possono scrivere come somme
l
∑
1
k
j=1 j
per certi interi positivi tutti distinti k j ∈ N, j = 1, . . . , l (cioè tali che
i ̸= j =⇒ ki =
̸ k j )? google: egyptian fractions
*(2.4) Dimostrare che se A e B sono sottoinsiemi di uno spazio metrico X
allora
(i) A ∪ B = A ∪ B;
(ii) A ⊆ A;
(iii) ( A) = A;
(iv) ∅ = ∅.
Viceversa, si consideri un operatore C : 2X → 2X con le seguenti proprietà:
(i) C A ∪ CB = C ( A ∪ B);
(ii) A ⊆ C A;
(iii) CC A = C A;
(iv) C∅ = ∅.
Dimostrare che, definendo chiusi tutti i sottoinsiemi fissati dall’operatore C (C A = A) si ottiene una topologia su X (cioè valgono gli assiomi
della definizione (4.1)). Questi assiomi alternativi si chiamano assiomi
di Kuratowski ).
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25
Esercizi
(2.5) Quali sono i punti di accumulazione per la successione
0
nella retta reale R munita della metrica discreta d ( x, y) =
1
1
{ } (per n > 0)
n
se x = y
?
altrimenti
(2.6) Dimostrare che se A ⊂ B, allora A ⊂ B.
*(2.7) Dimostrare che uno spazio topologico con più di due punti con la
topologia banale non è metrizzabile, mentre ogni spazio topologico discreto
(con topologia discreta) è metrizzabile.
*(2.8) Sia X uno spazio topologico e C ⊂ X un suo sottoinsieme. Dimostrare
che le seguenti proposizioni sono equivalenti.
(i) X ∖ C è aperto.
(ii) C contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
*(2.9) Dimostrare che la chiusura A di un sottoinsieme A ⊂ X di uno spazio
topologico X è il più piccolo sottoinsieme chiuso di X che contiene A.
(2.10) Sia X un insieme e Y ⊂ X un suo sottoinsieme. Dimostrare che se τ ⊂ 2X
è una topologia per X, allora τY = {U ∩ Y : U ∈ τ} è una topologia per Y , e che
l’inclusione i : Y → X è una funzione continua.
(2.11) Sia X un insieme di tre elementi X = {a, b, c}. Le seguenti sono topologie
per X:
(i) {{}, {b}, {a, b}, {b, c}, {a, b, c}}.
(ii) {{}, {a}, {a, b, c}}.
(iii) {{}, {a, b, c}}.
Le seguenti non sono topologie
(i) {{}, {a, b}, {b, c}, {a, b, c}}.
(ii) {{a}, {a, b, c}}.
Quante topologie ci sono su X in tutto? Quanti sono i sottoinsiemi di 2X ?
*(2.12) (Topologia dei complementi finiti) Sia X un insieme e τ ⊂ 2X la
famiglia di tutti i sottoinsiemi A di X con complemento finito, cioè tali
che X ∖ A ha un numero finito di elementi, unita all’insieme X (si vuole
che ∅ sia aperto). Si dimostri che τ è una topologia.
(2.13) Consideriamo le seguenti famiglie di sottoinsiemi della retta reale
R.
(i) Tutti gli intervalli aperti: (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}.
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26
#2.
CHIUSI E TOPOLOGIE
(ii) Tutti gli intervalli semiaperti: [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} (Sorgenfrey
line).
(iii) Tutti gli intervalli del tipo: (−∞, a) = {x ∈ R : x < a}.
(iv) Tutti gli intervalli del tipo: (−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a}.
Quali sono basi? Come sono relazionate le topologie che generano (Cioè
quando le topologie sono contenute una nell’altra)?
(2.14) Dimostrare che se f : R → R è una funzione continua, allora l’insieme
{x ∈ R : f ( x ) = 0} è chiuso in R mentre l’insieme {x ∈ R : f ( x ) > 0} è aperto in R.
*(2.15) Sia A ⊂ R un insieme e χ A la funzione (detta funzione caratteristica
di A) definita da
se x ∈ A;
1
χA(x ) =
0
se x ̸∈ A;
In quali punti di R la funzione χ A è continua?
*(2.16) Quale topologia deve avere R affinché tutte le funzioni f : R → R
siano continue?
*(2.17) Dimostrare che una funzione f : R → R è continua se e solo se per ogni
successione convergente {xn } (cioè per cui esiste x̄ tale che limn→∞ |xn − x̄| = 0)
vale l’uguaglianza
lim | f ( xn ) − f ( x̄ )| = 0.
n→∞
(2.18) Dimostrare che un insieme finito di punti di uno spazio metrico non
ha punti limite.
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Settimana N° 3
OMEOMORFISMI DI SPAZI TOPOLOGICI, TOPOLOGIA
PRODOTTO E TOPOLOGIA QUOZIENTE
§ 5.
FUNZIONI CONTINUE
(Cfr.)*
Le funzioni continue tra spazi topologici si dicono anche mappe. Si può
dimostrare, esattamente come in (3.10) e in (2.10), che vale la seguente
proposizione.
(5.1) Sia f una funzione f : X → Y tra spazi topologici. Le quattro proposizioni seguenti sono equivalenti:
(i) f è continua
(ii) ∀A ⊂ X, f ( A) ⊂ f ( A).
(iii) per ogni C ⊂ Y chiuso, la sua controimmagine f −1 (C ) ⊂ X è chiuso in X.
(iv) Se B è una base per Y , allora per ogni elemento della base B ∈ B la
controimmagine f −1 B è aperto in X.
(5.2) Teorema. La composizione di funzioni continue è continua.
Dim. Sia f : X → Y una funzione continua e g: Y → Z una funzione continua. La
composizione gf : X → Z è continua se e solo se ( gf )−1 ( A) è aperto in X ogni
volta che A è aperto in Z. Ora,
( gf )−1 ( A) = {x ∈ X : g( f ( x )) ∈ A}
= {x ∈ X : f ( x ) ∈ g−1 ( A)}
= f −1 ( g−1 ( A))
e dunque se A è aperto anche g−1 ( A) è aperto in Y (dato che g è continua),
e poiché f è continua f −1 ( g−1 ( A)) è aperto in X.
⨳
* Cfr:
Sernesi vol II, cap I, §4 [1].
27
28
#3.
OMEOMORFISMI, TOPOLOGIA PRODOTTO E TOPOLOGIA QUOZIENTE
(5.3) Teorema. Sia f : X → Y una funzione continua. Se A ⊂ X ha la topologia
indotta, allora la restrizione f | A è continua.
Dim. Sia B ⊂ Y un aperto. La controimmagine f −1 ( B) è aperta in X, dato che
f è continua. La controimmagine di B mediante la funzione ristretta f | A è
data dall’insieme
{x ∈ A : f ( x ) ∈ B},
e quindi da A ∩ f −1 ( B). Per definizione di topologia indotta, questo è un
aperto di A.
⨳
(5.4) Definizione. Una funzione f : X → Y tra spazi topologici è un omeomorfismo se è biunivoca e sia f che la funzione inversa f −1 sono continue. Si
dice allora che X e Y sono omeomorfi (e si indica con X ≈ Y ).
La topologia studia gli spazi a meno di omeomorfismo. Infatti, una
biiezione non è altro che un “cambiamento di coordinate” in uno spazio, e l’essere omeomorfismo significa che la famiglia degli aperti viene
conservata.
(5.5) Esempio. Sia X l’insieme delle matrici 2 × 2 a coefficienti reali. Sia
d la metrica munito della metrica
d ((ai j ), (bi j )) = max(|ai j − bi j |) .
ij
X è omeomorfo a R4 con la metrica euclidea
v
u
t 4
∑
d (( xi ), (yi )) =
( xi − yi )2
i=1
tramite l’omeomorfismo
(
a1,1 a1,2
a2,1 a2,2
)
a1,1
a
7→ 2,1
a1,2
a2,2
Dimostrazione: esercizio.
(5.6) Esempio. La circonferenza meno un punto è omeomorfa alla retta reale
(proiezione stereografica). La sfera meno un punto è omeomorfa al piano,
analogamente. Esercizio: in coordinate.
(5.7) Esempio. La retta reale è omeomorfa ad un segmento aperto: R ≈ (a, b)
x
. La funzione è continua
per ogni a < b. Definiamo f : (−1, 1) → R f ( x ) =
1 − x2
perché composizione di funzioni continue. Osserviamo poi che f ( x ) = f (y) se
e soltanto se
x (1 − y2 ) = y(1 − x 2 ) ⇐⇒ xy2 − x 2 y + y − x = 0
⇐⇒ xy(y − x ) + (y − x ) = 0
⇐⇒ ( xy + 1)(y − x ) = 0,
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§ 5.
29
FUNZIONI CONTINUE
z, ζ
N
a
β
P
φ
S
y, η
P̂
x, ξ
Figura 3.1: Proiezione stereografica
e quindi se x, y ∈ (−1, 1) e f ( x ) = f (y), allora x = y, dato che certamente xy + 1 ̸= 0
(perché?). Quindi f è iniettiva* . Mostrare che è suriettiva equivale a
mostrare che per ogni y ∈ R esiste un x ∈ (−1, 1) tale che f ( x ) = y, cioè che
l’equazione
yx 2 + x − y = 0
ha una soluzione in x compresa tra −1 e 1. Se y = 0, allora è vero. Se
y ̸= 0, dato che ∆ = 1 + 4y2 , delle due soluzioni dell’equazione almeno una deve
avere norma minore di 1, visto che il loro prodotto è uguale a −1,
( x − x1 )( x − x2 ) = x 2 +
x
− 1.
y
Quindi f è suriettiva. Le due soluzioni sono
√
−1 + 1 + 4y2
x1 =
,
2y
√
−1 − 1 + 4y2
x2 =
.
2y
* La funzione è iniettiva, anche perché è differenziabile e monotona crescente f ′ ( x ) =
x2 + 1
.
(1 − x 2 )2
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30
#3.
OMEOMORFISMI, TOPOLOGIA PRODOTTO E TOPOLOGIA QUOZIENTE
Per ogni y > 0 si ha −x2 > 1+2y
2y > 1, e di conseguenza per ogni y < 0 x2 > 1: quindi
necessariamente x1 ∈ (−1, 1). In altre parole, la funzione inversa di f è
√
1 + 4y2 − 1
g(y) =
2y
(1 + 4y2 ) − 1
=
√
2y( 1 + 4y2 + 1)
2y
=√
,
1 + 4y2 + 1
e anch’essa è continua, dato che è composizione di funzioni continue. Per
finire: omeomorfismo lineare
(a, b) ≈ (−1, 1) ≈ R.
(5.8) Esempio. La funzione f : [0, 2π ) ⊂ R → S 1 ⊂ C definita ponendo f (t ) = eit ∈ S 1
per ogni t è continua e biunivoca. Ma non è aperta: f ([0, 1)) non è aperto in
S 1 , ma [0, 1) ⊂ [0, 2π ) è aperto in [0, 2π ). Quindi non è un omeomorfismo. Vedremo
in seguito che non possono esistere omeomorfismi tra [0, 2π ) e S 1 (cioè i due
spazi non sono omeomorfi).
(5.9) Esempio. Quali tra i seguenti spazi sono omeomorfi tra di loro?
A B C D E F G H I J K L M N O
P Q R S T U V W X Y Z
(5.10) Esempio (Curva di Peano). Curva continua e suriettiva f : I = [0, 1] →
I 2 ⊂ R2 . Figura 3.2.
(5.11) Esempio (I sette ponti di Königsberg). Il grande matematico Leonhard
Euler (1707–1783) nel 1735 si trovò ad affrontare il seguente problema:
trovare una passeggiata (cammino) nella città di Königsberg (o Regiomontium
il latino; ora è chiamata Kaliningrad) che attraversi una e una sola volta
tutti i sette ponti (si veda la figura 3.3). La sua soluzione (negativa)
fu data nel 1736 e pubblicata nel 1741 in Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae
8, 1741, pp. 128-140)* . Si parla di questo lavoro come la nascita della
topologia. Nella foto da satellite 3.4 è possibile notare che negli anni
un certo numero di ponti sono stati distrutti. È possibile ai giorni nostri
risolvere in modo positivo il problema dei ponti superstiti di Kaliningrad?
(5.12) Definizione. Una funzione f : X → Y è
* http://www.math.dartmouth.edu/{~{}}euler/pages/E053.html
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
§ 5.
31
FUNZIONI CONTINUE
Figura 3.2: Curva di Peano
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32
#3.
OMEOMORFISMI, TOPOLOGIA PRODOTTO E TOPOLOGIA QUOZIENTE
Figura 3.3: I sette ponti di Königsberg (figura originale di Euler)
Figura 3.4: I (sette?) ponti di Kaliningrad
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§ 6.
33
TOPOLOGIA PRODOTTO
(i) aperta se l’immagine f ( A) di ogni aperto A di X è aperta in Y .
(ii) chiusa se l’immagine f (C ) di ogni chiuso C di X è chiusa in Y .
(5.13) Una funzione f : X → Y è un omeomorfismo se e solo se almeno una delle
due proprietà è vera:
(i) f è biunivoca, continua e aperta.
(ii) f è biunivoca, continua e chiusa.
§ 6.
TOPOLOGIA PRODOTTO
(Cfr.)*
(6.1) Definizione. Siano X e Y spazi topologici. Il prodotto cartesiano
X × Y ammette una topologia, chiamata topologia prodotto definita a partire
dalla base
U è aperto in X e
base = {U × V ⊂ X × Y :
}.
V è aperto in Y
Affinché la definizione sia ben posta dobbiamo verificare che effettivamente l’insieme di aperti sopra descritto costituisca una base per X × Y :
esercizio (3.1).
Le funzione p1 : X × Y → X e p2 : X × Y → Y definite da p1 ( x, y) = x e p2 ( x, y) = y
si dicono le proiezioni.
(6.2) Se X × Y ha la topologia prodotto, allora X × Y ≈ Y × X (sono omeomorfi),
e le proiezioni p1 : X × Y → X, p2 : X × Y → Y sono continue e aperte.
Iterando il procedimento, si può definire la topologia prodotto di un
insieme finito di spazi topologici X1 ,X2 ,…, Xn , che ha come base la famiglia
˙ n ⊂ X1 × X2 × · · · × Xn .
di sottoinsiemi del tipo U1 × U2 × ×U
(6.3) Proposizione. Una funzione f : X → Y1 × Y2 (che si può scrivere quindi
come f ( x ) = ( f1 ( x ), f2 ( x ))) è continua se e solo se le sue due componenti ( f1 = p1 ◦ f
e f2 = p2 ◦ f ) sono continue.
Dim. Se f
f con le
allora se
di Y1 × Y2 ,
è continua, allora f1 e f2 sono continue perché composizioni di
funzioni continue p1 e p2 . Viceversa, se f1 e f2 sono continue,
V1 × V2 ⊂ Y1 × Y2 è un aperto della base per la topologia (prodotto)
si ha
f −1 (V1 × V2 ) = {x ∈ X : ( f1 ( x ), f2 ( x )) ∈ V1 × V2 }
= {x ∈ X : f1 ( x ) ∈ V1 e
f2 ( x ) ∈ V2 }
= f1−1 (V1 ) ∩ f2−1 (V2 ),
che è aperto perché intersezione di due aperti.
* Cfr:
Sernesi, Vol II, Cap II, §6 [1].
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⨳
34
#3.
OMEOMORFISMI, TOPOLOGIA PRODOTTO E TOPOLOGIA QUOZIENTE
(6.4) Esempio. La topologia di Rn indotta dalla metrica euclidea (topologia
metrica) è uguale alla topologia prodotto.
(6.5) Esempio. I × I è il quadrato (pieno) di R2 . Analogamente, I n è il cubo
di dimensione n.
(6.6) Esempio. Le proiezioni p1 : X × Y → X e p2 : X × Y → Y sono aperte ma
possono non essere chiuse. Per esempio, se X = Y = R,
C = {( x, y) ∈ R2 : xy = 1}
è chiuso, ma
p1 (C ) = {x ∈ R : x ̸= 0} = R ∖ {0}
non è chiuso.
(6.7) Nota. Nell’esercizio precedente C è chiuso perché, se si pone f : R2 → R
definita da f ( x, y) = xy, si ha che f è continua e
C = f −1 ({1}),
che è chiuso in R2 , dato che {1} è chiuso in R (con la topologia metrica).
(6.8) Nota. In generale non è detto che f : X → Y continua e biunivoca sia
un omeomorfismo (potrebbe non essere una mappa aperta e/o chiusa, cioè
l’inversa di f potrebbe non essere continua). Per gli spazi euclidei, però,
vale il seguente teorema dimostrato da Brouwer nel 1912 (di cui non possiamo
dare la dimostrazione – Hanc marginis exiguitas non caperet).
(6.9) Teorema (Invarianza del dominio). Se X ⊂ Rn è un aperto e f : X → Rn
(lo spazio Rn è inteso con la topologia metrica) è una funzione continua
e iniettiva, allora f è anche una mappa aperta.
(6.10) Corollario. Se
omeomorfismo.
§ 7.
f : Rn → Rn è continua e biunivoca, allora è un
SPAZI DI IDENTIFICAZIONE E TOPOLOGIE QUOZIENTE
(Cfr.)*
Abbiamo visto la definizione di funzioni continue, proprietà di composizione e restrizione di funzioni continue. Vediamo ora come costruire spazi
topologici a partire da spazi dati.
Ricordiamo che una relazione su un insieme X è detta relazione di
equivalenza se è riflessiva, simmetrica e transitiva. In genere una relazione di equivalenza su X viene indicata con il simbolo “∼”. Quindi x ∼ x,
* Cfr:
Sernesi, Vol II, Cap II, §7 [1].
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§ 7.
SPAZI DI IDENTIFICAZIONE E TOPOLOGIE QUOZIENTE
35
( x ∼ y ⇐⇒ y ∼ x ) e ( x ∼ y ∧ y ∼ z =⇒ x ∼ z ) Il fatto fondamentale è questo: ad una
relazione di equivalenza si associa naturalmente una partizione di X in
classi di equivalenza. Cioè, per ogni x si definisce il sottoinsieme di X
[ x ] = {y ∈ X : y ∼ x} ⊂ X,
e risulta che x ∼ y ⇐⇒ [ x ] = [y]. Le classi di equivalenza distinte sono a
due a due disgiunte
[ x ] ∩ [y] ̸= ∅ =⇒ [ x ] = [y]
e X è l’unione delle sue classi di equivalenza. L’insieme di tutte le
classi di equivalenza in X viene indicato con X/∼ , ed è detto anche insieme quoziente. La funzione p : X → X/∼ che associa ad ogni x ∈ X la sua
classe di equivalnza [ x ] ∈ X/∼ è chiamata la proiezione sul quoziente. Quindi
una relazione di equivalenza determina una funzione suriettiva p : X → X/∼
sull’insieme delle classi di equivalenza.
Viceversa, data una funzione suriettiva f : X → Y , Y è in corrispondenza
biunivoca con l’insieme delle classi di equivalenza date dalla relazione
∀x, y ∈ X, x ∼ y ⇐⇒ f ( x ) = f (y).
Quindi le relazioni di equivalenza su X e le funzioni suriettive con
dominio X si corrispondono.
Problema: sia ∼ una relazione di equivalenza su uno spazio topologico,
e f : X → X/∼ = Y la proiezione sull’insieme quoziente. Come dare ad X/∼ una
topologia?
Le relazioni di equivalenza in un certo senso corrispondono con l’operazione di “incollamento” di punti diversi di uno spazio topologico,
cioè “identificando” tra loro punti diversi (che quando appartengono alla
stessa classe di equivalenza, saranno identificati ad un punto dell’insieme
quoziente).
(7.1) Esempio. (i) I0∼1 : incollare tra di loro gli estremi di un segmento.
(ii) R con x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ Z. Cos’è l’insieme quoziente? La classe di
equivalenza di x ∈ R è per definizione
= {y ∈ R : y − x ∈ Z}
= {y ∈ R : ∃k ∈ Z, y − x = k}
= {y ∈ R : ∃k ∈ Z, y = x + k}
= {x + k : k ∈ Z}
= x + Z.
Qui usiamo la notazione x + Z = {x + z : z ∈ Z}, se Z è un insieme di elementi
che si possono sommare a x.
(iii) R2 con x = ( x1 , x2 ) ∼ y = (y1 , y2 ) ⇐⇒ x − y ∈ Z2 .
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36
#3.
OMEOMORFISMI, TOPOLOGIA PRODOTTO E TOPOLOGIA QUOZIENTE
(iv) Nastro di Möbius: è possibile costruirlo incollando in modo opportuno
gli estremi di un nastro.
(7.2) Definizione. Se X è un insieme e A ⊂ X un sottoinsieme, si scrive X/A
(quoziente di X su A) per indicare l’insieme ottenuto identificando A ad
un punto, che è l’insieme ottenuto dalla relazione di equivalenza in cui
le classi di equivalenza sono tutti i singoli punti di X ∖ A e l’intero A.
(7.3) Definizione. Sia F : X → Z una funzione tra insiemi, e ∼ una relazione
di equivalenza su X, con proiezione sul quoziente p : X → X/∼ , p( x ) = [ x ] ∈ X/∼ .
Si dice che la funzione F passa al quoziente se è possibile definire una
funzione sul quoziente f : X∼ → Z con la proprietà che per ogni x ∈ X
F ( x ) = f ( p( x )).
(7.4) Sia X come sopra un insieme con una relazione di equivalenza ∼, e
F : X → Z una funzione qualsiasi. Allora F passa al quoziente se e soltanto
se è costante sulle classi di equivalenza in X.
Dim. Supponiamo che F passi al quoziente. Allora esiste f : X/∼ → Z tale che
per ogni x ∈ X si ha F ( x ) = f ([ x ]). Ma allora per ogni y ∈ [ x ] vale p(y) = [y] = [ x ],
e quindi
F (y) = f ( p(y)) = f ([ x ]) = F ( x ),
cioè F è costante sulla classe di equivalenza [ x ].
Viceversa, se F è costante sulle classi di equivalenza, definiamo f : X/∼ →
Z ponendo
f ([ x ]) = F ( x ).
La definizione di f è ben posta, perché se [ x ] = [y], allora F ( x ) = F (y) per
ipotesi, e quindi f ([ x ]) = f ([y]). E per ogni x si ha F ( x ) = f ( p( x )), per cui F
passa al quoziente.
⨳
(7.5) Esempio. Consideriamo i due esempi I0∼1 e X = R/∼ definiti nell’esempio
(7.1). Se indichiamo con ∂I = {0, 1} il bordo di I, allora 0∼1 è l’insieme
ottenuto identificando ∂I ⊂ I = [0, 1] ⊂ R ad un punto, secondo la definizione
(7.2).
Osserviamo che I0∼1 e X sono in corrispondenza biunivoca. Infatti, la
funzione
F: I → X
definita ponendo F (t ) = [t ] = t + Z ∈ X passa al quoziente. Per (7.4), basta
verificare che F è costante sulle classi di equivalenza in I. Ma visto
che c’è una sola classe in I con più di un elemento (cioè ∂I = {0, 1}), basta
verificare che F (0) = F (1). Infatti, F (0) = Z ⊂ R, mentre F (1) = 1 + Z = Z ⊂ R.
Dimostriamo anche che la funzione indotta f : I/0∼1 → X è biunivoca. Infatti,
siano [s] e [t ] due punti distinti di I0∼1 , cioè due classi di equivalenza. Dato
che sono distinti, almeno uno dei due è diverso dalla classe ∂I. Supponiamo
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§ 7.
SPAZI DI IDENTIFICAZIONE E TOPOLOGIE QUOZIENTE
37
che quindi s ∈ (0, 1). Se fosse vero che f ([s]) = f ([t ]), allora per definizione
dovrebbe essere che s + Z = t + Z, cioè esiste k ∈ Z tale che s − t = k. Osserviamo
che s ∈ (0, 1) e t ∈ [0, 1], quindi −t ∈ [−1, 0] e
s−t < 1−t ≤ 1−0 = 1
s − t > 0 − t ≥ 0 − 1 = −1,
e quindi k = s − t è un intero compreso nell’intervallo −1 < k < 1. Ma l’unico
intero possibile è k = 0, e quindi s = t contro l’ipotesi che [s] ̸= [t ]. Quindi
f è iniettiva.
Verifichiamo che è suriettiva: per ogni x ∈ R esistono un intero n (la
parte intera di x) e un δ ∈ R tali che
x = n + δ,
n ∈ Z,
0 ≤ δ < 1.
Quindi per ogni x ∈ R si ha che esiste δ ∈ [0, 1) tale che x − δ ∈ Z, cioè
[ x ] = [δ ]. Ma questo implica che f è suriettiva, dato che esiste t = δ per cui
l’elemento [t ] ∈ I0∼1 ha immagine mediante f uguale a [ x ].
(7.6) Definizione. Se X è uno spazio topologico e f : X → Y una funzione
suriettiva, allora si definisce la topologia quoziente su Y come la topologia i cui aperti sono tutti e soli i sottoinsiemi A ⊂ Y per cui la
controimmagine f −1 ( A) ⊂ X è aperto. Lo spazio Y si dice spazio quoziente di
X rispetto alla proiezione f .
(7.7) La definizione (7.6) è ben posta: la classe di aperti descritta è in
effetti una topologia su Y .
Dim. Sia f : X → Y come nella definizione (7.6).
f −1 (∅) = ∅ ⊂ X =⇒ ∅ aperto di Y .
f −1 (Y ) = X =⇒ Y aperto di Y ;
∀i, Ai ⊂ Y aperto , f −1 (∪i Ai ) = ∪i f −1 Ai
=⇒ ∪i Ai aperto di Y .
( A1 ∩ A2 ) = f −1 A1 ∩ f −1 A2
=⇒ A1 ∩ A2 aperto di Y .
A1 , A2 ⊂ Y aperti , f
−1
⨳
(7.8) Se f : X → Y è continua e suriettiva, allora la topologia di Y è
contenuta nella topologia quoziente (cioè ogni aperto di Y è aperto nella
topologia quoziente di X).
Dim. Per definizione di continuità, se f : X → Y è continua e A ⊂ Y è aperto
nella topologia di Y , allora f −1 ( A) è aperto in X, e quindi per definizione
di topologia quoziente è aperto nella topologia quoziente.
⨳
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38
#3.
OMEOMORFISMI, TOPOLOGIA PRODOTTO E TOPOLOGIA QUOZIENTE
Figura 3.5: Toro, ≈ S 1 × S 1
(7.9) Teorema. Sia X uno spazio topologico, e p : X → X/∼ = Y la proiezione
sullo spazio quoziente Y . Se una funzione F : X → Z è continua e passa al
quoziente, allora la funzione indotta sul quoziente f : X/∼ → Z è continua.
Dim. La funzione indotta f : Y = X/∼ → Z è continua se e soltanto se per ogni
aperto A ⊂ Z, la controimmagine f −1 A ⊂ Y è un aperto di Y . Ma gli aperti di
Y sono tutti e soli i sottoinsiemi B ⊂ Y le cui controimmagini p−1 B sono
aperti di X. Quindi f −1 A è aperto se e soltanto se p−1 f −1 A ⊂ X è aperto in
X. Ma p−1 f −1 A = F −1 A, dato che F = f ◦ p per ipotesi, e dal momento che F è
continua F −1 A è un aperto di X.
⨳
(7.10) Esempio. Il toro (superficie di una ciambella)* : [0, 1] × [0, 1] con le
identificazioni (i.e. relazione di equivalenza…)
(i) (0, 0) ∼ (1, 0) ∼ (1, 1) ∼ (0, 1).
(ii) ( x, 0) ∼ ( x, 1) per 0 < x < 1.
(iii) (0, y) ∼ (1, y) per 0 < y < 1.
È omeomorfo a S 1 × S 1 ?
(7.11) Esempio. Il disco: D1 (0, R2 ) = D2 = {( x, y) ∈ R2 : x 2 + y2 ≤ 1}, quozientato
rispetto alla relazione di equivalenza:
x ∈ ∂D2 ∧ y ∈ ∂D2
x ∼ y ⇐⇒
x = y
(x e y stanno sul bordo)
altrimenti
Il quoziente risulta essere omeomorfo ad una sfera. Perché?
* Si
veda http://it.wikipedia.org/wiki/Toro_(geometria) per approfondimenti.
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§ 7.
39
SPAZI DI IDENTIFICAZIONE E TOPOLOGIE QUOZIENTE
x
−x
Figura 3.6: Identificazione antipodale dei punti sul bordo del disco
(7.12) Esempio. Il piano proiettivo* : D2 quozientato rispetto alla relazione:
se x ∈ ∂D2 ∧ y ∈ ∂D2
x = −y
x ∼ y ⇐⇒
x = y
altrimenti
Analogo: S 2 /∼ dove x ∼ y ⇐⇒ x = ±y (antipodale). Perché le due definizioni
sono equivalenti? Lo vedremo meglio più avanti.
(7.13) Esempio. Nastro di Möbius: si prenda un nastro sufficientemente
lungo, e si incollino i due estremi, dopo aver fatto fare mezzo giro al
nastro. Lo spazio che risulta deve avere una faccia sola† . Cosa succede
se si taglia un nastro di Möbius esattamente a metà, lungo la sua linea
mediana? Si ottengono due nastri di Möbius? Due cilindri? Un nastro di
Möbius? Un cilindro? E se il taglio inizia a 1/4 dalla linea mediana?
(7.14) Esempio. La bottiglia di Klein si può ottenere come somma di due
nastri di Möbius, incollati lungo i bordi, oppure identificando opportunamente i lati opposti di un quadrato, a due a due, in modo che due siano
identificati per il medesimo verso, e due per il verso opposto‡ .
* Si
veda
http://it.wikipedia.org/wiki/Piano_proiettivo
per
approfondimenti.
Comunque
ritorneremo più avanti sul piano proiettivo.
† Si veda http://it.wikipedia.org/wiki/Nastro_di_M%C3%B6bius e http://areeweb.polito.it/didattica/
polymath/htmlS/argoment/Matematicae/Aprile_07/AnelliMobius.htm per approfondimenti.
‡ Si veda http://it.wikipedia.org/wiki/Bottiglia_di_Klein per approfondimenti.
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40
#3.
OMEOMORFISMI, TOPOLOGIA PRODOTTO E TOPOLOGIA QUOZIENTE
Figura 3.7: Il nastro di Möbius
Figura 3.8: Bottiglia di Klein: somma di due nastri di Möbius, incollati
lungo i bordi
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41
Esercizi
ESERCIZI
(3.1) Verificare che la famiglia di sottoinsiemi U × V , con U aperto in X
e V aperto in Y è una base di intorni nello spazio prodotto (cartesiano)
X × Y.
(3.2) Dimostrare che se X × Y ha la topologia prodotto e A ⊂ X, B ⊂ Y sono
sottospazi, allora A × B = A × B, e che A × B è aperto in X × Y se e solo se A
è aperto in X e B è aperto in Y .
*(3.3) Dimostrare che [0, 1) × [0, 1) è omeomorfo a [0, 1] × [0, 1).
(3.4) Dimostrare che se f : X → Y è una funzione, A è un sottospazio di Y
con la topologia indotta tale che f X ⊂ A ⊂ Y , allora la funzione f : X → Y è
continua se e solo se lo è la funzione f A : X → A, dove f A indica la funzione
definita da f A ( x ) = f ( x ) ∈ A ⊂ X per ogni x ∈ X.
(3.5) Dimostrare che Q = R (dove Q denota il campo dei razionali) ma che
Q non ha punti interni in R.
(3.6) Dimostrare che il quadrato
{( x, y) ∈ R2 : max(|x|, |y|) = 1}
è omeomorfo alla circonferenza {( x, y) ∈ R2 : x 2 + y2 = 1}.
(3.7) Dimostrare che la mappa diagonale ∆ : X → X × X definita da x 7→ ( x, x ) è
continua.
*(3.8) Dimostrare che una mappa suriettiva, continua e chiusa è una mappa
quoziente.
*(3.9) È vero che la mappa di proiezione p1 : X × Y → X è sempre una mappa
chiusa?
(3.10) Sia p1 : R2 = R × R → R la proiezione sulla prima coordinata. Sia
A = {( x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 ∨ y = 0},
e f : A → R la restrizione di p1 a A. La mappa f è aperta/chiusa?
(3.11) Dimostrare che se f : X → Y è una funzione tra insiemi allora la
relazione x ∼ y ⇐⇒ f ( x ) = f (y) è una relazione di equivalenza, e la funzione
f induce una funzione biunivoca tra l’insieme delle classi di equivalenza
e f (X ) ⊂ Y .
*(3.12) Che spazio si ottiene identificando ad un punto il bordo di un
nastro di Möbius?
(3.13) Classificare in modo intuitivo (a meno di omeomorfismo) i seguenti
spazi:
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42
#3.
OMEOMORFISMI, TOPOLOGIA PRODOTTO E TOPOLOGIA QUOZIENTE
(i) Cilindro = {( x, y, z ) ∈ R3 : x 2 + y2 = 1 ∧ z2 ≤ 1}.
(ii) Cono = {( x, y, z ) ∈ R3 : z2 = x 2 + y2 ∧ 0 ≤ z ≤ 1}.
(iii) Toro (≈ S 1 × S 1 ≈ . . . ).
(iv) Cilindro (vedi sopra) con ognuna delle due circonferenze (date da z = 1
e z = −1) di bordo identificate ad un punto.
(v) La sfera {( x, y, z ) ∈ R3 : x 2 + y2 + z2 = 1}.
(vi) La sfera (vedi sopra) meno un punto.
(vii) Il piano R2 .
*(3.14) Dimostrare che la somma, il prodotto e la sottrazione sono operazioni
continue su R.
(3.15) Dimostrare che i seguenti insiemi sono insiemi chiusi di R2 :
(i) {( x, y) : xy = 1}.
(ii) ( x, y) : x 2 + y2 = 1}.
(iii) {( x, y) : x 2 + y2 ≤ 1}.
(iv) {( x, y) : x 3 + y3 = 1} (e in generale, {( x, y) : x n + yn = 1}).
*(3.16) Sia f : X → Y una funzione continua (mappa). Dimostrare che se esiste
una funzione continua g: Y → X (inversa destra) tale che f ◦ g è l’identità di
Y , allora f è una mappa quoziente. Se g = i è l’inclusione di un sottospazio
i : Y = A ⊂ X (dove A ha la topologia indotta da X), allora il fatto che i
sia inversa destra di f si legge f ◦ i = 1Y , e cioè ∀x ∈ A, f ( x ) = x, cioè la
restrizione f | A è uguale all’identità 1 A. In questo caso la mappa f si dice
retrazione.
*(3.17) Consideriamo in R la relazione di equivalenza x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ Q (se
la differenza è razionale); Qual è la topologia dello spazio quoziente R/∼ ?
(Dimostrare che è la topologia banale.)
(3.18) Dimostrare che la composizione di mappe quoziente è una mappa
quoziente.
(3.19) Dimostrare che una funzione quoziente è iniettiva se e solo se è un
omeomorfismo.
*(3.20) Siano X e Y due spazi metrici con metriche d X e dY . Dimostrare che
la funzione d : X × Y → R definita da
√
d (( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )) = d X ( x1 , x2 )2 + dY (y1 , y2 )2
è una metrica sul prodotto X × Y . Dimostrare anche che la topologia indotta
da d coincide con la topologia prodotto.
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43
Esercizi
*(3.21) (Orecchini delle Hawaii) Sia X l’unione delle circonferenze {( x, y) ∈
R2 : ( x − n1 )2 + y2 = ( 1n )2 }, per n = 1, 2, 3 . . . con la topologia indotta da R2 , e sia
Y lo spazio ottenuto identificando tutti gli interi Z ⊂ R ad un punto.
Determinare (in modo intuitivo) se X e Y sono omeomorfi o meno.
(3.22) Dimostrare che le due funzioni s : R2 → R e p : R2 → R definite da
s( x, y) = x + y,
p( x, y) = xy
sono continue.
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#3.
OMEOMORFISMI, TOPOLOGIA PRODOTTO E TOPOLOGIA QUOZIENTE
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Settimana N° 4
COMPATTEZZA
§ 8.
(ii)
COMPATTEZZA
(Cfr.)*
Alcune importanti proprietà di R (dove un sottoinsieme viene detto
compatto se è chiuso e limitato):
(i) L’immagine di un compatto mediante una funzione continua è compatta.
(ii) L’immagine di un intervallo chiuso e limitato mediante una funzione
continua è un intervallo chiuso e limitato (teorema del valore intermedio). (È vero anche se l’intervallo è chiuso ma non è limitato?)
(iii) Una funzione continua ammette massimo e minimo in ogni intervallo
chiuso e limitato.
(iv) Ogni successione di Cauchy converge.
(v) Se A ⊂ R è compatto, allora ogni successione in A ammette una sottosuccessione convergente.
Vedremo in che modo che queste proprietà derivino da certe proprietà
topologiche della retta reale. Richiamiamo gli assiomi della retta reale
R (un campo ordinato con due ulteriori assiomi):
(8.1) Valgono i seguenti assiomi del campo ordinato dei numeri reali R:
(i) Assiomi di campo:
(a) ∀x, y, z ∈ R, ( x + y) + z = x + (y + z ), ( xy)z = x (yz ).
(b) ∀x, y ∈ R, x + y = y + x, xy = yx.
* Cfr:
Sernesi Vol II, Cap III, §9 [1].
45
46
#4.
COMPATTEZZA
(c) ∃0 ∈ R : ∀x ∈ Rx + 0 = x; ∃1 ∈ R : ∀x ∈ R, x ̸= 0 =⇒ 1x = x.
(d) ∀x ∈ R, ∃ unico y ∈ R : x + y = 0. ∀x ∈ R, x ̸= 0, ∃ unico y ∈ R : xy = 1.
(e) ∀x, y, z ∈ R, x (y + z ) = xy + xz.
Assiomi di campo ordinato: la relazione > induce un ordine* totale su
R in modo tale che
(a) x > y =⇒ x + z > y + z.
(b) x > y, z > 0 =⇒ xz > yz.
(iii) Proprietà dell’ordinamento (continuo lineare):
(a) (Completezza di Dedekind) La relazione d’ordine < ha la proprietà
dell’estremo superiore (cioè ogni insieme non vuoto superiormente
limitato ha l’estremo superiore).
(b) Se x < y, allora esiste un numero z ∈ R tale che x < z < y.
(8.2) Teorema. Esiste una unica retta reale, cioè: Esiste uno e un solo
campo (R) che soddisfa tutti gli assiomi di (8.1).
Dim. In seguito, per esercizio (opzionale).
⨳
(8.3) Nota. Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐέν, “un punto è ciò che non ha parti”,
Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές, “una linea è una lunghezza senza larghezza”, Γραμμῆς
δὲ πέρατα σημεῖα,e “gli estremi di una linea sono punti”. Ma cosa è una linea
retta? Εὐεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ' ἑαυτῆς σημείοις κεῖται, “una linea retta
è una linea che giace ugualmente rispetto ai punti su di essa”. Elementi
di Euclide, pubblicato per la prima volta intorno al III secolo BCE ad
Alessandria.†
* Una
relazione R su X si dice relazione d’ordine (stretto) se
(a) ∀x ∈ X, ¬( xRx ) ( x ̸< x);
(b) ∀x, y ∈ X, xRy =⇒ ¬(yRx ) (x < y =⇒ y ̸< x);
(c) ∀x, y, z ∈ X, xRy ∧ yRz =⇒ xRz (x < y ∧ y < z =⇒ x < z);
L’ordine è totale se è anche tricotomico, cioè ∀x ̸= y ∈ X, allora ( x < y) ∨ (y < x ).
† La citazione in greco è presa da Euclid. Euclidis Elementa J. L. Heiberg. Leipzig.
Teubner. 1883-1888. Il testo degli Elementi di Euclide è il libro più famoso dell’antichità
classica, anche perché è stato usato come libro di testo ininterrottamente dal III secolo
BCE fino ai giorni nostri. Curiosamente, fino a non molto tempo fa il testo originale (in
greco) era disponibile a stampa solo con l’edizione di Heiberg e Menge (1883-1888), con
testo latino a fronte. Una versione interessante con il testo a fronte in inglese si può
trovare a: http://farside.ph.utexas.edu/euclid/Elements.pdf , basata sull’edizione di Heiberg.
Il filologo danese Heiberg aveva ricostruito il testo originale dei 13 (non 15, come si
credeva anticamente) libri degli Elementi, a partire dai manoscritti disponibili. I due
principali erano il D’Orville 301, ora nella Biblioteca Bodleiana di Oxford (scritto nel
888 CE dal copista Stefano, a Costantinopoli – consultabile on-line su http://rarebookroom.
org/Control/eucmsd/index.html o nel sito della Bodleian Library), e il Manoscritto 190 della
Biblioteca Vaticana (il Vaticanus graecus 190, che risale al decimo secolo; dal Vaticano
Napoleone lo portò a Parigi nel 1810, e lo fece esaminare da F. Peyrard che ne comprese
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 30 Μαΐου 2014
§ 8.
47
COMPATTEZZA
Αἰτήματα
α'. Ἠιτήσω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
β'. Καὶ πεπερασμένην εὐεῖαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἐπ' εὐείας ἐκϐαλεῖν.
γ'. Καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράφεσαι.
δ'. Καὶ πάσας τὰς ὀρὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι.
ε'. Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐείας εὐεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρῶν
ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκϐαλλομένας τὰς δύο εὐείας ἐπ'ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ' ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν
δύο ὀρῶν ἐλάσσονες.
Traduzione:
Assiomi
1. Per ogni coppia di punti è possibile tracciare un segmento che ha i
due punti per estremi.
2. Ogni segmento di retta si può prolungare dai due lati.
3. Dati un punto (centro) e un raggio arbitrari, è possibile tracciare
la circonferenza con centro e raggio dati.
4. Tutti gli angoli retti sono uguali tra di loro.
5. Se una linea retta che incontra altre due linee rette ha angoli interni
dallo stesso lato minori di due angoli retti, allora le due linee rette
si incontreranno (prolungandole indefinitamente) dalla parte dei due
angoli citati.
Perché la nota (8.3) è stata giustapposta agli assiomi della retta reale
R (8.1)? Si tratta di due espressioni molto importanti della presentazione
assiomatica della matematica. Gli Elementi di Euclide sono stati la prima
e più importante opera matematica in cui una teoria matematica è stata
presentata a partire da un insieme di postulati (o assiomi), oltre che certe
nozioni comuni e schemi di deduzione (la logica). I risultati (Teoremi,
Proposizioni, Lemmi, Corollari) vengono quindi dedotti con il massimo
rigore, attraverso un lungo processo di dimostrazione delle affermazioni.
È interessante però osservare che proprio l’evidenziare quali assiomi si
seguono permette poi di creare e confrontare diverse teorie, e di valutare
l’importanza e lo usò per pubblicare la sua edizione in francese e latino dei primi 12
capitoli degli Elementi, così come fece successivamente Heiberg; il manoscritto fu poi
riportato a Roma nel 1815, con la restaurazionei dell’Ancien Régime, e non sembra essere
consultabile on-line). L’importanza del Vaticanus graecus 190 sta nel fatto che il copista
aveva avuto a disposizione sia la copia di Teone di Alessandria (IV secolo CE, padre
della famosa Ipazia di Alessandria; purtroppo la copia di Teone aveva molto semplificato
e alterato il testo di Euclide) che altre versioni precedenti più fedeli all’originale.
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
48
#4.
COMPATTEZZA
le conseguenze delle scelte. Per esempio, i cinque assiomi di Euclide non
sono gli unici, per la geometria del piano: i tredici assiomi per il piano
di Hilbert, per esempio, presentati nel Grundlagen der Geometrie, 1899,
sono una alternativa più rigorosa. Anche la retta dei numeri reali può
essere presentata in modi diversi da (8.1): per esempio con la teoria
delle proporzioni di Eudosso, oppure con la versione predicativa di Herman
Weyl (che riteneva che la definizione stessa di estremo superiore fosse
inaccettabile nella forma attuale, e provò a ragionare su presentazioni più
intuitive del continuum), o anche con la versione costruttiva di Errett
Bishop, che segue l’intuizionismo di L.E.J. Brouwer* e la versione non
costruttiva di Abraham Robinson† dei numeri reali non standard o iperreali.
Non solo gli oggetti matematici possono essere presentati con sistemi di
assiomi diversi e non sempre equivalenti: anche il modo di ragionare, cioè
la logica stessa, e il linguaggio usato per comunicare sono oggetto di
riflessioni. In queste note cercheremo di non toccare mai queste quesioni
delicate, ma si tenga conto che questo è un modo di presentare questi
argomenti, e non il modo.
(8.4) Definizione. Uno spazio topologico X viene detto di Hausdorff se per
ogni x, y ∈ X, x ̸= y, esistono due intorni U x e U y di x e y rispettivamente
tali che
U x ∩ U y = ∅.
(8.5) Nota. Ogni spazio metrizzabile è di Hausdorff (vedi esercizio (4.4)).
Abbiamo già accennato alla definizione di successione convergente (in
spazi metrici). Definiamo ora la convergenza di successioni in spazi
topologici.
(8.6) Definizione. Si dice che una successione {xn } in X converge ad un
punto x̄ ∈ X se per ogni intorno U x̄ di x̄ esiste un intero n (che dipende da
U x̄ ) tale che
j ≥ n =⇒ x j ∈ U x̄ .
In tal caso si scrive
lim xn = x̄
n
e si dice che xn converge a x̄.
Se una successione in uno spazio topologico X non è altro che una funzione
x : N → X, allora una sottosuccessione è la composizione x ◦ n : N 7→ N → X di
x con una funzione n : N → N monotona (strettamente) crescente (cioè tale
che k < k ′ =⇒ nk < nk ′ ).
(8.7) Se xnk è una sottosuccessione di una successione convergente xn (con
limite limn xn = x̄), allora la sottosuccessione converge al medesimo limite
limk xnk = x̄.
* John
Myhill, What is a Real Number? Amer. Math. Monthly 79 (1972), 748-754.
A. H. Infinitesimals. Amer. Math. Monthly 79 (1972), 242–251.
† Lightstone,
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
§ 8.
49
COMPATTEZZA
Dim. Vedi esercizio (4.6).
⨳
(8.8) (Unicità del limite) Sia X uno spazio di Hausdorff e {xn } una successione in X. Se limn xn = x̄ e limn xn = ȳ, allora x̄ = ȳ.
Dim. Esercizio (4.7).
⨳
(8.9) Definizione. Uno spazio topologico X si dice compatto se ogni ricoprimento aperto {Ui }i di X (cioè una famiglia di aperti {Ui }i∈J tale che
X = ∪i∈J Ui ) ha un sottoricoprimento finito, cioè esiste un sottoinsieme
finito di indici J0 ⊂ J tale che
∪
X=
Ui
i∈J0
(8.10) Nota. Uno spazio metrico si dice compatto quando lo spazio topologico
associato (con la topologia metrica) è compatto.
Se Y ⊂ X è un sottospazio di uno spazio topologico X, con la topologia
indotta da quella di X, allora un ricoprimento di Y può essere inteso come
una famiglia di aperti {Ui }, con Ui ⊂ X, tali che
∪
Ui .
Y⊂
i
Le intersezioni Ui ∩ Y sono gli aperti di Y (nella topologia indotta) della
definizione (8.9).
(8.11) Esempio. Sia X = {x ∈ Q : 0 ≤ x ≤ 1}. L’insieme di tutti gli aperti Vk,n
della forma
k k
Vk,n = (
, ),
n+1 n
con k, n ∈ N, k ≤ n non è un ricoprimento di X. Perché? È un ricoprimento di
Y = {x ∈ Q :
2
1
≤ x ≤ }?
3
3
(8.12) Esempio. L’insieme di tutti gli aperti Vn della forma Vn = (
per n ∈ N è un ricoprimento aperto di (0, 1) ⊂ R.
1 1
, ),
n+2 n
(8.13) Esempio. L’insieme di intervalli aperti
√
√
√
√
2
< x < 22 + n2 }
{x ∈ Q : 22 + n+1
se n ≥ 1:
√
√
√
√
Vn =
2
se n ≤ −1:
{x ∈ Q : 22 − |n|2 < x < 22 − |n|+1
,}
con n ∈ Z ∖ {0} è un ricoprimento dell’insieme X = {x ∈ Q : 0 < x < 1}.
(8.14) Esempio. Sia Vn l’insieme
√
1 √
1
Vn = {x ∈ Q : x ̸∈ [ 2 − , 2 + ]},
n
n
definito per ogni intero n ≥ 1. La famiglia {Vn } è un ricoprimento aperto di
X = {x ∈ Q : 0 < x < 2}, che non ammette sottoricoprimenti finiti.
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50
#4.
COMPATTEZZA
(8.15) Se X è compatto e C ⊂ X è un sottoinsieme chiuso, allora C è compatto
(con la topologia indotta).
Dim. Se {Ui }i∈J è un ricoprimento mediante aperti di C, allora, con un abuso
di notazione, possiamo considerare un ricoprimento di C mediante aperti
dato da {C ∩ Ui }i∈J , dove Ui sono aperti di X. Dato che C è chiuso X ∖ C è
aperto, e quindi
{X ∖ C} ∪ {Ui }i∈J
è un ricoprimento aperto di tutto X (dato che C ⊂ ∪i Ui ), e quindi esiste un
sottoricoprimento finito, che sarà della forma
{X ∖ C} ∪ {Ui }i∈J0
oppure {Ui }i∈J0 . In entrambi i casi, risulta
∪
C⊂
Ui ,
i∈J0
e quindi la tesi.
⨳
(8.16) Un sottospazio compatto di uno spazio di Hausforff è chiuso.
Dim. Sia C ⊂ X sottospazio compatto di uno spazio di Hausdorff X. Dimostriamo che C è chiuso. Sia x ∈ X ∖ C. Per ogni c ∈ C, dato che X è di Hausdorff,
esistono due intorni disgiunti Uc e Vc tali che Uc ∩ Vc = ∅, c ∈ Uc , x ∈ Vc . Ora,
{Uc }c∈C è un ricoprimento di C di aperti, quindi esiste un sottoricoprimento
finito, cioè
C ⊂ U c1 ∪ U c2 ∪ · · · ∪ U c N .
L’intersezione di un numero finito di aperti è aperto, quindi
V = V c1 ∩ V c2 ∩ · · · ∩ V c N
è un aperto che contiene x. Dato inoltre che per ogni i = 1 . . . N, l’intersezione Vci ∩ Uci = ∅,
V ∩ C = ∅,
cioè V ⊂ X ∖ C e quindi X ∖ C è aperto per l’arbitrarietà di x, cioè C è
chiuso.
⨳
(8.17) L’immagine di un compatto mediante una funzione continua è compatta.
Dim. Sia X compatto e f : X → Y una funzione continua. Dobbiamo dimostrare
che f ( X ) è compatto con la topologia indotta da Y . Ogni ricoprimento aperto
{Ui }i di f ( X ) in Y induce un ricoprimento aperto
{ f −1 (Ui )}i
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
§ 8.
51
COMPATTEZZA
di X, che ha un sottoricoprimento finito dal momento che X è compatto. La
tesi segue dal fatto che per ogni i
f ( f −1 (Ui )) ⊂ Ui ,
e quindi gli {Ui } corrispondenti al sottoricoprimento finito { f −1 Ui } coprono
f ( X ).
⨳
(8.18) Corollario. Se X e Y sono due spazi topologici omeomorfi, allora X
è compatto se e solo se Y è compatto.
Dim. Sia f : X → Y un omeomorfismo. Se X è compatto, allora f ( X ) = Y è
compatto. Viceversa, se Y è compatto, allora X = f −1 (Y ) è compatto dato che
f −1 è continua.
⨳
(8.19) Teorema. Una funzione f : X → Y continua tra X compatto e Y Hausdorff
è sempre chiusa.
Dim. Se C ⊂ X è un chiuso di X, allora per (8.15) C è compatto. Ma per
(8.17) f (C ) è compatto di Y , ed un compatto di uno spazio di Hausdorff è
⨳
chiuso per (8.16), quindi f (C ) è chiuso.
(8.20) Una funzione continua, suriettiva e chiusa è una mappa quoziente
Dim. Esercizio (3.8).
⨳
(8.21) Corollario. Una funzione continua f : X → Y , biunivoca da un compatto
X a un Hausdorff Y è un omeomorfismo.
Dim. È continua, biunivoca e chiusa, dunque un omeomorfismo.
⨳
(8.22) Esempio. Mostriamo che I0∼1 (l’intervallo [0, 1] con gli estremi identificati ad un punto) è omeomorfo alla circonferenza S 1 = {z ∈ C : |z|2 = 1}. Sia
p : I → I0∼1 la proiezione sul quoziente. La funzione f : I → S 1 definita da
f (t ) = e2πit = cos 2πt + i sin 2πt = (cos 2πt, sin 2πt )
è continua se e soltanto se lo sono le sue componenti, per la proposizione
(6.3) a pagina 33; ma queste lo sono in quanto composizioni di funzioni
continue* . Osserviamo il seguente diagramma:
I
p
f
/ S1
=
f¯
I0∼1
* Per
poter dimostrare la continuità delle funzioni sin x, cos x occorrerebbe prima definirle:
come sono definite?
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
52
#4.
COMPATTEZZA
La funzione f¯ è indotta dalla funzione f sul quoziente, nel seguente modo:
f¯([ x ]) = f ( x )
per ogni [ x ] ∈ I0∼1 , cioè per ogni x ∈ I. Essa è ben posta semplicemente perché
f (0) = f (1). Ora, osserviamo che f è biunivoca, dal momento che è iniettiva
in (0, 1) e
f¯−1 (1) = {0, 1} = [0] ∈ I0∼1 .
Mostriamo che la funzione indotta f¯ è continua: se U ⊂ S 1 è un aperto,
allora f¯−1 (U ) è aperto nella topologia indotta se e soltanto se la sua
controimmagine mediante p in I è aperto, cioè se e soltanto se p−1 f¯−1 U è
aperto in I. Ma
p−1 f¯−1 U = {x ∈ I : p( x ) ∈ f¯−1 U}
= {x ∈ I : f¯( p( x )) ∈ U
= {x ∈ I : f ( x ) ∈ U} = f −1 U ,
che è aperto dato che f è continua.
Per poter usare il Corollario (8.21) occorre mostrare che I0∼1 è compatto
e che S 1 è Hausdorff. Ma I0∼1 è l’immagine di dell’intervallo I mediante
la proiezione (continua) p, e quindi, visto che I ⊂ R è compatto (lo
dimostreremo direttamente, con il Teorema di Heine-Borel (9.11) a pagina
67), per la proposizione (8.17) anch’esso è compatto. Infine, S 1 ha la
topologia metrica di C ∼
= R2 , e quindi è di Hausdorff (cfr. Esercizio (4.4)
a pagina 58). Possiamo quindi usare il Corollario (8.21), e dedurre che f¯
è un omeomorfismo.
Rivedremo questo ragionamento nell’esempio (13.16).
(8.23) Nota (Opzionale). Uno spazio X è compatto se ogni famiglia di
chiusi {Ci } di X con intersezione vuota ammette una sottofamiglia finita
con intersezione vuota (infatti…).
Questo consente di esprimere la compattezza nel seguente modo: diciamo
che un famiglia J di chiusi di uno spazio topologico X ha la FIP (finite
intersection property) se
∩
∀J0 ⊂ J, |J0 | < ∞ =⇒
Ci ̸= ∅
i∈J0
(l’intersezione di ogni sottofamiglia finita di chiusi è non vuota). Si
può dimostrare che X è compatto se e solo se ogni famiglia di chiusi con
la FIP ha intersezione non vuota (vedi esercizio (4.8)).
(8.24) Nota. Se B è una base di intorni per la topologia di X, e X è
compatto, allora, in particolare, ogni ricoprimento di X mediante intorni
(che sono aperti) di B ammette un ricoprimento finito. Viceversa, se
ogni ricoprimento mediante intorni di B ammette un sotto-ricoprimento
finito, allora X è compatto (cioè ogni ricoprimento di aperti ammette
un sottoricoprimento finito, non solo ogni ricoprimento mediante intorni
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
§ 8.
53
COMPATTEZZA
della base). Infatti, se {Ui } è un generico ricoprimento di X, allora (visto
che ogni Ui è aperto) Ui = ∪ j Bi, j dove i Bi, j sono una famiglia di intorni della
base B (ogni aperto è unione di intorni aperti della base B). Ma allora
∪
∪∪
∪
X=
Ui =
Bi, j =
Bi, j ,
i
i
j
i, j
e quindi {Bi, j }i, j è un ricoprimento di X mediante aperti della base, che
ammette l’esistenza di un sottoricoprimento finito
X = Bi1 , j1 ∪ Bi2 , j2 ∪ · · · ∪ BiN , jN .
Dal momento che Ui =
∪
j
Bi, j , per ogni i, j si ha Bi, j ⊂ Ui , e quindi
X = U i1 ∪ U i2 ∪ · · · ∪ U i N ,
cioè {Ui }i ammette sottoricoprimento finito. In altre parole, se H è l’insieme dei Bi, j e J l’insieme degli Ui , allora si può definire una funzione
∪
g: H → J tale che Bh ⊂ U g(h) per ogni h ∈ H. Dato che X ⊂ h∈H0 Bh per un certo
sottoinsieme finito H0 ⊂ H, dovrà essere anche
∪
∪
Bi ,
X⊂
Bh ⊂
h∈H0
i∈g(H0 )
dove g(H0 ) ⊂ J è l’insieme finito di indici cercato.
(8.25) Teorema (Tychonoff – fin(i)to). Se X e Y sono due spazi topologici
compatti, allora il prodotto cartesiano X × Y (con la topologia prodotto)
è compatto.
Dim. Per la nota (8.24), è sufficiente dimostrare che ogni ricoprimento
di X × Y dato da aperti della base {U × V } (con U aperto di X e V aperto
di Y ) ammette un sottoricoprimento finito. Passo 1: supponiamo che Y sia
compatto, x0 ∈ X un punto e N ⊂ X × Y un intorno di {x0 } × Y in X × Y . Allora
esiste un intorno W di x0 in X tale che N ⊃ W × Y (l’intorno W × Y è detto
il tubo attorno a {x0 } × Y ). Dato che {x0 } × Y è compatto (è omeomorfo a Y !) è
possibile estrarre sottoricoprimenti finiti da tutti i ricoprimenti dati
dagli elementi della base di intorni (per la topologia prodotto) U × V
(quelli che generano N con la loro unione…). A meno di scartare qualche
intorno della base, si può supporre che
U1 × V1 , . . . , Un × Vn
ricoprono {x0 } × Y . Sia W = U1 ∩ U2 ∩ · · · ∩ Un , che è un intorno aperto di x0 con
la proprietà cercata: W × Y ⊂ N.
Passo 2: Sia {Ui × Vi } un ricoprimento mediante aperti della base Ui × Vi . Dato
che {x} × Y è compatto, è contenuto in un sottoricoprimento finito, e l’unione
degli aperti di tale ricoprimento per quanto visto sopra contiene un aperto
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
54
#4.
COMPATTEZZA
del tipo W x × Y che contiene {x} × Y . Quindi per ogni x ∈ X si può trovare un
aperto W x di X tale che W x × Y è contenuto nell’unione di un numero finito
di aperti del ricoprimento. Ma dato che X è compatto, esiste una famiglia
finita di Wi che ricopre X, e quindi il prodotto cartesiano X × Y è uguale
all’unione dei tubi W xi × Y , ognuno dei quali è coperto dall’unione di un
numero finito di aperti del ricoprimento {Ui × Vi }.
⨳
§ 8.1.
SPAZI DI FUNZIONI E CONVERGENZA PUNTUALE (OPZIONALE)
Nella prossima nota introduciamo alcuni esempi di spazi di funzioni, cioè
spazi costituiti da tutte le funzioni (non necessariamente continue) da un
certo insieme A a un certo spazio topologico X. La topologia che prenderemo
in considerazione per questo spazio sarà quella della convergenza puntuale,
cioè la topologia per cui una successione fn di funzioni fn : A → X converge
ad un limite f¯ se e solo se per ogni α ∈ A la successione di punti di
X definita da fn (α ) converge a f¯(α ). Faremo vedere in seguito nella nota
(9.16) a pagina 69 che il cubo di Hilbert (cubo di dimensione infinita,
che è uno spazio di questo tipo) è compatto rispetto alla topologia della
convergenza puntuale ma non è vero che ogni successione di suoi punti ha
sottosuccessioni convergenti.
(8.26) Nota. Il teorema appena visto non è il teorema di Tychonoff (Ти́хонов):
il vero teorema stabilisce che il prodotto di una famiglia qualsiasi di
compatti è compatto (nella topologia prodotto); se infatti la famiglia è
infinita non si può ripetere il ragionamento sopra esposto.
La cosa importante, in generale, però è la definizione stessa di topologia prodotto per una famiglia infinita di spazi. Per semplicità, consideriamo il prodotto di infinite copie dello stesso spazio Y , che indichiamo
con Y A, con A insieme infinito. La notazione Y A è scelta per l’analogia
con gli interi, dato che Y × Y = Y 2 , Y × Y × Y = Y 3 , etc. Osserviamo che gli
elementi di Y 2 sono le coppie (y1 , y2 ) con yi ∈ Y , e quindi sono le funzioni
{1, 2} → Y dall’insieme con due elementi ad Y (basta porre y1 = f (1) e y2 = f (2)).
Gli elementi di Y 3 sono le 3-uple (y1 , y2 , y3 ), cioè le funzioni {1, 2, 3} → Y ; gli
elementi di Y n sono le funzioni {1, 2, 3, . . . , n} → Y . Gli elementi di Y A sono
quindi le funzioni, non necessariamente continue, A → Y (anche l’insieme
delle parti 2X dell’insieme X non è altro che l’insieme di tutte le funzioni
X → {0, 1} da X all’insieme con due elementi {0, 1}). Un altro simbolo usato è
∏
YA =
Y
α∈A
(con questa notazione potremmo definire il prodotto di infiniti spazi
arbitrari, non necessariamente copie dello stesso Y ). Se x ∈ X = Y A è un
elemento di X, indicheremo anche con xα = x (α ) ∈ Y l’immagine di α in Y (la
componente α-esima di x).
Per ogni insieme finito di indici α1 , α2 , . . . , αn ∈ A si possono scegliere n
aperti Uα1 , Uα2 , …, Uαn di Y . La topologia prodotto per X = Y A (detta anche
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
§ 8.
55
COMPATTEZZA
topologia di Tychonoff) è quella che ha per base tutti i sottoinsiemi del
tipo
{
}
x ∈ X : x (α ) ∈ Uα per ogni α ∈ {α1 , α2 , . . . , αn }
al variare di n ∈ N, degli indici αi e delle n-uple Uαi . Si tratta cioè degli
insiemi del tipo
∏
Uα
α∈A
dove gli Uα sono tutti uguali a Y , tranne per un numero finito di indici
α per cui sono aperti di Y .
Una successione xn di elementi di X converge a x̄ ∈ X se per ogni intorno
U di x̄ esiste N tale che n ≥ N =⇒ xn ∈ U. Se quindi xn converge a x, in
particolare per un α ∈ A arbitrario fissato accade che per ogni aperto Uα ⊂ Y
che contiene x̄ (α ) l’aperto di X
{
x ∈ X : x (α ) ∈ U α
}
è un intorno di x̄, e quindi si ha che per n abbastanza grande
{
}
xn ∈ x ∈ X : x (α ) ∈ U α
e dunque xn (α ) ∈ Uα , cioè xn (α ) converge a x̄ (α ). Cioè, se xn converge a x in
Y A con la topologia prodotto, allora per ogni α ∈ A la successione xn (α )
converge a x̄ (α ) in Y . Viceversa, supponiamo che per ogni α la successione
xn (α ) converge ad un certo x̄ (α ) ∈ Y . Questo definisce un elemento x̄ ∈ X.
Mostriamo che allora xn converge a x̄ in X con la topologia prodotto.
Infatti, sia
{
}
U = x ∈ X : x (α ) ∈ Uα per ogni α ∈ {α1 , α2 , . . . , αk }
un intorno (della base) di x̄, con k ≥ 1 qualsiasi. Dato che per ipotesi xn (α1 )
converge a x̄ (α1 ), esiste N1 tale che n ≥ N1 =⇒ xn (α1 ) ∈ Uα1 . Dato che per ipotesi
xn (α2 ) converge a x̄ (α2 ), esiste N2 tale che n ≥ N2 =⇒ xn (α2 ) ∈ Uα2 . Dato che per
ipotesi xn (α3 ) converge a x̄ (α3 ), esiste N3 tale che n ≥ N3 =⇒ xn (α3 ) ∈ Uα3 …Dato
che per ipotesi xn (αk ) converge a x̄ (αk ), esiste Nk tale che n ≥ Nk =⇒ xn (αk ) ∈ Uαk .
Ma allora esiste certamente N (il massimo di tutti gli Ni ) per cui vale
che n ≥ N =⇒ xn (αi ) ∈ Uαi per ogni i = 1, . . . , k, cioè
n ≥ N =⇒ xn ∈ U.
Possiamo quindi concludere che xn converge a x̄ in X. Per questa ragione la
topologia prodotto si chiama anche la topologia della convergenza puntuale.
È con questa topologia, che vale il teorema di Tychonoff.
Sul prodotto Y A si può definire anche un’altra topologia (che coincide
con quella prodotto se A è finito): la topologia box. Questa ha per base
di aperti la famiglia di tutti i prodotti
∏
Uα
α∈A
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56
#4.
COMPATTEZZA
di aperti Uα ⊂ Y , senza la restrizione di finitezza. Al variare delle
famiglie di aperti {Uα } (le famiglie di aperti di Y sono le funzioni A → 2Y
che hanno per immagini degli elementi α di A gli aperti Uα ∈ 2Y ), gli insiemi
{
}
x ∈ X : x (α ) ∈ Uα per ogni α ∈ A
sono quindi una base per la topologia box. Ogni aperto nella topologia box
è pertanto anche un aperto nella topologia prodotto di Y A, ma in generale
può non essere vero il viceversa.
Prendiamo infatti A = N e Y = R. Lo spazio X = RN (= Rω ) è lo spazio di
tutte le successioni di punti sulla retta reale R. Si può far vedere che la
topologia prodotto è metrizzabile (cioè indotta da una certa metrica): si
veda l’esercizio (4.18). Osserviamo che se x̄ ∈ X è una successione limitata
in R, allora x̄ è contenuto nell’intorno
(8.27)
{
}
x ∈ X : xα ∈ Bϵ ( x̄α ) per ogni α ∈ A
per ϵ > 0 arbitrario, cioè l’insieme delle successioni limitate di R costituisce un aperto di X (nella topologia box). Analogamente, se la successione
x̄ ∈ X non è limitata in R, allora x̄ è contenuto nell’intorno
(8.28)
{
}
x ∈ X : xα ∈ Bϵ ( x̄α ) per ogni α ∈ A ,
per ϵ > 0 arbitrario. Allora anche il complementare dell’insieme delle
successioni limitate è un aperto nella topologia box.
D’altro canto, nella topologia prodotto, ogni intorno ha solo un numero
finito di vincoli del tipo x (α ) ∈ Uα , per cui ogni intorno di una successione
convergente x ∈ RN con la topologia prodotto contiene certamente successioni
non convergenti, e quindi l’insieme delle successioni convergenti non è un
aperto di RN nella topologia della convergenza puntuale (topologia prodotto). (Non è un aperto nemmeno l’insieme delle successioni non convergenti,
e quindi l’insieme delle successioni convergenti non è nemmeno un chiuso).
Il cubo di Hilbert = [0, 1]N ⊂ RN è compatto nella topologia prodotto (per
il teorema di Tychonoff), mentre non lo è nella topologia box. Infatti,
se [0, 1]N fosse compatto nella topologia box, allora lo sarebbe anche il
sottoinsieme {0, 1}N , che sarebbe un chiuso di un compatto. Infatti, se
x̄ ∈ [0, 1]N è nel complementare di {0, 1}N , cioè esiste un ᾱ ∈ N tale che
x̄ᾱ ̸∈ {0, 1}, cioè 0 < x̄ᾱ < 1, allora esiste certamente ϵ > 0 per cui Bϵ ( x̄ᾱ ) ⊂ (0, 1),
e quindi l’aperto
{x ∈ [0, 1]N : ∀α, x (α ) ∈ Bϵ ( x̄α )}
è un intorno di x̄ contenuto nel complementare di {0, 1}N . In altre parole,
{0, 1}N è un chiuso di [0, 1]N , e quindi compatto per ipotesi (d’assurdo). Ma
basta ora osservare che
(i) {0, 1}N ha infiniti elementi distinti (sono numerabili?).
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§ 8.
57
COMPATTEZZA
(ii) Per ogni x̄ ∈ {0, 1}N , se ϵ < 1 allora
{x ∈ {0, 1}N : ∀α, x (α ) ∈ Bϵ ( x̄α )} = { x̄},
cioè x̄ ha un intorno aperto che contiene solo x̄, tra i punti di {0, 1}N .
Quindi la topologia indotta dalla topologia box su {0, 1}N è la topologia
discreta.
I punti stessi di {0, 1}N costituiscono quindi un ricoprimento aperto, che
non ammette sottoricoprimento finito: non può essere compatto.
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58
#4.
COMPATTEZZA
ESERCIZI
*(4.1) Sia A ⊂ R un sottoinsieme non vuoto. Un numero m ∈ R è un maggiorante
se ∀a ∈ A, a ≤ m (per definizione, un insieme limitato superiormente è un
insieme con almeno un maggiorante). L’insieme di tutti i maggioranti di
A è chiuso? È limitato inferiormente (nota: l’estremo superiore sup A è il
minimo dell’insieme dei maggioranti)?
*(4.2) Dimostrare che se A ⊂ R è un sottoinsieme di R (con la metrica
euclidea), allora sup A e inf A appartengono alla chiusura A.
(4.3) Sia C ⊂ [a, b] ⊂ R un sottoinsieme chiuso di [a, b] (chiuso nella topologia
indotta su [a, b] da R). Dimostrare che C è chiuso in R. Dimostrare che la
stessa proprietà è falsa per gli aperti: trovare un sottoinsieme A ⊂ [a, b] ⊂ R
aperto nella topologia di [a, b] ma non in quella di R.
(4.4) Dimostrare che uno spazio X metrizzabile è di Hausdorff.
(4.5) Sia A ⊂ X un sottoinsieme di X spazio topologico. Dimostrare che x ∈ X
è un punto di accumulazione di A se e solo se
x ∈ A ∖ {x}.
(4.6) Dimostrare che ogni sottosuccessione di una successione convergente
converge.
(4.7) Dimostrare l’unicità del limite di successioni in spazi di Hausdorff:
Se X è uno spazio di Hausdorff e {xn } una successione in X, allora limn xn = x̄
e limn xn = ȳ implica x̄ = ȳ.
*(4.8) Diciamo che un famiglia di chiusi di uno spazio topologico X ha la
FIP (finite intersection property) se
∩
Ci ̸= ∅
∀J0 ⊂ J, |J0 | < ∞ =⇒
i∈J0
(l’intersezione di ogni sottofamiglia finita di chiusi è non vuota). Diciamo
che X ha la FIP se ogni sua famiglia di chiusi con la FIP ha intersezione
non vuota:
∩
Ci ̸= ∅.
i∈J
Dimostrare che X è compatto se e solo se ha la FIP. (Suggerimento: X ∖ Ci
è aperto, e quindi…).
*(4.9) Dimostrare che l’ultimo assioma della lista di assiomi di R è
ridondante (si può dedurre dai primi 7).
(4.10) È vero che se un insieme X è finito allora è compatto per ogni
topologia che si considera? E il viceversa (cioè è vero che se un insieme è
compatto rispetto ad ogni possibile topologia, allora ha un numero finito
di punti)?
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59
Esercizi
(4.11) Si consideri la famiglia τ di tutti i sottoinsiemi di N = {1, 2, . . . }
costitutita dall’insieme vuoto, da N e da tutti i sottoinsiemi del tipo
{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4, 5} . . .
È vero che τ è una topologia? Se sì, allora, rispetto a questa topologia,
N è compatto?
(4.12) Determinare se l’intervallo I = {x, ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1} meno un punto x0 ∈ I è
compatto, al variare di x0 . (I ∖ x0 = {x ∈ I : x ̸= x0 } ).
(4.13) Si consideri il sottoinsieme di R definito da
{
}
p
100
X = x ∈ R : x = , p, q ∈ Z, |pq| ≤ 10
.
q
Determinare quali delle seguenti affermazioni è vera (nella topologia
euclidea di R):
(i) X è chiuso;
(ii) X è aperto;
(iii) X è compatto.
(4.14) Sia an la successione di numeri razionali (n ≥ 1) definita come segue:
an =
p
se n = 2 p q con q dispari.
q
Se n è dispari risulta quindi an = 0 (dato che l’unico modo di scrivere un
numero dispari nella forma 2 p q è con p = 0). Quali sono i suoi punti di
accumulazione, cioè i punti di accumulazione dell’insieme
X = {an : n ∈ N, n ≥ 1}?
Quali sono i punti limite di sottosuccessioni convergenti di an ?
(4.15) Sia X ⊂ R2 l’insieme definito da
X = {( x, y) ∈ R2 : y2 = x 3 − x}.
Quali delle seguenti sono vere?
(i) X è un chiuso di R2 .
(ii) La parte X ∩ {( x, y) ∈ R2 : x ≤ 0} è compatta.
(iii) L’interno di X in R2 è vuoto.
(4.16) Determinare quali dei seguenti spazi sono tra loro omeomorfi (esibendo gli omeomorfismi, altrimenti dimostrando in modo un po’ intuitivo –
non rigoroso – quando e se non ne esistono).
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60
#4.
COMPATTEZZA
(i) L’intervallo chiuso [0, 1];
(ii) La circonferenza S 1 = {( x, y) ∈ R2 : x 2 + y2 = 1}.
(iii) Il quadrato: Q = {( x, y) ∈ R2 : ( x 2 − 1)(y2 − 1) = 0, x 2 ≤ 1 ≥ y2 }.
(iv) L’intervallo aperto (0, 1).
(4.17) Si consideri nello spazio R la relazione: x ∼ y ⇐⇒ sin2 x = sin2 y.
(i) È una relazione di equivalenza?
(ii) Se sì, si dia a X = R/∼ la topologia quoziente. Lo spazio così ottenuto
è compatto?
**(4.18) Sia X = [0, 1]N lo spazio di tutte le successioni di punti dell’intervallo unitario della retta reale, cioè lo spazio definito come X = [0, 1]N
l’insieme di tutte le funzioni x : N → [0, 1]. Per ogni famiglia finita di
aperti di [0, 1]
U0 , U1 , U2 , . . . , U N ⊂ [0, 1]
(con Ui ⊂ [0, 1] aperto per i = 0, 1, . . . , N) si consideri in X l’insieme
{
}
Φ(U0 , U1 , . . . , U N ) := x ∈ X : ∀i ∈ {0, 1, . . . , N}, x (i ) ∈ Ui ⊂ X.
Sia A la famiglia di tutti i possibili insiemi Φ(U0 , U1 , . . . , U N ) al variare
di N ∈ N e degli Ui .
(i) Dimostrare che ∅ ∈ A e X ∈ A.
(ii) Dimostrare che A1 , A2 ∈ A =⇒ A1 ∩ A2 ∈ A.
(iii) Dimostrare che esistono A1 , A2 ∈ A tali che A1 ∪ A2 ̸∈ A.
(iv) Per ogni N ∈ N, sia AN l’insieme definito da
{
}
AN = x ∈ X : x ( N ) ∈ [0, 1/2) .
Dimostrare che AN ∈ A. Descrivere l’insieme
∪
A=
AN
N∈N
e determinare se A è una topologia per X.
(v) Dimostrare che A è una base per una topologia su X.
|x (n) − y(n)|
∑
(vi) Si consideri la funzione d : X × X → R definita da d ( x, y) = n∈N
.
2n
Dimostrare che d è ben definita e che è una metrica su X.
(vii) Dimostrare che gli intorni sferici in X
{
}
Br (z ) = x ∈ X : d ( x, z ) < r
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61
Esercizi
sono aperti di X rispetto alla topologia generata da A (suggerimento:
se y ∈ Br (z ), allora esiste δ > 0 tale che d (z, y) = r(− δ. Esistono
allora
)
∑
−n < δ/2 e ϵ ∑N 2−n < δ/2, da cui,
certamente N > 0 e ϵ > 0 tali che ∞
2
n=N+1
n=0
con la disuguaglianza triangolare, possiamo costruire un elemento della
base A contentente y tale che ... ).
(viii) Fissati U0 , U1 , . . . , U N aperti di [0, 1], sia y ∈ X tale che y(n) ∈ Un per
ogni n = 0, . . . , N. Mostrare che esiste ϵ > 0 tale che per ogni n = 0, . . . , N si
ha per t ∈ [0, 1]
|t − y(n)| < 2n ϵ =⇒ t ∈ Un .
Dedurre che l’intorno sferico in X con centro in y e raggio ϵ è
contenuto nell’aperto
}
{
Φ(U0 , U1 , . . . , U N ) = x ∈ X : ∀n ∈ {0, 1, . . . , N}, x (n) ∈ Un ⊂ X.
(suggerimento si osservi che se an ≥ 0 sono termini positivi o nulli
allora
∞
∑
an
< ϵ =⇒ ∀N, aN < 2N ϵ
n
2
n=0
). Dedurre che X ha la topologia metrica indotta da d.
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#4.
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COMPATTEZZA
Settimana N° 5
COMPATTEZZA NEGLI SPAZI EUCLIDEI
§ 9.
COMPATTEZZA IN SPAZI METRICI ED EUCLIDEI
(Cfr.)*
(9.1) Teorema. Sia X uno spazio metrico e C ⊂ X un sottoinsieme, con la
topologia indotta† . Le seguenti proposizioni sono equivalenti:
(i) C è compatto (Heine-Borel).
(ii) Ogni insieme infinito di punti di C ha un punto di accumulazione in
C (Bolzano-Weierstrass).
(iii) Ogni successione in C ammette una sottosuccessione che converge in
C (i.e. C è compatto per successioni).
Dim. Cominciamo a dimostrare che (i ) =⇒ (ii ), cioè che ¬(ii ) =⇒ ¬(i ). Se è
vero ¬(ii ), esiste un insieme infinito A ⊂ C di punti di C che non ha nessun
punto di accumulazione in C (cioè nessun punto di C è di accumulazione per
A, e quindi in particolare nessun punto di A è di accumulazione per A).
Questo significa che ogni a ∈ A non è di accumulazione, e quindi per ogni
a ∈ A esiste un intorno aperto Ua di a tale che Ua ∩ A non contiene altri
punti oltre ad a, cioè
Ua ∩ A = {a}
(9.2)
Si consideri ora il ricoprimento aperto di A:
∪
A⊂
Ua .
a∈A
Per la (9.2), il ricoprimento {Ua } di A non ammette nessun sottoricoprimento,
e dato che se A è infinito anche il ricoprimento è infinito, risulta che A
* Cfr:
Sernesi Vol II, Cap III, §9 [1].
sia C uno spazio metrico, quindi.
† Equivalentemente:
63
64
#5.
COMPATTEZZA NEGLI SPAZI EUCLIDEI
non è compatto. Per mostrare che C non è compatto, basta osservare che A
è chiuso in C (dal momento che nessun punto di C è di accumulazione per A,
la chiusura di A in C è uguale a A): se C fosse compatto anche A dovrebbe
essere compatto, per (8.15). Quindi C non è compatto.
Ora mostriamo che (ii ) =⇒ (iii ). Sia {xi }i∈J una successione di punti di C e
A ⊂ C l’insieme dei punti di {xi }i∈J . Se A è un insieme finito, allora c’è (in
modo banale) una sottosuccessione {xi }i∈J0 con J0 ⊂ J che converge in C: basta
prendere una successione costante. Altrimenti, A è un insieme infinito,
e dunque per (ii ) esiste un punto x̄ ∈ C che è di accumulazione per A. Per
definizione, questo vuol dire che per ogni ϵ > 0 l’intersezione
Bϵ ( x̄ ) ∩ ( A ∖ { x̄}) ̸= ∅.
Cioè, per ogni ϵ > 0 esiste y ∈ A, y ̸= x̄ per cui
y ∈ Bϵ ( x̄ )
(ricordiamo anche che y ∈ A ⇐⇒ y = xn per qualche n). Dato che X è uno
spazio metrico, segue che per ogni ϵ > 0 Bϵ ( x̄ ) ∩ A ha infiniti punti (vedi
anche esercizio (5.2)). Ora, definiamo la successione {nk } per induzione:
si scelga y ∈ B1 ( x̄ ) ∩ A. Allora esiste n1 tale che xn1 = y. Supponiamo di aver
1
definito nk . Definiamo ϵ k+1 =
, ed allora esistono infinite scelte per
k+1
y ∈ Bϵk+1 ( x̄ ) ∩ A, dunque infinite soluzioni (intere) dell’equazione
xn ∈ Bϵk+1 ( x̄ ).
Dato che sono infinite, ne esiste una per n > nk , che chiamiamo nk+1 . È facile
vedere che la sottosuccessione {xnk } converge a x̄ ∈ C.
Infine mostriamo che (iii ) =⇒ (i ). Questa è la parte più difficile della
dimostrazione. Per prima cosa, supponiamo di avere un ricoprimento {Uα } di
C costituito esclusivamente da intorni circolari Uα = Brα (cα ) e mostriamo
che
(9.3) esiste δ > 0 per cui per ogni x ∈ C l’intorno Bδ ( x ) è contenuto in
qualche Uα .
Dimostrazione del lemma (9.3). Dobbiamo mostrare che per ogni x ∈ C esiste
Uα = Brα (cα ) tale che Bδ ( x ) ⊂ Brα (cα ). Se ciò non fosse vero, dovrebbe essere
vero che per ogni δ > 0 esiste x = x (δ ) ∈ C tale che per ogni α Bδ ( x ) ̸⊂ Bα .
Consideriamo la successione δn = 1n . Allora, per ogni n ≥ 1 si può definire
un elemento xn ∈ C per cui
(9.4)
∀α, Bδn ( xn ) ̸⊂ Uα .
Di nuovo, consideriamo che per ipotesi (iii ) è vera, e quindi la successione {xn } ammette una sottosuccessione {xnk } che converge ad un certo y ∈ C.
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§ 9.
COMPATTEZZA IN SPAZI METRICI ED EUCLIDEI
65
Dal momento che C è ricoperto dagli aperti Ui , esiste un aperto Uαy del
ricoprimento che contiene y, cioè tale che
lim xnk = y ∈ Uαy .
k
Ma per ipotesi Uαy è aperto, quindi esiste un raggio r > 0 tale che Br (y) ⊂ Uαy ,
e se k è grande abbastanza si ha che xnk ∈ Br/2 (y) (dalla convergenza della
sottosuccessione) e quindi per la disuguaglianza triangolare che
Br/2 ( xnk ) ⊂ Br (y) ⊂ Uαy .
Dato che per k abbastanza grande δnk < 2r , si può trovare un k per cui
Bδnk ( xnk ) ⊂ Br (y) ⊂ Uαy .
Ma questo contraddice la definizione degli {xn } (equazione (9.4)), per cui
l’ipotesi è falsa. Abbiamo mostrato che esiste δ > 0 per cui per ogni x ∈ C
l’intorno Bδ ( x ) è contenuto in qualche Ui del ricoprimento aperto.
⨳
Ora, mostriamo che
(9.5) per ogni ϵ > 0 l’insieme C può essere ricoperto da un numero finito
di intorni circolari di raggio ϵ .*
Dimostrazione del lemma (9.5). Se ciò non fosse vero, per un certo ϵ > 0,
si scelga x1 ∈ C; dato che Bϵ ( x1 ) non può ricoprire C (per ipotesi), esiste
x2 ∈ C tale che x2 ̸∈ Bϵ ( x1 ). Analogamente, si scelga x3 ∈ C ∖ ( Bϵ ( x1 ) ∪ Bϵ ( x2 )), e
per induzione
n
∪
xn+1 ∈ C ∖ Bϵ ( xi ) .
i=1
La successione (di infiniti punti distinti) esiste perché
n
∪
Bϵ ( xi )
i=1
non può mai coprire C. Inoltre, se h ̸= k si ha
d ( xh , xk ) ≥ ϵ ,
e quindi la successione {xi }i non può avere sottosuccessioni convergenti.
Ma dato che stiamo assumendo (iii ) vera, ogni successione in C deve avere
almeno una sottosuccessione convergente, e questa proprità è contraddetta
dall’esistenza della successione {xi }. Quindi l’ipotesi era falsa, e per
ogni ϵ > 0 l’insieme C è ricoperto da un numero finito di intorni circolari
di raggio ϵ.
⨳
* La proprietà che per ogni ϵ > 0 l’insieme C può essere ricoperto da un numero finito
di intorni sferici di raggio ϵ ha un nome: si dice che C è totalmente limitato. È chiaro
che se C è totalmente limitato, allora è limitato. Purtroppo in generale non è vero il
viceversa.
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66
#5.
COMPATTEZZA NEGLI SPAZI EUCLIDEI
Sia quindi C ricoperto da un numero finito di intorni circolari Bϵ (c j ) di
raggio ϵ e {Uα } il ricoprimento di C di intorni circolari definito sopra,
con ϵ < δ. Dato che ϵ < δ, per ogni intorno Bϵ (c j ) (nell’insieme finito di
intorni che ricopre C) esiste un intorno Uα = Uα( j ) tale che Bϵ (c j ) ⊂ Uα( j ) .
L’insieme finito di intorni {Uα( j ) } j ricopre C, dato che Bϵ (c j ) ricopre C, ed è
quindi un sottoricoprimento finito di {Uα }. Per concludere la dimostrazione,
bisogna trovare sottoricoprimenti finiti per ricoprimenti aperti generici,
e non solo per ricoprimenti di intorni della base di intorni circolari. Ma
questo segue da (8.24).
⨳
(9.6) Nota. Osserviamo che abbiamo di fatto dimostrato il seguente lemma
(chiamato lemma del numero di Lebesgue):
(9.7) Sia X uno spazio metrico compatto, e {Uα } un ricoprimento aperto di
X. Allora esiste δ > 0 (chiamato numero di Lebesgue del ricoprimento {Uα })
tale che per ogni x ∈ X esiste α tale che x ∈ Bδ ( x ) ⊂ Uα .
Dim. Se Uα è composto da intorni sferici (palle), allora si tratta esattamente di (9.3). Altrimenti, gli Uα sono unioni di intorni circolari perché
aperti, e quindi possiamo sostituire ad ogni Uα = ∪i Bα,i l’insieme di Bα,i di
cui è unione, ed ottenere un ricoprimento per cui vale (9.3). Quindi per
ogni x ∈ X esiste α, i tale che x ∈ Bδ ( x ) ⊂ Bα,i , e quindi esiste α tale che
x ∈ Bδ ( x ) ⊂ Uα , dato che Bα,i ⊂ Uα .
⨳
(9.8) Nota. Se X non è uno spazio metrico (o metrizzabile), le tre proprietà
non sono necessariamente equivalenti. Ci sono esempi di spazi per cui vale
(i ) ma non vale (iii ) (nella nota (9.16) a pagina 69: si dice che è compatto
ma non compatto per successioni). Ma ci sono anche spazi per cui vale
(iii ) ma non (i ) (cioè X = ω1 è compatto per successioni ma non lo è per
ricoprimenti; ω1 è semplicemente un certo insieme con la topologia degli
intervalli, rispetto ad un ordine totale, che però non riusciamo a definire
in questo corso; un esempio –opzionale– si può trovare nella nota (9.17) a
pagina 70). In generale, però vale (i ) =⇒ (ii ) (guardare la dimostrazione…),
e (iii ) =⇒ (ii ).
(9.9) Nota. L’intervallo [0, 1] di Q non è compatto. Per (9.1), basta trovare
una successione in [0, 1] che converge a un numero irrazionale. Un esempio è
quello delle troncate n-esime delle cifre decimali di un irrazionale di [0, 1].
Esempi costruttivi di successioni di questo tipo sono molto interessanti:
una cosa è dire che esiste una successione di razionali che converge a
q, un’altra cosa è definire una funzione (ricorsiva, per esempio) o un
algoritmo
che genera tali razionali. In altre parole, fissato per esempio
√
q = 2/2 dovrebbe essere possibile scrivere un programma che per k assegnato
calcola in modo esatto tutte le prime k cifre decimali di q. È possibile in
questo modo scrivere un programma che calcola in modo esatto tutte le prime
k cifre decimali anche di π? È vero che per ogni x ∈ R esiste un programma
che per k assegnato calcola in modo esatto tutte le prime k cifre decimali
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§ 9.
67
COMPATTEZZA IN SPAZI METRICI ED EUCLIDEI
di x (di qualsiasi irrazionale)? Stiamo parlando naturalmente di programmi
in senso astratto. Nei casi concreti, programmi che impiegano 10100 anni
per terminare non sono di grande utilità (si veda più avanti anche (11.18)
a pagina 87).
A Spigot Algorithm* for the Digits of π
import sys
def main():
k, a, b, a1, b1 = 2L, 4L, 1L, 12L, 4L
while 1:
p, q, k = k*k, 2L*k+1L, k+1L
a, b, a1, b1 = a1, b1, p*a+q*a1, p*b+q*b1
d, d1 = a/b, a1/b1
while d == d1:
output(d)
a, a1 = 10L*(a%b), 10L*(a1%b1)
d, d1 = a/b, a1/b1
def output(d):
sys.stdout.write(str(d))
sys.stdout.flush()
if __name__ == "__main__":
main()
(9.10) Sia X uno spazio metrico e C ⊂ X un sottoinsieme. Se C è compatto,
allora C è chiuso e limitato.
Dim. Ogni spazio metrico è di Hausdorff (vedi esercizio (4.4)), e ogni
compatto di uno spazio di Hausdorff è chiuso (vedi (8.16)), per cui se
C è compatto di X allora C è chiuso. Dobbiamo quindi mostrare che C è
limitato. Sia x0 un punto di X e Bn ( x0 ) la successione crescente di intorni
circolari di raggio n ∈ N. Dato che {Bn ( x0 )}n è un ricoprimento aperto di C,
deve ammettere un sottoricoprimento finito, cioè deve esistere n0 ∈ N per
cui C ⊂ Bn0 ( x0 ), cioè C è limitato.
⨳
(9.11) Teorema (Heine-Borel). L’intervallo unitario [0, 1] ⊂ R è compatto.
Prima dimostrazione. Sia {Ui }i∈J un ricoprimento di [0, 1] e definiamo
{
F = t ∈ I : [0, t ] è coperto da una famiglia finita
di aperti di {Ui }i∈J }}
Si vede che 0 ∈ F (e quindi F non è vuoto) e che t ∈ F, 0 ≤ s < t =⇒ s ∈ F. Si
consideri m = sup F (l’estremo superiore di F, che esiste per gli assiomi
(8.1)). Allora t < m =⇒ t ∈ F e t > m =⇒ t ̸∈ F. Vediamo se m ∈ F oppure no. Dato
che m ∈ [0, 1] e {Ui } ricopre [0, 1], esiste im ∈ J per cui m ∈ Uim . Ma Uim è aperto,
e dunque esiste un intorno circolare di raggio ϵ tale che Bϵ (m) ⊂ Uim . Visto
che m − ϵ ∈ F, l’intervallo [0, m − ϵ ] è ricoperto da un numero finito di aperti
Ui , che uniti ad Uim costituiscono un numero finito di aperti che copre
[0, m], e dunque m ∈ F, cioè
F = [0, m].
*A
Spigot Algorithm for the Digits of π, S. Rabinowitz, S. Wagon (The American
Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 3 (Mar., 1995), pp. 195-203 ).
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
68
#5.
COMPATTEZZA NEGLI SPAZI EUCLIDEI
Ora, se m < 1, allora un ricoprimento finito di [0, m] sarebbe anche ricoprimento finito di [0, m + ϵ ] per un certo ϵ abbastanza piccolo, per cui deve
essere m = 1, cioè F = [0, 1] (in altre parole, abbiamo trovato il ricoprimento
finito di [0, 1]).
⨳
Seconda dimostrazione. Sia {Ui }i∈J un ricoprimento aperto di I0 = [0, 1]. Supponiamo per assurdo che non ammetta sottoricoprimenti finiti. Dividiamo I0
1
nelle due metà di lunghezza :
2
1
1
[0, 1] = [0, ] ∪ [ , 1].
2
2
Se entrambe le metà fossero ricoperte da un numero finito di Ui , cadremmo
in contraddizione, per cui almeno una delle due non lo è, e la chiamiamo I1 .
Dividendo I1 in due metà, possiamo di nuovo applicare lo stesso argomento
per definire I2 , e così via una successione In di intervalli chiusi non
ricopribili da un numero finito di aperti Ui , di lunghezza 2−n , e con la
proprietà In ⊂ In−1 per ogni n ≥ 1.
I0 ⊇ I1 ⊇ I2 ⊇ · · · ⊇ In ⊇ . . . .
Ora, se definiamo
I∞ =
∞
∩
In ,
i=0
osserviamo che I∞ non può avere più di un punto (infatti, x, y ∈ I∞ =⇒
∀n ≥ 0, x, y ∈ In =⇒ ∀n ≥ 0, |x − y| ≤ 2−n , che implica |x − y| = 0). Come conseguenza
dell’esistenza dell’estremo superiore in R, si può mostrare (vedi esercizio
(5.3)) che I∞ non è vuoto, e che
I∞ = {inf (max In ) = sup(min In )}.
Sia p ∈ I∞ . Dato che p ∈ I, esiste i p ∈ J per cui p ∈ Ui p , e quindi esiste un
ϵ > 0 tale che
Bϵ ( p) ⊂ Ui p .
Ma se n è abbastanza grande, In ⊂ Bϵ ( p), e dunque esiste un n per cui
In ⊂ Bϵ ( p) ⊂ Ui p :
ciò contraddice l’ipotesi che ogni In non si può coprire con un insieme
finito di Ui (un solo Ui p è sufficiente!).
⨳
La seconda dimostrazione (bisezione) può essere modificata in questo
modo, dato che grazie al Teorema (9.1) basta mostrare che ogni sottoinsieme
infinito A di [0, 1] ha un punto di accumulazione in [0, 1]: in I0 = [0, 1] ci sono
infiniti punti di A, e quindi in una delle due metà [0, 1/2], [1/2, 1] ce
ne devono essere infiniti. E così per induzione, si ottiene una catena
I0 ⊃ I1 ⊃ . . . ⊃ In ⊃ . . . di intervalli di ampiezza 2−n che converge al punto di
accumulazione di A (esercizio!).
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§ 9.
69
COMPATTEZZA IN SPAZI METRICI ED EUCLIDEI
(9.12) Corollario. Per ogni a<b ∈ R, l’intervallo [a, b] è compatto.
Dim. Dato che l’intervallo [a, b] è omeomorfo all’intervallo [0, 1], segue
immediatamente da (9.11).
⨳
(9.13) Teorema (Heine-Borel II). Se X = Rn con la metrica euclidea, allora
C ⊂ X è compatto se e solo se chiuso e limitato.
Dim. La proposizione (9.10) è la parte “solo se”. Viceversa, se C ⊂ Rn è
limitato, allora è contenuto nel parallelepipedo del tipo
C ⊂ [a, b]n ⊂ Rn ,
che è compatto per il corollario (9.12) unito al teorema (8.25). Quindi, se
C è chiuso in X, è chiuso anche in [a, b]n e quindi è un sottoinsieme chiuso
di uno spazio compatto, e quindi è compatto per la proposizione (8.15). ⨳
(9.14) Corollario (Bolzano-Weierstrass). Ogni insieme infinito e limitato
in Rn ha almeno un punto di accumulazione.
Dim. Un insieme infinito e limitato in Rn è anche, come sopra, un sottoinsieme infinito del compatto [a, b]n per qualche a, b. Per (9.1), (ii ), esiste
quindi un punto di accumulazione.
⨳
(9.15) Teorema. Una funzione continua
compatto X ha massimo e minimo.
f : X → R definita su un dominio
Dim. Dato che X è compatto, f ( X ) è compatto e quindi chiuso e limitato in
R. Dato che è limitato, sia l’estremo superiore M = sup( f ( X )) che l’estremo
inferiore m = inf ( f ( X )) esistono finiti. Gli estremi m e M appartengono alla
chiusura f ( X ) (vedi esercizio (4.2)), che coincide con f ( X ) dato che f ( X ) è
chiuso, quindi m ∈ f ( X ), M ∈ f ( X ), e quindi sia m che M sono assunti in X,
cioè m = min x∈X f ( x ), M = max x∈X f ( x ).
⨳
(9.16) Nota (Opzionale). Consideriamo, come nella nota (8.26) a pagina 54,
la topologia prodotto di una famiglia qualsiasi di spazi. Per esempio,
l’insieme delle parti X = 2[0,1] dell’intervallo [0, 1], che possiamo identificare con l’insieme di tutte le funzioni f : [0, 1] → {0, 1}. Nella topologia
(prodotto) di X una successione { fn } converge a f¯ se e soltanto se per
ogni α ∈ [0, 1] fn (α ) converge a f¯(α ). Con la topologia prodotto e il teorema
di Tychonoff, dato che {0, 1} è compatto, allora anche X è compatto. Ora
costruiamo una successione fn in X che non converge puntualmente, e per
cui nessuna sottosuccessione converge puntualmente. Per ogni t ∈ [0, 1] sia
t = a0 , a1 a2 a3 . . . an . . .
la rappresentazione in cifre binarie di t, cioè
t=
∞
∑
a j 2− j .
j=0
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70
#5.
COMPATTEZZA NEGLI SPAZI EUCLIDEI
Poniamo
f n ( t ) = an ,
cioè fn (t ) è uguale all’n-esima cifra nella rappresentazione binaria di t.
Ora, se fnk è una sottosuccessione qualsiasi, sia α ∈ [0, 1] un numero qualsiasi
le cui cifre binarie α = a0 , a1 a2 . . . soddisfano
ank = k
mod 2.
Allora fnk (α ) = k mod 2, e la sottosuccessione fnk non converge puntualmente.
Quindi X è compatto, ma non è vero che ogni successione in X ammette
almeno una sottosuccessione convergente. Segue qundi dal Teorema (9.1) che
sullo spazio X di tutte le funzioni [0, 1] → {0, 1} non è possibile definire
una metrica che induca la topologia della convergenza puntuale (non è
metrizzabile nella topologia prodotto/della convergenza puntuale).
Consideriamo ora in X l’insieme D ⊂ X delle funzioni f : [0, 1] → {0, 1} che
sono uguali a 1 solo in un numero finito di punti di [0, 1]. Sia x ∈ X un punto
arbitrario di X; se U ⊂ X è un aperto della base della topologia prodotto
di X, allora esistono k punti α1 , . . . , αk ∈ [0, 1] e k valori y1 , . . . , yk ∈ {0, 1} tali
che
U = { f ∈ X : ∀i = 1 . . . k, f (αi ) = yi },
e quindi gli intorni U di x ∈ X sono gli insiemi di funzioni f : [0, 1] → {0, 1}
che coincidono con x su un insieme finito di punti α1 , . . . , αk . In ogni intorno
quindi cadono sempre punti di D oltre ad x, cioè ogni x è di accumulazione
per D (D è denso in X). Però le successioni di punti in D non possono
convergere (puntualmente!) che a funzioni x : [0, 1] → {0, 1} che sono uguali a
1 al massimo in un insieme numerabile di punti. Quindi ci sono punti di
accumulazione per D che non sono limiti di successioni di punti in D.
(9.17) Nota (Opzionale). Modifichiamo l’esempio della nota (9.16), per
ottenere uno spazio che è compatto per successioni ma non compatto. Sia
{0, 1}I l’insieme di tutte le funzioni (non necessariamente continue) I → {0, 1},
dove I = [0, 1] ⊂ R ha la topologia metrica e {0, 1}I ha la topologia della
convergenza puntuale (cioè quella prodotto di una infinità non numerabile
(I) di copie di {0, 1}, analogamente alla nota precedente). Per ogni f : I → {0, 1},
il supporto di f è definito da
S ( f ) = {t ∈ [0, 1] : f (t ) = 1}.
Sia ora X ⊂ {0, 1}I il sottospazio definito da
{
}
X = f ∈ {0, 1}I : S ( f ) è numerabile. ⊂ {0, 1}I ,
con la topologia indotta.
(9.18) Per ogni successione { fn } di elementi di X esiste una sottosuccessione
fnk convergente in X: X è compatto per successioni.
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
§ 10.
71
SPAZI METRICI COMPLETI
Dim. L’unione di tutti i supporti delle fn è unione numerabile di insiemi
numerabili, e quindi anch’esso è numerabile:
S = ∪n S ( fn ) ≈ N.
Ora, le funzioni fn |S, le restrizioni delle fn all’unione dei supporti S,
costituiscono una successione in I S (lo spazio di tutte le funzioni da S a
{0, 1}). Ma si può mostrare che {0, 1}S ≈ {0, 1}N è metrico (è l’insieme di Cantor
dell’esercizio (6.22) a pagina 100) e compatto (nella topologia prodotto,
per il teorema di Tychonoff o per l’esercizio (6.22)), e quindi esiste una
sottosuccessione fnk |S che converge in I S , cioè una sottosuccessione per cui
per ogni t ∈ S si ha che fnk (t ) converge. Ma se t ̸∈ S, fnk = 0 per definizione,
e quindi fnk (t ) converge per ogni t ∈ I, e dunque converge ad una funzione f¯.
Il supporto di f¯ è per forza numerabile (contenuto in S), e quindi f¯ ∈ X,
dunque X è compatto per successioni.
⨳
D’altra parte vale il seguente lemma.
(9.19) X non è compatto (per ricoprimenti).
Dim. Per ogni t ∈ I, l’insieme
{
}
At = f ∈ X : f (t ) = 0
è un aperto di X (è un elemento della base di aperti nella topologia
prodotto di {0, 1}I ∩ X). Per ogni f ∈ X esiste certamente t ∈ I tale che f (t ) = 0,
perché altrimenti il supporto S ( f ) sarebbe non numerabile. Quindi
X ⊂ ∪t∈[0,1] At
è un ricoprimento aperto. Ma X non può essere coperto da un numero finito
di At : per ogni insieme finito t1 , . . . , tn esiste certamente f ∈ X tale che
f (t1 ) = 1, . . . , f (tn ) = 1,
cioè f ̸∈ Ati per i = 1, . . . , n. Quindi X non è compatto.
§ 10.
⨳
SPAZI METRICI COMPLETI
(10.1) Definizione. Una successione {xn }n in uno spazio metrico si dice di
Cauchy se per ogni ϵ > 0 esiste un intero N = N (ϵ ) per cui
n, m > N =⇒ d ( xn , xm ) < ϵ .
(10.2) Una successione convergente in uno spazio metrico è di Cauchy.
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72
#5.
COMPATTEZZA NEGLI SPAZI EUCLIDEI
Dim. Se limn xn = x̄, allora per ogni ϵ > 0 esiste n0 > 0 tale che n > n0 =⇒
d ( x̄, xn ) < ϵ . Quindi se n, m > n0 si ha (per la disuguaglianza triangolare)
d ( xn , xm ) ≤ d ( xn , x̄ ) + d ( x̄, xm ) < 2ϵ ,
e quindi la successione è di Cauchy.
⨳
(10.3) Ogni successione di Cauchy è limitata.
Dim. Per definizione, esiste N ≥ 1 tale che m, n ≥ N =⇒ d ( xn , xm ) < 1. Ma allora
in particolare per ogni n ≥ N d ( xn , xN ) < 1 e quindi per ogni n ≥ 1
d ( xn , x1 ) ≤ M = max{d ( x1 , x2 ), d ( x1 , x3 ), . . . , d ( x1 , xN )} + 1,
e dunque {xn } ⊂ BM ( x1 ) è limitata.
⨳
(10.4) Definizione. Uno spazio metrico X si dice completo se ogni successione di Cauchy in X converge in X.
(10.5) Uno spazio metrico X è completo se e solo se ogni successione di
Cauchy in X ammette una sottosuccessione convergente.
Dim. È ovvio che se è completo allora ogni successione di Cauchy converge,
e dunque basta prendere la successione stessa {xn }. Supponiamo invece che
ogni successione di Cauchy ammetta una sottosuccessione convergente. Sia
{xn } una successione di Cauchy e {xnk } la sottosuccessione convergente a x̄ ∈ X.
Per ogni ϵ > 0 esiste N tale che
m, n > N =⇒ d ( xn , xm ) < ϵ /2,
ed un K tale che k > K =⇒ nk > N e
d ( xnk , x̄ ) < ϵ /2.
Ma allora se n > N si ha per ogni k > K
d ( xn , x̄ ) ≤ d ( xn , xnk ) + d ( xnk , x̄ ) < ϵ ,
cioè {xn } converge a x̄.
⨳
(10.6) Corollario. Se X è uno spazio metrico compatto, allora X è completo.
Dim. Per (9.1), ogni successione in X ammette una sottosuccessione convergente. In particolare, quindi, ogni successione di Cauchy in X ammette una
sottosuccessione convergente. Ma allora per (10.5) lo spazio metrico X è
completo.
⨳
(10.7) Siano X e Y due spazi metrici con metriche d X e dY . Allora X × Y è
uno spazio metrico con la metrica prodotto definita da
√
d (( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )) = d X ( x1 , x2 )2 + dY (y1 , y2 )2
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§ 10.
SPAZI METRICI COMPLETI
Dim. Esercizio (3.20).
73
⨳
(10.8) Se X e Y sono spazi metrici completi, allora X × Y con la metrica
prodotto è uno spazio metrico completo.
Dim. Esercizio (-1.1).
⨳
(10.9) Un sottospazio S ⊂ X di uno spazio metrico completo è completo se e
solo se è chiuso in X.
Dim. Esercizio (-1.2).
⨳
(10.10) Teorema. La retta reale R è uno spazio metrico completo. Per ogni
n ≥ 1 lo spazio euclideo Rn è completo.
Dim. Cominciamo a mostrare che R è completo. Se {xn } è una successione di
Cauchy, allora per (10.3) è una successione limitata che per (9.14) ha
una sottosuccessione convergente ad un limite in R (se non fosse infinita
sarebbe immediato trovare il limite…). Ma per (10.5) allora {xn } converge
in R, e dunque R è completo. La seconda parte dell’enunciato segue da
(10.8).
⨳
(10.11) Nota. Il campo Q non è completo: come sopra, basta trovare successioni di razionali convergenti a numeri irrazionali.
(10.12) Nota. Per gli spazi metrici, la compattezza e la completezza sono
concetti vicini, ma non equivalenti. Infatti, R è completo, ma non è
certamente compatto. Esistono anche spazi metrici compatti che non sono completi? Come visto in (10.6), uno spazio metrico compatto è anche
completo. Il legame può essere dato in modo più preciso, dato che vale
una generalizzazione del Teorema di Heine-Borel (che si chiama anch’esso
Teorema di Heine-Borel): uno spazio metrico è compatto se e soltanto se
esso è completo e totalmente limitato. Ricordiamo che uno spazio metrico
è totalmente limitato quando vale la proprietà della proposizione (9.5) a
pagina 65 (si veda la nota a pie’ di pagina). Comunque, anche se è vero che
uno spazio metrico compatto è certamente completo, in generale uno spazio
compatto non è necessariamente metrizzabile, e quindi a fortiori può non
essere completo.
(10.13) Esempio. Sia X = N con la metrica discreta. È uno spazio metrico
limitato (la distanza tra due punti non è mai maggiore di 1), ma non
è uno spazio metrico totalmente limitato. Infatti, se ϵ ≤ 1, X non può
essere coperto da un numero finito di intorni circolari di raggio ϵ (tali
intorni contengono solo un punto, il centro, e N ha infiniti elementi). Le
successioni di Cauchy in X sono tutte e sole le successioni definitivamente
costanti, che sono convergenti. Pertanto X è uno spazio metrico completo.
Ovviamente X non è compatto, dal momento che non ha un numero finito di
punti (uno spazio con la topologia discreta è compatto se e soltanto se ha
un numero finito di punti).
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74
§ 10.1.
#5.
COMPATTEZZA NEGLI SPAZI EUCLIDEI
OPZIONALE: COSTRUZIONE DI R (CANTOR)
*(-1.1) Dimostrare che se X e Y sono spazi metrici completi, allora X × Y
con la metrica prodotto è uno spazio metrico completo.
*(-1.2) Un sottospazio S ⊂ X di uno spazio metrico completo è completo se e
solo se è chiuso in X.
*(-1.3) Si consideri Q con la topologia generata dagli intervalli aperti
(a, b), con a, b ∈ Q, a < b (generata dalla metrica d ( x, y) = |x − y|, notiamo che
è una metrica a valori razionali). Dimostrare che se {xn } e {yn } sono due
successioni di Cauchy in Q, allora la somma {xn + yn } e il prodotto {xn yn } sono
successioni di Cauchy in Q. (Suggerimento: per la moltiplicazione usare
il fatto che ogni successione di Cauchy è limitata (10.3))
*(-1.4) Consideriamo l’insieme R di tutte le successioni di Cauchy su Q.
Dimostrare che R è un anello commutativo con unità, cioè che valgono i
seguenti assiomi:
(i) ∀x, y, z ∈ R, ( x + y) + z = x + (y + z ), ( xy)z = x (yz ).
(ii) ∀x, y ∈ R, x + y = y + x, xy = yx.
(iii) ∃0 ∈ R : ∀x ∈ Rx + 0 = x; ∃1 ∈ R : ∀x ∈ R, x ̸= 0 =⇒ 1x = x.
(iv) ∀x ∈ R, ∃ unico y ∈ R : x + y = 0.
(v) ∀x, y, z ∈ R, x (y + z ) = xy + xz.
*(-1.5) Sia R come nell’esercizio precedente l’anello delle successioni di
Cauchy, e N ⊂ R il sottoinsieme definito da
N = {{xn } ∈ R : lim xn = 0 ∈ Q}.
n
Mostrare che N è un ideale in R, cioè che N è un sottogruppo additivo e se
{xn } è una successione di Cauchy e {zn } una successione di Cauchy convergente
a zero allora la successione {zn xn } converge a zero. Dedurre che il quoziente
(algebrico) R := R/N è un anello (cioè l’insieme di classi di equivalenza
di successioni di Cauchy, dove {xn } ≡ {yn } ⇐⇒ limn ( xn − yn ) = 0).
*(-1.6) Dimostrare che R, definito come quoziente nell’esercizio precedente, è un campo, che contiene il campo dei razionali Q come sottocampo.
(Suggerimento: basta far vedere che se {xn } ̸∈ N, allora esiste ϵ > 0 per cui
se n è abbastanza grande xn > ϵ (oppure xn < −ϵ ), e dunque…)
*(-1.7) Dimostrare che la relazione di ordine di Q può essere estesa a
R ponendo x < y ⇐⇒ y − x > 0 (e dunque è sufficiente descrivere l’insieme
dei numeri reali positivi, cioè le classi di equivalenza di successioni
di Cauchy che sono definitivamente positive), e cioè che R è un campo
ordinato.
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§ 10.
SPAZI METRICI COMPLETI
75
*(-1.8) Dimostrare che R (definito sopra) è completo (cioè che ogni successione di Cauchy in R converge). (Suggerimento: una successione in R è una
successione di classi di equivalenza di successioni: possiamo scrivere la
successione {xn } come {[an,k ]}, dove xn è uguale alla classe di equivalenza [an,k ]
della successione di Cauchy (in k) {an,k }k )
*(-1.9) Dimostrare che R ha la proprietà dell’estremo superiore (cioè che
ogni sottoinsieme limitato superiormente ha estremo superiore in R). (Suggerimento: utilizzare un argomento di tipo “bisezione di intervalli” per
associare ad un insieme limitato superiormente una successione decrescente
di intervalli chiusi, e quindi la successione di Cauchy degli estremi –
razionali – di questi intervalli; vedi la seconda dimostrazione di (9.10))
*(-1.10) Se invece della metrica euclidea in Q si ripete il procedimento
degli esercizi precedenti partendo dalla metrica discreta su Q, cosa si
ottiene? Cosa sono le successioni di Cauchy? Il quoziente R/N è ancora una
estensione del campo dei razionali Q? Quale?
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76
#5.
COMPATTEZZA NEGLI SPAZI EUCLIDEI
ESERCIZI
*(5.1) Si consideri su N la famiglia τ di insiemi formata dall’insieme
vuoto ∅ e dagli tutti i sottoinsiemi di N con complementare finito. Sia X
uno spazio topologico e {xn } una successione in X (vista come una funzione
f : N → X, definita da ∀n ∈ N : f (n) := xn ).
(i) Dimostrare che τ è una topologia per N.
(ii) Dimostrare che se {xn } è una successione convergente, allora la corrispondente funzione f : N → X è continua all’infinito, cioè la controimmagine di ogni intorno del limite x̄ = limn xn ∈ X è un aperto di N (nella
topologia dei complementari finiti).
(iii) È vero che f è continua?
(iv) La seguente famiglia di sottoinsiemi di N è una topologia per N?
L’insieme vuoto, N, i sottoinsiemi finiti, e i sottoinsiemi con
complementare finito.
(5.2) Dimostrare che un punto di accumulazione a di un sottoinsieme A ⊂ X
di uno spazio metrico X ha la seguente proprietà: ogni intorno di a in X
interseca A in infiniti punti.
*(5.3) Si consideri in un campo totalmente ordinato una famiglia di intervalli chiusi In = [an , bn ] decrescenti In ⊃ In+1 , per n → ∞. Si dimostri che
se X ha la proprietà dell’estremo superiore (cioè ogni insieme limitato
superiormente ammette estremo superiore), allora
∩
In ̸= ∅.
n
(5.4) Dimostrare che il cilindro {( x, y, z ) ∈ R3 : x 2 + y2 = 1 ∧ z2 ≤ 1} con il bordo su
z = 1 identificato ad un punto è omeomorfo al cono {( x, y, z ) ∈ R3 : z2 = x 2 + y2 ∧ 0 ≤
z ≤ 1}.
(5.5) Dimostrare che il toro, definito come nell’esempio (7.10), è omeomorfo a S 1 × S 1 (dove S 1 è la circonferenza di raggio 1).
(5.6) Dimostrare che lo spazio dell’esempio (7.11) è omeomorfo ad una sfera
di dimensione 2.
*(5.7) Dimostrare che il piano proiettivo, definito come nell’esempio (7.12),
è omeomorfo al quoziente S 2 /∼ , dove x ∼ y ⇐⇒ x = ±y (antipodale).
(5.8) Dimostrare che incollando lungo il bordo due nastri di Möbius si
ottiene una bottiglia di Klein (che cos’è una bottiglia di Klein?).
(5.9) Quali dei seguenti spazi è compatto?
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77
Esercizi
(i) Q.
(ii) La sfera S 2 .
(iii) La sfera S 2 meno un numero finito di punti.
(iv) La sfera S 2 meno un disco chiuso.
(v) La striscia di Möbius.
(5.10) Dimostrare che ogni sottospazio di uno spazio di Hausdorff è di
Hausdorff.
(5.11) Consideriamo il seguente sottoinsieme di R2 (munito della topologia
euclidea):
X = {( x, y) ∈ R2 : xy ̸∈ Z}.
(i) È aperto? È chiuso?
(ii) Consideriamo la circonferenza C di raggio 1 e centro (0, 0) di equazione
x 2 + y2 = 1. L’intersezione C ∩ X è aperta nella topologia di C? È chiusa?
E nella topologia di R2 ?
(iii) Discutere della compattezza di X e C ∩ X.
(5.12) Si consideri l’intervallo
√
√
[0, 2) = {x ∈ R : 0 ≤ x < 2} ⊂ R.
(i) È chiuso nella topologia Euclidea?
√ √
(ii) Sia X l’intervallo
(− 2, 2) ⊂ R con la topologia indotta da quella di
√
R. Dato che [0, 2) è anche un sottoinsieme di X, esso è un chiuso della
topologia di X?
√
(iii) Calcolare l’insieme di tutti i maggioranti di [0, 2) in R.
(iv) Trovare, se esiste, un sottoinsieme Y ⊂ R tale che l’insieme di tutti
i maggioranti di Y in R non è un chiuso di R.
(5.13) Si consideri il sottoinsieme X di Q definito da
X={
q
: q ∈ N}.
q+1
(i) Determinare i punti di accumulazione di X.
(ii) X è un chiuso di Q?
√
(iii) Sia {an } una successione di frazioni di Q che converge a 2 (̸∈ Q!) e
Y l’insieme dei suoi elementi Y = {an : n ∈ N} ⊂ Q. In questo caso Y è un
chiuso di Q?
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78
#5.
COMPATTEZZA NEGLI SPAZI EUCLIDEI
(5.14) Sia C ⊂ Q un sottospazio compatto di Q (campo dei numeri razionali
con la topologia Euclidea).
(i) Dimostrare che C è chiuso in Q.
(ii) Dimostrare che C è limitato in Q.
(iii) Dimostrare che C è anche un chiuso di R. (Suggerimento: Dato che
l’inclusione i : Q → R è una funzione continua (rispetto alle topologie
Euclidee di Q e R)…)
(iv) Dedurre che l’interno di C è vuoto.
**(5.15) Su Z sia B la famiglia di tutte le progressioni aritmetiche (Ua,n =
{a + kn : k ∈ Z} ⊂ Z, con n ̸= 0). Dimostrare che:
(i) La famiglia B è una base per una topologia di Z.
(ii) In questa topologia, le progressioni Ua,n sono sia aperti che chiusi.
(iii) L’unione di un numero finito di progressioni aritmetiche è un chiuso.
(iv) Se Ap = U0,p denota l’insieme dei multipli del numero p, si dimostri
che
∪
A=
Ap
p primo
non può essere chiuso, visto che il suo complementare ha un numero
finito di elementi.
(v) Dedurre che esistono infiniti numeri primi.
(Harry Furstenberg: è una topologia metrizzabile!)
(5.16) Mostrare che se K1 e K2 sono due sottospazi compatti di uno spazio
topologico X, allora l’unione K1 ∪ K2 ⊂ X è un sottospazio compatto di X.
*(5.17) Si consideri N̄ = N ∪ {∞}, con ∞ ̸∈ N.
(i) L’insieme vuoto, N̄, tutti i sottoinsiemi di N e i sottoinsiemi di N̄ con
complementare finito e che contengono ∞ costituiscono una topologia?
(ii) N̄ è compatto rispetto a questa topologia?
(iii) Quali sono le funzioni continue N̄ → X? È vero che sono le successioni
convergenti, se si pone x∞ = limn xn ? Cioè, data una successione xn
convergente a x ∈ X, è vero che la funzione f : N̄ → X definita da
f (n) = xn , f (∞) = x è continua? Viceversa, data una f : N̄ → X continua,
allora la successione xn = f (n) converge a f (∞)?
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79
Esercizi
(iv) Se X è uno spazio topologico di Hausdorff, si consideri l’insieme
X̂ = X ∪ {∞} (dove ∞ ̸∈ X), e la seguente famiglia di sottoinsiemi di
X̂: l’insieme vuoto, X̂, gli aperti di X ⊂ X̂ e tutti i complementari
X̂ ∖ K, al variare di K ⊂ X sottospazio compatto di X ⊂ X̂. Mostrare che
si tratta di una topologia. (X̂ è detto compattificazione ad un punto
di X, o anche compattificazione di Alexandroff; nel caso in cui X è
anche localmente compatto – cioè quando ogni punto di X ha un intorno
compatto – anche X̂ è Hausdorff)
(v) Mostrare che la topologia del punto precedente rende X̂ compatto, e l’inclusione X 7→ X̂ una funzione continua, iniettiva e aperta (omeomorfismo
sull’immagine/embedding).
(5.18) Dimostrare in modo rigoroso l’esercizio (3.21) di pagina 43: Sia X
l’unione delle circonferenze {( x, y) ∈ R2 : ( x − 1n )2 + y2 = ( 1n )2 }, per n = 1, 2, 3 . . . con
la topologia indotta da R2 , e sia Y lo spazio ottenuto identificando tutti
gli interi Z ⊂ R ad un punto. Allora X e Y non sono omeomorfi.
Suggerimento: procedere come segue.
(i) Mostrare che ( x − 1n )2 + y2 =
e quindi X è limitato.
1
n2
⇐⇒ x 2 + y2 =
2x
n
=⇒ x 2 + y2 ≤ 2x ⇐⇒ ( x − 1)2 + y2 ≤ 1,
(ii) Mostrare che Z = {( x, y, t ) ∈ R2 × [0, 1] : x 2 + y2 = 2tx} è (chiuso e limitato in R3 ,
e quindi) compatto.
(iii) Usando la continuità della proiezione Z → [0, 1], definita da ( x, y, t ) 7→ t,
mostrare che il sottospazio X̂ = {( x, y, t ) ∈ Z : t = 0 ∨ t −1 ∈ N} è chiuso e
limitato in R3 , e quindi compatto.
(iv) Dedurre che X è compatto.
1
}, e per ogni
3
k ∈ Z, Uk ⊂ Y l’insieme Uk = {[t ] ∈ Y : k < t < k + 1}. Mostrare che U e Uk sono
aperti nella topologia quoziente di Y .
(v) Sia U ⊂ Y l’insieme definito da U = {[t ] ∈ Y : mink∈Z |t − k| <
(vi) Mostrare che {U} ∪ {Uk }k∈Z è un ricoprimento aperto di Y .
(vii) Mostrare che il ricoprimento aperto appena definito non ammette
sottoricoprimenti finiti di Y , e quindi Y non è compatto.
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#5.
COMPATTEZZA NEGLI SPAZI EUCLIDEI
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Settimana N° 6
CONNESSIONE
§ 11.
SPAZI CONNESSI
(Cfr.)*
Il teorema del valore intermedio si può esprimere in termini di connessione:
(11.1) Definizione. Uno spazio topologico X è detto connesso se gli unici
sottoinsiemi di X simultaneamente aperti e chiusi† sono ∅ e X.
Quando si considera un sottospazio Y ⊂ X, allora Y è connesso se è
connesso nella topologia indotta da X. Osserviamo che se A ⊂ X è un
sottoinsieme sia chiuso che aperto, anche il suo complementare X ∖ A è sia
chiuso che aperto. Quindi X = A ∪ ( X ∖ A), cioè X è unione disgiunta di due
aperti non vuoti.
(11.2) Teorema. Uno spazio topologico X è connesso se e solo se X non è
unione di due aperti non vuoti e disgiunti X = A1 ∪ A2 . (Equivalentemente:
uno spazio topologico X non è connesso se e solo se X è unione di due
aperti non vuoti e disgiunti X = A1 ∪ A2 ).
(11.3) Esempio. Sia S 0 = {−1, +1} ⊂ R la sfera di dimensione 0 (soluzioni
dell’equazione x 2 = 1). Entrambi i punti sono chiusi in R, e quindi chiusi
in S 0 (che è chiuso in R): S 0 non è connesso.
(11.4) Esempio. L’insieme vuoto e gli spazi con un solo punto sono connessi.
(11.5) Esempio. Uno spazio con la topologia discreta è connesso se e
soltanto se ha un solo punto.
* Cfr:
† In
Sernesi Vol II, Cap III, §11 [1].
inglese: clopen.
81
82
#6.
CONNESSIONE
(11.6) Esempio. La retta razionale Q non è connessa. Infatti, consideriamo
l’intervallo
√
A = ( 2, ∞) ⊂ Q.
Si tratta di un aperto, che però è anche chiuso, visto che
√
√
A = ( 2, ∞) = {x ∈ Q : 2 < x}
√
= {x ∈ Q : 2 ≤ x}
√
= [ 2, ∞)
Quest’ultimo
è chuso perché il suo complementare è l’intervallo aperto
√
(−∞, 2). Ora, A non è vuoto, e non è uguale a Q, è sia aperto che chiuso,
e quindi Q non è connesso.
(11.7) Definizione. Un intervallo in R (più in generale: in un insieme
ordinato) è un insieme I ⊂ R contenente più di un punto, tale che x, y ∈ I, s ∈
R, x < s < y =⇒ s ∈ I.
Ricordiamo che m ∈ R è un minorante di un insieme di numeri X ⊂ R se
∀x ∈ X, m ≤ x (cioè se m ≤ X). Analogamente, M ∈ R è un maggiorante di X se
∀x ∈ X, x ≤ M (cioè se X ≤ M). Si dice che X è limitato da sotto se esiste un
minorante di X. Si dice che X è limitato da sopra se esiste un maggiorante
di X. L’insieme di tutti i minoranti di X è quindi un insieme non vuoto
se e solo se X è limitato da sotto. L’insieme di tutti i maggioranti di X
è un insieme non vuoto se e solo se X è limitato da sopra.
L’insieme dei minoranti di X si scrive come
minoranti = {m ∈ R : ∀x ∈ X, m ≤ x}
= {m ∈ R : ∀x ∈ X, m ∈ (−∞, x ]}
∩
(−∞, x ]}
= {m ∈ R : m ∈
=
∩
x∈X
(−∞, x ].
x∈X
Dato che è l’intersezione di una famiglia di chiusi, è un sottoinsieme
chiuso di R. L’insieme dei maggioranti di X si scrive come
maggioranti = {M ∈ R : ∀x ∈ X, M ≥ x}
= {M ∈ R : ∀x ∈ X, M ∈ [ x, +∞)}
∩
= {M ∈ R : M ∈
[ x, +∞)}
=
∩
x∈X
[ x, +∞).
x∈X
Dato che è l’intersezione di una famiglia di chiusi, è un sottoinsieme
chiuso di R. L’estremo inferiore è il massimo dei minoranti, l’estremo
superiore è il minimo dei maggioranti.
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§ 11.
83
SPAZI CONNESSI
Dato che R ha la proprietà dell’estremo superiore e dell’estremo inferiore, gli intervalli sono tutti gli insiemi del tipo (−∞, b],(−∞, b),(a, b),(a, b],
[a, b), [a, b], [a, +∞), (a, +∞), con a < b. Mostreremo che tutti gli intervalli
sono connessi. Cominciamo dall’intervallo chiuso (compatto) [a, b].
(11.8) Teorema. Ogni intervallo chiuso [a, b] ⊂ R è connesso.
Dim. Per assurdo, supponiamo che l’intervallo [a, b] sia unione di due aperti
disgiunti non vuoti [a, b] = A1 ∪ A2 (dove A1 , A2 ̸= ∅, A1 ∩ A2 = ∅, e quindi A1 e
A2 sono chiusi nella topologia di [a, b]). Essendo [a, b] chiuso in R, A1 e A2
sono anch’essi chiusi e non vuoti in R (nota: non sono necessariamente
aperti! Vedi esercizio (4.3)). Dato che gli estremi superiore e inferiore
di un sottoinsieme chiuso di R sono contenuti nell’insieme stesso (vedi
esercizio (4.2)), risulta sup Ai ∈ Ai , inf Ai ∈ Ai per i = 1, 2. Consideriamo per
ogni y ∈ [a, b] l’insieme chiuso
By = {x ∈ A1 : x ≤ y} = [a, y] ∩ A1 ⊂ A1 .
L’intersezione
B=
∩
By = {x ∈ A1 : ∀y ∈ A2 , x ≤ y}.
y∈A2
è dunque un chiuso contenuto in A1 (che consiste di tutti i minoranti di A2
in A1 ). Ora, a meno di cambiare gli indici, possiamo supporre che a ∈ A1 (e
quindi a ̸∈ A2 , poiché A1 ∩ A2 = ∅), e quindi a ∈ B. L’estremo superiore s1 = sup B
(che esiste perché B ̸= ∅ ed è limitato) appartiene al chiuso B (e quindi
è un minorante di A2 ), e dunque appartiene a A1 (che contiene B). D’altra
parte, consideriamo l’estremo inferiore s2 di A2 , che appartiene a A2 dato
che A2 è chiuso: si ha che s2 ≤ t per ogni t ∈ A2 , e
t ∈ [a, b] ∧ t > s2 =⇒ ∃y ∈ A2 : t > y,
(cioè non esistono minoranti di A2 più grandi di s2 , s2 è il massimo dei
minoranti). Quindi s1 ≤ s2 , dato che gli elementi di B sono minoranti di A2 .
In altre parole, B è contenuto nell’insieme di tutti i minoranti di A2 , e
quindi il massimo di B (cioè s1 ) non può essere piú grande del massimo dei
minoranti (cioè s2 ).
Ora, se s1 = s2 , si ha
A1 ⊃ B ∋ s1 = s2 ∈ A2 =⇒ s1 = s2 ∈ A1 ∩ A2 ,
che è assurdo visto che A1 ∩ A2 = ∅. Dunque deve essere s1 < s2 .
Prendiamo dunque un s ∈ [a, b] compreso tra s1 e s2 :
sup B = s1 < s < s2 = inf A2 .
Dato che per definizione di s1 (estremo superiore di B)
t ∈ [a, b] ∧ t > s1 =⇒ t ̸∈ B,
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84
#6.
CONNESSIONE
il punto s non è in B. Inoltre s < s2 = inf A2 , e quindo s non può essere un
elemento di A2 (e dunque sta in A1 ), ed è un minorante di A2 . Ma questo
significa che s ∈ B, il che è assurdo.
⨳
Un Corollario è il seguente Teorema.
(11.9) Teorema. Se J ⊂ R è un intervallo, allora J è connesso.
Dim. Supponiamo che J sia un intervallo, e che per assurdo non sia connesso
(nella topologia metrica), cioè che esista A ⊂ J sia aperto che chiuso,
A ̸= ∅, A ̸= J. Dato che A ̸= ∅, esiste a ∈ A. Dato che A ̸= J, esiste b ̸∈ A, b ∈ J.
Possiamo supporre senza perdere in generalità che a < b. Per la definizione
di intervallo, ogni s tale che a < s < b è in J, e quindi [a, b] ⊂ J. Ora,
osserviamo che A è un chiuso di J, e quindi l’intersezione  = A ∩ [a, b] è un
chiuso di [a, b]. Il suo complementare [a, b] ∖ Â è l’intersezione di J ∖ A con
[a, b], e quindi è un chiuso di [a, b]. Ma allora  è anche un aperto di [a, b].
Siccome a ∈ Â, Â non è vuoto. Siccome b ̸∈ Â, Â è diverso da [a, b]. Ma questo
⨳
è assurdo, perché [a, b] è connesso per il Teorema (11.8).
Diamo un’altra dimostrazione del Teorema (11.9), in cui la prima parte è identica alla prima parte della dimostrazione precedente, e che è
indipendente dalla validità del Teorema (11.8).
Altra Dimostrazione. Supponiamo che J sia un intervallo, e che per assurdo
non sia connesso (nella topologia metrica), cioè che esista A ⊂ J sia aperto
che chiuso, A ̸= ∅, A ̸= J. Dato che A ̸= ∅, esiste a ∈ A. Dato che A ̸= J, esiste
b ̸∈ A, b ∈ J. Possiamo supporre senza perdere in generalità che a < b. Per la
definizione di intervallo, ogni s tale che a < s < b è in J, e quindi [a, b] ⊂ J.
Ora, osserviamo che A è un chiuso di J, e quindi l’intersezione  = A ∩ [a, b]
è un chiuso di [a, b], che è chiuso in R. Allora  è un chiuso di R, non
vuoto. Se poniamo m = sup Â, otteniamo m ∈  ⊂ A. Dato che  ⊂ A e b ̸∈ A, si ha
m < b. L’intervallo (m, b] ⊂ [a, b] ⊂ J non può contenere punti di Â, né di A, e
quindi è contenuto nel complementare di A in J, che è chiuso in J. Proprio
perché J ∖ A è chiuso in J, l’estremo m di (m, b] ⊂ J ∖ A appartiene a J ∖ A, e
quindi m ̸∈ A, che contraddice il fatto che m ∈ Â ⊂ A.
⨳
(11.10) Nota. Vedremo che il teorema precedente può essere generalizzato
nel modo seguente: Un sottoinsieme A ⊂ R con almeno due punti è connesso
se e solo se è un intervallo. Per la parte “solo se”, si cerchi di
dimostrare (esercizio (6.5)) che se un insieme ha almeno due punti e non
è un intervallo, allora non è connesso (si veda anche la prossima nota).
(11.11) Nota. Usando la stessa tecnica di dimostrazione di (11.8), si può
dimostrare che A ⊂ R non è connesso se e solo se esistono x, y ∈ A, s ̸∈ A tali
che x < s < y (cioè A è connesso se e solo se x, y ∈ A, x < s < y =⇒ s ∈ A). Infatti,
se A non fosse connesso, si definiscono A1 , A2 , B, s1 e s2 come sopra (s1 = sup B
e s2 = inf A2 ), e deve risultare s1 < s2 . Ma allora esiste s ̸∈ A tale che s1 < s < s2
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§ 11.
85
SPAZI CONNESSI
– basta prendere s = 21 (s1 + s2 ). Questo fa seguire dall’ultimo assioma di (8.1)
la connessione di R. Viceversa, se esistono x, y ∈ A e s ̸∈ A tali che x < s < y,
allora si possono definire i seguenti sottoinsiemi (chiusi e aperti) di A:
A1 = {x ∈ A : x ≤ s} = {x ∈ A : x < s}
A2 = {x ∈ A : x ≥ s} = {x ∈ A : x > s}
la cui intersezione è vuota e la cui unione è A.
(11.12) Teorema. Se X è connesso e f : X → Y è una funzione continua, allora
f ( X ) ⊂ Y è connesso (con la topologia indotta da Y – si dice che l’immagine
di un connesso è connessa).
Dim. Se f ( X ) fosse non connesso, esisterebbero A1 ⊂ f ( X ) e A2 ⊂ f ( X ) aperti
disgiunti (nella topologia indotta) e non vuoti tali che f ( X ) = A1 ∪ A2 . Le
controimmagini f −1 A1 e f −1 A2 sarebbero aperti disgiunti non vuoti in X tali
che X = f −1 A1 ∪ f −1 A2 , e dunque X non sarebbe connesso.
⨳
(11.13) Corollario. Se X e Y sono due spazi topologici omeomorfi, allora
X è connesso se e solo se Y è connesso.
Dim. Come nella dimostrazione del corollario (8.18)
⨳
Ricordiamo che S 0 = {±1} è lo spazio con due punti e la topologia discreta.
(11.14) Uno spazio X è connesso se e solo se ogni funzione continua f : X → S 0
è costante.
Dim. Supponiamo che X sia connesso. Allora la sua immagine è un sottospazio
connesso di S 0 . Dato che S 0 non è connesso, f X non può essere S 0 . Dato che
f X ̸= ∅, f X ha esattamente un elemento, e quindi f è costante.
Viceversa, se X non è connesso allora esistono A1 , A2 aperti disgiunti
non vuoti tali che X = A1 ∪ A2 . Si definisca allora la funzione f : X → S 0
ponendo
+1 if x ∈ A1
f (x) =
−1 if x ∈ A2 .
La funzione è ben definita, dato che A1 ∩ A2 = ∅ e X = A1 ∪ A2 . È continua:
basta osservare che gli aperti di S 0 sono tutti i suoi sottoinsiemi ∅, {+1},
{−1}, S 0 , e la controimmagine di ognuno di essi è aperto in X:
f −1 (∅) = ∅
f −1 ({+1}) = A1
f −1 ({−1}) = A2
f −1 (S 0 ) = X.
E non è una funzione costante.
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⨳
86
#6.
CONNESSIONE
(11.15) Esempio. La funzione f : Q → {−1, 1}, definita ponendo
√
se x < 2
1
√
f (x) =
−1 se x > 2
è continua su Q.
(11.16) (Teorema del valore intermedio) Sia f : [a, b] ⊂ R → R una funzione
continua tale che f (a) < 0 e f (b) > 0. Allora esiste x0 ∈ (a, b) tale che f ( x0 ) = 0.
Dim. L’intervallo [a, b] è connesso per (11.8), e quindi la sua immagine
f ([a, b]) = { f ( x ) : a ≤ x ≤ b}
è connessa, e dunque un intervallo (vedi anche (11.11)). Cioè, visto che
f (a) ∈ f ([a, b]) e f (b) ∈ f ([a, b]), anche tutti i valori intermedi y ∈ [ f (a), f (b)]
appartengono all’immagine f ([a, b]). In particolare, 0 ∈ [ f (a), f (b)], e quindi
0 ∈ f ([a, b]), cioè esiste x ∈ [a, b] tale che f ( x ) = 0.
⨳
(11.17) Esempio (Bisezione). Applichiamo (11.16) ad un caso concreto: determinare in modo costruttivo una successione di
razionali che converge a
√
2
un irrazionale. Osserviamo per esempio che q = 2 ∈ [0, 1] risolve l’equazione
2x 2 = 1, per cui non è un razionale (occorre che si sappia dimostrarlo!). Non
solo, è anche l’unico punto di [0, 1] che risolve l’equazione (perché?). Ora
costruiamo per ricorsione una successione di intervalli [an , bn ] di lunghezza
2−n con la proprietà che
2a2n − 1 < 0 < 2b2n − 1
nel modo seguente. Per n = 0, poniamo
a0 = 0
b0 = 1.
Si ha 2 · 02 − 1 < 0 < 2 · 12 − 1, e
√
0 = a0 <
2
< b0 = 1
2
dato che
1
< 12 .
2
Supponiamo di avere definito [an−1 , bn−1 ], entrambi razionali tali che 2a2n−1 − 1 <
an−1 + bn−1
0 < 2b2n−1 − 1. Allora c =
è ancora razionale, e quindi non può essere
2
√
2
uguale a
che è irrazionale. Ma allora 2c2 − 1 ̸= 0, visto che in [0, 1] c’è
2
un’unica soluzione di 2x 2 − 1 = 0. Si hanno quindi solo due casi, in cui si
pone
[c, bn−1 ] se 2c2 − 1 < 0;
[an , bn ] =
[an−1 , c] se 2c2 − 1 > 0.
02 <
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§ 11.
87
SPAZI CONNESSI
In entrambi i casi la lunghezza è la metà di quella di [an−1 , bn−1 ], cioè la
metà di 2−(n−1) (ipotesi di induzione), che è 21 2−n+1 = 2−n ; inoltre
c < 0
c > 0
⇒ 2a2n − 1 = 2c2 − 1 < 0 < 2b2n−1 − 1 = 2b2n − 1,
⇒ 2a2n − 1 = 2a2n−1 − 1 < 0 < 2c2 − 1 = 2b2n − 1.
Quindi la successione è ben definita. Osserviamo che per ogni n ≥ 0 si ha
[an , bn ] ⊂ [an−1 , bn−1 ]. Dato che per ogni n si√ ha q ∈ [an , bn ], si ha quindi che sia
an che bn sono numeri che approssimano 2/2 a meno di 2−n , cioè
√
√
2
2
−n
− an | < 2 , |
− bn | < 2−n .
|
2
2
√
Questo segue dal fatto che 2/2 ∈ [an , bn ] e che bn − an = 2−n .
(11.18) Nota. È possibile implementare facilmente questo algoritmo, per
avere approssimazioni dell’ordine 2−n , per ogni n, in qualche linguaggio
che possa fare operazioni su frazioni senza limiti sulla grandezza dei numeratori/denominatori coinvolti (altrimenti prima o poi per il calcolatore
2−n = 0). Meglio sarebbe se fosse direttamente in grado di eseguire operazioni tra frazioni. Ma anche supponendo di poter eseguire solo operazioni
su interi di grandezza arbitraria, è possibile definire in modo semplice
somme e prodotti di frazioni (come?); risulta un po’ più efficiente se
si sa come ridurre le frazioni ai minimi termini (dividendo numeratore e
denominatore
√ per il massimo comun divisore). In altre parole, fissato per
esempio q = 2/2 dovrebbe essere possibile scrivere un programma che per k
assegnato calcola in modo esatto tutte le prime k cifre decimali di q (si
veda anche la nota (9.9) a pagina 66).*
* Lo
studente interessato potrebbe provare a calcolare le prime 200 cifre di π utilizzando
per esempio lo sviluppo (è solo uno dei molti metodi possibili)
arctan x =
n
∑
k=0
(−1)k
x 2k+1
+ rn
2k + 1
con resto |rn | < x 2n+3 /(2n + 3) e l’identità
π
= arctan 1.
4
1
Dato che
è minore di 10−200 quando 2n + 3 > 10200 , forse occorrono un po’ troppi termini.
2n + 3
Roadrunner, il supercomputer più potente del mondo, supera il petaflop/s, cioè è in grado
di eseguire 1105 teraflop/s (cioè approssimativamente 1015 FLoating point Operations Per
Second). Ogni termine della somma richiede certamente più di una operazione (e non è
detto che si usino float: a volte bastano gli interi), ma in ogni caso con questa formula
occorrerebbero a Roadrunner non meno di 10185 secondi per terminare, cioè non meno di 3 · 10177
anni. Tenuto conto che l’età stimata dell’universo è intorno ai 14 · 109 anni, il metodo è
destinato al fallimento. Usando invece identità del tipo (formule di Machin)
1
1
1
1
1
π
= arctan + arctan = arctan + arctan + arctan
4
2
3
2
5
8
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#6.
CONNESSIONE
(11.19) Definizione. Definiamo componenti connesse di uno spazio topologico
X i sottospazi connessi massimali (cioè i sottospazi connessi di X che non
sono contenuti in sottospazi connessi di X).
L’insieme dei sottospazi connessi di X è parzialmente ordinato, rispetto
all’inclusione di sottoinsiemi. Un elemento massimale è un sottospazio
connesso Y che non è contenuto in nessun sottospazio connesso di X. Ogni
elemento x ∈ X è contenuto in un tale Y : infatti, {x} è connesso. Se {x} non
è contenuto in nessun connesso piú grande, allora {x} stesso è massimale e
basta porre {x} = Y . Altrimenti, x appartiene ad un connesso piú grande. È
vero che un connesso massimale che contiene x esiste sempre? È vero che ne
esiste uno solo? È vero che quindi X si decompone in una unione disgiunta
di componenti connesse?
(11.20) Esempio. Uno spazio X è connesso se e solo se ha una sola componente
connessa. Le componenti connesse di Q sono …
(11.21) Teorema. Le componenti connesse di Q ⊂ R sono i suoi punti.
(11.22) Siano B ⊂ X e {Yw }w∈W sottoinsiemi connessi ∪
di uno spazio topologico
Yw è connesso.
X tali che ∀w ∈ W , B ∩ Yw ̸= ∅. Allora l’unione Y = B ∪
w∈W
Dim. Basta dimostrare che ogni funzione continua f : Y → {±1} è costante.
Dato che B è connesso, la restrizione f |B è continua e quindi per (11.14)
è costante. Quindi esiste y ∈ S 0 tale che f (b) = y, per ogni b ∈ B. Ora, per
ogni w ∈ W lo spazio Yw è connesso, e quindi la restrizione f |Yw è una
funzione costante dato che è continua. Ma Yw ∩ B ̸= ∅, quindi esiste b ∈ Yw ∩ B,
e deve essere f (Yw ) = { f (b)} = {y}. Quindi per ogni x ∈ Y si ha f ( x ) = y, cioè f è
costante.
Vediamo un’altra dimostrazione. Supponiamo che A1 e A2 siano aperti
disgiunti tali che Y = A1 ∪ A2 . Per ogni w ∈ W , A1 ∩ Yw e A2 ∩ Yw sono aperti
disgiunti in Yw , e quindi non possono essere entrambi non vuoti, visto che
Yw è connesso: cioè, Yw ⊂ A1 oppure Yw ⊂ A2 . Lo stesso per A1 ∩ B e A2 ∩ B:
supponiamo senza perdere in generalità che B ⊂ A1 . Ma allora, poiché per
ipotesi B ∩ Yw ̸= ∅, deve anche essere ∀w ∈ W , Yw ⊂ A1 , e cioè Y ⊂ A1 . Ma allora
A2 = ∅.
⨳
(11.23) Corollario. Siano Aw , per w ∈ W , sottospazi connessi di uno spazio
∩
∪
X tali che w Aw ̸= ∅. Allora w Aw è connesso.
Dim. Basta prendere uno degli Aw e chiamarlo B: per ogni w′ ∈ W
∩
∅ ̸=
Aw ⊂ Aw′ ∩ B,
w
e quindi si può applicare il lemma precedente.
⨳
è possibile sommare un numero ragionevole di termini. Lo studente interessato può provare
a calcolare le prime 200 cifre di π con questo metodo, e anche a dimostrare le identità
usate.
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§ 11.
89
SPAZI CONNESSI
(11.24) Nota (Componenti connesse). Per ogni x ∈ X sia C x l’unione di tutti
i sottospazi connessi di X che contengono x
∪
Cx =
Y
Y connesso, x∈Y ⊂X
Dato che {x} è connesso e contiene x, l’insieme C x contiene x. Per
(11.22), questa unione è un sottoinsieme connesso di X che contiene x.
Non può essere contenuto propriamente in un connesso piú grande, perché
se cosí fosse sarebbe contenuto propriamente in un connesso che contiene
x, e dunque sarebbe contenuto propriamente in sé stesso. Quindi C x è una
componente connessa (secondo la definizione (11.19)). Osserviamo che se
z ∈ C x , allora Cz = C x : infatti se Cz è un connesso massimale che contiene z,
dato che anche C x ∪ Cz contiene z (ed è connesso per (11.22)), deve essere
C x ∪ Cz ⊂ Cz , cioè C x ⊂ Cz . Analogamente, Cz ∪ C x ⊂ C x , dato che è un connesso
e contiene x, e quindi Cz ⊂ C x . Due componenti connesse o sono disgiunte
oppure coincidono: infatti se si ha C x ∩ C y ̸= ∅, esiste z ∈ C x ∩ C y , e quindi
Cz = C x e Cz = C y , da cui C x = C y . Quindi ogni x ∈ X è contenuto in una e una
sola componente connessa di X: X è l’unione disgiunta delle sue componenti
connesse.
Diamo una dimostrazione diversa del Teorema (11.9).
(11.25) Corollario. Se I ⊂ R è un intervallo, allora I è connesso.
Dim. Per definizione I ha più di un punto, e se x, y ∈ I, allora x < s < y =⇒ s ∈ I.
Siano x1 e x2 due punti di I, e x0 = 21 ( x1 + x2 ). Allora x1 < x0 < x2 e quindi x0 ∈ I,
da cui segue che
∪
I=
[a, b],
a∈I, b∈I, a<x0 <b
visto che x ∈ I =⇒ x ∈ [ x, x2 ] (se x < x0 ) oppure x ∈ [ x1 , x ] (se x > x0 ), oppure
x ∈ [ x1 , x2 ] (se x = x0 ). Ora, se a ∈ I, b ∈ I e a < x0 < b, allora x0 ∈ [a, b], quindi la
tesi segue da (11.22) ponendo B = {x0 } e Yw = [a, b] con w ∈ W = {(a, b) ∈ I 2 : a < x0 <
b}.
⨳
(11.26) Corollario. La retta reale R è connessa.
Dim. Basta osservare che si può scrivere R = {0} ∪
(11.22), oppure direttamente il corollario (11.25).
∪
R>0 [−R, R]
e applicare
⨳
(11.27) Teorema. I sottoinsiemi connessi di R sono tutti e soli gli insiemi
con un elemento solo e gli intervalli.
Dim. Per (11.25) gli intervalli sono connessi, e i punti sono sempre
connessi. Ora, un insieme X ⊂ R con più di due punti che non sia un
intervallo è tale che esistono x, y ∈ X e s ∈ R tali che x < s < y ma s ̸∈ X, e
quindi
X = [ X ∩ (−∞, s)] ∪ [ X ∩ (s, +∞)] ,
cioè unione disgiunta di due aperti non vuoti, e quindi X non è connesso. ⨳
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90
#6.
CONNESSIONE
(11.28) Esempio. Rn è connesso: è unione di rette per l’origine. Rn ∖ {0} è
connesso per n ≥ 2. Perché? Vedi esercizio (6.2).
(11.29) Teorema. Due spazi topologici X e Y sono connessi se e solo se il
prodotto X × Y è connesso.
Dim. Se X × Y è connesso, allora X e Y , in quanto immagini delle proiezioni
canoniche p1 : X × Y → X e p2 : X × Y → Y , sono connessi (vedi (11.12)). Viceversa,
se X e Y sono connessi, allora si scelga y0 ∈ Y : per ogni x ∈ X i sottospazi
{x} × Y ⊂ X × Y e X × {y0 } ⊂ X × Y sono omeomorfi rispettivamente a Y e X, e quindi
entrambi connessi. Ma allora
∪
X × Y = X × {y0 } ∪ ({x} × Y ),
x∈X
e quindi possiamo applicare (11.22) con B = X × {y0 } e Y x = {x} × Y .
⨳
(11.30) Proposizione. Se A ⊂ X è connesso, allora la chiusura A di A in X
è connesso.
Dim. Per (11.14), basta mostrare che ogni funzione continua f : A → {±1} è
costante. Ma la restrizione di f ad A è costante e quindi f ( A) è un solo
punto: supponiamo che sia uguale a 1 (altrimenti sostituiamo f con − f ).
Per (3.10)-2 (pagina 15), f ( A) ⊂ f ( A), e quindi
f ( A) ⊂ f ( A) = {1} = {1},
cioè f è costante anche sulla chiusura A.
⨳
(11.31) Corollario. Ogni spazio topologico X è unione disgiunta delle sue
componenti connesse. Ogni componente connessa è chiusa in X.
Dim. Abbiamo visto sopra che X è unione disgiunta delle sue componenti
connesse. Se C x è una componente connessa, allora C x non può essere più
⨳
grande di C x , e quindi C x = C x .
§ 11.1.
SPAZI CONNESSI PER ARCHI
(Cfr.)*
Un arco (oppure un cammino) in uno spazio X è una mappa (funzione
continua) γ : [0, 1] → X. Si dice che l’arco parte da γ (0) e arriva a γ (1).
(11.32) Definizione. Si dice che uno spazio X è connesso per archi se per
ogni coppia di punti x0 , x1 ∈ X esiste un arco γ tale che γ (0) = x0 e γ (1) = x1 .
(11.33) Se f : X → Y è una funzione continua suriettiva e X è connesso per
archi, allora Y è connesso per archi.
* Cfr:
Sernesi Vol II, Cap III, §12 [1].
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§ 11.
91
SPAZI CONNESSI
Dim. Siano y0 , y1 due punti di Y . La funzione è suriettiva, e dunque esistono
x0 e x1 in X tali che f ( x0 ) = y0 e f ( x1 ) = y1 . Dato che X è connesso, esiste
un cammino γ : [0, 1] → X tale che γ (0) = x0 e γ (1) = x1 . Ma la composizione di
funzioni continue è continua, e quindi il cammino ottenuto componendo γ
con f : f ◦ γ : [0, 1] → X → Y è un cammino continuo che parte da y0 e arriva a
y1 .
⨳
(11.34) Corollario. Se due spazi X e Y sono omeomorfi, allora X è connesso
per archi se e solo se Y è connesso per archi.
Dim. Si dimostra come nel caso della connessione e della compattezza (8.18).
⨳
(11.35) Teorema. Uno spazio connesso per archi è connesso.
Dim. Sia X uno spazio connesso per archi. Supponiamo che non sia connesso,
e dunque che esista A ⊂ X, A ̸= ∅, A ̸= X sia aperto che chiuso. Dato che A ̸= ∅,
possiamo scegliere un punto x0 ∈ A. Dato che A ̸= X, possiamo scegliere un
punto x1 ̸∈ A. Dato che X è connesso, esiste un cammino γ : [0, 1] → X che parte
da x0 e arriva a x1 . La controimmagine γ −1 ( A) è un sottoinsieme chiuso di
[0, 1] (dato che γ è continua e A è chiuso) ed al tempo stesso un sottoinsieme
aperto (dato che γ è continua e A aperto). Ma [0, 1] è connesso, quindi γ −1 A
può solo essere ∅ oppure tutto [0, 1]. Ma x0 ∈ A, e quindi γ −1 A ̸= ∅, e x1 ̸∈ A, e
quindi γ −1 A ̸= [0, 1], e questo ci porta ad una contraddizione.
⨳
(11.36) Teorema. Se X è un sottoinsieme aperto e connesso di Rn , allora X
è connesso per archi.
Dim. Vedi esercizio (6.20)
⨳
(11.37) Proposizione. I sottoinsiemi connessi di R sono connessi per archi.
(11.38) Proposizione. Non è vero in generale che se X è connesso allora è
connesso per archi.
La dimostrazione (opzionale) è data dal seguente esempio.
(11.39) Esempio (La pulce e il pettine). Sia A ⊂ R2 il seguente insieme
(con la topologia euclidea di R2 ):
1
A = {( , y) : 0 ≤ y ≤ 1, n ≥ 1 intero} ∪ {( x, 0) : 0 < x ≤ 1}.
n
Applicando (11.22) si vede che A è connesso. È anche connesso per archi:
per esempio c’è un cammino che collega tutti i punti di A con (1, 0) ∈ A.
Se P denota il punto di coordinate (0, 21 ), allora anche lo spazio X = {P} ∪ A
è connesso: infatti P è di accumulazione per A in R2 , e quindi la chiusura
di A in X coincide con X. Ma per (11.30) la chiusura di A in X è connesso,
visto che lo è A, e quindi X è connesso perché coincide con la chiusura
di A in X.
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92
#6.
CONNESSIONE
(0, 12 )
Figura 6.1: La pulce e il pettine dell’esempio (11.39).
Non è connesso per archi: sia γ : I → X una funzione continua tale che
γ (0) = P e γ (1) ̸= P. Le componenti di γ sono due funzioni continue ( x (t ), y(t )).
Sia m = sup{t ∈ I : x (t ) = 0} (l’estremo superiore esiste dato che x (0) = 0). Per
continuità, si ha x (m) = 0 e y(m) = 21 (cioè γ (m) = P). Visto che γ (1) ̸= P e P è
il solo punto con ascissa nulla, si ha x (1) > 0 e quindi m < 1. Si prenda m′
tale che m < m′ ≤ 1. Se m′ − m è abbastanza piccolo, si ha che y(t ) è abbastanza
vicino a 21 per ogni t ∈ [m, m′ ]: supponiamo quindi che m′ − m è cosí piccolo
(ma positivo) da far sí che per ogni t ∈ [m, m′ ] si abbia y(t ) ≥ 14 . Osserviamo
che per costruzione comunque x (m′ ) > 0; l’insieme
B = {x (t ) : m ≤ t ≤ m′ }
è l’immagine dell’intervallo chiuso [m, m′ ] mediante la funzione continua
x (t ), e quindi è un intervallo (perché connesso) chiuso (perché compatto),
cioè è della forma
B = {x (t ) : m ≤ t ≤ m′ } = [0, M ],
dove M è il massimo di x (t ) in [m, m′ ] e risulta M > 0.
Ma ogni punto di γ ([m, m′ ]) ha ordinata maggiore di 41 , e quindi deve avere
ascissa uguale a un valore del tipo 1n con n intero, e dunque B non può
essere un intervallo del tipo [0, M ]. È quindi assurdo supporre che γ (1) ̸= P,
cioè tutti i cammini continui con γ (0) = P sono costanti in P: segue che X
non è connesso per archi.
(11.40) Esempio. Il sottoinsieme X ⊂ R2 definito da
X = {( x, y) ∈ R2 : x + y + xy ̸= 1}
è un aperto di R2 , quindi è connesso per archi se e soltanto se è connesso.
Non è connesso, dato che la sua immagine in R mediante la funzione continua
f ( x, y) = x + y + xy non è un intervallo (e quindi non è connesso) perché contiene
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§ 11.
93
SPAZI CONNESSI
10
5
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
-5
-10
Figura 6.2: Figura per l’esempio (11.40).
i due punti f (2, 0) = 2 e f (0, 0) = 0, ma non 1 che è intermedio. Osserviamo che
X è l’unione disgiunta dei due aperti A1 e A2 non vuoti definiti da
A1 = {( x, y) ∈ R2 : x + y + xy > 1}
A2 = {( x, y) ∈ R2 : x + y + xy < 1}.
Verifichiamo che A2 è connesso per archi (e quindi connesso): se ( x1 , y1 ) ∈ A2 ,
allora il cammino γ (t ) definito per t ∈ [0, 1] da
γ (t ) = (−1 + t ( x1 + 1), −1 + t (y1 + 1))
parte da γ (0) = (−1, −1) e arriva a γ (1) = ( x1 , y1 ). Per ogni t ∈ [0, 1] si ha
(−1 + t ( x1 + 1)) + (−1 + t (y1 + 1)) + (−1 + t ( x1 + 1))(−1 + t (y1 + 1))
= −1 + t 2 ( x1 + y1 + x1 y1 + 1)
< −1 + t 2 (1 + 1) = 2t 2 − 1
≤ 2 − 1 = 1,
e quindi γ (t ) ∈ A2 .
Invece A1 non è connesso: si può scrivere come unione di aperti disgiunti
non vuoti A+1 e A−1 definiti da
A+1 = {( x, y) ∈ R2 : x + y + xy > 1 ∧ x + y > 0}
A−1 = {( x, y) ∈ R2 : x + y + xy > 1 ∧ x + y < 0}.
Sono ovviamente disgiunti, inoltre x + y + xy > 1 =⇒ x + y ̸= 0 (perché?), e
quindi A1 = A+1 ∪ A−1 . Verifichiamo che A+1 e A−1 sono connessi per archi, e
quindi connessi. Cambiamo coordinate in R2 , e prendiamo le nuove coordinate
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94
#6.
CONNESSIONE
a = x + 1, b = y + 1 (è un omeomorfismo R2 ≈ R2 ). Allora nella coordinate (a, b)
si ha
A+1 ≈ {(a, b) ∈ R2 : ab > 2 ∧ a + b > 2}.
Definiamo γ (t ) = (a1 + b1 − tb1 , a1 + b1 − ta1 ). Si ha
γ (0) = (a1 + b1 , a1 + b1 )
γ (1) = (a1 , b1 ).
Inoltre per ogni t ∈ [0, 1] si ha a1 > 0, b1 > 0 e quindi
(a1 + b1 − tb1 )(a1 + b1 − ta1 )
≥ a1 b1 > 2,
a1 + b1 − tb1 + a1 + b1 − ta1 = (2 − t )(a1 + b1 )
≥ (a1 + b1 ) > 2,
quindi γ (t ) ∈ A+1 . Definiamo ora un’altro cammino η(t ) ponendo per t ∈ [0, 1]
η(t ) = (2 + t (a1 + b1 − 2), 2 + t (a1 + b1 − 2)).
Si ha
η(0) = (2, 2)
η(1) = (a1 + b1 , a1 + b1 ).
Dato che
(t, t ) ∈ {(a, b) ∈ R2 : ab > 2 ∧ a + b > 2}
se e soltanto se t 2 > 2, per mostrare che η(t ) ∈ A+1 occorre mostrare che
(2 + t (a1 + b1 − 2))2 > 2.
Ma questo segue dal fatto che a1 + b1 > 2, quindi 2 + t (a1 + b2 − 2) > 2, e quindi
il suo quadrato è maggiore di 2. Nelle coordinate a, b, quindi possiamo
definire il cammino α (t ) in A+1 ponendo
η(2t )
α (t ) =
γ (2t − 1)
se t ∈ [0, 1/2]
se t ∈ [1/2, t ],
che collega (2, 2) con qualsiasi punto (a1 , b1 ) di A+1 . Per A−1 si procede allo
stesso modo (esercizio). Concludiamo quindi dicendo che X ha tre componenti
connesse: A2 , A+1 e A−1 (c’era una dimostrazione più veloce?).
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§ 11.
95
SPAZI CONNESSI
§ 11.2.
OPZIONALE: CONSTRUZIONE DI R (DEDEKIND)
(-2.1) Consideriamo il sottoinsieme Q ⊂ Q dei numeri razionali positivi
o nulli: Q = {x ∈ Q : x ≥ 0}. Lo scopo di questo esercizio (e dei seguenti)
è di rivisitare la costruzione delle sezioni di Dedekind in termini di
connessione (così come la costruzione di Cantor dei numeri reali come
completamento di Q è fatta in termine di convergenza di successioni di
Cauchy).* Sappiamo che Q e Q non sono connessi (perché?): esistono quindi
due aperti-e-chiusi non vuoti A1 ,A2 ⊂ Q tali che A1 ∪ A2 = Q. Definiamo le
sezioni di Q come segue: una sezione α ⊂ Q è un intervallo aperto e limitato
di Q contenente lo 0, cioè
(i) 0 ∈ Q;
(ii) p ∈ α =⇒ ∃ϵ > 0, Bϵ ( p) ⊂ α (α è aperto).
(iii) p ∈ α =⇒ [0, p) ⊂ α (α è un intervallo che contiene lo 0);
(iv) α è limitato (equivalentemente, α ̸= Q, dal momento che α è un intervallo
che contiene 0).
Dimostrare che le sezioni (definite come sopra) soddisfano le seguenti
proprietà:
(i) α non è vuoto e α ̸= Q;
(ii) Se p ∈ α e q ∈ Q e q < p allora q ∈ α;
(iii) Se p ∈ α allora p < r per qualche r ∈ α.
(-2.2) Sia S l’insieme di tutte le sezioni di Q. Consideriamo la funzione
f : Q ∖ {0} → S definita da f (q) = α = [0, q), per ogni q ∈ Q ∖ {0}. Dimostrare che è
iniettiva (non è definita in 0).
*(-2.3) Dimostrare che la relazione di inclusione α < β ⇐⇒ α ⊂ β ∧ α ̸= β è una
relazione di ordine totale su Q, cioè:
(i) Se α e β sono sezioni in S, allora una sola delle relazioni seguenti
è vera: α < β, β < α, β = α.
(ii) (proprietà transitiva): se α, β e γ sono in S, e α < β ∧ β < γ, allora
α < γ.
*(-2.4) Dimostrare che l’insieme delle sezioni S ha la proprietà dell’estremo superiore: ogni insieme non vuoto e limitato in S ammette estremo
superiore. (Suggerimento: se A ⊂ S è un insieme limitato e non vuoto, allora
∪
si può definire l’unione U = α∈A α – le sezioni sono sì elementi di S, ma
sono anche intervalli di numeri razionali, e quindi è possibile definire
* Questa
non è la costruzione dei reali con le sezioni di Dedekind.
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96
#6.
CONNESSIONE
l’unione…poi si dimostra che l’unione in effetti è una sezione, e quindi
U ∈ S …è un maggiorante di A, ed è poi possibile vedere che è il minimo dei
maggioranti…)
*(-2.5) Ora dobbiamo mostrare che la somma e il prodotto, definite in Q, si
estendono a S. Definiamo la somma come
α + β = {a + b : a ∈ α, b ∈ β}
e il prodotto come
αβ = {ab : a ∈ α, b ∈ β}.
Dimostrare che la somma e il prodotto di sezioni sono ancora sezioni.
Dimostrare che la funzione f dell’esercizio (-2.2) conserva le operazioni
di somma, prodotto e la relazione d’ordine: f ( p + q) = f ( p) + f (q), f ( pq) = f ( pq),
p < q =⇒ f ( p) < f (q).
*(-2.6) Dimostrare che se α, β ∈ S, e α < β, allora esiste un unico γ ∈ S tale
che β = α + γ.
(-2.7) Dimostrare che se α ∈ S, allora esiste un unico β tale che αβ = 1
(dove identifichiamo 1 = [0, 1) = f (1).
*(-2.8) Ora siano S+ e S− due copie di S, e sia R = S− ∪ {0} ∪ S+ . Se α ∈ S, allora
indicheremo con +α (o anche semplicemente con α) l’elemento corrispondente
in S+ , e con −α l’elemento corrispondente di S− . Definire operazioni di
addizione, moltiplicazione e la relazione d’ordine su R in modo che R
risulti un campo ordinato.
*(-2.9) Mostrare che la funzione f di (-2.2) si estende in modo naturale ad
una inclusione di campi
Q ⊂ R.
(Vale la pena di concludere osservando che R = R…).
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97
Esercizi
{{}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
{{}, {1}, {2}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 2, 3}}
{{}, {3}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
{{}, {1}, {2}, {1, 2}, {1, 2, 3}}
{{}, {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}}
{{}, {1}, {1, 2, 3}}
{{}, {1}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
{{}, {1, 3}, {1, 2, 3}}
{{}, {1, 2, 3}}
Figura 6.3: Topologie con tre punti
ESERCIZI
*(6.1) Dimostrare (direttamente) che gli intervalli semiaperti [a, b) sono
connessi, così come gli intervalli (−∞, a), (−∞, a], (a, ∞) e [a, ∞) (vedi teorema
(11.8) e (11.22)).
(6.2) Dimostrare che Rn ∖ {0} è connesso, per n ≥ 2.
(6.3) Dimostrare che i punti di uno spazio topologico sono connessi.
(6.4) Dimostrare che Q non è connesso. Quali sono le sue componenti
connesse? (Nota: Q non ha la topologia discreta!)
(6.5) Dimostrare che i sottoinsiemi connessi non vuoti di R sono tutti e
soli i singoli punti e gli intervalli (dove diciamo che un sottoinsieme
A ⊂ R è un intervallo se contiene almeno due punti distinti e se x, y ∈ A,
x < s < z =⇒ s ∈ A).
(6.6) Sia X un insieme con almeno due elementi. Quali sono i sottoinsiemi
connessi, se X ha la topologia discreta? E se ha la topologia banale?
(6.7) Se X è connesso e Y ha meno aperti di X, allora è vero che anche
Y è connesso? Utilizzare questo fatto per determinare nel grafo (cfr.
figure 6.3 e 6.4 a pagg. 97 e 98) delle classi di omoeomorfismo di spazi
topologici finiti su 3 e 4 punti quali sono quelli connessi. Tra tutti gli
spazi topologici finiti (a meno di omeomorfismo) con 3 o 4 punti, quanti
sono quelli connessi?
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
98
#6.
CONNESSIONE
{{}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 4}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}}
{{}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}}
{{}, {1}, {4}, {1, 4}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}}
{{}, {4}, {1, 4}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}}
{{}, {1}, {2}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 3, 4}}
{{}, {1}, {2}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 3, 4}}
{{}, {3}, {3, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}}
{{}, {4}, {1, 4}, {2, 4}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}}
{{}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 3, 4}}
{{}, {1}, {2}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 2, 3}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}}
{{}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}}
{{}, {1}, {2}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}}
{{}, {1}, {2}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}}
{{}, {4}, {1, 4}, {2, 4}, {1, 2, 4}, {1, 2, 3, 4}}
{{}, {3, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}}
{{}, {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}}
{{}, {1, 4}, {1, 2, 4}, {1, 2, 3, 4}}
{{}, {1}, {2}, {1, 2}, {3, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}}
{{}, {2}, {1, 4}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}}
{{}, {1}, {2, 4}, {1, 2, 4}, {1, 2, 3, 4}}
{{}, {1}, {1, 2, 4}, {1, 2, 3, 4}}
{{}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}}
{{}, {1}, {2}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 3, 4}}
{{}, {1}, {2}, {1, 2}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}}
{{}, {1}, {2}, {1, 2}, {1, 2, 3, 4}}
{{}, {1}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}}
{{}, {1}, {1, 2, 3, 4}}
{{}, {1}, {1, 3}, {2, 4}, {1, 2, 4}, {1, 2, 3, 4}}
{{}, {4}, {1, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}}
{{}, {1}, {1, 2}, {1, 2, 3, 4}}
{{}, {2, 3}, {1, 4}, {1, 2, 3, 4}}
{{}, {1, 4}, {1, 2, 3, 4}}
{{}, {1, 2, 3, 4}}
Figura 6.4: Topologie con quattro punti
(6.8) Determinare quali dei seguenti sottospazi di R2 sono connessi:
(i) {( x, y) ∈ R2 : x 2 + y2 < 1}.
(ii) {( x, y) ∈ R2 : x 2 + y2 = 1}.
(iii) {( x, y) ∈ R2 : x 2 + y2 ̸= 1}.
*(6.9) Supponiamo che f : X → Z sia una funzione continua (dove Z, con la
topologia indotta da R, ha la topologia discreta) e non costante. Dimostrare
che X non è connesso.
*(6.10) Dimostrare che Rn ∖ {0} è connesso per n ≥ 2. Dedurne che la sfera di
dimensione n S n e il piano proiettivo P2 (R) sono connessi.
(6.11) In uno spazio topologico X si consideri la seguente relazione:
x ∼ y ⇐⇒ ∃C ⊂ X connesso tale che x ∈ C ∋ y. Mostrare che è una relazione di
equivalenza. Mostrare poi che le classi di equivalenza sono le componenti
connesse di X. Dedurre che le componenti connesse (definite in (11.19)) di
uno spazio topologico sono ben definite e disgiunte (cfr. nota (11.24)).
*(6.12) Sia X l’unione dei sottospazi A e B di R2 definiti da A = {( x, y) ∈ R2 :
x = 0 ∧ −1 ≤ y ≤ 1} e B = {( x, y) ∈ R2 : y = cos 1x ∧ 0 < x ≤ 1}. Dimostrare che X è connesso.
(Suggerimento: uno è nella chiusura dell’altro)
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99
Esercizi
1
y
0.5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
1
-0.5
-1
*(6.13) Siano A = {( x, y) : 21 ≤ x ≤ 1, y = 0} e B = {( x, y) : y = nx , 0 ≤ x ≤ 1 per qualche n ∈ N}.
Dimostrare che X = A ∪ B è connesso.
1.2
y
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
1
-0.2
(6.14) Sia S n = {x ∈ Rn+1 : |x|2 = 1}. Dimostrare che S n è connesso. (Suggerimento:
Rn ∖ {0} è connesso)
*(6.15) Dimostrare che S 1 non è omeomorfo ad un intervallo. (Suggerimento:
S 1 meno un punto …)
*(6.16) Dimostrare che gli intervalli (0, 1) e [0, 1) non sono omeomorfi. Scrivere una corrispondenza biunivoca tra (0, 1) e [0, 1), però.
(6.17) Dimostrare che uno spazio topologico X è connesso se e solo se ogni
volta che si scrive come X = A ∪ B con A ̸= ∅ e B =
̸ ∅ allora A ∩ B ̸= ∅ oppure
B ∩ A ̸= ∅.
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100
#6.
CONNESSIONE
(6.18) Dimostrare che se S ⊂ R non è un intervallo (cioè se esistono x, y, z
con x < s < y, x, y ∈ S e s ∈
̸ S ) allora S non è connesso.
(6.19) Mostrare che se uno spazio topologico X è unione di aperti connessi
disgiunti e non vuoti, allora questi sono le componenti connesse di X.
Dimostrare poi che se X ha un numero finito di componenti connesse allora
esse sono sia aperte che chiuse e disgiunte. Trovare un esempio di spazio
con infinite componenti connesse tutte chiuse ma mai aperte.
*(6.20) Dimostrare che se X ⊂ Rn è un sottoinsieme aperto e connesso di Rn ,
allora è anche connesso per archi. (Suggerimento: osservare che i cammini
si possono comporre nel seguente modo: se γ : [0, 1] → X è un cammino che va da
x0 ∈ X a x1 ∈ X, e γ ′ : [0, 1] → X un secondo cammino che va da x1 a x2 , allora γ ′
può essere riparametrizzato (utilizzando un omeomorfismo [0, 1] ≈ [1, 2]) come
γ ′′ : [1, 2] → X. Ma allora è possibile definire un nuovo cammino α : [0, 2] → X
“incollando” i due cammini – e verificare che è ancora continuo. Ora non
rimane che dimostrare la seguente cosa: se si sceglie x0 ∈ X, lo spazio di
tutti i punti raggiungibili con un cammino che parte da x0 è un aperto
(“incollando” al cammino un pezzettino di cammino rettilineo…), ma è anche
un chiuso (cioè lo spazio di tutti i punti non raggiungibili con un cammino
che parte da x0 è un aperto) …)
(6.21) Sia X uno spazio topologico, e ∼ la seguente relazione in X: x ∼ y se
e solo se esiste cammino γ : [0, 1] → X che parte da x e arriva a y. Dimostrare
che la relazione “∼” è di equivalenza. Cosa sono le classi di equivalenza?
Ricordiamo che nel sistema posizionale con base b all’allineamento
(an . . . a3 a2 a1 a0 .a−1 a−2 . . .)b
(finito a sinistra) corrisponde il numero reale
an bn + . . . + a3 b3 + a2 b2 + a1 b1 + a0 + a−1 b−1 + a−2 b−2 + . . . .
In generale si ha che 0 ≤ an < b, ma ci sono sistemi in cui questo non è
richiesto (vedi l’esercizio (6.23)).
*(6.22) Sia C ⊂ [0, 1] ⊂ R l’insime di numeri reali compresi tra 0 e 1 che hanno
uno sviluppo in base ternaria (con cifre 0, 1, 2) in cui non compare mai la
cifra 1 (quando la rappresentazione non è unica, come per esempio quando
l’ultima cifra è 2 periodica (0.2̄)3 = (1.0)3 oppure (0.12̄)3 = (0.2)3 , basta che
per una delle due rappresentazioni sia vero che non compare la cifra 1).
L’insieme C si chiama insieme di Cantor. Mostrare che
(i) C è chiuso;
(ii) C è compatto;
(iii) se x ∈ C, allora x è di accumulazione per il complementare di C.
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101
Esercizi
(iv) se x ∈ C, allora x è di accumulazione per C ma non è interno a C.
(v) se Y ⊂ C è un sottospazio connesso e Y ̸= ∅, allora Y ha un solo elemento
(cioè l’insieme di Cantor è totalmente sconnesso, come Q).
(vi) (opzionale) Mostrare che C è omeomorfo allo spazio 2N (con la topologia
prodotto).
**(6.23) Nella notazione posizionale ternaria bilanciata invece degli allineamenti in base 3 (con i simboli 0, 1, 2) si considerano gli allineamenti
dei tre simboli 1, 0, 1 (che corrispondono agli interi −1,0,1) in base 3. Nel
sistema ternario si ha che 0 ≤ an < 3, ma nel sistema ternario bilanciato si
pone −1 ≤ an ≤ 1, e si indica 1 = −1 per semplicità (negli anni 1950-1960, per
un certo periodo il sistema ternario bilanciato è stato preso seriamente
in considerazione, insieme al sistema decimale e al sistema binario, per
la costruzione di calcolatori elettronici – per esempio dal gruppo di S.L.
Sobolev a Mosca).
(i) Quanto valgono (0.1̄)3 , (0.01̄)3 , (0.1̄)3 e (0.01̄)3 ?
(ii) È vero che ogni x ∈ R può essere scritto in notazione ternaria
bilanciata?
(iii) La rappresentazione è unica? L’insime degli x che non hanno una rappresentazione unica è chiuso in R? (osservare che se x non ha una rappresentazione unica, allora nemmeno x/3 e x ± 1 hanno una rappresentazione
unica e quindi h+1/2
…)
3k
(iv) Sia X l’insieme dei numeri reali in [− 21 , 21 ] che ha almeno una rappresentazione ternaria bilanciata in cui non compare mai la cifra 1. Ha
le stesse proprietà dell’insieme di Cantor (dell’esercizio precedente,
cioè è compatto, totalmente sconnesso e ogni punto è di accumulazione
sia per X che per il complementare di X)?
*(6.24) Sia f : X ⊂ R → R una funzione continua definita su un intervallo
(connesso) X ⊂ R.
(i) Mostrare che se f non è (strettamente) monotona (né crescente né
decrescente), allora non è iniettiva.
(ii) Dedurre che se f è continua e iniettiva, l’immagine di un intervallo
aperto è un intervallo aperto (e quindi che f è una mappa aperta).
(iii) Dimostrare che se
omeomorfismo.
f : X → R è continua e biunivoca, allora è un
(iv) Mostrare che non esistono funzioni continue e iniettive f : S 1 → R.
(6.25) Utilizzare l’esercizio (6.24) per mostrare che (utilizzando il fatto
che le funzioni ( x, y) 7→ x + y e ( x, y) 7→ xy sono continue su R2 , e che x 7→ x −1 è
continua R ∖ {0} → R):
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102
#6.
CONNESSIONE
(i) Per ogni n ∈ N, n ≥ 1, la funzione f : [0, ∞) → [0, ∞) ⊂ R definita da f ( x ) = x n
è un omeomorfismo.
(ii) Per ogni n ∈ N, n ≥ 1, per ogni x ≥ 0, x ∈ R, esiste un unico y ∈ R tale
√
che x n = y (la radice n-esima di x, indicata con n x) e che la funzione
√n
x 7→ x è continua.
√
(iii) La funzione x 7→ x p/q := q x p , definita per x ≥ 0, x ∈ R e p, q ∈ Z, q ̸= 0, è
una funzione continua di x.
Nel prossimo esercizio, utilizzare il seguente fatto (provare a dimostrarlo): comunque si scelgano n numeri positivi x1 , . . . , xn si ha
( x + x + · · · + x )n
1
2
n
x1 x2 . . . xn ≤
,
n
e l’uguaglianza è verificata solo quando i numeri sono tutti uguali fra
loro. Ovvero: la media geometrica di n numeri positivi è sempre minore o
uguale alla loro media aritmetica, e le due medie sono uguali se e solo se
i numeri sono tutti uguali tra loro.
*(6.26) Per l’esercizio (6.25), per ogni numero razionale x = p/q e ogni reale
b > 0 abbiamo visto che esiste bx . Dimostrare i seguenti fatti.
(i) Per ogni x, y razionali e ogni b > 0 reale si ha bx+y = bx by e b0 = 1.
(ii) Per ogni numero razionale x = qp dell’intervallo (0, 1) e per ogni numero
reale b > 0 diverso da 1 vale la disuguaglianza bx < 1 + (b − 1) x (utilizzare
il confronto tra media geometrica e media aritmetica per n + m numeri,
di cui n sono uguali a b e m uguali a 1.)
(iii) Se b > 1, funzione x 7→ bx è una funzione Q → R continua e strettamente
monotona crescente.
(iv) Se b > 1, la funzione x 7→ bx := sup{by : y ∈ Q, y ≤ x}, definita R → R, è ben
definita, monotona e continua, ed estende la funzione x 7→ bx definita
Q → R.
(v) Esiste una funzione continua x 7→ logb x, che associa ad x > 0, x ∈ R,
l’unico numero reale y tale che by = x.
(vi) La funzione f : R>0 × R → R definita da f (b, x ) = bx è una funzione continua (rispetto alla topologia prodotto del dominio). (suggerimento: si
consideri l’omeomorfismo log2 : (0, ∞) ≈ R)
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Settimana N° 7
GRUPPI DI TRASFORMAZIONI
§ 12.
GRUPPI DI MATRICI
(Cfr.)*
Ricordiamo gli assiomi di gruppo (astratto): un gruppo è un insieme G,
munito di operazione binaria (di solito indicata con la moltiplicazione)
G × G → G che sia associativa, in cui esista l’elemento neutro 1 ∈ G, e
per cui ogni g ∈ G abbia un inverso g−1 (cioè un elemento g−1 tale che
gg−1 = g−1 g = 1). Nella realtà considereremo sempre sottogruppi del gruppo di
funzioni biunivoche X → X definite su un certo insieme X (permutazioni, se
X è finito, oppure …).
(12.1) Definizione. Un gruppo topologico è sia un gruppo sia uno spazio
topologico di Hausdorff, con in più le seguenti proprietà di continuità:
(i) Il prodotto G × G → G, definito da ( g, h) 7→ gh è una funzione continua.
(ii) L’inversione G → G definita da g 7→ g−1 è una funzione continua.
(12.2) Esempio. I campi Q e R (visti come gruppi additivi) sono gruppi
topologici rispetto alla somma. I gruppi moltiplicativi Q ∖ {0}, R ∖ {0} sono
gruppi topologici rispetto al prodotto. Per (12.5) sotto, basta dimostralo
per R. La funzione f : R2 → R definita da ( x, y) 7→ x + y è continua: se ( x0 , y0 ) ∈ R2 ,
per ogni ϵ > 0 esiste δ = ϵ /2 tale che
max{|s|, |t|} < δ =⇒ |s + t| < ϵ
⇐⇒ | f ( x0 + s, y0 + t ) − f ( x0 , y0 )| < ϵ .
Quindi f è continua nella topologia prodotto (che è equivalente a quella
euclidea). Analogamente (facile) la funzione x 7→ −x è continua. Per il
prodotto, la funzione definita da f ( x, y) = xy è continua: se ( x0 , y0 ) ∈ R2 , per
ogni ϵ > 0
∃δx > 0 : |s| < δx =⇒ |sy0 | < ϵ /3
∃δy > 0 : |t| < δy =⇒ |tx0 | < ϵ /3.
* Cfr:
Nacinovich, Cap I [2].
103
104
#7.
Se si pone quindi
si ha
GRUPPI DI TRASFORMAZIONI
√
δ = min{δx , δy , ϵ /3}
max{|s|, |t|} < δ =⇒ |( x0 + s)(y0 + t ) − x0 y0 | ≤
≤ |tx0 | + |sy0 | + |st| < ϵ /3 + ϵ /3 + ϵ/3 = ϵ .
Per quanto riguarda la funzione x 7→ x −1 , sia x0 ̸= 0. Allora esiste δ1 > 0 tale
|x0 |
2
che |t| < δ1 =⇒ |x0 + t| >
=⇒ |x0 + t|−1 <
. Se poniamo quindi
2
|x0 |
δ = min{δ1 ,
ϵ |x0 |2
}
2
otteniamo un δ > 0 per cui
|t|
1
1 |t| < δ =⇒ − =
x0 + t x0
|x0 + t||x0 |
2|δ|
<
≤ ϵ,
|x0 |2
e quindi x 7→ x −1 è una funzione continua.
(12.3) Nota. Ogni gruppo, munito della topologia discreta, può essere visto
come gruppo topologico. Per esempio, l’anello degli interi Z (in cui si
considera solo la struttura di somma) è un gruppo discreto infinito.
(12.4) Esempio. Z/nZ è gruppo topologico (con la topologia discreta).
(12.5) Sia G un gruppo topologico. Allora: Se H ⊂ G è un sottogruppo di G
allora (con la topologia indotta da G) è un gruppo topologico.
Dim. Se H ⊂ G è un sottogruppo, allora la moltiplicazione e l’inversa sono
mappe ottenute per restrizione:
m : H × H ⊂ G → G, i : H ⊂ G → H,
e quindi sono continue. Questo dimostra (12.5) (insieme al fatto che un
sottospazio di uno spazio di Hausdorff è di Hausdorff).
⨳
(12.6) Siano dati N spazi topologici X1 , X2 , X3 , …, XN . Consideriamo il
prodotto X = X1 × X2 × · · · × XN e le proiezioni sulle componenti p1 : X → X1 ,
p2 : X → X2 , …, pN : X → XN . Allora una funzione f : Y → X1 × X2 × · · · × XN è continua
se e solo se lo sono tutte le composizioni pi ◦ f : Y → Xi . (Di solito si
scrive, per semplificare, fi = pi ◦ f )
Dim. Basta applicare un numero finito di volte (6.3) di pagina 33.
(12.7) Lo spazio euclideo Rn è gruppo topologico rispetto alla somma
( x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = ( x1 + y1 , . . . , xn + yn ).
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⨳
§ 12.
105
GRUPPI DI MATRICI
Dim. È una conseguenza del fatto che la somma è una funzione continua (come
anche il prodotto), e del lemma (12.6).
⨳
(12.8) Sia GL(n) = GL(n, R) il gruppo (chiamato gruppo lineare) di tutte
le matrici invertibili n × n a coefficienti reali (gruppo rispetto alla
moltiplicazione di matrici), munito della topologia metrica – indotta
2
dalla inclusione GL(n) ⊂ Rn . Allora GL(n) è un gruppo topologico. Lo stesso
vale per il gruppo lineare complesso GL(n, C).
Dim. Osserviamo che lo spazio di tutte le matrici n × n è isomorfo (come
2
spazio vettoriale, per esempio) a Rn , per cui in questa lezione denoteremo
2
2
con il simbolo Rn lo spazio delle matrici n × n. L’inclusione GL(n) ⊂ Rn
è indotta dall’inclusione di GL(n) nello spazio di tutte le matrici n × n.
2
Dal momento che Rn è metrico, GL(n) è di Hausdorff. Dobbiamo mostrare che
la moltiplicazione di matrici e l’inversione inducono funzioni continue
m : GL(n) × GL(n) → GL(n) e i : GL(n) → GL(n). Osserviamo che, dato che GL(n) ha
2
la topologia indotta da Rn , le funzioni m e i sono continue se e solo
2
2
se lo sono le corrispondenti funzioni m : GL(n) × GL(n) → Rn e i : GL(n) → Rn ,
e quindi, per (12.6) se tutte le composizioni con le proiezioni pi sono
continue (cioè, se ogni componente è continua). Ma il prodotto di matrici
(righe per colonne) si scrive come
((ai, j ), (bi, j )) 7→ (
N
∑
ai,k bk, j ),
k=1
cioè è un polinomio nei coefficienti delle matrici (ai, j ) e (bi, j ). Dal momento
che ogni polinomio è funzione continua, la moltiplicazione è continua.
Analogamente, il determinante di una matrice è espressione polinomiale
dei suoi coefficienti ed è sempre diverso da zero in GL(n), ed anche i
cofattori (che compaiono nella definizione di matrice inversa) si esprimono
come polinomi dei coefficienti, per cui la funzione di inversione i è
continua. Per le matrici con coefficienti complessi vale esattamente lo
stesso ragionamento.
⨳
(12.9) Il gruppo lineare GL(n, R) non è compatto.
Dim. Per
chiuso e
contiene
infatti,
funzione
2
il teorema (9.13) un sottoinsieme di Rn è compatto se e solo se
limitato, e quindi GL(n, R) non è compatto perché non è limitato:
tutte le matrici diagonali λIn , con λ ∈ R. Non è nemmeno chiuso:
nella dimostrazione di (12.8) abbiamo usato il fatto che la
2
determinante det : Rn → R è continua. Per definizione si ha
GL(n, R) = {M : det ( M ) ̸= 0},
cioè GL(n, R) è la controimmagine del sottospazio aperto R ∖ {0} ⊂ R, ed è
2
quindi un aperto di Rn . Ma quest’ultimo spazio è connesso, e quindi un
aperto non vuoto con complementare non vuoto non può essere chiuso.
⨳
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106
#7.
GRUPPI DI TRASFORMAZIONI
Descriviamo ora due sottogruppi importanti di GL(n, R):
Gruppo ortogonale: O(n) = {A ∈ GL(n, R) : At A = AAt = In }.
Gruppo speciale ortogonale: SO(n) = {A ∈ O(n) : det ( A) = 1}.
(12.10) Sia O(n) il gruppo ortogonale, costituito da tutte le matrici
ortogonali n × n a coefficienti reali, e SO(n) il gruppo speciale ortogonale,
costituito da tutte le matrici di O(n) con determinante +1. Allora O(n) e
SO(n) sono gruppi topologici compatti.
Dim. Ricordiamo che O(n) è formato da tutte le matrici A (invertibili) di
GL(n) tali che AAt = At A = In (dove At indica la trasposta di A e In la matrice
2
identica n × n). Dato che O(n) ⊂ GL(n) ⊂ Rn , per (9.13) dobbiamo mostrare che è
chiuso e limitato. La moltiplicazione di matrici è continua, e chiaramente
2
2
l’operazione di trasposizione induce un omeomorfismo Rn → Rn , per cui la
funzione
2
2
f : Rn → Rn
definita da
A 7→ AAt
si può scrivere come composizione di funzioni continue. Gli insiemi costi2
tuiti da singoli punti di Rn sono tutti chiusi, ed in particolare l’insieme
2
2
{In } ⊂ Rn è chiuso. Dunque f −1 (In ) è un sottospazio chiuso di Rn ; ma
f −1 (In ) = {A ∈ Rn : f ( A) = In }
2
2
= {A ∈ Rn : AAt = In }
= O (n)
e dunque O(n) è chiuso. Ora, si indichino con a:,1 , a:,2 , …a:,n i vettori colonna
di A ∈ O(n). La condizione AAt = In si può riscrivere come
se i = j
1
a:,i · a:, j =
0
se i ̸= j
dove v · w indica il prodotto scalare standard in Rn , e dunque, considerando
la prima equazione, si ha per ogni i
a:,i · a:,i = a21,i + a22,i + · · · + a2n,i = 1,
e quindi ai, j ≤ 1 per ogni i, j = 1, . . . , n. Ne segue che
∑
a2i, j = n ≤ n,
i, j
2
e dunque O(n) è limitato nella metrica euclidea di Rn .
Non rimane che dimostrare che SO(n) è compatto. Ma, dato che si può
scrivere come la controimmagine di 1 mediante la funzione (continua) determinante det : O(n) → R, esso è un sottospazio chiuso di O(n). Allora segue
⨳
da (8.15) che esso è compatto.
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§ 12.
107
GRUPPI DI MATRICI
(12.11)
e riflessioni) Mostriamo che SO(2) ≈ S 1 .
[ (Rotazioni
]
a c
Se
∈ SO(2), allora valgono le uguaglianze
b d
(*)
ad − cb = 1 (il determinante)
2
2
a +b = 1
c2 + d 2 = 1
ac + bd = 0.
Osserviamo che se (a, b) ̸= 0, allora l’uguaglianza ac + bd = 0 vale se e solo se
esiste λ ∈ R tale che d = λa e c = −λb. Infatti,
a(−λb) + b(λa) = 0 .
Viceversa, può essere che b ̸= 0 oppure che b = 0. Nel primo caso, si ha
ac/b + d = 0 e ponendo λ = −c/b risulta
−λa + d = 0, −λb = c.
Se b = 0, allora deve necessariamente essere a ̸= 0 (per l’ipotesi (a, b) ̸= (0, 0)),
e si può porre λ = d/a per avere le uguaglianze
c + bd/a = c + λb = 0,
d = λa.
Dato che a2 + b2 = 1 =⇒ (a, b) ̸= (0, 0), il sistema (*) è dunque equivalente al
sistema nelle tre variabili a, b, λ
a(λa) − (−λb)b = 1
2
2
λ(a + b ) = 1
2
2
a + b = 1 ⇐⇒
(**)
a2 + b2 = 1
(−λb)2 + (λb)2 = 1
⇐⇒
λ=1
a2 + b2 = 1.
Quindi c = −b e d = a, e la matrice deve avere la forma
[
] [
]
a c
a −b
=
b d
b a
con a2 + b2 = 1.
La proiezione sulle due componenti del primo vettore-colonna della
matrice
]
[
a c
7→ (a, b) ∈ R2
b d
è una funzione continua p : SO(2) → R2 , e per quanto visto sopra è iniettiva,
ed ha per immagine S 1 ⊂ R2 , dato che la circonferenza S 1 ⊂ R2 è definita
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108
#7.
GRUPPI DI TRASFORMAZIONI
dall’equazione a2 + b2 = 1. Visto che SO(2) è compatto e R2 è Hausdorff, la
funzione p è un omeomorfismo sull’immagine S 1 ⊂ R2 .
La mappa f : S 1 ⊂ R2 → R4 definita ponendo
[
]
a −b
(a, b) 7→
b a
per ogni (a, b) ∈ S 1 è l’inversa di p (ed è quindi a sua volta un omeomorfismo).
Finiamo osservando che O(2) è suddiviso in due classi: le matrici con
determinante 1 e quelle con determinante −1. Le prime, che indichiamo
con SO(2)+ = SO(2) e chiamiamo rotazioni, sono esattamente gli elementi
di SO(2). Le seconde, che indichiamo con SO(2)− e chiamiamo riflessioni,
sono in corrispondenza biunivoca con gli elementi di SO(2): se h ∈ SO(2)− è
una riflessione fissata, allora per ogni r in SO(2) il prodotto hr è una
riflessione (ha determinante uguale a det (r ) det (h) = det (h) = −1); la mappa r 7→ hr
è iniettiva (hr1 = hr2 =⇒ r1 = r2 ) e suriettiva (h′ ∈ SO(2)− =⇒ h′ = h(hh′ ) = hr
con r = hh′ ∈ SO(2)). Come sopra, si può vedere facilmente che è una funzione
continua da un compatto ad un Hausdorff, e quindi anche SO(2)− ≈ SO(2) ≈ S 1 .
L’unione è disgiunta, e possiamo scrivere O(2) = SO(2)+ ∪ SO(2)− ≈ S 1 ∪ S 1 .
(12.12) Esempio. Gruppo delle rotazioni di R3 che fissano l’origine: SO(3).
È compatto, connesso e connesso per archi. Ogni rotazione non banale fissa
una e una sola retta.
Dim. Mostriamo prima che esiste una retta fissata. Supponiamo per assurdo
che questo non sia vero. Se A ∈ SO(3), allora il polinomio caratteristico
p A (λ) ha grado 3, e quindi ha un autovalore reale λ1 con relativo autovettore
v1 . Dato che A ∈ O(3), si ha |Av1 | = |v1 | e dunque |λ1 v1 | = |v1 | =⇒ |λ1 | = 1, cioè λ1 ∈ ±1.
Dato che per ipotesi d’assurdo A non ha autovalore 1, deve essere λ1 = −1. Gli
altri due autovalori λ2 e λ3 sono radici (evantualmente coincidenti) di p A (λ),
e non possono essere entrambi uguali a λ1 (altrimenti det ( A) = (λ1 )3 = −1 ̸= 1).
Ci sono due casi: o sono due radici reali, oppure due radici complesse
coniugate. Se sono reali, per lo stesso ragionamento di prima dovrebbero
essere uguali a −1, e quindi det ( A) = −1 ̸= 1. Quindi sono complesse coniugate
λ3 = λ2 . Ma allora det A = λ1 λ2 λ2 = −|λ2 |2 ≤ 0 < 1, il che è assurdo. Quindi almeno
un autovalore deve essere uguale a 1.
Il sottospazio vettoriale ortogonale alla retta fissata è un piano, che
rimane invariante: è possibile far vedere che la restrizione di A a questo
piano è una rotazione (esercizio), che quindi non fissa altre direzioni.
Per vedere che è connesso e connesso per archi, basta trovare una
funzione continua e suriettiva X → SO(3) con X spazio topologico connesso.
β
γ
Questo sarà fatto nell’esercizio (7.31), con X = S 3 . Oppure, se Rαx , Ry e Rz
denotano le rotazioni di angolo α, β e γ attorno ai tre assi di R3 , si può
definire la funzione continua X = S 1 × S 1 × S 1 → SO(3) definita ponendo
(eiα , eiβ , eiγ ) 7→ Rαx Rβy Rzγ .
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§ 12.
109
GRUPPI DI MATRICI
È continua perché composizione di funzioni continue, ed è suriettiva (si
veda il Teorema (12.16) poco sotto). Oppure, per vedere che è connesso per
archi, osserviamo che le rotazioni attorno all’asse z si scrivono come
cos θ − sin θ 0
Rzθ = sin θ cos θ 0
0
0
1
e la funzione θ ∈ R 7→ Rzθ ∈ SO(3) è continua. Se A ∈ SO(3) è una rotazione
qualsiasi e x ∈ S 2 tale che Ax = x, allora esiste certamente una rotazione Q
tale che Qe3 = x (perché?), e quindi la rotazione Q−1 AQ fissa e3 (e3 = (0, 0, 1)),
e dunque Q−1 AQ = Rzθ , da cui
A = QRzθ Q−1 .
Ma allora la funzione γ : [0, 1] → SO(3) definita ponendo
γ (t ) = QRztθ Q−1
è continua ed è tale che γ (1) = QRzθ Q−1 = A, e γ (0) = QRz0 Q−1 = I3 . Quindi SO(3) è
connesso per archi.
⨳
È vero che O(3) = SO(3)+ ∪ SO(3)− (quelle con det 1 e −1)?
(12.13) Esempio. Gruppo di simmetrie di un triangolo equilatero: è isomorfo
al gruppo di permutazioni sui tre vertici?
(12.14) Esempio. Gruppo ciclico {z ∈ C : zn = 1}: è il gruppo di simmetrie di
un poligono regolare? Perché si chiama ciclico? Perché l’equazione zn = 1
si chiama ciclotomica? Per esempio, il gruppo di simmetrie di un quadrato?
Un esagono?
(12.15) Esempio. Gruppo generato dalle rotazioni di angolo π attorno ai
(due) tre assi ortogonali di R3 .
β
γ
(12.16) Teorema. Siano Rαx , Ry e Rz le rotazioni attorno agli assi coordinati
di R3 di angolo α, β e γ rispettivamente. Allora per ogni rotazione R ∈ SO(3)
esistono α, β e γ tali che
β γ
R = Rαx Ry Rz ,
cioè R si scrive come prodotto di tre rotazioni attorno agli assi cartesiani.
Dim. Esercizio (7.29).
⨳
(12.17) Nota. I tre parametri α, β e γ (non esattamente questi) sono anche
chiamati gli angoli di Eulero della rotazione A. Una convenzione abbastanza
comune è A = BCD, dove D è una rotazione di angolo ϕ attorno all’asse z, C
una rotazione di angolo θ attorno all’asse x, e B una rotazione di angolo ψ
attorno all’asse z (bastano quindi rotazioni attorno a due assi ortogonali
per generare SO(3)).
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110
#7.
GRUPPI DI TRASFORMAZIONI
(12.18) Nota. Una norma è una funzione Rn → R che verifica le seguenti
proprietà:
(i) x ̸= 0 =⇒ ∥x∥ > 0, ∥x∥ = 0 ⇐⇒ x = 0.
(ii) ∥cx∥ = |c| ∥x∥.
(iii) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥.
Una norma su Rn induce una metrica (d ( x, y) = ∥x − y∥), la quale induce
a sua volta una topologia. Diciamo che due norme sono equivalenti se
inducono metriche equivalenti, cioè se le topologie ottenute dalla metriche
coincidono (oppure se …). Accade che due norme qualsiasi (che indichiamo
con ∥·∥ A e ∥·∥B ) su Rn sono sempre equivalenti tra di loro:
(12.19) Tutte le norme su Rn sono tra loro equivalenti.
Dimostrazione (opzionale). È sufficiente mostrare che se ∥·∥ A è una norma,
allora ∥·∥ A è equivalente alla norma euclidea ∥·∥.
Infatti, la funzione N : Rn → R definita da N ( x) = ∥x∥ A è continua (rispetto
alla norma euclidea): se gli ei sono i vettori della base standard e xi le
componenti di x, si ha per l’omogeneità e la disuguaglianza triangolare
n
n
n
∑
∑
∑
|xi |N ( ei ) ≤ M
|xi |,
xi ei ≤
N ( x) = N
i=1
i=1
i=1
dove M è il massimo degli N ( ei ). Ma |xi |2 ≤ ∥x∥2 per ogni i, e quindi
n
∑
M
|xi | ≤ Mn∥x∥.
i=1
Rn
Allora per ogni x e y in
si ha che N ( x) = N ( y + ( x − y)) ≤ N ( y) + N ( x − y) =⇒
N ( x) − N ( y) ≤ N ( x − y). Analogamente N ( y) − N ( x) ≤ N ( x − y), e quindi |N ( x) − N ( y)| ≤
N ( x − y). Dunque
|N ( x) − N ( y)| ≤ N ( x − y) ≤ Mn∥x − y∥,
e quindi N è una funzione continua Rn → R. Consideriamo la sfera
{
}
S = x ∈ Rn : ∥x∥ = 1 ,
che è uno spazio chiuso (controimmagine di {1} chiuso in R) e limitato, e
quindi compatto. Ma allora la funzione N assume un massimo m2 e un minimo
m1 su S: per ogni x ∈ S si ha
m1 ≤ N ( x ) ≤ m2 .
Se x1 ∈ S è il punto tale che m1 = N ( x1 ), si ha m1 ̸= 0 dato che x1 ̸= 0, e quindi
x
0 < m1 ≤ m2 . Ma allora se x ∈ Rn , x ̸= 0, si ha
∈ S, e quindi per ogni x ̸= 0
∥x∥
per l’omogeneità di N
(
)
N ( x)
x
m1 ≤ N
≤ m2 =⇒ m1 ≤
≤ m2 =⇒ m1 ∥x∥ ≤ N ( x) ≤ m2 ∥x∥.
∥x∥
∥x∥
Quindi le due norme sono equivalenti.
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⨳
§ 13.
111
GRUPPI DI TRASFORMAZIONI
Alcune norme (tutte tra loro equivalenti) sullo spazio delle matrici
Matn×n (R) sono per esempio:
∑
(i) (norma di Frobenius) ∥A∥2 = i, j a2i j = Tr (tAA), dove Tr è la traccia della
matrice;
(ii) (norma MAX) ∥A∥ = maxi, j |ai j |, dove ai j sono i coefficienti di A;
n
(iii) (norma operatore) ∥A∥ = max{ |Ax|
|x| : x ∈ R ∖ {0}} (quest’ultima a sua volta
dipende da una scelta di norma su Rn ).
(12.20) Nota. Sia A una matrice n × n tale che tAA = I. Se a1 , a2 ,…, an sono i
vettori colonna di A, abbiamo visto nella dimostrazione di (12.10) che
AA = I ⇐⇒ ai · a j = δi j
t
per ogni i, j = 1, . . . , n, dove
1
δi j =
0
se i = j
se i =
̸ j
e il prodotto scalare è quello standard ai · a j = tai a j . A cosa corrisponde
invece l’equazione AtA = I? Si può dire che tAA = I =⇒ A(tA) = I?
Osserviamo che se B è l’inversa sinistra di una matrice quadrata A,
allora essa ne è anche l’inversa destra, cioè per matrici quadrate si ha
BA = I ⇐⇒ AB = I.
Ma allora se tA è l’inversa sinistra di A, cioè se la trasposta soddisfa
l’equazione tAA = I, è anche l’inversa destra di A, per cui
AA = I =⇒ A(tA) = I.
t
§ 13.
GRUPPI DI TRASFORMAZIONI
(Cfr.)*
Le matrici, con la moltiplicazione matrice × vettore, inducono trasformazioni lineari (cioè funzioni lineari) tra spazi vettoriali. Cioè, se L è
una matrice n × d con n righe e d colonne, allora la funzione lineare v 7→ Lv
è una funzione
L : Rd → Rn .
Quando n = d, cioè quando la matrice è quadrata, e quando la matrice è
invertibile, si tratta quindi di una trasformazione invertibile
L : Rn → Rn .
* Cfr:
Sernesi, Vol I, Cap 1, §14 [1].
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112
#7.
GRUPPI DI TRASFORMAZIONI
Il prodotto di matrici corrisponde alla composizione di funzioni biunivoche.
Si può cioè far corrispondere ad ogni elemento L del gruppo GL(n, R) una
funzione biunivoca Rn → Rn , in modo che il prodotto (nel gruppo) corrisponda
alla composizione di funzioni. L’identità del gruppo finisce nella funzione
identità.
Vogliamo fare questo in generale: associare ad ogni elemento g di un
gruppo astratto G una trasformazione X → X, cioè una funzione biunivoca su
un insieme X, con le due proprietà: 1) l’elemento neutro di G è associato
alla funzione identità 1X : X → X; 2) l’operazione di prodotto nel gruppo
corrisponde alla composizione di funzioni. Osserviamo che se f : X → X è una
funzione e x ∈ X, allora è possibile definire la valutazione della funzione
f in x, definita come f ( x ) = f x (era il prodotto matrice per vettore prima).
In generale, possiamo associare ad ogni funzione f : X → X e a ogni elemento
x ∈ X la valutazione f ( x ), cioè c’è una funzione
( f , x ) 7→ f ( x ).
Partiamo da qui per definire l’azione di un gruppo su un insieme, cioè una
corrispondenza tra gli elementi di G e le trasformazioni di X in sé.
(13.1) Definizione. Sia G un gruppo e X un insieme. Si dice che G agisce
(da sinistra) su X se esiste una funzione ϕ : G × X → X (la valutazione),
denotata da ( g, x ) 7→ g · x = gx, per cui
(i) ∀x ∈ X, 1 · x = x (1 ∈ G è l’elemento neutro).
(ii) ∀x ∈ X, ∀g, h ∈ G, g · (h · x ) = ( gh) · x.
L’insieme X si dice anche G-insieme.
elemento del gruppo g ∈ G
elemento neutro 1 ∈ G
prodotto g1 g2
∼
∼
∼
trasformazione g: X → X
identità 1X : X → X
composizione g1 ◦ g2 : X → X.
Per esercizio verificare che con questa definizione ogni g ∈ G ha associata la funzione x 7→ gx, che è biunivoca con inversa x 7→ g−1 x. All’elemento
neutro 1 ∈ G corridponderà la funzione identità 1X : x 7→ 1x = x. In questo modo
il gruppo non è più astratto, ma è un gruppo di trasformazioni.
(13.2) Esempio. (i) GL(n, R), GL(n, C).
(ii) Gruppi di permutazioni.
(iii) Gruppi di isometrie (simmetrie di oggetti).
(iv) Ogni gruppo astratto agisce su sé stesso per moltiplicazione/addizione
a sinistra.
(v) Ogni sottogruppo H ⊂ G agisce su G per moltiplicazione/addizione (a
sinistra).
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§ 13.
GRUPPI DI TRASFORMAZIONI
113
(13.3) Definizione. Se G agisce su X, allora per ogni x ∈ X si definiscono:
(i) lo stabilizzatore di x: G x = {g ∈ G : g · x = x}.
(ii) L’orbita di x: G · x = {gx : g ∈ G}.
(13.4) Sia G un gruppo e X un insieme su cui G agisce. Allora la relazione
x ∼ y ⇐⇒ ∃g ∈ G : gx = y è una relazione di equivalenza, che partiziona X in
classi di equivalenza. Le classi di equivalenza sono le orbite di G in X.
Dim. Per mostrare che la relazione è di equivalenza, bisogna mostrare che
è riflessiva, simmetrica e transitiva. Dato che 1x = x, si ha che x ∼ x,
per cui è riflessiva. Inoltre, se gx = y (cioè x ∼ y) allora g−1 ( gx ) = g−1 y, e
quindi x = g−1 y, cioè y ∼ x. Quindi è simmetrica. Infine, è transitiva: se
x ∼ y e y ∼ z, si ha che esistono g1 e g2 per cui g1 x = y e g2 y = z. Quindi
( g1 g2 ) x = g2 ( g1 x ) = g2 y = z, cioè x ∼ z. Ora, è facile vedere che due punti stanno
nella stessa classe di equivalenza se e solo se appertengono alla medesima
orbita.
⨳
(13.5) Definizione. L’insieme di tutte le orbite (classi di equivalenza)
di X secondo per l’azione di un gruppo G su X si indica con X/G e si chiama
spazio delle orbite.
(13.6) Esempio. Il gruppo (additivo) Z degli interi agisce sulla retta
reale R (vedi sotto). Lo spazio quoziente è omeomorfo alla circonferenza
S1 .
(13.7) Definizione. L’azione di G su X si dice fedele se per ogni g ∈ G,
g ̸= 1 ∈ G, la mappa indotta g: X → X (da x →
7 g · x) non è l’identità 1X : X → X.
(13.8) Definizione. L’azione di G su X viene detta transitiva se per ogni
x, y ∈ X esiste g ∈ G per cui g · x = y. In questo caso si dice che X è uno spazio
omogeneo.
(13.9) Esempio. L’azione di Z su R (traslazioni intere) è fedele ma non è
transitiva. L’azione di R su R è fedele e transitiva.
(13.10) L’azione è transitiva se e solo se esiste solo una G-orbita in X.
Dim. Supponiamo l’azione transitiva. Sia x ∈ X un punto fissato. Allora
per ogni y esiste g ∈ G per cui g · x = y, cioè ogni y in X sta nella stessa
G-orbita di x, che quindi è unica. Viceversa, supponiamo che esista una
sola orbita: allora esiste x ∈ X per cui {g · x|g ∈ G} = X, e quindi per ogni
y ∈ X esiste g ∈ G tale che g · x = y. Allora, se y1 , y2 ∈ X, esistono g1 , g2 ∈ G tali
che g1 x = y1 , g2 x = y2 , e quindi
(
)
y2 = g2 x = g2 g1−1 g1 x = g2 g1−1 y1 ,
cioè y2 = gy1 con g = g2 g1−1 , cioè l’azione è transitiva.
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⨳
114
#7.
GRUPPI DI TRASFORMAZIONI
(13.11) Nota. Se G è un gruppo, G agisce su se stesso X = G semplicemente
per moltiplicazione a sinistra. L’azione è transitiva e fedele. Se H è un
sottogruppo di G, anche H agisce su G per moltiplicazione da sinistra. Le
orbite sono i laterali (sinistri) di H in G. La notazione G/H quindi è
consistente: da un lato indica l’insieme (algebrico) dei laterali sinistri
di H in G, dall’altro l’insieme delle orbite dell’azione di H su G.
(13.12) Definizione. Se G è un gruppo topologico, allora si dice che G
agisce su uno spazio topologico X se esiste una funzione ϕ : G × X → X che
induca una azione di G su X (come nella definizione (13.1)) con l’ulteriore
proprietà che la funzione
G×X → X
è continua. Allora X si chiama G-spazio.
(13.13) Esempio. È facile vedere che R2 agisce su R2 come gruppo (additivo)
di traslazioni
( x, y) · (u, v) = ( x + u, y + v).
(13.14) Esempio. I gruppi GL(n, R), O(n) e SO(n) agiscono su Rn in modo canonico. Come visto sopra, si può vedere facilmente che l’azione è continua,
cioè che agiscono come gruppi topologici su Rn .
(13.15) Definizione. Se G è un gruppo topologico che agisce su uno spazio
topologico X, lo spazio delle orbite X/G è uno spazio topologico con la
topologia quoziente.
(13.16) Esempio. In questo esempio, fondamentalmente, ripetiamo parola
per parola il ragionamento dell’esempio (8.22), tranne alcune piccole
differenze (quali?). Sia G = Z (con la topologia discreta) e X = R. Allora
G agisce su R mediante la somma ( g, t ) 7→ g + t per ogni g ∈ Z e ogni t ∈ R. Lo
spazio delle orbite è uguale allo spazio R/ ∼ dell’esempio (7.1). Mostriamo
che è omeomorfo a S 1 = {( x, y) ∈ R2 : x 2 + y2 = 1}. Sia f : R → R2 la funzione definita
da
f (t ) = (cos(2πt ), sin(2πt )).
Si vede subito che induce una funzione f (t ) : R → S 1 ⊂ R2 , e che è continua (le
funzioni trigonometriche sono continue, poi si usa (12.6)). Dal momento
che
f ( g + t ) = (cos(2πt + 2gπ ), sin(2πt + 2gπ ))
= (cos(2πt ), sin(2πt ))
= f (t ),
la funzione f induce una funzione sullo spazio delle orbite f¯ : R/Z → S 1 . La
funzione indotta f¯ è continua: infatti, se U ⊂ S 1 è un aperto di S 1 , la sua
controimmagine f¯−1 (U ) in R/Z è continua se e soltanto se (per definizione
di topologia quoziente) il sottoinsieme
(
)
p−1 f¯−1 (U ) ⊂ R
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§ 13.
115
GRUPPI DI TRASFORMAZIONI
è aperto in R, dove p indica la proiezione sul quoziente p : R → R/Z. Ma
(
)
p−1 f¯−1 (U ) = {t ∈ R : f¯ ( p(t )) ∈ U}
= {t ∈ R : f (t ) ∈ U}
= f −1 (U ),
che è aperto, visto che f è continua.
Ora, la funzione indotta f¯ : R/Z → S 1 è iniettiva: se f¯(t1 ) = f¯(t2 ) si ha
che cos(2πt1 ) = cos(2πt2 ) e sin(2πt1 ) = sin(2πt2 ), e quindi t2 = 2kπ + t1 per un certo
k ∈ Z, cioè esiste g ∈ Z tale che g · t1 = t2 : i due punti t1 e t2 appartengono
alla stessa G-orbita. È facile vedere che f¯ è suriettiva. Osserviamo che
l’inclusione [0, 1] ⊂ R è una funzione continua, e quindi la composizione
[0, 1] → R → R/Z è anch’essa una funzione continua, e suriettiva. Quindi la
sua immagine R/Z, per (8.17), è un compatto. Ora, f¯ è una funzione continua
e biunivoca da un compatto ad uno spazio di Hausdorff (S 1 ), e quindi un
omeomorfismo per (8.19).
(13.17) Esempio. Sia G = Z2 ⊂ R2 il reticolo degli interi (h, k ) ∈ R2 . Allora
R2 /G è omeomorfo a S 1 × S 1 . Sappiamo dall’esempio precedente che R/Z ≈ S 1 . Per
prima cosa mostriamo che la funzione
f : R2 /Z2 → R/Z × R/Z ≈ S 1 × S 1
definita da
( x, y) + Z2 7→ ( x + Z, y + Z)
è ben posta. Se ( x ′ , y′ ) + Z2 = ( x, y) + Z2 ∈ R2 /Z2 , allora per definizione x ′ − x ∈ Z
e y′ − y ∈ Z, e quindi x + Z = x ′ + Z e y + Z = y′ + Z. È iniettiva: se ( x + Z, y + Z) =
( x ′ + Z, y′ + Z), allora x − x ′ ∈ Z e y − y′ ∈ Z, e quindi ( x ′ , y′ ) + Z2 = ( x, y) + Z2 ∈ R2 /Z2 .
Analogamente si può mostrare che è suriettiva.
Dimostriamo che è continua: denotiamo con P : R2 → R2 /Z2 la proiezione sul
quoziente e con p × p la mappa p × p : R × R → R/Z × R/Z (che è continua). Se
U ⊂ R/Z × R/Z è un aperto, allora ( p × p)−1 (U ) è aperto in R × R, e quindi è
aperto in R2 (che è identificato con R × R tramite la mappa f˜ : R2 → R × R
che induce f ). Ma il sottoinsieme di R2 dato da f˜−1 ( p × p)−1 (U ) coincide con
P−1 ( f −1 (U )), che quindi è aperto. Ora, per definizione di topologia quoziente
f −1 (U ) è aperto se e solo se P−1 (U ) è aperto in R2 , e quindi f −1 (U ) è aperto.
Di nuovo, una funzione biunivoca da uno spazio compatto ad uno spazio di
Hausdorff è un omeomorfismo. Lo spazio S 1 × S 1 è chiamato toro.
(13.18) Esempio. Si consideri l’azione di SO(2) sulla circonferenza unitaria
S 1 . Ogni elemento di SO(2) agisce ruotando la circonferenza su se stessa:
ogni punto ha stabilizzatore banale e l’azione è transitiva e fedele.
Fissiamo e0 = (1, 0) ∈ S 1 . L’orbita di e0 è tutto S 1 , e quindi c’è una funzione
continua
f : SO(2) → S 1
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116
#7.
GRUPPI DI TRASFORMAZIONI
definita da f ( g) = g · e0 . L’azione è transitiva, e quindi f è suriettiva.
Inoltre lo stabilizzatore è banale, e quindi f è iniettiva. Dato che SO(2)
è compatto e S 1 di Hausdorff, f è un omeomorfismo tra SO(2) e S 1 .
(13.19) Esempio. Consideriamo ora l’azione di SO(3) su S 2 (la sfera di
dimensione 2, centro nell’origine e raggio 1, contenuta in R3 ). L’azione è
ancora transitiva (perché?), fedele, ma ogni punto ha uno stabilizzatore
non banale (cosa sono le rotazioni di R3 che fissano un punto?). Si veda
l’esercizio (7.29).
(13.20) Esempio. Il gruppo Z/2Z agisce su S 2 ponendo g · x = −x.
(13.21) Esempio. Le isometrie di uno spazio metrico X costituiscono un
gruppo topologico che agisce su X. Quali sono le isometrie di R? Le
isometrie di C ∼
= R2 ? Di R3 ?
(13.22) Esempio. Ogni numero complesso a + ib non nullo può essere interpretato come vettore di R2 con coordinate (a, b) (piano di Argand–Gauss),
ma anche come elemento di GL(2, R), come segue. Definiamo l’azione, per
G = C ∖ {0} e X = C,
( g, w) 7→ gw
con g ∈ G = C ∖ {0} e w ∈ C ∼
= R2 . Per ogni g ∈ G, l’applicazione indotta
g: X → X è R-lineare, e quindi c’è una funzione f : G → GL(2, R). Osserviamo
che f ( g1 + g2 ) = f ( g1 ) + f ( g2 ) e f ( g1 g2 ) = f ( g1 ) f ( g2 ) e che se c ∈ R e g ∈ C si ha
f (cg) = c f ( g) (qui teniamo conto anche degli elementi non invertibili). La
funzione f è anche iniettiva: f ( g1 ) = f ( g2 ) =⇒ g1 = g2 . Se g1 = 1 ∈ R ⊂ C, allora
[
]
1 0
f ( g1 ) = f (1) =
.
0 1
Se g2 = i ∈ C, allora per ogni w = w1 + iw2 ∈ C si ha
g2 w = i (w1 + iw2 ) = iw1 − w2 = −w2 + iw1 =
cioè
[
][ ]
0 −1 w1
,
1 0 w2
[
]
0 −1
f ( g2 ) = f (i ) =
.
1 0
Dunque, per l’additività se z = a + ib ∈ C, si ha
]
] [
]
[
[
a −b
0 −1
1 0
.
=
+b
f (z ) = f (a + ib) = a f (1) + b f (i ) = a
b a
1 0
0 1
]
[
a −b
con a2 + b2 = 1)
In questo modo, le rotazioni (che si scrivono come
b a
corrispondono mediante la f ai numeri complessi di norma 1. Il prodotto di
numeri complessi corrisponde al prodotto di matrici, la somma di numeri
complessi, alla somma di matrici.
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§ 13.
117
GRUPPI DI TRASFORMAZIONI
Il coniugato del numero complesso z = a + ib è z = a − ib, dunque
[
]
a b
t
f (z ) =
= [ f (z )] ,
−b a
cioè la trasposta di
[
f (z ) =
]
a −b
.
b a
La norma di un numero complesso z = a + ib è data da |z|2 = a2 + b2 , che è anche
zz = (a + ib)(a − ib) = a2 − (ib)2 = a2 + b2 .
Tra matrici, si ha
[
f (z ) f (z ) = f (z ) f (z )t =
][
]
[
]
a −b a b
1 0
= ( a2 + b2 )
.
b a −b a
0 1
Per ogni numero complesso z ∈ C, sia
ez =
∞ n
∑
z
n=0
n!
.
Dato che |zn | = |z|n , è una serie in C convergente (le serie parziali delle
norme convergono e quindi …). Osserviamo che
∞
∞
m
∑ zn ∑
w
z w
e e =
n! m=0 m!
n=0
∞ ∑
∑
zn wm
=
n!m!
k=0 n+m=k
∞
k
j wk− j
∑
∑
k!
z
=
k!
j!
(
k
−
j
)
!
k=0 j=0
( )
∞
k
∑
1 ∑ k j k− j
=
z w
k! j=0 j
k=0
=
∞
∑
1
(z + w)k
k!
k=0
= ez+w
e che
ez = (ez )
e0 = 1.
Quindi
|eiθ |2 = eiθ e−iθ = e0 = 1,
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118
#7.
GRUPPI DI TRASFORMAZIONI
cioè eiθ è un punto della circonferenza unitaria in C. In altre parole, la
mappa
R 7→ {a + ib ∈ C : a2 + b2 = 1} ⊂ C,
definita da θ 7→ eiθ è ben definita. Ricordiamo che*
eiθ = cos θ + i sin θ,
quindi
cos θ = ℜ(e ) =
iθ
∞
∑
(−1)k
k=0
sin θ = ℑ(eiθ ) =
∞
∑
(−1)k
k=0
dato che
e =
iθ
=
n!
∞
∑
n=0, n
∞
∑
∞
∑
(iθ )n
(iθ )n
+
n!
n!
pari
n=1, n dispari
∞
∑
∑
θ 2k+1
θ 2k
+
(i )2k+1
(2k )! k=0
(2k + 1)!
∞
(i )2k
k=0
=
θ 2k+1
(2k + 1)!
∞
∑
(iθ )n
n=0
=
θ 2k
(2k )!
(−1)k
k=0
∞
∑
θ 2k
θ 2k+1
+i
(−1)k
(2k )!
(2k + 1)!
k=0
= cos θ + i sin θ.
Cioè, con un abuso di notazione,
[
]
cos θ − sin θ
e = cos θ + i sin θ =
.
sin θ cos θ
iθ
Moltiplicare per eiθ un punto del piano complesso significa ruotarlo attorno
all’origine in senso antiorario di un angolo θ.
(13.23) La funzione esponenziale z 7→ ez , C → C è continua.
Dimostrazione (opzionale). Se z ∈ C, allora†
∞ n
∑
z
ez − 1 =
−1
n!
n=0
=
∞ n
∑
z
n!
n=1
∞
∑
= z(
n=0
=z+
z2 z3
+ +...
2! 3!
zn
)
(n + 1) !
=⇒ e − 1 = zr (z )
z
* Questa
† Si
potrebbe essere una definizione delle funzioni trigonometriche cos e sin.
può usare la proprietà distributiva di C anche per somme infinite?
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§ 13.
119
GRUPPI DI TRASFORMAZIONI
dove se |z| < 1 il resto r (z ) verifica
r (z ) =
∞
∑
n=0
zn
(n + 1) !
=⇒ |r (z )| ≤
∞
∑
n=0
=⇒ |ez − 1| ≤
∑
|z|n
1
≤
.
|z|n =
1 − |z|
(n + 1)! n=0
∞
|z|
.
1 − |z|
In conseguenza dell’ultima disuguaglianza, la funzione C → C definita
da z 7→ ez è continua: se z0 ∈ C e ϵ > 0, definiamo
δ :=
ϵ
|ez0 | + ϵ
Segue che per ogni h ∈ C con |h| < δ si ha
> 0.
|h|
1−|h|
<
δ
1−δ
e quindi
|ez0 +h − ez0 | = |ez0 eh − ez0 | = |ez0 ||eh − 1| ≤
δ
|h|
< |ez0 |
=
≤ |ez0 |
1 − |h|
1−δ
ϵ
|ez0 |ϵ
z
|e 0 | + ϵ
|ez0 | + ϵ
= |ez0 |
=
= ϵ.
ϵ
|ez0 | + ϵ − ϵ
1− z
|e 0 | + ϵ
|ez0 | + ϵ
e quindi z 7→ ez è continua in z0 ∈ C.
⨳
Di conseguenza anche cos θ e sin θ sono funzioni continue di θ.
(13.24) Nota (Opzionale). A questo punto dovremmo essere però finalmente
in grado di dimostrare che le funzioni trigonometriche cos e sin, definite a
partire da eit , sono periodiche di periodo 2π. Procediamo nel modo seguente.
Sia X ⊂ R definito da
X = {t ∈ R : eit = 1}.
Si ha e0 = 1 =⇒ 0 ∈ X, e t1 , t2 ∈ X =⇒ t1 + t2 ∈ X, −t1 ∈ X, cioè X è un sottogruppo
(additivo) di R, nonché un sottospazio chiuso di R (perché controimmagine
del chiuso {1} ⊂ C mediante la funzione continua z 7→ ez ). Ci sono altri
elementi in X oltre a 0? Ora, osserviamo che cos 0 = 1, mentre, dato che la
4k
converge a zero monotonamente (dimostrarlo per induzione!),
successione (2k
)!
risulta
∞
∑
4k
cos 2 =
(−1)k
(2k )!
k=0
4 42 43
+
−
+...
2 4! 6!
42
1
< 1−2+
= − < 0.
4!
3
= 1−
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120
#7.
GRUPPI DI TRASFORMAZIONI
Per il teorema degli zeri esiste quindi almeno un t0 ∈ (0, 2) tale che cos t0 = 0.
In modo analogo,
∞
∑
1
cos 1 =
(−1)k
(2k )!
k=0
1 1 1
+ − +...
2 4 6
1 1
> 1 − = > 0,
2 2
= 1−
e quindi esiste t0 ∈ (1, 2) tale che cos t0 = 0. Ora, se cos t0 = 0, allora sin2 t0 = 1.
Ma, sempre per la monotonia, si può mostrare che per t ∈ (0, 2) si ha
sin t > t −
t3
,
6
t2
e quindi sin t0 > 0, dato che t (1 − ) è positiva per t ∈ (0, 2), cioè non può
6
essere sin t0 = −1, e dunque
sin t0 = 1.
Abbiamo dimostrato che eit0 = i, da cui segue che
e4t0 i = i 4 = 1.
cioè che 4t0 ∈ X, e che perciò X non è il sottogruppo banale di R. Sia
quindi
t1 = inf{t > 0 : t ∈ X}.
Questo numero esiste certamente, perché è l’estremo inferiore di un insieme
non vuoto (4t0 verifica e4it0 = 1) e limitato dal basso. Può essere uguale a
zero, t1 = 0? Supponiamo che lo sia. Allora per ogni ϵ > 0 esiste t > 0, tale
che t ∈ X e t < ϵ . Ma X è sottogruppo, e quindi per ogni k ∈ Z si ha kt ∈ X,
cioè per ogni x ∈ R ci sono elementi di X ad una distanza al più ϵ. In altre
parole,
X = R.
Ma dato che X è chiuso, si avrebbe X = X = R, cioè per ogni t ∈ R
eit = 1.
Ma questo è falso: basta prendere t0 e usare le identità di sopra.
Quindi t1 non può essere uguale a 0: definiamo una costante π > 0 dalla
relazione
2π = t1 .
In altre parole, 2π è il più piccolo numero reale positivo per cui eit = 1,
e ovviamente risulta per ogni k ∈ Z
e2kπi = (e2πi )k = 1k = 1.
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§ 13.
121
GRUPPI DI TRASFORMAZIONI
Da cioè segue che le funzioni cos t e sin t sono periodiche di periodo almeno
2π (potrebbe essere un sottomultiplo di 2π, a priori):
ei (t+2kπ ) = eit e2kπi = eit .
Non solo, vale anche il viceversa: se t ∈ X, allora t = 2kπ. Infatti, se così
non fosse esisterebbe t ∈ X, tale che
2kπ < t < 2(k + 1)π
per un certo k ∈ Z, ma allora se si pone s = t − 2kπ si ha s > 0, s < 2π e
eis = ei (t−skπ ) = eit = 1,
cioè non è vero che 2π è il minimo, e questo è assurdo. Deve quindi essere
X = {t ∈ R : eit = 1} = {2kπ : k ∈ Z}.
Ancora: osserviamo che i due insiemi
A = {t ∈ R : t > 0, eit = 1},
B = {t ∈ R : t > 0, eit = i}
sono legati da
4B ⊂ A =⇒ inf A ≤ 4 inf B.
Inoltre, (1, 2) ∋ t0 ∈ B =⇒ B ̸= ∅ e inf B > 0 dato che e0 ̸= i, e inf B < 2 per quanto
visto sopra. Poniamo quindi b = inf B, che quindi deve verificare
(13.25)
2π ≤ 4b.
Per come abbiamo definito b poco sopra, però, è anche il più piccolo reale
positivo tale che cos b = 0, da cui segue (senza assumerlo) che sin b = 1. Ora,
per definizione se t ∈ (0, b) allora cos t > 0 (dato che cos 0 > 0 e la funzione
t3
non può cambiare di segno nell’intervallo), e sin t > 0 dato che sin t > t − 3!
, da
cui segue che se t ∈ (0, b] allora cos t ̸= 1. Ma
cos(t + b) + i sin(t + b) = ei (t+b) = eit eib = ieit = i cos t − sin t,
e dunque
cos(t + b) = − sin t = sin(−t )
sin(t + b) = cos t = cos(−t ).
Segue che
cos(t + 2b) = − sin(t + b) = − cos t
sin(t + 2b) = cos(t + b) = − sin t
cos(t + 3b) = − cos(t + b) = sin(t )
sin(t + 3b) = − sin(t + b) = − cos t.
Quindi nell’intervallo [0, 4b] può accadere che cos t = 1 e sin t = 0 solo se t = 0
oppure t = 4b: cos t è negativo in [b, 3b], sin t è non nullo in (0, b] e [3b, 4b). Ma
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122
#7.
GRUPPI DI TRASFORMAZIONI
allora non può essere 2π < 4b nella formula (13.25), perché per definizione
cos 2π = 1 e sin 2π = 0: deve essere 2π = 4b, cioè b = π2 , e dunque
π
ei 2 = i.
Prendiamo i quadrati di entrambi i membri e li sommiamo: otteniamo l’identità
di Eulero*
eiπ + 1 = 0.
* (Dalla pagina di wikipedia sull’identità di Eulero)
A reader poll conducted by Mathematical Intelligencer named the identity as the most
beautiful theorem in mathematics. Another reader poll conducted by Physics World in 2004
named Euler’s identity the ”greatest equation ever”, together with Maxwell’s equations.
The book Dr. Euler’s Fabulous Formula [2006], by Paul Nahin (Professor Emeritus at the
University of New Hampshire), is devoted to Euler’s identity; it is 400 pages long. The
book states that the identity sets ”the gold standard for mathematical beauty.”
Constance Reid claimed that Euler’s identity was ”the most famous formula in all
mathematics.”
Gauss is reported to have commented that if this formula was not immediately apparent to
a student on being told it, the student would never be a first-class mathematician.
After proving the identity in a lecture, Benjamin Peirce, a noted nineteenth century
mathematician and Harvard professor, said, ”It is absolutely paradoxical; we cannot understand it, and we don’t know what it means, but we have proved it, and therefore we know it
must be the truth.”
Stanford mathematics professor Keith Devlin says, ”Like a Shakespearean sonnet that
captures the very essence of love, or a painting that brings out the beauty of the human
form that is far more than just skin deep, Euler’s equation reaches down into the very
depths of existence.”
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123
Esercizi
ESERCIZI
(7.1) Sia G un gruppo e H ⊂ G un sottogruppo. L’insieme G/H è definito come
l’insieme di tutti i laterali, cioè di tutti gli insiemi del tipo {gh : h ∈ H}
per qualche g (fissato) in G. Equivalentemente, sia ∼H la relazione in
G definita da: x ∼H y ⇐⇒ x −1 y ∈ H. Dimostrare che la relazione ∼H è di
equivalenza, e che le classi di equivalenza sono proprio i laterali di H
in G.
(7.2) Dimostrare che GL(n, R) non è limitato.
2
(7.3) Si scriva la funzione GL(n) → GL(n) ⊂ Rn definita da A 7→ AAt (dove At
indica la trasposta di A) come composizione di funzioni continue.
(7.4) Sia G un gruppo topologico e H ⊂ G un sottogruppo. Dimostrare che la
chiusura H di H in G è anch’esso un sottogruppo.
(7.5) Dimostrare che Z è un sottogruppo topologico (rispetto alla somma)
di R.
(7.6) È vero che Q è un sottogruppo topologico (rispetto alla somma) di
R?
(7.7) Dimostrare che GL(n) e O(n) non sono connessi. (Suggerimento: utilizzare il teorema (11.12) con la mappa determinante)
*(7.8) Dimostrare che se S ⊂ R è un sottogruppo discreto (nel senso che ha
la topologia discreta), allora è isomorfo a Z (cioè è un gruppo ciclico
infinito).
(7.9) Sia nZ ⊂ Z il sottogruppo (additivo) di tutti i multipli di un intero
n ∈ N. L’azione da sinistra g · x = g + x fa agire G = nZ su Z. L’azione è
fedele? È transitiva? Cosa è l’insieme delle classi di equivalenza?
(7.10) Mostrare che il quoziente R2 /Z2 è compatto.
*(7.11) Trovare un gruppo G che agisca sulla striscia X = {( x, y) : y2 ≤ 1} ⊂ R2
tale che X/G sia omeomorfo al cilindro S 1 × [0, 1].
*(7.12) Trovare un gruppo G che agisca sulla striscia X = {( x, y) : y2 ≤ 1} ⊂ R2
tale che X/G sia omeomorfo al nastro di Möbius.
*(7.13) Si consideri S 2 con l’azione antipodale di G = Z2 (gruppo di due
elementi) data da g · x = −x se g ̸= 1. Che cosa è S 2 /G? È compatto? È connesso?
(7.14) Trovare un’azione sul toro che abbia come spazio quoziente un
cilindro.
(7.15) Dimostrare che lo stabilizzatore di un punto x ∈ X rispetto ad
un’azione di un gruppo topologico G è un sottogruppo chiuso di G.
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124
#7.
GRUPPI DI TRASFORMAZIONI
(7.16) Si consideri il gruppo G generato da una rotazione nel piano di
angolo θ, che agisce sulla circonferenza S 1 = {( x, y) : x 2 + y2 = 1} ⊂ R2 . Studiare,
al variare di θ, la topologia dello spazio quoziente S 1 /G.
(7.17) Siano r1 e r2 riflessioni lungo due rette passanti per l’origine in
R2 . Mostrare che la composizione r1r2 è una rotazione.
*(7.18) Sia G = Q e X = R, con azione data da g · x = g + x per ogni g ∈ Q e x ∈ R.
Dimostrare che è un’azione di gruppo topologico. È transitiva? Lo spazio
quoziente X/G è di Hausdorff?
(7.19) Si consideri l’azione di GL(1) = R ∖ {0} su R data dalla moltiplicazione
g · x = gx. Quali sono le orbite?
(7.20) Sia G = R (gruppo additivo) e X = R2 , con azione data da g · ( x, y) =
( g + x, g + y) per ogni g ∈ G e ogni ( x, y) ∈ X. Che cosa è lo spazio delle orbite?
(7.21) Consideriamo la stessa azione dell’esercizio precedente. Che cosa
è lo spazio delle orbite per l’azione di Z ⊂ G = R su X? È compatto? È
connesso? È Hausdorff?
(7.22) Quanti elementi ha il gruppo di simmetrie G di un quadrato Q in R2 ?
Che cosa è (cioè, descriverlo esplicitamente) lo spazio quoziente Q/G.
(7.23) Sia X uno spazio su cui un gruppo topologico X agisca in modo
transitivo. Dimostrare che lo spazio è “omogeneo”, cioè per ogni coppia
di punti c’è un omeomorfismo f : X → X che manda x in y (cioè un “cambio di
coordinate” che manda x in y). Rispetto a quale gruppo R è omogeneo? E Rn ?
(7.24) Trovare un gruppo topologico che agisca in modo transitivo su O(n).
Più in generale, se G è un gruppo topologico e H ⊂ G un sottogruppo,
determinare un gruppo che agisce transitivamente sullo spazio quoziente
G/H.
*(7.25) Dimostrare che se G è un gruppo topologico che agisce su uno spazio
X, allora la proiezione sullo spazio delle orbite X → X/G è una mappa
aperta. Se G è finito, è anche chiusa. (Suggerimento: se U ⊂ X è un aperto,
allora p(U ) è aperto (chiuso) se e solo se GU = {g · x : g ∈ G, u ∈ U} è aperto
(chiuso) in X.)
(7.26) Dimostrare che se G (gruppo topologico) agisce su X, allora per
ogni g ∈ G la mappa x 7→ g · x è un omeomorfismo.
**(7.27) Sia G un gruppo topologico d N ◁ G un suo sottogruppo normale (dal
punto di vista algebrico) e chiuso (dal punto di vista topologico) in G.
Sia G/N il quoziente (quoziente dal punto di vista algebrico, insieme dei
laterali), con la topologia quoziente.
(i) Dimostrare che la proiezione p × p : G × G → G/N × G/N è una mappa quoziente.
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125
Esercizi
(ii) Dimostrare che la moltiplicazione G × G → G induce una moltiplicazione
m̄ : G/N × G/N → G/N, che è continua.
(iii) Dimostrare che G/N è un gruppo topologico.
(7.28) Sia l ≥ 2 un intero. Sia Zl ⊂ C l’insieme delle radici l-esime dell’unità Zl = {z ∈ C : zl = 1}. Dimostrare che Zl è un gruppo topologico, che agisce
su C per moltiplicazione a sinistra g · z = gz (g ∈ Zl , z ∈ C). Al variare di l,
determinare lo spazio quoziente C/Zl .
(7.29) (La sfera di Rubik) Sia G = SO(3) che agisce su S 2 ⊂ R3 (sfera di
raggio uno in R3 e centro in 0 ∈ R3 ). Dimostrare le seguenti affermazioni.
(i) L’azione di G su S 2 è transitiva.
(ii) Per ogni x ∈ S 2 e ogni g ∈ G tale che gx = x, g ruota il piano ortogonale
−−→
al vettore Ox in sé.
(iii) Per ogni x ∈ S 2 , lo stabilizzatore G x ∼
= SO(2).
(iv) Per ogni x, y ∈ S 2 , il sottospazio G x,y = {g ∈ G : gx = y} ⊂ G è non vuoto ed
è omeomorfo a G x mediante la mappa g ∈ G x,y 7→ g1−1 g ∈ G x , dove g1 ∈ G x,y è un
elemento fissato.
(v) Lo spazio di tutti gli assi di rotazione degli elementi di G x,y , per
x ̸= y, descrive un cerchio massimo in S 2 .
−−→ −→
(vi) Se x, y ∈ S 2 e Ox · Oy = 0 (sono ortogonali), allora per ogni P ∈ S 2 esiste
−−−→
−→
una rotazione g ∈ G che fissa x (gx = x) e tale che OgP e Oy sono
−−→
−→
ortogonali (è vero anche se Ox e Oy non sono ortogonali?).
−−→
−→
(vii) Se x e y sono due punti di S 2 tali che Ox e Oy sono ortogonali,
allora per ogni P ∈ S 2 esistono due rotazioni Rx e Ry attorno a x e y
−−→
−→
rispettivamente tali che Ry Rx P è ortogonale ad entrambi Ox e Oy.
(viii) Se vettori ei sono i tre vettori della base standard di R3 e e′i = Rei le
rispettive immagini mediante una rotazione R ∈ SO(3), allora esistono
tre rotazioni Ri attorno a ei tali che:
R3 R2 R1 e′3 = e3
R3 R2 R1 e′2 = e2
R3 R2 R1 e′1 = e1 .
(ix) Dimostrare il teorema (12.16) (pagina 109): ogni rotazione in SO(3)
β γ
si può scrivere come prodotto R = Rαx Ry Rz di tre rotazioni attorno agli
3
assi coordinati di R .
Ricordiamo che se A è una matrice n × n a coefficienti complessi, allora
la trasposta coniugata (aggiunta Hermitiana) di A si indica con A∗ ed è
la matrice con coefficienti ā ji , se ai j sono i coefficienti di A. Per ogni
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126
#7.
GRUPPI DI TRASFORMAZIONI
intero n ≥ 1 siano U (n) (gruppo delle matrici unitarie/gruppo unitario) e
SU (n) (gruppo speciale uniterio) i gruppi di matrici definiti da
U (n) = {A ∈ GL(n, C) : AA∗ = A∗ A = In },
SU (n) = {A ∈ U (n) : det A = 1}.
*(7.30) Siano U (n) e SU (n) il gruppo unitario e il gruppo speciale unitario.
Dimostrare i seguenti fatti.
(i) Per ogni intero n ≥ 1 i gruppi U (n) e SU (n) sono compatti.
(ii) U (1) ≈ S 1 ≈ SO(2).
[
]
z −w̄
(iii) Gli elementi di SU (2) sono tutte e sole le matrici del tipo A =
w z̄
con (z, w) ∈ C2 , |z|2 + |w2 | = 1.
[
]
[
]
[
]
[
]
1 0
i 0
0 1
0 i
(iv) Siano 1 =
, i =
, j =
, k = ij =
∈ SU (2). Allora se
0 1
0 −i
−1 0
i 0
z = a + ib, w = c + id si ha
[
]
z w
= a1 + bi + c j + d k.
−w̄ z̄
(Per a, b, c, d ∈ R, i numeri che si scrivono come a1 + bi + c j + d k, che corrispondono a coppie di numeri complessi (z, w), costituiscono l’algebra
H dei quaternioni — di Hamilton. In un certo senso sono la “complessificazione” dei numeri complessi: così come i numeri complessi sono
coppie di numeri reali con somma e prodotto, i quaternioni sono coppie
di numeri complessi con somma e prodotto. In questo caso il prodotto
non è commutativo, però. Gli elementi i, j e k di H sono un po’ come
le unità immaginarie.)
(v) SU (2) ≈ S 3 (rivedere la dimostrazione SO(2) ≈ S 1 ).
*(7.31) Continuando dall’esercizio precedente, mostrare le seguenti proposizioni.
(i) i j = k = − ji, j k = i = −k j, ki = j = −i k, i 2 = j 2 = k2 = −1.
(ii) Se per ogni matrice del tipo X = a1 + bi + c j + d k si pone X̄ = a1 − bi − c j − d k,
allora ( XY ) = (Ȳ )( X̄ ), e
X X̄ = a2 + b2 + c2 + d 2 =: |X|2
(quest’ultima uguaglianza è una definizione).
Segue che |XY |2 = |X|2 |Y |2 .
(iii) Per ogni (a, b, c, d ) ̸= (0, 0, 0, 0) ∈ R4 la matrice inversa di X = a1 + bi + c j + d k
è uguale a X̄/|X|2 = (a1 − bi − c j − d k)/(a2 + b2 + c2 + d 2 ).
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127
Esercizi
(iv) Si consideri la funzione M : R3 → Mat2×2 (C) definita ponendo
M ( v) = M v = v1 i + v2 j + v3 k.
per ogni vettore v ∈ R3 di componenti vi , e H ⊂ Mat2×2 (C) la sua immagine.
Si mostri che H è il sottospazio di Mat2×2 (C) di tutte le matrici
Hermitiane a traccia nulla.
(v) Per ogni A ∈ SU (2) la funzione L A : H → H definita ponendo
L A ( X ) = AX A−1
è ben definita e lineare in X rispetto alla somma di matrici (osservare
che X ∈ H se e solo se la traccia della matrice X è nulla e la traccia
…).
(vi) Per ogni A ∈ SU (2) la funzione L A : H → H, tramite la corrispondenza M,
è una funzione lineare invertibile R3 → R3 , cioè induce un elemento
ρ A ∈ GL(3, R).
(vii) Per ogni A ∈ SU (2), l’elemento ρ A del punto precedente è un elemento
di O(3) (basta mostrare che ρ A conserva la norma).
(viii) La funzione A 7→ det (ρ A ) è una funzione continua SU (2) ≈ S 3 → {−1, 1} = S 0 .
Dedurre che per ogni A ∈ SU (2), si ha ρ A ∈ SO(3).
(ix) La funzione continua A 7→ ρ A è anche un omomorfismo di gruppi π : SU (2) →
SO(3).
(x) Il nucleo di π è uguale all’insieme di tutti gli elementi A = a1 + bi +
c j + d k ∈ SU (2) tali che
Ai = iA, A j = jA, Ak = kA,
e quindi ker π = {−1, 1}.
(xi) Le immagini mediante π in SO(3) dei tre sottogruppi
G i = {A ∈ SU (2) : Ai = iA} = {a + bi}
G j = {A ∈ SU (2) : A j = jA} = {a + c j}
G k = {A ∈ SU (2) : Ak = kA} = {a + d k}
sono i gruppi di rotazioni di SO(3) che fissano uno degli assi cartesiani
di R3 (osservare per esempio che se A = 1 cos θ + i sin θ ∈ SU (2), allora ρ A è
la rotazione attorno al primo asse di R3 di angolo 2θ).
(xii) Se B ∈ SU (2) è a traccia nulla B = b1 i + b2 j + b3 k, allora B2 = −1;
(xiii) Se B, C ∈ SU (2) sono come sopra a traccia nulla, allora BC + CB = 0
se e soltanto se i due vettori corrispondenti in H sono ortogonali
(rispetto al prodotto scalare standard di R3 , con l’identificazione
mediante M).
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128
#7.
GRUPPI DI TRASFORMAZIONI
(xiv) Se B ∈ SU (2) è come sopra a traccia nulla, allora esistono esistono
C, D ∈ SU (2) a traccia nulla tali che BC = D, CD = B, DB = C, C 2 = D2 = −1,
BC + BC = 0, BD + DB = 0, CD + DC = 0 (si scelgano due vettori unitari
in H che costituiscano, insieme a B, una base ortonormale in H,
coerentemente orientata).
(xv) Se A = 1 cos θ + B sin θ, con B ∈ SU (2) del tipo B = bi + c j + d k, allora ρ A è una
rotazione che fissa (b, c, d ) ∈ R3 , di angolo 2θ (si consideri una base
come nel punto precedente …).
(xvi) L’omomorfismo π : S 3 ≈ SU (2) → SO(3) è suriettivo ed è una mappa quoziente, dunque
SU (2)/ ker π = SU (2)/{±1} ≈ SO(3),
e SO(3) è connesso.
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Settimana N° 8
SPAZI AFFINI
§ 14.
SPAZI AFFINI
(Cfr.)*
Sappiamo come è definita l’azione di un gruppo G su un insieme e l’azione
di un gruppo topologico su uno spazio topologico. Ricordiamo anche che
cosa è uno spazio vettoriale su un campo K (per esempio, K = R, K = C).
(14.1) Definizione. Uno spazio vettoriale V è un gruppo abeliano (additivo)
su cui il campo degli scalari K “agisce”; l’azione di un campo K su un
gruppo abeliano è data in termini di una legge di composizione (“prodotto
per uno scalare”)
(k, v) ∈ K × V 7→ kv ∈ V
con le proprietà seguenti.
(i) Per ogni k ∈ K la funzione indotta v ∈ V 7→ kv ∈ V è un omomorfismo del
gruppo additivo V (cioè è additiva, manda lo zero nello zero, …)
(ii) Per ogni k1 , k2 ∈ K, v ∈ V :
(a) (k1 + k2 ) v = k1 v + k2 v,
(b) (k1 k2 ) v = k1 (k2 v)
(iii) 1v = v.
(14.2) Esempio. Sia Rn il prodotto diretto di n copie di R. Ha per elementi
le n-uple di numeri reali, ed è un gruppo additivo rispetto alla somma
componente per componente. Il prodotto di uno scalare per una n-upla è il
modello di prodotto di scalare per vettore più in generale. Infatti, in
molti contesti non si distingue il concetto di vettore (riga o colonna)
dal concetto di n-upla.
* Cfr:
Nacinovich, Cap V, §1 [2].
129
130
#8.
SPAZI AFFINI
L’idea di spazio affine è l’applicazione della omogeneità degli spazi
vettoriali (vedi definizione (13.8)) rispetto al gruppo delle traslazioni:
a meno di traslazioni, gli intorni dei punti Rn sono gli stessi.* Si può
dire che uno spazio affine è uno spazio che localmente è come uno spazio
vettoriale, e dati due punti c’è ben definita una unica trasformazione
(traslazione) che manda un punto nell’altro (trasporto parallelo). Vedremo
poi come da questa idea si deducono i concetti di parallelismo e incidenza.
(14.3) Definizione. Uno spazio affine X su un campo K è un insieme X
(insieme di punti) su cui agisce in modo fedele e transitivo uno spazio
→
−
vettoriale X su K (considerato solo come gruppo additivo – cioè come
il gruppo delle traslazioni). Gli elementi di X si chiamano punti, gli
→
−
elementi di X si dicono vettori affini o traslazioni, e il campo K viene
detto campo dei coefficienti.
→
−
(14.4) Sia X uno spazio affine e X lo spazio vettoriale (su campo K)
→
−
associato. Allora esiste (unica) una funzione X × X → X , indicata da ( A, B) 7→
−−→
−−→
AB (indicato anche come AB = B − A), con le seguenti proprità:
→
−
−−→
(i) ∀A ∈ X, ∀v ∈ X , ∃ unico B ∈ X : AB = v.
−−→ −−→ −−→
(ii) ∀A, B, C ∈ X, AB + BC = AC.
→
−
Dim. L’azione di X su X è per definizione transitiva: dunque per ogni
→
−
→
−
scelta di A e B in X esiste v ∈ X tale che v + A = B. Ora, se v, w ∈ X sono due
→
−
vettori di X tali che v + A = B e w + A = B, allora si ha v + A = w + A, cioè il
vettore v − w fissa il punto A (( v − w) + A = A). Ma se v − w fissa il punto A
allora, dal momento che (essendo l’azione transitiva) ogni punto P di X
→
−
si può scrivere come P = z + A per qualche z ∈ X , per ogni P ∈ X si ha
( v − w) + P = ( v − w) + ( z + A)
= ( v − w + z) + A
= ( z + ( v − w)) + A
= z + ( v − w + A)
= z+A
=P
* La
parola affine fu usata per la prima volta da Eulero, ma la geometria affine fu
riconosciuta come disciplina soltanto dopo l’avvio del programma di Erlangen di Felix Klein
(1849–1925) – cioè il famoso discorso tenuto nel 1872 da Klein nell’Università di Erlangen,
in cui Klein propone una unificazione delle geometrie note al tempo (euclidea piana e
dello spazio, non-euclidea, proiettiva, affine,…) con una interpretazione in termini di
gruppi di simmetria – o meglio gruppi di trasformazioni: gli spazi tradizionali sono “spazi
omogenei” rispetto ad una opportuna scelta del gruppo di trasformazioni (le similitudini e
le rototraslazioni per la geometria euclidea, le trasformazioni lineari per la geometria
affine, …) e le proprietà che si studiano sono quelle invarianti rispetto all’azione di
tale gruppo (angoli, lunghezze, …). Questo approccio ha avuto una significativa influenza
sul modo in cui la geometria è stata insegnata e divulgata nei successivi (≥ 50) anni.
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§ 14.
131
SPAZI AFFINI
e dunque v − w fissa ogni punto P di X. Ma l’azione è fedele, e quindi deve
→
−
essere v = w (cioè per ogni A, B in X esiste unico v ∈ X per cui B = v + A).
−−→
Si può dunque indicare con AB = v.
−−→ −−→
−−→
Ora mostriamo che ∀A, B, C ∈ X, AB + BC = AC. Infatti, per definizione
risulta
−−→
AB + A = B
−−→
BC + B = C
e quindi
−−→
−−→ −−→
C = BC + B = ( BC + AB) + A
che per definizione (e commutatività) si legge come
−−→ −−→ −−→
AC = AB + BC.
⨳
(14.5) Supponiamo di avere un insieme non vuoto X e uno spazio vettoriale
→
−
→
−
−−→
X , insieme con una funzione X × X → X , indicata da ( A, B) 7→ AB che soddisfa
i due assiomi:
→
−
−−→
(i) ∀A ∈ X, ∀v ∈ X , ∃ unico B ∈ X : AB = v.
−−→ −−→ −−→
(ii) ∀A, B, C ∈ X, AB + BC = AC (assioma di Chasles* )
Allora X è spazio affine rispetto all’azione
→
−
( v, A) ∈ X × X 7→ A + v,
−−→
dove si definisce A + v l’unico punto B ∈ X tale che AB = v (primo assioma).
Dim. Vedi esercizio (8.1).
⨳
→
−
(14.6) Esempio. X = X = Rn . Allora lo spazio affine si indica con An (R).
Analogamente, per K = C, lo spazio affine n-dimensionale si indica con
An ( C ) .
(14.7) Definizione. Una retta nello spazio affine X è un sottoinsieme di
X che si può scrivere come
r = {x0 + tv : t ∈ K}
→
−
per un certo x0 ∈ X e v ∈ X ∖ {0}.† Si dice che la retta passa per un punto se
→
−
il punto appartiene alla retta. Lo spazio vettoriale ⟨v⟩ ⊂ X di dimensione
uno generato da v è la giacitura della retta.
* Michel
Chasles, matematico francese (1793–1880).
altre parole, una retta è l’orbita del punto x0 ∈ X mediante l’azione di un sottogruppo
→
−
1-dimensionale (∼
= K) dello spazio di traslazioni X
† In
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132
#8.
SPAZI AFFINI
(14.8) Definizione. Tre punti A, B, C di uno spazio affine X sono allineati
se stanno su una stessa retta.
(14.9) Tre punti distinti A, B, C di uno spazio affine X sono allineati se e
−−→ −−→
soltanto se i vettori AB e AC sono linearmente dipendenti (equivalentemente,
−−→
−−→
−−→
−−→
se BC e BA sono linearmente dipendenti, oppure se C A e CB sono linearmente
dipendenti).
Dim. Esercizio (8.2).
⨳
(14.10) Due rette r = {A + tv : t ∈ K} e s = {B + tw : t ∈ K} coincidono se e solo se i
vettori v e w sono linearmente dipendenti (cioè se le giaciture coincidono)
e A ∈ s ∧ B ∈ r.
Dim. Supponiamo che r = s. Allora è ovvio che A ∈ s ∧ B ∈ r. Ora, dato che
A ∈ s, esiste t A ∈ K tale che A = B + t A w; analogamente, esiste tB ∈ K tale che
B = A + tB v. Segue che
B − A = −t A w = tB v,
cioè t A w + tB v = 0. Se t A ̸= 0 oppure tB ̸= 0, allora abbiamo dimostrato che v e
w sono linearmente dipendenti. Altrimenti, t A = 0 = tB cioè A = B. Ma allora,
dato che A + v ∈ r = s , esiste t ′ ∈ K tale che A + v = A + t ′ w, e quindi v − t ′ w = 0
(ancora, v e w sono linearmente dipendenti).
Viceversa, supponiamo che A ∈ s e B ∈ r e che v e w siano linearmente
dipendenti. Segue che A = B + t A w per un certo t A ∈ K e che esiste t ′ ∈ K, t ′ ̸= 0,
tale che v = t ′ w; quindi
r = {A + tv : t ∈ K}
= {B + t A w + tv : t ∈ K}
= {B + t A w + tt ′ w : t ∈ K}
= {B + (t A + tt ′ ) w : t ∈ K}
= {B + tw : t ∈ K}
=s
⨳
(14.11) Corollario. Per due punti distinti A ̸= B di uno spazio affine X
passa una e una sola retta.
−−→
Dim. Sia K il campo dei coefficienti. Dato che A ̸= B, il vettore AB = B − A
non è nullo, e quindi è ben definita la retta
−−→
r = {A + t AB : t ∈ K} ⊂ X .
Dato che A ∈ r (per t = 0 ∈ K) e B ∈ r (per t = 1 ∈ K), la retta r passa per due
punti. Se ce ne fosse un’altra
s = {x0 + tv} ⊂ X,
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§ 14.
133
SPAZI AFFINI
dovrebbero esistere t A, tB ∈ K tali che
A = x0 + t A v,
e quindi
B = x0 + tB v,
−−→
AB = B − A = (tB − t A ) v,
−−→
cioè v e AB sarebbero linearmente dipendenti. Inoltre, sostituendo si
otterrebbe
t A −−→
AB,
x0 = A − t A v = A −
tB − t A
dunque x0 ∈ r. Dalla (14.10) segue quindi che r = s.
⨳
Vedremo più avanti come generalizzare (14.11) a insiemi di più di due
punti. Un altro importante teorema di geometria affine è il seguente.
(14.12) Teorema. Consideriamo il piano affine. Se A ∈ A2 (K ) è un punto e r
una retta che non passa per A, allora esiste unica la retta per A che non
interseca r (che chiamiamo la parallela a r passante per A). Tale retta ha
la stessa giacitura di r.*
Dim. Per definizione esistono un punto x0 e un vettore v ̸= 0 per cui
r = {x0 + tv : t ∈ K},
e non esiste t ∈ K per cui x0 + tv = A (dato che r non passa per A). La retta
r ′ = {A + tv : t ∈ K}
passa certamente per A. Supponiamo che r ∩ r ′ ̸= ∅. Allora esistono t1 , t2 ∈ K
tali che
A + t1 v = x0 + t2 v ∈ r ∩ r ′ ,
e quindi
A = x0 + (t2 − t1 ) v =⇒ A ∈ r
che è assurdo. Abbiamo mostrato che esiste una retta che non interseca r.
Supponiamo di avere due rette s e s′ tali che s ∩ r = ∅ e s′ ∩ r = ∅ e passanti
per A. Allora si possono scrivere con le equazioni s = {A + tw} e s′ = {A + tw′ }.
Per la proposizione (14.10) le due rette coincidono se e solo se w e w′
sono linearmente dipendenti. Analogamente a quanto visto sopra, s ∩ r = ∅ se
e solo se non esistono t1 e t2 ∈ K tali che A + t1 w = x0 + t2 v, cioè se e solo se
l’equazione vettoriale (nelle incognite t1 e t2 )
t1 w − t2 v = x0 − A
non ha soluzioni, il che avviene se e solo se il vettore x0 − A non appartiene
al sottospazio di K 2 generato da w e v. Ora, se v e w sono linearmente
* Due
rette sono quindi parallele se e solo se hanno la stessa giacitura?
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134
#8.
SPAZI AFFINI
indipendenti allora tale sottospazio coincide con K 2 , per cui la soluzione
c’è. Affinché la soluzione non esista è necessario che v e w siano dipendenti. Abbiamo quindi mostrato che w è necessariamente multiplo di v. Dato
che lo stesso vale per w′ , risulta che w e w′ sono linearmente dipendenti
e quindi s = s′ .
⨳
(14.13) Nota. Osserviamo che valgono le seguenti proprietà: Se X è un piano
affine, allora
(i) Per ogni due punti distinti passa una unica retta ((14.11)).
(ii) Per ogni retta r e punto A ̸∈ r, esiste una unica retta per A che non
interseca r (detta parallela).
(iii) Esistono almeno 4 punti che non contengono terne di punti allineate.
(Osserviamo che le prime due proprietà (ma non la terza) valgono anche
per una retta affine.)
(14.14) Esempio. Sia F un campo finito di ordine pk (prossimo anno, algebra?). Primo p. Allora, A2 (F) è un piano affine sul campo F. Per p = 2, k = 1,
F2 , A2 (F2 ) quanti punti ha? Quante rette? Che legame ha con un tetraedro?
Per p = 3, k = 1, con F3 = Z3 (si veda l’esercizio (8.22))? In generale, se F
è un campo finito di ordine n, allora A2 (F) ha n2 punti, una retta affine ha
n punti, e per un punto passano n + 1 rette (perché? considerare il fascio
di rette per un punto e le intersezioni delle rette del fascio con una
retta che non passa per il centro del fascio). Per ognuna delle n2 (n2 − 1)
coppie (ordinate) di punti distinti di A2 (F) c’è una sola retta, e in una
retta ci sono n(n − 1) coppie (ordinate) di punti distinti. Quindi in totale
le rette sono
n2 ( n2 − 1 )
= n2 + n.
n(n − 1)
(14.15) Nota. Segue che esiste una relazione di equivalenza tra rette
(relazione di parallelismo: r ∥ s ⇐⇒ r = s ∨ r ∩ s = ∅). In particolare, un piano
affine ha una struttura di incidenza, nel senso che si ha un insieme P di
punti, un insieme R di rette, e una relazione di appartenenza ∈ : P × R → {0, 1}.
−−→ −−→
È possibile definire il rapporto (ratio) AC : AB di tre punti allineati
in uno spazio affine A, B, C come quell’unico ρ tale che
−−→
−−→
AC = ρ AB.
(14.16) Il rapporto di tre punti allineati in uno spazio affine su campo
K esiste ed è unico in K.
Dim. Esercizio (8.14).
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
⨳
§ 14.
135
SPAZI AFFINI
(14.17) Dati tre punti A, B, C di uno
definito si indica come
−−→ −−→
ρ = AC : AB =
spazio affine, il rapporto ρ sopra
−−→
AC
AC
−−→ = AB ,
AB
e con un abuso di notazione si pone
AC C A
CA
AC
=
=−
=−
BA AB
BA
AB
(14.18) Teorema (Talete (∼624–546)). Siano li , i = 1, 2, 3 tre rette parallele
distinte di un piano affine X, e r1 , r2 altre due rette non parallele a li ,
con intersezioni Pi, j = ri ∩ l j . Allora
−−−−−−→ −−−−−−→ −−−−−−→ −−−−−−→
P1,1 P1,3 : P1,1 P1,2 = P2,1 P2,3 : P2,1 P2,2 .
Viceversa, se B è un punto di r1 tale che
−−−−→ −−−−−−→ −−−−−−→ −−−−−−→
P1,1 B : P1,1 P1,2 = P2,1 P2,3 : P2,1 P2,2 ,
allora B = P1,3 .
−−−−→ −−−−→
Dim. Per semplicità chiamiamo Ai = P1,i e Bi = P2,i per i = 1, 2, 3, e a = A1 A3 : A1 A2 ,
−−−−→ −−−−→
b = B1 B3 : B1 B2 . Per prima cosa dobbiamo mostrare che a = b. I tre vettori
Bi − Ai , per i = 1, 2, 3, sono tutti multipli di un vettore non nullo v (dato che
le tre rette li sono parallele), cioè
Bi = Ai + βi v
per certi βi ∈ K, i = 1, 2, 3. Le rette ri d’altra parte non sono parallele a v.
Per definizione si ha
A3 = A1 + a( A2 − A1 )
B3 = B1 + b( B2 − B1 )
=⇒ B3 − A3 = ( B1 − A1 ) + b( B2 − B1 ) − a( A2 − A1 ).
=⇒ a( A2 − A1 ) − b( B2 − B1 ) ∈ ⟨v⟩.
Ma
B2 − B1 = ( A2 + β2 v) − ( A1 + β1 v)
= A2 − A1 + (β2 − β1 ) v
e quindi
⟨v⟩ ∋ a( A2 − A1 ) − b[ A2 − A1 + (β2 − β1 ) v]
=⇒ a( A2 − A1 ) − b( A2 − A1 ) ∈ ⟨v⟩,
cioè (a − b)( A2 − A1 ) ∈ ⟨v⟩. Ma r1 non è parallela a v, quindi deve necessariamente
essere a − b = 0, cioè la tesi. Viceversa: poniamo B3 = B (senza supporre B3 ∈ l3 ),
e siano a, b, v, con a = b, e β1 , β2 come sopra. Non è difficile mostrare che
B3 ∈ l3 ⇐⇒ B3 − A3 ∈ ⟨v⟩.
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136
#8.
SPAZI AFFINI
Se ripercorriamo le uguaglianze al contrario possiamo dedurre che
B3 − A3 = ( B1 − A1 ) + b( B2 − B1 ) − b( A2 − A1 ).
= B1 − A1 + b( B2 − A2 ) − b( B1 − A1 )
= A1 + β1 v − A1 + b(β2 − β1 ) v ∈ ⟨v⟩
Per esercizio provare a completare i dettagli della dimostrazione (o a
trovarne un’altra): esercizio (8.15) a pagina 151.
⨳
§ 15.
SOTTOSPAZI AFFINI
(Cfr.)*
→
−
(15.1) Definizione. Sia X uno spazio affine e X lo spazio vettoriale su
→
−
campo K associato. Se P ∈ X è un punto fissato di X e W ⊂ X è un sottospazio
vettoriale, allora il sottospazio
S = {x ∈ X : x − P ∈ W }
di tutti i punti x per cui x − P ∈ W si dice sottospazio affine passante per
P e parallelo a W . Il sottospazio W si dice giacitura di S. La dimensione
di S è per definizione la dimensione di W .
(15.2) Nota. I sottospazi affini sono le orbite mediante l’azione del sottospazio W , che agisce mediante traslazioni sullo spazio affine. Osserviamo
anche che, seguendo la definizione (15.1), le rette sono proprio i sottospazi affini di dimensione 1. Inoltre non è difficile vedere che i punti sono
i sottospazi affini di dimensione 0. I sottospazi di dimensione dim ( X ) − 1
(codimensione 1 in X) si dicono iperpiani. I sottospazi di dimensione 2 si
dicono piani. Se n = 3, piani e iperpiani coincidono.
→
−
(15.3) Proposizione. Se S ⊂ X è un sottospazio affine con giacitura W ⊂ X ,
→
−
→
−
allora è uno spazio affine con spazio vettoriale associato S = W ⊂ X
→
−
Dim. Il gruppo additivo X agisce in modo fedele e transitivo su X per
→
−
definizione, e dunque W ⊂ X agisce in modo fedele e transitivo sulla sua
orbita, che per definizione è S!
⨳
(15.4) Proposizione. Siano P1 , P2 ∈ X due punti di uno spazio affine X,
→
−
W1 , W2 ⊂ X due sottospazi vettoriali e S1 = P1 + W1 , S2 = P2 + W2 i due sottospazi
affini passanti per Pi con giacitura Wi (i = 1, 2). Allora S1 = S2 se e solo se
W1 = W2 , P2 ∈ S1 e P1 ∈ S2 . Cioè, un sottospazio affine è identificato da uno
qualsiasi dei suoi punti e dalla giacitura.
* Cfr:
Nacinovich, Cap I, §2 [2].
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§ 15.
137
SOTTOSPAZI AFFINI
Dim. Supponiamo che S1 = S2 . Allora è ovvio che P1 ∈ S2 e P2 ∈ S1 . Vogliamo
dimostrare che W1 = W2 . Osserviamo che per definizione W1 = S1 − P1 e W2 = S2 − P2 .
Dato che P1 ∈ S1 = S2 , per definizione il vettore P1 − P2 appartiene a W2 .
Inoltre P2 = P1 + (P2 − P1 ) da cui si trae che
S2 = P2 + W2
= P1 + ( P2 − P1 ) + W 2
= P1 + W 2
dato che w + W2 = W2 (come insiemi!) per ogni w ∈ W2 (vedi esercizio (8.7)),
ed in particolare per P2 − P1 . Ora, questo implica che S1 = S2 se e solo se
P1 + W 1 = P1 + W 2
ma questo accade se e solo se W1 = W2 .
Viceversa, se P1 ∈ S2 e P2 ∈ S1 e W1 = W2 , allora come sopra si può scrivere
S1 = P1 + W1 e S2 = P2 + W2 , e quindi S1 = S2 .
⨳
(15.5) Per due punti distinti di uno spazio affine passa una unica retta.
Per tre punti non allineati di uno spazio affine passa un unico piano.
Osserviamo che la proposizione (15.4) generalizza la proposizione (14.10):
basta considerare i sottospazi 1-dimensionali generati da v e w.
(15.6) Definizione. Consideriamo un insieme di d + 1 punti P0 , P1 , …Pd in
uno spazio affine X. Il più piccolo sottospazio affine S ⊂ X che contiene
tutti i punti P0 , …, Pd si dice sottospazio affine generato dai d + 1 punti
P0 , …, Pd .
(15.7) Nota. Dobbiamo dimostrare che la definizione (15.6) è ben posta, dal
momento che potrebbe non esistere un sottospazio con la proprietà cercata.
Vediamo come.
(15.8) Proposizione. Il sottospazio affine di X generato da d + 1 punti P0 ,
…, Pd ∈ X è il sottospazio passante per P0 e con giacitura
−−−−→ −−−−→
−−−−→ →
−
⟨P 0 P 1 , P 0 P 2 , . . . P 0 P d ⟩ ⊂ X ,
e non dipende dall’ordine con cui i punti P0 , …, Pd sono stati scelti.
Dim. Sia S il sottospazio affine di X passante per P0 e con giacitura
−−−−→ −−−−→
−−−−→ →
−
W = ⟨P 0 P 1 , P 0 P 2 , . . . P 0 P d ⟩ ⊂ X .
Si ha ovviamente P0 ∈ S e, inoltre, per ogni i Pi ∈ S dato che per ogni
i = 1, . . . d si ha Pi = P0 + (Pi − P0 ) ∈ P0 + W = S (per definizione Pi − P0 ∈ W ). Quindi
S contiene tutti i punti P0 , …, Pd .
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138
#8.
SPAZI AFFINI
Supponiamo che S ′ sia un altro sottospazio affine contenente i punti P0 ,
→
−
…, Pd . In particolare, P0 ∈ S ′ , per cui esiste W ′ ⊂ X tale che
S ′ = P0 + W ′ .
Dal momento che per ogni i = 1, …, d Pi ∈ S ′ , e quindi Pi − P0 ∈ W ′ ,
−−−−→ −−−−→
−−−−→
W = ⟨P 0 P 1 , P 0 P 2 , . . . P 0 P d ⟩ ⊂ W ′ .
Cioè S è contenuto in ogni sottospazio affine contenente i d + 1 punti. Sia
ora S ′ il sottospazio affine costruito a partire da una permutazione dei
d + 1 punti esattamente come S. Allora l’argomento di sopra si applica sia
a S che a S ′ , per cui S ⊂ S ′ e S ′ ⊂ S, cioè S = S ′ .
⨳
(15.9) Nota. Consideriamo d + 1 punti P0 , P1 , …, Pd nello spazio affine X. A
priori non ha senso scrivere la somma
d
∑
λi Pi =?
i=0
per dei coefficienti λi ∈ K, dal momento che non abbiamo definito prodotto
di uno scalare λi per un punto Pi (potremmo farlo solo moltiplicando vettori
con scalari, non punti con scalari). Però, come nel caso di Rn , si potrebbe
prendere un punto qualsiasi O ∈ X (l’origine) e definire tale somma come
d
∑
d
∑
−−→
λi Pi = O +
λi OPi .
i=0
i=0
Questa definizione però dipende dalla scelta fatta per O. È interessare
∑
notare, però, che nel caso di=0 λi = 1 la somma non dipende dalla scelta di
O: se Q è un altro punto,
d
∑
∑ −−−→
−−→
λi (OPi ) + O =
λi (QPi ) + Q
i=0
i=0
d
∑
d
⇐⇒
λi (Pi − O − (Pi − Q)) + O − Q = 0
i=0
⇐⇒
d
∑
λi (Q − O) + O − Q
=0
i=0
⇐⇒ 0 = 0.
Possiamo in questo modo definire anche il baricentro di d + 1 punti,
interpretando λi come masse (più propriamente, densità di massa). Se le
masse sono uguali, il baricentro affine (geometrico) ha λi = 1/(n + 1).
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§ 15.
139
SOTTOSPAZI AFFINI
(15.10) Definizione. In uno spazio affine di dimensione n, si dice che d + 1
punti sono indipendenti se la dimensione del sottospazio affine generato
è d, altrimenti si dicono dipendenti. È chiaro che se sono indipendenti,
allora d ≤ n. Due punti sono dipendenti se e solo se coincidono. Tre
punti sono dipendenti se e solo se appartengono ad una stessa retta (e
si dicono allineati. Analogamente, quattro punti sono indipendenti se non
sono contenuti in un piano, per cui quattro punti sono dipendenti se e
solo se appartengono ad uno stesso piano.
(15.11) d + 1 punti x0 , x1 , . . . , xd sono dipendenti se e soltanto se esistono λ1 ,
∑
…, λd non tutti nulli tali che di=0 λi −
x−0−→
xi = 0.
Dim. Segue dalla definizione.
⨳
(15.12) Nota. Due punti distinti nel piano sono sempre allineati. È vero
che tre punti nello spazio sono allineati (dipendenti) se e soltanto se
il determinante della matrice 3 × 3 delle loro coordinate è nullo? Quale
direzione della doppia implicazione è vera e quale no?
(15.13) Definizione. Sia X uno spazio affine su campo K di dimensione n ≥ 1.
Un riferimento affine in X è (equivalentemente):
(i) Una scelta di n + 1 punti di X indipendenti (dal punto di vista affine).
→
−
(ii) Una scelta di un punto x0 di X e di n vettori indipendenti di X (cioè,
→
−
→
−
di una base per X , visto che dim ( X ) = dim ( X ) = n).
(15.14) (Equazioni parametriche) Sia S ⊂ X un sottospazio affine. Allora se
si sceglie un riferimento affine P0 , P1 , . . . , Pd ∈ S si può scrivere S mediante
le equazioni parametriche come
d
∑
−−−−→
S = {P0 +
ti P0 P1 : ti ∈ K},
i=1
o anche come
d
∑
−−−−→
P = P0 +
ti P0 P1
i=1
(15.15) Nota. Ritroviamo qui le equazioni parametriche di rette (P = P0 + tv)
e piani (P = P0 + sv + tw).
(15.16) Nota. Come abbiamo visto nella nota (15.9), dati d + 1 punti P0 , . . . Pn
in uno spazio affine X di dimensione n si possono considerare i punti P
che si scrivono come
d
d
∑
∑
λi = 1
λi Pi ,
P=
i=0
i=0
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140
#8.
SPAZI AFFINI
con λi ∈ K. Questi sono tutti e soli i punti del sottospazio affine generato
dai Pi , e i coefficienti λi ∈ K sono unici, nel senso che se
P=
d
∑
i=0
λi Pi ,
d
∑
λi = 1,
i=0
=
d
∑
i=0
λ′i Pi ,
d
∑
λ′i = 1
i=0
allora λi = λ′i per ogni i. I (d + 1) elementi λi ∈ K si chiamano le coordinate baricentriche del punto P. Quando K = R, gli insiemi dei punti con
coordinate baricentriche positive o nulle vengono chiamati
Segmenti per d = 1 (con estremi P0 e P1 );
Triangoli per d = 2 (con vertici P0 , P1 e P2 , e lati dati dai segmenti
ottenuti ponendo λi = 0, per i = 0, 1, 2).
In altre parole, il segmento che ha per estremi A, B ∈ An (R) si scrive come
AB = {λ0 A + λ1 B : λ0 ≥ 0, λ1 ≥ 0, λ0 + λ1 = 1}
−−→
= {A + λ1 AB : 0 ≤ λ1 ≤ 1}.
I punti del triangolo che ha per vertici A, B, C ∈ An (R) sono gli elementi
dell’insieme
λ0 A + λ1 B + λ2C : λ0 ≥ 0,
λ1 ≥ 0,
ABC =
λ2 ≥ 0,
λ0 + λ1 + λ2 = 1
−−→
−−→
= {A + λ1 AB + λ2 AC : λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0, λ1 + λ2 ≤ 1}.
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§ 15.
141
SOTTOSPAZI AFFINI
I lati del triangolo ABC sono
λ0 A + λ1 B + λ2C : λ0
λ1
λ2
AB =
λ0 + λ1 + λ2
λ2
≥ 0,
≥ 0,
≥ 0,
= 1,
=0
= {λ0 A + λ1 B : λ0 ≥ 0, λ1
λ0 A + λ1 B + λ2C : λ0
λ1
λ2
BC =
λ0 + λ1 + λ2
λ
≥ 0, λ0 + λ1 = 1}
≥ 0,
≥ 0,
≥ 0,
= 1,
=0
0
= {λ1 B + λ2C : λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0, λ1 + λ2 = 1}
λ0 A + λ1 B + λ2C : λ0 ≥ 0,
λ
≥
0,
1
λ
≥
0,
CA =
2
λ
+
λ
+
λ
=
1,
0
1
2
λ1 = 0
= {λ0 A + λ2C : λ0 ≥ 0, λ2 ≥ 0, λ0 + λ2 = 1}.
§ 15.1.
OPZIONALE: PIANI AFFINI FINITI E QUADRATI LATINI, GRECO-LATINI E
MAGICI
Problema dei 36 ufficiali (L. Euler, 1782): C’è una delegazione di 36
ufficiali, ognuno dei quali appartiene ad uno dei 6 reggimenti a, b, c, d,
e, f . I 6 gradi sono α, β, γ, δ, ϵ, φ, cioè colonnello, tenente-colonnello,
maggiore, capitano, tenente, sottotenente. Possono formare un quadrato 6 × 6
in modo tale che ogni grado e reggimento è rappresentato in ogni riga e
in ogni colonna (equivalentemente, in ogni riga e in ogni colonna non
compaiono mai due reggimenti uguali o due gradi uguali)?
Un quadrato del genere si chiama anche “quadrato greco-latino”, perché
i 36 elementi possono essere rappresentati da aα, aβ, … f ϵ, f φ.
Naturalmente lo stesso problema può essere posto per quadrati n × n, ed
Eulero riuscì a trovare soluzioni per ogni n tranne quelli per cui n ≡ 2
mod 4. Quindi congetturò che non possono esserci soluzioni se n ≡ 2 mod 4.
La congettura fu dimostrata (con qualche errore) da Tarry (1901) per
n = 6 (cioè Tarry mostrò che non esiste la soluzione al problema per n = 6),*
ma confutata per il caso in generale da Parker nel 1959, con un celebre
* G.
Tarry, “Le problème des 36 officiers,” C. R. Assoc. Fran. Av. Sci. Vol. 1(1900), p.
122–123, Vol. 2(1901), p. 170–203.
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142
#8.
SPAZI AFFINI
controesempio con n = 10 (indicato nella figura 8.1 a pagina 149);* nel
1960 fu dimostrato che anche negli altri casi la congettura è falsa, cioè
che anche per per ogni n > 6, n ≡ 2 mod 4 esistono quadrati greco-latini† In
pratica esistono per ogni n tranne n ∈ {2, 6}.
Un quadrato magico n × n è un quadrato in cui i primi n2 numeri compaiono
in modo tale che la somma delle cifre per colonne e per righe è costante.‡
Osserviamo che se si ha un quadrato greco-latino n × n, i cui elementi sono
(i, j ), con i, j = 0, . . . , n − 1, allora sostituendo al posto di (i, j ) il numero 1 + i + n j
di ottiene un quadrato magico. Infatti con questa sostituzione la somma dei
coefficienti di ogni riga (e quella di ogni colonna) è uguale a (perché?)
n−1
∑
i=0
(1 + i ) + n
n−1
∑
j=0
1
n
1
j = n + n ( n − 1 ) + n2 ( n − 1 ) = ( n2 + 1 ) .
2
2
2
Per costruire quadrati greco-latini, torniamo per un momento alla geometria affine.
(15.17) Nota. Le proprietà della Nota (14.13) possono essere prese come
assiomi per una struttura di geometria affine (finita). Più precisamente,
una struttura di incidenza è una coppia ( X, L), dove X è un insieme finito
(di punti), e L un insieme finito di rette, con la relazione di incidenza
x ∈ l, ∈ : X × L → {0, 1}. Se valgono anche gli assiomi
(i) Per ogni due punti distinti di X passa una unica retta.
(ii) Per ogni retta r e punto A ̸∈ r, esiste una unica retta per A che non
interseca r (detta parallela).
(iii) Esistono almeno 4 punti che non contengono terne di punti allineate.
allora X è un piano affine. Due rette di X si dicono parallele se non
si intersecano, oppure se sono uguali. Si tratta di una relazione di
equivalenza: basta dimostrare che è transitiva (dato che è simmetrica
e riflessiva). Siano a, b e c tre rette distinte (se due di tre rette
coincidono allora evidentemente vale la proprietà transitiva per questo
caso particolare), con a ∩ b = ∅ = b ∩ c. Se esistesse un punto P ∈ a ∩ c, allora
P ̸∈ b, e dunque esiste una unica retta b̂ parallela a b passante per P. Ma
* E.
T. Parker, “Construction of some sets of mutually orthogonal Latin squares,” Proc.
Amer. Math. Soc., Vol. 10(1959), p. 946–949. Si veda anche R. C. Bose and S.S. Shrikhande,
“On the construction of sets of mutually orthogonal Latin squares and the falsity of a
conjecture of Euler”, Trans. Amer. Math. Soc., 95 (1960) 191–209.
† R. C. Bose and S. S. Shrikhande, “On the falsity of Euler’s Conjecture about the
non-existence of two orthogonal latin squares of order 4t+2,” Proc. Nat. Acad. Sci. U.
S. A. Vol. 45(1959), p. 734–737. R.C. Bose, S.S. Shrikhande, and E.T. Parker, “Further
results on the construction of mutually orthogonal Latin squares and the falsity of Euler’s
conjecture”, Canad. J. Math., 12 (1960) 189–203.
‡ In genere si richiede anche che la somma delle cifre sulle due diagonali sia uguale
alla somma costante delle colonne e righe. Alcuni chiamano tali quadrati magici perfetti.
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§ 15.
143
SOTTOSPAZI AFFINI
sia a che c non intersecano b, e passano per P, dunque a = c, cioè non è
vero che le tre rette non sono distinte. Quindi P non esiste, cioè a è
parallela a c.
A proposito degli assiomi, in realtà si può prendere l’assioma
(iii)’ Esistono tre punti non collineari.
invece che il (iii). Occorre poi dimostrare che i due insiemi di assiomi
sono equivalenti…*
(15.18) Nota. Consideriamo una struttura di incidenza ( X, L) come sopra. Se
X ha h elementi x1 , x2 , …xh e L ha k elementi l1 , l2 , …, lk , allora ogni
relazione di incidenza X × L → {0, 1} può essere descritta come una matrice A
di tipo h × k in cui i coefficienti ai j sono 0 o 1: per i = 1 . . . h, e j = 1 . . . k si
pone
1 se xi ∈ l j ;
ai j =
0 se xi ̸∈ l j .
Nell’esercizio (8.25) vedremo come è possibile verificare gli assiomi di
piano affine finito su una matrice di incidenza. È possibile –teoricamente–
scrivere un algoritmo a “forza-bruta” che enumera tutte le possibili 2hk
matrici di incidenza di geometrie affini finite, scarta quelle che non
soddisfano gli assiomi, e genera quindi una lista di tutte le geometrie
finite (fino ad un certo numero di punti). Un approccio del genere è anche
praticabile?†
Osserviamo che se F ha n elementi, allora A2 (F) ha n2 punti, e le rette in
sono costituite da n punti (sono parametrizzate da F, nell’equazione
parametrica P = A + tv). Quante sono le rette per un punto? Prendiamo un
punto P e una retta r che non passa per P. Allora per ognuno degli n punti
di r c’è una (unica) retta che passa anche per P, e queste n rette sono
tutte distinte (perché?). Dato che per P c’è anche la parallela a r, in
tutto ci sono n + 1 rette per P. Perché non ce ne sono altre? Se s è una
retta per P non parallela a r, allora r ∩ s ̸= ∅, e dato che se s ha più di un
punto di intersezione con r allora s = r, l’intersezione è costituita da un
punto di r. Ma allora s è una delle n rette già contate sopra.
A2 ( F )
* È chiaro che (iii) =⇒ (iii)’. Viceversa, se ci sono tre punti non allineati A, B, C,
allora esistono le rette r parallela ad AB e passante per C e s parallela a BC e passante
per A. Se le rette r e s non si intersecano (cioè, sono parallele), dato che la relazione
di parallelismo è una relazione di equivalenza, allora BC (la retta per B e C) è parallela
a AB, e BC e AB si intersecano in B certamente, le due rette coincidono, cioè ABC
sono allineati (contro ipotesi). Quindi esiste D ∈ r ∩ s. I quattro punti A, B, C e D non
contengono terne di punti allineate. Osserviamo che AB e CD sono parallele e AD e CB sono
parallele. Se tre dei quattro punti fossero allineati allora le quattro rette AB, CD e AD
e CB sarebbero tutte tra loro parallele, e quindi coincidenti. Ma ABC non sono allineati
per ipotesi e questo è assurdo.
† Stimando molto per eccesso che un computer non può (e non potrà nei prossimi anni)
eseguire più di 1015 operazioni al secondo.
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144
#8.
SPAZI AFFINI
Ora contiamo quanti punti e quante rette ci sono in un piano affine
finito (non necessariamente un A2 (F)), definito a partire dalla struttura
di incidenza.
(15.19) Nota. Supponiamo che una retta di un piano affine X (definito a
partire però dagli assiomi della nota (14.13)…) abbia un numero finito
di punti, n (deve essere n ≥ 2 perché…). Il piano si dice di ordine n.
Dimostriamo che tutte le rette hanno n punti, che per ogni punto passano
n + 1 rette, e che in totale ci sono n2 punti e n2 + n rette.
Dim. Sia r la retta con n punti e sia P un punto non su r (che esiste per
il (iii ) della nota (14.13) a pagina 134). Sia x il numero di rette per
P. Delle x rette, una sola è parallela a r (per (ii )); le x − 1 rette hanno
intersezione con r e passano per P. Let intersezioni delle rette con r sono
necessariamente distinte, per cui x − 1 ≤ n. D’altro canto per ogni punto R
di r esiste una unica retta passante per R e per P (e queste rette sono
tutte distinte): quindi x − 1 ≥ n, cioè per ogni punto non sulla retta r
passano n + 1 rette distinte.
Ora, siano P e Q due punti distinti. Per (iii ), esiste sicuramente una
retta l che non contenga né P né Q (altrimenti, tutte le rette contengono
almeno P oppure Q: tutte le rette intersecano la retta per P e Q: non
ci possono essere punti al di fuori di questa retta (per l’assioma delle
parallele): tutti i punti sono allineati). Il numero di rette per P (e il
numero di rette per Q) è uno in più del numero di punti di l, e dunque il
numero di rette per P è uguale al numero di rette per Q.
Ora, se l è una seconda retta (e la retta r ha n punti), allora scegliamo
un punto P non su l e non su r (ancora, P deve esistere per (iii ), altrimenti
tutti i punti sono in l ∪ r, e non vale l’assioma delle parallele …). Segue
che r e l hanno lo stesso numero di punti, e per l’arbitrarietà di l la
tesi.
Ora, se x è il numero totale di punti e y il numero totale di rette,
abbiamo:
(15.20)
ny = (n + 1) x
(contando i punti al variare delle rette, alla fine ogni punto è stato
contato esattamente n + 1 volte). Ma possiamo contare anche le rette con le
coppie di punti distinti: per ognuna delle x ( x − 1)/2 coppie di punti distinti
c’è una retta, ed ogni retta è contata n(n − 1)/2 volte in questo modo. Dunque
(15.21)
x ( x − 1) = yn(n − 1).
Risolviamo le due equazioni (15.20) e (15.21) otteniamo subito x = n2 e
y = n2 + n.
⨳
Quindi le matrici (possibili) di incidenza per i piani di ordine n hanno
h = n2 righe e k = n2 + n colonne, e quindi sono
2 (n2 +n)
2n
.
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§ 15.
145
SOTTOSPAZI AFFINI
Il numero di secondi necessario (con un supercomputer ipotetico, capace di
3
1015 operazioni al secondo) è almeno 2n (n+1) 10−15 , cioè…
Torniamo ora ai quadrati greco-latini, che fondamentalmente sono unioni
di due quadrati latini distinti (e con la proprietà che tutte le n2 coppie
compaiono), dove per quadrato latino si intende la parte a lettere latine.
Più precisamente, un quadrato latino di ordine n è una matrice n × n i cui
coefficienti sono i numeri {1, 2, . . . , n} e in cui ogni riga e ogni colonna
contiene ogni numero esattamente una volta. Anche in questo caso si ha un
quadrato magico: le somme delle righe e delle colonne sono uguali a n(n + 1)/2,
oppure, se si somma k ∈ Z ad ogni coefficiente della matrice, n(n + 1)/2 + nk.
Non è difficile vedere che la tabella di moltiplicazione di un gruppo
G di ordine n è di fatto un quadrato latino: …(esercizio!).
Due quadrati latini ai, j e bi, j sono ortogonali se le coppie ordinate (ai, j , bi, j )
sono tutte distinte al variare di i, j. Quindi, i quadrati greco-latini non
sono altro che coppie di quadrati latini ortogonali.
(15.22) Esempio. Un piano affine di ordine n genera n − 1 quadrati latini
n × n nel modo seguente: fissiamo un punto O del piano e due rette x e y
distinte e passanti per O. Ci sono n + 1 − 2 = n − 1 altre rette per O distinte,
n rette parallele a x e n rette parallele a y. Chiamiamo
x1 , . . . , xn
le rette parallele a x e
y1 , . . . , yn
le rette parallele a y. Sia z una delle n − 1 rette per O diverse da x e y, e
z = z1 , . . . , zn
le rette parallele a z. Per ogni i, j le due rette xi e y j non sono parallele,
e quindi si intersecano in un unico punto xi ∩ y j . Questo punto è contenuto
in una sola retta parallela a z, cioè esiste k ∈ {1, . . . , n} tale che xi ∩ y j ∈ zk .
Fissato z, quindi, sia A la matrice n × n con coefficienti ai, j determinati da
ai, j = k ⇐⇒ xi ∩ y j ∈ zk .
(15.23) La matrice ai, j è un quadrato latino.
Dim. Gli elementi della prima riga sono
a1, j = k ⇐⇒ x1 ∩ y j ∈ zk .
Fissato k, cioè zk , se x1 ∩ y j ∈ zk e x1 ∩ yl ∈ zk con j ̸= l, allora in zk ci sono
due punti distinti (perché appartengono alle due rette y j e yl parallele
distinte) che appartengono anche a x1 , cioè x1 = zk , e questo è assurdo perché
x1 è parallela a x, zk è parallela a z e x non è parallela a z. Lo stesso
per le altre righe e per le colonne.
⨳
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146
#8.
SPAZI AFFINI
Quindi al variare di z nell’insieme delle n − 1 rette per O non parallele
a x o a y otteniamo n − 1 quadrati latini (esercizio (8.23)). Non solo sono
quadrati latini distinti: sono a due a due ortogonali!
(15.24) Se z e w sono due rette distinte per O non parallele a x e a y,
e ai, j e bi, j i quadrati latini generati come sopra, allora ai, j e bi, j sono
ortogonali.
Dim. Occorre mostrare che per ogni coppia (h, k ), con h, k ∈ 1, . . . , n esiste una
unica coppia di indici (i, j ) tale che
ai, j = h
bi, j = k.
Questo è equivalente a chiedere che per ogni retta zh parallela a z e per
ogni retta wk parallela a w esiste unica la coppia di rette xi e y j tali che
xi ∩ y j ∈ zh
xi ∩ y j ∈ wk .
Ma zh e wk non sono parallele e quindi si intersecano in un unico punto.
Esiste una unica xi che passa per questo punto, ed esiste una unica y j che
passa per questo punto (sono fasci di rette parallele!). Quindi xi ∩ y j ∈ zh ∩ wk
come volevasi dimostrare.
⨳
Quindi per ogni piano affine finito di ordine n ≥ 3 è possibile trovare
quadrati greco-latini. Ma per quali n ci sono piani affini finiti? Certamente se n è l’ordine di un campo finito (per esempio, se n è primo* ),
altrimenti non è una domanda facile. Possiamo stabilire che non ci sono
piani affini finiti di ordine 6 (altrimenti ci sarebbe una soluzione per il
problema dei 36 ufficiali di Eulero). È un esercizio molto semplice quello
di usare la costruzione indicata sopra per costruire quadrati latini e
greco-latini (e quindi quadrati magici) rispetto al campo finito Z p , p
primo. Basta prendere le due rette del sistema di riferimento standard di
A2 (K), con K = Z p con p primo, e considerare i fasci di rette di equazioni
y = x + q e y = kx + q, con k, q ∈ K. Allora i due quadrati hanno coefficienti
axy = y − x
mod p,
bxy = y − kx
mod p
con x, y ∈ 0 . . . p − 1, e il quadrato magico corrispondente ha coefficienti
mxy = (y − kx
mod p) + p(y − x
mod p).
Per esempio, per p = 5 e k = 2 si ottiene
*I
campi finiti hanno ordine n = pk per p primo e k intero. La Prime Power Conjecture
congettura che ci sia un piano affine di ordine n se e soltanto se n è la potenza di un
primo.
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§ 15.
147
SOTTOSPAZI AFFINI
0
6
12
18
24 |
23
4
5
11
17 |
16
22
3
9
10 |
14
15
21
2
8 |
7
13
19
20
1 |
------------------------60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
Mentre per p = 11 e k = 2 :
0
12
24
36
48
60
72
84
96 108 120 |
119
10
11
23
35
47
59
71
83
95 107 |
106 118
9
21
22
34
46
58
70
82
94 |
93 105 117
8
20
32
33
45
57
69
81 |
80
92 104 116
7
19
31
43
44
56
68 |
67
79
91 103 115
6
18
30
42
54
55 |
65
66
78
90 102 114
5
17
29
41
53 |
52
64
76
77
89 101 113
4
16
28
40 |
39
51
63
75
87
88 100 112
3
15
27 |
26
38
50
62
74
86
98
99 111
2
14 |
13
25
37
49
61
73
85
97 109 110
1 |
------------------------------------------------------660 660 660 660 660 660 660 660 660 660 660
660
660
660
660
660
660
660
660
660
660
660
Per avere quadrati magici “perfetti” (cioè tali che anche sulle due
diagonali la somma sia la costante magica), occorre cambiare leggermente
le formule:
mxy = (y − kx + q1 mod p) + p(y − x + q2 mod p)
con q1 e q2 costanti appropriate.
Per p = 5 e k = 2 si ottiene il quadrato magico perfetto:
12
18
24
0
6 |
5
11
17
23
4 |
3
9
10
16
22 |
21
2
8
14
15 |
19
20
1
7
13 |
------------------------60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
Mentre per p = 11 e k = 2 :
60
47
34
32
19
6
72
59
46
33
31
18
84
71
58
45
43
30
96
83
70
57
44
42
108
95
82
69
56
54
120
107
94
81
68
55
0
119
106
93
80
67
12
10
118
105
92
79
24
11
9
117
104
91
36
23
21
8
116
103
48
35
22
20
7
115
|
|
|
|
|
|
660
660
660
660
660
660
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148
#8.
114
5
17
29
41
53
65
66
78
90 102 |
101 113
4
16
28
40
52
64
76
77
89 |
88 100 112
3
15
27
39
51
63
75
87 |
86
98
99 111
2
14
26
38
50
62
74 |
73
85
97 109 110
1
13
25
37
49
61 |
------------------------------------------------------660 660 660 660 660 660 660 660 660 660 660
SPAZI AFFINI
660
660
660
660
660
Un programma (in python) che potrebbe fare questi conti è il seguente:
import os
import sys
N=11
def quad(N,k):
M=[[0 for x in range(N)] for y in range(N)]
for x in range(N):
output=""
for y in range(N):
M[x][y] = ((y-k*x + (N-1)/2) % N ) +N* ( (y-x +(N-1)/2) % N )
output += (" %3i " % M[x][y] )
output +=("| %3i " % sum(M[x][:]))
print output
print "\n" + "-" * N*5
output=""
for y in range(N):
output += (" %3i " % sum(M[:][y]) )
print output
print "diagonali:" , sum([M[x][x] for x in range(N)]), sum([M[x][N-1-x] for x in range(N)])
print
for k in range(2,N-1):
print "*"*60
print "N=", N, "k=", k
quad(N,k)
Se n = pk con k > 1, la faccenda si complica, però... occorre un linguaggio
di programmazione che sia in grado di fare i conti con gruppi finiti, e
non solo con Z p .
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§ 15.
149
SOTTOSPAZI AFFINI
Figura 8.1: Raffigurazione del controesempio alla congettura di Eulero per
n = 10. È alla base della struttura del romanzo La Vie – mode d’emploi
(1978) di Georges Perec (1936 - 1982), e di alcuni quadri/decorazioni. Un
altro problema matematico, trattato da Eulero, alla base della struttura
del romanzo è il problema del percorso del cavallo, per una scacchiera
10 × 10.
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150
#8.
SPAZI AFFINI
ESERCIZI
(8.1) Dimostrare la proposizione (14.5): supponiamo di avere un insieme
→
−
→
−
non vuoto X e uno spazio vettoriale X , insieme con una funzione X × X → X ,
−−→
indicata da ( A, B) 7→ AB che soddisfa i due assiomi:
→
−
(i) ∀A ∈ X, ∀v ∈ X , ∃ unico
−−→
B ∈ X : AB = v.
−−→ −−→ −−→
(ii) ∀A, B, C ∈ X, AB + BC = AC
Allora X è spazio affine rispetto all’azione
→
−
(v, A) ∈ X × X 7→ A + v,
−−→
dove si definisce A + v l’unico punto B ∈ X tale che AB = v.
(8.2) Dimostrare il lemma (14.9) a pagina 132.
(8.3) Dimostrare che due rette distinte di uno spazio affine si intersecano
in al più un punto. Dedurre che per due punti distinti passa una unica
retta.
(8.4) Dimostrare che se A e r sono un punto e una retta di uno spazio affine
X, con A ̸∈ r, allora esiste un unico piano di X che contiene sia A che r.
*(8.5) Sia l una retta del piano affine A2 (R). Dimostrare che l non può
incontrare tutti i lati di un triangolo.*
(8.6) Dimostrare che il segmento che unisce i punti medi di due lati di un
triangolo è parallelo al terzo lato.
(8.7) Dimostrare che, se V è uno spazio vettoriale e v ∈ V , V = v + V = {v + w, w ∈
V }.
(8.8) Dimostrare che se S ⊂ An (K ) è un sottospazio affine e v ∈ K n è un
vettore non nullo, allora S è parallelo al suo traslato v + S (S ∥ (v + S )).
Determinare per quali v ∈ K n si ha che S ∩ (v + S ) = ∅.
* Legato
a questo problema c’è l’assioma di Pasch, che dice che nel piano euclideo se una
retta non passa per nessuno dei vertici, e interseca un lato di un triangolo (internamente),
allora interseca uno e un solo altro lato (internamente), e interseca l’altro lato in un
punto esterno (oppure è parallela all’altro lato). Pasch ha mostrato (1882) che questa
proprietà non segue dagli assiomi di Euclide (che peraltro considerava vera l’affermazione,
senza derivarla da assiomi, né esplicitamente aggiungendola come postulato).
Questa proprietà è stata considerata un assioma (assioma di ordine nel piano) da Hilbert,
nei suoi Fondamenti di Geometria: se A, B e C sono tre punti non allineati, e se r è una
retta che non passa per nessuno dei tre punti che passa per il segmento AB, allora passa
per un punto del segmento AC oppure per un punto del segmento BC.
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151
Esercizi
x 0 1
(8.9) Si consideri la retta r in A3 (R) di equazioni parametriche y = 1 + t 2 .
z
2
3
1
Scrivere l’equazione della parallela s a r passante per 1.
1
(8.10) Determinare il piano/i piani (le equazioni di) che contengono le
due rette r e s dell’esercizio (8.9).
(8.11) Scrivere l’equazione della retta per i due punti A, B ∈ A4 (R)
A =
√
1
2
√
−1
√
, B = − 2 .
1
√2
− 2
−1
(8.12) Scrivere l’equazione della retta per i due punti A, B ∈ A4 (C)
1
i
−1
−i
A = , B = .
1
i
−i
−1
(8.13) Dimostrare che due rette non parallele nel piano affine si intersecano esattamente in un punto.
−−→ −−→
(8.14) Dimostrare che il rapporto AC : AB di tre punti ABC allineati in uno
spazio affine An (K) su campo K esiste ed è unico in K. Cosa succede se si
−−→ −−→
permutano i tre punti? Se AC : AB = ρ, esprimere in funzione di ρ i rapporti
−−→ −−→
BC : BA = . . .
−−→ −−→
AB : AC = . . .
−−→ −−→
C A : CB = . . .
−−→ −−→
BA : BC = . . .
−−→ −−→
C A : CB = . . .
*(8.15) (Teorema di Talete) Siano l1 , l2 e l3 rette parallele e distinte del
piano affine A2 (R), e r1 , r2 rette non parallele a l1 , l2 , l3 . Per l’esercizio
precedente (8.13), le intersezioni li ∩ r j per i = 1, 2, 3 e j = 1, 2 sono sei singoli
punti, che chiamiamo Pi, j . Dimostrare che esiste ρ ∈ R tale che
−−−−−−→
−−−−−−→
P1,1 P3,1 = ρP1,1 P2,1
−−−−−→
−−−−−−→
−
P1,2 P3,2 = ρP1,2 P2,2 .
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152
#8.
(8.16) Determinare quali delle
allineate:
1 2 3
2, 3, 1 ;
3
1
2
SPAZI AFFINI
seguenti terne di punti di A3 (R) sono
2
4,
6
4
6,
2
3 1
5 ; 0,
4
0
1
1,
0
2
1 .
1
(8.17) Considerare le tre terne di punti dell’esercizio precedente. Siano
S1 , S2 e S3 i sottospazi affini di A3 (R) generati da esse. Determinare quali
tra S1 , S2 e S3 sono parallele, sghembe o incidenti.
(8.18) Un piano e una retta in A3 (R) possono essere sghembi?
[ ] [ ] [ ]
1
2
0
(8.19) Si considerino i tre punti
,
,
di A2 (R). Se costituiscono
1
2
2
un riferimento affine, scrivere esplicitamente il cambio di coordinate: un
punto di coordinate (generiche) x, y si scriverà come …
(8.20) Determinare l’equazione del piano di A4 (R) passante per i tre punti
1 0 0
0 1 0
, , .
0 0 1
1
2
3
1 0 0 1/3
0 1 0 1/3
(8.21) Determinare se i quattro punti di A4 (R) , , , costituiscono
0 0 1 1/3
1
2
3
2
un riferimento affine per un opportuno sottospazio tridimensionale di A4 (R).
Se sì, scrivere le equazioni del piano dell’esercizio precedente (8.20) in
queste coordinate.
*(8.22) Rappresentare in un grafo la struttura di piano affine per A2 (GF (3)),
dove GF (3) = F3 (9 punti e 12 rette).
*(8.23) Dimostrare che le matrici generate da un piano affine come nell’esempio (15.22) di pagina 145 sono quadrati latini.
(8.24) Dimostrare che tre punti A = (a1 , a2 ), B = (b1 , b2 ) e C = (c1 , c2 ) di A2 (K )
sono allineati se e solo se il determinante
a1 b1 c1
det a2 b2 c2 = 0.
1 1 1
(8.25) Sia ( X, L) la struttura di incidenza (cfr. nota (15.17) a pagina 142)
di un piano affine finito di ordine n e A la sua matrice di incidenza
associata (cfr. nota (15.18) a pagina 143).
(i) Mostrare che A è una matrice n2 × (n2 + n) (cfr. nota (15.19) a pagina 144).
Dedurre una stima degli n per cui è teoricamente possibile enumerare
le geometrie finite a partire dall’elenco delle matrici A.
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153
Esercizi
(ii) Mostrare che se a e b sono le colonne j-esima e j¯-esima di A, allora
2
il prodotto scalare standard a · b (in Rn ) è uguale a
n se j = j¯;
a·b =
1 se l j e l j¯ non sono parallele
0 se l j e l j¯ sono parallele e distinte.
(iii) Mostrare che se a e b sono le righe i-esima e i¯-esima di A, allora il
2
prodotto scalare standard a · b (in Rn +n ) è uguale a
n + 1 se i = i¯;
a·b =
1
se i ̸= i¯.
(iv) Dedurre che (At indica la matrice trasposta di A, Jq indica la matrice
q × q che ha tutti 1 per coefficienti, Iq la matrice identica q × q) se
Pn2 +n indica la matrice che rappresenta la relazione di parallelismo in
L = {l1 , . . . , ln2 +n }, allora si ha
At A = nIn2 +n + Jn2 +n − Pn2 +n
AAt = nIn2 + Jn2 .
(v) Esplicitare l’assioma delle parallele in funzione dei coefficienti di
A.
(8.26) Sia X l’insieme di tutte le terne ( x0 , x1 , x2 ) ∈ Q3 tali che x0 + x1 + x2 = 1,
→
−
e X ⊂ Q3 lo spazio vettoriale a coefficienti in Q costituito dai (v0 , v1 , v2 ) ∈ Q2
tali che v0 + v1 + v2 = 0.
(i) Mostrare che X è un piano affine con coefficienti in Q.
(ii) Siano (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) i tre punti del piano X. Dimostrare che
non sono allineati.
(iii) Mostrare che i punti medi dei lati del triangolo ∆ con vertici (1, 0, 0),
(0, 1, 0) e (0, 0, 1) sono ( 21 , 21 , 0) ( 21 , 0, 21 ) e (0, 21 , 21 ).
(iv) Dimostrare che il baricentro del triangolo ∆ è ( 13 , 13 , 31 ).
(v) Dimostrare che l’area del triangolo ABC, con A = (a0 , a1 , a2 ), B = (b0 , b1 , b2 )
e C = (c0 , c1 , c2 ), è uguale (a meno di segno) a
a0 b0 c0
Area ( ABC ) = det a1 b1 c1 Area (∆).
a2 b2 c2
(come si definisce l’area in un piano affine? Si veda poi in § 19.1)
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154
#8.
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
SPAZI AFFINI
Settimana N° 9
TRASFORMAZIONI AFFINI, INCIDENZA E
PARALLELISMO
§ 16.
MAPPE AFFINI
(Cfr.)*
(16.1) Definizione. Siano X e Y due spazi affini sullo stesso campo K.
Una funzione f : X → Y si dice affine (anche, mappa affine o trasformatione
affine) se per ogni x ∈ X la funzione indotta sugli spazi vettoriali
→
−
→
−
sottostanti X → Y definita da
→
−
→
−
v ∈ X 7→ f ( x + v) − f ( x ) ∈ Y
è lineare.
(16.2) Esempio. Se X = Y = K = R, allora le mappe affini sono le mappe che
si possono scrivere come x 7→ ax + b.
(16.3) Esempio. Se f : X → Y è una mappa costante, allora è affine. L’identità
è anche una mappa affine.
(16.4) Esempio. Tutte le traslazioni x 7→ x + v sono mappe affini.
(16.5) Una funzione f : X → Y tra spazi affini su campo K è una mappa affine
se esiste x0 ∈ X per cui la funzione
→
−
→
−
L x0 : v ∈ X 7→ f ( x0 + v) − f ( x0 ) ∈ Y
è lineare. In questo caso la funzione L x non dipende da x e si indica con
→
−
f.
* Cfr:
Nacinovich, Cap V, §3 [2].
155
156
#9.
TRASFORMAZIONI AFFINI, INCIDENZA E PARALLELISMO
Dim. Dobbiamo dimostrare che per ogni x ∈ X la funzione indotta v 7→ f ( x + v) −
→
−
→
−
f ( x ) è lineare X → Y . Sia dunque x ∈ X arbitrario. Supponiamo che esista x0
→
−
→
−
come nell’enunciato, e quindi sia L : X → Y la funzione lineare (omomorfismo
di spazi vettoriali) definita da
L( v) = v 7→ f ( x0 + v) − f ( x0 ).
→
−
Dal momento che per ogni v ∈ X
(
)
(
−−→)
f ( x + v) − f ( x ) = f x 0 + −
x−→
0 x + v − f x0 + x0 x ,
si ha
(
)
f ( x + v) − f ( x ) = f x 0 + −
x−→
0 x + v − f ( x0 )
( (
)
)
− f x0 + −
x−→
0 x − f ( x0 )
= L (−
x−→x + v) − L(−
x−→x )
0
0
−−→
= L (−
x−→
0 x ) + L ( v) − L ( x 0 x )
= L ( v)
che è quindi lineare in v.
⨳
(16.6) Definizione. Una mappa affine f : X → Y tra spazi affini su campo
K si dice isomorfismo affine se è una mappa affine biunivica. Se X = Y ,
allora si dice automorfismo affine o anche affinità.
(16.7) Se f : X → Y è biunivoca, allora deve essere biunivoca anche l’applica→
− →
→
−
−
→
−
zione lineare associata f : X → Y . Ma allora f è invertibile, e quindi anche
l’inversa f −1 : Y → X è una mappa affine (esercizio!). Dato che l’identità è
una affinità, la composizione di affinità è una affinità, e l’inversa di
affinità è una affinità, allora l’insieme di tutte le affinità costituisce
un gruppo rispetto alla composizione.
(16.8) Definizione. Il gruppo di tutte le affinità su uno spazio affine X
(con campo K sottostante) si indica con GA( X ).
(16.9) Teorema. Sia X uno spazio affine su campo K di dimensione n. La
scelta di un riferimento affine induce un isomorfismo di spazi affini
X∼
= An (K ). Quindi due spazi affini su campo K con la stessa dimensione sono
sempre tra loro isomorfi.
Dim. Se x0 , x1 , …xn è un riferimento affine per X, allora si può definire
la mappa f : An (K ) → X definita da
(λ1 , . . . , λn ) 7→ x0 +
n
∑
λi −
x−0−→
xi ∈ X.
i=1
Non è difficile verificare che f è una mappa affine. Dato che i punti x0 ,
…, xn costituiscono un riferimento affine, la giacitura
⟨−
x−0−→
x1 , . . . , −
x−0−→
xn ⟩
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§ 16.
157
MAPPE AFFINI
ha dimensione n, e quindi la funzione lineare indotta f (0 + v) − f (0) è un
isomorfismo di spazi vettoriali. Da cui segue che f è bijettiva.
⨳
(16.10) Teorema. Ogni mappa affine f : Ad (K ) → An (K ) (nel sistema di riferimento affine standard) si scrivere in modo unico come
f ( x ) = Ax + b = A( x − 0) + (b − 0),
dove A è una matrice n × d e b un vettore di K n .
Dim. Basta considerare il punto z = (0, . . . , 0) ∈ Ad (K ). Per definizione la mappa
f (z + v) − f (z ) è lineare, e dunque esiste A: K d → K n (rappresentata come matrice
nella base standard) tale che f (z + v) − f (z ) = Av. Ponendo f (z ) = b − 0 si ha
f (z + v) = Av + b,
cioè f ( x ) = Ax + b in coordinate di K d .
⨳
(16.11) Corollario. Sia X uno spazio affine di dimensione n e Y uno spazio
affine di dimensione d. Se p0 , p1 , . . . , pn sono un riferimento affine per X,
allora per ogni scelta di n + 1 punti q0 , q1 , . . . , qn in Y esiste una unica mappa
affine f : X → Y tale che f ( pi ) = qi per ogni i = 0, . . . , n.
Dim. Sia X ∼
= An (K ) l’isomorfismo indotto dalla scelta del riferimento affine.
Il riferimento corrispondente nello spazio affine An (K ) è 0, e1 , . . . , en , dove
gli ei sono i versori canonici di K n . Scelto un qualsiasi riferimento affine
per Y , l’applicazione affine cercata si può scrivere come f ( x ) = Ax + b, dove
A è la matrice che ha per colonne le coordinate dei vettori q1 − q0 , …,
qn − q0 , mentre il termine noto b è il vettore colonna delle coordinate di
q0 . Infatti, se Ai, j indicano le componenti di A e bi le componenti di b, si
ha (nelle coordinate scelte) per ogni i = 1 . . . n
A1,i + b1
A + b
2
2,i
f ( pi ) = Aei + b = .
.
.
Ad,i + bd
e f ( p0 ) = b. Questo determina i coefficienti Ai, j in modo unico, come indicato
sopra.
⨳
(16.12) Teorema (Equazioni cartesiane). Sia S ⊂ X = An (K ) un sottospazio
affine di dimensione d. Allora esiste una mappa affine e suriettiva f : X →
An−d (K ) per cui
S = {x ∈ X : f ( x ) = 0}.
Viceversa, per ogni mappa affine suriettiva f : X → An−d (K ) l’insieme {x ∈ X :
f ( x ) = 0} è un sottospazio affine di X di dimensione d.
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158
#9.
TRASFORMAZIONI AFFINI, INCIDENZA E PARALLELISMO
Dim. Sia W la giacitura di S e P un punto di S, in modo tale che
S = P + W.
→
−
È sempre possibile trovare un comple(ta)mento W ′ di W in X , cioè un
→
−
sottospazio vettoriale W ′ di X tale che
→
−
X = W ⊕ W ′.
Se dim (W ) = d, allora dim (W ′ ) = n − d. Per ogni x ∈ X il vettore x − P si scrive
in modo unico come
x − P = w + w′
→
−
con w ∈ W e w′ ∈ W ′ , ed è possibile definire la proiezione (lineare) L : X → W ′
tale che L(w + w′ ) = w′ . Il nucleo di L è ker L = W . Scelta una base per W ′ , è dato
un isomorfismo W ′ ∼
= K n−d . Si consideri quindi (mediante l’identificazione
n−d
naturale tra A (K ) e K n−d ) la funzione f : X → An−d (K ) definita da
f ( x ) = 0 + L( x − P ) ∈ An−d (K )
(dove 0 appartiene a K n−d ). È facile vedere che è una mappa affine e che
f ( x ) = 0 ⇐⇒ x − P ∈ W
⇐⇒ x ∈ P + W
⇐⇒ x ∈ S,
e dunque S = {x ∈ X : f ( x ) = 0}.
Viceversa, sia f : X → An−d (K ) una mappa affine e suriettiva. Sia S = {x ∈ X :
→
−
f ( x ) = 0} e x0 ∈ S. L’applicazione L : X = K n → K n−d definita da Lv = f ( x0 + v) − f ( x0 )
è lineare e suriettiva, ha quindi un nucleo W ⊂ K n di dimensione n − (n − d ) = d.
Dal momento che x0 ∈ S, per definizione f ( x0 ) = 0, e quindi un elemento x0 + v
appartiene a S se e solo se
f ( x0 + v) = 0 ⇐⇒ Lv = 0 ⇐⇒ v ∈ W ,
e quindi S = x0 + W , dove W ha dimensione d.
⨳
(16.13) Esempio. In dimensione 2 e 3, si ritrovano le equazioni cartesiane
delle rette in A2 (R) (ax + by + c = 0 ), dei piani in A3 (R) (ax + by + cz + d = 0) e
delle rette in A3 (R) (viste come zeri di una funzione A3 (R) → A2 (R).
ax + by + cz + d = 0
a′ x + b′ y + c′ z + d ′ = 0
(16.14) Proposizione. Se f : X → Y è una mappa affine, allora l’immagine di
una retta è una retta (o un punto). Più in generale, l’immagine di un
sottospazio affine di X è un sottospazio affine di Y e la controimmagine
di un sottospazio affine di Y è un sottospazio affine di X.
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§ 16.
159
MAPPE AFFINI
→
−
Dim. Sia S ⊂ X un sottospazio affine con giacitura S e passante per p ∈ X:
→
− →
→
−
→
−
−
→
−
S = p + S . Allora, se f : X → Y denota l’omomorfismo indotto da f ( f (v) =
f ( x0 + v) − f ( x0 )), si ha
→
−
f (S ) = { f ( p + s) : s ∈ S }
→
−
= { f ( p + s ) − f ( p) + f ( p) : s ∈ S }
→
−
→
−
= { f ( s ) + f ( p) : s ∈ S }
→
− →
−
→
−
= { f ( p) + w : w ∈ f ( S ) ⊂ Y }.
→
−
→
− →
−
→
−
Dal momento che f è lineare, l’immagine f ( S ) ⊂ Y è un sottospazio vettoriale,
da cui segue la tesi. In modo analogo si dimostra la seconda parte (vedi
⨳
esercizio (9.20)).
(16.15) Proposizione. Sia f : X → Y una mappa affine. Allora f manda terne
di punti allineati in terne di punti allineati. Non solo: se A, B, C ∈ X hanno
−−→ −−→
rapporto ρ = AC : AB , allora se A′ = f ( A), B′ = f ( B) e C ′ = f (C ) si ha
−−′−→′ −−′−→′
A C : A B = ρ,
cioè f conserva il rapporto tra terne di punti affini.
Dim. Con una scelta di riferimenti affini, sia f : An (K ) → Am (K ) definita da
f ( x) = F x + b, con F matrice e b vettore. Dato che
C = A + ρ( B − A),
si ha
C ′ = F ( A + ρ( B − A)) + b
= F A + b + ρ( FB − F A)
= ( F A + b) + ρ( FB + b − F A − b)
= A′ + ρ( B′ − A′ ),
cioè C ′ − A′ = ρ( B′ − A′ ).
⨳
La seguente proposizione dà la proposizione inversa dalla proposizione
(16.15).
(16.16) Proposizione. Se f : X → Y è una bijezione tra due spazi affini su
campo K (di caratteristica ̸= 2* ) che conserva il rapporto di terne di punti
allineati, cioè tale che per ogni A, B, C ∈ X allineati si ha che A′ , B′ , C ′ sono
allineati e
−−′−→′ −−′−→′ −−→ −−→
A C : A B = AC : AB
con f ( A) = A′ , f ( B) = B′ e f (C ) = C ′ , allora f è una mappa affine.
* Serve
davvero questa ipotesi?
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160
#9.
TRASFORMAZIONI AFFINI, INCIDENZA E PARALLELISMO
Dim. La funzione f manda rette in rette (per definizione). Sia O ∈ X un
punto qualsiasi, fissato, cui corrisponde la funzione
→
−
f ( v) = f ( O + v) − f ( O )
→
−
→
−
con v ∈ X . Dobbiamo dimostrare che f è una funzione lineare, cioè un
→
−
→
−
omomomorfismo di spazi vettoriali X → Y (cioè che è additiva e omogenea
→
−
di grado 1). Siano α ∈ K uno scalare e v ∈ X un vettore arbitrari. Allora O,
O + v e O + αv sono allineati, e il rapporto è
(O + αv − O) : (O + v − O) = α,
quindi deve essere
( f (O + αv) − f (O)) : ( f (O + v) − f (O)) = α,
cioè
f (O + αv) = f (O) + α ( f (O + v) − f (O),
da cui segue che
→
−
→
−
f (αv) = f (O + αv) − f (O) = α ( f (O + v) − f (O)) = α f ( v).
→
−
Se v, w ∈ X sono due vettori qualsiasi, allora O + 2v, O + v + w e O + 2w sono
tre punti allineati di X, con rapporto 2:
((O + 2w) − (O + 2v)) : ((O + v + w) − (O + 2v)) = 2
⇐⇒ O + 2w = (O + 2v) + 2((O + v + w) − (O + 2v)).
Lo stesso rapporto devono avere le loro immagini:
f (O + 2w) − f (O + 2v) = 2 ( f (O + v + w) − f (O + 2v)) ,
⇐⇒ f (O + 2w) − f (O) − ( f (O + 2v) − f (O))
= 2 ( f (O + v + w) − f (O) − ( f (O + 2v) − f (O))) ,
→
−
→
−
→
−
→
−
⇐⇒ f (2w) − f (2v) = 2 f ( v + w) − 2 f (2v)
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
⇐⇒ 2 f ( v + w) = f (2v) + f (2w) = 2 f ( v) + 2 f ( w)
→
−
→
−
→
−
⇐⇒ f ( v + w) = f ( v) + f ( w),
→
−
cioè f è lineare, e quindi f è una mappa affine.
⨳
(16.17) Teorema (Teorema fondamentale della geometria affine). Sia d ≥ 2.
Se f : Ad (R) → Ad (R) è una bijezione che manda terne di punti allineati in
terne di punti allineati, allora f è una affinità.
Dim. Si veda l’esercizio (9.26).
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⨳
§ 17.
161
INCIDENZA E PARALLELISMO
(16.18) Nota. Cosa succede in Ad (K) con K ̸= R? Le cose si complicano, perché
la dimostrazione (per passi) data nell’esercizio (9.26) non regge. L’idea
della dimostrazione per K = R è infatti di costruire una funzione φ : K → K
(che viene chiamata automorfismo del campo), e mostrare che è l’identità.
Potrebbe capitare che un campo abbia automorfismi non banali (come z 7→ z
in C), per cui non solo la dimostrazione non regge, ma l’enunciato del
teorema è falso. Consideriamo infatti K = C, e f : A2 (K ) → A2 (K ) definita
ponendo
f ( x, y) = ( x, y).
Tre punti A = (a1 , a2 ), B = (b1 , b2 ), C = (c1 , c2 ) sono allineati se e soltanto se
]
[
b1 − a1 c2 − a1
det
= 0,
b2 − a2 c2 − a2
e quindi f manda terne di punti allineati in terne di punti allineati. Ma
non è un’affinità: l’applicazione L : C2 → C2 definita da f ( x0 + v) − f ( x0 ), cioè
L ( v1 , v2 ) = ( v 1 , v 2 )
non è C-lineare: per esempio
L(i, 0) = (−i, 0) ̸= (i, 0) = iL(1, 0) = L(i, 0).
§ 17.
INCIDENZA E PARALLELISMO
(Cfr.)*
(17.1) Definizione. Due sottospazi affini S, T ⊂ X di uno spazio affine X
→
− →
−
→
− →
−
sono paralleli se S ⊂ T (o T ⊂ S ?) , e si indica con S ∥ T . † I due sottospazi
S e T si dicono incidenti se S ∩ T ̸= ∅‡ .
(17.2) Proposizione. Se S ⊂ X e T ⊂ X sono due sottospazi affini paralleli
e S ∩ T ̸= ∅, allora S ⊂ T oppure T ⊂ S.
Dim. Sia P ∈ S ∩ T . A meno di scambiare S con T , possiamo supporre dim (S ) ≤ dim (T )
e quindi V ⊂ W se V e W sono le giaciture di S e T rispettivamente. Per
ogni x ∈ S si ha x − P ∈ V , e quindi x − P ∈ W , da cui x ∈ T . Cioè S ⊂ T .
⨳
* Cfr:
Nacinovich, Cap V, §6 [2].
→
− →
−
→
− →
−
definiscono sottospazi paralleli i sottospazi per cui S = T , mentre se S ⊂ T
allora S e T sono paralleli in senso lato.
‡ Forse sarebbe meglio, seguendo la tradizione italiana, definire incidenti due rette che
si incontrano in un solo punto, due piani dello spazio che si incontrano in una retta, una
retta e un piano nello spazio che si incontrano in un punto, etc. etc. Nella tradizione
anglosassone questi vengono chiamati concorrenti (invece che incidenti). C’è il problema
dell’uniformità: due piani nello spazio A3 (R) che si incontrano in una retta sarebbero
incidenti, ma lo sarebbero se immersi in A4 (R), per esempio aggiungendo una coordinata
nulla?
† Alcuni
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162
#9.
TRASFORMAZIONI AFFINI, INCIDENZA E PARALLELISMO
(17.3) Corollario. Se S ⊂ X e T ⊂ X sono due sottospazi affini paralleli,
dim (S ) = dim (T ), e S ∩ T ̸= ∅ allora S = T .
Dim. Nella notazione della dimostrazione precedente, risulta V = W , e
quindi S = T .
⨳
(17.4) Corollario. Se S ⊂ X è un sottospazio affine e x ∈ X è un punto di
X, allora esiste un unico sottospazio affine T ⊂ X di dimensione dim (S ) che
contiene x e parallelo a S.
Dim. Due sottospazi T ′ e T con la stessa dimensione, contenenti x e paralleli
a S, in particolare sono paralleli tra loro e con intersezione non vuota
⨳
(x ∈ T ∩ T ′ ), per cui si può usare il corollario (17.3).
(17.5) Nota. Nel caso in cui X = A2 (R), ritroviamo la proposizione (14.12)
(quinto postulato di Euclide – “assioma delle parallele”).
(17.6) Definizione. Due sottospazi affini S, T ⊂ X si dicono sghembi se non
hanno punti in comune e non sono paralleli.
(17.7) Proposizione. Siano S, T ⊂ X sottospazi affini di X. Se l’intersezione
S ∩ T non è vuota, allora è un sottospazio affine di X, la cui dimensione
soddisfa la disuguaglianza
dim (S ) + dim (T ) ≤ dim ( X ) + dim (S ∩ T )
→
− →
−
→
−
Vale l’uguaglianza nella disequazione se e solo se dim ( S + T ) = dim ( X ).
Dim. Sia x0 ∈ S ∩ T . Allora risulta
→
−
S = x0 + S
→
−
T = x0 + T
da cui si deduce che
→
− →
−
S ∩ T = x0 + S ∩ T ,
−−−−→ →
− →
−
e quindi S ∩ T è un sottospazio affine con giacitura S ∩ T = S ∩ T . Ora, la
formula di Grassmann (dimensioni di sottospazi vettoriali di uno spazio di
dimensione finita) dà
(17.8)
da cui si deduce
→
−
→
−
→
− →
−
→
− →
−
dim ( S ) + dim ( T ) = dim ( S + T ) + dim ( S ∩ T ),
→
− →
−
dim (S ) + dim (T ) = dim ( S + T ) + dim (S ∩ T )
≤ dim ( X ) + dim (S ∩ T ),
→
− →
−
→
−
dato che dim ( S + T ) ≤ dim ( X ) = dim ( X ). È altresì chiaro che vale l’uguaglianza
quando vale l’uguaglianza in quest’ultima disequazione.
⨳
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§ 17.
163
INCIDENZA E PARALLELISMO
(17.9) Nota. Osserviamo che dalla dimostrazione di (17.7) si può dedurre
un metodo per calcolare la dimensione dell’intersezione di due sottospazi
affini (calcolando il rango della matrice del sistema di equazioni).
→
− →
− →
−
(17.10) Proposizione. Siano S, T ⊂ X sottospazi affini di X tali che S + T = X .
Allora l’intersezione S ∩ T non è vuota.
Dim. Siano xS e xT punti di S e T rispettivamente. Un punto x ∈ X appartiene
→
−
→
−
all’intersezione S ∩ T se e solo se esistono v ∈ S e w ∈ T tali che
x = xS + v = xT + w,
→
−
→
−
cioè l’intersezione è non vuota se e solo se esistono v ∈ S e w ∈ T tali che
xT − xS = v − w.
→
− →
− →
−
→
−
→
−
→
−
Ma per ipotesi S + T = X , e dato che xT − xS ∈ X esistono s ∈ S e t ∈ T per cui
xT − xS = s + t.
→
−
→
−
Basta porre v = s ∈ S e w = −t ∈ T per ottenere le soluzioni v e w cercate. ⨳
(17.11) Definizione. Consideriamo un sottospazio affine S ⊂ X, S ̸= X e un
→
−
→
−
→
−
sottospazio W ⊂ X tale che S ⊕ W = X (complemento). Allora si può definire
la proiezione di X su S parallela a W , indicata con pS,W : X → S, come
segue: se x ∈ X, allora per (15.4) esiste unico il sottospazio affine
T = T x,W passante per x con giacitura W . L’intersezione S ∩ T x,W è non vuota
→
− −−−→ →
−
→
−
per (17.10), e dato che S + T x,W = S + W = X per (17.7), la dimensione è
dim (S ∩ T x,W ) = 0, cioè consiste di un solo punto. Si può dunque definire la
proiezione su S parallela a W pS,W mediante la relazione
∀x ∈ X, pS,W ( x ) ∈ S ∩ T x,W .
(17.12) Definizione. In modo analogo definiamo la riflessione rS,W : X → X,
→
−
→
−
→
−
lungo S parallela a W ⊂ X (con S ⊕ W = X ), mediante la formula
−−−−−−−−→
rS,W ( x ) = pS,W ( x ) + x pS,W ( x )
(17.13) Proposizione. Riflessioni e proiezioni sono mappe affini. Le riflessioni sono affinità con la proprietà che r 2 = r ◦ r = 1X . Se S è il sottospazio
su cui si proietta (risp., lungo la quale si riflette), allora S rimane
fissata dalla proiezione (risp., dalla riflessione).
Dim. Cominciamo a mostrare che le proiezioni sono mappe affini: sia f = pS,W ,
→
−
dove S è un sottospazio affine di X e W un sottospazio vettoriale di X
→
−
complemento di S . È facile dedurre dalla definizione che se x ∈ S, allora
→
−
→
−
f ( x ) = x. Vogliamo mostrare che per qualche x ∈ X la mappa L : X → S definita
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164
#9.
TRASFORMAZIONI AFFINI, INCIDENZA E PARALLELISMO
da L(v) = f ( x + v) − f ( x ) è lineare in v. Per definizione {pS,W ( x + v)} = S ∩ T x+v,W e
{pS,W ( x )} = S ∩ T x,W , dove T x,W e T x+v,W sono i sottospazi con giacitura W passanti
per x e x + v rispettivamente. Nulla ci vieta di considerare x ∈ S, per cui
→
− →
−
→
−
si ha f ( x ) = x. Dal momento che per ipotesi X = S ⊕ W , ogni v ∈ X si scrive
→
−
in modo unico come v = s + w con s ∈ S e w ∈ W . Ora, se w ∈ W , allora per ogni
y ∈ X i sottospazi con giacitura W passanti per y e per y + w coincidono
y + W = y + w + W,
e quindi
T x+v,W = T x+s+w,W = T x+s,W ,
→
−
da cui f ( x + v) = f ( x + s). Ma dato che x ∈ S e s ∈ S , anche x + s ∈ S, per cui
f ( x + s) = x + s. Ma allora
f ( x + v) − f ( x ) = f ( x + s) − f ( x ) = x + s − x = s,
→
− →
−
→
−
cioè L(v) = s, ovvero L : X = S ⊕ W → S è la proiezione (vettoriale) sul primo
fattore, ed è lineare.
Passiamo a dimostrare che le riflessioni sono affini: se r = rS,W è una
riflessione X → X, allora si scrive mediante la formula vista poco sopra
−−−−→
r ( x ) = p( x ) + x p( x ) = p( x ) + ( p( x ) − x )
dove p è la corrispondente proiezione parallela. Scelto x ∈ X, la corrispondente funzione L(v) = r ( x + v) − r ( x ) è quindi uguale a
L(v) = p( x + v) + ( p( x + v) − ( x + v)) − ( p( x ) + ( p( x ) − x ))
= p( x + v ) − p( x ) + ( p( x + v ) − p( x ) − ( x + v ) + x )
= 2( p( x + v) − p( x )) − v,
che è lineare in v dato che p( x + v) − p( x ) lo è (e quindi è somma di funzioni
lineari in v).
⨳
(17.14) Nota. Se K = R oppure K = C (con la topologia metrica), allora ogni
spazio vettoriale V ∼
= K n ha la topologia data dal prodotto. Quindi, se X
→
−
è uno spazio affine con spazio vettoriale associato X ∼
= K n , è possibile,
→
−
fissato x0 ∈ X, definire una topologia su X tramite la biiezione X → X
definita da
v 7→ x0 + v.
Si può mostrare che la topologia non dipende dalla scelta di x0 e che
tutte le traslazioni sono omeomorfismi. Quando non indicato altrimenti,
uno spazio affine si intende munito della topologia di K n . In questo modo
si può facilmente vedere che tutte le mappe affini sono continue, e che
le affinità sono omeomorfismi. Tutti i sottospazi affini risultano chiusi
(dato che sono controimmagini di 0 mediante mappe affini, cioè funzioni
continue).
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§ 17.
165
INCIDENZA E PARALLELISMO
(17.15) Esempio. In A3 (K ) con coordinate x, y, z, sia (α, β, −1) un vettore direzione. La proiezione parallela a (α, β, −1) sul piano z = 0 associa a ( x, y, z )
l’intersezione tra la retta
x
α
y
+ t β
z
−1
e il piano z = 0, cioè
:
t ∈ K
[
] [
] x
x
x + αz
1 0 α
y .
p : y 7→
=
y + βz
0 1 β
z
z
(17.16) Esempio. Proiettiamo A4 (K ) con coordinate x, y, z, w sul piano di equazioni w = 0, lungo la direzione (a, b, c, −1). Facciamo seguire poi la proiezione di A3 (K ) con coordinate x, y, z (w = 0) sul piano di equazione z = 0
parallelamente a (α, β, −1). Per la prima, si ha
x
a
b
y
+
t
c
z
w
−1
cioè
:
∩
t ∈ K
{w = 0}
x
x + aw 1 0 0 a
y
7→ y + bw = 0 1 0 b
z
z + cw
0 0 1 c
w
La composizione è quindi descritta dal prodotto di matrici
[
] 1 0 0 a [
]
1 0 α
1 0 α a + αc
0 1 0 b =
0 1 β
0 1 β b + βc
0 0 1 c
Consideriamo invece la proiezione di A4 (K ) sul suo piano di equazioni
z = w = 0, parallelo alla giacitura generata dai due vettori (a, b, c, −1),
(α, β, −1, 0). La proiezione del punto ( x, y, z, w) è la soluzione in X, Y , Z, W del
sistema
X = x + sa + tα
Y = y + sb + tβ
Z = z + sc − t
W = w−s
W =0
Z=0
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166
cioè
#9.
TRASFORMAZIONI AFFINI, INCIDENZA E PARALLELISMO
X = x + wa + (z + wc)α
X = x + sa + tα
Y = y + wb + (z + wc)β
Y = y + sb + tβ
⇐⇒
s=w
s=w
t = z + wc
t = z + sc
che è
X = x + αz + (a + αc)w
Y = y + βz + (b + βc)w.
La sua matrice rappresentativa è stata vista poco fa, infatti …
Può essere un buon modo per proiettare gli spigoli di un cubo di
dimensione 4?
§ 17.1.
PROIEZIONI PARALLELE E NON DELLO SPAZIO SU UN PIANO
(i) proiezioni parallele:
Proiezione ortografica/ortogonale.
Proiezione obliqua (assonometrica):
proiezione isometrica/monometrica (che non è una isometria!).
assonometria cavaliera.
(ii) proiezioni non parallele:
Proiezione prospettica / prospettiva.
(iii) proiezioni curvilinee (?)
http://en.wikipedia.org/wiki/Graphical_projection
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§ 17.
167
INCIDENZA E PARALLELISMO
O
K
G
C
P
L
H
D
M
I
E
A
N
J
F
B
Figura 9.1: Proiezione parallela di un ipercubo di dimensione 4: le facce
sono AEMI, BFN J, CGOK, DHPL, ACK I, BDLJ, EGOM, FHPN, ACGE, BDH F,
IKOM, JLPN, ABJI, CDLK, EFN M, GHPO, ABFE, CDHG, I JN M, KLPO, ABDC,
EFHG, I JLK, MN PO.
http://en.wikipedia.org/wiki/Tesseract
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
168
#9.
TRASFORMAZIONI AFFINI, INCIDENZA E PARALLELISMO
ESERCIZI
(9.1) Presi due punti p1 e p2 in uno spazio affine X, come osservato nelle
note (15.9) e (15.16), si può definire il punto p = λ1 p1 + λ2 p2 ogni volta che
λ1 + λ2 = 1. Consideriamo il caso in cui il campo K = R. Dimostrare che il
punto ottenuto ponendo λ1 = λ2 = 1/2 è il punto medio del segmento con estremi
−→.
p1 e p2 , cioè è tale che −
p−1→
p=−
pp
2
(9.2) Proseguendo con l’esercizio precedente (spazio affine con coefficienti reali), i punti del segmento di estremi p1 e p2 possono essere
definiti come tutti i punti per cui esistono λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0 tali che λ1 + λ2 = 1
e p = λ1 p1 + λ2 p2 . Dimostrare che ogni segmento è omeomorfo all’intervallo
[0, 1] ⊂ R.
(9.3) Dimostrare che se S ⊂ X = An (R) è un sottospazio affine (proprio) e W
→
−
→
−
→
−
→
−
un sottospazio complementare di S in X (cioè S ⊕ W = X ), allora se p indica
la proiezione su S parallela a W e r la riflessione rispetto a S parallela
a W , allora per ogni x ∈ X il punto p( x ) è il punto medio del segmento con
estremi x e r ( x ).
(9.4) Dimostrare che la riflessione r rispetto ad un sottospazio affine S
fissa tutti i punti di S (cioè, per ogni x ∈ S, r ( x ) = x).
(9.5) Determinare, se esiste, la mappa affine da A3 (R) a A2 (R) tale che
[ ]
[ ]
[ ] 0
[ ] 1
1
0
0 7→ 0 , 0 7→ 1 , 1 7→ 1 e 1 7→ 0 .
0
1
0
1
1
0
0
0
(9.6) Determinare una mappa affine A2 (R) → A2 (R) che sia zero solo sulla
retta di equazione x = y.
(9.7) Si determinino le equazioni cartesiane del piano di A3 (R) che passa
1 1/2 1/3
per i tre punti 0, 1/2, 1/3.
0
0
1/3
(9.8) Dare un esempio di due rette sghembe in A4 (R). È possibile trovare
due piani sghembi in A4 ? E due sottospazi di dimensione 3?
(9.9) Trovare, se esistono, due piani paralleli di A4 (C).
(9.10)
Esiste una retta r parallela alla retta
x
1
y
=
t
1 e incidente alle due rette di equazioni
z
1
di
equazioni
parametriche
x
1
x 0
0
y
0
y
1
=
t
e
=
+
t
0?
z
0
z
0
1
(9.11) Si scriva l’equazione (cartesiana) della retta di A3 (R) di equazione
0
x 1
y = 1 + t 0.
0
1
z
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169
Esercizi
(9.12) Determinare la dimensione dell’intersezione dei due piani di A4 (R)
(con coordinate x1 , x2 , x3 , x4 ) di equazioni
1
1
x1 1
0
1
x2 1
x1 − x3 = 1
e = + u + v .
x2 − x4 = 1
0
1
x3 0
1
1
0
x4
(9.13) Scrivere le equazioni parametriche (del primo) e le equazioni
cartesiane (del secondo) dei due piani dell’esercizio precedente (9.12).
(9.14) Determinare il valore del parametro k per cui i tre punti di A3 (R)
2 1 1
1, k , 1. sono allineati. Scrivere l’equazione della retta per questi
k
0
0
tre punti in forma parametrica e cartesiana.
*(9.15) Dimostrare che una affinità manda sottospazi paralleli in sottospazi
paralleli, sottospazi incidenti in sottospazi incidenti, sottospazi sghembi
in sottospazi sghembi. È vero anche per una mappa affine?
(9.16) Sia X è uno spazio affine. Mostrare che se una funzione f : X → X è
una affinità allora manda terne di punti allineati ABC in terne di punti
−−→ −−→ −−−→ −−−→
allineati A′ B′C ′ , e i rapporti sono invarianti AC : AB = A′C ′ : A′ B′ . Dedurre
che le mediane di un triangolo si incontrano in un punto (il baricentro),
mandando ABC in un triangolo isoscele (o equilatero). (cfr. proposizione
(16.15) a pagina 159)
(9.17) Sia GA(n, R) il gruppo affine su X = An (R), e A ∈ An (R) un punto. Qual
è lo stabilizzatore di A in GA(n, R)? Qual è l’orbita di A in X? L’azione
è transitiva? Si consideri l’azione di GA(n, R) su X × X definita ponendo
f ( A, B) = ( f ( A), f ( B)) per ogni f ∈ GA(n, R) e per ogni ( A, B) ∈ X 2 . Al variare di
( A, B) ∈ X 2 , quali sono lo stabilizzatore e l’orbita di ( A, B)? L’azione è
transitiva? Si consideri l’azione di GA(n, R) su X × X × X definita ponendo
f ( A, B, C ) = ( f A, f B, f C ) per ogni f ∈ GA(n, R) e per ogni A, B, C ∈ X. Al variare di
( A, B, C ) ∈ X 3 , quali sono lo stabilizzatore e l’orbita di ( A, B, C )?
(9.18) Trovare una mappa affine A3 (R) → A2 (R) che manda due rette sghembe in
due rette parallele. È possibile mandare due rette parallele in due rette
incidenti e distinte? E in due rette coincidenti? Viceversa, è possibile
mandare due rette incidenti (distinte) in due rette parallele (distinte)?
1
0
x
3
(9.19) Siano in A (R) date le rette di equazioni: r1 : y = 0 + t 1, r2 :
0
0
z
x 0 0
x 0 1
y = 1 + t 0 e r3 : y = 0 + t 0. Quali di queste rette sono sghembe, parallele,
z
0
1
z
1
0
incidenti? Trovare una affinità A: A3 (R) → A3 (R) tale che A(r1 ) = r2 , A(r2 ) = r3
e A(r3 ) = r1 .
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170
#9.
TRASFORMAZIONI AFFINI, INCIDENZA E PARALLELISMO
(9.20) Dimostrare che se f : X → Y è una mappa affine e T ⊂ Y un sottospazio
affine di Y , allora f −1 (T ) è un sottospazio affine di X (Vedi proposizione
(16.14)).
(9.21) Siano A, B due punti distinti in uno spazio affine su campo K. Se P
è allineato ad A e B, mostrare che
−−→ −−→ −−→ −−→
(i) AP : AB + BP : BA = 1.
−−→ −−→ −−→ −−→
(ii) ( AP : AB) · ( AB : AP ) = 1
−−→ −−→
AP : AB
−−→ −−→
(iii) PA : PB = − −−→ −−→
BP : BA
(cfr. esercizio (8.14) a pagina 151)
(9.22) Siano A, B, C tre punti non collineari in uno spazio affine, e Q un
punto di coordinate baricentriche (λ0 , λ1 , λ2 ) (rispetto ad A, B, C):
Q = λ0 A + λ1 B + λ2C,
con λ0 + λ1 + λ2 = 1. Sia Q =
̸ A. Mostrare che se λ1 + λ2 ̸= 0, allora il punto
1
(λ1 B + λ2C ) è un punto della retta BC allineato con QA. Quando
Q′ =
λ1 + λ2
λ1 + λ2 = 0 cosa succede?
(Per i prossimi due teoremi, si ragioni come per l’esercizio (9.16),
cercando una trasformazione affine che manda il triangolo in un triangolo
più semplice e osservando che le affinità conservano i rapporti di tre
punti; si ricordi anche la definizione di rapporto di tre punti allineati)
*(9.23) (Teorema di Ceva* ) Siano A, B e C tre punti non allineati in un
piano affine su campo K, e P AB , P BC e PC A tre punti sulle rette AB, BC e
C A rispettivamente, distinti da A, B, C. Dimostrare che le tre rette AP BC ,
BPC A e CP AB si incontrano in un punto se e solo se
−−−−→ −−−−→ −−−−→
AP AB BP BC CPC A
−−−−→ −−−−→ −−−−→ = 1
P AB B P BC C PC A A
(osserviamo che come corollario le mediane si incontrano in un punto:
il baricentro). Provare anche a dimostrare questo teorema in coordiante
baricentriche.
*(9.24) (Teorema di Menelao† ) Siano A, B e C tre punti non allineati in un
piano affine su campo K, e P AB , P BC e PC A tre punti sulle rette per AB,
BC e C A rispettivamente, distinti da A, B e C. Dimostrare che i tre punti
P AB , P BC e PC A sono allineati se e soltanto se
−−−−→ −−−−→ −−−−→
AP AB BP BC CPC A
−−−−→ −−−−→ −−−−→ = −1.
P AB B P BC C PC A A
* Giovanni
† Menelao
Ceva (1647 – 1734).
di Alessandria (~70–140).
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171
Esercizi
*(9.25) Sia φ : R → R un automorfismo di anelli, cioè una bijezione tale che
per ogni x, y ∈ R, si ha φ( xy) = φ( x )φ(y) e φ( x + y) = φ( x ) + φ(y). Mostrare i seguenti
fatti.
(i) Per ogni k ∈ Z, φ(k ) = k.
(ii) Per ogni q ∈ Q, φ(q) = q.
(iii) Se √x < y, allora φ( x ) < φ(y) (si consideri t = y − x, e si osservi che
0 < φ( t )2 = φ(t )).
(iv) La funzione φ è continua R → R.
(v) Per ogni x ∈ R, si ha φ( x ) = x, cioè φ è l’identità 1R .
**(9.26) Sia X ∼
= A2 (K ) un piano affine a coefficienti in K e sia f : X → X è una
bijezione che manda terne di punti allineati in terne di punti allineati.
Dimostrare le seguenti affermazioni.
(i) Se A, B, C sono tre punti di X non allineati, siano r la retta passante
−−→
−−→
−−→
per A + x AB parallela a AC, e s la retta passante per A + y AC parallela
−−→
−−→ −−→
a AB. Allora r e s si intersecano nel punto A + x AB + y AC ∈ X.
−−→ −−→
−−→
(ii) Sia D = A + AB + AC. Per ( x, y) ∈ K 2 , sia t la retta passante per A + x AD
−−→
parallela alla retta che passa per D e A + y AB. Allora t interseca la
−−→
retta AB nel punto A + xy AB.
(iii) La funzione f manda rette di X in rette di X (usare la suriettività
di f ).
(iv) La funzione f : X → X manda rette parallele in rette parallele.
(v) Se f ( A) = A′ , f ( B) = B′ e f (C ) = C ′ , allora A′ B′C ′ è un riferimento affine
per X (cioè A′ B′C ′ non sono allineati).
(vi) A meno di comporre f con una affinità g: X → X, possiamo suppore, da
adesso in poi, che f ( A) = A′ = A, f ( B) = B′ = B e f (C ) = C ′ = C.
→
−
→
−
(vii) La funzione f : K 2 → K 2 definita ponendo f ( v) = f ( A + v) − f ( A) è ben
→
−
→
−
→
−
definita e additiva: f ( v + w) = f ( v) + f ( w).
−−→
−−→
−−→
(viii) Esistono due funzioni φ e ψ tali che f ( A + x AB) = A + φ( x ) AB e f ( A + y AC ) =
→
−
−−→
A + ψ (y) AC, e quindi anche f ( x, y) = (φ( x ), ψ (y)).
(ix) Dato che la retta OD va in sé, risulta φ( x ) = ψ ( x ) per ogni x ∈ K, e
φ : K → K è una bijezione.
(x) Per ogni ( x, y) ∈ K 2 , si ha φ( xy) = φ( x )φ(y) e φ( x + y) = φ( x ) + φ(y).
(xi) Se K = R, la funzione φ( x ) è l’identità φ( x ) = x. (si veda l’Esercizio
(9.25))
(xii) (Teorema (16.17) a pagina 160): se f : Ad (R) → Ad (R) manda tre punti
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172
#9.
TRASFORMAZIONI AFFINI, INCIDENZA E PARALLELISMO
allineati qualsiasi in tre punti allineati, allora è una affinità.
(suggerimento: utilizzare i punti precedenti, oppure cercare un libro
in biblioteca in cui la dimostrazione viene svolta…)
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Settimana N° 10
SPAZI EUCLIDEI E ISOMETRIE
§ 18.
SPAZI AFFINI EUCLIDEI E ISOMETRIE
(Cfr.)*
(18.1) Definizione. Uno spazio vettoriale euclideo è uno spazio vettoriale
E di dimensione finita su campo R, munito di una forma bilineare definita
positiva e simmetrica (cioè b : E × E → R è simmetrica e bilineare, e ∀x ̸=
0, b( x, x) > 0). Scriviamo
b( x, y) = ⟨x, y⟩ = x · y
e chiamiamo questo numero il prodotto scalare di x con y.†
(18.2) Definizione. La norma di un vettore x è definita da |x| = ∥x∥ =
√
x · x.
(18.3) Definizione. Se x · y = 0, allora x e y sono ortogonali. Un insieme
di vettori {e1 , e2 , . . . , en } ⊂ E si dice ortogonale se i suoi elementi sono a due
a due ortogonali: ∀i, j, i ̸= j =⇒ ei · e j = 0, e ortonormale se è ortogonale e
in più i vettori hanno norma uno, cioè ∀i, |ei | = 1. Se l’insieme di vettori
{e1 , e2 , . . . , en } è una base per E, allora si dice che la base è ortogonale (risp.
ortonormale) quando lo è come insieme di vettori.
(18.4) Esempio. L’esempio standard di spazio vettoriale euclideo è E = Rn ,
con il prodotto scalare canonico dato da
x1 y1
x y
n
∑
2 2
xi yi ,
⟨ . , . ⟩ =
.
.
. .
i=1
xn yn
ossia ei · e j = δi j .
* Cfr:
† Una
Sernesi, Vol I, Cap 2 [1].
forma bilineare simmetrica non è un prodotto scalare, se non è definita positiva.
173
174
#10.
SPAZI EUCLIDEI E ISOMETRIE
Figura 10.1: Icosaedro e dodecaedro
(18.5) Esempio. Consideriamo lo spazio E di tutti i polinomi a coefficienti
reali di grado al più n:
p( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + . . . + an x n .
È uno spazio vettoriale su R rispetto alla somma di polinomi e al prodotto
per uno scalare. Se p, q ∈ E, sia
∫
⟨p, q⟩ =
1
p(t )q(t ) dt.
0
È uno prodotto scalare? È certamente bilineare, simmetrica e definito
positivo (per esercizio i dettagli: basta osservare che l’integrale di una
funzione positiva o nulla p2 è nullo solo se la funzione è zero, e se un
polinomio è zero in [0, 1], allora è il polinomio nullo). Esiste una base
ortonormale in E? Come trovarla?
(18.6) (Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz e disuguaglianza triangolare)
Per ogni x, y ∈ E si ha:
|⟨x, y⟩| ≤ |x||y|
|x + y| ≤ |x| + |y|.
Quindi la norma è una norma nel senso di (12.18) a pagina 110. E la distanza
definita su E da d ( x, y) = |x − y| è una metrica (che rende E spazio topologico,
con la topologia metrica), nel senso di (2.1) a pagina 6.
Dim. Esercizio (10.3).
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⨳
§ 18.
SPAZI AFFINI EUCLIDEI E ISOMETRIE
175
(18.7) Il prodotto scalare e la norma sono legate dalle due identità
(equivalenti)
|x + y|2 = |x|2 + |y|2 + 2⟨x, y⟩
)
1(
⟨x, y⟩ =
|x + y|2 − |x|2 − |y|2 .
2
→
−
(18.8) Definizione. Uno spazio affine euclideo è uno spazio affine ( X, X )
→
−
per cui lo spazio delle traslazioni (dei vettori) X è uno spazio vettoriale euclideo. Un riferimento affine {A0 , A1 , . . . , An } di X è ortonormale
−−−−→ −−−−→
−−−−→
→
−
se ( A0 A1 , A0 A2 , . . . , A0 An ) è una base ortonormale per X . Allora X è uno spazio
metrico con la metrica definita da
−−→
d ( A, B) = | AB|,
→
−
dove la norma è la norma euclidea in X .
(18.9) Definizione (Spazio euclideo En ). Se Rn ha il prodotto scalare
standard, allora lo spazio affine An (R) è uno spazio affine euclideo, che
indichiamo con il simbolo En .
Una isometria tra spazi affini non è altro che una funzione biunivoca
che conserva le distanze, e quindi:
(18.10) Definizione. Una isometria tra due spazi affini euclidei f : X → Y è
una biiezione tale che per ogni A, B ∈ X, | f ( A) − f ( B)|Y = |A − B|X (dove la norma
| · |X è la norma di X e la norma | · |Y è la norma di Y ).
Abbiamo visto che per (12.18) tutte le metriche indotte da prodotti
scalari di E sono tra loro equivalenti, e quindi inducono la stessa topologia. In realtà due spazi euclidei con prodotti scalari qualsiasi risultano
sempre isometrici, come segue dal seguente lemma.
(18.11) Ogni spazio affine euclideo di dimensione n è isometrico allo spazio
standard En (con il prodotto scalare standard).
Dim. Sia X uno spazio affine euclideo di dimensione n. Scelto un punto
→
−
O ∈ X, si ha la biiezione X ∼
= X data da
−−→ →
−
x ∈ X 7→ Ox ∈ X .
→
−
Ora, lo spazio vettoriale euclideo X ha sicuramente una base ortonormale (per esempio, con il processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt)
{e1 , e2 , . . . , en } ⊂ E, mediante la quale si può scrivere un isomorfismo
→
−
f: X ∼
= Rn
definito da
⟨v, e1 ⟩
⟨v, e ⟩
2
f ( v) =
. . .
⟨v, en ⟩
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176
#10.
SPAZI EUCLIDEI E ISOMETRIE
→
−
La composizione X → X → Rn ∼
= En è una isometria. Vediamo per prima cosa come
→
−
è definita. Se x ∈ X, il vettore associato in X è x − O, che viene mandato
da f in
⟨x − O, e1 ⟩
⟨x − O, e2 ⟩
.
f ( x − O) =
...
⟨x − O, en ⟩
Ora, presi x, y ∈ X, se definiamo per ogni i = 1, . . . , n i numeri xi = ⟨x − O, ei ⟩ e
yi = ⟨y − O, ei ⟩ , si ha che
n
∑
x−O =
xi ei
i=1
y−O =
n
∑
yi ei ,
i=1
e quindi
x1
x2
f ( x − O) = . ∈ Rn
.
.
xn
y1
y
2
f (y − O) = . ∈ Rn
.
.
yn
da cui segue che
−
d X ( x, y) = |x − y|→
X
−
= |( x − O) − (y − O)|→
X
n
∑
−
( xi − yi ) ei |→
=|
X
i=1
v
u
t∑
n
n
∑
(x j − y j )e j ⟩
= ⟨ ( xi − yi ) ei ,
i=1
=
v
u
t∑
n
j=1
( xi − yi )( x j − y j )⟨ei , e j ⟩
i, j=1
=
v
t n
∑
( xi − yi )2
i=1
= | f ( x ) − f (y)|Rn = dRn ( f ( x ), f (y)).
⨳
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§ 18.
177
SPAZI AFFINI EUCLIDEI E ISOMETRIE
(18.12) Teorema. Siano X e Y spazi affini euclidei e f : X → Y una isometria
(cioè una biiezione tale che | f ( x ) − f (y)|Y = |x − y|X per ogni x, y ∈ X). Allora f
è un isomorfismo affine (una trasformazione affine invertibile).
Dim. Cominciamo a mostrare che f è una mappa affine, cioè, per la definizione (16.1), che per ogni x ∈ X la funzione indotta sugli spazi vettoriali
→
−
→
−
sottostanti X → Y definita da
→
−
→
−
v ∈ X 7→ f ( x + v) − f ( x ) ∈ Y
è lineare. In realtà, per (16.5), basta farlo vedere per un solo x0 ∈ X. Sia
→
−
→
−
T : X → Y la funzione definita da T ( v) = f ( x0 + v) − f ( x0 ). Per ipotesi si ha che
→
−
per ogni v ∈ X
− = | ( x 0 + v) − x 0 | X
|v|→
X
= | f ( x0 + v) − f ( x0 )|Y
−,
= |T ( v)|→
Y
e quindi la trasformazione T conserva la norma. Osserviamo anche che per
v = 0 questo implica che |T (0)| = 0, e quindi T (0) = 0 (dove qui con un abuso di
→
−
→
−
→
−
notazione usiamo in simbolo 0 sia per indicare 0X ∈ X che 0Y ∈ Y ). Se v, w ∈ X
sono due vettori, allora si ha
− = |( x0 + v) − ( x0 + w)|X
|v − w|→
X
= | f ( x0 + v) − f ( x0 + w)|Y
= | f ( x0 + v) − f ( x0 ) + f ( x0 ) − f ( x0 + w)|Y
−,
= |T ( v) − T ( w)|→
Y
cioè
|T ( v) − T ( w)|2 = |v − w|2 .
→
−
Per la formula del parallelogramma (18.7), si ha quindi per ogni v, w ∈ X
−2⟨T ( v), T ( w)⟩ = |T ( v) − T ( w)|2 − |T ( v)|2 − |T ( w)|2
= |v − w|2 − |v|2 − |w|2
= −2⟨v, w⟩,
cioè T conserva anche il prodotto scalare (non solo la norma).
Non rimane che finire dimostrando che T è lineare: siano a, b ∈ R due
→
−
scalari e v, w ∈ X due vettori. Allora, per ogni scelta di un terzo vettore
→
−
e ∈ X si ha
⟨T (av + bw), T ( e)⟩ = ⟨av + bw, e⟩
= a⟨v, e⟩ + b⟨w, e⟩,
ed anche
⟨aT ( v) + bT ( w), T ( e)⟩ = a⟨T ( v), T ( e)⟩ + b⟨T ( w), T ( e)⟩
= a⟨v, e⟩ + b⟨w, e⟩,
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178
#10.
SPAZI EUCLIDEI E ISOMETRIE
→
−
cioè per ogni e ∈ X si ha
⟨T (av + bw), T ( e)⟩ = ⟨aT ( v) + bT ( w), T ( e)⟩.
Ora, dato che f è una biiezione, anche T lo è, per cui necessariamente
deve essere
T (av + bw) = aT ( v) + bT ( w),
e quindi T è lineare. Per mostrare che è un isomorfismo, basta notare che è
una biiezione, per cui esiste l’inversa (che è naturalmente una isometria
– vedi anche la definizione (16.6)).
⨳
(18.13) Una isomorfismo affine f : X → Y è una isometria se e soltanto
se l’applicazione lineare associata L : v 7→ f ( x + v) − f ( x ) è una trasformazione ortogonale (cioè una trasformazione lineare che conserva la norma o,
equivalentemente, il prodotto scalare).
Dim. Nella dimostrazione della proposizione precedente (18.12) abbiamo di
fatto dimostrato anche che la trasformazione L associata ad una isometria
conserva il prodotto scalare e le norme (abbiamo usato questa proprietà
per mostrare che è lineare), e cioè che è una trasformazione ortogonale.
Viceversa, supponiamo che un isomorfismo affine f : X → Y abbia la proprietà
che la trasformazione lineare associata L sia ortogonale. Allora L( v − w) =
→
−
L( v) − L( w) per ogni v, w ∈ X , e quindi per ogni x = x0 + v e y = x0 + w in X si ha
| f ( x ) − f (y)| = | f ( x0 + v) − f ( x0 + w)|
= | f ( x0 + v) − f ( x0 ) + f ( x0 ) − f ( x0 + w)|
= |L( v) − L( w)|
= |v − w|
= |x0 + v − ( x0 + w)|
= |x − y|,
cioè f è una isometria.
⨳
(18.14) Proposizione. Le isometrie tra spazi (affini) euclidei si scrivono,
scelti sistemi di riferimenti ortonormali, come
x 7→ Ax + b,
dove A ∈ O(n) è una matrice ortogonale e b un vettore.
Dim. Come la dimostrazione di (16.10) (esercizio (10.2)).
⨳
(18.15) Le traslazioni sono isometrie.
Dim. Vedi esercizio (10.4).
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⨳
§ 18.
179
SPAZI AFFINI EUCLIDEI E ISOMETRIE
Dato che una matrice ortogonale A ∈ O(n) ha determinante uguale a ±1, la
parte lineare di una isometria di En può avere determinante 1 oppure −1
(cioè essere in SO(n) oppure no).
(18.16) Definizione. Una isometria En → En rappresentata in un sistema di
riferimento da x 7→ Ax + b è detta diretta se det A = 1 (cioè A ∈ SO(n) ⊂ O(n)),
altrimenti è detta inversa.
Se x è la n-upla di coordinate rispetto ad un sistema di riferimento
euclideo (ortonormale) e x ′ è la n-upla di coordinate dello stesso punto
rispetto ad un altro riferimento, si ha
x = Qx ′ + c
per una certa matrice ortogonale Q e un punto/vettore c. Allora la mappa
x 7→ Ax + b si scrive, ponendo y = Ax + b, e y = Qy′ + c
y = Ax + b
′
Qy + c = A(Qx ′ + c) + b
Qy′ = AQx ′ + Ac + b − c
y′ = Q−1 AQx ′ + Q−1 ( Ac + b − c).
Ovviamente, se A è ortogonale, anche Q−1 AQ lo è, dato che si ha Qt = Q−1 e
At = A−1
[Q−1 AQ]t [Q−1 AQ] = Qt At QQ−1 AQ =
= Qt At AQ = Qt Q = I.
Il determinante di Q−1 AQ è uguale al determinante di A, e quindi Q−1 AQ ∈
SO(n) ⇐⇒ A ∈ SO(n).
(18.17) Proposizione. La composizione di due isometrie dirette è una isometria diretta. La composizione di una isometria diretta con una inversa
è una isometria inversa. La composizione di due isometrie inverse è una
isometria diretta.
Dim. L’affermazione è equivalente alla seguente: se associamo ad una isometria il determinante della matrice associata, otteniamo un omomorfismo
di gruppi (rispetto alla composizione di isometrie e al prodotto di numeri). Osserviamo che la matrice A di cui calcoliamo il determinante è
→
−
la matrice della trasformazione lineare f associata alla trasformazione
affine (isometrica) f : En → En . Ora, dimostriamo questa proposizione in
→
−
generale: l’applicazione f 7→ f che manda una affinità nella sua mappa
lineare associata è un omomorfismo di gruppi (dal gruppo affine al gruppo
→
−
lineare): infatti se si hanno f : X → X e g: X → X, con corrispondenti f e
−−→
→
−g , allora −
g ◦ f è definita da
−−−→
g ◦ f ( v) = g( f ( x0 + v)) − g( f ( x0 ))
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180
#10.
SPAZI EUCLIDEI E ISOMETRIE
→
−
per x0 ∈ X. Tenuto conto che per ogni x ∈ X e v ∈ X si ha
→
−
f ( x + v) = f ( x ) + f ( v)
−g ( v),
g( x + v) = g( x ) + →
deduciamo che
→
−
g( f ( x0 + v)) = g( f ( x0 ) + f ( v))
−
−g (→
= g( f ( x )) + →
f ( v))
0
−−−→ − →
−
→
−
e quindi g ◦ f = →
g ◦ f . In particolare, quindi, l’applicazione f 7→ f è l’omomorfismo tra il gruppo delle affinità di An (R) e il gruppo GL(n, R). La restrizione di questo omomorsfismo alle isometrie è ancora un omomorfismo. La
dimostrazione si completa considerando che la funzione determinante è a sua
volta un omomorfismo, e questo è il teorema di Binet (det ( AB) = det ( A) det ( B)). ⨳
(18.18) Esempio. Le isometrie dirette del piano euclideo E2 si scrivono
dunque come
[ ] [
][ ] [ ]
y1
cos θ − sin θ x1
b
=
+ 1 .
y2
sin θ cos θ x2
b2
Se b1 = b2 = 0, si tratta di una rotazione attorno all’origine. Altrimenti,
cerchiamo i punti fissati dall’isometria, cioè le soluzioni dell’equazione
Ax + b = x
(I − A) x = b.
Dato che, se A ̸= I, la rotazione A non ha autovalore 1 (cioè non fissa nessun
vettore diverso dallo zero), quindi la matrice I − A ha nucleo banale, e
dunque è invertibile. La matrice I − A risulta quindi invertibile se A ̸= I,
altrimenti è la matrice nulla. Ma allora se A ̸= I esiste un unico punto
fissato dalla isometria (la soluzione di (I − A) x = b), che chiamiamo q.
Trasliamo il sistema di riferimento, portando l’origine in q: x = x ′ + q.
L’isometria si scriverà quindi
y = Ax + b
′
y + q = A( x ′ + q) + b
y′ = Ax ′ + ( A − I )q + b = Ax ′ ,
cioè è una rotazione attorno a q. Quindi se A ̸= I si ha sempre una rotazione
(anche se b ̸= 0). In particolare, la composizione di una rotazione con
una traslazione è ancora una rotazione! Attenzione che la composizione
di rotazioni attorno allo stesso centro è commutativa, la composizione di traslazioni è commutativa, ma non la composizione di rotazioni e
traslazioni:
x 7→ Ax 7→ Ax + b
x 7→ x + b 7→ A( x + b) = Ax + Ab.
Cosa succede per rotazioni con centri diversi (si veda l’esercizio (10.22))?
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§ 19.
181
ANGOLI E PROIEZIONI ORTOGONALI
Le isometrie del piano euclideo che non sono dirette sono le riflessioni
attorno a rette (se fissano una retta, simmetrie assiali) e le glissoriflessioni (se non fissano alcun punto), che sono composizione di una riflessione
e di una traslazione lungo la direzione dell’asse di simmetria.
(18.19) Esempio. In E3 , l’isometria di equazione y = Ax + b è una rotazione
(attorno ad una retta per l’origine) se A ̸= I e b = 0, dato che A ∈ SO(3). Altrimenti, come sopra un punto x fissato dalla isometria risolve l’equazione
(I − A) x = b. Ma ogni rotazione A ∈ SO(3), se non banale, ha un autovettore con
autovalore 1 (cioè fissa un vettore di R3 , e quindi tutta la retta generata
dallo stesso). Quindi la matrice I − A non è mai invertibile. Se A ̸= I, il
rango sarà 1 o 2. Certamente la direzione parallela all’asse di rotazione
sarà nel nucleo di I − A. È possibile vedere (con un cambio di coordinate:
esercizio) che I − A ha rango 2 e ha per sottospazio immagine il piano
ortogonale all’asse di rotazione. Quindi, se b è un vettore ortogonale
all’asse di rotazione, ci sono punti fissati (una retta di punti fissati).
Altrimenti, no. Nel primo caso, si tratta di una rotazione attorno ad una
retta (non non necessariamente per l’origine), nel secondo caso? Scriviamo
b come somma di due vettori b = b1 + b2 , il primo ortogonale alla direzione
fissata (e quindi nell’immagine di I − A) e il secondo b2 parallelo alla
direzione fissata (e quindi nel nucleo di I − A). Allora y = Ax + b = ( Ax + b1 ) + b2 .
L’isometria y = Ax + b si scrive quindi come composizione
x 7→ Ax + b1 7→ ( Ax + b1 ) + b2 ,
dove la prima è una rotazione attorno ad una retta di E3 , e la seconda è
una traslazione lungo la direzione b2 (che è diversa da zero dato che b
per ipotesi non è ortogonale all’asse). Si tratta dunque di un avvitamento
lungo la direzione b2 . Quindi le isometrie dirette di E3 sono le traslazioni,
le rotazioni e gli avvitamenti (twist).
Provare per esercizio a cercare/classificare le isometrie non dirette
di E3 (riflessioni, glissoriflessioni, rotoriflessioni, …).
§ 19.
ANGOLI E PROIEZIONI ORTOGONALI
(19.1) Definizione. Con il prodotto scalare definito su uno spazio euclideo
non solo si possono misurare le distanze tra punti, e quindi in generale
lunghezze, ma anche gli angoli (orientati) tra vettori, mediante la formula
cos θ =
⟨v, w⟩
.
|v||w|
Questo consente di calcolare l’angolo, per esempio in A, di un triangolo
−−→
−−→
ABC, moltiplicando (mediante prodotto scalare) i vettori AB e AC.
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182
#10.
SPAZI EUCLIDEI E ISOMETRIE
Occorre notare che l’angolo è definito cosí a meno di segno (cioè non è
l’angolo orientato) e a meno di 2kπ (non c’è differenza tra angolo nullo e
angolo giro). Non si tratta della definizione della geometria elementare
di misura di un angolo.
(19.2) Nota. Ricordiamo che in uno spazio metrico X la distanza tra un
punto p e un sottoinsieme S ⊂ X è definita con l’estremo inferiore delle
distanze d ( p, x ), al variare di p in S. In particolare, se X è uno spazio
euclideo, si può definire la distanza di un punto p ∈ X da una retta, da un
piano,…, da un sottospazio affine S ⊂ X proprio come l’estremo inferiore
delle distanze tra punti di S e il punto p.
(19.3) Definizione. Due sottospazi U, W di uno spazio vettoriale euclideo
E si dicono ortogonali se per ogni u ∈ U, per ogni v ∈ V i vettori u e v sono
ortogonali, cioè il prodotto scalare ⟨u, v⟩ è nullo.
Sia U ⊂ E un sottospazio, e e1 , . . . , ek una sua base ortonormale. La funzione
π: E → U
definita da
k
∑
⟨v, e j ⟩e j
π ( v) =
j=1
gode delle seguenti proprietà:
(i) π è un omomorfismo di spazi vettoriali (cioè è lineare).
(ii) v ∈ U =⇒ π ( v) = v.
(iii) ker π = {v ∈ E : ∀u ∈ U, ⟨u, v⟩ = 0}
(iv) ker π è il complemento ortogonale di U: U ⊕ ker π = E.
Si ha
π (av + bw) =
k
∑
⟨av + bw, e j ⟩e j
j=1
=
k
∑
(a⟨v, e j ⟩ + b⟨w, e j ⟩) e j
j=1
=a
k
∑
k
∑
⟨v, e j ⟩e j + b ⟨w, e j ⟩e j
j=1
j=1
= aπ ( v) + bπ ( w).
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§ 19.
183
ANGOLI E PROIEZIONI ORTOGONALI
Inoltre se u ∈ U, allora u =
∑k
i=1 ui ei
π ( u) =
e quindi
k
∑
⟨u, e j ⟩e j
j=1
=
k ∑
k
∑
⟨ ui ei , e j ⟩e j
j=1 i=1
=
k ∑
k
∑
ui ⟨ei , e j ⟩e j
j=1 i=1
=
k
∑
k
∑
ui
⟨ei , e j ⟩e j
i=1
=
k
∑
j=1
ui ei = u
i=1
Infine, v ∈ ker π se e soltanto se ⟨v, e j ⟩ = 0 per ogni j = 1, . . . , k. Quindi se u ∈ U
∑
e v ∈ ker π, si ha u = kj=1 u j e j e quindi
⟨v, u⟩ = ⟨v,
k
∑
u j ej⟩
j=1
=
k
∑
u j ⟨v, e j ⟩
j=1
=
k
∑
u j 0 = 0,
j=1
e dunque v e u sono ortogonali. Cioè se v ∈ ker π, allora v è ortogonale a
tutti gli elementi di U. Viceversa, se v è ortogonale a tutti gli elementi
di U, in particolare è ortogonale ai k elementi e1 , …, ek , e quindi π ( v) = 0.
Per finire: per ogni v ∈ E si ha
v = π ( v) + ( v − π ( v)),
dove u = π ( v) ∈ U e
π ( v − π ( v)) = π ( v − u)
= π ( v) − π ( u)
= u − u = 0.
Da questo segue che U + ker π = E. La somma è diretta, perché se ci fosse
u ∈ U ∩ ker π, si avrebbe π ( u) = 0 e anche π ( u) = u, da cui u = 0.
(19.4) Definizione. Sia S ⊂ En un sottospazio affine di uno spazio affine
→
−
→
−
euclideo con giacitura S ⊂ Rn . Sia W il complemento ortogonale di S in
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184
#10.
SPAZI EUCLIDEI E ISOMETRIE
→
−
→
−
Rn , cioè l’unico sottospazio ortogonale a S tale che S ⊕ W = Rn . Allora
per ogni x ∈ En si può definire la proiezione su S parallela al complemento
ortogonale W , seguendo la definizione (17.11)
pS,W : En → S.
Questa proiezione si chiama proiezione ortogonale di En su S ⊂ En . Dal
momento che il complemento ortogonale W esiste ed è unico, la proiezione
è unicamente determinata da S.
(19.5) Sia r ⊂ En una retta (sottospazio affine di dimensione 1) di uno
→
−
spazio affine euclideo con giacitura S = ⟨v⟩ ⊂ Rn e A un punto di r. Allora
la proiezione di un punto x ∈ En sulla retta r si scrive come
pS ( x ) = A +
⟨x − A, v⟩
v.
⟨v, v⟩
Dim. La proiezione di x su r è un punto Q di r per cui Q − x è ortogonale a
r. È facile vedere che tale punto Q è unico (altrimenti si formerebbe un
triangolo con due lati di 90◦ ). Dobbiamo trovare un punto Q per cui
⟨x − Q, v⟩ = 0
e quindi, dato che Q = A + tv per un certo t ∈ R, tale che ⟨x − ( A + tv), v⟩ = 0,
ovvero
⟨x − A, v⟩ − t⟨v, v⟩ = 0.
Ma allora per t =
⟨x − A, v⟩
(v ̸= 0!) si ottiene il punto cercato
⟨v, v⟩
pS ( x ) = Q = A +
⟨x − A, v⟩
v
⟨v, v⟩
come annunciato.
⨳
(19.6) Definizione. Se pS è la proiezione ortogonale
pS : En → S ⊂ En
definita sopra, allora si può definire come in (17.12) l’isometria (i.e.
trasformazione ortogonale)
rS : x 7→ pS ( x ) + ( pS ( x ) − x ),
chiamata riflessione attorno a S * . È una involuzione (cioè rS2 è la trasformazione identica, l’identità) che fissa S.
* Di solito si chiama riflessione una trasformazione isometrica di questo tipo solo quando
la dimensione di S è uguale a n − 1 – come se S fosse uno specchio. Per esempio, se S è
un punto, quello che si trova è una inversione centrale, per cui la scelta del nome non
sembrerebbe appropriata. Se S è un punto e n = 2 si ottiene la rotazione di 180◦ .
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§ 19.
ANGOLI E PROIEZIONI ORTOGONALI
185
(19.7) Sia S ⊂ En un sottospazio affine di uno spazio affine euclideo, e
p ∈ En un punto non di S. Allora la distanza di p da S è uguale alla distanza
di p dall’unico punto q di S per cui il vettore p − q è ortogonale a S (cioè
la proiezione ortogonale di p su S – dove q è il punto di S con minima
distanza da p).
Dim. Supponiamo che la distanza di p sulla sua proiezione q sia maggiore
→ per definizione è
di quella tra p e un terzo punto A. Dal momento che −
qp
−→
→
−
ortogonale a S, è ortogonale anche al vettore qA, che appartiene a S (dato
−→ −→ →
che sia q che A appartengono a S). Ma allora, visto che Ap = Aq + −
qp,
−→
d ( A, p)2 = | Ap|2
−→ −→
= ⟨ Ap, Ap⟩
−→ → −→ −
→
= ⟨ Aq + −
qp, Aq + qp⟩
−→ −→
−→ →
→
→ −
→ −
→
= ⟨ Aq, Aq⟩ + ⟨ Aq, −
qp⟩ + ⟨−
qp,
Aq⟩ + ⟨−
qp,
qp⟩
−→
→2
= | Aq|2 + 0 + 0 + |−
qp|
→2
≥ |−
qp|
= d (q, p)2 ,
cioè q realizza la minima distanza (è facile vedere che il minimo si ottiene
−→
per | Aq|2 = 0, cioè quando A = q).
⨳
Ripetendo la dimostrazione del teorema (16.12), si può dimostrare il
seguente teorema:
(19.8) Teorema. Se S ⊂ En è un sottospazio affine passante per A, allora
→
−
esiste un sottospazio vettoriale W ⊂ Rn (il complemento ortogonale di S in
Rn ) per cui i punti di S sono tutti e soli i punti x di En tali che x − A
è ortogonale a W . Se S è un iperpiano (cioè un sottospazio di dimensione
n − 1 in En ), allora la dimensione di W è 1, per cui i punti di S sono tutti
i punti tali che x − A è ortogonale ad un vettore fissato non nullo n di W
(che si può chiamare vettore normale a S):
S = {x ∈ En : ⟨x − A, n⟩ = 0}.
(19.9) Nota. Dato che ⟨x − A, n⟩ = 0 se e solo se ⟨x, n⟩ = ⟨A, n⟩, ritorniamo a
vedere che l’equazione di un iperpiano è
a1 x2 + a2 x2 + · · · + an xn = b,
dove b = ⟨A, n⟩. Per sottospazi generici (cioè non solo di dimensione n − 1,
basta prendere una base del complemento ortogonale W (e questi saranno
vettori ortogonali a S) e, nello stesso modo, scrivere S come luogo delle
soluzioni di un sistema di equazioni.
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186
#10.
SPAZI EUCLIDEI E ISOMETRIE
(19.10) Esempio. Torniamo all’esempio (18.5): qual è il polinomio di grado
2 a coefficienti reali che è più vicino (nel senso della distanza
tra
∫1
funzioni indotta dalla norma indotta dal prodotto scalare ⟨p, q⟩ = 0 p(t )q(t ) dt)
alla funzione ex ? Qual è quello di grado n?
§ 19.1.
AREA E VOLUME NEGLI SPAZI AFFINI
Abbiamo definito la lunghezza e gli angoli a partire da un prodotto
scalare definito sui vettori di En . Possiamo fare lo stesso con la definizione di volume? Qual è la definizione assiomatica di volume? Proponiamo
al lettore di discutere e riflettere sulla validità e naturalezza dei
seguenti assiomi, per una funzione di area con segno A di un triangolo ABC
−−→
−−→
(o equivalentemente di un parallelogramma ABCD), in cui a = C A e b = CB:
(A1) A(ca, b) = cA( a, b) = A( a, cb); per ogni c ∈ R.
(A2) A( a, b + c) = A( a, b) + A( a, c); A( a + c, b) = A( a, b) + A( c, b);
(A3) A( a, a) = 0;
(disegnare le figure corrispondenti agli assiomi)
Analogamente, una funzione di volume con segno V di un parallelepipedo
−−→
−−→
−−→
con i tre spigoli concorrenti a = DA, b = DB, c = DC probabilmente dovrebbe
soddisfare gli assiomi
(V1) V (ca, b, c) = cV ( a, b, c) = V ( a, cb, c) = V ( a, b, cc); per ogni c ∈ R.
(V2) V ( a + d, b, c) = V ( a, b, c) + V ( d, b, c);
V ( a, b + d, c) = V ( a, b, c) + V ( b, d, c);
V ( a, b, c + d ) = V ( a, b, c) + V ( a, b, d );
(V3) (se due vettori coincidono, il volume è nullo)
V ( a, a, b) = 0 = V ( a, b, b) = V ( a, b, a);
In generale, per uno spazio affine X reale, una funzione di volume con
→
−
segno (chiamiamola forma di volume) sarà una funzione ω : X n → R
→
−
ω( v1 , v2 , . . . , vn ), vi ∈ X , i = 1, . . . , n
che sia multilineare (cioè lineare in ogni sua variabile) e tale che
ω( v1 , v2 , . . . , vn ) = 0 quando almeno due dei vi coincidono. Osserviamo che da
questa proprietà segue che
ω( v1 , . . . , vi , . . . , v j , . . . , vn ) + ω( v1 , . . . , v j , . . . , vi , . . . , vn ) = 0.
Infatti
0 = ω( v1 , . . . , vi + v j , . . . , vi + v j , . . . , vn )
= ω( v1 , . . . , vi , . . . , vi , . . . , vn ) + ω( v1 , . . . , vi , . . . , v j , . . . , vn )+
+ ω( v1 , . . . , v j , . . . , vi , . . . , vn ) + ω( v1 , . . . , v j , . . . , v j , . . . , vn )
= ω( v1 , . . . , vi , . . . , v j , . . . , vn ) + ω( v1 , . . . , v j , . . . , vi , . . . , vn ).
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§ 19.
187
ANGOLI E PROIEZIONI ORTOGONALI
Quindi se si scambiano due variabili vi la funzione ω cambia di segno,
cioè ω è alternante. Ora, quante sono le funzioni con queste due proprietà
(multilineari e alternanti)? Nello spazio euclideo standard ce n’é una, a
meno di costante, e cioè il determinante, che viene presa come unità di
misura per il calcolo delle aree e dei volumi. Lo studio dei determinanti
di fatto non è altro che lo studio della misura (nel senso di area/volume)
con segno dei corrispondenti parallelogrammi/parallelepipedi. Provare a
dimostrare che le isometrie di En conservano le aree (vs. volumi) dei
parallelogrammi (vs. parallelepipedi): occorre osservare che se v1 , . . . , vn
sono vettori di Rn e L è una applicazione lineare Rn → Rn (che è la parte
lineare della mappa affine corrispondente), allora per la formula di Binet
(19.11)
ω(Lv1 , . . . , Lvn ) = det (L)ω( v1 , . . . , vn ).
Ma per una isometria si ha L ∈ O(n), e quindi det (L) = ±1. Quindi, a meno di
segno, ...
(19.12) Nota. La definizione di volume data sopra si riferisce ai parallelogrammi/parallelepipedi. Come è possibile usarla per definire il volume
per i triangoli/tetraedri (o in generale gli inviluppi convessi di n + 1
punti in Rn ? Più precisamente, dato che il parallelogramma che ha per
spigoli i vettori v1 , . . . , vn si può scrivere come
P = {O + t1 v1 + . . . + tn vn : ti ∈ [0, 1]} ⊂ En ,
come calcolare il volume del solido
T = {O + t1 v1 + . . . + tn vn : ti ∈ [0, 1],
n
∑
ti ≤ 1}?
i=1
Assumiamo che la funzione “volume di poliedri” in En soddisfi l’equazione
(19.11), e se un poliedro è unione di poliedri con interni disgiunti allora
il suo volume è la somma dei volumi. Vediamo come da questo calcolare il
volume di un tetraedro n-dimensionale.
Per prima cosa osserviamo che basta calcolare il volume di un solo
n-tetraedro (con i vertici indipendenti dal punto di vista affine, cioè
con i vi indipendenti come vettori): il volume di ogni altro n-tetraedro si
ottiene con un cambio di coordinate e un calcolo di determinante.
Cominciamo con l’ipercubo che ha per spigoli i vettori vi = ei (i vettori
della base standard)
I n = {( x1 , x2 , . . . , xn ) : xi ∈ [0, 1]} ⊂ En .
Il suo volume è (nella forma di volume standard) uguale a 1. Gli n + 1
vertici dell’ n-tetraedro T 0 ⊂ I n definito da
T 0 = {( x1 , x2 , . . . , xn ) : xi ∈ [0, 1],
n
∑
xi ≤ 1}
i=1
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188
#10.
SPAZI EUCLIDEI E ISOMETRIE
sono O = (0, 0, . . . , 0) e Ei = ei , con i = 1, . . . , n.
Ora consideriamo altri (n + 1) vertici di I n (comunque indipendenti dal
punto di vista affine)
A0 = (0, 0, . . . , 0, 0)
A1 = (0, 0, . . . , 0, 1)
A2 = (0, 0, . . . , 1, 1)
.
.
.
.
.
.
An−1 = (0, 1, . . . , 1, 1)
An = (1, 1, . . . , 1, 1).
Il solido che ha gli Ai per vertici si scrive come
T = {A0 + t1 A1 + . . . + tn An : ti ∈ [0, 1],
n
∑
ti ≤ 1}
i=1
= {( x1 , . . . , xn ) : 0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xn ≤ 1}.
Osserviamo ora che il gruppo simmetrico Σn di tutte le permutazioni di n
indici (di ordine n!) agisce su En permutando le coordinate, e per ogni
g ∈ Σn , g ̸= 1, si ha che gT e T hanno interni disgiunti (perché?). Inoltre
∪
gT ,
In =
g∈Σn
da cui segue che
∑
|ω( gT )| = 1.
g∈Σn
Ma gT e T hanno lo stesso volume (±1), dato che g è una isometria, e quindi
1
.
n!
Per la formula (19.11), si ha quindi che se LP è un n−parallelepipedo e LT
l’n-tetradro corrispondente a T si ha
n!|ω(T )| = ω(I n ) = 1 =⇒ |ω(T )| =
| det (L)|
.
n!
Ora, osserviamo che la trasformazione lineare che manda O in A0 e Ei in
An−i , per i = 1, . . . , n ha la matrice L della forma triangolare inferiore
0
· · · 0
1 0
1 1
0
· · · 0
L = . . .
.. · · ·
.
. .
.
1 1
1
··· 1
|ω(LT )| =
1
e quindi det (L) = 1. Segue che ω(T 0 ) = , e anche in generale l’n-tetraedro
n!
con spigoli vi ha volume uguale a
ω( v1 , v2 , . . . , vn )
.
n!
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§ 19.
ANGOLI E PROIEZIONI ORTOGONALI
189
Figura 10.2: Icosaedro, di Piero Della Francesca (nel De Divina Proportione
di Luca Pacioli)
(19.13) Esempio (Solidi platonici). Come vedremo nell’esercizio (10.25), è
possibile classificare i sottogruppi finiti di rotazioni in SO(3), che sono
legati ai gruppi di simmetrie dei poliedri regolari, i solidi platonici.
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190
#10.
SPAZI EUCLIDEI E ISOMETRIE
Figura 10.3: Leonardo Da Vinci, Dodecaedro (dal De Divina Proportione di
Luca Pacioli)
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191
Esercizi
ESERCIZI
*(10.1) Dimostrare che se {e1 , e2 , . . . , en } sono un insieme di vettori ortogonali
di uno spazio vettoriale euclideo E, allora sono linearmente indipendenti.
È vero anche il viceversa (cioè che se si considerano n vettori linearmente
indipendenti in uno spazio vettoriale euclideo E allora sono ortogonali)?
(Suggerimento: se sono linearmente dipendenti allora si possono trovare
n coefficienti non tutti nulli λ1 , λ2 , …, λn tali che λ1 e1 + λ2 e2 + · · · + λn en = 0.
Ma se λi ̸= 0 e si moltiplicano entrambi i membri per ei – con il prodotto
scalare – si ottiene …. Per il viceversa: in A2 (R) trovare due vettori
linearmente indipendenti ma non ortogonali.
*(10.2) Dimostrare che le isometrie tra spazi (affini) euclidei si scrivono,
scelti sistemi di riferimenti ortonormali, come
x 7→ Ax + b,
dove A è una matrice ortogonale e b un vettore. (Suggerimento: come nella
dimostrazione (16.10))
(10.3) Dimostrare il lemma (18.6) a pagina 174.
(10.4) Dimostrare che le traslazioni di uno spazio euclideo sono isometrie.
*(10.5) Determinare una formula per la proiezione ortogonale di uno spazio
euclideo En su un suo sottospazio affine S di dimensione d < n, dato un punto
→
−
di S e una base ortonormale per S . (Suggerimanto: si veda la dimostrazione
di (19.5), in cui si proietta su un sottospazio di dimensione 1 – una retta.
Proiettare sulle rette generate dagli elementi della base e sommare …)
(10.6) Siano A, B, C ∈ En tre punti di uno spazio euclideo. Dati altri tre
punti A′ , B′ , C ′ ∈ En , dimostrare che esiste una isometria f : En → En tale che
f ( A) = A′ , f ( B) = B′ e f (C ) = C ′ se e solo se f conserva le distanze tra i punti,
cioè
|A′ − B′ | = |A − B|, |B′ − C ′ | = |B − C|, |A′ − C ′ | = |A − C|.
1
0
0
(10.7) Siano A = 0, B = 1, C = 0 tre punti di E3 . Esiste una isometria
0
0
1
f : E3 → E3 tale che f ( A) = B, f ( B) = C e f (C ) = A? Se sì, quale (scriverla in
forma matriciale)?
(10.8) Siano r1 e r2 due rette di E3 . Sotto quali condizioni esiste una
isometria che manda r1 in r2 ?
1
(10.9) Calcolare la distanza tra il punto 1 di E3 e il piano passante per
1
1
1
2 ortogonale al vettore 0.
0
3
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192
#10.
SPAZI EUCLIDEI E ISOMETRIE
(10.10) Determinare un vettore ortogonale al piano di E4 di equazione
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5 = 0.
*(10.11) Una similitudine f : En → En è una funzione che conserva i rapporti
tra le distanze, cioè una funzione per cui esiste una costante k > 0 tale che
| f ( x ) − f (y)| = k|x − y| per ogni x, y ∈ En . Dimostrare che le similitudini conservano
gli angoli: se A, B, C ∈ En sono tre punti, allora l’angolo tra B − A e C − A è
uguale (a meno di orientazione) a quello tra f ( B) − f ( A) e f (C ) − f ( A).
*(10.12) È vero che una similitudine, come definita nell’esercizio precedente (10.11), è sempre una mappa affine? E una isometria?
(Suggerimento: si veda la dimostrazione di (18.12))
(10.13) Si consideri il piano affine euclideo E2 . Dimostrare che ogni isometria del piano si può scrivere componendo un numero finito di riflessioni
lungo rette.
(Suggerimento: anche le traslazioni e le rotazioni si possono scrivere
come composizione di due riflessioni lungo due rette …parallele oppure no
…)
(10.14) Dimostrare che se S ⊂ En è un sottospazio e pS è la proiezione
ortogonale pS : En → S, allora la funzione f : En → En definita da
f ( x ) = pS ( x ) + ( pS ( x ) − x )
è una isometria che fissa tutti e soli i punti di S (cioè tale che f ( x ) = x
se e solo se x ∈ S).
[ ] [ ] [ ]
0
1 0
(10.15) Scrivere una isometria del piano che manda i punti
,
ad
0
0 1
una distanza dall’origine di almeno 4 unità.
[ ] [ ] [ ]
x
0
1
(10.16) Sia S la retta di equazione parametrica 1 =
+t
in E2 . Scrivere
x2
1
1
le equazioni della riflessione (ortogonale) di E2 attorno a S.
[ ] [ ]
[ ]
x1
p1
v
*(10.17) Sia S la retta di equazione parametrica
=
+ t 1 in E2 . Dex2
p2
v2
terminare i valori dei coefficienti ai, j e bi per cui la trasformazione
affine
][ ] [ ]
[
[ ]
b
a1,1 a1,2 x1
x1
+ 1
7→
b2
a2,1 a2,2 x2
x2
è la riflessione (ortogonale) attorno a S.
(10.18) Determinare tutte le isometrie del piano euclideo che fissano almeno un punto. (Suggerimento: usare (18.13) e trovare tutte le trasformazioni
ortogonali di O(2).)
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193
Esercizi
(10.19) Dimostrare che ogni rotazione di E2 è composizione di due riflessioni (lungo due rette) (si considerino tre punti A, B, C di un sistema di
riferimento affine euclideo per E2 , e le tre immagini f ( A) = A′ , f ( B) = B′ ,
f (C ) = C ′ : quali sono le riflessioni che mandano A in A′ ?).
(10.20) Dimostrare che ogni isometria del piano può essere scritta come
la composizione di al più tre riflessioni (lungo rette). (Suggerimento:
se A, B e C sono tre punti linearmente indipendenti del piano, cioè non
allineati, allora le immagini A′ , B′ e C ′ sono anch’esse tre punti non
allineati del piano. Con una riflessione (quale?) si può mandare A in A′ .
Poi si può mandare B in B′ riflettendo lungo una retta passante per A = A′ ,
e quindi trovarsi con A = A′ , B = B′ …)
*(10.21) Dimostrare che le isometrie (non banali) del piano sono tutte e
sole le seguenti: rotazioni, traslazioni, riflessioni, glissoriflessioni.
(10.22) Siano A e B due punti distinti di E2 , e f , g le rotazioni attorno
ad A e B (rispettivamente) di angolo π/2. Determinare l’angolo e il centro
delle rotazioni f g e gf . Che cos’è il gruppo di isometrie di E2 generato
da f e g? Determinare l’orbita di A, di B e del punto medio del segmento
AB.
(10.23) Dimostrare che se G è un gruppo finito di isometrie di E2 , allora
esiste Q ∈ E2 fissato da G.
Nel prossimo esercizio si dimostra il Teorema Fondamentale dell’Algebra.
Questa dimostrazione si basa su proprietà elementari dei polinomi, principalmente della funzione norma, e sul fatto che una funzione su un compatto
di C ha certamente minimo.
**(10.24) Dimostrare le seguenti affermazioni.
(i) Sia p( x ) un polinomio a coefficienti in R di grado dispari. Allora p( x )
ha una radice reale (cioè esiste x0 ∈ R tale che p( x0 ) = 0).
(ii) Se p( x ) è un polinomio a coefficienti in C
p( x ) = an zn + an−1 zn−1 + . . . + a1z + a0 ,
e p̄( x ) indica il polinomio i cui coefficienti sono i complessi coniugati
āi , p̄( x ) = ān zn + ān−1 zn−1 + . . . + ā1 z + ā0 , allora p( x ) ha coefficienti reali se e
soltanto se p = p̄, e per ogni z ∈ C si ha p(z ) = p̄(z̄ ).
(iii) Per ogni p, q polinomi a coefficienti in C, se r = pq, allora r¯ = p̄q̄.
(iv) Per ogni polinomio p(z ) a coefficienti in C il polinomio r (z ) = p(z ) p̄(z )
ha coefficienti in R.
(v) Se z0 è una radice di r (z ) = p(z ) p̄(z ), allora z0 o z̄0 è una radice per p(z ).
(vi) Sia p(z ) un polinomio a coefficienti reali. Allora per ogni m > 0 esiste
r > 0 tale che |z| > r =⇒ |p(z )| > m.
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194
#10.
SPAZI EUCLIDEI E ISOMETRIE
(vii) Per ogni r > 0, esiste z0 tale che |z0 | ≤ r e |z| ≤ r =⇒ |p(z )| ≤ |p(z0 )|.
(viii) La funzione |p(z )|, C → R, ammette un minimo globale z0 , tale che
∀z ∈ C, |p(z )| ≥ |p(z0 )|.
(ix) Se z0 ∈ C è il punto di minimo globale, e se z0 ̸= 0, allora la funzione
p(z0 + z )
definita da f (z ) =
è un polinomio di grado n (il grado di p(z ))
p(z0 )
tale che f (0) = 1 e
f (z ) = 1 + zk r (z )
con r (z ) polinomio di grado n − k tale che r (0) ̸= 0, e k ≥ 1. Inoltre il
minimo globale per | f (z )| è in 0 ∈ C.
(x) Esiste z1 ∈ C tale che z1k r (0) = −1.
(xi) La funzione g(z ) = f (z1 z ) è un polinomio in z di grado n che si scrive
come
g(z ) = 1 − zk + zk+1rˆ(z )
dove rˆ(z ) è un polinomio in z. Il minimo globale di |g(z )| è in z = 0.
(xii) Per ogni z ∈ C, si ha
|g(z )| ≤ |1 − zk | + |zk+1 ||rˆ(z )|.
(xiii) Esiste t ∈ R tale che 0 < t < 1 e t|g(t )| < 1, e quindi
|g(t )| ≤ 1 − t k + t k+1 |g(t )| = 1 − t k (1 − t|g(t )|) < 1.
(xiv) Se p(z ) è un polinomio a coefficienti reali di grado n ≥ 1, allora
esiste z0 ∈ C tale che f (z0 ) = 0 (si consideri che la funzione |p(z )| ha
minimo in z0 , e questo punto non può essere tale che |p(z0 )| = 0).
(xv) Se p(z ) è un poliniomio a coefficienti complessi di grado n ≥ 1, allora
esiste z0 ∈ C tale che p(z0 ) = 0.
Nel prossimo esercizio dimostriamo un pezzo del teorema di classificazione dei sottogruppi finiti di SO(3): Cn , Dk , T , O, I.
**(10.25) Sia G ⊂ SO(3) un gruppo finito e S = S 2 ⊂ E3 la sfera unitaria.
Dimostrare le seguenti proposizioni.
(i) Per ogni x ∈ S lo stabilizzatore G x ⊂ G è un gruppo ciclico finito.
(ii) Per ogni g ∈ G ∖ {1}, lo spazio fissato da g in S, cioè S g = {x ∈ S : gx = x},
è un insieme di due punti antipodali {x, −x}.
(iii) L’insieme X dei poli, cioè degli x ∈ S con stabilizzatore non banale
X = {x ∈ S : |G x | > 1} è invariante rispetto all’azione di G su S: ∀g ∈ G,
gX = X (per ogni insieme finito Y si denota con |Y | il numero di elementi
di Y ).
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195
Esercizi
(iv) Sia p : X → X/G la mappa di proiezione sullo spazio quoziente. Se x̄ è
un’orbita in X/G, allora x̄ ha |G|/|G x | elementi. Se x e y stanno nella
medesima orbita, allora |G x | = |G y |. Sia nx̄ l’intero definito da nx̄ = |G x |
per un elemento x dell’orbita x̄. Il G-insieme X è unione disgiunta
delle sue orbite, e quindi
∑ |G|
.
n
x̄
x̄∈X/G
|X| =
(v) Sia X̄ l’insieme X dei poli quozientato rispetto alla relazione di
equivalenza data da x ∼ −x. Allora 2|X̄| = |X|.
(vi) Sia f : G ∖ {1} → X̄ l’applicazione che associa ad ogni g ∈ G, g ̸= 1, la
coppia di poli {x, −x} ∈ X̄ fissata da g in S. Mostrare che f è suriettiva,
e dedurre che X è finito.
(vii) Se [ x ] ∈ X̄ è una classe di equivalenza di poli, allora G x = G y per ogni
y ∈ [ x ], e l’insieme f −1 ([ x ]) ha |G x | − 1 elementi.
(viii) Valgono le uguaglianze
2(|G| − 1) = 2
∑
(|G x | − 1) =
[ x ]∈X̄
(ix) Vale l’uguaglianza
2(|G| − 1) =
∑
(|G x | − 1)
x∈X
∑ |G|
(nx̄ − 1).
n
x̄∈X/G x̄
(x) Se G non è il gruppo banale, valgono le disuguaglianze
1≤
∑
x̄∈X/G
(1 −
1
) < 2.
nx̄
(xi) Valgono le disuguaglianze
∑
1
1
|X/G| ≤
(1 − ) < |X/G|,
2
n
x̄
x̄∈X/G
da cui
2 ≤ |X/G| ≤ 3.
(xii) Ci sono 2 o 3 orbite di poli in X/G. Se X/G = { x̄1 , x̄2 }, allora posto
n1 = nx̄1 e n2 = nx̄2 si ha
2
1
1
=
+ ,
|G| n1 n2
e questo implica n1 = n2 = |G| (osserviamo che se n = |G|, allora n/ni è intero
per i = 1, 2 e che n/n1 + n/n2 = ). Quindi G è il gruppo ciclico generato da
una rotazione, indicato con il simbolo Cn .
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196
#10.
SPAZI EUCLIDEI E ISOMETRIE
(xiii) Se X/G = { x̄1 , x̄2 , x̄3 }, allora posto n = |G|, n1 = nx̄1 , n2 = nx̄2 e n3 = nx̄3 si ha
1+
1
1
2
1
+
+ .
=
n n1 n2 n3
Allora se supponiamo n1 ≥ n2 ≥ n3 > 1, deve essere n3 = 2, e quindi
1 2
1
1
+ =
+ .
2 n n1 n2
(xiv) Dalla disequazione precedente e da n1 ≥ n2 ≥ 2, si deduce che n2 ∈ {2, 3}.
n
(xv) Se n2 = 2, allora 2n1 = n, quindi (n1 , n2 , n3 ) = ( , 2, 2). Il gruppo G è (deve
2
essere! perché?) il gruppo generato da due rotazioni di angolo π
attorno a due assi che si intersecano nell’origine con angolo 2π/n
(gruppo diedrale di ordine n = 2n1 , indicato con il simbolo Dn1 ).
(xvi) Se n2 = 3, allora
1 2
1
+ = .
6 n n1
e quindi 3 ≤ n1 ≤ 5, da cui
n1 = 3 =⇒ n = 12;
n1 = 4 =⇒ n = 24;
n1 = 5 =⇒ n = 60.
(xvii) Esistono gruppi con n3 = 2, n2 = 3 e n1 ∈ {3, 4, 5}: sono i gruppi delle
rotazioni che sono simmetrie del tetraedro (T ), esaedro/ottaedro (cubo)
(O), icosaedro/dodecaedro (I). Descriverne gli assi di rotazione. Ci
sono solo questi gruppi in SO(3) con questi insiemi di poli?
(10.26) Sia G ⊂ GL(n, R) un sottogruppo finito di ordine |G| > 1, e x · y denoti
il prodotto scalare standard di Rn . Allora:
(i) Il prodotto ⟨x, y⟩, definito per x, y ∈ Rn da
⟨x, y⟩ =
1 ∑
( Ax) · ( Ay)
|G| A∈G
è un prodotto scalare.
(ii) Per ogni A ∈ G, per ogni x, y ∈ Rn si ha
⟨Ax, Ay⟩ = ⟨x, y⟩.
(iii) Esiste una base b1 , . . . , bn di Rn ortonormale rispetto al prodotto ⟨−, −⟩.
(iv) Se Q è la matrice del cambio di base, tale che Qbi = ei per ogni i = 1, . . . , n
(ei vettori della base standard), allora
⟨x, y⟩ = (Qx) · (Qy) = xt Qt Qy.
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197
Esercizi
(v) Per ogni A ∈ G la matrice coniugata QAQ−1 è ortogonale.
(vi) L’applicazione G → O(n) definita da A 7→ QAQ−1 è un omomorfismo di
gruppi, ed è iniettiva.
(vii) Se G è un sottogruppo finito di GL(n, R), allora G è isomorfo ad un
sottogruppo finito di O(n).
Abbiamo visto nella proposizione (18.12) che una isometria tra spazi
euclidei è sempre un isomorfismo affine. Ma cosa succede se si considerano
spazi la cui metrica viene da una norma arbitraria (non quella standard
di En )? Mostriamo nel prossimi esercizi come le cose cambiano, ma non di
molto.
*(10.27) Sia R con la metrica euclidea, e V = R2 con la metrica indotta
dalla norma del massimo
∀x = ( x1 , x2 ) ∈ R2 ,
∥x∥ = max{|x1 |, |x2 |},
per cui la distanza tra x e y in V è data da ∥x − y∥. Dimostrare i seguenti
fatti.
(i) La funzione f : R → V definita da f (t ) = (t, sin t ) conserva la distanza, cioè
per ogni t1 , t2 ∈ R si ha ∥ f (t1 ) − f (t2 )∥ = |t1 − t2 |.
(ii) La funzione f definita sopra non è una mappa affine.
**(10.28) (Teorema di Mazur-Ulam) Siano X e Y spazi vettoriali reali con
norme ∥·∥X e ∥·∥Y . Si considerino come spazi affini, con la struttura di
spazio affine standard. Sia f : X → Y una isometria (biunivoca). Dimostrare
le seguenti proposizioni.
(i) La funzione f è continua.
(ii) Se f conserva i punti medi dei segmenti, allora è una mappa affine;
cioè, se per ogni A, B ∈ X si ha
f(
f ( A) + f ( B)
A+ B
)=
,
2
2
allora f è affine. (Suggerimento: usare la proposizione (16.16), la
densità dei razionali diadici dell’esercizio (2.2) a pagina 24 e la
continuità)
(iii) Se Q ∈ X è un punto qualsiasi, allora la riflessione centrale attorno
a Q (definita da φ( x ) = Q + (Q − x )) è una isometria tale che φ−1 = φ e
φ( x ) = x ⇐⇒ x = Q.
(iv) Mostrare che se φ è una riflessione centrale attorno a Q ∈ X, allora
per ogni x ∈ X si ha
∥φ( x ) − Q∥X = ∥x − Q∥X ,
∥φ( x ) − x∥X = 2∥x − Q∥X .
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198
#10.
SPAZI EUCLIDEI E ISOMETRIE
A+ B
il punto medio. Se
2
g: X → X è una isometria tale che g( A) = A e g( B) = B, allora ∥g(Q) − A∥X =
∥Q − A∥X e
∥g(Q) − Q∥X ≤ 2∥A − Q∥X .
(v) Siano A, B ∈ X due punti distinti A ̸= B, e Q =
(vi) Sia W l’insieme di tutte le isometrie (biunivoche) g di X (in X)
tali che g( A) = A e g( B) = B; esiste l’estremo superiore
λ = sup ∥g(Q) − Q∥X .
g∈W
(vii) Sia φ : X → X la riflessione centrale attorno a Q (punto medio di AB).
Se g ∈ W, allora φg−1 φg ∈ W.
(viii) Per ogni g ∈ W,
∥φg−1 φgQ − Q∥X = ∥g−1 φgQ − φQ∥X
= ∥φgQ − gQ∥X .
(ix) Per ogni g ∈ W
∥φ( gQ) − gQ∥X = 2∥gQ − Q∥X ,
e quindi per ogni g
2∥gQ − Q∥X = ∥φg−1 φgQ − Q∥X ≤ λ.
(x) λ = 0, e quindi g ∈ W =⇒ g(Q) = Q.
(xi) Siano A′ = f ( A) e B′ = f ( B) le immagini di A, B in Y mediante l’isometria
A+ B
A′ + B′
f, e Q =
, Q′ =
i punti medi. Sia φ′ : Y → Y la riflessione
2
2
centrale attorno a Q′ . Allora la mappa h = φ f −1 φ′ f : X → X è un elemento
di W.
(xii) Dedurre che h(Q) = Q e che f (Q) = Q′ .
(xiii) (Teorema di Mazur-Ulam)* : ogni isometria biunivoca f : X → Y tra spazi
normati è una mappa affine.
* Lo
schema di questa dimostrazione è di Jussi Väisälä, che a sua volta è basata su idee
di A. Vogt.
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Settimana N° 11
SPAZI PROIETTIVI E PROIETTIVITÀ
§ 20.
SPAZI PROIETTIVI
(Cfr.)*
(20.1) Definizione. Sia V uno spazio vettoriale su campo K. Lo spazio
proiettivo generato da V (il proiettivizzato di V , denotato con P(V )), è
il quoziente di V ∖ {0} con la relazione di equivalenza v ∼ w ⇐⇒ ∃λ ∈ K ∗ =
K ∖ {0} : w = λv. La dimensione di P(V ) è uguale a dim (V ) − 1.
(20.2) Esempio. L’esempio standard si ottiene considerando lo spazio vettoriale K n+1 di dimensione n + 1. Il proiettivo associato si indica con Pn (K )
(dunque Pn (R) e Pn (C) indicano lo spazio proiettivo reale e complesso di
dimensione n). Se K ha una topologia (metrica), così come An (K ) ha la
topologia generata da quella di K, anche Pn (K ) ha una topologia naturale:
la topologia quoziente.
(20.3) Nota. Osserviamo che la definizione (20.1) può essere data anche
in termini di gruppi di trasformazioni: l’insieme degli scalari non nulli
K ∗ = K ∖ {0} è un gruppo rispetto all’operazione di moltiplicazione (gruppo
moltiplicativo), che agisce su V ∖ {0} (moltiplicazione per uno scalare).
Allora semplicemente il proiettivizzato P(V ) è uguale allo spazio delle
K ∗ -orbite
P(V ) = V ∖ {0}/K ∗ .
Se V ha dimensione 1, allora V ∼
= K e V ∖ {0} ∼
= K ∖ {0}; non è difficile vedere
che quindi P(V ) è costituito da un elemento solo.
(20.4) Nota. Una definizione equivalente di spazio proiettivo è la seguente:
P(V ) è l’insieme di tutti i sottospazi di dimensione 1 di V . Come esercizio,
dimostrare che questa definizione coincide con la definizione (20.1) (cioè
che i due insiemi ottenuti sono in corrispondenza biunivoca).
* Cfr:
Sernesi, Vol I, cap 3 [1].
199
200
#11.
SPAZI PROIETTIVI E PROIETTIVITÀ
Figura 11.1: Piero Della Francesca (1415 – 1492), Pala di Brera / Pala
Montefeltro
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
§ 20.
201
SPAZI PROIETTIVI
Figura 11.2: Raffaello Sanzio (1483 – 1520), La Scuola di Atene
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
202
#11.
SPAZI PROIETTIVI E PROIETTIVITÀ
(20.5) Esempio. La retta proiettiva P1 (R) = P(R2 ): è omeomorfa a una circonferenza quozientata rispetto alla relazione di equivalenza x ∼ −x, oppure
ad un segmento con gli estremi identificati (cfr. esercizio (11.2) a pagina
215). Quanti punti ha la retta proiettiva P1 (Z p ), con p ∈ N primo? E a cosa
è omeomorfa la retta proiettiva P1 (C) = P(C2 ). Osserviamo che (z0 , z1 ) ∼ (z0′ , z1′ )
se e soltanto se esiste λ ∈ C∗ tale che zi′ = λzi per i = 0, 1. Se z0 = 0, allora
z1 ̸= 0 e quindi (0, z1 ) ∼ (0, 1) dato che z1 = λ · 1 con λ = z1 . Se z0 ̸= 0, allora nello
stesso modo
z1
(z0 , z1 ) ∼ (1, ).
z0
Quindi in P1 (C) ci sono i punti del tipo [(1, w) con w ∈ C e il punto [(0, 1)]. Con
la proiezione stereografica possiamo definire una funzione S 2 ∖ {(0, 0, 1)} → R2 ,
come
y
x
,
) ∈ R2 .
( x, y, z ) ∈ S 2 ∖ {(0, 0, 1)} ⊂ R3 7→ (
1−z 1−z
Questa si estende ad una funzione
( x, y, z ) ∈ S 2 7→ [(1,
x + iy
)] ∈ P1 (C)
1−z
?
Per rispondere a questa domanda, osserviamo che per ogni x, y, z ∈ R con
x 2 + y2 + z2 = 1 (( x, y, z ) ∈ S 2 ⊂ R3 ) e z ̸= 1 (da cui segue che x 2 + y2 = 1 − z2 ̸= 0) si ha
(1,
x + iy
) ∼ (1 − z, x + iy)
1−z
∼ (1 − z2 , (1 + z )( x + iy))
∼ ( x 2 + y2 , (1 + z )( x + iy))
∼ (( x − iy)( x + iy), (1 + z )( x + iy))
∼ ( x − iy, 1 + z ).
Da questo segue che la risposta è affermativa (lo si svolga per esercizio:
(11.2) a pagina 215). Nello stesso esercizio dimostrare che la funzione
appena definita è un omeomorfismo.
(20.6) Definizione. Consideriamo lo spazio proiettivo Pn (K ) di dimensione
n su campo K. Un punto di x ∈ K n+1 si scrive come (n + 1)-upla con coordinate
xi ∈ K
( x 0 , x 1 , . . . , x n ).
Se x ̸= 0 (cioè non tutte le coordinate xi sono nulle), la classe di equivalenza
di x si può indicare con [ x ] ∈ Pn (K ). Le coordinate xi di x si chiamano
coordinate omogenee di [ x ], e si scrive
[ x ] = [ x0 : x1 : · · · : xn ]
(20.7) Siano p = [ p0 : p1 : · · · : pn ] e q = [q0 : q1 : · · · : qn ] due punti di Pn (K ). Allora
p = q se e solo se esiste λ ∈ K ∖ {0} tale che
∀i = 0, . . . n, qi = λpi .
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§ 20.
203
SPAZI PROIETTIVI
Dim. È una conseguenza immediata della definizione (20.1).
⨳
(20.8) La funzione
j 0 : A n ( K ) → Pn ( K ) ,
definita da
( x1 , x2 , . . . , xn ) 7→ [1 : x1 : x2 : · · · : xn ]
è iniettiva. La sua immagine è
j0 (An (K )) = {[ p0 : p1 : · · · : pn ] ∈ Pn (K ) : p0 ̸= 0},
e si può definire l’applicazione inversa
{[ p0 : p1 : · · · : pn ] ∈ Pn (K ) : p0 ̸= 0} → An (K )
p1 p2
pn
[ p0 : p1 : · · · : pn ] 7→ ( , , . . . , ).
p0 p0
p0
Dim. È ovvio che j0 è ben definita. Per mostrare che è iniettiva, basta
mostrare che l’applicazione definita sopra è la sua inversa (definita su
{p0 ̸= 0}). Infatti, la composizione
xn
x1 x2
( x1 , x2 , . . . , xn ) 7→ [1 : x1 : x2 : · · · : xn ] 7→ ( , , . . . , )
1 1
1
è chiaramente l’identità di An (K ), mentre la composizione
[ p0 : p1 : · · · : pn ] 7→ (
p1 p2
pn
, , . . . , ) 7→
p0 p0
p0
7→ [1 :
p1 p2
pn
:
: ··· :
]
p0 p0
p0
è l’identità dato che esiste λ = p0 ̸= 0, λ ∈ K ∖ {0} tale che
p1 p2
pn
λ(1, , , . . . , ) = ( p0 , p1 , . . . , pn ).
p0 p0
p0
⨳
(20.9) Nota. È chiaro che avremmo potuto definire una funzione come la
j0 considerando non la prima coordinata (p0 ), ma una qualsiasi delle n + 1
coordinate di K n+1 . In questo modo possiamo “includere” lo spazio affine
An (K ) nello spazio proiettivo Pn (K ) in almeno n + 1 modi distinti. Più in
generale, cambiando le coordinate in K n+1 e in An (K ) si possono trovare
infiniti modi di definire tale inclusione.
(20.10) Definizione. Per ogni i = 0, . . . , n il sottoinsieme di Pn (K ) definito da
{[ p0 : p1 : · · · : pn ] ∈ Pn (K ) : pi ̸= 0}
si chiama la i-esima carta affine, e si indica con il simbolo Ani (K ). È il
complementare del sottospazio definito dall’equazione pi = 0, che si dice
iperpiano dei punti impropri, o punti all’infinito. I punti della i-esima
carta affine hanno, oltre che le coordinate omogenee, anche coordinate
affini relative a i, mediante l’applicazione inversa ji−1 .
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204
#11.
SPAZI PROIETTIVI E PROIETTIVITÀ
ji−1 : [ p0 : p1 : . . . : pn ] =
p0
pi−1
pi+1
pn
[ : ··· :
:1:
: ··· :
]
pi
pi
pi
pi
p0
pi−1 pi+1
pn
7→ ( , . . . ,
,
,... )
pi
pi
pi
pi
(20.11) Nota. Abbiamo quindi che Pn (K ) è l’unione disgiunta dei due sottospazi
Pn (K ) = {[ x ] ∈ Pn (K ) : x0 ̸= 0} ∪ {[ x ] ∈ Pn (K ) : x0 = 0}
= An0 (K ) ∪ Pn−1
0 ( K ),
dove An0 (K ) è la parte affine e Pn−1
0 ( K ) è il sottospazio dei punti all’infin
nito, o punti impropri di P (K ). La scelta della coordinata x0 , xi in realtà
può essere vista come la scelta di un iperpiano (di codimensione 1) di
punti impropri per Pn (K ).
(20.12) Definizione. Sia V ⊂ K n+1 un sottospazio vettoriale dello spazio
vettoriale K n+1 . Allora è ben definita l’inclusione
P(V ) ⊂ Pn (K ).
Il sottospazio P(V ) ⊂ Pn (K ) si dice sottospazio proiettivo (o sottospazio
lineare) di Pn (K ) di dimensione dim (P(V )) = dim (V ) − 1.
(20.13) Nota. I sottospazi di dimensione 0 si dicono punti, quelli di
dimensione 1 rette, quelli di dimensione 2 piani, quelli di dimensione n − 1
(codimensione 1) iperpiani.
(20.14) Proposizione. Se L è un sottospazio proiettivo di Pn (K ) di dimensione d, allora per ogni carta affine Ani (K ) ⊂ Pn (K ) l’intersezione Ani (K ) ∩ L,
se non vuota, è un sottospazio affine di Ani (K ) ∼
= An (K ) di dimensione d.
n
Viceversa, per ogni sottospazio affine S ⊂ Ai (K ) di dimensione d esiste un
sottospazio proiettivo L ⊂ Pn (K ) di dimensione d tale che S = Ani (K ) ∩ L.
Dim. Sia V ⊂ K n il sottospazio vettoriale per cui P(V ) = L. Senza perdere
in generalità, a meno di cambi di variabili, possiamo supporre che i = 0.
Come abbiamo già notato nella dimostrazione di (16.12), è sempre possibile
scrivere V come luogo degli zeri di una applicazione lineare (suriettiva)
K n+1 → K n−d , cioè come sistema di n − d equazioni (omogenee e indipendenti)
nelle n + 1 incognite (le coordinate di K n+1 , cioè le coordinate omogenee
dello spazio proiettivo associato); quindi esiste una matrice (n − d ) × (n + 1)
(una funzione lineare M : K n+1 → K n−d ) di rango n − d tale che
V = {v ∈ K n+1 : M (v) = 0}.
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§ 20.
205
SPAZI PROIETTIVI
L’intersezione An0 (K ) ∩ L è quindi l’insieme di tutti i punti [1 : x1 : x2 : · · · : xn ]
di An0 (K ) tali che
1
x1
M ( x2 ) = 0.
. . .
xn
Ma M è lineare, per cui si può scrivere (scelte le basi) come moltiplicazione di una matrice per un vettore, e quindi esistono coefficienti bi ,
ai, j tali che i punti di An0 (K ) ∩ L sono tutti e soli i punti di coordinate
( x1 , x2 , . . . , xn ) tali che
b1
b2
.
.
.
a1,1
a2,1
.
.
.
a1,2
a2,2
.
.
.
bn−d an−d,1 an−d,2
1
...
a1,n 0
x
...
a2,n 1 0
x2 = .
.
..
.
.
.
. .
.
.
.
...
an−d,n
0
xn
il che è equivalente a scrivere che
b1
b2
.
.
.
bn−d
+
a1,1
a2,1
.
.
.
a1,2
a2,2
.
.
.
an−d,1 an−d,2
...
...
..
.
...
x1 0
x 0
2
.
= . .
. .
.
.
an−d,n xn
0
a1,n
a2,n
.
.
.
L’insieme di soluzioni, se non vuoto, è uno spazio affine. Per verificare
che si tratta di uno spazio affine di dimensione d, basta osservare che il
rango della matrice (ai, j ) è proprio n − d. Infatti, il rango della matrice
(ai, j ) può essere uguale soltanto a n − d e n − d − 1, dal momento che la matrice
(ai, j ) si ottiene cancellando la prima colonna della matrice completa (bi , ai, j )
(che ha rango n − d per ipotesi). Ma se il rango è uguale a n − d − 1, allora
il vettore (bi ) non è combinazione lineare dei vettori colonna di (ai, j ), e
quindi il sistema non ha soluzioni. Quindi deve necessariamente essere
uguale a n − d, e l’insieme di soluzioni ha dimensione d. Abbiamo dimostrato
la prima parte della proposizione.
Ora, supponiamo di avere un sottospazio affine S di dimensione d, e
quindi l’insieme di soluzioni di Ax + b = 0. Proseguendo come sopra, ma al
contrario, possiamo osservare che la matrice M = (bi , ai, j ) ha rango n − d e che
individua il sottospazio vettoriale V di dimensione d + 1 tale che P(V ) = L
cercato.
⨳
(20.15) Nota. Come segue da (20.14), lo spazio proiettivo Pn (K ) può essere
pensato come l’unione di uno spazio affine An0 (K ) con coordinate [1 : x1 : x2 : · · · :
xn ] più un iperpiano di punti all’infinito (i punti impropri) di coordinate
[0 : x1 : x2 : · · · : xn ] (cfr. la nota (20.11) a pagina 204). I sottospazi proiettivi
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206
#11.
SPAZI PROIETTIVI E PROIETTIVITÀ
di Pn (K ) sono quindi i sottospazi affini in An0 (K ) cui sono stati aggiunti
i loro punti all’infinito.
(20.16) Definizione. Se S ⊂ An (K ) è un sottospazio affine e An (K ) ∼
= Ani (K ) ⊂
n
n
P (K ) è una carta affine, il sottospazio proiettivo L ⊂ P (K ) tale che
Ani (K ) ∩ L = S della proposizione appena dimostrata si dice il completamento
proiettivo (o anche chiusura proiettiva) di S.
(20.17) Esempio. Determiniamo la chiusura proiettiva e i punti all’infinito
della retta S di A2 (R) di equazione x1 + x2 = 1. Per prima cosa, aggiungendo
una coordinata, scriviamo A2 (R) come carta affine di P2 (R), con coordinate
[1 : x1 : x2 ]. Per trovare la chiusura proiettiva di S in P2 (R) dobbiamo trovare
una (sola) equazione lineare omogenea nelle coordinate [z0 : z1 : z2 ], che
definisca un sottospazio vettoriale di R3 di dimensione 2 (che corrisponde
alla retta proiettiva L cercata). Cioè
b1 z0 + a1 z1 + a2 z2 = 0
in modo tale che
b1 · 1 + a1 x1 + a2 x2 = 0
sia l’equazione di S nella carta affine. Basta riscrivere l’equazione come
−1 + x1 + x2 = 0,
e quindi definire b1 = −1, a1 = 1, a2 = 1. La retta proiettiva L ha quindi
equazione
−z0 + z1 + z2 = 0
nelle coordinate omogenee [z0 : z1 : z2 ] di P2 (R). I punti all’infinito sono le
intersezioni di L con la retta impropria di equazione z0 = 0, e quindi sono
le soluzioni (omogenee) del sistema
−z0 + z1 + z2 = 0
z0 = 0
che ha come soluzione tutti l’unico punto di coordinate omogenee [0 : 1 : −1]
(che possiamo scrivere come [0 : t : −t ] per ogni con t ̸= 0).
(20.18) Definizione. Così come nella definizione (15.6), presi d + 1 punti
[ p0 ], [ p1 ], …, [ pd ] di Pn (K ) si può definire il sottospazio proiettivo generato
dai punti stessi come l’insieme di tutte le combinazioni lineari
[λ0 p0 + λ1 p1 + · · · + λd pd ]
con i coefficienti λi ∈ K non tutti nulli. I punti [ pi ] ∈ Pn (K ) si dicono
linearmente dipendenti se i corrispondenti vettori pi ∈ K n+1 sono linearmente
dipendenti, e linearmente indipendenti se lo sono i vettori.
(20.19) Proposizione. Per due punti distinti di Pn (K) passa una e una sola
retta. Per tre punti non allineati di Pn (K) passa uno e un solo piano.
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§ 20.
207
SPAZI PROIETTIVI
§ 20.1.
ISOMORFISMI PROIETTIVI E PROIETTIVITÀ
(20.20) Definizione. Siano P(V ) e P(W ) due spazi proiettivi. Una funzione
f : P(V ) → P(W ) si dice proiettiva se esiste un omomorfismo iniettivo di
spazi vettoriali F : V → W tale che per ogni v ∈ V si ha f ([v]) = [ F (v)].
V ∖ {0}
P(V )
F
/ W ∖ {0}
f
/ P(W )
Si dice che F induce la funzione f . Se f ammette una inversa proiettiva
g (cioè una funzione g: P(W ) → P(V ) indotta da un omomorfismo iniettivo
G : W → V tale che gf = 1P(V ) e f g = 1P(W ) ), allora è detto un isomorfismo
proiettivo. In questo caso si dice che P(V ) e P(W ) sono isomorfi. Se V = W
(e quindi P(V ) = P(W ), allora un isomorfismo proiettivo si dice proiettività.
Osserviamo che diverse F possono indurre la stessa funzione proiettiva
f : P(V ) → P(W ): infatti se F : V → W induce f , allora anche λF, per λ ̸= 0,
λ ∈ K, induce la stessa f .
(20.21) Due omomorfismi F, G : V → W iniettivi inducono la medesima f : P(V ) →
P(W ) se e soltanto se esiste λ ∈ K ∗ tale che G = λF. La funzione f è un
isomorfismo se e soltanto se F : V → W è un isomorfismo di spazi vettoriali,
per una qualsiasi F che induce f .
Dim. Abbiamo già visto che se G = λF, allora inducono la stessa f . Viceversa,
se F e G inducono la medesima f , allora per ogni v ∈ V deve esistere λv ∈ K ∗
tale che
G (v) = λv F (v).
Se v e w sono due vettori di V , allora
G (v + w) = λ(v+w) F (v + w),
e dunque
G (v) + G (w) = λ(v+w) ( F (v) + F (w)).
Ma G (v) = λv F (v), G (w) = λw F (w), e quindi deve essere
λv F (v) + λw F (w) = λ(v+w) F (v) + λ(v+w) F (w).
Se v e w sono linearmente indipendenti, allora anche F (v) e F (w) lo sono,
e quindi
λv = λ(v+w) = λw .
Se v e w sono linearmente dipendenti, allora è facile vedere che λv = λw .
Quindi esiste λ (che non dipende da v) tale che G (v) = λF (v) per ogni v ∈ V .
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208
#11.
SPAZI PROIETTIVI E PROIETTIVITÀ
Ora, se f è un isomorfismo proiettivo (indotta da F), allora esiste la
sua inversa g (indotta da G). La composizione GF induce l’identità di P(V ),
la composizione FG induce l’identità di P(W ), e quindi devono esistere λ
e λ′ tali che
GF = λ1V , FG = λ′ 1W ,
e F deve essere un isomorfismo di spazi vettoriali.
⨳
(20.22) Nota. Due spazi vettoriali della stessa dimensione (su campo K)
sono isomorfi, per cui due spazi proiettivi sullo stesso campo e con la
stessa dimensione sono isomorfi. Quindi senza perdere in generalità si può
sempre pensare che uno spazio proiettivo su campo K sia Pn (K ). Se indichiamo
con GL(V ) il gruppo di tutti gli isomorfismi dello spazio vettoriale V in
sé e PGL(V ) il gruppo di tutte le proiettività di P(V ) in sé, si ha un
omomorfismo (di gruppi) GL(V ) → PGL(V ) suriettivo (per definizione) ma
non necessariamente iniettivo. Come abbiamo visto prima, il suo nucleo è
proprio dato dall’insieme di tutti i multipli di 1V (identità di V ) del
tipo λ1V , con λ ∈ K ∗ . Possiamo ripetere passo per passo l’argomento usato:
se A: V → V induce l’identità P(V ) → P(V ), allora per ogni v ∈ V si ha Av = λv v
per un certo λv ∈ K (che potrebbe dipendere da v), λv ̸= 0: cioè tutti i
vettori di V sono autovettori per A. Ora, se v′ = v + w, si ha
Av′ = Av + Aw
=⇒ λv′ v′ = λv v + λw w
=⇒ λv′ ( v + w) = λv v + λw w
=⇒ (λv′ − λv ) v + (λv − λw ) w = 0,
e quindi quando v e w sono linearmente indipendenti deve essere λv = λv′ =
λw . Dato che autovettori linearmente dipendenti hanno sempre lo stesso
autovalore, deduciamo che λv non dipende da v, e quindi che Av = λv, cioè
A = λ1V .
Le matrici del tipo λ1V costituiscono il centro di GL(V ). Il centro di
GL(n, K ) ∼
= GL(V ) è il sottogruppo di tutte le matrici A tali che AB = BA per
ogni B ∈ GL(V ). Sia ora Ei j una matrice con coefficienti ovunque 0 tranne 1 al
posto i j, con i ̸= j. La matrice I + Ei j ha determinante 1, e quindi è invertibile.
In particolare, se A è nel centro di GL(V ), deve essere A(I + Ei j ) = (I + Ei j ) A
per ogni scelta di i j, e quindi AEi j = Ei j A. Ma AEi j è una matrice che ha zeri
ovunque tranne nella colonna j-esima (dove compare la i-esima colonna di
A). Invece, Ei j A ha zeri ovunque tranne nella riga i-esima (dove compare la
j-esima riga di A). Quindi la matrice AEi j = Ei j A ha tutti zeri tranne nel
posto i j; nella j-esima colonna c’è la i-esima colonna di A, che quindi deve
avere tutti zero tranne il coefficiente aii , che compare in AEi j al posto
i j; nella i-esima riga di AEi j c’è la j-esima riga di A, che quindi deve
avere tutti zero tranne il coefficienti a j j , che compare in AEi j al posto
i j. Quindi A è una matrice diagonale con a11 = a22 = . . . = ann , cioè A = λI.
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§ 20.
209
SPAZI PROIETTIVI
(20.23) Definizione. Si dice che sottoinsiemi S, S ′ ⊂ Pn (K ) sono proiettivamente equivalenti se esiste una proiettività f : Pn (K ) → Pn (K ) tale che
f (S ) = S ′ .
(20.24) Esempio. Quali insiemi di due punti sono proiettivamente equivalenti in P1 (R)? Quali in P1 (C)?
(20.25) Esempio. Siano ( x A, yA ) e ( x B , yB ) le coordinate di due punti A, B ∈ A2 (K).
Se A ̸= B, l’equazione cartesiana della retta per A e B si può trovare
ragionando come segue: un punto X = ( x, y) sta sulla retta per A e B se e
soltanto se è allineato con A e B, cioè se e soltanto se il sottospazio
affine generato dai tre punti A, B e X ha dimensione 1. La sua chiusura
proiettiva deve anche avere dimensione 1, e questo succede se e soltanto
se i tre punti di P2 (K)
[ x A : y A : 1],
[ x B : yB : 1],
[ x : y : 1]
sono allineati in P2 (K). Ma questo capita se e soltanto se
x A yA x
det yA yB y = 0.
1 1 1
§ 20.2.
INCIDENZA DI SOTTOSPAZI
(20.26) Se S, T ⊂ Pn (K ) sono due sottospazi proiettivi e dim (S ) + dim (T ) ≥ n,
allora S ∩ T ̸= ∅, cioè S e T sono incidenti.
Dim. Siano V e W i due sottospazi vettoriali di K n tali che P(V ) = S ⊂ P(K n+1 )
e P(W ) = T ⊂ P(K n+1 ). Per definizione si ha dim (S ) = dim (V ) − 1, dim (T ) = dim (W ) − 1.
Per la formula di Grassmann si ha dim (V + W ) + dim (V ∩ W ) = dim (V ) + dim (W ), e
quindi
dim (V ) + dim (W ) − dim (V ∩ W ) ≤ n + 1 = dim (K n+1 ).
Dato che dim (S ∩ T ) + 1 = dim (V ∩ W ), i due sottospazi hanno punti in comune se
e solo se dim (V ∩ W ) ≥ 1 (per la definizione di spazio proiettivo); inoltre,
se dim (S ) + dim (T ) ≥ n si ha
dim (S ∩ T ) = dim (V ∩ W ) − 1
≥ (dim V + dim W − n − 1) − 1
= (dim S + 1 + dim T + 1 − n − 1) − 1
≥ 0,
e quindi la tesi.
⨳
(20.27) Corollario. Due rette distinte nel piano proiettivo P2 (K ) si incontrano sempre in un unico punto. Una retta e un piano che non la contiene,
nello spazio proiettivo P3 (K ), si incontrano sempre in un unico punto.
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210
#11.
SPAZI PROIETTIVI E PROIETTIVITÀ
Dim. Per (20.26) in entrambi i caso l’intersezione non è vuota. A questo
punto osserviamo che esiste una unica retta (proiettiva) passante per due
punti distinti di uno spazio proiettivo, per cui due rette non possono
avere due punti in comune senza essere coincidenti. Per quanto riguarda
la retta e il piano, si procede in modo analogo (vedere anche esercizi
(11.12) e (11.15)).
⨳
(20.28) Nello spazio proiettivo Pn (K ) comunque scelti n iperpiani, essi
hanno almeno un punto in comune.
Dim. Di fatto si tratta di n sottospazi di K n+1 di dimensione n (codimensione 1), cioè di n equazioni (omogenee) nelle n + 1 coordinate di K n+1 . La
dimensione dello spazio di soluzioni è sempre almeno 1.
⨳
(20.29) Se H ⊂ Pn (K ) è un iperpiano e P un punto non in H, allora ogni
retta passante per P incontra H esattamente in un punto.
Dim. Sia H = P(V ) per il sottospazio vettoriale V ⊂ K n+1 . Dire che P = [ p] ∈
Pn (K ) non appartiene a H significa dire che il vettore (non nullo) p non
appartiene a V . Sia l una retta per P, cioè l = P(W ), con W ⊂ K n+1 sottospazio
vettoriale di dimensione 2, e P = [ p] ∈ l, cioè p ∈ W . Dato che la somma delle
dimensioni dim (l ) + dim (H ) è esattamente n, per (20.26) la retta e l’iperpiano
devono avere necessariamente almeno un punto in comune. Se ne avessero due
distinti, risulterebbe che la dimensione dell’intersezione V ∩ W sarebbe
≥ 2, e quindi W ⊂ V =⇒ l ⊂ H. Ma questo non può essere dato che P ̸∈ H (si
⨳
veda anche l’esercizio (11.15)).
(20.30) Nota. Mediante (20.29) si può dimostrare che è possibile definire
la proiezione proiettando non solo parallelamente (come abbiamo visto fare
per spazi affini e euclidei), ma anche proiettando da un punto di Pn (K ).
Vediamo come: se Q ∈ Pn (K ) è un punto fissato e H e H ′ due iperpiani di Pn (K )
che non contengono Q, per ogni [ x ] ∈ H esiste una (unica) retta passante per
[ x ] e per Q; questa retta interseca H ′ in un unico punto, che chiamiamo f ([ x ]).
Abbiamo definito quindi una funzione f : H → H ′ (chiamata anche proiezione
prospettica, o prospettiva, di H su H ′ ). È un isomorfismo proiettivo tra
H e H ′ . Per mostrare questo, osserviamo che H = P(V ) e H ′ = P(V ′ ) con V
e V ′ sottospazi di K n+1 di dimensione n. La funzione f è un isomorfismo
proiettivo se esiste F : V → V ′ lineare (isomorfismo di spazi vettoriali)
che induce f . Ora, sia q ∈ K n+1 un vettore per cui [q] = Q. Dal momento che
q ̸∈ V ′ , si può scrivere K n+1 come somma (diretta) di sottospazi vettoriali
K n+1 = ⟨q⟩ ⊕ V ′
e di conseguenza si può definire la proiezione π : K n+1 → V ′ lungo la direzione del vettore q (meglio, del sottospazio vettoriale generato da q,
di dimensione 1). La restrizione di π a V è anch’essa un omomorfismo di
spazi vettoriali, e quindi lo è la composizione F : V → K n+1 → V ′ , che è un
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§ 20.
211
SPAZI PROIETTIVI
isomorfismo dato che q ̸∈ V . Non rimane che mostrare che per ogni x ∈ V si
ha [ F ( x )] = f ([ x ]). La retta per [ x ] e Q è il sottospazio (di dimensione 2)
generato da x e da q. È chiaro che la sua intersezione con V ′ coincide con
la sua proiezione mediante π definita sopra (che proietta su V ′ ), dato che
la proiezione è parallela a q e [q] = Q è un punto della retta (e quindi
del piano che stiamo considerando), cioè che l’intersezione è generata da
F ( x ).
(20.31) Nota. A patto di aggiungere i punti all’infinito, possiamo definire
una proiezione prospettica anche tra iperpiani affini (e quindi non sarà
definita in alcuni punti degli iperpiani affini).
(20.32) Esempio. Proiettività P1 (R) → P1 (R) (circonferenza): in coordinate
affini sono…Proiettività P1 (C) → P1 (C) (sfera di Riemann): corrispondono in
coordinate affini alle trasformazioni di Möbius
z 7→
az + b
cz + d
per ad − bc ̸= 0. Sottogruppo modulare: con coefficienti interi.
(20.33) Esempio. Siano A una matrice n × n a coefficienti in K, b e c due
vettori di K n , e K il campo degli scalari. La proiettività (ricordare il
prodotto di matrici a blocchi)
[ ]
[
][ ] [
]
x
A b x
Ax + ub
7→ t
= t
u
c d u
c x + ud
in coordinate affini si scrive
1
[ ]
x
Ax
+
b
(
)
,
7→ ct x + d
1
1
cioè
Ax + b
.
ct x + d
Quando c = 0 (deve essere d ̸= 0 dato che la matrice completa è invertibile),
non è altro che una trasformazione affine. Altrimenti, manda l’iperpiano
(affine) di equazione ct x + d = 0 all’infinito.
In generale, una proiettività f di P(V ) in sé induce una corrispondenza
biunivoca tra gli iperpiani di V (o, equivalentemente, gli iperpiani di
P(V )) in sé. Se f manda l’iperpiano all’infinito in sé, allora deve essere
c = 0. Se invece c ̸= 0, non può mandare l’iperpiano all’infinito in sé. Cioè,
manda l’iperpiano all’infinito in sé se e solo se c = 0. In altre parole,
le trasformazioni affini di An0 (K ) ⊂ Pn (K ) sono le restrizioni alla parte
affine An0 (K ) di tutte quelle proiettività di Pn (K ) che mandano l’iperpiano
all’infinito in sé (si veda l’esercizio (11.26)).
x 7→
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212
#11.
SPAZI PROIETTIVI E PROIETTIVITÀ
(20.34) Esempio. Proiettiamo con una prospettiva E3 sul piano z = 0, con
fuoco in (0, 0, 1): la linea
0
x
0 + t y
1
z−1
1
passa per ( x, y, z ) e (0, 0, 1), e incontra il piano z = 0 per t =
, quindi la
1−z
proiezione è
x
x
z
y 7→ 1 −
y
z
1−z
In coordinate omogenee diventa la funzione lineare
[ x : y : z : u] 7→ [ x : y : 0 : u − z ].
(20.35) Esempio. Proviamo a invertire la funzione S 2 → P1 (C) definita
nell’esempio (20.5),
( x, y, z ) ∈ S 2 7→ [1 − z : x + iy] = [ x − iy : 1 + z ] ∈ P1 (C).
w2
(per w2 ̸= 0) si ha [1 : w] = [1 :
w1
e quindi basta invertire la proiezione stereografica ed ottenere
Se [w1 : w2 ] ∈ P1 (C), con wi ∈ C, se poniamo w =
x=
y=
z=
2ℜ(w)
x=
|w|2 + 1
2ℑ(w)
⇐⇒ y =
|w|2 + 1
|w|2 − 1
z=
|w|2 + 1
2ℜ(w2 /w1 )
|w2 /w1 |2 + 1
2ℑ(w2 /w1 )
|w2 /w1 |2 + 1
|w2 /w1 |2 − 1
|w2 /w1 |2 + 1
2ℜ(w2 /w1 )|w1 |2
2ℜ(w2 w1 )
x=
=
2
2
|w2 | + |w1 |
|w2 |2 + |w1 |2
2
2ℑ(w2 /w1 )|w1 |
2ℑ(w2 w1 )
y
=
=
|w2 |2 + |w1 |2
|w2 |2 + |w1 |2
2
2
|w2 | − |w1 |
z=
|w2 |2 + |w1 |2
Se quindi scriviamo w1 = a + ib, w2 = c + id, la mappa si scrive
2ℜ((c + id )(a − ib))
1
h(a, b, c, d ) = 2
2ℑ((c + id )(a − ib))
a + b2 + c2 + d 2 2
c + d 2 − a2 − b2
2(ac + bd )
1
= 2
2(ad − cb)
2
2
2
a +b +c +d
c 2 + d 2 − a2 − b2
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w2
w1 ]
§ 20.
213
SPAZI PROIETTIVI
Figura 11.3: Immersione (non regolare e con auto-intersezioni) del piano proiettivo in E3 . r := 1; plot3d([r*(1+cos(v))*cos(u), r*(1+cos(v))*sin(u),
-tanh(2/3*(u-Pi))*r*sin(v)], u = 0 .. 2*Pi, v = 0 .. 2*Pi);
Osserviamo che di fatto è una mappa definita su C2 ∖ {0} che passa al quoziente
con l’azione di C∗ , e quindi si può restringere ad una mappa sulla sfera
S 3 ⊂ R4 definita da a2 + b2 + c2 + d 2 = 1 come
h : S3 → S2 .
Questa è una mappa molto importante in geometria e topologia, chiamata la
mappa di Hopf, o anche fibrazione di Hopf. Provare a dimostrare che le
controimmagini dei punti di S 2 sono circonferenze disgiunte in S 3 .
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214
#11.
SPAZI PROIETTIVI E PROIETTIVITÀ
Figura
11.4:
Immersione
(regolare
senza
auto-intersezioni:
superficie
di
Boy)
del
piano
proiettivo
in
E3 .
X
:=
(sqrt(2)*cos(2*u)*cos(v)^2 + cos(u)*sin(2*v)) / (2-sqrt(2)*sin(3*u)*sin(2*v));
Y := (sqrt(2)*sin(2*u)*cos(v)^2 - sin(u)*sin(2*v)) / (2-sqrt(2)*sin(3*u)*sin(2*v));
Z := 3*cos(v)^2/(2-sqrt(2)*sin(3*u)*sin(2*v)); plot3d([X, Y, Z], u = -(1/2)*Pi ..
(1/2)*Pi, v = 0 .. Pi);
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215
Esercizi
ESERCIZI
(11.1) Dimostrare che la definizione (20.1) di spazio proiettivo come
spazio delle orbite mediante l’azione del gruppo moltiplicativo del campo
è equivalente (nel senso che gli insiemi ottenuti sono in corrispondenza
biunivoca) alla definizione della nota (20.4), cioè P(V ) è l’insieme di
tutti i sottospazi di dimensione 1 di V .
(11.2) Dimostrare che P1 (R) è omeomorfo alla circonferenza S 1 .
*(11.3) Dimostrare che P1 (C) è omeomorfo alla sfera S 2 .
*(11.4) Dimostrare che tutti gli spazi proiettivi Pn (R) e Pn (C), per n ≥ 1,
sono compatti. (Suggerimento: invece che considerare lo spazio proiettivo
come quoziente di Rn+1 ∖ {0} con l’azione del gruppo moltiplicativo R∗ , si può
considerare il quoziente solo della sfera S n ⊂ Rn+1 di equazione x02 + x12 + · · · + xn2 ,
che è compatta… e quindi l’immagine di un compatto mediante la mappa
(continua) quoziente è … )
(11.5) Dimostrare che A2 (R) è omeomorfo ad un disco aperto, e che quindi
P2 (R) si può scrivere come unione disgiunta di un disco aperto (la carta
affine) e la retta di punti all’infinito (che, siccome è omeomorfa a P1 (R),
è omeomorfa a una circonferenza S 1 ).
(11.6) Dimostrare che ogni sottospazio proiettivo L ⊂ Pn (K ) di dimensione d
è omeomorfo allo spazio proiettivo Pd (K ).
(11.7) Si considerino i punti [1 : 2 : 3], [2 : 3 : 1] e [3 : 1 : 2] di P2 (R). Dimostrare
che non sono allineati (cioè che non c’è una retta proiettiva che passa per i
tre punti). Sono punti impropri per la carta affine {[1 : x : y] : x, y ∈ R} ⊂ P2 (R)?
(11.8) Si consideri il piano proiettivo P2 (R) con carta affine A2 (R) = {[1 :
x : y]} come nell’esercizio precedente. Esiste una retta in A2 (R) che ha come
punti impropri [0 : 1 : 0] e [0 : 0 : 1]?
(11.9) Dimostrare che ogni retta del piano affine ha uno e uno solo punto
all’infinito, in qualsiasi chiusura proiettiva.
(11.10) Dimostrare che due rette distinte del piano proiettivo P2 (K ) hanno
sempre uno e un solo punto in comune (e quindi non ci sono rette parallele).
(11.11) Dimostrare che due rette parallele di A2 (K ) hanno lo stesso punto
all’infinito in qualsiasi chiusura proiettiva di A2 (K ) (cioè dimostrare
che due rette con punti all’infinito distinti si devono incontrare).
(11.12) Dimostrare che per due punti distinti di Pn (K ) passa e una sola
retta (sottospazio proiettivo di dimensione 1).
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216
#11.
SPAZI PROIETTIVI E PROIETTIVITÀ
(11.13) Sia S ⊂ Pn (K ) il sottoinsieme di Pn (K ) definito come segue: presi
in Pn (K ) d + 1 punti [ p0 ], [ p1 ], . . . , [ pd ], i punti di S sono quelli che si possono
scrivere (in coordinate omogenee) come combinazioni lineari
[λ0 p0 + λ1 p1 + · · · + λd pd ]
per certi coefficienti λi ∈ K non tutti nulli. Dimostrare che S è un
sottospazio proiettivo e che ogni sottospazio proiettivo di Pn (K ) si può
scrivere in questo modo. (Vedi la definizione (20.18))
(11.14) Dimostrare che il sottospazio (proiettivo) di Pn (K ) generato da
d + 1 punti è il più piccolo sottospazio proiettivo che contiene tutti i
d + 1 punti.
(11.15) Dimostrare che esiste uno ed un unico sottospazio proiettivo di
dimensione d che passa per d + 1 punti di Pn (K ) linearmente indipendenti.
(11.16) Dimostrare che una retta proiettiva è generata da due suoi punti
distinti.
(11.17) Dimostrare che se un sottospazio proiettivo S di Pn (K ) passa per d + 1
punti, allora S contiene il sottospazio proiettivo generato dai d + 1 punti
(cioè l’unico spazio proiettivo di dimensione d dell’esercizio (11.15)).
[ ]
1
(11.18) Scrivere la proiezione prospettica con centro nel punto
∈ A2 ( R ) ,
1
dalla retta di equazione {( x, y) ∈ A2 (R) : y = 0} alla retta di equazione ( x, y) ∈
A2 (R) : x = 0}.
(11.19) Si scriva in coordinate affini (rispetto ad una carta) la proiezione
prospettica di P2 (R) dove Q = [0 : 1 : 1], H = {[ x0 : x1 : x2 ] ∈ P2 (R) : x1 = 0} e
H ′ = {[ x0 : x1 : x2 ] ∈ P2 (R) : x2 = 0}. È una trasformazione affine di H in H ′ ?
(11.20) Determinare le equazioni omogenee (in P2 (R)) della retta di A2 (R)
di equazione x + y = y − 1. Qual è il suo punto all’infinito?
(11.21) Si considerino le rette di A2 (R) di equazione y = x + b, con b ∈ R.
Calcolare, al variare di b, le coordinate (omogenee) del punto all’infinito
della retta.
(11.22) Si considerino le rette di A2 (R) di equazione y = mx, con m ∈ R,
m ̸= 0. Calcolare, al variare di m, le coordinate (omogenee) del punto
all’infinito della retta.
*(11.23) Determinare le proiettività : P2 (R) → P2 (R) che fissano la retta
(impropria) {x0 = 0} (cioè ogni punto della retta impropria viene mandato in
sé).
(11.24) È possibile scrivere una traslazione di A2 (R) come restrizione ad
una carta affine di una proiettività di P2 (R)?
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217
Esercizi
[ ] [ ] [ ]
0
1
0
(11.25) Esiste una proiettività che manda i punti
,
,
di una carta
0
0
1
[ ] [ ]
[ ]
0
1
2
affine in
,
e
?
0
0
0
*(11.26) Sia An (K ) ⊂ Pn (K ) una carta affine e T : An (K ) → An (K ) una affinità.
Determinare (in un sistema di riferimento fissato, se si crede) una proiettività P che manda An (K ) in sé (e quindi l’iperpiano dei punti impropri in
sé) e che ristretta a An (K ) sia proprio uguale a T . (Suggerimento: Si scriva
T come x 7→ Ax + b per una matrice A e un vettore b. Nel cercare la matrice F
corrispondente della proiettività (che sarà una matrice (n + 1) × (n + 1)), si
osserva che se l’iperpiano dei punti impropri va in sé, allora la prima
riga di F ha un solo termine non zero… e a meno di moltiplicare F per una
costante si può supporre questo termine uguale a 1 … poi si utilizzano b e
A per riempire la matrice. Provare con matrici 3 × 3 all’inizio, per avere
un’idea più concreta. )
*(11.27) Mostrare che SO(3) ≈ P3 (R). (utilizzare l’esercizio (7.30) a pagina
126)
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218
#11.
SPAZI PROIETTIVI E PROIETTIVITÀ
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Appendice A
ALCUNI ESERCIZI SVOLTI
[[url:http://xkcd.com/356/]]
§ 1.
ESERCIZI SVOLTI
(1)
Determinare gli elementi dei seguenti insiemi:
(i) {x ∈ Z : ∀z ∈ Z, ∃y ∈ Z : xz = y};
(ii) {x ∈ Z : ∃y ∈ Z : ∀z ∈ Z, xz = y};
(iii) {x ∈ R : ∃y ∈ Z : ∀z ∈ Q, xz = y}.
Sol:
219
220
#A.
ALCUNI ESERCIZI SVOLTI
(i) Osserviamo che si può scrivere
{x ∈ Z : ∀z ∈ Z, ∃y ∈ Z : xz = y} = {x ∈ Z : ∀z ∈ Z, xz ∈ Z},
e dato che il prodotto di interi è sempre un numero intero si ha
{x ∈ Z : ∀z ∈ Z, xz ∈ Z} = Z.
(ii) Fissto un x ∈ Z, definiamo l’insieme
Sx = {xz : z ∈ Z}.
Allora si può scrivere
X = {x ∈ Z : ∃y ∈ Z : ∀z ∈ Z, xz = y} = {x ∈ Z : ∃y ∈ Z : Sx = {y}}.
Ora, si può facilmente vedere che
{0}
Sx =
l’insieme dei multipli di x
se x = 0
se x =
̸ 0.
Quindi se x ̸= 0 sicuramente x ̸∈ X, mentre se x = 0 si ha x ∈ X. Segue che
X = {0}.
(iii) Ora calcoliamo l’insieme Y = {x ∈ R : ∃y ∈ Z : ∀z ∈ Q, xz = y}. Si può procedere
come sopra, oppure nel modo seguente: se x0 ∈ Y , allora per definizione
esiste y ∈ Z tale che x0 z = y per ogni z ∈ Q. Se x0 ̸= 0, allora questo
significa che esiste un certo intero y (fissato) per cui ogni z ∈ QQ
è uguale a xy0 , ma questo è falso. Quindi necessariamente deve essere
x0 = 0, cioè Y ⊂ {0}. Mostriamo che {0} ⊂ Y , cioè che 0 ∈ Y , ovvero
∃y ∈ Z : ∀z ∈ Q, 0z = y.
Come sopra, basta prendere y = 0. Questo significa che Y = {0}.
///
(2)
Determinare se i seguenti insiemi sono aperti della topologia
indicata. Quali sono chiusi?
(i) {x ∈ Q : x ≤ 2} (nella topologia di Q).
(ii) {x ∈ Q : x ≤ 2} (nella topologia di R).
(iii) {x ∈ Q : x 2 ≤ 2} (nella topologia di Q).
(iv) {x ∈ Q : x 2 ≤ 2} (nella topologia di R).
(v) {x ∈ R : x 2 ≤ 2} (nella topologia di R).
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§ 1.
221
ESERCIZI SVOLTI
Sol: Sappiamo che nelle topologie di R e Q gli intervalli del tipo
(−∞, b), (a, ∞) sono aperti. Questo implica che gli intervalli del tipo [b, ∞),
(−∞, a] sono chiusi (complementari di aperti).
(i) {x ∈ Q : x ≤ 2} (nella topologia di Q): è chiuso (perché si può scrivere
come intervallo (−∞, 2]) e non è aperto (perché il punto 2 non è interno).
(ii) {x ∈ Q : x ≤ 2} (nella topologia di R): non è chiuso (se fosse chiuso
dovrebbe contenere tutti i suoi punti di accumulazione; ma basta √
prendere opportunamente una successione di razionali che converge a 2 < 2
per notare che questo non è vero) e non è aperto (non solo 2 non è
interno: nessun punto è interno in R!).
√
(iii) {x ∈ Q : x 2 ≤ 2} (nella topologia di Q): Dal momento che 2 ̸∈ Q, si può
scrivere
√ √
{x ∈ Q : x 2 ≤ 2} = [− 2, 2] ∩ Q
√ √
= (− 2, 2) ∩ Q
e quindi l’insieme preso in considerazione è sia chiuso che aperto.
(iv) {x ∈ Q : x 2 ≤ 2} (nella topologia di R): come sopra, non è né chiuso né
aperto.
2
(v) {x √∈ R
√ : x ≤ 2} (nella topologia di R): qui l’insieme è uguale a
[− 2, 2], che è chiuso e non è aperto (gli estremi non sono interni ma
appartengono all’intervallo).
///
(3) È vero che se un insieme X è finito allora è compatto per ogni
topologia che si considera? E il viceversa (cioè è vero che se un insieme è
compatto rispetto ad ogni possibile topologia, allora ha un numero finito
di punti)?
Sol: Mostriamo che se un insieme X è finito allora è compatto per ogni
topologia che si considera, cioè ogni ricoprimento mediante aperti di X
ammette un sottoricoprimento finito. Infatti, se {Ui } è un ricoprimento di
X, dal momento che X, essendo finito, ha un numero finito di sottoinsiemi,
solo un numero finito degli aperti che costituiscono il ricoprimento {Ui }
sono distinti. Basta quindi eventualmente eliminare le ripetizioni nel
sottoricoprimento (cioè cancellare gli aperti Ui che compaiono più volte)
per ottenere il sottoricoprimento finito cercato.
Viceversa: mostriamo che se un insieme è compatto rispetto ad ogni
possibile topologia, allora ha un numero finito di punti. In particolare,
deve essere compatto rispetto alla topologia discreta (dato che è compatto rispetto ad ogni possibile topologia), che ha per aperti tutti i
sottoinsiemi di X. Ma allora deve esistere un sottoricoprimento finito di
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222
#A.
ALCUNI ESERCIZI SVOLTI
ogni ricoprimento: prendiamo come ricoprimento di X la famiglia di insiemi
contenenti un solo elemento di x:
∪
X=
{x}.
x∈X
Ma questo ricoprimento non ha sottoricoprimenti (se togliamo uno qualsiasi
degli aperti {x} il punto x non è coperto da un aperto del ricoprimento),
e quindi deve essere necessariamente finito. Ma se tale ricoprimento è
finito, allora X ha un numero finito di punti. ///
(4) Determinare se i seguenti sottospazi di R2 (con la topologia metrica
di R2 ) sono connessi oppure no.
(i) X = {( x, y) ∈ R2 : xy = 1};
(ii) Y = {( x, y) ∈ R2 : ( xy − 1)( x − y) = 0};
(iii) Z = {( x, y) ∈ R2 : x 2 y − xy2 − x + y = 0}.
Sol:
(i) X = {( x, y) ∈ R2 : xy = 1}: consideriamo in R2 i due aperti U = {( x, y) ∈ R2 : x > 0
e V = {( x, y) ∈ R2 : x < 0}. Le intersezioni A = X ∩ U e B = X ∩ V sono non vuote
(infatti (1, 1) ∈ A e (−1, −1) ∈ B), disgiunte (dato che U ∩ V = ∅), tali che
X = A ∪ B (dato che ( x, y) ∈ X ⇐⇒ xy = 1 =⇒ x ̸= 0) e sono aperti nella
topologia indotta di X (visto che U e V sono aperti nella topologia
di R2 ). Questo significa che X non è connesso.
(ii) Y = {( x, y) ∈ R2 : ( xy − 1)( x − y) = 0}: per la legge di annullamento del prodotto,
( xy − 1)( x − y) = 0 se e solo se uno dei due fattori ( xy − 1) e ( x − y) si annulla.
Cioè, se indichiamo con R la retta {( x, y) ∈ R2 : x − y = 0}, si ha
Y = X ∪ R,
(Y è l’unione dell’iperbole X con la retta R). Ma osserviamo che X è
unione dei suoi due rami A e B (vedi sopra), che sono connessi (non
è difficile trovare due funzioni continue e suriettive f : (−∞, 0) → B e
g: (0, ∞) → A). Quindi Y è unione dei tre spazi connessi A, B e R, e
A ∩ R ̸= ∅, B ∩ R ̸= ∅. Possiamo dedurre (per esempio, dalla proposizione
12.9) che Y è connesso (in questo caso basta una giustificazione
intuitiva).
(iii) Z = {( x, y) ∈ R2 : x 2 y − xy2 − x + y = 0}: risulta Z = Y .
///
(5) Si consideri la famiglia τ di tutti i sottoinsiemi di N = {0, 1, 2, . . . }
costitutita dall’insieme vuoto, da N e da tutti i sottoinsiemi del tipo
{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4, 5} . . .
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§ 1.
223
ESERCIZI SVOLTI
È vero che τ è una topologia? Se sì, allora, rispetto a questa topologia,
N è connesso? È compatto?
Sol: Per mostrare che è una topologia dobbiamo mostrare che ∅ ∈ τ, N ∈ τ,
che l’unione di una famiglia qualsiasi di elementi di τ è ancora un elemento
di τ e che l’intersezione di una famiglia finita di elementi di τ è ancora
un elemento di τ. Osserviamo quindi che ogni elemento di τ diverso da ∅ e da
N si può scrivere come Un = {k ∈ N : 1 ≤ k ≤ n} per un certo n ≥ 1. Consideriamo
quindi una famiglia (finita o infinita) di aperti Uni . Sia X l’unione
∪
X=
Uni .
i
Vogliamo mostrare che X ∈ τ. Osserviamo che se x ∈ X e 1 ≤ y ≤ x, allora y ∈ X.
Infatti, se x ∈ X, allora esiste Uni per cui x ∈ Uni (oppure X = N, ma questo
caso lo escludiamo perché banale). Ma dato che Uni contiene tutti gli interi
k ≥ 1 e k ≤ ni , deve essere x ≤ ni , e quindi Uni (e di conseguenza X) contiene
tutti i numeri y ≤ x, y ≥ 1. Ma questo significa che se X è limitato, allora
esiste U M tale che X = U M , e quindi è aperto. Ma se X non è limitato?
Allora, per lo stesso argomento, risulta
X = {k ∈ N : 1 ≤ k} = {1, 2, . . . }
C’è quindi un problema: l’unico insieme di τ non limitato è N = {0, 1, 2, . . . },
che contiene in più l’elemento 0…Quindi τ non è una topologia.
Per chi vuole proseguire togliendo lo 0 da N…///
(6) Se X è uno spazio topologico con due sottospazi A e B non vuoti e
disgiunti tali che A ∩ B = ∅, allora è vero che X di certo non è connesso?
Sol:
No, basta prendere per esempio X = R, A = {0} e B = {1}. I due
sottoinsiemi A e B sono non vuoti e disgiunti, e A = A, per cui A ∩ B = ∅. Ma
X = R è connesso. ///
(7) Determinare se l’intervallo I = {x, ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1} meno un punto x0 ∈ I è
compatto e connesso, al variare di x0 . (I ∖ x0 = {x ∈ I : x ̸= x0 } ).
Sol:
Per prima cosa dimostriamo che I ∖ {x0 } non è mai compatto. Per
il teorema di Heine-Borel, basta dimostrare che per ogni x0 ∈ I lo spazio
I ∖ {x0 } non è chiuso nella topologia di R. Infatti, fissato x0 esiste una
successione {xn } in I ∖ {x0 } che converge a x0 , cioè x0 è di accumulazione per
I ∖ {x0 }. Ma x0 ̸∈ I ∖ {x0 }, e quindi abbiamo trovato un punto di accumulazione di
I ∖ {x0 } non contenuto in I ∖ {x0 } (cioè esso non contiene tutti i suoi punti
di accumulazione, ovvero non è chiuso).
Per quanto riguarda la connessione, sappiamo che i sottoinsiemi connessi
di R sono tutti e soli gli intervalli. Ma I ∖ {x0 } è un intervallo se x0 = 0
oppure x0 = 1 (infatti, rispettivamente si ha (0, 1] e [0, 1) ), mentre non lo è
se 0 < x0 < 1. Se ne deduce immediatamente che:
se x0 = 0 oppure x0 = 1;
connesso
I ∖ {x0 } è:
non connesso se 0 < x 1.
0
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224
#A.
ALCUNI ESERCIZI SVOLTI
///
(8)
Si consideri il sottoinsieme di R definito da
{
}
p
100
X = x ∈ R : x = , p, q ∈ Z, |pq| ≤ 10
.
q
Determinare quali delle seguenti affermazioni è vera (nella topologia
euclidea di R):
(i) X è chiuso;
(ii) X è aperto;
(iii) X è compatto.
Sol: L’insieme X consiste di tutti i numeri reali che si possono scrivere
come quoziente di due interi il cui modulo del prodotto non supera 10100
(e quindi ha al più 100 cifre). Siano p e q due interi positivi (e quindi
100
p ≥ 1, q ≥ 1). Se pq ≤ 10100 , allora q ≤ 10p ≤ 10100 , dato che p ≥ 1. Lo stesso
vale per q. Ne segue che ci sono un numero finito di coppie ( p, q), con p ≥ 1,
q ≥ 1 e tali che pq ≤ 10100 e quindi solo un insieme finito di numeri (che
chiamiamo X>0 che si possono scrivere come x = f racpq, con p ≥ 1 e q ≥ 1. Ora,
se p = 0 ci sono infiniti q tali che |pq| ≤ 10100 , ma tutti danno luogo allo
stesso elemento 0 ∈ X. Invece, non può essere q = 0. Da ciò si deduce che X
può essere quindi scritto come l’unione di tre insiemi finiti: l’insieme
X>0 definito sopra, l’insieme {0} e X<0 = −X>0 , cioè l’insieme degli opposti
di tutti gli elementi di X<0 . Quindi X è finito.
Ogni punto di R è chiuso; ogni unione finita di chiusi è chiusa; dunque
ogni insieme finito di R è chiuso. Pertanto X è chiuso.
Dato che R è connesso, non può contenere sottoinsiemi sia chiusi che
aperti diversi da ∅ e R, quindi X non è aperto.
X è anche compatto: da ogni ricoprimento mediante aperti di X si può
estrarre un sottoricoprimento finito come segue. Se {Ui }i∈J è la famiglia di
aperti del ricoprimento, allora
∪
X⊂
Ui .
i∈J
Per ogni x ∈ X, esiste quindi almeno un i ( x ) ∈ J tale che x ∈ Ui ( x ) (non è
necessariamente unico). Fatta la scelta per i ( x ), si ottiene facilmente che
∪
X⊂
Ui ( x ) ,
x∈X
e quindi esiste un sottoricoprimento finito di X, dato che X è finito.
///
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§ 1.
225
ESERCIZI SVOLTI
(9) Si consideri nel piano euclideo E2 (con la topologia metrica) il
sottoinsieme
X = {( x, y) ∈ E2 : x 2 − y2 ≤ 1}.
Determinare quali delle seguenti affermazioni è vera:
(i) X è chiuso;
(ii) X è aperto;
(iii) X è compatto;
(iv) X è connesso.
Sol: Osserviamo che la funzione f : E2 → R definita da f ( x, y) = x 2 − y2 è
una funzione continua. Ma allora la controimmagine di un chiuso di R è un
chiuso di E2 , e la controimmagine di un aperto di R è un aperto di E2 . La
controimmagine dell’intervallo (−∞, 1] (che è un chiuso di R) è uguale a
f −1 ((−∞, 1]) = {( x, y) ∈ E2 : f ( x ) ∈ (−∞, 1]} = X,
e quindi X è chiuso.
X non è aperto: consideriamo per esempio il punto di coordinate (1, 0).
Ogni suo intorno circolare contiene punti del tipo (1 + ϵ, 0) e (1 − ϵ, 0), con
ϵ > 0 piccolo a piacere. Ma (1 + ϵ )2 ≤ 1 accade solo per ϵ = 0, e quindi (1, 0)
non è interno a X.
Per il teorema di Heine-Borel, X è compatto se e solo se è chiuso e
limitato. Dato che è chiuso, è compatto se e solo se è limitato. Non è
limitato: per ogni R ∈ R il punto di coordinate (0, R) appartiene a X, dato
che per ogni R accade che −R2 ≤ 1. Quindi non è compatto.
Per mostrare che è connesso, basta osservare che è connesso per archi:
osserviamo che dal punto O = (0, 0) si può raggiungere un qualsiasi punto
( x0 , y0 ) di X mediante un cammino rettilineo. Infatti, se x02 − y02 ≤ 1, allora
per ogni t ∈ [0, 1] si ha
(tx0 )2 − (ty0 )2 = t 2 ( x02 − y02 ) ≤ t 2 ≤ 1
, e quindi il punto γ (t ) = (tx0 , ty0 ) sta in X. Quindi γ (t ) definisce un cammino
continuo che parte da (0, 0) (per t = 0) e arriva a ( x0 , y0 ) (per t = 1), e X è
connesso per archi.
///
(10) Determinare i punti di accumulazione in R del sottoinsieme di Q
definito da
p
{ q : p, q ∈ Z}.
10
È vera o no la seguente uguaglianza?
{
p
p
: p, q ∈ Z} = {
: p, q ∈ Z}
q
10
100q
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226
#A.
ALCUNI ESERCIZI SVOLTI
p
Sol: Sia X = { q : p, q ∈ Z} il sottoinsieme di Q in questione. Si tratta
10
di tutti i numeri razionali che hanno rappresentazione decimale con un
numero finito di cifre (anche dopo la virgola).
Prima di procedere, osserviamo che non tutti i numeri razionali si
possono scrivere in forma decimale con un numero finito di cifre: 13 e
tutte le frazioni con gruppi di cifre periodiche non possono. Ma per ogni
numero reale x (razionale o no) esiste una successione di numeri decimali
canonica (con numero di cifre crescente) che converge a x: quella che
si ottiene troncando alla q-esima cifra la parte decimale. Ciascuno dei
termini della successione è un elemento di X, per cui ogni numero reale è
limite di una successione di elementi di X; segue che la chiusura di X è
uguale a R. Ora, i punti di R ∖ X sono sicuramente di accumulazione. Rimane
da vedere quali punti di X sono di accumulazione o, equivalentemente, quali
punti di X sono isolati. Se esistesse un punto x0 ∈ X isolato (cioè tale che
esiste ϵ > 0 per cui nell’intervallo ( x0 − ϵ , x0 + ϵ ) non ci sono altri elementi
di X all’infuori di X), allora per un certo ϵ > 0 dovrebbe essere che nessun
numero dell’intervallo
( p̄
)
p̄
,
+
ϵ
10q̄ 10q̄
è di X. Ma la somma di due frazioni in X è ancora in X (perché?), e quindi
1
basta prendere un l intero abbastanza grande per cui
< ϵ ed ottenere
10l
1
p̄
+
l’elemento
di X che verifica le disuguaglianze
10q̄ 10l
p̄
1
p̄
p̄
<
+
+ ϵ.
<
10q̄ 10q̄ 10l 10q̄
Dunque tutti i numeri reali sono di accumulazione per X.
Ora, consideriamo i due insiemi
p
X = { q : p, q ∈ Z}
10
e
p
Y ={
: p, q ∈ Z}.
100q
Dato che 102 = 100, ogni elemento di Y si può scrivere come
p
p
= 2q ,
q
100
10
e quindi Y ⊂ X. Ma, viceversa, ogni elemento di X si può scrivere come
p
p · 10q
10q p
=
=
,
10q 10q · 10q
100q
e quindi X ⊂ Y . Segue che X = Y . ///
(11) Quali tra i seguenti insiemi sono aperti (nelle topologie corrispondenti)? Quali chiusi? Quali compatti?
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§ 1.
227
ESERCIZI SVOLTI
(i) {( x, y) ∈ R2 : x 2 + y2 ≤ 2xy + 1};
(ii) {(z, w) ∈ C2 : z2 − w3 = 1 = |z|2 − w3 };
(iii) {xeix : x > 0} ⊂ C ∼
= R2 ;
(iv) {( x, y) ∈ R2 : max(|x + y|, |x − y|) ≤ 1}.
Sol: L’insieme X = {( x, y) ∈ R2 : x 2 + y2 ≤ 2xy + 1} è anche l’insieme di soluzioni
dell’equazione
x 2 + y2 − 2xy = ( x − y)2 ≤ 1,
cioè le controimmagini dell’intervallo chiuso [−1, 1] mediante la funzione
continua
f ( x, y) = x − y.
Dunque X è chiuso. Si tratta della striscia compresa tra le rette di
equazioni y = x − 1 e y = x + 1. Non è vuoto ((0, 0) ∈ X) e non è tutto R2 (
(0, 2) ̸∈ X ), e quindi non è aperto (dato che gli unici aperti-chiusi di R2
sono l’insieme vuoto e R2 stesso). Il punto (n, n), per ogni n ∈ Z, è in X e
quindi X non è limitato: X non è compatto.
L’insieme X{(z, w) ∈ C2 : z2 − w3 = 1 = |z|2 − w3 } è chiuso, perché la funzione
f : C2 → C2 definita da
f (z, w) = (z2 − w3 , |z|2 − w3 )
ha componenti continue e quindi è continua. Pertanto la controimmagine di
(1, 1) ∈ C2 , che è un chiuso di C2 , è un chiuso. Osserviamo che se (z, w) ∈ X,
allora
z2 = |z|2 ⇐⇒ z2 = zz ⇐⇒ z (z − z ) = 0
e quindi z è reale. Dunque X ̸= C2 . Il sistema ha soluzioni? Per esempio
(z, w) = (1, 0) è una soluzione, e quindi X ̸= ∅. Ne segue che X non può essere
sia aperto che chiuso, e quindi non è aperto (dato che è chiuso). Ora, è
compatto se e solo se è limitato. Ora, per ogni t ∈ R esistono sicuramente
dei w ∈ C tali che
w3 = t 2 − 1 ⇐⇒ t 2 − w3 = 1,
e quindi X non è limitato.
Passiamo a X = {xeix : x > 0} ⊂ C ∼
= R2 , come è rappresentato in figura:
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228
#A.
ALCUNI ESERCIZI SVOLTI
20
10
–20
–10
10
20
–10
–20
–30
Il punto 0 ∈ C è di accumulazione per X: infatti, nell l’intorno circolare
Bϵ (0) ci sono sempre infiniti punti di X
Bϵ (0) ∩ X = {xeix : 0 < x < ϵ }.
Dato che 0 ̸∈ X, X non è chiuso. Non è nemmeno aperto: in coordinate polari,
X si scrive come {(r, θ ) : r = θ},che non è un aperto di (0, ∞) × S 1 . Non è limitato,
dato che |xeix | = |x|, e quindi non è compatto.
Finiamo con l’insieme X = {( x, y) ∈ R2 : max(|x + y|, |x − y|) ≤ 1}. Come sopra, risulta
chiuso (dato che controimmagine dell’intervallo chiuso (−∞, 1] mediante la
funzione
f ( x, y) = max(|x + y|, |x − y|).
È il quadrato (chiuso) di R2 con vertici nei punti (±1, 0), (0, ±1), e quindi
non è né vuoto né R2 : non è aperto. È limitato: se max(|x + y|, |x − y|) ≤ 1, allora
|x + y| ≤ 1, |x − y| ≤ 1 e quindi −1 ≤ x + y ≤ 1, −1 ≤ x − y ≤ 1, −1 ≤ y − x ≤ 1. Sommando le
prime due si ha −2 ≤ 2x ≤ 2 =⇒ −1 ≤ x ≤ 1. Sommando la prima e la terza si ha
−2 ≤ 2y ≤ 2 e quindi |y| ≤ 1. ///
Nota 1. Per favore usare l’italiano e la punteggiatura correttamente:
«Considero quindi i punti tali che f ( x, y) → x − y allora questi punti
devono essere ≤ {1} =⇒ sono tutti punti di accumulazione e sono
contenuti nel nostro insieme quindi il nostro insieme è chiuso
ma non è aperto perché se considero i punti ( x, y) che sono uguali
al {1} allora questi avranno un’intorno che non è completamente
contenuto nel nostro insieme inoltre non è compatto perché non è
limitato»
Nota 2. È vero che la controimmagine di un aperto (risp. chiuso) mediante
una funzione continua è un aperto (risp. chiuso). Ma non è vero che la
controimmagine di un non-aperto è per forza un non-aperto!
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§ 1.
229
ESERCIZI SVOLTI
Quali sono i punti di accumulazione dei seguenti insiemi di punti:
1
(i) {(1 + )eit ∈ C : t ∈ R, t > 0} ⊂ C;
t
p
(ii) { : p, q ∈ Z, 1 ≤ q2 ≤ 1000} ⊂ R;
q
p
(iii) { : p, q ∈ Z, q ≥ 1, p2 ≤ 1000} ⊂ R;
q
p
(iv) { : p, q ∈ Z, q ≥ 1000, p ≥ 1000} ⊂ R.
q
(12)
1
Sol:
Se X = {(1 + )eit ∈ C : t ∈ R, t > 0} ⊂ C, allora X è l’immagine della
t
funzione
f : (0, ∞) → C
definita da
1
f (t ) = (1 + )eit .
t
1
0.5
–1
–0.5
0.5
1
–0.5
–1
Tutti i punti di A = (0, ∞) sono di accumulazione per il dominio A = (0, ∞),
e quindi le immagini f (t ) sono di accumulazione per X = f ( A). Mostriamo che
anche tutti i punti della circonferenza unitaria S 1 = {z ∈ C : |z| = 1} sono di
accumulazione per X. Infatti, se z0 = eiθ0 è un punto della circonferenza,
per ogni ϵ > 0 si ha
1
1
Bϵ (z0 ) ∩ X = {(1 + )eit : (1 + )eit − eiθ0 < ϵ , t > 0},
t
t
che contiene tutti i punti (con k ∈ Z, k > 0)
(1 +
tali che
1
)ei (θ0 +2kπ )
θ0 + 2kπ
1
< ϵ.
θ0 + 2kπ
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230
#A.
ALCUNI ESERCIZI SVOLTI
Questi sono infiniti, se k → ∞. Vogliamo mostrare che se y ̸∈ X, allora |y| = 1.
Infatti, sia |y| ̸= 1 e y ̸∈ X un punto di accumulazione: se |y| < 1, y non può
essere di accumulazione (perché?), quindi |y| > 1. Ora, sia y = r0 eit0 , con r0 > 1
e t0 > 0. L’intorno Bϵ (y) contiene l’aperto
Uϵ ′ ,ϵ ′′ = {zeit : |z − z0 | < ϵ ′ , |t − t0 | < ϵ ′′ },
se ϵ ′ e ϵ ′′ sono abbastanza piccoli. Ma dato che y ̸∈ X, r0 ̸= 1 + 1/(t0 + 2kπ ) per
tutti i k, e quindi per ϵ ′ e ϵ ′′ abbastanza piccoli Uϵ ′ ,ϵ ′′ non interseca X: y
non può essere di accumulazione.
p
Veniamo a X = { : p, q ∈ Z, 1 ≤ q2 ≤ 1000} ⊂ R; in ogni intervallo [a, b] di R
q
cadono un numero finito di elementi di X, e quindi X non ha punti di
accumulazione.
p
Se invece X = { : p, q ∈ Z, q ≥ 1, p2 ≤ 1000} ⊂ R, se x è di accumulazione, allora
q
ci devono essere infiniti pn /qn ∈ X distinti che formano una√ successione
√
convergente a X. Ma i pn possono assumere solo valori tra − 1000 e 1000,
mentre la successione qn necessariamente deve tendere a ∞: l’unico punto
di accumulazione è 0.
p
L’ultimo, X = { : p, q ∈ Z, q ≥ 1000, p ≥ 1000} ⊂ R, chiaramente ha tutta la
q
semiretta R≥0 = [0, ∞) di accumulazione. Infatti, se pn /qn è una successione
di razionali positivi, 1000pn /(1000qn ) ∈ X per ogni n. ///
(13) Sia C ⊂ Q un sottospazio compatto di Q, con la topologia della
metrica euclidea.
(i) C è chiuso (in Q)?
(ii) C è limitato?
(iii) Può essere connesso?
(iv) Si dia, se esiste, un esempio di un tale C che abbia un numero infinito
(numerabile) di punti.
(v) Esiste un tale C con un insieme non numerabile di punti?
Sol: Ogni compatto in un Hausdorff (e quindi in un metrico) è chiuso,
e quindi C è chiuso. Ogni compatto in un metrico è limitato, e quindi C è
limitato. Può essere connesso: basta che abbia un punto solo! Un compatto
di Q è l’insieme X = {0} ∪n≥1 {1/n}. I razionali sono numerabili, e quindi non
possono avere sottoinsiemi non numerabili. ///
(14)
Sia Q la retta razionale con la topologia della metrica euclidea.
(i) Dimostrare che Q non è connesso, e determinarne le componenti connesse.
(ii) Si consideri l’insieme di tutti gli intervalli di Q del tipo
Uh,k = {x ∈ Q : h < x < k, con h e k in Z}.
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§ 1.
231
ESERCIZI SVOLTI
Dimostrare che è una base per una topologia di Q.
(iii) Q è connesso rispetto alla topologia generata dalla base degli Uh,k ?
Sol: Le componenti connesse di Q sono i singoli punti: è un esercizio
già svolto (quale?). Per mostrare che l’insieme degli intervalli Uh,k è una
base, basta osservare che ogni razionale è contenuto in qualche Uh,k , e che
l’intersezione di Uh,k con Uh′ ,k ′ , quando non vuota, è uguale a Umax(h,h′ ),min(k,k ′ ) .
Rispetto alla topologia generata da questa base, Q è connesso: infatti,
supponiamo che A ⊂ Q sia un insieme aperto e chiuso che contiene n ∈
Z ⊂ Q. Allora, se n + 1 ̸∈ A, deve esistere un intorno Uh,k di n + 1 che non
interseca A (dato che A è anche chiuso). Ma ogni intorno della base di n ha
intersezione non vuota con ogni intorno della base di n + 1, e quindi deve
essere necessariamente n + 1 ∈ A. Nello stesso modo si dimostra che se n ∈ A,
allora n − 1 ∈ A. Ma allora A, se A contiene 0 (e deve esistere un aperto
chiuso che contiene 0!), contiene tutti i punti interi Z, e quindi A = Q.
///
(15) Determinare quali dei seguenti sottoinsiemi sono aperti, chiusi,
e compatti (nelle rispettive topologie).
(i) {( x, y) ∈ R2 : x 3 + 3x 2 y + 3xy2 + y ≥ 1};
(ii) {z ∈ C : z3 = −z};
(iii) {(z, w) ∈ C2 : z2 = w(w − 1)} ;
(iv) {( x, y) ∈ R2 : ( x 2 + y2 − 1)−1 ∈ Z};
√
(v) {t + −1t cos 1t : t ∈ R ∖ {0}}.
Sol:
L’insieme X = {( x, y) ∈ R2 : x 3 + 3x 2 y + 3xy2 + y ≥ 1} è la controimmagine
dell’intervallo chiuso [1, ∞) mediante la funzione continua
f ( x, y) = ( x + y)3 − y3 + y.
Quindi è chiuso. Rato che R2 è connesso, per mostrare che non è aperto basta
vedere che non è né ∅ né R2 . Infatti, f (0, 0) = 0 < 1 =⇒ X ̸= R2 . Analogamente,
f (0, 2) = 2 > 1 =⇒ X ̸= ∅. Il sottoinsieme chiuso X è compatto se e solo se è
limitato (per il teorema di Heine–Borel): non è limitato, dato che contiene
tutti i punti (0, n), con n ≥ 1.
Passiamo ora a X = {z ∈ C : z3 = −z}. In coordinate polari, z = reiθ , dunque X è
il sottoinsieme di tutti i punti di C che soddisfano l’equazione
r 3 e3iθ = re(π−θ )i ,
da cui segue
3
(r ≥ 0)
r =r
3θ = π − θ + 2kπ con k ∈ Z,
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#A.
ALCUNI ESERCIZI SVOLTI
r ∈ {0, 1}
π
π
con k ∈ Z.
θ = +k
4
2
Si tratta quindi di cinque punti 0, eπ/4+kπ/2 , con k = 0, 1, 2, 3. È un insieme
finito di punti: è chiuso, compatto e non aperto.
L’insieme X = {(z, w) ∈ C2 : z2 = w(w − 1)} è la controimmagine in C2 di {0}
(chiuso di C) mediante la funzione C2 → C definita da
f (z, w) = z2 − w(w − 1).
Si tratta quindi di un chiuso. Per mostrare che non è aperto, come sopra,
mostriamo che X ̸= ∅ e che X ̸= C2 . Infatti (0, 0) ∈ X =⇒ X ̸= ∅; (1, 0) ̸∈ X =⇒ X ̸= C2 .
Per la compattezza, occorre
vedere se è limitato. Basta prendere, per n
√
grande, la coppia (z, w) = ( n(n − 1), n) e osservare che è un elemento di X per
ogni n: quindi non è limitato.
L’insieme X = {( x, y) ∈ R2 : ( x 2 + y2 − 1)−1 ∈ Z} è la controimmagine di Z mediante
la funzione
f ( x, y) = ( x 2 + y2 − 1)−1 ,
che però non è definita su R2 ma sui punti di R2 per cui x 2 + y2 =
̸ 1 (cioè tutti
i punti tranne quelli della circonferenza unitaria). Si ha che ( x, y) ∈ X se
e solo se esiste k ∈ Z tale che
x2
1
=k
+ y2 − 1
dove k ∈ Z. L’intero k non può essere zero,
e quindi si tratta dell’unione
√
1
1 + , con k ̸= 0 (per k = −1 si ha
di tutte le circonferenze di raggio
k
la circonferenza degenere di raggio nullo). L’insieme X è chiuso nel
sottospazio U = R2 ∖ {x 2 + y2√= 1}, ma non è chiuso in R2 : la successione di
punti di X definita da ( 1 + 1/n, 0) converge a (1, 0) che non è in X. Non è
nemmeno limitato, e quindi non è compatto. Se X è un aperto di U, allora
esiste V ⊂ R2 aperto di R2 tale che V ∩ U = X, e quindi X sarebbe aperto di
R2 perché intersezione di due aperti U e V . Viceversa, se X è aperto di
R2 , allora è aperto di U dato che X = U ∩ X.
L’insieme non è un aperto di R2 (e quindi non è aperto di U): basta
mostrare che l’intersezione con l’asse delle x non è un aperto di R (per
lo stesso motivo). Si tratta di
√
Y = {x ∈ R : x = ± 1 + 1/k}.
√
Non è aperto perché,
per esempio, il punto
√
√ 2√ non è interno: ogni intorno
circolare di 2 di raggio piú piccolo di 2 − 3/2 non contiene altri punti
di Y .
√
√
Sia X = {t + −1t cos 1t : t ∈ R ∖ {0}}. Per n ≥ 1 intero, il punto zn = n1 + −1 cosn n è
di X; la successione converge a 0, e quindi 0 è di accumulazione per X ma
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§ 1.
233
ESERCIZI SVOLTI
non è di X: dunque X non è chiuso di C. Se X fosse aperto, sarebbe aperta
l’intersezione con l’asse reale, cioè l’insieme
{t ∈ R : t ̸= 0, cos
1
1 π
= 0} = {t ∈ R : t ̸= 0, = + kπ, con k ∈ Z},
t
t
2
cioè
1
: k ∈ Z}.
π/2 + kπ
Come sopra, questo non è un insieme aperto di R (basta osservare che per
esempio 2/π non è interno). ///
{
(16) Dimostrare le seguenti proposizioni, quando sono vere. Altrimenti
mostrare che sono false. Per ogni x ∈ R, denotiamo con [ x ] la classe di
equivalenza di x rispetto alla relazione x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ Z. Sullo spazio
quoziente X = R/∼ (omeomorfo alla circonferenza S 1 ) definitamo la funzione
d ([ x ], [y]) = inf{|s − t| : s ∈ [ x ], t ∈ [y]}.
(i) La funzione d : X × X → R è ben definita.
(ii) La funzione d : X × X → R è una metrica, tale che per ogni x, y, z ∈ R si ha
d ([ x ], [y]) = d ([ x + z ], [y + z ]).
(iii) La distanza tra due punti di X non può essere maggiore di 1/2.
(iv) Presi n punti a caso su X, ce ne sono sempre almeno due con distanza
1
d ([ x1 ], [ x2 ]) ≤ .
n
(v) Per n ≥ 1 intero, e α ∈ R qualsiasi, esiste un intero q ∈ [1, n] tale che
1
d ([qα ], [0]) ≤
.
n+1
(vi) Dedurre il Teorema di approssimazione di Dirichlet: per ogni n ≥ 1
1
intero e α ∈ R, esiste una coppia di interi p, q ∈ Z tali che |qα − p| ≤
n+1
e q ≤ n.
Sol:
(a), (b) sono facili, tenuto conto che
d ([ x ], [y]) = inf{|x − y + k| : k ∈ Z} = min{|x − y + k| : k ∈ Z}.
Osserviamo che dalla proprietà d ([ x + z ], [y + z ]) = d ([ x ], [y]) segue che d ([ x ], [y]) =
d ([ x − y], [0]). Ogni classe [ x ] ha un unico rappresentante t ∈ [ x ] con 0 ≤ t < 1, e X è
uguale all’intervallo [0, 1] con gli estremi identificati (una circonferenza).
L’omeomorfismo con la circonferenza è dato dalla funzione θ 7→ e2πiθ .
Punto (c): Se t ∈ [0, 1/2], allora d ([t ], [0]) = t. Se t ∈ [1/2, 1], allora d ([t ], [0]) = 1 − t.
Cioè d ([t ], [0]) = min(t, 1 − t ). Dato che t + (1 − t ) = 1, il minimo tra t è 1 − t è
certamente minore di 1/2. Il massimo si ha per t = 1/2, cioè d ([1/2], [0]) = 1/2. In
generale, dati due punti qualsiasi [ x ] e [y], si ha
d ([ x ], [y]) = d ([ x − y], [0]) ≤ 1/2,
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234
#A.
ALCUNI ESERCIZI SVOLTI
e dunque la distanza tra due punti di X non può essere maggiore di 1/2.
Punto (d): Siano [ x1 ],[ x2 ], …[ xn ] gli n punti arbitrari di X. Le distanze
reciproche sono le stesse dei punti [ x1 − x1 ], [ x2 − x1 ], …, [ xn − x1 ] traslati di
−x1 , cioè possiamo sempre supporre che x1 = 0. Possiamo naturalmente supporre
che xi ∈ [0, 1) per ogni i. Supponiamo per assurdo che non esistano due punti
con distanza minore o uguale a 1/n, cioè tutte le coppie di punti distano
almeno 1/n. Riordinando gli indici, si ha
0 = x1 ≤ x2 ≤ . . . xn < 1.
Dato che per ipotesi d ([ xi+1 ], [ xi ]) > n1 , per ogni i = 1 . . . , (n − 1), si ha
1
1
< d ([ xi+1 − xi ], [0]) = min( xi+1 − xi , 1 − xi+1 + xi ) =⇒ xi+1 − xi >
n
n
(dato che il minimo di due numeri in [0, 1) è piú grande di 1/n, entrambi lo
devono essere, e quindi in particolare uno dei due). Ma allora
xn = xn − x0 = ( x1 − x0 ) + ( x2 − x1 ) + . . . + ( xn − xn−1 ) >
1
1 1
+ + . . . + = 1,
n n
n
assurdo.
Il punto (e) segue dal (d), prendendo in considerazione gli n + 1 punti
di X
[ x0 ] = [0], [ x1 ] = [α ], . . . , [ xn ] = [nα ].
Esistono i e j in 0, 1, . . . , n tali che
d ([iα ], [ jα ]) ≤
1
,
n+1
e dunque (supponendo i < j)
d ([( j − i )α ], [0]) ≤
1
,
n+1
cioè l’asserto con q = j − i. Se i, j ∈ [0, n] e i < j, allora j − i = q ∈ [1, n].
Passo emph(f): se α ∈ R e n ≥ 1, sappiamo che esiste q ∈ Z, 1 ≤ q ≤ n tale
1
che d ([qα ], [0]) ≤
. Ma dato che esiste p ∈ Z tale che
n+1
d ([qα ], [0]) = |qα − p|,
si ha che esistono p, q ∈ Z tali che 1 ≤ q ≤ n e |qα − p| ≤
1
. ///
n+1
(17) Utilizzando eventualmente il risultato dell’esercizio precedente,
calcolare i punti di accumulazione dei seguenti sottoinsiemi di R.
√
(i) {a + b 3 : a, b ∈ Q};
√
(ii) {a + b 3 : a, b ∈ Z};
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§ 1.
235
ESERCIZI SVOLTI
(iii) {a + b log2 3 : a, b ∈ Z} (perché log2 3 è irrazionale?);
(iv) {
2h
: h, k ∈ Z}.
3k
√
Sol: Passo (a): X = {a + b 3 : a, b ∈ Q}; dato che X ⊃ Q, i punti di accumulazione di Q sono anche punti di accumulazione di X. Ma tutti i punti
di R sono di accumulazione per Q, e quindi tutti i punti di R sono di
accumulazione per X.
Passo (b): una dimostrazione
completa (senza
√
√ presupporre altro) è la
seguente. Sia X = {a + b 3 : a, b ∈ Z}; il numero 3 è irrazionale (perché?).
Mostriamo che tutti i punti di R sono di accumulazione per X, cioè che per
ogni ϵ > 0 e per ogni x ∈ R esistono punti di X in
√ Bϵ ( x ), cioè che per ogni
ϵ , per ogni x ∈ R esistono a, b ∈ Z tali che |a + b 3 − x| < ϵ. Sia n un intero
fissato.
√ Per l’esercizio precedente, esistono una coppia di interi p, q tali
che |q 3 − p| < 1n , con 1 ≤ q ≤ n, e cioè (dividendo per q)
√
p
1
| 3− | <
.
q
nq
Supponiamo, senza perdere in generalità, che p e q siano privi di fattori
comuni (altrimenti …) e positivi. Per ogni a, b si ha quindi
√
p √
p
|a + b 3 − x| = |a + b( + 3 − ) − x|
q
q
√
p
p
≤ |a + b − x| + |b( 3 − )|
q
q
p
|b|
≤ |a + b − x| + .
q
nq
Osserviamo ora che (nella notazione dell’esercizio precedente) i q punti
p
p
[0 ], [ ], . . . , [ j ] . . .
q
q
con j = 0, . . . , (q − 1) sono tutti distinti: infatti se esistono 0 ≤ i < j < q tali
che [i qp ] = [ j qp ] allora esiste k ∈ Z tale che
j p = i p + kq ⇐⇒ ( j − i ) p = kq,
e questo non è possibile se p e q non hanno divisori in comune. Ma allora
i punti [0], [ qp ], . . . , [ j qp ] . . . non sono altro che i q punti
1
j
q−1
[0 ], [ ], . . . [ ], . . . [
].
q
q
q
1
da
q
1
uno di questi punti, cioè esistono a,b, con 0 ≤ b ≤ q, tali che |a + b qp − x| < .
q
Ma allora esistono esistono a, b tali che
p
|b| 1 1 2
|a + b − x| +
≤ + ≤ .
q
nq q n q
Ogni x ∈ R, a meno di somma con un intero, dista certamente meno di
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236
#A.
ALCUNI ESERCIZI SVOLTI
La tesi segue se al crescere di n, il corrispondente q = qn tende all’infinito.
pn
Supponiamo di no: allora la successione
(definita dalla coppia p, q
qn
del teorema di Dirichlet al variare di n) è una successione
di numeri
√
razionali con denominatore qn limitato.Ma per ogni n si ha | 3 − qpnn | < nq1n → 0,
√
e dunque la successione converge a 3 (che non è razionale). Dato che la
successione dei denominatori qn è limitata (ipotesi di assurdo), esiste una
pn
sottosuccessione qni costante. Ma la sottosuccessione qni è sottosuccessione
i
√
di una successione convergente (a 3), e quindi è convergente. Dato che
il denominatore qni è costante, anche il numeratore pni è definitivamente
pn
costante: cioè la sottosuccessione qni da un certo i in poi è costante (e
i
quindi è uguale al suo limite,
che è il limite di pn /qn ). Questo è assurdo,
√
perché vorrebbe dire che 3 è razionale.
Passo (c): Come sopra, dato che log2 3 è irrazionale, tutti numeri reali
sono di accumulazione. Perché è irrazionale? Perché p/q = log2 3 ⇐⇒ 2 p = 3q , e
2 e 3 sono coprimi.
2h
Passo (d): consideriamo il logaritmo di X = { k : h, k ∈ Z}, cioè
3
Y = {log2
2h
: h, k ∈ Z}.
3k
Si può scrivere anche
Y = {h + k log2 3h, k ∈ Z} ⊂ R.
I punti di accumulazione di Y in R sono tutti i punti di R, e dunque i
punti di accumulazione di X sono tutti i punti di R il cui logaritmo è un
punto di accumulazione di Y , cioè la semiretta [0, ∞). ///
(18) Sia X uno spazio topologico. Dimostrare (o falsificare) le seguenti
affermazioni.
(i) Le componenti connesse di X sono sottoinsiemi sia aperti che chiusi
di X.
(ii) Se X ha un numero finito di componenti connesse, allora queste sono
sia aperte che chiuse.
(iii) Se A è un sottoinsieme denso di X (cioè la cui chiusura è X), e B ⊂ X
è un altro sottoinsieme tale che B ⊃ A, allora B è denso in X.
(iv) Se X è connesso, allora ogni sottoinsieme denso di X è connesso.
(v) Se X è omeomorfo a [0, 1), allora X è omeomorfo anche a [0, 1].
Sol: Sono tutti esercizi assegnati in precedenza: le componenti connesse
non sono sia aperti che chiusi (esempio: Q). Se ce ne sono un numero finito,
allora sí (dato che sono comunque dei chiusi). Se A è denso in X e B contiene
A, allora A ⊂ B =⇒ A ⊂ B, e dunque B = X (da cui segue che B è denso). Non
è vero che se X è connesso, allora i sottoinsiemi densi sono connessi (si
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§ 1.
237
ESERCIZI SVOLTI
pensi a Q ⊂ R oppure a R ∖ {0} ⊂ R. I due intervalli [0, 1) e [0, 1] non sono
omeomorfi, dato che uno è compatto e l’altro no, e quindi non è vero che
se X è omeomorfo all’uno deve essere omeomorfo all’altro. ///
(19) Si determinino i punti di accumulazione dei seguenti sottoinsiemi
di R o di C (nella topologia della metrica euclidea di R o di C rispettivamente), e determinarne la chiusura (in R o in C). Quali sono compatti?
Quali sono chiusi?
p
(i) X1 = { : p, q ∈ Z, q ̸= 0, p = q mod 100};
q
p2
: p, q ∈ Z, q ̸= 0};
q
p
: p, q ∈ Z};
(iii) X3 = { 2
q +1
(ii) X2 = {
(iv) Z1 = {z ∈ C : 1 + z2 ∈ Q};
(v) Z2 = {z ∈ C : z (1 − z ) ∈ Z}.
Sol:
(a): Si ha che
q + 100k
: q ̸= 0, (q, k ) ∈ Z2 }
q
k
= {1 + 100 : q ̸= 0, (q, k ) ∈ Z2 }
q
= 1 + {100x : x ∈ Q}
X1 = {
= 1 + 100Q = Q,
e dunque tutti i punti di R sono di accumulazione per X1 ; la chiusura è
X1 = Q = R. Non è né chiuso né limitato, e dunque non è compatto.
a
(b) Osserviamo che se
∈ Q, con a, b ∈ Z e b ̸= 0, allora se anche a ̸= 0 si
b
ha
a a2
= .
b ab
a a2
Altrimenti, se a = 0, 0 = = . Quindi Q ⊂ X2 ⊂ Q, cioè X2 = Q. Ne segue che
b
b
X2 non è chiuso, non è compatto, e ha tutti i numeri reali come punti di
accumulazione. Osserviamo che la distanza tra i due quadrati ( p − 1)2 e p2
successivi è 2p − 1:
p2 − ( p − 1)2 = 2p − 1.
( p − 1)2
p2
e
è uguale a 2p−1
q . Allora se si
q
q
2
p
ha una successione qnn → α ∈ R con qn → ∞, deve essere 2pqnn−1 = 2 qpnn − q1n → 0, e
quindi qpnn → 0, cioè l’unico punto di accumulazione di X2 è 0. Dato che sopra
abbiamo mostrato che i punti di accumulazione di X2 sono tutti i punti di
Allora per ogni q la distanza tra
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238
#A.
ALCUNI ESERCIZI SVOLTI
R, possiamo concludere che R = {0}, e dunque che R non è una estensione
di Q, come si è soliti credere. (Dove è l’errore nel ragionamento appena
visto?)
p
(c) Veniamo ora a X3 = { 2
: p, q ∈ Z}. Per ogni α ∈ R, per ogni q ∈ Z, per
q +1
1
ogni p ∈ Z, la distanza tra q2p+1 e qp+1
2 +1 è q2 +1 , quindi per ogni α ∈ R e per
p
1
ogni q ∈ Z esiste p ∈ Z tale che la distanza tra α e 2
non superi 2
,
q +1
q +1
1
si ha
cioè per r = 2
q +1
p
Br (α ) ∋ 2
.
q +1
Ma allora ogni α ∈ R è di accumulazione per X3 , dato che per ogni ϵ > 0
esiste r ∈ Z tale che q21+1 < ϵ . Dunque X3 non è chiuso, non è compatto, e ha
per chiusura R.
(d) Osserviamo che se w ∈ C si ha che
w ∈ Q ⇐⇒ w + 1 ∈ Q,
e dunque
Z1 = {x ∈ C : z2 ∈ Q}.
Se z = a + ib, con a, b ∈ R, allora
(a + ib)2 = a2 − b2 + 2iab.
Quindi (a + ib)2 ∈ Q se e solo se ab = 0 e a2 − b2 ∈ Q. Dunque z ∈ Z1 è del tipo
a oppure ib, con a, b ∈ R. L’insieme dei reali a tali che a2 ∈ Q contiene in
particolare i razionali, e quindi Z1 contiene Q. L’insieme dei complessi
ib, con b ∈ R, tali che (ib)2 ∈ Q come sopra contiene una copia di Q, e
quindi Z1 contiene iQ. Dunque i punti di accumulazione per Z1 sono i numeri
reali (di accumulazione per la copia Q) oppure l’asse dei numeri puramente
immaginari iR (di accumulazione per la copia iQ). Non è chiuso, non è
compatto. La sua chiusura è
Z1 = {a + ib ∈ C : a, b ∈ R, ab = 0}.
(e) Si ha
Z2 = {z ∈ C : z2 − z ∈ Z}
= {z ∈ C : z2 − z = k, per qualche k ∈ Z}
√
1 ± 1 + 4k
={
: k ∈ Z}
2
Per ogni R > 0, l’insieme dei punti di Z2 nell’intorno B0 (R) è finito, e
quindi Z2 non ha punti di accumulazione in C. È un sottospazio chiuso di C,
perché controimmagine di Z ⊂ C (che è chiuso) mediante la funzione continua
z 7→ z (1 − z ). Non è limitato, per quanto visto sopra, e quindi non è compatto.
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
§ 1.
239
ESERCIZI SVOLTI
Non avendo punti di accumulazione (anche, essendo chiuso), si ha Z2 = Z2 .
///
(20) Determinare quali dei seguenti sottospazi (se ben definiti e rispetto alle topologie dello spazio ambiente) sono chiusi, connessi, compatti
o limitati.
(i) {( x, y) ∈ R2 : x 3 + 3x 2 y + 2xy2 + y3 = 1};
(ii) {( x, y) ∈ C2 : x 2 − 2y ≥ 0};
(iii) {( x, y) ∈ C2 : x 2 − 2y2 − 4xy = 0};
(iv) {( x, y) ∈ R2 : x 2 + 2y2 − 4xy = 0};
(v) {( x, y) ∈ R2 : x 2 − 2y2 − 4xy = 0}.
x
. Se y = 0, si ha
y
x 3 = 1 =⇒ x = 1. Altrimenti, per y ̸= 0, si ha che c’è un omeomorfismo
Sol:
(a) L’insieme è chiuso (perché?). Sia s =
X ={( x, y) ∈ R2 : x 3 + 3x 2 y + 2xy2 + y3 = 1, y ̸= 0}
1
∼
= {(s, y) ∈ R2 : s3 + 3s2 + 2s + 1 = 3 , y ̸= 0}.
y
Nelle (s, y) con y ̸= 0, si scrive anche
y = √3
1
s3
+ 3s2 + 2s + 1
,
e dunque certamente non è limitato. L’insieme originale non può quindi
essere compatto né limitato (perché?). La funzione s3 + s2 + 2s + 1 ha un solo
zero, che chiamiamo s0 (basta calcolarne i √valori –positivi– nei punti
in cui la derivata prima si annulla: −1 ± 33); la curva di equazione
1
y = √3
ha un asintoto verticale in s0 ; è di grado dispari, quindi
s3 + 3s2 + 2s + 1
è negativa prima di s0 e positiva dopo s0 ; Si ha
{( x, y) ∈ R2 : x 3 + 3x 2 y + 2xy2 + y3 = 1}
= {( x, y) ∈ R2 : x = ys, y ̸= 0, y = (s3 + 3s2 + 2s + 1)−1/3 , per s ∈ R, s ̸= s0 } ∪ {(1, 0)}
(
)
= { s(s3 + 3s2 + 2s + 1)−1/3 , (s3 + 3s2 + 2s + 1)−1/3 : s ∈ R, s ̸= s0 } ∪ {(1, 0)}
Per s → ±∞ si ha
(
)
s(s3 + 3s2 + 2s + 1)−1/3 , (s3 + 3s2 + 2s + 1)−1/3 → (1, 0),
e dunque il sottoinsieme è connesso.
(b) L’insieme non è ben definito, dato che il campo C non è ordinato
(la disequazione x 2 − 2y ≥ 0 non ha senso).
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240
#A.
ALCUNI ESERCIZI SVOLTI
(c) La forma quadratica ha matrice associata
]
[
1 −2
,
−2 −2
il cui determinante è negativo: dunque esiste una trasformazione lineare (su
C) che trasforma l’equazione in una equazione del tipo x 2 − y2 = 0: l’unione di
due rette incidenti in C2 . È chiuso, non limitato, non compatto, connesso
(perché unione unione di due connessi con intersezione uguale a un punto).
(d) La forma quadratica ha matrice associata
[
]
1 −2
,
−2 2
il cui determinante è negativo. Come sopra, esiste una trasformazione
lineare (questa volta su R) che trasforma l’equazione in una equazione
del tipo x 2 − y2 = 0. È chiuso, non limitato, non compatto, connesso (perché
unione unione di due connessi con intersezione uguale a un punto).
(e) Come per il punto (c). ///
§ 2.
SECONDA PARTE
[[url:http://xkcd.com/246/]]
[
a b
c d
]
e
Sia X = GL(2, R) il gruppo delle matrici invertibili 2 × 2
]
[
α 0
di GL(2, R) (e quindi con
G il sottogruppo delle matrici diagonali
0 β
αβ ̸= 0). Consideriamo l’azione di G su X data da
(21)
( g, x ) 7→ g · x = gx
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
§ 2.
241
SECONDA PARTE
per ogni g ∈ G e x ∈ X (dove gx indica il prodotto righe per colonne delle
matrici g e x). Determinare quali delle seguenti matrici appartengono alla
medesima G-orbita.
[
] [
] [
]
0 1 −1 0
0 −1
,
,
.
1 0
0 −1 1 0
[
]
[ ′ ′]
a b
a b
Sol: Due matrici
e ′
appartengono alla medesima G-orbita se
c d
c d′
esistono α, β in R ∖ {0} tali che
[
Osserviamo quindi che
][
] [ ′ ′]
α 0 a b
a b
.
= ′
c d′
0 β c d
[
[
][
] [
]
α 0 0 1
0 α
=
,
0 β 1 0
β 0
][
] [
]
α 0 −1 0
−α 0
=
.
0 β 0 −1
0 −β
Dal momento che non è possibile trovare α e β tali che
[
] [
]
0 α
−1 0
=
,
β 0
0 −1
la prima e la seconda non stanno nella stessa orbita. Invece la prima e la
terza stanno nella stessa orbita, dato che per α = −1 e β = 1 si ha
[
] [
]
0 α
0 −1
=
.
β 0
1 0
La seconda e la terza quindi non stanno nella stessa orbita: se così fosse
se ne dedurrebbe che anche la prima e la seconda stanno nella stessa orbita,
ma abbiamo visto che questo è falso. ///
(22) Si consideri l’insieme X di tutte le rette del piano affine A2 (R).
Per ogni punto p ∈ A2 (R) sia B p ⊂ X l’insieme di tutte le rette che passano
per p. La famiglia di sottoinsiemi composta da tutti gli elementi di X e
dai B p è una base per una topologia? Se sì, qual è la topologia generata?
Sol: Ricordiamo che una famiglia di sottoinsiemi B ⊂ 2X di un insieme X
si dice base se le seguenti proprietà sono soddisfatte:
(i) per ogni x ∈ X esiste almeno un elemento della base B ∈ B che contiene
∪
x (equivalentemente, X = B∈B B).
(ii) Se B1 , B2 ∈ B e x ∈ B1 ∩ B2 , allora esiste Bx ∈ B tale che x ∈ B ⊂ B1 ∩ B2
(equivalentemente, B1 ∩ B2 è unione di elementi della base).
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242
#A.
ALCUNI ESERCIZI SVOLTI
Per definizione tutti i punti (visti come insiemi di un elemento solo
– sono rette affini, conunque) di X sono elementi della base, per cui
sicuramente la prima delle due condizioni è soddisfatta.
Per quanto riguarda la seconda, siano B1 , B2 ∈ B e x ∈ B1 ∩ B2 . Se B1 e B2 sono
entrambi punti di X (cioè rette di A2 ), allora esiste x nell’intersezione
se e solo se i punti coincidono, e quindi è verificata. Se B1 è un punto
di X (cioè una retta) e B2 è un fascio di rette (per un certo punto p di
A2 (R)), allora l’intersezione è vuota, e non c’è niente da verificare, se
la retta non è del fascio; altrimenti l’intersezione è B1 stesso ed anche
in questo caso la condizione è soddisfatta.
In ultimo, se B1 e B2 sono fasci di rette per i punti p1 e p2 , allora
se p1 = p2 la condizione è verificata, dato che B1 = B2 . Altrimenti B1 ∩ B2 è
l’insieme di tutte le rette che passano sia per p che per q. Questo è un
insieme con un solo elemento, e per definizione è della base.
L’insieme B è quindi una base di intorni per X. Dato che tutti i
punti di X sono elementi della base, in particolare sono aperti: uno
spazio topologico i cui punti sono aperti ha necessariamente la topologia
discreta.
///
(23) Nello spazio proiettivo di dimensione 3 reale P3 (R) si consideri
l’insieme X di tutte le rette passanti per un punto fissato A. Si dimostri
che l’insieme X è (in corrispondenza biunivoca con) uno spazio proiettivo
(reale) di dimensione 2: determinare una biiezione tra X e un iperpiano di
P3 (R) che non contiene A.
Sol: Dal momento che un iperpiano di P3 (R) è uno spazio proiettivo di
dimensione 2, basta determinare la biiezione tra X e un iperpiano π non
contenente A. Sia r ∈ X una retta per X. Questa ha uno e un solo punto
di intersezione con π. Infatti, se ne avesse due l’intera retta dovrebbe
essere contenuta in π, ma questo è assurdo dato che A ̸∈ π. Questo definisce
una funzione f : X → π.
La funzione f è iniettiva: se due rette r1 e r2 passanti per A intersecano
π nel medesimo punto, allora (dato che la retta per due punti è unica) le
due rette coincidono. Se invece x ∈ π è un qualsiasi punto di π, allora
esiste (unica) la retta per x e A, e quindi esiste un elemento di X che
viene mandato da f in x: f è suriettiva.
///
(24) Nel piano euclideo E2 = R2 (con la topologia euclidea) si consideri
la circonferenza C di equazione
( x − 2 )2 + ( y − 2 )2 = 1
e la retta r di equazione
x + y = 1.
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§ 2.
243
SECONDA PARTE
Si determini la distanza d (C, r ) di C da r, dimostrando (o assumendo) che
d (C, r ) = inf{|p − q| : p ∈ C, q ∈ r}.
Sol:
Siano pm ∈ C e qm ∈ r i punti che realizzano il minimo. Fissato
pm , quindi qm è il punto di minima distanza da pm e quindi il vettore
qm − pm è ortogonale alla retta r. Ogni altro punto della retta ha distanza
maggiore strettamente. Ancora, fissato qm sulla retta, il punto pm sulla
circonferenza deve appartenere alla retta passante per il centro della
circonferenza e qm ed ogni altro punto ha distanza strettamente maggiore.
Quindi, bisogna trovare la retta per il centro della circonferenza ortogonale a r: essa è la bisettrice del primo quadrante. I√ due punti sono quindi
√
√
√
√
qm = (1/2, 1/2) e pm = (2 − 2/2, 2 − 2/2) e la loro distanza 11/2 − 3 2 = 23 2 − 1. ///
(25)
Si consideri la funzione
ϕ: Z × R → R
definita ponendo
ϕ(k, x ) = 2k x,
per ogni k ∈ Z e x ∈ R.
(i) La funzione ϕ definisce una azione di Z su R?
(ii) L’azione è fedele?
(iii) L’azione è transitiva?
(iv) Qual è lo stabilizzatore di 0 ∈ R? E di x ̸= 0?
(v) Lo spazio quoziente (con la topologia quoziente) è compatto? Connesso?
(vi) Quali sono gli intorni aperti (nella topologia quoziente) della classe
[0] dello spazio quoziente?
Sol: La funzione ϕ definisce una azione: basta osservare che ϕ(0, x ) =
20 x = x per ogni x e che ϕ(h + k, x ) = ϕ(h, ϕ(k, x )), visto che
2h+k x = 2h 2k x.
L’azione è fedele: la mappa x 7→ 2k x è la mappa identica solo se k = 0.
L’azione non è transitiva. Per esempio, k · 0 = 2k 0 = 0 per ogni k ∈ Z. Lo
stabilizzatore di 0 è Z, mentre lo stabilizzatore di un punto x ̸= 0 è
k ∈ Z : 2k x = x ⇐⇒ 2k = 1 ⇐⇒ k = 0.
Lo spazio quoziente è compatto, perché immagine continua dell’intervallo
[−1, 1] mediante la proiezione sul quoziente q : X → X/G, dove X = R e G = Z.
Infatti, basta mostrare che q([−1, 1]) = X/G, cioè che ogni orbita di un punto
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244
#A.
ALCUNI ESERCIZI SVOLTI
di R ha intersezione non vuota con [−1, 1]. Ma per ogni x, esiste certamente
k tale che |2k x| ≤ 1: basta prendere k → −∞. Analogamente, X/G è connesso
perché immagine continua mediante la mappa quoziente q del connesso X = R.
Gli intorni aperti della classe [0] ∈ X/G sono tutti gli insiemi U ⊂ X/G
tali che q−1 (U ) è aperto di X. Ora, q−1 ([0] = {0}, dato che 0 costituisce una
G-orbita a sé. Ma se q−1 (U ) contiene 0 ed è aperto, allora contiene un
intervallo (−ϵ, ϵ ), con ϵ > 0. Ma, come per l’intervallo [−1, 1], ogni G orbita
in X interseca l’intervallo (−ϵ, ϵ ), e quindi U per essere aperto in X/G
deve contenere ogni orbita di X: l’unico intorno aperto di [0] in X/G è X/G.
///
(26)
Si consideri lo spazio G di tutte le matrici della forma
[
]
1 t
Mt =
,
0 1
al variare di t ∈ R, con la topologia (metrica) di GL(2, R).
(i) Si dimostri che G è omeomorfo a R, e che è un gruppo topologico
rispetto al prodotto di matrici.
(ii) Si determini GO = G ∩ O(2) (cioè l’insieme di tutte le matrici Mt con
Mt ortogonale).
(iii) Si faccia agire G su R2 con la moltiplicazione
(
[ ])
[
] [ ]
x
1 t
x
Mt ,
7→
·
.
y
0 1 y
Cosa sono le orbite di questa azione?
[
]
1 t
Sol:
L’omeomorfismo cercato è f (t ) =
. È una isometria e quindi
0 1
un omeomorfismo. È anche un omomorfismo di gruppi (uno additivo, l’altro
moltiplicativo): G è un gruppo topologico isomorfo a R, rispetto al prodotto di matrici. Le matrici ortogonali sono solo l’identità. Le orbite
dell’azione sono gli insiemi del tipo
[
] [ ] [ ]
[ ]
1 t
x0
x0
y
·
=
+t 0 ,
0 1 y0
y0
0
quindi sono rette di R2 , se y0 ̸= 0. Altrimenti, sono i singoli punti dell’asse
delle x (autospazio della matrice). ///
(27) Una omotetia con centro Q e ragione q ∈ R è una mappa f : A2 (R) → A2 (R)
definita da
P 7→ Q + q(P − Q).
Siano A, B, C tre punti nel piano affine A2 (R) e l una retta di A2 (R). Quali
delle seguenti affermazioni sono vere? (Dimostrare quelle vere, fornire
controesempi per quelle false.)
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§ 2.
245
SECONDA PARTE
1 Se la retta l non passa per A, B, C, allora incontra due dei lati del
triangolo ABC, oppure nessuno.
2 Supponiamo che la retta l passi per un punto A′ del lato AC e per un
punto B′ del lato BC. La retta l è parallela al lato AB se e soltanto se
il triangolo ABC è immagine del triangolo A′ B′C mediante una omotetia.
3 Date due costanti q A e qB , la composizione delle omotetie di centro A
e ragione q A e di centro B e ragione qB è una traslazione.
Sol: Supponiamo che l non passi per A, B e C e che incontri almeno uno
dei lati in un punto Q. Supponiamo che Q ∈ AB. Deve essere A ̸= B (altrimenti
Q = A = B), e quindi esiste un sistema di riferimento affine che contiene i
due punto A e B. Nel sistema di riferimento si ha A = (0, 0), B = (1, 0) e C = (a, b)
per certi a, b ∈ R. Allora Q = (q, 0), con q ∈ (0, 1). I tre punti sono allineati
se e solo se b = 0, e la proposizione è facilmente verificabile in questo
caso. Altrimenti, possiamo considerare il riferimento affine formato dai
punti A, B e C, in cui a = 0, b = 1.
Se l è parallela a uno dei lati, per il teorema di Talete la proposizione è
vera. Altrimenti, dato che in particolare non è parallela a BC, supponiamo
che l incontri la retta per BC, che ha equazione parametrica
[ ] [ ]
[ ]
x
1
−1
=
+h
y
0
1
in un certo punto di coordinate
(1 − h, h),
per un certo h ∈ R. Allora il punto sulla retta AC della retta l è quello
(di coordinate (0, k ) per un certo k ∈ R) tale che
(q, 0),
sono allineati, cioè
(0, k ),
(1 − h, h)
q 0 1 − h
h = 0.
det 0 k
1 1
1
Con qualche conto si deduce che quindi
qk − qh − k + kh = 0
=⇒
k=
qh
.
q−1+h
qx
è monotona decrescente (calcolare
q−1+x
la derivata!), ha un asintoto verticale in x = 1 − q > 0 e tende a q se x → ±∞.
Inoltre fq (1) = 1. Quindi fq ( x ) ∈ (0, 1) se e solo se x ̸∈ (0, 1), cioè l incontra BC
(cioè h ∈ (0, 1) ) se e solo se l non incontra AC (cioè k ̸∈ (0, 1)).
Per ogni q ∈ (0, 1), la funzione fq ( x ) =
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246
#A.
ALCUNI ESERCIZI SVOLTI
Punto (b): la retta l è parallela a AB se e solo se B′ − A′ = q( B − A) per un
certo q. L’omotetia (che necessariamente ha centro in C) esiste se e solo
se esiste q tale che
A′ = C + q( A − C ),
B′ = C + q ( B − C ).
Esistono certamente q A e qB compresi tra 0 e 1 tali che A′ = C + q A ( A − C ),
B′ = C + qB ( B − C ). Quindi
B′ − A′ = qB ( B − C ) − q A ( A − C ),
e l è parallela a AB se e solo se
qB ( B − C ) − q A ( A − C ) = q( B − A) = q( B − C ) − q( A − C )
per un q ∈ R. Ma B − C e A − C sono linearmente indipendenti, e quindi questo
accade solo se
qB = q = q A,
cioè se e soltanto se è possibile definire l’omotetia.
Per il (c): in generale la composizione di due omotetie non è una traslazione: basta prendere due omotetie con lo stesso centro. Una traslazione
non banale non ha punti fissati, mentre ogni omotetia fissa il centro.
Se i centri A e B sono diversi, può essere che la composizione sia una
traslazione:
P 7→ A + q A (P − A) = P′ 7→ B + qB (P′ − B) = B + qB ( A + q A (P − A) − B)
= B + qB ( A − B) + qB q A (P − A)
= P + ( B − P + qB A − qB B + qB q A P − qB q A A)
e basta che sia q AqB = 1 per avere la traslazione
P 7→ P + (1 − q A )( B − A).
///
(28) In E3 , si consideri il piano p passante per i tre punti A = (1, 2, 0),
B = (2, 0, 1) e C = (0, 1, 2).
1 Scrivere l’equazione cartesiana e parametrica del piano.
2 Calcolarne la distanza dall’origine e dal punto (1, 2, 3).
3 Determinare le proiezioni su piano p dei punti (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1).
Sol:
L’equazione parametrica è
1 + s − t
2 − 2 s − t
s+2t
,
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§ 2.
247
SECONDA PARTE
l’equazione cartesiana è
x + y + z = 3.
√
La distanza dall’origine e dal punto (1, 2, 3) è 3. Le proiezioni su p dei
punti (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) sono 1/3(5, 2, 2) e le sue permutazioni cicliche
(perché?).
///
(29)
Sia r la retta di E2 passante per (1, 0) e (0, 2). Si scrivano le
equazioni delle seguenti isometrie:
1 Riflessione attorno a r.
2 Le traslazioni che mandano r in sé.
3 Le rotazioni che mandano r in sé.
4 Descrivere, se possibile, il gruppo di tutte le isometrie che mandano
r in sé, e il suo sottogruppo di tutte le isometrie che mandano ogni
punto di r in sé.
Sol:
a) L’equazione parametrica della retta r è
[ ] [ ]
[ ]
x
1
−1
=
+t
.
y
0
2
Quindi la proiezione di un punto P = ( x̄, ȳ) su r è
[[ ] [ ]] [ ]
x̄
1
−1
−
·
[ ]
[ ]
ȳ
0
2 −1
1
projr (P ) =
+
0
2
12 + 22
[[ ] [
] [ ]]
1 4
1 −2 x̄
=
+
−2 4 ȳ
5 2
Allora il punto riflesso è
P′ = projr (P ) + (projr (P ) − P )
[[ ] [
] [ ]] [ ]
2 4
1 −2 x̄
x̄
=
+
−
−2 4 ȳ
ȳ
5 2
[ ] [ [
] [
]] [ ]
2 4
2 1 −2
1 0 x̄
=
+
−
0 1 ȳ
5 2
5 −2 4
][ ]
[ ] [
−3/5 −4/5 x̄
8/5
.
+
=
−4/5 3/5 ȳ
4/5
b) Sia A = (1, 0) e B = (0, 2). Una traslazione che manda r in sé deve mandare
A in un punto A′ della retta, e quindi le traslazioni sono tutte e sole
quelle che si scrivono come
P 7→ P + c( B − A)
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248
#A.
ALCUNI ESERCIZI SVOLTI
per un certo c ∈ R, e quindi si scrivono come
[ ]
[ ]
[ ]
x
x
−1
7→
+c
.
y
y
2
c) Se una rotazione R (non banale) manda la retta r in sé, allora
il centro della rotazione deve essere sulla retta. Infatti, per assurdo,
supponiamo che una rotazione non banale con centro in C ̸∈ r mandi r in
sé. Sia Q il punto di r con distanza minima da C (cioè la proiezione
ortogonale di C su r), e Q′ la sua immagine mediante la rotazione. Dato che
una rotazione conserva le distanze, la distanza di Q′ da C è uguale alla
distanza di Q da C, e quindi deve essere Q′ = Q, visto che il punto con
distanza minima è unico. Quindi la rotazione R fissa i due punti distinti
C e Q, e questo è assurdo perché rotazioni non banali fissano solo il
centro di rotazione. Ora, supponiamo che C sia sulla retta r. Un punto
P ∈ r deve andare in un altro punto P′ di r tale che P′ − C = k (P − C ) (dato che
C, P e P′ sono allineati) e |P′ − C|2 = |P − C|2 (dato che una rotazione è una
isometria). Quindi k = −1 (altrimenti la rotazione è banale) e la rotazione
è di angolo π. Scriviamo la rotazione di angolo π attorno a un punto C: è
la riflessione rispetto a C, quindi si scrive come
P 7→ C + (C − P ).
Dato che C = (1 − t, 2t ) per un certo t ∈ R, la rotazione si scrive come
[ ]
[
] [ ]
x
1−t
x
7→ 2
−
y
2t
y
d) Le isometrie che mandano r in sé contengono la riflessione a), le
traslazioni b) e le rotazioni c), piú tutte le loro composizioni. Ce ne
sono altre? Supponiamo che f : E2 → E2 sia una isometria che manda r in sé.
Sia A′ = f ( A) ∈ r. Allora la composizione
P 7→ f (P ) 7→ f (P ) − ( A′ − A)
è una isometria f ′ che manda A in f ( A) − A′ + A = A. La matrice associata M
è ortogonale (dato che è una isometria). Se det ( M ) = 1 (cioè se M ∈ SO(2)),
allora f ′ è una rotazione attorno ad A di angolo π. Se det ( M ) = −1, allora
f ′ è una riflessione lungo una retta: può essere la riflessione lungo
r o lungo la retta r ′ ortogonale a r passante per A. Se G è quindi il
gruppo generato dalle riflessioni lungo le due rette r e r ′ (gruppo con 4
elementi), necessariamente f ′ è un elemento del gruppo G. Ne segue che il
gruppo cercato ha per elementi le isometrie
P 7→ gA (P ) + c( B − A),
dove gA ∈ G e c ∈ R. L’unico elemento che manda ogni punto di r in sé è la
riflessione lungo r, ed è un sottogruppo del gruppo di tutte le isometrie.
Esercizio: dimostrare che è un gruppo. ///
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
§ 2.
249
SECONDA PARTE
(30) In P3 (R) con coordinate omogenee [ x0 : x1 : x2 : x3 ], sia Q il punto
[0 : 1 : 1 : 1], H e H ′ i piani H = {x1 = 0} e H ′ = {x2 = 0}.
1 Si scriva, in coordinate affini (rispetto a opportune carte) la
proiezione prospettica f da H a H ′ con centro in Q.
2 Si consideri in H (con coordinate proiettive [ x0 : x2 : x3 ]) la retta di
equazione x2 = x3 . Qual è la sua immagine in H ′ ?
3 Si consideri in H la conica di equazione x0 x2 = x32 . Qual è la sua immagine
in H ′ ?
Sol:
Si consideri il piano all’infinito x0 = 0, e le coorispondenti
coordinate affini ( x, y, z ) di A3 (R) ⊂ P3 (R).
a) Siano (y, z ) le coordinate affini della parte affine di H (che è il
piano yz) e ( x, z ) la coordinate affini della parte affine di H ′ (che è il
piano xz). Se P = (0, y, z ) è un punto di H, la retta per P e Q ha punti
0
1
y + t 1 ,
z
1
e passa per H ′ se y + t = 0. La proiezione prospettica è quindi
′
x −y
0
y 7→ 0 = 0 .
z−y
z′
z
Ora, da x ′ = −y e z′ = z − y deduciamo che y = −x ′ e z = z′ − x ′ , e quindi:
b) l’equazione dell’immagine della retta y = z in H ′ è
−x ′ = z′ − x ′ ⇐⇒ z′ = 0.
c) Analogamente, l’equazione dell’immagine della conica di equazione
y = z2 (è una parabola) è
−x ′ = (z′ − x ′ )2 ⇐⇒ z′ 2 + x ′ 2 − 2z′ x ′ + x ′ = 0.
///
(31) Sia G = GL(2, R) il gruppo delle matrici 2 × 2 invertibili a coefficienti reali, e X lo spazio di tutte le matrici 2 × 2 a coefficienti reali.
Sia φ : G × X → X la funzione
φ( A, M ) = AM A−1 ,
definita per ogni A ∈ G e ogni M ∈ X.
(i) Mostrare che è una azione di G su X.
(ii) L’azione è transitiva?
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250
#A.
ALCUNI ESERCIZI SVOLTI
[
]
1 0
(iii) Si calcoli lo stabilizzatore della matrice identica
, e si dica
0 1
se è un sottogruppo compatto.
[
]
0 −1
(iv) Lo stabilizzatore di J =
è un sottogruppo compatto?
1 0
Sol: (a): Occorre verificare le due proprietà (esercizio).
(b): L’azione non è transitiva, dato che, per esempio det ( AM A−1 ) = det ( M )
(e quindi matrici in una stessa orbita hanno lo stesso determinante). Non
tutte le matrici hanno lo stesso determinante (di conseguenza non sono
tutte simili tra loro), e quindi non c’è una sola orbita. Due matrici sono
nella stessa orbita se e solo se sono simili. (c) Lo stabilizzatore della
matrice identica è tutto G. (d) Lo stabilizzatore di J non è un sottogruppo
[
]
c 0
compatto, dato che contiene tutti i multipli della matrice identica
,
0 c
con c ∈ R. ///
(32)
Si
consideri lo spazio G di tutte le matrici 3 × 3 della forma
1 0 t
Mt = 0 1 0 , al variare di t ∈ R, con la topologia (metrica) di GL(3, R).
0 0 1
(i) Si dimostri che G è omeomorfo a R, e che è un gruppo topologico
rispetto al prodotto di matrici.
(ii) Si determini GO = G ∩ O(3) (cioè l’insieme di tutte le matrici Mt con
Mt ortogonale).
(iii) Si faccia agire G su R3 con la moltiplicazione matrice/vettore. Cosa
sono le orbite di questa azione?
1 0 t
Sol: L’om(e)omorfismo è t 7→ 0 1 0. Le matrici ortogonali sono quelle
0 0 1
(quella) con t = 0. Le orbite sono rette di R3 , oppure punti (del piano
z = 0). ///
(33) Sia Y l’insieme di tutte le rette affini di A2 (R). Si consideri la
mappa g: Y → P2 (R) che associa alla retta di equazione ax + by + c = 0 la terna
di coordinate omogenee [a : b : c].
(i) Mostrare che la funzione g è ben definita e iniettiva.
(ii) Determinare l’immagine di g in P2 (R).
(iii) Sia A un punto qualsiasi di A2 (R), e X ⊂ Y l’insieme delle rette per
A (fascio di rette per un punto). Mostrare che l’immagine di X in P2 (R)
è una retta proiettiva.
(iv) Mostrare che tre punti P = ( x, y), A = ( x A, yA ) e B = ( x B , yB ) di A2 (R) sono
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§ 2.
251
SECONDA PARTE
allineati se e soltanto se il determinante della matrice
x x A x B
y yA yB
1 1 1
è uguale a zero.
Sol: (a) La funzione g è ben definita: i coefficienti di una equazione
non possono essere tutti nulli, e se ax + by + c = 0 e a′ x + b′ y + c′ = 0 sono due
equazioni della medesima retta r, allora se A e B sono due punti distinti
di r, di coordinate ( x A, yA ) e ( x B , yB ), si ha
ax A + byA + c = 0
ax B + byB + c = 0
a′ x A + b′ yA + c′ = 0
a′ x B + b′ yB + c′ = 0.
Ora, A ̸= B se e soltanto se ( x A, yA, 1) e ( x B , yB , 1) sono linearmente indipendenti.
Quindi il rango della matrice
[
]
x A yA 1
M=
x B yB 1
è uguale a due, e il nucleo dell’applicazione lineare indotta da M : R3 → R2
ha dimensione uguale a 1. Ma
[
] a
x A yA 1
b = 0
x B yB 1
c
se e soltanto se
ax A + byA + c = 0
ax B + byB + c = 0,
e quindi se (a, b, c) e (a′ , b′ , c′ ) sono entrambe nel nucleo di M sono linearmente
dipendenti, cioè esiste λ tale che a′ = λa, b′ = λb e c′ = λc, cioè [a : b : c] =
[a′ : b′ : c′ ]. La funzione è anche iniettiva: infatti se r e r ′ sono due rette
di equazioni ax + by + c e a′ x + b′ y + c′ rispettivamente, allora g(r ) = g(r ′ ) se e
soltanto se [a : b : c] = [a′ : b′ : c′ ]. Ma la retta r ′ di equazione λax + λby + λc = 0
coincide con la retta r, dunque r = r ′ .
(b) Se ax + by + c = 0 è l’equazione di una retta, allora (a, b) ̸= (0, 0). L’immagine di g in P2 (R) è quindi l’insieme dei punti [a : b : c] tali che (a, b) ̸= (0, 0),
cioè il complementare del punto [0 : 0 : 1] ∈ P2 (R).
(c) Il fascio di rette X per un punto A di coordinate ( x A, yA ) ha per
immagine l’insieme dei punti [a : b : c] di Y tali che ax A + byA + c = 0, cioè è
l’intersezione di Y con una retta proiettiva di P2 (R) (l’equazione in a, b, c
è omogenea di primo grado).
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252
#A.
ALCUNI ESERCIZI SVOLTI
(d) Supponiamo che i tre punti P, A, B siano distinti. Essi sono allineati
se e soltanto se esiste t ∈ R tale che P = A + t ( B − A), se e soltanto se P − A
e B − A sono linearmente dipendenti. Ma dato che
[
]
x x A x B
x − x A x A x B − x A
x − xA xB − xA
det y yA yB = det y − yA yA yB − x A = − det
y − y A yB − y A
1 1 1
1−1 1
1−1
questo accade se e soltanto se il determinante in questione è zero. Se
invece i tre punti non sono distinti, allora sono certamente allineati e
il determinante è certamente zero. Allo stesso risultato si perviene se si
considera che nella chiusura proiettiva i punti A = [ x A : yA : 1], B = [ x B : yB : 1]
e P = [ x : y : 1] sono allineati se e soltanto se i tre vettori delle coordinate
omogenee sono linearmente dipendenti. ///
(34) Sia S 1 ⊂ E2 una circonferenza di raggio 1 nel piano euclideo, e
Y l’insieme di tutte le rette di E2 , come nell’esercizio precedente. Si
dia a Y la topologia indotta da quella di P2 (R), mediante l’inclusione
g(Y ) ⊂ P2 (R). Sia X = {( A, B) ∈ S 1 × S 1 : A ̸= B} e f : X → Y la mappa che associa alla
coppia di punti ( A, B) la retta che passa per A e B. Allora:
(i) La funzione f è ben definita e continua.
(ii) Esiste una funzione continua f˜ : S 1 × S 1 → Y di cui f è la restrizione.
(iii) Per ogni punto A della circonferenza la retta f˜( A, A) è tangente alla
circonferenza in A (cioè interseca S 1 in un solo punto).
(iv) L’immagine di f˜ in Y (e quindi in P2 (R) mediante g) è un sottospazio
chiuso?
Sol: (a) La funzione f è ben definita perché per due punti distinti di
esiste unica la retta r ∈ Y per questi punti. Per mostrare che è continua,
consideriamo la composizione con g, gf : X → P2 (R). Se A = ( x A, yA ) e B = ( x B , yB ),
allora la retta f ( A, B) ha equazione
x x A x B
det y yA yB = (yA − yB ) x − ( x A − x B )y + ( x A yB − yA x B ) = 0,
1 1 1
E2
e quindi
gf ( A, B) = [yA − yB : x B − x A : x A yB − yA x B ].
Le componenti sono tutte polinomi (di primo e secondo grado) e quindi f (e
quindi gf ) è continua.
(b) La funzione continua f˜ è definita semplicemente da
f˜( A, B) = g−1 [yA − yB : x B − x A : x A yB − yA x B ].
Poniamo x A = cos α, yA = sin α, x B = cos β, yB = sin β. Quindi
f˜( A, B) = g−1 [sin α − sin β : cos β − cos α : cos α sin β − cos β sin α ]
= [sin α − sin β : cos β − cos α : sin(β − α )]
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§ 2.
253
SECONDA PARTE
Ricordiamo le formule di prostaferesi? Le usiamo per il prossimo passaggio.
α+β
α−β
α+β
α−β
sin
: 2 sin
sin
: sin(β − α )]
2
2
2
2
α+β
α + β sin(β − α )
= [2 cos
: 2 sin
:
]
α−β
2
2
sin(
)
2
= [2 cos
Ora, se poniamo β − α = δ, si ha che A → B se e soltanto se δ → 0, e quindi
occorre considerare il limite per δ → 0 del punto in P2 (R)
[2 cos
2α + δ
2α + δ
: 2 sin
:
2
2
sin δ
],
−δ
sin( )
2
che tende a
[2 cos α : 2 sin α : −2] = [cos α : sin α : −1].
Quindi f˜ è ben definita e continua.
(c) Se A = (cos α, sin α ), per quando visto sopra l’equazione della retta
f˜( A, A) è
x cos α + y sin α = 1,
che è ortogonale alla direzione (cos α, sin α ) e incontra la circonferenza nel
solo punto A, dato che
x cos α + y sin α = 1
⇐⇒ sin2 αx 2 + 1 + x 2 cos2 α − 2x cos α = sin2 α
x 2 + y2 = 1
cioè
x 2 − 2x cos α + cos2 α = 0.
La soluzione è unica dato che
∆ = 4 cos2 α − 4 cos2 α = 0,
ed è A dato che cos2 α + sin2 α = 1.
(d) L’immagine di f˜ in Y è l’immagine di S 1 × S 1 mediante una funzione
continua. Dato che S 1 è compatto, anche S 1 × S 1 è compatto, e quindi l’immagine
di f˜ è compatto. Un compatto in uno spazio di Hausdorff è chiuso, e perciò
l’immagine è un chiuso dato che P2 (R) è Hausdorff.
///
(35)
Si considerino in A2 (C) i tre punti A = (1, i ), B = (1, −i ), C = (i, −1).
(i) Determinare se i punti A, B e C sono allineati.
(ii) Siano r AB , r AC e r BC le tre rette per A, B, per A, C e per B, C rispettivamente. Si scrivano le equazioni cartesiane delle tre rette.
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254
#A.
ALCUNI ESERCIZI SVOLTI
(iii) Si consideri la funzione biunivoca f : E4 → A2 (C), definita ponendo
( x, y, u, v) 7→ ( x + iy, u + iv).
Mostrare che f −1 (r ) è un sottospazio affine (un piano) di E4 , se r è una
retta di A2 (C).
(iv) Determinare l’area del triangolo con vertici f −1 A, f −1 B, f −1C.
(v) È vero che tre punti di A2 (C) sono allineati (in A2 (C)) se e soltanto
se le rispettive controimmagini in E4 mediante f sono allineate?
Sol:
(a) I punti sono
1
0 = det 1
i
allineati se e solo se
i 1
i 1
0
−i 1 = det 0
−i 1 = 2i (i − 1) ̸= 0,
−1 1
i − 1 −1 1
e quindi non sono allineati.
(b) Utilizziamo il punto (d) del primo esercizio (nel caso complesso la
dimostrazione è identica). Le equazioni cercate sono
r AB : x − 1 = 0
r AC : (1 + i ) x − (1 − i )y
r BC : (1 − i ) x − (1 − i )y.
(c) Sia r la retta di A2 (C) di equazione az + bw + c = 0, se (z, w) sono le
coordinate di A2 (C). I coefficienti a, b, c sono complessi, e (a, b) ̸= (0, 0). La
controimmagine f −1 (r ) è uguale all’insieme
{( x, y, u, v) : a( x + iy) + b(u + iv) + c = 0}.
Se a = a1 + ia2 , b = b1 + ib2 e c = c1 + ic2 , con a j , b j e c j coefficienti reali, si ha
che
a( x + iy) + b(u + iv) + c = (a1 + ia2 )( x + iy) + (b1 + ib2 )(u + iv) + c1 + ic2 )
= a1 x − a2 y + b1 u − b2 v + c1 + i (a1 y + a2 x + b1 v + b2 u + c2 ) .
Quindi f −1r è l’insieme dei punti ( x, y, u, v) che soddisfano le equazioni
a1 x − a2 y + b1 u − b2 v + c1 = 0
a1 y + a2 x + b1 v + b2 u + c2 = 0,
e quindi è un sottospazio affine. Certamente ci sono soluzioni, dunque si
tratta di un piano se il rango della matrice dei coefficienti
]
[
a1 −a2 b1 −b2
a2 a1 b2 b1
è uguale a due. Se fosse uno, il determinante di tutti i minori 2 × 2 sarebbe
zero, e dunque si avrebbe
]
]
[
[
b1 −b2
a1 −a2
2
2
2
= b21 + b22 = |b|2
= a1 + a2 = |a| , 0 = det
0 = det
b2 b1
a2 a1
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§ 2.
255
SECONDA PARTE
da cui segue che a = b = 0, il che contraddice l’ipotesi (a, b) ̸= (0, 0).
(d) I tre punti hanno coordinate
0
1
1
1
0
0
f −1 A = , f −1 B = , f −1C = .
0
−1
0
−1
0
1
Il triangolo è quindi definito dai due vettori
1 1 0
0 0 0
a = − = ,
0 0 0
1
−1
2
0 1 −1
1 0 1
b = − = .
−1 0 −1
0
−1
1
Il quadrato dell’altezza è
b2 − b̄2 ,
dove b̄ è la proiezione di b su a, cioè
b̄ =
2
b·a
a = a = (0, 0, 0, 1).
a·a
4
Quindi
b2 − b̄2 = 4 − 1 = 3.
√
1√
L’area è quindi
32 = 3. In realtà è facile vedere che si tratta di un
2
triangolo equilatero con lato
2, anche solo calcolando le distanze tra
√
punti, che quindi ha area 3.
(e) I due vettori B − A, C − A sono dipendenti su C se esiste un λ ∈ C
tale che B − A = λ(C − A). D’altro canto f −1 B − f −1 A, f −1C − f −1 A sono allineati se
esiste un λ ∈ R tale che f −1 B − f −1 A = λ( f −1C − f −1 A). Quindi se sono allineati
in A4 (R), allora lo sono anche in A2 (C). Viceversa, potrebbero essere
allineati con un λ ∈ C ∖ R, come per esempio i tre punti A = (0, 0), B = (1, 0)
e C = (i, 0), e non esserlo i corrispondenti punti in A4 (R), che in questo
ultimo esempio sarebbero
0 1 0
0 0 1
, , .
0 0 0
0
0
0
///
(36) Siano A, B, C e D punti indipendenti (dal punto di vista affine)
di A3 (K ), dove K è R oppure C.
(i) Mostrare che ogni sottoinsieme di 3 punti scelti tra i quattro punti
A, B, C, D è indipendente (dal punto di vista affine).
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256
#A.
ALCUNI ESERCIZI SVOLTI
(ii) Siano πBCD , π ACD , π ABD e π ABC i piani per B, C, D, per A, C, D, per A, B, D e
per A, B, C rispettivamente, e X la loro unione X = πBCD ∪ π ACD ∪ π ABD ∪ π ABC .
Determinare l’ordine del gruppo G formato da tutte le affinità di A3 (K )
che mandano X in sé.
(iii) Quanti elementi di G fissano almeno uno dei 4 punti? Quanti esattamente uno?
(iv) Si determini l’insieme dei punti di A3 (K ) fissati da tutti gli elementi
di G, cioè
{x ∈ A3 (K ) : ∀g ∈ G, gx = x}.
Sol:
(a) Quattro punti sono indipendenti dal punto di vista affine
se il piú piccolo sottospazio affine che li contiene ha dimensione 3. Se
per assurdo esistesse un sottoinsieme di tre punti non indipendenti, per
esempio A, B e C, allora A, B e C sarebbero allineati, cioè esisterebbe una
retta l che li contiene. Ma data la retta l e il punto D al di fuori da essa,
esiste unico il piano che le contiene, e questo sarebbe un sottospazio
affine che contiene tutti i punti (A, B, C perché contiene tutti i punti di
l, e D per costruzione).
(b) Le affinità mandano piani in piani. Sia g: A3 (K ) → A3 (K ) una affinità. Dato che A, B, C sono indipendenti, anche le immagini gA, gB, gC sono
indipendenti, e generano il piano affine π che è immagine del piano π ABC .
Se g manda X in sé, deve mandare il piano π ABC in un piano π che è tutto
contenuto in X. Ora, se il piano π è contenuto in X, allora π è uguale
a uno dei quattro piani πBCD , π ACD , π ABD e π ABC . Infatti, se per assurdo
cosí non fosse, si dovrebbe avere che l’intersezione di π con ognuno dei
quattro piani ha dimensione al massimo 1, e quindi il piano π sarebbe
l’unione di quattro sottospazi affini di dimensione al piú uno, e questo
è assurdo. Quindi g induce una corrisondenza biunivoca tra i quattro piani. Segue che manda l’intersezione di due piani nell’intersezione di due
piani, e l’intersezione di tre piani nell’intersezione di tre piani. Dato
che i punti A, B, C, D sono intersezioni di tre piani distinti (per esempio
A = π ACD ∩ π ABD ∩ π ACD ), g induce una permutazione tra i punti A, B, C, D. Ora,
per ogni permutazione dei punti A, B, C, D esiste una unica affinità f che
induce tale permutazione, e tale f manda X in sé. Abbiamo appena mostrato
che le affinità che mandano X in sé sono in corrispondenza biunivoca con
le permutazioni dei quattro punti A, B, C, D (è un isomorfismo di gruppi,
dato che la composizione di permutazioni corrisponde alla composizione di
affintà), che sono 4! = 4 · 3 · 2 = 24.
(c) Le permutazioni di quattro elementi A, B, C, D che fissano esattamente
uno dei punti sono tante quante il numero dei punti moltiplicato per le
permutazioni di tre elementi che non fissano alcun punto, cioè le otto
seguenti: ACDB, ADBC, CBDA, DBAC, BDC A, DACB, BC AD, C ABD. Quelle che
fissano almeno un punto sono tutte meno quelle che non fissano nessun punto,
cioè tali che gA ̸= A, gB ̸= B, gC ̸= C e gD ̸= D. Queste sono le nove seguenti:
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§ 2.
257
SECONDA PARTE
BADC, BCDA, BDAC, C ADB, CDAB, CDBA, DABC, DC AB, DCBA. Quindi ci sono
in tutti 24 − 9 = 15 permutazioni che fissano almeno un punto. Oppure sono
tutte quelle che fissano un punto (le 8 di prima), piú quelle che ne fissano
esattamente due (quelle che ne fissano tre ne fissano per forza quattro).
Quelle che ne fissano esattamente due sono tante quante i sottoinsiemi di
4!
24
due elementi dell’insieme {A, B, C, D}, cioè (24) =
=
= 6. Quindi in totale
2!2!
4
sono 8 + 6 + 1 = 15. Problema: quante sono in generale le permutazioni di n
punti che non ne fissano nessuno? Quante quelle che ne fissano almeno uno?
Che ne fissano esattamente uno?
(d) L’insieme Y dei punti di A3 (K ) fissato da tutti gli elementi di G si
trova come segue. Si prendano i punti A, B, C, D come riferimento affine. Se
A è l’origine, essere invariante rispetto alle permutazioni dei tre punti
B, C, D significa che le tre coordinate dei punti fissati da G in questo
sistema di riferimento sono uguali, cioè che i punti di Y stanno sulla
retta che congiunge A con il baricentro di BCD. Lo stesso deve valere per
ogni altro punto, e quindi Y è contenuto nelle intersezioni delle rette che
congiungono i vertici con i baricentri delle facce opposte: ma queste si
A+ B+C +D
incontrano nel baricentro di ABCD, cioè nel punto di coordinate
4
(coordinate baricentriche).
(Come nell’esercizio precedente, è possibile cercare qualcosa di computazionale per aiutarsi – un esempio è il codice che segue)
lettere=['A','B','C','D']
def permutazioni(seq) :
if len(seq) == 0 :
yield ()
else :
for i in range(0, len(seq)) :
for rest in permutazioni(seq[:i] + seq[i+1:]) :
yield (seq[i],) + rest
def fissa_almeno_uno(p):
for i in range(len(p)):
if p[i] == lettere[i]: return True
return False
def fissa_esattamente_uno(p):
numero_fissi=0
for i in range(len(p)):
if p[i] == lettere[i]: numero_fissi += 1
return numero_fissi == 1
def fissa_nessuno(p):
for i in range(len(p)):
if p[i] == lettere[i]: return False
return True
def stampa(p):
return ''.join(p)
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258
#A.
ALCUNI ESERCIZI SVOLTI
for p in permutazioni( lettere ):
s= ''.join(p) + ": "
if fissa_almeno_uno(p): s += " *"
if fissa_esattamente_uno(p): s += "!"
if fissa_nessuno(p): s += "-"
print s
///
A proposito di componenti connesse: in posizione generale (cioè supponendo che le rette si intersechino sempre due per volta), sia f (n) il numero
di componenti connesse del complementare dell’unione di n rette nel piano.
Si ha f (1) = 2, f (2) = 4 e f (3) = 7. Si veda la figura A.1 a pagina 259. Può
n2 + n + 2
essere che il numero di componenti f (n) è uguale a
(a patto che le
2
rette si incontrino sempre due a due)? Perché?
(37) Descrivere le orbite e lo spazio quoziente delle seguenti azioni
di G su X (quando e se sono azioni).
(i) G = C∗ = {z ∈ C : z =
̸ 0}, X = C, per g ∈ G e z ∈ X si ponga poi g · z = gz
(moltiplicazione di numeri complessi);
(ii) G = R, X = C, con prodotto t · z = et+it z per ogni t ∈ G e per ogni z ∈ X.
(iii) G = Z, X = C, con prodotto k · z = ek z per ogni k ∈ Z e per ogni z ∈ X.
(iv) G = Z, X = R, con prodotto k · x = k + x per ogni x ∈ X e k ∈ G.
(v) G = Z, X = R, con prodotto k · x = kx per ogni x ∈ X e k ∈ G.
Sol:
(a) Se z1 e z2 sono due numeri complessi e z2 = gz1 per un g ̸= 0,
g ∈ C, allora o sono entrambi uguali a zero, oppure entrambi diversi da
zero. L’orbita di 0 è chiaramente {0}. L’orbita di 1 è C ∖ {0}. Quindi ci
sono esattamente due orbite. Lo spazio quoziente X/G ha perciò due punti:
[0] e [1]. La topologia di X/G: U ⊂ X/G è aperto se e soltanto se la sua
controimmagine in X = C è aperta. Sappiamo che ∅ e X/G sono aperti, per
definizione. La controimmagine di [0] è l’orbita di 0, che è {0}, che non
è aperto: {[0]} non è aperto. La controimmagine di [1] è l’orbita di 1, che
è C ∖ {0} = C∗ , che è aperto in C, e quindi {[1]} è aperto in X/G. Quindi gli
aperti sono:
∅ = {}, {[1]}, {[0], [1]} = X/G.
(b) Se z = 0, l’orbita {et+it 0} è {0}. Altrimenti, se z ̸= 0, la mappa
t 7→ et+it z
è iniettiva, e descrive una spirale in C (perché?). Osserviamo che se Y ⊂ X
è una orbita, allora esiste sempre uno e un solo numero complesso di norma
1 in Y . Infatti, si ha (per z ̸= 0)
|et+it z| = et |z|,
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
§ 2.
259
SECONDA PARTE
Figura A.1: Il complementare dell’unione di n rette ha . . . componenti
connesse.
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260
#A.
ALCUNI ESERCIZI SVOLTI
e dunque et |z| = 1 se e soltanto se et = |z|−1 ⇐⇒ ( t = − ln)|z|. Quindi le orbite sono
in corrispondenza biunivoca con i punti di S 1 ∪ {0} ⊂ C, dove S 1 = {z ∈ C : |z| = 1}.
Lo spazio quoziente contiene una copia (omeomorfa?) di S 1 , e un punto extra
(l’orbita [0]). Consideriamo un intorno U ⊂ X/G di [0]. La sua controimmagine
Ũ mediante la proiezione del quoziente è un aperto di C che contiene 0, e
dunque contiene un disco di raggio ϵ > 0. Ora, per ogni z ∈ C ∖ {0} esiste un
t ∈ R tale che
|et+it z| < ϵ ,
e quindi l’intersezione di Ũ con ogni orbita è non vuota. Ma se Ũ contiene
un punto di una orbita, allora contiene anche tutta l’orbita di questo
punto: segue che Ũ = C. Cioè l’unico intorno (aperto) di X/G che contiene
l’orbita [0] è tutto X/G. Segue che X/G non è Hausdorff.
(c) Le orbite di punti z ̸= 0 sono insiemi discreti di punti, che si
accumulano in 0 ∈ C, allineati lungo semirette per l’origine e per z. Invece
0 ha per orbita sé stesso. Due punti z1 e z2 , scritti in coordinate polari
z1 = r1 eiθ1
z2 = r2 eiθ2
stanno nella stessa orbita se e soltanto se
k
r2 = e r1
iθ2
k
iθ1
⇐⇒
r2 e = e r1 e ⇐⇒
θ2 = θ1 mod 2π.
ln r2 = k + ln r1
θ2 = θ1 mod 2π.
Quindi X/G contiene una copia (perché? è copia omeomorfa?) di un toro, e la
orbita [0]. Analogamente al punto precedente, [0] ∈ X/G non ha altri intorni
aperti a parte X/G.
(d) Le orbite sono traslati a coordinatre intere, il quoziente è S 1 (già
visto a lezione).
(e) Non è una azione. ///
(38) Siano A = (1, 1, 1), B = (−1, −1, 1), C = (1, −1, −1) e D = (−1, 1, −1) quattro
punti dello spazio euclideo E3 .
(i) Sono indipendenti (dal punto di vista affine)?
(ii) Sia G il gruppo di tutte le isometrie che mandano l’insieme dei 4
punti {A, B, C, D} in sé. Dimostrare che G è finito.
(iii) Determinare le (24) distanze reciproche.
(iv) Calcolare il volume del tetraedro ABCD e la sua area laterale.
Sol:
(a) Si ha
A − D = (2, 0, 2)
B − D = (0, −2, 2)
C − D = (2, −2, 0),
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§ 2.
261
SECONDA PARTE
con determinante della matrice
2
2 0
det 0 −2 −2 = 16 ̸= 0,
2 2
0
dunque sono indipendenti dal punto di vista affine.
(b) Ogni isometria è in particolare una affinità. Le affinità che mandano
l’insieme dei 4 punti in sé costituiscono un gruppo finito di ordine 24 = 4!
(isomorfo al gruppo di permutazioni di quattro elementi – si veda il compito
del mese di giugno 2008). Quindi G è un sottogruppo di un gruppo finito,
ed è a sua volta finito.
4!
(c) Le (24) = 2!2!
= 6 distanze reciproche sono
√
|A − D| = |(2, 0, 2)| = 2 2
√
|B − D| = |(0, −2, 2)| = 2 2
√
|C − D| = |(2, −2, 0)| = 2 2
√
|A − B| = 2 2
√
|B − C| = 2 2
√
|C − A| = 2 2.
Si tratta quindi di un tetraedro regolare, e quindi ogni affinità che manda
l’insieme dei vertici {A, B, C, D} in sé è anche una isometria (perché?).
(d) Il volume è
2
2 0
1
16 8
det 0 −2 −2 =
= .
6
6
3
2 2
0
√
L’area di una delle sue facce √(triangoli equilateri) è √uguale a 2 3. La
superficie laterale è quindi 6 3, la superficie totale 8 3. Il baricentro
della faccia ABC è
1 −1 1
1
1 1
1 + −1 + −1 = −1 ,
3 3
1
1
−1
1
quindi l’altezza del tetraedro è la norma del vettore
1 −1 4/3
1
−1 − 1 = −4/3 ,
3
−1
4/3
1
√
4 3
che è uguale a
. Il volume è quindi uguale a
3
√
1 √ 4 3 8
·2 3·
= ,
3
3
3
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262
#A.
ALCUNI ESERCIZI SVOLTI
come sopra. ///
(39) Si consideri in E2 la conica γ di equazione x 2 − y2 = 1. Sia G il
gruppo di tutte le affinità che mandano γ in sé.
(i) Determinare quali elementi di G sono anche isometrie.
(ii) G è un sottogruppo chiuso di GL(2, R)?
(iii) G è compatto?
(iv) L’azione di G su A2 (R) è transitiva? G contiene traslazioni?
(v) G è connesso?
(vi) Determinare se G agisce transitivamente su γ.
Sol: Osserviamo che i due asintoti di γ (le rette di equazioni x ± y = 0)
sono le uniche rette di E2 che non intersecano γ e che passano per i punti
all’infinito di γ: infatti il sistema si riduce all’equazione
2
2
x −y = 1
=⇒ x 2 − (ax + b)2 = 1
y = ax + b.
(1 − a2 ) x 2 − 2abx + b2 − 1 = 0.
Questa, se a2 = 1, ha certamente soluzioni se b ̸= 0. Altrimenti, se b = 0,
non ha soluzioni. Ora, se una affinità manda γ in sé, allora deve mandare
anche i suoi due asintoti in sé. In particolare, l’intersezione dei due
asintoti deve rimanere fissa, e quindi l’affinità si scrive come
[
con A =
a b
c d
x 7→ Ax
]
matrice invertibile. Nel sistema di riferimento dato dai due
asintoti, l’equazione di γ risulta st =
s=
t =
1
, dove le coordinate sono
2
1
[]
[
][ ]
√ ( x + y)
1 1 1 x
s
2
⇐⇒
=√
.
1
t
1 −1 y
2
(
x
−
y
)
√
2
Lavoriamo nelle coordinate (s, t ), invece che nelle ( x, y).
(a) Le rotazioni che mandano i due assi s e t in sé sono le quattro rotazioni di angolo 0, π/2, π e −π/2. Solo le rotazioni di angolo 0 (l’identità)
e di angolo π mandano γ in sé. Le riflessioni che mandano gli assi in sé
sono le due riflessioni lungo gli assi (che però non mandano l’iperbole in
sé), e le riflessioni lungo le bisettrici (che mandano γ in sé). In totale
quindi le isometrie di G sono rappresentate dalle quattro matrici
]
]
[
]
[
]
[
[
0 −1
0 1
−1 0
1 0
.
, R2
, R1 =
, −1 =
1=
−1 0
1 0
0 −1
0 1
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§ 2.
263
SECONDA PARTE
Le prime due sono rotazioni (e quindi in SO(2)), le seconde riflessioni
(con determinante −1).
(b) Il gruppo G è formato da tutte le matrici A tali che
[
]
[
]
0 1
t 0 1
A=
.
A
1 0
1 0
[
Si tratta quindi della controimmagine di
tinua)
0 1
1 0
]
mediante la funzione (con-
[
]
0 1
A 7→ A
A.
1 0
t
La controimmagine di un punto (che è chiuso) è un chiuso, e dunque G è
chiuso.
Sia K ⊂ G il sottogruppo di G formato dalle isometrie di G. Ora, se
A è una matrice tale che Aγ = γ, A induce una permutazione tra i quattro
quadranti del piano (s, t ) (dato che manda gli assi in sé, manda anche il
complementare degli assi in sé). Sia H ⊂ G il sottogruppo formato da tutte
le affinità con determinante 1 che mandano il primo quadrante in sé. Sia K
che H sono sottogruppi di G. Si ha che H ∩ K = 1. Se g è un elemento di G,
allora esiste certamente a ∈ K tale che ga ha determinante 1. Ora, ga oppure
−ga hanno entrambi determinante 1, e uno dei due manda il primo quadrante
in sé. Dunque, dato che sia a che −a sono in K, esiste un elemento k ∈ K
tale che gk ∈ H. In altre parole, HK = G, cioè G è l’unione disgiunta dei
laterali di H
G = 1H ∪ −1H ∪ R1 H ∪ R2 H.
Per mostrare che G è chiuso, basta mostrare che H è chiuso.
(c) Osserviamo che G contiene tutte le matrici del tipo
[
]
t 0
,
0 1/t
con t ̸= 0 arbitrario. Il sottogruppo H di sopra (quelle che mandano il primo
quadrante in sé) è formato da quelle con t > 0. Quindi,
{[
]
} {[
]
} {[
]
} {[
]
}
t 0
−t
0
0 t
0
−t
G=
:t>0 ∪
:t>0 ∪
:t>0 ∪
:t>0 .
0 1/t
0 −1/t
1/t 0
−1/t 0
Dato che G non è limitato, non è compatto. Deduciamo anche che il
determinante di ogni elemento di G è uguale a ±1.
(d) L’azione di G su A2 (R) non può essere transitiva, dato che manda γ
in sé. Dato che manda l’origine in sé, non può contenere traslazioni, come
abbiamo visto prima.
(e) G non è connesso, dato che la funzione determinate det : G → {±1} è
continua e suriettiva. È possibile (ma non facciamo ora) vedere che ha
quattro componenti connesse, omeomorfe a R.
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264
#A.
ALCUNI ESERCIZI SVOLTI
1
(f) L’azione è transitiva: se α ̸= 0, allora il punto (α, 2α
) viene mandato
]
[
t 0
da
in
0 1/t
[
]
t 0 α tα
1 = 1 .
0 1/t
2α
2tα
1
Chiaro quindi che con t ̸= 0 è possibile mandare (α, 2α
) in un qualsiasi altro
punto di γ. ///
(40)
1
1
0
In A3 (R) siano dati i tre punti A = 1, B = 0, C = 1.
0
1
1
(i) A B e C sono allineati? Dipendenti?
(ii) Dimostrare che esiste un unico piano π che contiene A, B e C, e
scriverne una equazione.
(iii) Si trovi un riferimento affine che contiene i tre punti A, B, e C e
si riscriva l’equazione del piano π in questo riferimento.
Sol: Ricordiamo che tre punti sono allineati se e solo appartengono
ad una stessa retta o, equivalentemente, se sono dipendenti. Quindi sono
allineati se e solo se i due vettori u = B − A e v = C − A generano uno
sottospazio di R3 di dimensione al più 1. Basta quindi calcolare il rango
della matrice [u, v]:
0 −1
Rank −1 0 = 2
(2.1)
1
1
che è uguale a due per concludere che non sono allineati e che generano
uno spazio di dimensione massima (2).
In un altro modo è possibile procedere come segue: se fossero allineati,
allora il rango della matrice [ A − O, B − O, C − O] dovrebbe essere al più 2 (dal
momento che i tre vettori sono contenuti nel piano contenente la retta e
l’origine O), e quindi il suo determinante dovrebbe essere nullo. Ma dato
che
1 1 0
det 1 0 1 = −2 ̸= 0,
0 1 1
i tre punti non possono essere allineati. Notiamo che invece è possibile
avere tre punti A′ ,B′ ,C ′ non allineati tali che il determinante della matrice
[ A′ − O, B′ − O, C ′ − O] è nullo (basta che il piano che li contiene passi per
l’origine O).
Esiste un unico piano π passante per tre punti indipendenti: basta
osservare che il sottospazio affine generato da un insieme finito di punti
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
§ 2.
265
SECONDA PARTE
è unico, e che tre punti indipendenti generano un piano (in generale, d + 1
punti sono indipendenti se e solo se generano uno spazio di dimensione d).
È richiesto di scrivere una equazione di π: la più semplice è il sistema
di equazioni parametriche
x = A + s( B − A) + t (C − A),
con s, t ∈ R, cioè
o equivalentemente
x 1
0
−1
y = 1 + s −1 + t 0 .
z
0
1
1
x = 1−t
y = 1−s
z = s + t.
Eliminando i parametri s e t si ottiene l’equazione cartesiana
x + y + z = 2.
Ora ricordiamo cosa è un riferimento affine per uno spazio affine X
di dimensione d: equivalentemente, d + 1 punti in X indipendenti oppure un
→
−
punto x0 ∈ X e d vettori di X indipendenti. Nel nostro caso X = A3 (R), quindi
un riferimento affine consiste di 4 punti oppure un punto e tre vettori di
R3 . Dal momento che il riferimento affine deve contenere i tre punti A, B,
C, non può che essere quindi pensato come un insieme di quattro punti che
contenga i punti A, B e C. Osserviamo che A, B e C sono indipendenti, per
cui per ottenere un riferimento affine basta aggiungere un quarto punto
O non contenuto nel piano generato da A, B e C. Dato che l’origine non
appartiene a π, si può considerare il riferimento affine {O, A, B, C}. I punti
A, B e C in questo riferimento hanno coordinate affini
1 0 0
0 , 1 , 0 ,
0 0 1
ed è chiaro quindi che il piano π ha equazione
x ′ + y′ + z′ = 1,
dove x ′ , y′ , z′ sono le coordinate affini nel nuovo sistema di riferimento. ///
(41)
Si dimostri che se r e s sono due rette distinte passanti per
l’origine di R2 (cioè r e s sono due sottospazi vettoriali di dimensione 1
dello spazio vettoriale R2 ) allora R2 = r + s.
Sol: Dato che r ⊂ R2 e s ⊂ R2 , si ha r + s ⊂ R2 . Bisogna quindi mostrare che
ogni vettore di R2 si può scrivere come somma di due vettori vr e vs tali
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
266
#A.
ALCUNI ESERCIZI SVOLTI
che vr ∈ r e vs ∈ s. Supponiamo invece per assurdo che r + s sia un sottospazio
vettoriale proprio di R2 (dal momento che la somma di sottospazi vettoriali
è un sottospazio vettoriale). Non può avere dimensione 0 (dato che contiene
r e s), e non può avere dimensione 2 (dato che esiste un solo sottospazio
vettoriale di R2 di dimensione 2), per cui deve avere dimensione 1. Ma
questo implica che r = r + s (dato che r è sottospazio di r + s ed hanno
la medesima dimensione) e analogamente s = r + s, cioè che r = s. Ma questo
contraddice l’ipotesi. ///
(42)
Siano r e s la due rette dello spazio affine A3 (R) di equazioni
x 1
0
y
0
=
+
t
1
z
1
0
e
x 1
1
y
1
=
+
s
0
z
1
1
(i) Sono parallele? Sghembe? Incidenti?
(ii) Qual è il più piccolo sottospazio affine che contiene sia r che s
(scriverne l’equazione, se esiste).
Le due rette sono parallele se e soltanto se le loro giaciture
0
1
coincidono, cioè se e soltanto se i vettori 1 e 0 sono linearmente
0
1
dipendenti. Il rango della matrice è 2, per cui le rette non sono parallele.
Le due rette sono sghembe quindi se e soltanto se non sono incidenti:
determiniamo quindi se esistono soluzioni in s e t del sistema di equazioni
Sol:
1
0 1
1
0 + t 1 = 1 + s 0 ,
1
1
0
1
che si può riscrivere come
1 = 1+s
t=1
1 = 1 + s.
È chiaro che (s, t ) = (0, 1) è una soluzione, e dunque le due rette sono incidenti
1
(si incontrano nel punto A = 1). Se B e C denotano due punti distinti da
1
A appartenenti rispettivamente
alla prima e alla seconda
delle rette (per
1
0
esempio, per t = 0 si ha B = 0 e per s = −1 si ha C = 1), allora il piano
1
0
generato da A, B e C contiene le due rette, ed è il più piccolo sottospazio
affine con questa proprietà (perché …).
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§ 2.
267
SECONDA PARTE
L’equazione parametrica di un piano per tre punti si ottiene come nel
primo esercizio. ///
1 1 0
1
(43) Si considerino i punti 1, 0, 1 e 1 di A3 (R). Sono indipendenti
0
1
1
1
(come punti dello spazio affine)? I corrispondenti vettori di R3 sono
indipendenti? Possono essere scelti come riferimento affine?
Sol: Osserviamo che le differenze
1 1
0 1 1
0 0 1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
−
=
−
,
−
=
−
,
−
=
−
0
0
1
1 1
1
0 1
1
0
sono di certo linearmente indipendenti (sono gli opposti dei vettori della
base canonica di R3 ), e quindi i quattro punti sono indipendenti e possono
essere scelti come riferimento affine di A3 (R). I corrispondenti vettori
1 0
3
1 − 0, …non possono esserlo, dato che in R il numero massimo di vettori
0
0
linearmente indipendenti è 3. ///
(44) Sia Γ la conica affine piana di equazione x 2 + y2 = 1 e T : A2 (R) → A2 (R)
la trasformazione affine definita da
[ ] [
][ ] [ ]
x
1 1 x
1
T
=
+
.
y
−1 1 y
−1
Determinare l’equazione della conica T (Γ) ⊂ A2 (R).
Sol: Siano ( x, y) le coordinate affini di A2 (R), e siano ( X, Y ) le coordinate
affini della seconda copia di A2 (R) indotte dalla trasformazione T . La
trasformazione T può essere scritta in coordinate come
[ ]
[ ] [
][ ] [ ]
X
x
1 1 x
1
=T
=
+
,
Y
y
−1 1 y
−1
o anche
X = x + y + 1
Y = −x + y − 1.
Calcolando T −1 si ottiene
X +Y
x =
2
X −Y −2
y =
.
2
Sostituendo nell’equazione x 2 + y2 = 1 si ottiene
( X + Y )2 ( X − Y − 2)2
+
= 1,
4
4
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
268
#A.
ALCUNI ESERCIZI SVOLTI
e semplificando
X 2 + Y 2 − 2X + 2Y = 0.
Un altro modo è il seguente: la conica, se si suppone A2 (R) dotato
della metrica euclidea standard, è la circonferenza di raggio unitario e
centro nell’origine. La trasformazione T è uguale alla
composizione di una
√
rotazione
[ di
] angolo π/4, una dilatazione di fattore 2 e una traslazione di
1
vettore
. La rotazione lascia la circonferenza invariata, la dilatazione
−1
[ ]
√
0
ne cambia il raggio (da 1 a 2) e la traslazione sposta il centro da
0
[ ]
[ ]
√
1
1
a
. Quindi T (Γ) è la circonferenza di A2 (R) di centro
e raggio 2,
−1
−1
che ha equazione
( X − 1)2 + (Y + 1)2 = 2.
Semplificando si ottiene
X 2 − 2X + 1 + Y 2 + 2Y + 1 = 2,
cioè l’equazione sopra riportata. ///
(45) Sia in A2 (R) data la retta r di equazione x + y = 1. Scrivere (nelle
coordinate
( x, y) del piano affine) la proiezione su r parallela al vettore
[ ]
0
e la corrispondente riflessione.
1
[ ]
0
2
Sol: Sia ( x0 , y0 ) un punto di A (R). La retta parallela a
e passante
1
per ( x0 , y0 ) ha equazione x = x0 . La sua intersezione con la retta r si ottiene
risolvendo il sistema
x = x0
x + y = 1,
ed è quindi il punto di coordinate ( x0 , 1 − x0 ). Ne segue che se pr indica la
proiezione cercata essa sarà definita da
([ ]) [
]
x
x
=
.
pr
y
1−x
La riflessione corrispondente R : A2 (R) → A2 (R) si ottiene ricordando che
deve essere
([ ]) [ ]
([ ])
([ ])
x
x
x
x
,
−
= pr
− pr
R
y
y
y
y
e dunque
]
] [ ] [
[
([ ])
x
x
x
.
− x, y =
=2
R
2 − 2x − y
1−x
y
///
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§ 2.
269
SECONDA PARTE
(46) Si calcoli la distanza dall’origine (in E3 con il prodotto scalare
standard) delle rette r e s di equazioni
x 0
1
x 0
1
y
0
1
y
1
= + t e = + s 0
z
1
0
z
0
1
Qual è la distanza tra le due rette?
Sol:
La distanza di un punto da un sottospazio è la minima delle
distanze tra il punto e i punti del sottospazio. È chiaro che il minimo
delle distanze si ottiene considerando il minimo delle distanze al quadrato
(perché?). Per la prima retta si ha
x 2 + y2 + z2 = t 2 + t 2 + 1 = 2t 2 + 1,
che ha minimo per t = 0. Dato che la seconda
retta si ottiene ruotando la
1
prima attorno all’asse di rotazione 1 di un angolo di 2π/3 (perché?), la
1
distanza è uguale 1 anche per essa.
La distanza al quadrato tra il punto A(t ) con parametro t della retta r e
il punto B(s) con parametro s della seconda retta (con abuso di notazione
è stata chiamata s) è uguale a
(t − s )2 + (t − 1)2 + (1 − s )2 .
Deve essere che il vettore A(t ) − B(s) sia ortogonale sia a r che a s, cioè
t − s 1
⟨ t − 1 , 1⟩ = 0
1−s 0
t − s 1
⟨ t − 1 , 0⟩ = 0.
1−s 1
Il sistema di equazioni in (s, t ) da risolvere può essere scritto come
t − s + t − 1 = 0 =⇒ s = 2t − 1
t − s + 1 − s = 0 =⇒ t = 2s − 1,
√
ed ha soluzione s = t = 1: il che implica che la distanza non è 2, ma 0 (le
rette sono incidenti). ///
(47)
Nel piano proiettivo si considerino i tre punti A = [1 : 0 : 1],
B = [1 : 1 : 0] e C = [0 : 1 : 1]; siano r AB , r AC e r BC le tre rette passanti per due
dei tre punti. Dimostrare che il complementare
P2 (R) ∖ (r AB ∪ r AC ∪ r BC )
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270
#A.
ALCUNI ESERCIZI SVOLTI
(cioè il piano proiettivo meno le tre rette) ha quattro componenti connesse.
Quante componenti ha il piano proiettivo meno tre rette distinte passanti
per un punto?
Sol: A meno di un cambio di coordinate possiamo supporre che r BC sia
la retta dei punti impropri. Quindi il complementare P2 (R) ∖ (r AB ∪ r AC ∪ r BC )
risulta omeomorfo a
A2 (R) ∖ (rˆAB ∪ rˆAC ) ,
dove rˆAB e rˆAC denotano le tracce affini delle due rette proiettive r AB e r AC .
Le due rette affini si intersecano nel punto affine A (per definizione)
e non sono parallele (dal momento che le loro intersezioni con la retta
impropria sono due punti distinti: B e C, entrambi punti di r BC ). A meno di
trasformazioni affini si può supporre che r AB e r AC siano i due assi di un
sistema di riferimento cartesiano ( x, y). Le componenti connesse sono quindi
4. Infatti, consideriamo lo spazio topologico S = {+, −} con topologia discreta, e la mappa s : R2 ∖ xy = 0 → S × S definita ponendo s( x, y) = (Segno( x ), Segno(y)).
Dal momento che s risulta una funzione continua (perché?), lo spazio in
questione ha almeno quattro componenti connesse. Per concludere che sono
esattamente quattro basta mostrare che i quadranti sono connessi, ma questo
segue facilmente dal fatto che sono connessi per archi (anche, sono connessi
per archi rettilinei!).
Per quanto riguarda il piano proiettivo meno tre rette per un punto,
si prosegue come sopra, ma ottenendo due rette affini distinte con il
medesimo punto all’infinito (e quindi parallele). Le componenti connesse
sono quindi 3. ///
§ 3.
ALCUNI ŒRRORI
[[url:http://xkcd.com/217/]]
(48)
Consideriamo il seguente sottoinsieme di R2 (con la topologia
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§ 3.
271
ALCUNI ŒRRORI
euclidea):
X = {( x, y) ∈ R2 : xy ̸∈ Z}.
(i) È aperto? È chiuso?
(ii) Consideriamo l’iperbole C di equazione x 2 − y2 = 1. L’intersezione X ∩ C
è aperta nella topologia di C? È chiusa nella topologia di C? E nella
topologia di R2 ?
(iii) X e X ∩ C sono compatti? sono connessi?
(iv) Si consideri la funzione φ : Z × X → R2 definita ponendo
φ(k, ( x, y)) = (2k x, 2k y).
È vero che l’immagine di φ è contenuta in X?
Soluzioni:
a) [...] L’insieme X è infatti composto da
X = R2 ∖ (Z × Z) ∪ {( x, y) ∈ R2 : x, y ∈ Q, e xy ∈ Z},
quindi X = R2 ∖ una infinità numerabile di punti. Dato che tra un numero
razionale ed uno irrazionale ∃ infiniti n° reali, segue che ∃ infinite
coppie di numeri ( x3 , y3 ) con x3 , y3 ∈ R. Questo vale per ogni coppia ( x, y) ∈ R2 e
quindi a maggior ragione in ogni coppia ( x, y) ∈ R2 ∖ una infinità numerabile
di punti.
[...] X non è aperto, per x ∈ R ∃y ∈ R tale che xy ∈ Z (un numero per il
reciproco).
[...] X è aperto perché è l’unione di tutte le palle aperte di raggio 1
e centro in ( x, y) ∈ R2 tali che x ∈ Z, y ∈ Z.
[...] Un insieme è aperto ⇐⇒ il suo complementare è chiuso o equivalentemente se non contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
[...] X è un sottoinsieme chiuso di R2 . Infatti X c = {( x, y) ∈ R2 : xy ∈ Z} = Z2 .
2
Z è composto da punti isolati, ed è quindi un insieme aperto.
[...] X non contiene (0, 0), allora X ̸= R2 ma anche il suo complementare
non contiene (0, 0). quindi y (X?) non è chiuso.
[...] X = f −1 (R − Z) =⇒ la controimmagine tramite la f continua di un
chiuso è un chiuso.
b) [...] C non è connesso perché la sua immagine attraverso una funzione
continua è {1} che non è connesso.
[...] C ∩ X è aperto; poiché è aperto non può essere anche chiuso poiché
C ∩ X non è connesso.
[...] la controimmagine di uno SCONNESSO è SCONNESSA (se f è continua)
[...] X ∩ C è l’intersezione di 2 insiemi non limitati X ∩ C è non limitato
X ∩ C è non compatto
(49)
Dimostrare che:
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272
#A.
ALCUNI ESERCIZI SVOLTI
(i) S 1 non è omeomorfo ad un intervallo.
(ii) Gli intervalli (0, 1) e [0, 1] non sono omeomorfi.
(iii) Se uno spazio topologico X è connesso e X = A ∪ B con A ̸= ∅ e B ̸= ∅,
allora o A ∩ B ̸= ∅ oppure B ∩ A ̸= ∅.
(iv) Se X ⊂ R non è un intervallo, allora non è connesso.
Soluzioni:
a) [...] S 1 è compatto =⇒ è omeomorfo a un intervallo chiuso e non a
un intervallo aperto.
[...] S 1 non è omeomorfo a un intervallo; S 1 = {( x, y) ∈ R2 : x 2 + y2 ≤ 1}. Sappiamo
che I ∼ C = circonferenza con C = {( x, y) ∈ R2 : x 2 + y2 = 1}. C ⊂ S 1 e C ̸∼ S 1 =⇒
I ̸∼ S 1 .
[...] Supponiamo per assurdo S 1 ≈ I Allora esisterebbe f : S 1 → I biunivoca,
continua t.c. f −1 continua. Ma applicando f a S 1 si perde l’iniettività
della funzione, il che è assurdo. Allora S 1 ̸≈ I.
[...] Sia f : [0, 1] → S 1 f (ϑ ) = e2πiϑ ∈ S 1 f ({0, 1}) = (1, 0) ∈ S 1 f è continua {0, 1} non
connesso, (1, 0) ∈ S 1 connesso =⇒ S 1 e [0, 1] non possono essere omeomorfi.
[...] S 1 ≈ [0, 1] infatti f : [0, 1] → S 1 t.c. f (t ) 7→ ei2πt = (cos 2πt, sin 2πt ) f è
continua, f (1) = (1, 0) è iniettiva [...] è suriettiva e f −1 è continua infatti
1
.
∃ f −1 : S 1 → [0, 1] t.c. f (y) = loge (y) ·
2iπ
b) [...] non ∃ una funzione biunivoca continua [0, 1] → (0, 1) prendiamo
f : (0, 1) → [0, 1] tale che x 7→ y = x vediamo subito che non è iniettiva in quanto
y = 1, y = 0 non hanno controimmagine tramite f
[...] se per assurdo ∃ f : (0, 1) → [0, 1] t.c. f omeomorfismo, significherebbe
che f è biunivoca, continua, con inversa continua. In particolare, si
avrebbe che f −1 (0) = 0, f −1 (1) = 1. Ma {0} ̸∈ (0, 1) e {1} ̸∈ (0, 1), quindi siamo giunti
ad un assurdo. Questo dimostra che (0, 1) e [0, 1] non sono omeomorfi.
[...] l’immagine di un aperto attraverso una funz. continua è aperto,
invece [0, 1] è chiuso.
[...] X = (0, 1) ≈ [0, 1] = Y =⇒ esisterebbe una funzione continua e biunivoca
da (0, 1) a [0, 1] =⇒ f ( X ) = Y e dato che è continua la controimmagine di [0, 1]
essendo chiuso dovrebbe essere un chiuso essendo f continua ma f −1 (Y ) = X è
aperto =⇒ assurdo (0, 1) ̸≈ [0, 1]
c) [...] X = A ∪ B è connesso A ̸= ∅, B ̸= ∅ poiché X è connesso, esso non può
essere unione di due aperti non vuoti disgiunti (o rispettivamente chiusi)
quindi se A, B sono aperti → A ∩ B ̸= ∅ per definizione =⇒ allora anche Ā ∩ B
e B̄ ∩ A sono ̸= ∅ se A è aperto e B è chiuso (o viceversa) per forza B = X ∖ A
e X = A ⊕ B poiché X = A ∪ B =⇒ quindi Ā ∩ B ̸= ∅ (o B̄ ∩ A ̸= ∅ se B aperto e A
chiuso)
d) [...] Se X ⊂ R non è un intervallo allora non è connesso se X non è
un intervallo =⇒ presi a, b ∈ X ∃s ̸∈ X t.c. a < s < b possiamo quindi supporre
X = (a, b) ∖ {s} =⇒ X risulta essere l’unione disgiunta di due aperti: (a, s),
(s, b) ossia X = (a, s) ∪ (s, b) =⇒ X non è connesso per definizione.
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§ 3.
273
ALCUNI ŒRRORI
[...] Se X ⊂ R non è un intervallo, o è l’insieme vuoto, o è un insieme
di punti isolati, o è un’unione disgiunta di intervalli. In tutti e tre i
casi siamo di fronte a esempi di insiemi non connessi.
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274
#A.
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ALCUNI ESERCIZI SVOLTI
Appendice B
TEMI D’ESAME
Questi alcuni temi d’esame per il corso di Geometria 1, per il Corso di
Laurea in Matematica dell’Università di Milano-Bicocca.
§ 4.
AA 2008-09
SCRITTO #1 - 23 GIU 2009 (14:30, U1-03)
(1)
Consideriamo il seguente sottoinsieme di R2 (con la topologia
euclidea):
X = {( x, y) ∈ R2 : xy ̸∈ Z}.
(i) È aperto? È chiuso?
(ii) Consideriamo l’iperbole C di equazione x 2 − y2 = 1. L’intersezione X ∩ C
è aperta nella topologia di C? È chiusa nella topologia di C? E nella
topologia di R2 ?
(iii) X e X ∩ C sono compatti? sono connessi?
(iv) Si consideri la funzione φ : Z × X → R2 definita ponendo
φ(k, ( x, y)) = (2k x, 2k y).
È vero che l’immagine di φ è contenuta in X?
(2)
Dimostrare che:
(i) S 1 non è omeomorfo ad un intervallo.
(ii) Gli intervalli (0, 1) e [0, 1] non sono omeomorfi.
275
276
#B.
TEMI D’ESAME
(iii) Se uno spazio topologico X è connesso e X = A ∪ B con A ̸= ∅ e B ̸= ∅,
allora o A ∩ B ̸= ∅ oppure B ∩ A ̸= ∅.
(iv) Se X ⊂ R non è un intervallo, allora non è connesso.
(3)
Sia G ⊂ SO(2) un sottogruppo di SO(2) e X = S 1 ⊂ R2 , con l’azione
standard di G su X. Mostrare che:
(i) Per ogni g ∈ G, la mappa x ∈ S 1 7→ gx ∈ S 1 è un omeomorfismo.
(ii) Se G è un gruppo ciclico finito, allora X/G ≈ S 1 .
(iii) Se l’orbita di x ∈ X non è un insieme finito, allora G non è un gruppo
finito.
(iv) Per n ≥ 2 fissato, quali sono gli elementi di SO(2) di ordine n?
(4) Siano A e B due punti distinti di E2 , e f , g le rotazioni attorno
ad A e B (rispettivamente) di angolo π.
(i) Determinare i punti fissati dalle composte f g e gf .
(ii) Descrivere tutti gli elementi del gruppo di isometrie di E2 generato
da f e g. È un gruppo abeliano (commutativo)?
(iii) Determinare l’orbita di A, di B e del punto medio del segmento AB.
H′
(5)
Si considerino in P2 (R) le rette H = {[ x0 : x1 : x2 ] ∈ P2 (R) : x1 = 0} e
= {[ x0 : x1 : x2 ] ∈ P2 (R) : x2 = 0}.
(i) Al variare di P ∈ H, si scriva l’equazione della retta lP passante per
P e per il punto Q, dove Q = [0 : 1 : 1] è fissato.
(ii) Si determini l’intersezione di lP con H ′ in funzione di P.
(iii) La funzione indotta H 7→ H ′ manda punti all’infinito in punti all’infinito, se la retta all’infinito ha equazione x0 = 0)?
(iv) Si scriva in coordinate affine (la retta all’infinito ha equazione
x0 = 0) la trasformazione indotta da H ad H ′ .
SCRITTO #2 - 14 LUG 2009 (14:30, U1-03)
(6)
Sia GA(n, R) il gruppo affine su X = An (R), e A ∈ An (R) un punto.
(i) Qual è lo stabilizzatore di A in GA(n, R)? Qual è l’orbita di A in X?
L’azione è transitiva?
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
§ 4.
277
AA 2008-09
(ii) Si consideri l’azione di GA(n, R) su X × X definita ponendo f ( A, B) =
( f ( A), f ( B)) per ogni f ∈ GA(n, R) e per ogni ( A, B) ∈ X 2 . Al variare di
( A, B) ∈ X 2 , quali sono lo stabilizzatore e l’orbita di ( A, B)? L’azione è
transitiva?
(iii) Si consideri l’azione di GA(n, R) su X × X × X definita ponendo f ( A, B, C ) =
( f A, f B, f C ) per ogni f ∈ GA(n, R) e per ogni A, B, C ∈ X. Al variare di
( A, B, C ) ∈ X 3 , quali sono lo stabilizzatore e l’orbita di ( A, B, C )?
(7) Sia X un insieme e τ ⊂ 2X la famiglia formata da tutti i sottoinsiemi
A di X che hanno complemento finito, cioè tali che X ∖ A ha un numero finito
di elementi, più l’insieme ∅.
(i) Dimostrare che τ è una topologia su X.
(ii) Mostrare che se X è finito, allora con la topologia τ è di Hausdorff.
(iii) Mostrare che se X non è finito e A, B ⊂ X sono due aperti non vuoti di
τ, allora A ∩ B ̸= ∅: dedurre che se τ è di Hausdorff, allora X è finito.
(iv) Determinare per quali cardinalità di X lo spazio topologico ( X, τ ) è
connesso.
(8)
Si consideri il sottoinsieme di R definito da
X={
p
: p ∈ Z, q ∈ N, q > 0, |p2 − q2 | ≤ 10100 },
q
con la topologia indotta da quella metrica di R.
(i) X è chiuso?
(ii) X è compatto?
(iii) X è connesso?
(9) Determinare quali dei seguenti sottospazi di R2 sono compatti e
quali sono connessi.
(i) {( x, y) ∈ R2 : x 10 + y10 < 10}.
(ii) {( x, y) ∈ R2 : ∃n ∈ N : x n + yn = n}.
(iii) {( x, y) ∈ R2 : ∃n ∈ N, n ≥ 1 : 1 + x + x 2 + . . . + x n = y}.
(10)
Siano A, B, C tre punti non allineati dello spazio affine An (R).
(i) Dimostrare che la retta r che passa per i punti medi di AB e BC è
parallela alla retta per AC.
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278
#B.
TEMI D’ESAME
(ii) Si consideri la chiusura proiettiva X del piano affine che contiene
ABC. Scrivere, in un sistema di riferimento proiettivo opportuno,
l’equazione della retta r.
(iii) Determinare il punto all’infinito di r.
(iv) Scrivere, in un opportuno sistema di riferimento proiettivo su X, una
proiettività che permuti ciclicamente i tre punti ABC.
SCRITTO #3 - 29 SET 2009 (14:30, U1-11)
(11)
Determinare tutti i punti di accumulazione dei seguenti insiemi:
(i) {x ∈ Z : x 2 ∈ Q}.
(ii) {z ∈ C : z2 ∈ Z}.
(iii) {z ∈ C : z2 ∈ Q}.
(iv) {x ∈ R : x 2 ∈ Z}.
(12) Dei seguenti sottoinsiemi (rispetto alla topologia metrica), si
determini se sono aperti, chiusi, connessi, compatti.
(i) {( x, y) ∈ R2 : ex+y ∈ Z}.
(ii) {z ∈ C : ez ̸∈ Z}.
√
(iii) {t ∈ R : eit = e2it }, dove i = −1.
(iv) {(z, w) ∈ C2 : |z|2 + |w|2 = 1}, dove |z|2 = zz̄.
(13) Siano A, B, C, D quattro punti indipendenti dal punto di vista affine
di A3 (R), e G il gruppo di tutte le affinità che mandano l’insieme {A, B, C, D}
in sé.
(i) Determinare il numero di elementi di G.
(ii) Determinare il numero di elementi degli stabilizzatori rispetto all’azione del gruppo G di A, di B, di C, e di D.
(iii) L’azione di G è transitiva su {A, B, C, D}?
(iv) Determinare l’insieme dei punti dello spazio affine fissati da tutti
gli elementi di G.
(14) Siano A ̸= B due punti di E4 , v e w due vettori indipendenti e r, l
le rette per A, B e con giacitura v, w rispettivamente.
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§ 4.
279
AA 2008-09
(i) Determinare il numero di rette ortogonali (e incidenti) a r e l.
(ii) Discutere la dimensione del più piccolo sottospazio affine che contiene le due rette r e l.
(iii) Se r e l non si intersecano, determinare il numero di piani che
contengono sia r che l.
(15)
Siano A = [1 : 0], B = [0 : i ] e C = [1 : i ] tre punti di P1 (C).
(i) Trovare, se esiste, una proiettività f : P1 (C) → P1 (C) tale che f ( A) = A,
f ( B) = B e f (C ) ̸= C.
(ii) Dimostrare che se f : P1 (C) → P1 (C) è una proiettività che fissa almeno
tre punti distinti, allora f è l’identità.
(iii) Determinare se esistono matrici F ⊂ GL(2; C) che inducono una proiettività f = [ F ] : P1 (C) → P1 (C) con un unico punto fisso.
SCRITTO #4 - 20 NOV 2009 (14:30, U2-02)
(16) Determinare tutti i punti di accumulazione dei seguenti sottoinsiemi di R:
(i) {
k
3h
: h, k ∈ Z}.
(ii) {(2m )1/n : m, n ∈ Z, n dispari}.
h
: h, k ∈ Z, hk ≤ 1, k ̸= 0}.
k
nπ
(iv) {cos
: n ∈ Z}.
2009
(iii) {
(17)
Dei seguenti sottoinsiemi di R2 ≈ C (rispetto alla topologia
metrica), si determini se sono aperti, chiusi, connessi, compatti.
(i) {( x, y) ∈ R2 : x + 2y + xy ≤ 1}.
(ii) {( x, y) ∈ R2 : x 3 − y3 ≥ 3}.
(iii) {z ∈ C :
zz
∈ N ∨ z = 0}.
z+z
(iv) {z ∈ C : z + z2 + . . . + z10 = 0}.
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
280
(18)
#B.
TEMI D’ESAME
In A2 (R) sian P0 , P1 e P2 i tre punti
P0 = (1, 0), P1 = (3, 1), P2 = (2, 2).
(i) Si determinino le coordinate x, y del baricentro Q del triangolo P0 , P1 ,
P2 .
(ii) Siano u, v le coordinate affini rispetto al riferimento affine P0 , P1 ,
P2 . Si scrivano u, v in funzione di x, y.
(iii) Si determinino le coordinate u, v di Q.
(iv) Si scriva l’equazione della proiezione sulla retta P0 P1 parallela alla
−−−−→
direzione P0 P2 , nelle coordinate più convenienti.
(19) Siano date in A2 (C) le due rette r e s di equazione rispettivamente
ix + y = 1 e x + iy = i.
(i) Determinare le coordinate dei punti di intersezione di r e s.
(ii) Trovare, se esiste, un sistema di riferimento affine in cui le due
rette r e s siano gli assi cartesiani.
(iii) Sia P2 (C) la chiusura proiettiva di A2 (C). Scrivere le equazioni
dei completamenti proiettivi di r e s in un sistema di riferimento
opportuno.
(iv) Esiste una proiettività che manda r in s? Se sì trovarne una, altrimenti
dimostrare che non è possibile.
(20) Sia P1 (R) la retta proiettiva reale, e f : S 1 → P1 (R) la funzione
definita da f ((cos t, sin t )) = [cos t : sin t ]. Dimostrare che:
(i) f è ben definita e continua.
(ii) f è suriettiva.
(iii) f è una funzione chiusa.
(iv) Determinare se f è un omeomorfismo.
SCRITTO #5 - 19 GEN 2010 (14:30, U1-14)
(21) Determinare tutti i punti di accumulazione dei seguenti sottoinsiemi degli spazi topologici (metrici) indicati:
(i) {eh+ik : h, k ∈ Z} ⊂ C.
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
§ 4.
281
AA 2008-09
(ii) {enπ/4i : n ∈ Z} ⊂ C.
1
(iii)
:
h,
k
∈
Z,
hk
=
̸
0
⊂ R.
1 1
+
h k
(iv) {sin(kπ/5) cos(hπ/5) : h, k ∈ Z} ⊂ R.
(22)
Dei seguenti sottoinsiemi di R2 ≈ C (rispetto alla topologia
metrica), si determini se sono aperti, chiusi, connessi, compatti.
(i) {( x, y) ∈ R2 : y2 ≥ x 3 }.
(ii) {( x, y) ∈ R2 : ( x 12 + y12 )3 ≤ ( x 3 + y3 )12 }.
(iii) {z ∈ C : |z|4 = z + z}.
(23)
A2 (F5 ).
Sia F5 il campo con 5 elementi, e A = (1, 2), B = (0, 0) i due punti di
(i) Scrivere l’equazione della retta per A e B in A2 (F5 ).
(ii) Quanti elementi ha l’insieme X = {( x, y) ∈ A2 (F5 ) : x 2 + y2 = 1}?
(iii) Determinare il numero e le equazioni delle rette per (1, 0).
(iv) Calcolare il numero totale di rette in A2 (F5 ).
(24) Sia G il gruppo di tutte le proiettività P1 (C) → P1 (C) che fissano
il punto [1 : 0] ∈ P1 (C).
(i) Per ogni proiettività g, descrivere g in forma di matrice 2 × 2, e
determinare la condizione g([1 : 0]) = [1 : 0].
(ii) Sia A1 (C) ⊂ P1 (C) la retta affine con la carta [ x : 1]. Mostrare che per
ogni g ∈ G, g manda A1 (C) in sé.
(iii) Scrivere la restrizione di g ∈ G sulla parte affine A1 (C) in coordinate
affini.
SCRITTO #6 - 16 FEB 2010 (14:30, U1-06)
(25) Sia X un insieme e τ ⊂ 2X la famiglia formata da tutti i sottoinsiemi
A di X che hanno complemento finito, cioè tali che X ∖ A ha un numero finito
di elementi, più l’insieme ∅.
(i) Dimostrare che τ è una topologia su X.
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
282
#B.
TEMI D’ESAME
(ii) Mostrare che se X è finito, allora con la topologia τ è di Hausdorff.
(iii) Mostrare che se X non è finito e A, B ⊂ X sono due aperti non vuoti di
τ, allora A ∩ B ̸= ∅: dedurre che se τ è di Hausdorff, allora X è finito.
(iv) Determinare per quali cardinalità di X lo spazio topologico ( X, τ ) è
connesso.
(26)
Determinare tutti i punti di accumulazione dei seguenti insiemi:
(i) {x ∈ Z : x 3 ∈ Q}.
(ii) {z ∈ C : z3 ∈ Z}.
(iii) {z ∈ C : z3 ∈ Q}.
(iv) {x ∈ R : x 3 ∈ Z}.
(27) Dei seguenti sottoinsiemi (rispetto alla topologia metrica), si
determini se sono aperti, chiusi, connessi, compatti.
(i) {( x, y) ∈ R2 : ex−y ∈ Z}.
(ii) {z ∈ C : ez ̸∈ Z}.
√
(iii) {t ∈ R : eit = e3it }, dove i = −1.
(iv) {(z, w) ∈ C2 : |z|2 − |w|2 = 1}, dove |z|2 = zz̄.
(28) Siano A e B due punti distinti di E2 , e f , g le rotazioni attorno
ad A e B (rispettivamente) di angolo π.
(i) Determinare i punti fissati dalle composte f g e gf .
(ii) Descrivere tutti gli elementi del gruppo di isometrie di E2 generato
da f e g. È un gruppo abeliano (commutativo)?
(iii) Determinare l’orbita di A, di B e del punto medio del segmento AB.
(29)
In A2 (R) siano P0 , P1 e P2 i tre punti
P0 = (1, 0), P1 = (2, 1), P2 = (2, 2).
(i) Si determinino le coordinate x, y del baricentro Q del triangolo P0 , P1 ,
P2 .
(ii) Siano u, v le coordinate affini rispetto al riferimento affine P0 , P1 ,
P2 . Si scrivano u, v in funzione di x, y.
(iii) Si determinino le coordinate u, v di Q.
(iv) Si scriva l’equazione della proiezione sulla retta P0 P1 parallela alla
−−−−→
direzione P0 P2 , nelle coordinate più convenienti.
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
§ 5.
283
AA 2009-10
(30)
Siano A = [1 : 0], B = [0 : i ] e C = [1 : i ] tre punti di P1 (C).
(i) Trovare, se esiste, una proiettività f : P1 (C) → P1 (C) tale che f ( A) = A,
f ( B) = B e f (C ) ̸= C.
(ii) Dimostrare che se f : P1 (C) → P1 (C) è una proiettività che fissa almeno
tre punti distinti, allora f è l’identità.
(iii) Determinare se esistono matrici F ⊂ GL(2; C) che inducono una proiettività f = [ F ] : P1 (C) → P1 (C) con un unico punto fisso.
§ 5.
AA 2009-10
8 GIU 2010 (14:30, U1-01)
(31) [4u] Si consideri la seguente funzione f : C → C, definita da
zz̄
2 2
z − z̄
f (z ) =
0
se z2 ̸= z̄2
se z2 = z̄2 .
(i) Per quali w ∈ C la controimmagine f −1 (w) = {z ∈ C : f (z ) = w} è compatta?
(ii) Per quali w ∈ C la controimmagine f −1 (w) è connessa?
(iii) È vero che per ogni w ∈ C la controimmagine f −1 (w) è un chiuso di C?
(iv) Esiste un chiuso K ⊂ C la cui controimmagine f −1 (K ) non è un chiuso di
C?
(32) [6u] Sia X lo spazio di tutte le matrici 2 × 2 a coefficienti in R
non tutti nulli, con la metrica euclidea (i.e. identificando X con R4 ∖ {0}),
e G = SO(2) il gruppo di tutte le matrici ortogonali con determinante 1. Si
consideri l’azione di G su X definita dal prodotto di matrici, cioè se
g ∈ G e x ∈ X, allora g · x è il prodotto righe-per-colonne di g con x.
(i) Si determini lo stabilizzatore di x, al variare di x in X.
(ii) Si determini se la mappa X → R definita da
[
]
√
a c
∈ X 7→ a2 + b2 + c2 + d 2 ∈ R
b d
induce una mappa continua r : X/G → (0, +∞) ⊂ R.
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
284
#B.
TEMI D’ESAME
(iii) Si determini se la mappa X → P1 (C) definita da
[
]
a c
∈ X 7→ [a + ib : c + id ] ∈ P1 (C)
b d
induce una mappa continua h : X/G → P1 (C).
(iv) La funzione f : X/G → (0, +∞) × P1 (C) definita da f ([ x ]) = (r ( x ), h( x )) è continua?
(v) La funzione g: (0, +∞) × C2 ∖ {0} → X definita da
(r, (a + ib, c + id )) → √
r
a2 + b2 + c2 + d 2
[
a c
b d
]
induce una mappa continua g: (0, +∞) × P1 (C) → X/G?
(33) [4u] Al variare dei parametri s, t ∈ Q, siano A, B, C i tre punti di
A3 (Q) di coordinate
A = (1, 2, 3t ),
B = (1, 2s, 3t ),
C = (s, 2s, 3).
(i) Determinare i valori di s, t ∈ Q per cui i tre punti sono allineati e
distinti.
(ii) Si scriva l’equazione cartesiana del luogo dei baricentri dei tre
punti A, B, C, al variare di s, t ∈ Q.
(iii) Trovare, se esiste, l’equazione di un piano di A3 (Q) che contenga
A, B, C per ogni s, t ∈ Q.
(iv) Per i valori di s, t ∈ Q per cui i tre punti sono allineati, trovare una
mappa affine A3 (Q) → A3 (Q) tale che
(1, 0, 0) 7→ A
(0, 1, 0) 7→ B
(0, 0, 1) 7→ C.
(34) [4u] Sia E2 il piano euclideo.
(i) Dimostrare che ogni rotazione di E2 è composizione di due riflessioni
(lungo rette).
π
(ii) Sia R : E2 → E2 la rotazione con centro C = (1, 1) di angolo θ = : si
3
scriva come composizione di due riflessioni.
(iii) Dimostrare che ogni isometria del piano euclideo E2 può essere scritta
come la composizione di al più tre riflessioni (lungo rette).
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
§ 5.
285
AA 2009-10
(iv) Sia f : E2 → E2 la funzione definita da
[ ]
[
][ ] [ ]
x
0 1 x
2
7→
+
y
1 0 y
0
Scriverla come composizione di riflessioni.
(#2) - 20 LUGLIO 2010, 14:30-16:30, AULA U9-07
(35) [4u] Sia f : R2 → R2 la mappa definita da f ( x, y) = ( x + y, xy), dove R2 ha
la topologia della metrica euclidea.
(i) Dimostrare che f è continua.
(ii) Per quali valori di w ∈ R2 la controimmagine f −1 ( w) è un sottospazio
compatto non vuoto di R2 ?
(iii) Per quali valori di w ∈ R2 si ha che f −1 ( w) è connesso?
(iv) La mappa f è una mappa aperta?
(36) [6u] Sia X ⊂ SO(3) l’insieme di tutte le rotazioni di SO(3) di angolo
π, cioè
X = {g ∈ SO(3) : g2 = I, g ̸= I},
dove I è la matrice identità 3 × 3.
(i) Mostrare che la funzione
A 7→ Traccia ( At A)
è il quadrato di una norma definita sullo spazio vettoriale delle
matrici quadrate 3 × 3.
(ii) Dimostrare che la funzione d : SO(3) × SO(3) → R definita da
√
d ( A, B) = Traccia [( At − Bt )( A − B)]
è una metrica (distanza) su SO(3).
(iii) L’insieme X ∪ {I} è un sottogruppo di SO(3)? È chiuso?
(iv) Dimostrare√ che se g ∈ X, allora la distanza di g dall’identità I è
uguale a 2 2.
(v) Dimostrare che X è compatto.
(37) [4u] Siano A, B, C, D quattro punti indipendenti dal punto di vista
affine in A3 (Q), e T il tetraedro con vertici ABCD.
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
286
#B.
TEMI D’ESAME
(i) Sia Q il baricentro di T . Dimostrare che se una affinità f : A3 (Q) → A3 (Q)
manda T in sé f (T ) = T , allora f (Q) = Q.
(ii) Determinare quando i punti medi M e N degli spigoli AB e CD sono
allineati con il baricentro Q.
(iii) Quando il tetraedro T̂ che ha per vertici i baricentri delle facce di
T è immagine di T con una affinità?
(iv) Scrivere in un sistema di riferimento affine (opportuno) le coordinate
di A, B, C, D, M, N, Q.
(38) [4u] Siano in P2 (C) fissati i quattro punti A = [1 : 0 : 0], B = [0 : 1 : 0],
C = [0 : 0 : 1], D = [1 : 1 : 1].
(i) Esistono tre punti (distinti) allineati in {A, B, C, D}?
(ii) Quante sono le proiettività f : P2 (C) → P2 (C) tali che f ( A) = A, f ( B) = B
e f (C ) = C?
(iii) Quante sono le proiettività f : P2 (C) → P2 (C) tali che f ( A) = B, f ( B) = C,
f (C ) = D, f ( D) = A?
(#3) - 7 SETTEMBRE 2010, 14:30-16:30, AULA U1-08
(39) [4u] Sia f : C2 → C la mappa definita da f ( x, y) = xy, dove C2 e C hanno
la topologia della metrica euclidea e y indica il complesso coniugato di
y ∈ C.
(i) Dimostrare che f è continua.
(ii) Per quali valori di w ∈ C la controimmagine f −1 ( w) è un sottospazio
compatto non vuoto di C2 ?
(iii) Per quali valori di w ∈ C si ha che f −1 ( w) è connesso e non vuoto?
(iv) Determinare cosa è l’immagine f ( X ) ⊂ C, dove
X = {( x, y) ∈ C2 : |x|2 + |y|2 = 1} ⊂ C2 ,
e |x|2 = xx e |y|2 = yy.
(40) [6u] Sia X ⊂ GL(2, R) l’insieme di tutte le matrici 2 × 2 invertibili
(a coefficienti reali) a traccia nulla e determinante 1, cioè
]
}
{[
a c
| a, b, c, d ∈ R, ad − bc = 1, a + d = 0 ,
X=
b d
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
§ 5.
287
AA 2009-10
con la topologia metrica dello spazio di matrici ( ∼
= R4 ).
(i) Lo spazio X è compatto?
(ii) Quali sono gli elementi del sottoinsieme Y ⊂ X formato dalle matrici
ortogonali di X (cioè elementi di Y = X ∩ O(2))? E quali sono gli elementi
che sono matrici simmetriche?
(iii) Sia G = GL(2, R) il gruppo delle matrici invertibili 2 × 2. Dimostrare
che la funzione G × X → X definita da
(S, A) 7→ S · A = SAS −1 ,
per ogni S ∈ G e ogni A ∈ X, dove il prodotto SAS −1 è il prodotto di
matrici, è una azione di G su X.
(iv) Determinare se gli elementi di Y sono contenuti in una sola orbita di
G oppure no.
(v) Sia A ∈ X. Sia f A : R2 → R la funzione definita per ogni v ∈ R2 ,v ̸= 0, da
f A ( v) =
|Av − v|
.
|v|
Dimostrare che f A ammette massimo e minimo.
(vi) Determinare se lo spazio X e lo spazio quoziente X/G sono connessi o
no. (suggerimento: si ricordi il punto sulle matrici simmetriche)
(41) [4u] Sia G l’insieme di tutte le affinità di A2 (Q) in sé che fissano
tutti i punti della retta di equazione x + y = 1.
(i) Determinare se G è un gruppo o no.
(ii) Determinare se G è finito o no.
(iii) Sia f : G → A2 (Q) la funzione definita ponendo
f ( g) = g · O,
dove O = (0, 0) ∈ A2 (Q) è l’origine. Determinare se f è iniettiva e/o
suriettiva.
(iv) Determinare quali elementi di G sono traslazioni e/o omotetie.
(42) [4u] Sia P2 (C) il piano proiettivo complesso, con la topologia
quoziente.
(i) Si dimostri che due rette distinte in P2 (C) si incontrano in uno e un
solo punto.
(ii) Si mostri che lo spazio costituito da tutte le rette di P2 (C) è a sua
volta un piano proiettivo, che indichiamo con P2 (C)∗ .
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288
#B.
(iii) Sia
TEMI D’ESAME
{
}
∆ = (r, r ) : r ∈ P2 (C)∗ ⊂ P2 (C)∗ × P2 (C)∗ .
Si consideri la funzione
f : P2 (C)∗ × P2 (C)∗ ∖ ∆ → P2 (C)
definita da { f (r, r ′ )} = r ∩ r ′ , se r e r ′ sono due rette distinte. Mostrare
che è ben definita e continua.
(#4) - 28 SETTEMBRE 2010, 14:30-16:30, AULA U9-07
(43) [4u] Sia f la mappa definita da
f (z ) =
z2 + z2
,
z+z
dove z ∈ C, C ha la topologia metrica e z indica il complesso coniugato di
z ∈ C.
(i) Determinare il dominio di f e dimostrare che f è ivi continua. (Si
ponga z = a + ib con a, b ∈ R, …)
(ii) Determinare l’immagine di f ,
{ f (z ) : z ∈ C} = {w ∈ C : ∃z ∈ C : f (z ) = w}.
(iii) Determinare per quali w ∈ C la controimmagine f −1 ( w) è un sottospazio
compatto e non vuoto di C.
(iv) Determinare per quali valori di w ∈ C la controimmagine f −1 ( w) è un
sottospazio connesso e non vuoto di C.
(44) [6u] Sia G ⊂ GL(2, R) l’insieme di tutte le matrici 2 × 2 con determinante 1, cioè
]
}
{[
a c
| a, b, c, d ∈ R, ad − bc = 1 ,
G=
b d
con la topologia metrica dello spazio di matrici ( ∼
= R4 ).
(i) Lo spazio G è un gruppo topologico compatto?
(ii) La funzione traccia Tr : G → R definita da
]
[
a c
= a+d
Tr
b d
è continua? È un omomorfismo di gruppi?
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
§ 5.
289
AA 2009-10
(iii) Si consideri la funzione φ : G × P1 (R) → P1 (R) definita da
)
([
]
a b
, [ x : u] 7→ [ax + bu : cx + du] ∈ P1 (R)
φ:
c d
Dimostrare che è ben definita e che è una azione continua di G su
X = P1 ( R ) .
(iv) Dimostrare che gli elementi A di G che fissano uno e un solo punto
di X sono quelli la cui traccia Tr ( A) = ±2. Dedurre che il sottospazio
Y ⊂ G formato da tutti questi elementi è chiuso in G.
(v) Se P ∈ X è un punto generico, dire se lo stabilizzatore G P ⊂ G è un
sottogruppo chiuso.
(vi) Determinare se Y è compatto.
(45) [4u] Sia G l’insieme di tutte le affinità di A2 (Q) in sé che fissano
tutti i punti della retta di equazione x + y = 2.
(i) Determinare se G è un gruppo o no.
(ii) Determinare se G è finito o no.
(iii) Sia f : G → A2 (Q) la funzione definita ponendo
f ( g) = g · O,
dove O = (0, 0) ∈ A2 (Q) è l’origine. Determinare se f è iniettiva e/o
suriettiva.
(iv) Determinare quali elementi di G sono traslazioni e/o omotetie.
(46) [4u] Sia E2 il piano euclideo.
(i) Dimostrare che ogni isometria di E2 è composizione di un numero finito
di riflessioni (lungo rette).
π
(ii) Sia R : E2 → E2 la rotazione con centro C = (1, 1) di angolo θ = : si
5
scriva come composizione di due riflessioni.
(iii) Determinare se la decomposizione di una isometria g nel numero minimo
di riflessioni è unica o meno, al variare di g nel gruppo di tutte le
isometrie del piano.
(iv) Sia f : E2 → E2 la funzione definita da
][ ] [ ]
[
[ ]
1
0 −1 x
x
+
7→
0
1 0 y
y
Dimostrare che è una isometria; determinarne il centro, se è una
rotazione; scriverla come composizione di riflessioni.
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290
#B.
TEMI D’ESAME
(#5) - 1 FEB 2011, 14:30-16:30, AULA U9-07
(47) [4u] Sia f la mappa f : P1 (R) → P1 (R) definita da
f ([ x : u]) = [ x + u : x − u]
dove [ x : u] ∈ P1 (R), e P1 (R) ha la topologia quoziente.
(i) Dimostrare che f è una mappa ben definita e continua.
(ii) Determinare se f è biunivoca.
(iii) Determinare per quali [ x : u] ∈ P1 (R) si ha f ([ x : u]) = [ x : u].
(iv) Dimostrare che P1 (R) è uno spazio di Hausdorff e che ogni sottoinsieme
chiuso di P1 (R) è compatto.
(48) [6u] Sia G ⊂ GL(2, R) l’insieme di tutte le matrici 2 × 2 definito da
{[
]
}
a c
G=
| a, b, c, d ∈ R, ac + bd = 0, a2 + b2 = c2 + d 2 ̸= 0 ,
b d
con la topologia metrica dello spazio di matrici ( ∼
= R4 ). Per ogni g ∈ C ∼
= R2 ,
si consideri la matrice L g associata alla funzione R-lineare R2 ∼
=C→C∼
= R2
definita da
z ∈ C 7→ gz ∈ C
nella base canonica ⌜{1, i}⌟ di C su R.
(i) Mostrare che per ogni g ∈ C∗ = C ∖ {0}, si ha L g ∈ G.
(ii) La funzione C∗ ∋ g 7→ L g ∈ G è iniettiva? È suriettiva? È continua?
(iii) Dato g ∈ C∗ , si consideri l’insieme
X g = {(L g )n : n ∈ Z} .
Mostrare che X g ⊂ G, e che è un gruppo rispetto al prodotto di matrici.
(iv) Determinare per quali g ∈ C∗ si ha che X g è limitato.
(v) Determinare per quali g ∈ C∗ si ha che X g è compatto.
(49) [4u] Sia G l’insieme di tutte le affinità di A2 (C) in sé che fissano
tutti i punti della retta di equazione x + 2y = 3.
(i) Determinare se G è un gruppo o no.
(ii) Determinare se G è finito o no.
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
§ 6.
291
AA 2010-11
(iii) Sia f : G → A2 (C) la funzione definita ponendo
f ( g) = g · O,
dove O = (0, 0) ∈ A2 (C) è l’origine. Determinare se f è iniettiva e/o
suriettiva.
(iv) Determinare quali elementi di G sono traslazioni e/o omotetie.
(50) [4u] Sia T ⊂ E3 il tetraedro di vertici A = (0, 0, 0), B = (1, 1, 0),
C = (1, 0, 1), D = (0, 1, 1).
(i) Mostrare che T è un tetraedro regolare.
(ii) Determinare raggio e centro delle sfere inscritta e circoscritta di
T.
(iii) Determinare le coordinate delle proiezioni dei vertici di T , proiettate sul piano z = 0 con proiezione parallela alla direzione (1, 2, 3).
(iv) Calcolare il volume di T .
§ 6.
AA 2010-11
SCRITTO #1 - 2011-06-14 (15:00-17:00, U9-07)
(51) [4u] Si consideri la funzione F : R2 ∖ {0} → R2 , definita ponendo
(
)
2xy x 2 − y2
F ( x, y) = 2
,
.
x + y2 x 2 + y2
Dimostrare i seguenti fatti.
(i) La funzione F induce una funzione continua f : P1 (R) → R2 .
(ii) L’immagine di f in R2 è la circonferenza unitaria S 1 = {( x, y) ∈ R2 : x 2 + y2 =
1}.
(iii) La funzione f : P1 (R) → R2 è iniettiva.
(iv) Dedurre che lo spazio proiettivo P1 (R) è omeomorfo alla circonferenza
S1.
(52) [6u] Sia F la matrice 2 × 2 definita da
]
[
1 1
F=
1 0
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292
#B.
TEMI D’ESAME
e φ : Z × R2 → R2 la funzione definita da
φ (k, x) = F k x
per ogni x ∈ R2 , dove F k indica il prodotto di k copie di F (se k > 0), oppure
il prodotto di −k copie dell’inversa F −1 (se k < 0), oppure l’identità quando
k = 0. Dimostrare i seguenti fatti.
(i) La funzione φ è ben definita ed è una azione di Z su R2 .
(ii) I due punti (1, 0) e (0, 1) appartengono alla medesima orbita in R2 .
(iii) L’azione φ induce una azione ϕ di G = Z su P1 (R), definita ponendo
′
′
ϕ(k, [ x : u]) = [ x : u ],
[ ′]
[ ]
x
k x
=F
.
con
u′
u
(iv) Esistono esattamente due punti p0 e p1 in P1 (R) fissati dall’azione
di G = Z su P1 (R) (cioè fissati da ogni g ∈ G). Come si scrive l’azione
di G su R2 (e quindi su P1 (R)) in una base di R2 che contiene i due
vettori p̃0 e p̃1 , se [ p̃i ] = pi per i = 0, 1?
(v) Se il punto p ∈ P1 (R) non è fissato, p ̸∈ {p0 , p1 }, allora il suo stabilizzatore G p è banale e la sua orbita Gp in P1 (R) ha p0 e p1 per punti di
accumulazione. (usare il punto precedente)
(vi) Lo spazio quoziente P1 (R)/G non è di Hausdorff.
(53) [5u] Siano a, b, c > 0 tre parametri positivi fissati. Sia T il tetraedro
in E3 di vertici O = (0, 0, 0), A = (a, 0, 0), B = (0, b, 0), C = (0, 0, c), e S la sua sfera
inscritta, di raggio r e centro X. Dimostrare i seguenti fatti.
(i) Per ogni spigolo s di T , il piano bisettore dell’angolo diedro tra le
due facce che insistono su s, passa per X.
(ii) Il centro X appartiene alla retta per O di giacitura (1, 1, 1), e la
distanza del punto di coordinate (t, t, t ) dal piano che contiene A, B e
C è uguale a
|t (ab + ac + bc) − abc|
√
a2 b2 + a2 c2 + b2 c2 .
(iii) L’area d del triangolo ABC è uguale a
d=
1√ 2 2
a b + a2 c2 + b2 c2 .
2
(Si consideri che il volume di un tetraedro di lati a, b e c è per
definizione uguale a 1/6V , dove V è il volume del parallelogramma di
lati a, b, e c, con a, b, c ∈ R3 , e che il volume di un tetraedro è uguale
a 1/3Ah, dove A è l’area di una sua faccia e h l’altezza corrispondente)
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
§ 6.
293
AA 2010-11
(iv) Il centro della sfera S ha coordinate baricentriche (rispetto ai
vertici O, A, B e C del tetraedro) proporzionali a 2d : bc : ac : ab, dove
d indica l’area del triangolo ABC. In altre parole,
1
2dO + bcA + acB + abC
abc
X=
=
1 .
2d + bc + ac + ab
2d + bc + ac + ab
1
(v) Determinare per quali valori di a, b, c il centro X coincide con il
baricentro di T .
SCRITTO #2 - 2011-06-28 (14:30-16:30, U9-07)
(54) [4u] Su X = R2 con la topologia standard, sia ∼ la relazione definita
da
( x, y) ∼ ( x ′ , y′ ) ⇐⇒ ∃(a, b) ∈ Z × Z : ( x ′ , y′ ) = (a + (−1)b x, b + y).
(i) Dimostrare che ∼ è una relazione di equivalenza.
(ii) Dire se il quoziente X/∼ è compatto; dire se è connesso.
(iii) Dire se la proiezione π : X → X/∼ è aperta; dire se è chiusa.
(iv) Dire se il quoziente X/∼ è di Hausdorff.
(55) [5u] Sia ρ : P1 (C) → P1 (C) l’applicazione
ρ([Z0 : Z1 ]) = [Z1 : Z0 ].
(i) Dimostrare che ρ è ben definita.
(ii) Dire se ρ è continua, aperta, chiusa.
(iii) Dire se ρ è una mappa proiettiva.
(iv) Dimostrare che l’applicazione
f : P2 (R) → P1 (C),
f ([ X : Y : Z ]) = [ X : Y + iZ ]
è ben definita, suriettiva e continua.
(v) Determinare quali sono le rette proiettive l ⊂ P2 (R) per cui esiste una
retta proiettiva l ′ ⊂ P2 (R) tale che
ρ( f (l )) = f (l ′ ).
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294
#B.
TEMI D’ESAME
(56) [6u] Si consideri la funzione d : P1 (R) × P1 (R) → R, definita ponendo
( x û − u x̂ )2
.
d ([ x : u], [ x̂ : û]) = 2
( x + u2 ) ( x̂ 2 + û2 )
Sia π : R2 ∖ {0} → P1 (R) la proiezione sul quoziente.
(i) Dimostrare che d è ben definita e continua.
(ii) Mostrare che d ( p, q) = 0 se e soltanto se p = q, per ogni p, q ∈ P1 (R).
(iii) Fissati a, b ∈ P1 (R), a ̸= b, si consideri la funzione
f : P1 ( R ) → R
definita da
f (z ) = d (a, z ) + d (z, b).
Dimostrare che f ha massimo M e minimo m strettamente positivi M ≥ m > 0.
Si dimostri poi che nel caso in cui a = [1 : 0] e b = [1 : 1] il minimo m è
1
strettamente minore di , calcolando il valore f ([2 : 1]).
2
(iv) Determinare se d è una metrica su P1 (R). Qual è il valore di d ([1 : 0], [1 :
1])?
(v) Se A, B ∈ S 1 ⊂ E2 ∼
= R2 sono due punti tali che π ( A) = a e π ( B) = b, con
a, b ∈ P1 (R) qualsiasi, si determini (se esiste) una formula che lega il
valore di d (a, b) e l’area del triangolo OAB.
(vi) Fissati a, b ∈ P1 (R), a ̸= b, si determini il luogo di tutti i punti P ∈ E2 ,
P ̸= 0, tali che d (a, π (P )) = d (b, π (P )).
SCRITTO #3 - 2011-07-12 (14:30-16:30, U1-08)
(57) [6u] Al variare di λ ∈ R, sia
Xλ = {( x, y) ∈ R2 | max{|x|, |y|} = λ};
si considerino i seguenti sottospazi di R2 con la topologia indotta dalla
topologia euclidea:
∪
X=
Xλ = {( x, y) ∈ R2 : 1 ≤ max{|x|, |y|} ≤ 2} ,
λ∈[1,2]
D = {( x, y) ∈ R2 | x 2 + y2 ≤ 1} ,
S 1 = {( x, y) ∈ R2 | x 2 + y2 = 1} .
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
§ 6.
295
AA 2010-11
(i) Dimostrare che X è compatto.
(ii) Costruire una mappa continua e suriettiva f : X → D, tale che f sia
iniettiva sul complementare di X1 , f ( X1 ) = {0} e f ( X2 ) = S 1 .
(iii) Dimostrare che f è una mappa quoziente.
(iv) Determinare se X/( X1 ∪ X2 ) è omeomorfo a S 2 oppure no (non si richiede una
dimostrazione completa, ma solo una argomentazione intuitiva, anche
grafica).
(58) [5u] Si consideri R2 con la topologia euclidea, e sia
ρ : Z × R2 → R2 ,
ρ(k, ( x, y)) = ( x + k, ek y).
(i) Dimostrare che ρ definisce un’azione.
(ii) Determinare quali orbite sono sottospazi chiusi di R2 .
(iii) Sia φ : R2 → R la mappa definita da φ( x, y) = ye−x . Dimostrare che φ induce
una mappa continua e suriettiva definita sullo spazio quoziente X = R2 /Z
a valori in R, φ : X → R. Determinare poi se lo spazio quoziente X è
connesso e/o compatto.
(iv) Sia Y lo spazio quoziente di R2 rispetto alla relazione di equivalenza
( x, y) ∼ ( x ′ , y′ ) ⇐⇒ x − x ′ ∈ Z.
Mostrare che la mappa F : R2 → R2 definita da
F ( x, y) = ( x, φ( x, y))
è un omeomorfismo, che induce un omeomorfismo f : X → Y tra gli spazi
quozienti X e Y . (Suggerimento: scrivere esplicitamente una inversa
per F, e quindi per f )
(v) Determinare se X e Y sono di Hausdorff.
(59) [4u] Si considerino quattro punti A, B, C, D in E3 . Siano a = A − O,
b = B − O, c = C − O, d = D − O i vettori delle loro coordinate in R3 . Per ogni
vettore x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 ∈ R3 (dove ei sono i vettori della base standard di
R3 ), si indichi con x̂ il vettore e0 + x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 dello spazio vettoriale
R ⊕ R3 con base e0 , e1 , e2 , e3 .
(i) Dimostrare che la misura del volume V del tetraedro ABCD è uguale a
1 1 1 1
a b c d
1
1
V = |det ( â, b̂, ĉ, d̂ )| = |det 1 1 1 1 |
6
6
a2 b2 c2 d2
a3 b3 c3 d3
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
296
#B.
(Si ricordi che la misura del volume del tetraedro è
1
uguale a det ( B − A, C − A, D − A))
6
(ii) Dimostrare che per ogni k ∈ R si ha
0 1
1 |a|2 |b|2 |c|2 |d|2
1 1 1 1
2
0
1
1
1
1
1 |a|
a b c d
k 3 det 1 1 1 1 = det 0 ka1 kb1 kc1 kd1 = − det 0 ka1
a2 b2 c2 d2
0 ka2
0 ka2 kb2 kc2 kd2
a3 b3 c3 d3
0 ka3
0 ka3 kb3 kc3 kd3
TEMI D’ESAME
per definizione
1
|b|2
kb1
kb2
kb3
1
|c|2
kc1
kc2
kc3
1
|d|2
kd1
kd2
kd3
e dedurre che
1
1
1
1
1 |a|2 |b|2 |c|2 |d|2
0
2
1
1
1
|b|2
|c|2
|d|2
0 1
1 |a|
288V 2 = det 0 a1 b1 c1 d1 · det 0 −2a1 −2b1 −2c1 −2d1
0 a2 b2 c2 d2
0 −2a2 −2b2 −2c2 −2d2
0 a3 b3 c3 d3
0 −2a3 −2b3 −2c3 −2d3
(iii) Dedurre che*
1
1
1
1
0
1
0
|a − b|2 |a − c|2 |a − d|2
2
2
2
2
0
|b − c| |b − d| .
288V = det 1 |b − a|
2
2
0
|c − d|2
1 |c − a| |c − b|
1 |d − a|2 |d − b|2 |d − c|2
0
(Si ricordi che se H e K sono due matrici, det ((H t )K ) = det (H ) det (K ))
(iv) Sia T s un tetraedro (non degenere) in E3 con cinque spigoli lunghi 1
e uno spigolo lungo s ∈ R. Calcolare il volume di T s ; dimostrare che il
tetraedro T s non esiste se s2 ≥ 3. Esiste certamente se 0 < s2 < 3?
SCRITTO #4 - 2011-09-28 (14:30-16:30, U1-09)
(60) [4u] Sia f : R → C la funzione definita da
f (t ) =
1
(1 + eit ),
1 + t2
e j : R → P1 (R) l’inclusione definita da j (t ) = [1 : t ].
(i) Dimostrare che esiste una unica funzione continua F : P1 (R) → C tale che
F ◦ j = f.
* Formula
di Tartaglia, con il determinante di Cayley-Menger
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
§ 6.
297
AA 2010-11
(ii) Dimostrare che f (R) = F (P1 (R)) ⊂ C.
(iii) Dimostrare che f (R) ⊂ C è compatto.
(iv) Dimostrare che f (R) ⊂ C è connesso.
(61) [5u] Sia X ⊂ E3 il cubo X = [−1, 1] × [−1, 1] × [−1, 1], e G il gruppo di tutte
le rotazioni di SO(3) che mandano X in sé.
(i) Dimostrare che gli elementi di G sono tutti rotazioni di angolo 2kπ/n,
con k ∈ Z e n = 1, 2, 3, 4 attorno ad assi di rotazione passanti per l’origine
(0, 0, 0).
(ii) Determinare il numero di elementi delle orbite di (1, 1, 1), (1, 1, 0) e
(1, 0, 0).
(iii) Determinare il numero di elementi dello stabilizzatore dei punti
(1, 1, 1) (1, 1, 0 e (1, 0, 0).
(iv) Quanti elementi ha G?
(v) Dimostrare che lo spazio quoziente X/G è connesso e compatto.
(62) [4u] Si considerino nel piano proiettivo P2 (C) tre rette distinte
h, r1 e r2 che non passino tutte per uno stesso punto e due punti Q1 , Q2 tali
che Qi ̸∈ h ∪ r1 ∪ r2 per i = 1, 2.
(i) Per i = 1, 2, si dimostri che per ogni x ∈ ri esiste un unico punto fi ( x ) ∈ h
tale che i tre punti x, Qi e fi ( x ) sono allineati.
(ii) Mostrare che fi : ri → h è una corrispondenza biunivoca, per i = 1, 2.
(iii) Al variare di x ∈ r1 , sia g( x ) ∈ r2 il punto definito da
g( x ) = f2−1 ( f1 ( x )) ∈ r2 .
Mostrare che se r1 ∩ r2 non è allineato con Q1 e Q2 , allora per ogni x
si ha g( x ) ̸= x.
(iv) Se h è la retta all’infinito, r1 = {( x, 0) : x ∈ C} e r2 = {(0, y) : y ∈ C} gli assi
cartesiani nella carta affine A20 (C), determinare l’espressione di g( x )
nelle coordinate x e y, con le coordinate di Qi come parametri. È una
proiettività?
(63) [8u] Sia xn la successione in R definita per n ≥ 1 da
xn =
n
∑
1
k=1
k
,
e sia p : R → X = R/Z la proiezione sul quoziente, dove X è il quoziente
rispetto alla relazione di equivalenza x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ Z.
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
298
#B.
TEMI D’ESAME
(i) Dimostrare che l’insieme
Y = {p( xn ) : n ≥ 1} ⊂ X
ha infiniti elementi.
(ii) Dimostrare che la successione {p( xn )} ha almeno un punto di accumulazione
in X.
(iii) Dimostrare che la chiusura di Y in X è uguale a X. (Attenzione: molto
difficile)
SCRITTO #5 - 2012-02-02 (14:30-16:30, U9-07)
(64) [4u] Si consideri la funzione σ : P1 (R) × P1 (R) → P3 (R) definita ponendo
σ ([ x0 : x1 ], [y0 : y1 ]) = [ x0 y0 : x0 y1 : x1 y0 : x1 y1 ] ∈ P3 (R)
per ogni ([ x0 : x1 ], [y0 : y1 ]) ∈ P1 (R) × P1 (R).
(i) Dimostrare che σ è ben definita e continua.
(ii) Sia X ⊂ P3 (R) l’immagine di σ, cioè X = σ (P1 (R) × P1 (R)). Dimostrare che
X è compatto e connesso.
(iii) Dimostrare che X è chiuso in P3 (R) e che la funzione σ è iniettiva.
(iv) Dimostrare che per ogni A = [ x0 : x1 ] ∈ P1 (R) fissato, la funzione P1 (R) →
P3 (R) definita da
[y0 : y1 ] 7→ σ (( A, [y0 : y1 ])) ∈ P3 (R)
è la parametrizzazione di una retta proiettiva in P3 (R). Dedurre che
per ogni punto P ∈ X esistono due rette l, r di P3 (R) passanti per P e
interamente contenute in X.
Per il prossimo esercizio, si ricordi che se A è una matrice 2 × 2 a
coefficienti complessi, allora la trasposta coniugata (aggiunta Hermitiana)
di A si indica con A∗ ed è la matrice con coefficienti a ji , se ai j sono i
coefficienti di A.
(65) [5u] Sia SU (2) il gruppo delle matrici unitarie con determinante 1
{
}
SU (2) = A ∈ GL(2, C) : AA∗ = A∗ A = I, det ( A) = 1 .
]
]
[
]
[
[
0 1
i 0
1 0
,
, j =
, i =
Consideriamo in SU (2) le quattro matrici: u =
−1 0
0 −i
0 1
]
[
0 i
.
k=
i 0
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
§ 6.
299
AA 2010-11
(i) Dimostrare che SU (2) è compatto.
(ii) Dimostrare che SU (2) è omeomorfo alla sfera S 3 = {x ∈ R4 : ∥x∥2 = 1}.
(iii) Dimostrare che G = {±u, ±i, ± j, ±k} ⊂ SU (2) è un sottogruppo compatto di
SU (2).
(iv) Si consideri l’azione di G su SU (2) data da
g · x = gx
per ogni g ∈ G e ogni x ∈ SU (2), dove il prodotto è il prodotto di matrici.
Determinare la cardinalità dell’orbita di x in SU (2), al variare di x
in SU (2).
(v) Determinare al variare di x in SU (2) il gruppo di isotropia di x in
G, con l’azione definita sopra. Il quoziente SU (2)/G è compatto nella
topologia quoziente?
(66) [6u] Sia [0, 1] ⊂ R l’intervallo unitario, N = {0, 1, 2 . . . , n, . . .} e X = [0, 1]N
l’insieme di tutte le funzioni x : N → [0, 1]. Per ogni famiglia finita di
aperti di [0, 1]
U0 , U1 , U2 , . . . , U N ⊂ [0, 1]
(con Ui ⊂ [0, 1] aperto per i = 0, 1, . . . , N) si consideri in X l’insieme
{
}
Φ(U0 , U1 , . . . , U N ) := x ∈ X : ∀i ∈ {0, 1, . . . , N}, x (i ) ∈ Ui ⊂ X.
Sia A la famiglia di tutti i possibili insiemi Φ(U0 , U1 , . . . , U N ) al variare
di N ∈ N e degli Ui .
(i) Dimostrare che ∅ ∈ A e X ∈ A.
(ii) Dimostrare che A1 , A2 ∈ A =⇒ A1 ∩ A2 ∈ A.
(iii) Siano A1 = {x ∈ X : x (0) < 1/2, x (1) > 1/2} e A2 = {x ∈ X : x (0) > 1/2, x (1) < 1/2}.
Dimostrare che A1 , A2 ∈ A, e che A1 ∪ A2 ̸∈ A. Determinare se A è una
topologia per X.
(iv) Per ogni N ∈ N, sia AN l’insieme definito da
{
}
AN = x ∈ X : x ( N ) ∈ [0, 1/2) .
Dimostrare che AN ∈ A. Descrivere l’insieme
∪
A=
AN .
N∈N
(v) Dimostrare che A è una base per una topologia su X.
|x (n) − y(n)|
∑
(vi) Si consideri la funzione d : X × X → R definita da d ( x, y) = n∈N
.
2n
Dimostrare che d è ben definita, che è una metrica su X, e che gli
intorni sferici in X
{
}
Br (z ) = x ∈ X : d ( x, z ) < r
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300
#B.
TEMI D’ESAME
sono aperti di X rispetto alla topologia generata da A.
(67) [4u] Sia E2 il piano euclideo.
(i) Dimostrare che ogni isometria di E2 è composizione di un numero finito
di riflessioni (lungo rette).
π
(ii) Sia R : E2 → E2 la rotazione con centro C = (−1, 1) di angolo θ = : si
3
scriva la sua equazione e la si decomponga come composizione di due
riflessioni.
(iii) Al variare di g nel gruppo di tutte le isometrie del piano, determinare
se la decomposizione di g nel numero minimo di riflessioni è unica o
meno
(iv) Sia f : E2 → E2 la funzione definita
[ ]
[
x
0
7→
y
−1
da
][ ] [ ]
1 x
2
+
0 y
0
Dimostrare che è una isometria; determinarne il centro, se è una
rotazione; scriverla come composizione di riflessioni.
§ 7.
AA 2011-12
SCRITTO #1 - 2012-06-19 (14:30-16:30, U9-05)
(68) [6u] Sia K un campo finito, e sia X = An (K ), n > 0. Dati due punti
x = ( x1 , . . . , xn ),
y = (y1 , . . . , yn )
di X, si denoti con
d ( x, y) = ♯{i | xi ̸= yi }
il numero di indici i, 1 ≤ i ≤ n tali che xi ̸= yi .
(i) Dimostrare che d è una distanza.
(ii) Determinare se ( X, d ) è uno spazio metrico completo, e se è compatto.
(iii) Sia G il gruppo delle permutazioni di n elementi, con la topologia
discreta. Dimostrare che l’applicazione
G × X → X,
(σ, x ) → ( xσ−1 (1) , . . . , xσ−1 (n) )
è un’azione, e che G agisce come un gruppo di isometrie.
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§ 7.
301
AA 2011-12
(iv) Determinare se la topologia del quoziente X/G è metrizzabile.
(v) Mostrare che le traslazioni sono isometrie, e per n = 1, 2, determinare
se esistono affinità di X = An (K ) in sé che non siano isometrie.
(vi) Mostrare che se f : X → X è una affinità tale che f (O) = O che sia anche
una isometria, allora esiste una permutazione σ ∈ G tale che per ogni
i ∈ {1, . . . , n} si ha f ( ei ) = ai eσ (i ) per certi ai ∈ K ∗ , dove gli ei sono i vettori
della base canonica di K n .
(69) [4u] Sia I 3 il cubo I 3 ⊂ E3 definito da I 3 = [0, 1] × [0, 1] × [0, 1].
(i) Si mostri che il volume del tetraedro T 0 ⊂ I 3 con vertici
(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)
e quello del tetraedro T 1 ⊂ I 3 con vertici
(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)
coincidono.
(ii) Si mostri che il gruppo simmetrico Σ3 (di ordine 6) delle permutazioni
di tre elementi agisce su I 3 permutando le coordinate, e che
∪
gT 1 .
I3 =
g∈Σ3
Si deduca che il volume di T 0 e T 1 è uguale a
1
6.
(iii) Sia ρ l’isometria ( x, y, z ) 7→ (−y, −z, −x ) di E3 . È una rotazione? Si mostri
che genera un gruppo ciclico G di ordine 6.
(iv) Si determini per quale valore φ ∈ R, φ > 0, le G-orbite dei due
punti (1, φ, 0), (1, −φ, 0) di E3 sono vertici di un icosaedro regolare.
(suggerimento: per quale valore di φ i tre punti (1, φ, 0), (1, −φ, 0) e
(φ, 0, 1) sono equidistanti? Si guardi la figura, in cui l’icosaedro è
inscritto nel cubo [−1, 1]3 ).
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302
#B.
TEMI D’ESAME
(70) [4u] Si consideri in P2 (C) (con coordinate [ x : y : u]) il gruppo G di
tutte le proiettività che mandano la retta u = 0 (retta impropria) in sé.
(i) Mostrare che per ogni coppia di punti distinti A, B nella retta u = 0,
esiste almeno una proiettività in G che manda [1 : 0 : 0] e [0 : 1 : 0] in A e
B.
(ii) La proiettività del punto precedente è unica?
(iii) Descrivere il sottogruppo di G formato dalle proiettività che fissano
ogni punto della retta impropria u = 0. Agisce in modo transitivo sulla
carta affine {u ̸= 0} ⊂ P2 (C)?
(iv) Scrivere le equazioni omogenee di tutte le possibili coppie di rette
r1 e r2 i cui punti all’infinito siano rispettivamente [1 : 0 : 0] e [0 : 1 : 0],
e tali che r1 ∩ r2 ∈ {x = y} ⊂ P2 (C).
SCRITTO #2 - 2012-07-03 (14:30-16:30, U1-10)
(71) [6u] Per ogni n ∈ N, n > 0, sia Xn = {z ∈ C : zn = 1} ⊂ S 1 l’insieme delle
radici n-esime dell’unità, e
∞
∪
Xn
X=
n=1
la loro unione, con la topologia metrica di C. Dimostrare i seguenti fatti.
(i) La chiusura di X in C è uguale a S 1 : X = S 1 .
(ii) X non è connesso.
(iii) X non è compatto.
(iv) Esiste una successione {z j } di punti di X che non ammette sottosuccessioni convergenti ad alcun elemento di X.
(v) Non esiste una successione {z j } di punti di X che non ammette sottosuccessioni convergenti ad alcun elemento di S 1 ⊂ C.
(vi) Se f1 , f2 : S 1 → R sono due funzioni continue tali che ∀x ∈ X, f1 ( x ) = f2 ( x ),
allora ∀x ∈ S 1 , f1 ( x ) = f2 ( x ).
(72) [4u] Posto X = R3 \ {0}, G = R∗ , si consideri l’applicazione
ρ : G × X → X,
ρ(λ, ( x0 , x1 , x2 )) = (λx0 , λ2 x1 , λ3 x2 ).
(i) Dimostrare che ρ è un’azione.
(ii) Determinare se il quoziente X/G è compatto, e se è connesso.
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
§ 7.
303
AA 2011-12
(iii) Si considerino le applicazioni ϕ0 , ϕ1 , ϕ2 : R2 → X/G
ϕ0 (z, w) = [(1, z, w)],
ϕ1 (z, w) = [(z, 1, w)],
ϕ2 (z, w) = [(z, w, 1)].
Si dimostri che ϕ0 , ϕ1 , ϕ2 sono continue e aperte. Sono omeomorfismi con
l’immagine?
(iv) Determinare se X/G è di Hausdorff.
(73) [5u] Siano A, B e C tre punti non allineati di un piano affine A2 (K)
su campo finito K, e P AB , P BC e PC A tre punti allineati rispettivamente
con AB, BC e C A. Si supponga anche che P AB ̸∈ {A, B}, P BC ̸∈ {B, C}, PC A ̸∈ {C, A}.
(i) Dimostrare che esiste un riferimento affine in A2 (K) per cui A = (0, 0),
B = (1, 0) e C = (0, 1), e che esistono ρ A, ρB , ρC ∈ K∗ , tali che
(P AB − A) = ρC ( B − P AB )
(P BC − B) = ρ A (C − P BC )
(PC A − C ) = ρB ( A − PC A ) .
(ii) Dimostrare che A ̸= P BC , B ̸= PC A, C ̸= P AB , e quindi esistono uniche tre
rette a per A e P BC , b per B e PC A, c per C e P AB .
(iii) Mostrare che
A1 C1 P1
A1 B1 P1
2
A
C
P
A
B
P
=
0
.
+
ρ
det
a=
P
∈
A
(
K
)
:
det
2
2
2
2
2
2
A
1 1 1
1 1 1
Scrivere le analoghe equazioni per b e c.
(iv) Mostrare che se a ∩ b ∩ c ̸= ∅, allora ρ AρB ρC = 1.
(v) Viceversa, mostrare che se ρ AρB ρC = 1, allora a ∩ b ∩ c ̸= ∅.
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304
#B.
TEMI D’ESAME
SCRITTO #3 - 2012-07-17 (14:30-16:30, U9-04)
(74) [8u] Si dice che uno spazio topologico X è irriducibile se per
ogni coppia di chiusi F, G con X = F ∪ G vale X = F o X = G. Si dice che un
sottospazio A ⊂ X è irriducibile se lo è nella topologia indotta.
(i) Dimostrare che se X è irriducibile e A ⊂ X è aperto, allora A è
irriducibile.
(ii) Dato uno spazio topologico X, si consideri la famiglia
FX = {F ⊂ X chiuso |̸ ∃F1 , . . . , Fk chiusi irriducibili di X, F = F1 ∪ · · · ∪ Fk }
dei sottoinsiemi chiusi di X che non si possono scrivere come unione
finita di chiusi irriducibili. Dimostrare che FX non contiene alcun
elemento minimale Y , cioè tale che A ∈ FX ∧ A ⊂ Y =⇒ A = Y .
(iii) Sia X uno spazio topologico con la proprietà che per ogni catena
discendente di chiusi F1 ⊃ F2 ⊃ . . . Fn ⊃ . . . esiste N tale che Fn = F N per
n ≥ N. Dimostrare che FX è vuoto.
(iv) Sia X uno spazio topologico con la proprietà che ogni suo sottospazio
è compatto. Dimostrare che X è unione di un numero finito di chiusi
irriducibili.
(75) [4u] Sia G ⊂ SO(2) un sottogruppo finito. Sia p : R → SO(2) la funzione
definita da
]
[
cos t − sin t
p(t ) =
sin t cos t
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
§ 7.
305
AA 2011-12
(i) Mostrare che G̃ = p−1 (G ) ⊂ R è un sottogruppo additivo discreto di R.
(ii) Si mostri che p induce un omeomorfismo tra i due spazi quozienti
R/G̃ ≈ SO(2)/G.
(iii) Si dimostri che G non può agire in modo transitivo su SO(2).
∼ Zl = {z ∈ C∗ : zl = 1} ⊂ C∗ .
(iv) Mostrare che per ogni G di ordine l > 1 si ha G =
(76) [6u] Sia X = P2 (C) il piano proiettivo complesso, con coordinate
omogenee [ x : y : u], e retta impropria u = 0. Dimostrare i seguenti fatti.
(i) Ogni retta di X diversa dalla retta impropria ha uno e un solo punto
all’infinito.
(ii) Il punto [1 : 1 : 1] non è allineato a nessuna coppia di punti scelti tra
[1 : 0 : 0 ], [0 : 1 : 0 ] e [0 : 0 : 1].
(iii) Una proiettività f : X → X manda terne di punti allineati in terne di
punti allineati, e terne di punti non allineati in terne di punti non
allineati.
(iv) Per ogni scelta di tre punti A, B, C ∈ X non allineati, esiste almeno
una proiettività f : X → X tale che f ([1 : 0 : 0]) = A, f ([0 : 1 : 0]) = B,
f ([0 : 0 : 1]) = C.
(v) Fissati A, B, C non allineati, sia F l’insieme formato da di tutte e
sole le proiettività f : X → X che mandano [1 : 0 : 0], [0 : 1 : 0], [0 : 0 : 1] in
A, B, C rispettivamente. L’insieme
{
}
T = f ([1 : 1 : 1]) : f ∈ F ⊂ X
è uguale all’insieme dei punti P ∈ X che non sono allineati a due dei
tre punti A, B, C, comunque presi.
(vi) Nella topologia indotta dalla topologia quoziente di X, T è omeomorfo
a (C ∖ {0}) × (C ∖ {0}), ed è connesso.
SCRITTO #4 - 2012-09-18 (14:30-16:30, U1-10)
(77) [6u] Si consideri la topologia euclidea standard su Q. Per ogni
x ∈ Q si indichi con Z x l’insieme definito da
Z x = {kx : k ∈ Z ∖ {0}} ⊂ Q .
(i) Determinare per quali x ∈ Q risulta che Z x è chiuso in Q.
(ii) Per quali x ∈ Q risulta che Z x è compatto? Per quali risulta connesso?
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
306
#B.
TEMI D’ESAME
(iii) Dimostrare che per ogni x ∈ Q l’insieme Z x ∩ N è chiuso in Q, e che
il suo estremo inferiore è un elemento di Z x . Chiamiamo tale estremo
inferiore b( x ).
(iv) Si consideri la funzione f : Q → Q definita da
1
, se x =
̸ 0;
1
b
(
)
f (x) =
x
0,
se x = 0 .
Mostrare che la funzione f è ben definita.
(v) Mostrare che f è continua in 0.
(vi) Esiste x0 ∈ Q, x0 ̸= 0, tale che la funzione f è continua in x0 ?
(78) [6u] Sia X = P2 (C) e si consideri la mappa
ρ : R × X → X,
ρ(t, [ x : y : u]) = [eit x : y : u].
(i) Dimostrare che ρ definisce un’azione di R su X.
(ii) Deteminare lo stabilizzatore di ogni punto di X.
(iii) Determinare se lo spazio quoziente X/R è compatto e se è connesso.
(iv) Determinare se lo spazio quoziente X/R è di Hausdorff.
(79) [6u] Sia γ ⊂ E2 una circonferenza nel piano euclideo E2 , con centro
A e raggio r. Per ogni P ∈ E2 si definisca la quantità
w(P; γ ) = ∥P − A∥2 − r 2 .
(i) Mostrare che se P è un punto esterno alla circonferenza γ, allora
w(P; γ ) è il quadrato della distanza tra P ed i due punti in cui le due
tangenti a γ passanti per P toccano γ.
(ii) Date due circonferenze distinte γ e Γ in E2 , dimostrare che il luogo
dei punti
R(γ, Γ) = {P ∈ E2 : w(P; γ ) = w(P; Γ)}
è una retta se γ e Γ hanno centri distinti, ed è vuoto se esse sono
concentriche.
(iii) Mostrare che se A e B sono i centri di γ e Γ, e se A ̸= B, allora R(γ, Γ)
è ortogonale alla retta passante per A e B.
(iv) Mostrare che
γ ∩ Γ ⊂ R(γ, Γ).
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
§ 7.
307
AA 2011-12
(v) Mostrare che se A, B e C sono tre punti non allineati in E2 , e γ A, γB
e γC tre circonferenze con centri rispettivamente in A, B e C, allora
esiste un unico punto Q ∈ E2 tale che
Q ∈ R(γ A, γB ) ∩ R(γB , γC ) ∩ R(γC , γ A ) .
(vi) Dedurre dai punti precedenti che se tre circonferenze sono mutuamente
tangenti e con centri non allineati, allora le tre tangenti comuni si
incontrano in un punto.
SCRITTO #5 - 2013-02-19 (14:30-16:30, U9-09)
(80) [6u] Sia X ⊂ E2 la scala infinita
X = {( x, y) ∈ E2 : ( x ∈ [0, 1] ∧ y ∈ Z) ∨ ( x ∈ {0, 1})},
e g: E2 → E2 l’isometria definita da
g: ( x, y) 7→ (1 − x, y + 3).
(i) Mostrare che g( X ) = X.
(ii) Sia G il gruppo generato da g, cioè G = {gk : k ∈ Z}. Mostrare che G
agisce su X mediante isometrie.
(iii) Mostrare che l’azione di G su X è libera.
(iv) Si consideri lo spazio topologico quoziente X/G: dimostrare che è
compatto e connesso.
(v) Si dia una descrizione (anche grafica) del quoziente X/G. È possibile
disegnarlo su un piano?
(81) [6u] Sia G l’insieme di tutte le trasformazioni affini g: R → R che
si scrivono come g( x ) = ax + b, con a > 0.
(i) Mostrare che G è un gruppo, rispetto alla composizione di funzioni.
(ii) Mostrare che la funzione Φ : (0, +∞) × R → G definita da (a, b) 7→ Φ((a, b)) =
( x 7→ ax + b) ∈ G è una bijezione.
(iii) Per ogni z ∈ R e ogni intervallo aperto U ⊂ R si indichi con W (z, U ) ⊂ G
l’insieme
W (z, U ) = {g ∈ G : g(z ) ∈ U}.
Cos’è Φ−1 (W (z, U ))? Mostrare che la famiglia di tutti i W (z, U ), al variare
di z e U, non è una base per una topologia di G (sotto quali condizioni
W (z, U ) ⊂ W (w, V )? )
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
308
#B.
TEMI D’ESAME
(iv) Mostrare che la famiglia W formata da tutte le intersezioni finite
W (z1 , U1 ) ∩ W (z2 , U2 ) ∩ . . . ∩ W (zn , Un ), al variare di zi ∈ R e Ui ⊂ R aperti, con
i = 1, . . . , n, è una base per una topologia τ di G.
(v) Dimostrare che G, con la topologia τ, è uno spazio topologico di
Hausdorff.
(82) [6u] Sia K un campo, e E un piano affine su campo K. Se OXY
è un riferimento affine di E, per ogni terna ordinata A, B,
di
C di punti
ax bx cx
E si indichi con ( ABC )OXY il determinante della matrice ay by cy i cui
1 1 1
coefficienti ax , ay , bx , by , cx , cy sono le coordinate (rispettivamente) di
A, B, C nel riferimento OXY .
Ricordiamo che per tre punti allineati (con A ̸= B) si indica anche con
AC
−−→ −−→
−−→
−−→
il rapporto AC : AB, cioè l’unico ρ ∈ K tale che AC = ρ AB; si ponga per
AB
CA
AC
AC C A
=
=−
=−
.
semplicità
BA AB
BA
AB
(i) Si mostri che tre punti A, B, C ∈ E sono allineati se e soltanto se
( ABC )OXY = 0 in un qualsiasi sistema di riferimento OXY .
(ii) Si mostri che, date due terne ordinate A, B, C e A′ , B′ , C ′ di punti di E,
( ABC )OXY
non dipende dal sistema di riferimento OXY . In
il rapporto
( A′ B′C ′ )OXY
questo caso quindi si può omettere di scrivere OXY nell’espressione
del rapporto.
(iii) (Teorema del lato comune) Si mostri che se A, B, P, Q ∈ E sono quattro
punti, con A ̸= B e P ̸= Q tali che la retta AB e la retta PQ si intersecano
in un unico punto M, allora
( ABP ) MP
=
.
( ABQ) MQ
Quando succede che M = Q oppure M = P la formula è valida?
(iv) Siano A, B, C tre punti non allineati nel piano affine E, e P, Q e R
tre punti rispettivamente sulle rette AB, BC e C A. Mostrare che se
P, Q, R sono allineati, per ogni coppia X, Y di punti distinti allineati
con P, Q, R si ha
( XY A) PA
=
,
( XY B) PB
( XY B) QB
=
,
( XYC ) QC
( XYC ) RC
=
.
( XY A) RA
Dedurre che vale il Teorema di Menelao: se P, Q, R sono allineati, allora
AP BQ CR
= −1.
PB QC RA
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
§ 8.
309
AA 2012-13
(v) Vale anche il viceversa, cioè se
allineati?
§ 8.
AP BQ CR
= −1 allora P, Q, R sono
PB QC RA
AA 2012-13
GEOMETRIA I - SCRITTO #1 - 2013-06-18 (14:30-16:30, U1-08)
(83) [5u] Siano X, Y e Z i sottoinsiemi di C definiti da
{
}
{
}
{
}
X = z ∈ C : z2 ∈ Q , Y = z ∈ C : z2 − z2 = 0 , Z = z ∈ C : z2 ∈ R .
(i) Mostrare che X ⊂ Y = Z.
(ii) Mostrare che la chiusura X di X in C è contenuta in Y : X ⊂ Y .
(iii) Y è connesso per archi? C \ Y è connesso per archi?
(iv) X è connesso per archi? C \ X è connesso per archi?
(v) Mostrare che X = Y .
Per il prossimo esercizio, si ricordi che le funzioni iperboliche sinh e
cosh soddisfano le identità:
et − e−t
et + e−t
, cosh(t ) =
, cosh2 t − sinh2 t = 1
2
2
cosh(s + t ) = cosh(s) cosh(t ) + sinh(s) sinh(t )
sinh(t ) =
sinh(s + t ) = sinh(s) cosh(t ) + cosh(s) sinh(t )
(84) [4u] Si consideri la funzione φ : R × E2 → E2 definita da
( [ ]) [
][ ]
x
cosh t sinh t x
φ t,
=
.
y
sinh t cosh t y
(i) Mostrare che la funzione φ è una azione di G = R su E2 .
(ii) Si descrivano le orbite dei punti di E2 , discutendo i vari casi. Quali
punti hanno orbita compatta?
(iii) Si consideri la topologia quoziente sullo spazio delle orbite X = E2 /G.
Mostrare che la funzione f : E2 → R definita da f ( x, y) = x 2 − y2 induce una
funzione continua sul quoziente X.
(iv) X è connesso?
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
310
#B.
TEMI D’ESAME
(85) [6u] Sia X il sottoinsieme di P3 (R) definito da
]
{
[
}
x0 x1
3
X = [ x0 : x1 : y0 : y1 ] ∈ P (R) : det
=0 .
y0 y1
(i) Dimostrare che X è un sottoinsieme ben definito di P3 (R).
(ii) X è chiuso? Perché?
(iii) Sia f : P1 (R) × P1 (R) → X l’applicazione definita da
f ([s0 : s1 ], [t0 : t1 ]) := [s0 t0 : s0 t1 : s1 t0 : s1 t1 ] .
Si mostri che è ben definita e continua.
(iv) Sia g: X → P1 (R) × P1 (R) la funzione definita da
([ x0
([ x1
g ([ x0 : x1 : y0 : y1 ]) =
([ x0
([ x1
: y0 ], [ x0 : x1 ])
: y1 ], [ x0 : x1 ])
: y0 ], [y0 : y1 ])
: y1 ], [y0 : y1 ])
se
se
se
se
x0 ̸= 0
x1 ̸= 0
y0 ̸= 0
y1 ̸= 0
Osservare che è definita in modi diversi sui quattro aperti A0 = {x0 ̸= 0},
A1 = {x1 ̸= 0}, B0 = {y0 ̸= 0} e B1 = {y1 ̸= 0}, ma che coincidono sulle intersezioni
A0 ∩ A1 , A0 ∩ B0 , A0 ∩ B1 = A1 ∩ B0 , A1 ∩ B1 , B0 ∩ B1 .
Dimostrare che g è ben definita e continua.
(v) Mostrare che f e g sono una l’inversa dell’altra, e dedurre che X è
omeomorfo a P1 (R) × P1 (R).
GEOMETRIA I - SCRITTO #2 - 2013-07-02 (14:30-16:30, U1-08)
(86) [5u] Sia X ⊂ E2 lo spazio definito da
x
X = {( x, y) ∈ E2 : x > 0, y > 0, log( ) ∈ Z} ⊂ E2 ,
y
con la topologia metrica.
(i) Determinare la chiusura X di X in E2 .
(ii) Esiste una isometria non banale g: E2 → E2 tale che g( X ) = X ?
(iii) X è connesso? X è connesso?
(iv) E2 ∖ X è connesso?
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
§ 8.
311
AA 2012-13
(87) [4u] Sia E2 il piano euclideo con distanza d (P, Q) = ∥P − Q∥. Sia r ⊂ E2
una retta e A ̸∈ r un punto non di r. Sia d (P, r ) la distanza tra un punto P ∈ E2
e r. Sia f : E2 → P1 (R) la funzione definita da
f (P ) = [d (P, A) : d (P, r )] ∈ P1 (R)
(i) Dimostrare che f è ben definita e continua.
(ii) La funzione f è suriettiva?
(iii) Determinare la controimmagine f −1 ([0 : 1]) ⊂ E2 del punto [0 : 1] ∈ P1 (R).
(iv) L’immagine di f
X = Im ( f ) = { f (P ) : P ∈ E2 } ⊂ P1 (R)
è compatta?
(88) [6u] Sia σ : P3 (R) → P3 (R) l’applicazione
σ ([ x0 : x1 : x2 : x3 ]) := [−x2 : −x3 : x0 : x1 ].
(i) Dimostrare che σ è ben definita, e che è una proiettività.
(ii) Dimostrare che σ ◦ σ = idP3 (R) , e che G := {idP3 (R) , σ} è un gruppo rispetto
alla composizione di mappe.
(iii) Sia X := P3 (R)/G lo spazio quoziente: è compatto? È connesso? È connesso
per archi?
(iv) Sia r := {[ x0 : x1 : x2 : x3 ] ∈ P3 (R) : x1 = x3 = 0}. Dimostrare che σ (r ) = r.
(v) Dimostrare che x ∈ P3 (R), σ ( x ) = x =⇒ x ∈ r.
(vi) X è di Hausdorff?
GEOMETRIA I - SCRITTO #3 - 2013-07-16 (14:30-16:30, U9-04)
(89) [5u] Sia f : P2 (R) → P2 (R) la mappa definita da
f ([ x : y : u]) = [ x 2 : y2 : u2 ] .
(i) Dimostrare che f è ben definita e continua.
(ii) Si considerino le tre funzioni g j : P2 (R) → P2 (R), j = 1, 2, 3, definite da
g1 ([ x : y : u]) = [−x : y : u]) , g2 ([ x : y : u]) = [ x : −y : u]) , g3 ([ x : y : u]) = [ x : y : −u]).
Si mostri che sono proiettività, e che, assieme alla mappa identità
1 : P2 (R) → P2 (R), costituiscono un gruppo di trasformazioni di P2 (R) che
indichiamo con
G := {1, g1 , g2 , g3 } .
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
312
#B.
TEMI D’ESAME
(iii) Mostrare che per ogni g ∈ G e per ogni P ∈ P2 (R) si ha
f ( gP ) = f (P ) ,
e dedurre che f induce una funzione continua
f : P2 (R)/G → P2 (R)
definita sullo spazio quoziente P2 (R)/G.
(iv) Mostrare che f¯ è iniettiva, e che è un omeomorfismo sulla propria
immagine.
(v) La funzione indotta f¯ è anche suriettiva?
(90) [4u] Sia A ⊂ E2 un aperto, dove E2 ∼
= R2 ha la topologia della metrica
euclidea.
(i) Dimostrare che se A è limitato, allora il suo complementare E2 ∖ A ha
una sola componente connessa illimitata.
(ii) Vale anche il viceversa? Cioè, è vero che se E2 ∖ A ha una sola
componente connessa illimitata allora A è limitato?
(iii) Per quali interi n ≥ 1 esiste un aperto A ⊂ E2 tale che il complementare
di A in E2 ha esattamente n componenti connesse illimitate?
(iv) Sia
X = {( x, y) ∈ R2 : 4y2 sin2 x < 1} .
Mostrare che X è un aperto connesso il cui complementare in E2 ha una
infinità numerabile di componenti connesse illimitate.
(91) [6u] Sia b un intero fissato, b ≥ 2, e b = {0, 1, . . . , b − 1} = {x ∈ N : x < b}
l’insieme con i primi b numeri naturali, con la topologia indotta dalla
metrica metrica standard d (i, j ) = |i − j|. Sia X lo spazio di tutte le successioni
di elementi di b, cioè l’insieme di tutte le funzioni da N a b
X = {x : N → b} = bN ,
x ∈ X ⇐⇒ x = ( x0 , x1 , x2 , . . .) con x j = x ( j ) ∈ b .
(i) Si mostri che la funzione d : X × X → R definita ponendo
d ( x, y) =
∞
∑
|x j − y j |
j=0
bj
è ben definita ed è una metrica (distanza) su X.
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
§ 8.
313
AA 2012-13
(ii) Sia f : X → R la mappa definita da
f (x) =
∞
∑
xjbj .
j=0
Mostrare che f è una funzione ben definita, e che per ogni x, y ∈ X vale
la disuguaglianza
| f ( x ) − f (y)| ≤ d ( x, y) .
Possiamo dedurre che f è continua?
(iii) La mappa f è iniettiva? Se non è suriettiva qual è la sua immagine?
(iv) Siano x, y ∈ X. Mostrare che se x j = y j per j = 0, 1, . . . , N, allora d ( x, y) ≤ b−N .
(v) Mostrare che, viceversa, se d ( x, y) < b−N , allora x j = y j per ogni j =
0, 1, . . . , N.
(vi) Sia X1 ⊂ X il sottoinsieme di tutti gli elementi x ∈ X tali che x j ̸= 1
per ogni j, cioè
X1 = {x ∈ X : ∀ j ∈ N, x j = x ( j ) ̸= 1}.
Mostrare che X1 è chiuso in X.
GEOMETRIA I - SCRITTO #4 - 2013-09-17 (14:30-16:30, U1-01)
(92) [6u] Sia p : R → Z la funzione definita come
se n ∈ Z e |x − n| < 21
n
p( x ) =
n
se n ∈ Z e |x − n| = 21 e n è pari,
cioè p( x ) è l’intero più vicino a x, e se x ha due interi vicini (a distanza
1/2), p( x ) è quello pari. Sia X lo spazio topologico che ha per elementi
gli elementi di Z e per topologia la topologia quoziente indotta da p.
Dimostrare le seguenti affermazioni:
(i) Ogni elemento dispari di X è un aperto.
(ii) Ogni elemento pari di X è un chiuso.
(iii) Per ogni n ∈ Z, il sottoinsieme {2n − 1, 2n, 2n + 1} è un aperto di X.
(iv) Dedurre che X non è compatto.
(v) Per ogni x ∈ X, X ∖ x non è connesso.
(vi) X è connesso.
(93) [5u] Sia G = {z ∈ C : |z| = 1}. G è un gruppo rispetto alla moltiplicazione.
Consideriamo l’applicazione φ : G × P1 (C) → P1 (C), definita ponendo φ(z, [ x0 : x1 ]) =
[zx0 : z−1 x1 ].
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314
#B.
TEMI D’ESAME
(i) Dimostrare che questa applicazione è ben definita, e che è un’azione
di G su P1 (C).
(ii) È un’azione libera? È transitiva?
(iii) Consideriamo su X := P1 (C)/G la topologia quoziente. X è compatto? È
connesso?
−|x1 |
(iv) Sia f : P1 (C) → R, l’applicazione definita ponendo f ([ x0 : x1 ]) := |x|x0 ||2 +|x
2.
0
1|
Dimostrare che f è ben definita e continua, e che per ogni g ∈ G, ogni
P ∈ P1 (C) si ha f ( gP ) = f (P ).
2
2
(v) Sia f˜ : X → R l’applicazione indotta da f sul quoziente X. Dimostrare che
f˜ è iniettiva, e che è un omeomorfismo di X sull’intervallo [−1, 1] ⊂ R.
(94) [4u] Sia E2 il piano euclideo.
(i) Dimostrare che ogni rotazione di E2 è composizione di due riflessioni
(lungo rette).
(ii) Sia R : E2 → E2 la rotazione di centro (1, 2) di angolo π: si scriva come
composizione di due riflessioni.
(iii) Dimostrare che esistono isometrie del piano E2 che non sono riflessioni lungo rette e che non sono composizioni di due riflessioni lungo
rette.
(iv) È vero che ogni traslazione di E2 è composizione di due rotazioni?
GEOMETRIA I - SCRITTO #5 - 2014-02-18 (14:30-16:30, U1-11)
(95) [6u] Sia E un sottoinsieme non vuoto di S 2 = {x ∈ R3 : |x| = 1}. Poniamo
C ( E ) := {x ∈ R3 : 0 < |x| ≤ 1,
x
∈ E} ∪ {0}.
|x|
(i) Dimostrare che C ( E ) coincide con l’unione di tutti i segmenti che
congiungono l’origine a un punto di E, e che C ( E ) ∖ {0} ≈ C × (0, 1] (cioè
sono omeomorfi).
(ii) Dimostrare che se E è compatto allora C ( E ) è compatto.
(iii) È vero anche il viceversa? Cioè, è vero che se C ( E ) è compatto allora
è necessariamente compatto anche E? (suggerimento: trovare un chiuso
di C ( E ) che è compatto se e solo se lo è E...)
(iv) Sotto quali condizioni l’insieme C ( E ) è connesso?
(v) Quali sono le componenti connesse di C ( E ) \ {0}?
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
§ 8.
315
AA 2012-13
(vi) Dare un esempio di un sottoinsieme E compatto tale che C ( E ) ∖ {0} abbia
infinite componenti connesse.
(96) [5u] Siano i, j e k i tre vettori della base canonica di R3 ; siano
α, β e γ : R3 → R3 gli automorfismi di R3 definiti dalle identità
αi = i,
βi = −k
α j = k, α k = − j;
β j = j,
β k = i;
γi = j γ j = −i,
γ k = k.
Sia G il gruppo generato da α, β e γ (cioè il più piccolo sottogruppo
di GL(3, R) che contiene α, β e γ). Sia X ⊂ E3 il cubo di lato 2 e centro
nell’origine, definito da
X = {xi + y j + zk ∈ R3 : −1 ≤ x ≤ 1,
−1 ≤ y ≤ 1,
−1 ≤ z ≤ 1} .
(i) Dimostrare che G ⊂ SO(3), cioè che G è un gruppo di rotazioni. Si
determinino gli assi e l’angolo delle rotazioni α, β e γ.
(ii) Mostrare che per ogni g ∈ G, g manda X in sé. Si determinino, al variare
di x ∈ X, le rotazioni che mandano X in sé e che fissano x (i.e., il
sottogruppo di isotropia di x in SO(3)).
(iii) Sia η = αβ ∈ G e ζ = α2 β ∈ G. Determinare gli assi e gli angoli delle
rotazioni η e ζ.
(iv) Dimostrare che per ogni g ∈ G, l’ordine di g ̸= 1 può essere solo uguale
a 2, 3 o 4.
(v) Si consideri lo spazio quoziente X/G. È compatto e/o connesso?
(97) [4u] Sia F3 il campo con tre elementi (interi modulo 3), e P3 (F3 )
lo spazio proiettivo su campo F3 . Sia π ⊂ P3 (F3 ) un piano, e Q ∈ P3 (F3 ) ∖ π un
punto non su π.
(i) Quanti punti ha π?
(ii) Dimostrare che per ogni x ∈ P3 (F3 ), x ̸= Q, esiste un unico punto p ∈ π
tale che x, p, Q sono allineati.
(iii) Fissato p ∈ π, quanti sono i punti x ∈ P3 (F3 ), x ̸= Q tali che x, p, Q sono
allineati?
(iv) Quanti punti ha P3 (F3 )?
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
316
#B.
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
TEMI D’ESAME
Appendice C
ESERCIZI DATI AI GRUPPI
GEOMETRIA I - CONSEGNA #1 - 2012-03-26 - 13:30 U1-08
(1)
(i) {
n2
(ii) {
Trovare i punti di accumulazione dei seguenti sottoinsiemi di R:
n
: n ∈ N, n > 0}.
+1
k
: k, n ∈ N}.
10n
k
: ∥k 2 + h2 ∥ ≤ 10100 , k, h ∈ Z, h ̸= 0}.
h
Si dimostri tutto quello che si afferma.
(iii) {
(2)
dove
Determinare se il prodotto X = [0, 1) × [0, 1) è omeomorfo a Y = [0, 1] × [0, 1),
[0, 1) = {x ∈ R : 0 ≤ x < 1},
[0, 1] = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}.
Se sono omeomorfi, lo si dimostri. Se non lo sono, lo si dimostri.
GEOMETRIA I - CONSEGNA #2 - 2012-04-30 - 13:30 U1-08
(3) Sia D2 ⊂ R2 il disco unitario D2 = {( x, y) ∈ R2 : x 2 + y2 ≤ 1}, ∂D2 il suo
bordo ∂D2 = S 1 = {( x, y) ∈ D2 : x 2 + y2 = 1}, e ∼ la relazione in D2 definita da
(
)
P ∼ Q ⇐⇒ (P = Q) ∨ ((P = −Q) ∧ (P ∈ ∂D2 )) .
La relazione è di equivalenza: sia X lo spazio quoziente D2 /∼ (con la
topologia quoziente).
317
318
#C.
ESERCIZI DATI AI GRUPPI
Sia G il gruppo di ordine due generato dalla trasformazione a : R3 → R3
definita da a(P ) = −P, e si consideri l’azione di G sulla sfera unitaria
S 2 = {( x, y, z ) ∈ R3 : x 2 + y2 + z2 = 1}. Sia Y = S 2 /G lo spazio delle orbite dell’azione,
con la topologia quoziente.
(i) Dimostrare che ∼ è una relazione di equivalenza.
(ii) Dimostrare che X e Y sono omeomorfi.
(iii) Sia γ ⊂ X l’immagine del bordo ∂D2 mediante la mappa quoziente D2 → D2 /∼ .
Mostrare che γ è omeomorfo alla circonferenza S 1 .
(iv) Assumendo che sia vero il seguente fatto: “se Z ⊂ S 2 è un sottoinsieme
omeomorfo alla circonferenza S 1 , allora il complementare S 2 ∖ Z non è
connesso”, si dimostri che X non è omeomorfo ad una sfera.
(4)
X ⊂ R.
Sia f : X ⊂ R → R una funzione continua definita su un intervallo
(i) Mostrare che se f non è né crescente né decrescente, allora non è
iniettiva.
(ii) Dedurre che se f è continua e iniettiva, l’immagine di un intervallo
aperto è un intervallo aperto (e quindi che f è una mappa aperta).
(iii) Dedurre che se f : X → R è continua e biunivoca, allora è un omeomorfismo.
(iv) Mostrare che non esistono funzioni continue e iniettive f : S 1 → R.
(5) Siano U (n) e SU (n) il gruppo unitario e il gruppo speciale unitario
definiti da
U (n) = {A ∈ GL(n, C) : AA∗ = A∗ A = In },
SU (n) = {A ∈ U (n) : det A = 1},
dove A∗ è la matrice trasposta coniugata di A, cioè la matrice che ha per
coefficienti i numeri complessi coniugati dei coefficienti della matrice
trasposta di A. Dimostrare i seguenti fatti.
(i) Per ogni intero n ≥ 1 i gruppi U (n) e SU (n) sono compatti.
(ii) U (1) ≈ S 1 ≈ SO(2).
[
(iii) Gli elementi di SU (2) sono tutte e sole le matrici del tipo A =
con (z, w) ∈ C2 , |z|2 + |w2 | = 1.
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
z −w̄
w z̄
]
319
[
]
[
]
[
]
[
]
1 0
i 0
0 1
0 i
(iv) Siano u =
, i =
, j =
, k = ij =
∈ SU (2). Allora se
0 1
0 −i
−1 0
i 0
z = a + ib, w = c + id si ha
]
[
z w
= au + bi + c j + d k.
−w̄ z̄
(v) SU (2) ≈ S 3 .
GEOMETRIA I - CONSEGNA #3 - 2012-05-28 - 13:30 U1-08
(6) Siano A, B e C tre punti non allineati di un piano affine A2 (K) su
campo K, e P AB , P BC e PC A allineati con AB, BC e C A rispettivamente.
(i) Dimostrare che A ̸= P BC , B ̸= PC A, C ̸= P AB .
(ii) Dimostrare che, se A2 (K) = E2 , le tre rette AP BC , BPC A e CP AB si
incontrano in un punto se e solo se
AP AB BP BC CPC A
P AB B P BC C PC A A
=1
(iii) Qual è la corrispondente formula per un piano affine generico su
campo K?
(7) Siano a, b, c > 0 tre parametri positivi fissati. Sia T il tetraedro in
E3 di vertici O = (0, 0, 0), A = (a, 0, 0), B = (0, b, 0), C = (0, 0, c), e S la sua sfera
inscritta, di raggio r e centro X. Dimostrare i seguenti fatti.
(i) Per ogni spigolo s di T , il piano bisettore dell’angolo diedro tra le
due facce che insistono su s passa per X.
(ii) Il centro X appartiene alla retta per O di giacitura (1, 1, 1), e la
distanza del punto di coordinate (t, t, t ) dal piano che contiene A, B e
C è uguale a
|t (ab + ac + bc) − abc|
√
a2 b2 + a2 c2 + b2 c2 .
(iii) L’area d del triangolo ABC è uguale a
d=
1√ 2 2
a b + a2 c2 + b2 c2 .
2
(iv) Il centro della sfera S ha coordinate baricentriche (rispetto ai
vertici O, A, B e C del tetraedro) proporzionali a 2d : bc : ac : ab, dove
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
320
#C.
ESERCIZI DATI AI GRUPPI
d indica l’area del triangolo ABC. In altre parole,
1
abc
2dO + bcA + acB + abC
X=
=
1 .
2d + bc + ac + ab
2d + bc + ac + ab
1
(v) Determinare per quali valori di a, b, c il centro X coincide con il
baricentro di T .
(8)
Si consideri l’ipercubo I 4 ⊂ E4 definito da I 4 = [0, 1] × [0, 1] × [0, 1] × [0, 1].
(i) Si mostri che il volume del 4-tetraedro T 0 ⊂ I 4 con vertici
(0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)
e quello del 4-tetraedro T 1 ⊂ I 4 con vertici
(0, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1)
coincidono. (si ricordi la formula di Binet per trasformazioni lineari
affini, per ogni forma di volume ω su R4 multineare alternante ... )
(ii) Si mostri che il gruppo simmetrico Σ4 su 4 elementi, formato dalle
permutazioni degli indici 1, 2, 3, 4 (è un gruppo di ordine 4!), agisce
mediante isometrie su E4 permutando le coordinate, e che per ogni g ∈ Σ4
si ha gT 1 ⊂ I 4 , e gT 0 ⊂ T 0 .
(iii) Si mostri che se g ∈ Σ4 , g ̸= 1, allora gT 1 e T 1 hanno interni disgiunti.
(iv) Si calcoli il volume di T 0 e T 1 .
GEOMETRIA I - CONSEGNA #1 - 2012-03-25 - 13:30 U1-10
(9)
Siano h e k interi positivi.
(i) Mostrare che per ogni n ∈ Z, n > 0, si ha
√
√
1
n+1− n < √ .
2 n
La seguente affermazione è vera? Per ogni ϵ > 0 esiste L ∈ R tale che
√
per ogni x > L, x ∈ R, esiste un n ∈ N tale che n appartiene all’intorno
circolare Bϵ ( x ), cioè è vero che
∀ϵ > 0, ∃L ∈ R tale che ∀x > L, x ∈ R, ∃n ∈ N tale che
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
√
n ∈ Bϵ ( x ) ?
321
(ii) Mostrare che per ogni ϵ > 0 esistono due interi positivi m e n tali
che
√
√
|h m − k n| < ϵ .
(iii) Qual è la chiusura in R dell’insieme
√
√
X = {x m − y n : x, y ∈ Z, m, n ∈ N ∖ {0}} ⊂ R ?
(iv) Mostrare che per ogni ϵ > 0 esistono due interi positivi m e n tali
che
√
√
ϵ < |h m − k n| < 2ϵ .
(10) Sia E2 il piano euclideo, con coordinate cartesiane standard, e
X l’insieme di tutte le rette orientate in X (cioè le rette su cui si
è scelto un verso di percorrenza). Si consideri il prodotto cartesiano
E2 × E2 con la topologia prodotto; se indichiamo con ∆ = {(P, P ) : P ∈ E2 } la
diagonale di E2 × E2 , si dia al sottospazio E2 × E2 \ ∆ la topologia indotta.
Si consideri la funzione
ϕ : E2 × E2 \ ∆ → X
definita associando alla coppia ( A, B), con A ̸= B, l’unica retta per i due
punti A e B in E2 , orientata da A verso B. Si dia quindi a X la topologia
quoziente rispetto alla mappa ϕ.
(i) Dimostrare che ϕ è suriettiva.
(ii) Per ogni ( A, B) ∈ E2 × E2 \ ∆, sia ψ : E2 × E2 \ ∆ → R3 la funzione definita da
ψ ( A, B) = (a1 − b1 , a2 − b2 , a1 b2 − a2 b1 ),
dove A = (a1 , a2 ) e B = (b1 , b2 ). Dimostrare che ψ è continua e ψ ( A, B) ̸= 0 per
ogni A =
̸ B.
(iii) Dimostrare che per ogni A, B si ha ψ ( A, B) = −ψ ( B, A), e che per ogni t,
se C è un punto tale che C = A + t ( B − A), allora ψ ( A, C ) = tψ ( A, B).
(iv) Dedurre che la funzione
F : E2 × E2 \ ∆ → R3
definita ponendo
ψ ( A, B)
∥ψ ( A, B)∥
è ben definita, continua, e induce passando al quoziente, dal suo
dominio a X mediante la mappa ϕ, una funzione continua
F ( A, B) =
f : X → R3 .
(v) È vero che se A ̸= B e t ∈ R, da ψ ( A, C ) = tψ ( A, B) segue che C = A + t ( B − A)?
La funzione f è iniettiva?
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
322
#C.
ESERCIZI DATI AI GRUPPI
GEOMETRIA I - CONSEGNA #2 - 2013-04-29 - 13:30 U1-10
(11) [Compattificazione di Alexandrov] Sia X uno spazio topologico di
Hausdorff, con topologia τ. Consideriamo l’unione disgiunta di X con un
punto esterno (che indichiamo con ∞),
X ∗ = X ∪ {∞} .
Si definisca su X ∗ la famiglia di sottoinsiemi τ ∗ , formata dagli aperti in
τ e dai sottoinsiemi di X ∗ della forma
X ∗ ∖ K, con K sottoinsieme compatto di X .
(i) Dimostrare che τ ∗ è una topologia per X ∗ .
(ii) Dimostrare che X ∗ , con la topologia τ ∗ , è compatto.
(iii) Dimostrare che la mappa f : X → X ∗ è una mappa aperta, iniettiva, e
continua.
(iv) Dimostrare che f ( X ) ⊂ X ∗ è denso, cioè che ∞ è di accumulazione per
l’immagine f ( X ) in X ∗ , se e soltanto se X non è compatto.
(v) Dimostrare che se X = R (con la topologia standard), allora esiste un
omeomorfismo X ∗ ≈ S 1 , dove S 1 è la circonferenza.
(12) [Tagliare le pizze] Siano A, B ⊂ R2 due pizze sul piano. Vorremmo
dimostrare che è possibile dividere con un solo taglio rettilineo le due
pizze, ognuna esattamente in due metà di area uguale. Più precisamente,
siano A, B ⊂ R2 due aperti connessi limitati del piano (non necessariamente
disgiunti).
(i) Dimostrare che, fissata una direzione r, A si può tagliare a metà
esatta con un taglio unico nella direzione r: cioè che fissata una
retta r nel piano R2 , se A è un aperto limitato di R2 , allora esiste
una retta l parallela a r tale che l divide A in due metà che abbiano
la stessa area.
(ii) Mostrare che per ogni r fissata la retta l del punto precedente è
unica.
(iii) Siano A e B come sopra, e sia S una circonferenza di raggio R
sufficientemente grande con centro nell’origine, che contenga A e B al
suo interno. Fissato x ∈ S, sia ltx la retta perpendicolare al diametro
di S passante per x, che interseca il diametro in un punto a distanza
t2R da x (con t ∈ [0, 1], quindi). Sia gA (t ) l’area della parte di A che sta
dalla parte di x rispetto alla retta ltx . Dimostrare che, per ogni x ∈ S,
(assumiamo che gA sia continua)
gA (0) = 0, gA (1) = Area ( A)
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
323
Area ( A)
.
2
(iv) Si definisca per ogni x ∈ S la funzione h A ( x ) = tx , dove tx è definito
dalla costruzione del punto precedente. Analogamente, si definisca
hB ( x ) prendendo B invece che A. Assumendo che h A e hB siano continue,
dimostrare che la funzione h : S → R definita da
ed esiste un unico valore tx ∈ [0, 1] tale che gA (t ) =
h( x ) = h A ( x ) − h B ( x )
è una funzione continua tale che h(−x ) = −h( x ).
(v) Dedurre che esiste una retta del piano che divide l’area di ognuna
delle due regioni A e B esattamente a metà.
GEOMETRIA I - CONSEGNA #3 - 2013-05-27 - 13:30 U1-10
(13) [Il problema degli n viaggiatori] Nel piano E2 ci sono n > 3 rette
l1 , l2 , . . . , ln in posizione generale, cioè tali che due delle n rette non sono
mai parallele o coincidenti, e per ogni punto del piano passano al massimo
due rette. Sulle n rette si stanno muovendo in moto rettilineo uniforme n
viaggiatori Pi (t ), i = 1, . . . , n, ognuno con una sua velocità non nulla. Diciamo
che due punti Pi , P j si incontrano quando nel medesimo istante occupano
la stessa posizione Pi (t¯) = P j (t¯) ∈ E2 . Dimostrare che se prima dell’istante
t = t0 sia P1 che P2 hanno incontrato tutti gli altri n − 1 punti Pi , allora
prima o poi qualsiasi coppia di punti si incontrerà. (Suggerimento: il
moto rettilineo uniforme di un punto Pi (t ) su li può essere rappresentato con
il grafico della funzione Pi : R → li , che è una retta dato che la velocità è
costante, e quindi in E2 × R come …)
(14) [Il piano con quattro punti] Sia X un insieme di punti; sia L ⊂ 2X
un sottoinsieme dell’insieme delle parti di X, i cui elementi si chiamano
rette. Supponiamo che siano vere le seguenti affermazioni:
(i) X ha quattro elementi.
(ii) Se l ∈ L, allora l è formata da due punti.
(iii) Per ogni coppia di punti A, B ∈ X distinti A ̸= B, esiste una e una sola
retta l ∈ L tale che A ∈ L ∋ B.
È possibile dedurre che X è il piano affine A2 (Z2 ) su campo Z2 , e L è la
famiglia di rette di A2 (Z2 )? Giustificare la risposta.
Ի
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
324
#C.
ESERCIZI DATI AI GRUPPI
(15) [Baricentri e masse] Sia A2 (R) il piano affine reale. Dati n + 1
punti P0 , . . . , Pn e n + 1 scalari m0 , . . . , mn positivi (che interpretiamo come
masse), definiamo il baricentro dei punti Pi di massa mi > 0 come
∑n
O+
−−→
i=0 mi OPi
m0 + m1 + . . . mn
,
dove O è un punto di A2 (R).
(i) Dimostrare che la definizione di baricentro di punti con massa è ben
posta (non dipende dalla scelta di O).
(ii) Dimostrare che se Pi sono n punti di massa mi , Q j sono k punti di massa
M j , allora il baricentro degli n + k punti P1 , . . . , Pn , Q1 , . . . , Qk (con relative
masse) è uguale al baricentro dei due punti pesati P e Q, dove P è
∑
il baricentro dei Pi e ha massa
mi , e Q è il baricentro dei Q j e ha
∑
massa
Mj.
(iii) Dedurre che le tre mediane di un triangolo si incontrano (nel baricentro del triangolo), e che il punto di intersezione taglia la mediana in
due parti, una di 1/3 e l’altra di 2/3 della lunghezza della mediana.
(iv) Si considerino tre punti A1 , B1 , C1 ∈ A2 (R) non allinati e con masse
uguali. Siano A2 , B2 e C2 i baricentri, rispettivamente, di B1C1 , A1C1 ,
e A1 B1 . Dimostrare che A2 , B2 e C2 non sono allineati, e che esiste una
unica affinità f tale che f ( A1 ) = A2 , f ( B1 ) = B2 e f (C1 ) = C2 , e che per tale
f , per ogni coppia di punti P, Q del piano, risulta f (P ) − f (Q) = 21 (Q − P ).
(v) Dedurre che esiste uno e un solo punto P tale che f (P ) = P. Qual è?
(vi) Per ricorrenza, si definisca la successione ( An , Bn , Cn ), dove An+1 è il
baricentro di BnCn , Bn+1 è il baricentro di AnCn , e Cn+1 è il baricentro
di An Bn . Dimostrare che per ogni n ≥ 1 si ha An+1 = f ( An ), Bn+1 = f ( Bn ) e
Cn+1 = f (Cn ).
(vii) Dimostrare che le tre successioni An , Bn , Cn convergono (nella topologia
standard di A2 (R) ∼
= R2 ) ad uno stesso punto limite. Qual è questo punto?
GEOMETRIA I - CONSEGNA #1 - 2014-03-24 - 13:30 U1-10
(16) Su X = Z (gli interi) sia A ⊂ 2X la famiglia formata da tutte le
unioni di progressioni aritmetiche (Ua,b = {a + kb : k ∈ Z} ⊂ Z), con a, b ∈ Z. Sia
τm la topologia metrica su X, (rispetto alla metrica standard di Z), τd la
topologia discreta di X, e τb la topologia banale di X.
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
325
(i) La famiglia di tutte le progressioni Ua,b costituisce una base* per una
topologia in X.
(ii) La famiglia A è una topologia di Z.
(iii) Rispetto a questa topologia, le progressioni Ua,b sono sia aperti che
chiusi di X.
(iv) Determinare, tra le quattro topologie A, τb , τm e τd , quali sono uguali
tra loro. È vero che A ⊂ τm ?
(v) L’unione delle progressioni U0,p , al variare di p ≥ 2 primo è uguale a
∪
U0,p = {x ∈ Z : x 2 ̸= 1}
p primo
e questo non è un chiuso di X rispetto alla topologia A.
(vi) Dedurre che i numeri primi in Z sono infiniti.
(17)
Trovare i punti di accumulazione in R del seguente insieme:
√
A = {h + k 2 : h, k ∈ Z}.
GEOMETRIA I - CONSEGNA #2 - 2014-04-28 - 13:30 U1-10
(18)
Sia X uno spazio topologico di Hausdorff.
(i) Si consideri l’insieme X̂ = X ∪ {∞} (dove ∞ ̸∈ X), e la seguente famiglia
di sottoinsiemi di X̂: l’insieme vuoto, X̂, gli aperti di X ⊂ X̂ e tutti i
complementari X̂ ∖ K, al variare di K ⊂ X sottospazio compatto di X ⊂ X̂.
Mostrare che si tratta di una topologia. (X̂ è detto compattificazione
ad un punto di X, o anche compattificazione di Alexandroff)
(ii) Mostrare che la topologia del punto precedente rende X̂ compatto.
(iii) Mostrare che l’inclusione i : X → X̂ è una funzione continua, iniettiva
e aperta.
(iv) Determinare la compattificazione di Alexandroff del piano R2 .
(v) Senza l’ipotesi che X sia di Hausdorff, la famiglia dei sottoinsiemi
di X̂ descritta sopra sarebbe ancora una topologia? (occorre fornire un
controesempio se la risposta è no, e una dimostrazione se la risposta
è sì)
* Cfr.
appunti per una definizione di base di una topologia.
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
326
#C.
ESERCIZI DATI AI GRUPPI
(19) Sia C ⊂ [0, 1] ⊂ R l’insime di numeri reali compresi tra 0 e 1 che
hanno uno sviluppo in base ternaria (con cifre 0, 1, 2) in cui non compare
mai la cifra 1 (quando la rappresentazione non è unica, come per esempio
quando l’ultima cifra è 2 periodica (0.2̄)3 = (1.0)3 oppure (0.12̄)3 = (0.2)3 , basta
che per una delle due rappresentazioni sia vero che non compare la cifra
1)* . Mostrare che
(i) C è chiuso;
(ii) C è compatto;
(iii) se x ∈ C, allora x è di accumulazione per il complementare di C.
(iv) se x ∈ C, allora x è di accumulazione per C ma non è interno a C.
(v) se Y ⊂ C è un sottospazio connesso non vuoto, allora Y ha un solo
elemento (cioè l’insieme di Cantor è totalmente sconnesso, come Q –
le componenti connesse di C sono i suoi punti).
GEOMETRIA I - CONSEGNA #3 - 2014-05-26 - 13:30 U1-10
(20) Dimostrare che il gruppo G di isometrie del cubo (esaedro regolare)
in sé ha 48 elementi, dei quali 24 sono isometrie dirette e 24 no. Descrivere
gli elementi di G (quali sono rotazioni? quali riflessioni? quali né
l’uno né l’altra?), e trovare un isomorfismo tra il sottogruppo O delle
24 isometrie dirette e S4 , il gruppo simmetrico delle permutazioni di 4
elementi (di ordine 4! = 24).
Esistono affinità del cubo in sé che non sono isometrie?
(21) Sia n > 2 un intero, e P1 , . . . , Pn siano n punti nel piano euclideo
Per ogni j = 1, . . . , n, sia γ j la circonferenza di centro P j e raggio
unitario. Supponiamo che non esista alcuna retta che intersechi più di due
circonferenze γ j . Dimostrare che :
E2 .
(i) Esiste una circonferenza C con centro in O, raggio R, tale che C
contenga al suo interno tutte le circonferenze γ j .
(ii) Per ogni i < j, esistono esattamente due rette ri j e si j tangenti sia a
γi che a γ j , tali che ri j e si j non sono parallele, e si incontrano in un
punto Qi j interno a C e che giace sul segmento che ha per estremi i
centri di γi e γ j . Sia 2αi j l’angolo tra le due rette ri j e si j (che misura
la regione — che chiamiamo Γi j — all’interno di C delimitata dalle due
* L’insieme
C si chiama insieme di Cantor.
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
327
rette e contenente γi e γ j ). Mostrare che
2
= sin αi j ≤ αi j ,
∥Pi − P j ∥
e che 0 < αi j < π2 .
(iii) Per ogni i < j, la regione Γi j ∖ {Qi j } ha due componenti, una che conj
tiene γi e una che contiene γ j . D’ora in avanti chiamiamole Γii j e Γi j
rispettivamente.
j
(iv) Se Γii j e Γi j sono le regioni definite come nel punto precedente, siano
j
bi j e ci j le lunghezze degli archi Γii j ∩ C e Γi j ∩ C rispettivamente. Allora
bi j + ci j = 4αi j R .
(v) Per ogni punto X di C, esistono al più n − 1 coppie di interi (i, j ) (con
∑
i < j) tali che X ∈ Γi j . Dunque i< j bi j + ci j < (n − 1)2πR.
(vi) Dedurre che
∑
i< j
4
≤ (n − 1)π .
∥Pi − P j ∥
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
328
#C.
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
ESERCIZI DATI AI GRUPPI
O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.
óóóó—óóóóóó óóó—óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)
—
Il binomio di Newton è bello come la venere di Milo.
Peccato che pochi se ne accorgano.
óóóó—óóóóóó óóó—óóóóóóó óóóóóóóó
(Il vento là fuori.)
Poesias de Álvaro de Campos (1935)
Fernando Pessoa (1888–1935)
n
(a + b) =
n ( )
∑
n
k=0
k
ak bn−k
330
Bibliografia
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI
Testi consigliati
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Complementi
[11] M. Conti, D.L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini: Analisi matematica, Vol I, dal calcolo all’analisi,
Apogeo, 2006.
[12] V. Barutello, M. Conti, D.L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini: Analisi matematica, Vol II, con
elementi di geometria e calcolo vettoriale, Apogeo, 2008.
Approfondimenti
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[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
INDICE ANALITICO
A
accumulazione
punto di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
affine
spazio: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
affinità: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
allineati
punti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
alternante: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
angoli: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
aperta
funzione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
aperti
di una topologia: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
disgiunti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
aperto
di uno spazio metrico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
arco: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
area: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
assioma
delle parallele: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
assiomatica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
assiomi
del campo dei numeri reali: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
di gruppo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
di Kuratowski: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
di una topologia: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
associativa
operazione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
automorfismo
affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
azione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
antipodale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
di gruppi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
di un gruppo topologico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114, 129
fedele: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
transitiva: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
B
base
baricentro: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
di una topologia: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Bolzano-Weierstrass: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
bottiglia
di Klein: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
C
cammino: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
campo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
degli scalari: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
dei coefficienti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
ordinato: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Cantor, G.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
carta affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Cauchy
successione di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Cauchy-Schwartz: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Chasles, M.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
chiusa
funzione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
chiusi
insieme dei: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
chiuso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
di uno spazio topologico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
e limitato: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
insieme: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
chiusura: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14, 20
dei razionali in R: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
di un sottogruppo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
proiettiva: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
classi di equivalenza: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
clopen: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
cofattori
di una matrice: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
compattezza
degli intervalli chiusi di R: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
degli spazi proiettivi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
compatto
insieme di R: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
per successioni: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
spazio topologico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
complementare: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
di un aperto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
di un chiuso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
complemento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
complemento ortogonale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
completezza: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
(non) dei numeri razionali: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
dei numeri reali: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
di Dedekind: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
componenti
connesse: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88, 98
componenti connesse: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
composizione
di funzioni continue: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
331
332
INDICE ANALITICO
congiunzione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
connessione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
degli intervalli: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
dei numeri razionali: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
di Rn : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
connessione per archi
degli aperti connessi di Rn : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
di uno spazio connesso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
connesso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
per archi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
connettivi logici: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
continuità: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6, 51
di funzioni su spazi metrici:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
di una funzione tra spazi topologici: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
continuum: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
contrimmagine
di aperti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
controimmagine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
di un chiuso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
di un intorno circolare: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
di un sottospazio affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
convergenza puntuale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54, 55
coordinate baricentriche: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
coordinate omogenee: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
coppie ordinate: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
cubo di Hilbert: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
D
denso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Dedekind: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46, 95
determinante: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
dimensione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
dimostrazione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
dipendenti
punti di uno spazio affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
disgiunzione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
esclusiva: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
distanza: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
di un punto da un sottoinsieme: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
minima da un piano: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
disuguaglianza
triangolare: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
disuguaglianza triangolare: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
E
enunciato: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
elemento neutro: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
proprietà di un: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
equazione
omogenea: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
omogeneizzata: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
equazioni
cartesiane: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
parametriche: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
equivalenti
metriche: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
equivalenza
proiettiva: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
relazione di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Erlangen
programma di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
espressioni
equivalenti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
logiche: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
estremo
inferiore: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58, 83
inferiore delle distanza: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
superiore: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58, 83
Euclide
quinto postulato: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Eulero: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
F
forma bilineare: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
fibrazione di Hopf: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
formula
di Grassmann: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
formula del parallelogramma: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
funzione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
aperta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
caratteristica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
chiusa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
continua: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6, 20
Gdi un sottospazio affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
giacitura: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Grassmann: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
formula di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Grundlagen der Geometrie:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48
gruppo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
delle rotazioni del piano: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
delle rotazioni dello spazio: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
delle simmetrie di un quadrato: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
lineare: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105, 123
ortogonale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
speciale ortogonale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
topologico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103, 129
gruppo delle traslazioni: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
H
Heine-Borel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Hausdorff: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
I
identificazione
di punti in uno spazio topologico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
identità di Eulero: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
immagine
di un compatto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45, 50
di un connesso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
di un intervallo chiuso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
di una rette con una mappa affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
implicazione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
doppia: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
incidenti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
indipendenti
punti di uno spazio affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
indotta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
insieme: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
aperto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
chiuso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
dei laterali: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
delle parti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
vuoto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4, 8
insieme quoziente: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
insiemi
complemento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
333
INDICE ANALITICO
disgiunti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
inclusionedi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
intersezione di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
prodotto cartesiano: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
unione di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
interno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
intersezione
di aperti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
di insiemi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
di intorni: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
di rette proiettive: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
finita:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
intervalli
connessione degli: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
nella retta reale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
intervallo
di razionali: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
in un insieme ordinato:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82
semiaperto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
intorni
circolari, base: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
intorno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
circolare: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
in uno spazio topologico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
inversione
in un gruppo topologico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
involuzione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
iperpiani affini: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
iperpiano
dei punti impropri: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
proiettivo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
isometria: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
come trasformazione affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
isomorfismo
affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
proiettivo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
K
Königsberg (i sette ponti di): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Klein: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
bottiglia di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Kuratowski: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
L di un sottogruppo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123, 124
laterali
lineare
funzione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
linearmente dipendenti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
logica
bivalente: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
dei predicati: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
M
nastro di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36, 76
Möbius
maggiorante: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
mappa
affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
diagonale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
tra spazi topologici: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
mappa di Hopf: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
massimo
di una funzione continua: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45, 69
matrici
invertibili: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
metrica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
p-adica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
discreta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
esempi di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
euclidea: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
prodotto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
metriche
equivalenti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
metrizzabile: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48, 58
spazio topologico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
minimo
di una funzione continua: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45, 69
minorante: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Ndi Möbius: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36, 76
nastro
negazione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
norma: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
numeri reali: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
numero di Lebesgue: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
O
operazione
omeomorfismo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
binaria: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
orbita: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
orecchini
delle Hawaii: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43, 79
ortogonali: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
ortonormale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
P
parallela: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134, 142
palla: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
paralleli
sottospazi affini: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
parallelogramma
formula del: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
parte
affine di un sottospazio proiettivo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
parti
insieme delle: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
partizione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
piano
affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
proiettivo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
proiettivo reale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
piano proiettivo:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39, 76
postulati: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
preordine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
prodotto
cartesiano di insiemi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
di matrici: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
di spazi connessi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
di spazi metrici: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
in un gruppo topologico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
prodotto scalare: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
proiettività: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
proiettivizzato: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
proiezione
di uno spazio affine su un sottospazio: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30
334
INDICE ANALITICO
ortogonale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
prospettica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210, 216
stereografica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
sullo spazio delle orbite: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
sullo spazio quoziente: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
proiezione sul quoziente: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
proiezioni: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
proposizione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
punti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
all’infinito di uno spazio proiettivo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
di uno spazio affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
di uno spazio proiettivo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
impropri di uno spazio proiettivo:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .203
punto
di accumulazione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13, 20
di uno spazio metrico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
interno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6, 20
limite: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13, 20
medio: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Q
quantificatore
quadrato magico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
esistenziale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
univerale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
quantificatori: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
quaternioni: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
quinto postulato di Euclide: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
R
ratio: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
rapporto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134, 135, 170
relazione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
di equivalenza: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 100
restrizione
di funzioni: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
reticolo
degli interi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
retrazione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
retta
affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
rette
parallele: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
proiettive: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
riferimento
affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
ortonormale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
riflessione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
parallela ad un sottospazio affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
riflessioni
lungo rette: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
riflessiva: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
rotazioni
gruppo delle: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Russell, B.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
S
segmento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150, 168
scalari: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
sezioni
di Dedekind: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
sfera: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
di dimensione 0: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
sghembi:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162
simboli
primitivi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
similitudine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
simmetrie di oggetti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
sottogruppo
di un gruppo topologico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
sottoinsieme: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
chiuso di un compatto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
compatto di uno spazio di Hausdorff: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
sottoinsiemi
di uno spazio topologico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
sottospazi
euclidei ortogonali: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
incidenti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
sottospazi affini
sghembi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
sottospazio
affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
affine generato da punti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
affine, paralello e passante per un punto: . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
proiettivo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
proiettivo generato da punti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206, 216
sottosuccessione
convergente: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
di una successione convergente: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
spazi
omeomorfi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
spazi di funzioni: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
spazio
affine euclideo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
delle orbite: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
di Hausdorff: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
di identificazione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
metrico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
metrizzabile:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48
omogeneo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113, 124
proiettivo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
quoziente: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
topologico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
vettoriale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
vettoriale euclideo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
spazio affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
spazio metrico
completo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
spazio vettoriale
euclideo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
stabilizzatore: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
successione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
convergente: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
convergente in uno spazio metrico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
di Cauchy: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45, 71, 72
supporto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
T
teorema
tautologie: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
del valore intermedio: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
di Bolzano-Weierstrass: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
di Heine-Borel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67, 69
di Tychonoff: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
topologia
banale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
definizione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
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335
INDICE ANALITICO
dei complementi finiti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
di uno spazio affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
di uno spazio metrico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
discreta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
generata dalla base: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
indotta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
metrica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
prodotto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
quoziente: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
toro: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38, 76, 115
totale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
totalmente disconnesso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
transitiva: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
trasformazione
affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
traslazioni: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
insieme delle: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Tychonoff
teorema di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Udel limite: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
unicità
della parallela per un punto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
unione
di insiemi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
di una famiglia di intorni circolari: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
V
valutazione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
valore di verità: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
variabili: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
verità
tabelle di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
valori di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
vettori affini: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
vettori ortogonali
indipendenza lineare dei: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
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