Guida per gli insegnanti

Antonino Giambò – Roberto Giambò
MATEMATICA
per le scuole superiori.
Integrazione al primo biennio.
PER L’INSEGNANTE
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
2
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
Sommario
CONSIDERAZIONI GENERALI
5
1. La struttura dell’opera.
2. Risultati attesi e competenze.
DISAMINA DEI MODULI
13
1. Modulo 1 – Complementi di geometria.
U1 : Poligoni inscrivibili e circoscrivibili.
U2 : Solidi geometrici: aree e volumi.
U3 : Rappresentazione di figure solide.
14
2. Modulo 2 – Similitudini nel piano.
U1 : Omotetie e similitudini nel piano.
U2 : Applicazioni della similitudine.
20
3. Modulo 3 – Funzioni circolari.
U1 : Funzioni circolari e applicazioni.
35
4. Modulo 4 – Vettori e matrici.
U1 : Nozioni di calcolo vettoriale.
U2 : Elementi di calcolo matriciale.
42
5. Modulo 5 – Algoritmi e calcolabilità.
U1 : Algoritmo. Funzioni calcolabili.
49
3
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Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
CONSIDERAZIONI
GENERALI
5
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
1. LA STRUTTURA DELL’OPERA.
M3
M4
M5
6
x
x
x
x
x
x
Licei Classico,
Linguistico,
Musicale e
Coreutico,
delle Scienze
Umane
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
L.Artistico
L.Scientifico–
opzione scienze
applicate
L.Scientifico
x
Ist. Profess.
M2
U1
U2
U3
U1
U2
U1
U1
U2
U1
Ist. Tecnico
M1
Unità
Modulo
1.1 Le considerazioni che ci accingiamo a fare riguardano il seguente testo:
MATEMATICA PER LA SCUOLA SUPERIORE, volume 2A.
Ha come sottotitolo: Integrazione al primo biennio.
In effetti questo testo integra i primi due volumi 1 e 2 ed è rivolto agli
studenti del primo biennio, ma con qualche distinguo.
Di fatto le “Indicazioni Nazionali” per i Licei e le “Linee Guida” sia per gli
Istituti Tecnici sia per gli Istituti Professionali collocano nel primo biennio
di alcune scuole, non di tutte, i contenuti sviluppati in questo testo.
Ma, detto con estrema franchezza, c’è il rischio concreto che tali contenuti
non possano essere svolti nel primo biennio o almeno non completamente e
non in tutte le scuole in cui ciò è previsto. È infatti assai probabile che
qualche modulo debba essere rinviato al secondo biennio.
Sulle scelte dei moduli che eventualmente vanno spostati deciderà
ovviamente il docente, ma sarebbe cosa buona e opportuna che egli
coordinasse la sua azione programmatica con quella dei colleghi interessati.
Quali moduli o unità debbano essere svolti ed a chi essi siano rivolti sarà
meglio puntualizzato di volta in volta man mano che saranno illustrati i
moduli medesimi in questa guida. Ma fin d’ora forniamo una tabella
orientativa, per l’uso che il docente ne vorrà fare, riguardo a ciò che
dovrebbe essere svolto nel 1° biennio, in base alle Indicazioni Nazionali ed
alle Linee Guida.
VOLUME 2A
x
x
x
x
x
x
x
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
1.2 Adesso, ma in linea con quanto sopra esposto, riteniamo necessarie
alcune considerazioni riguardanti certi contenuti sviluppati nei primi due
volumi:
a) La prima concerne il volume 1, modulo 2, unità 2: “Divisione dei
polinomi. Fattorizzazione”.
Per i Licei non scientifici lo studio di questa unità è consigliato dalle
“Indicazioni Nazionali” nel 2° biennio. Può darsi però che qualche
situazione particolare ne suggerisca l’anticipazione al primo. Il docente ne
tenga conto.
b) La seconda considerazione riguarda il volume 2, modulo 1, unità 2:
“Nozioni di combinatoria”.
Tale unità non è esplicitamene prevista nel primo biennio, ma lo è nel
secondo. Riteniamo tuttavia che, qualora fosse possibile, anche nel primo
biennio non sarebbe male un cenno agli argomenti che essa propone, per
approfondirli poi nel secondo biennio, quando comunque li riprenderemo
diffusamente.
c) La terza ed ultima considerazione riguarda il volume 2, modulo 6
“Equazioni, disequazioni, sistemi e problemi di 2° grado”.
È molto probabile che nei Licei non scientifici lo sviluppo di questo modulo
sia rimandato al secondo biennio, come d’altro canto suggeriscono le
“Indicazioni Nazionali”. È necessario in tal caso tenerlo ben presente tutte le
volte che gli studenti sono chiamati a risolvere problemi che si traducono in
equazioni. Può presentarsi il caso che l’equazione risolvente sia di 2° grado.
Se così è, il problema deve essere provvisoriamente accantonato. Ci si
ritornerà sopra eventualmente dopo lo studio delle equazioni di secondo
grado. Naturalmente questo, cioè il fatto che la risolvente sia un’equazione
di 2° grado, non si sa prima di impostare il problema, ma solo nel momento
in cui si perviene appunto alla sua equazione risolvente. Il docente deve
avere allora l’accortezza di avvertire preventivamente gli studenti di
questa eventualità, senza preoccuparsi di scartare a priori quei
problemi la cui risolvente fosse un’equazione di 2° grado. Anzi questo
potrà costituire una valida motivazione per uno studio generale di
quelle equazioni, ovviamente a tempo e luogo. Cosa che peraltro noi
abbiamo fatto quando abbiamo introdotto quello studio.
1.3 Il testo si articola come i due precedenti volumi 1 e 2, per cui non
abbiamo nulla da aggiungere a quanto già esposto nella guida relativa a tali
volumi. Salvo per informare che continueremo a denominare “Numeri e
algoritmi” il nucleo tematico che le “Indicazioni Nazionali” e le “Linee
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Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
Guida” chiamano “Aritmetica e algebra” e “Spazio e figure” quello che
chiamano “Geometria”. Ci pare che questa denominazione sia più adeguata,
anche per la continuità con la scuola secondaria di 1° grado. Ma va bene lo
stesso se il docente ritiene più adeguata l’altra denominazione per la stesura
del proprio documento di programmazione.
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Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
2. RISULTATI ATTESI E COMPETENZE.
2.1 Com’è noto, nelle copertine dei vari moduli sono esplicitate le
“conoscenze” e “abilità” connesse ai diversi nuclei tematici. Ora, però, i
risultati di apprendimento non riguardano soltanto abilità e conoscenze, ma
anche “competenze” e non sono soltanto specifici della disciplina ma anche
di tipo generale.
Le Indicazioni Nazionali per i Licei e le Linee Guida per gli Istituti Tecnici e
quelle per gli Istituti Professionali contengono al riguardo alcune proposte,
che il docente non dovrebbe ignorare. Le esplicitiamo qui appresso, ma solo
per quanto attiene alla matematica, a completamento di quanto è stato
esposto nella guida ai primi due volumi.
 Risultati di apprendimento relativi ai percorsi liceali.
Al termine del percorso [liceale] lo studente conoscerà i concetti e i metodi elementari della matematica, sia interni alla disciplina in sé considerata, sia rilevanti per la descrizione e la previsione di semplici fenomeni, in particolare del mondo fisico. Egli
saprà inquadrare le varie teorie matematiche studiate nel contesto storico entro cui si
sono sviluppate e ne comprenderà il significato concettuale.
Lo studente avrà acquisito una visione storico-critica dei rapporti tra le tematiche
principali del pensiero matematico e il contesto filosofico, scientifico e tecnologico. In
particolare, avrà acquisito il senso e la portata dei tre principali momenti che caratterizzano la formazione del pensiero matematico: la matematica nella civiltà greca, il
calcolo infinitesimale che nasce con la rivoluzione scientifica del Seicento e che porta alla matematizzazione del mondo fisico, la svolta che prende le mosse dal razionalismo illuministico e che conduce alla formazione della matematica moderna e a
un nuovo processo di matematizzazione che investe nuovi campi (tecnologia, scienze sociali, economiche, biologiche) e che ha cambiato il volto della conoscenza
scientifica.
Di qui i gruppi di concetti e metodi di cui lo studente saprà dominare attivamente:
1) gli elementi della geometria euclidea del piano e dello spazio entro cui prendono
forma i procedimenti caratteristici del pensiero matematico (definizioni, dimostrazioni,generalizzazioni, assiomatizzazioni);
2) gli elementi del calcolo algebrico, gli elementi della geometria analitica cartesiana, le funzioni elementari dell’analisi e le prime nozioni del calcolo differenziale e
integrale;
3) un’introduzione ai concetti matematici necessari per lo studio dei fenomeni fisici,
con particolare riguardo al calcolo vettoriale e alle nozione di derivata;
4) un’introduzione ai concetti di base del calcolo delle probabilità e dell’analisi statistica;
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Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
5) il concetto di modello matematico e un’idea chiara della differenza tra la visione
della matematizzazione caratteristica della fisica classica (corrispondenza univoca tra matematica e natura) e quello della modellistica (possibilità di rappresentare la stessa classe di fenomeni mediante differenti approcci);
6) costruzione e analisi di semplici modelli matematici di classi di fenomeni, anche
utilizzando strumenti informatici per la descrizione e il calcolo;
7) una chiara visione delle caratteristiche dell’approccio assiomatico nella sua forma
moderna e delle sue specificità rispetto all’approccio assiomatico della geometria
euclidea classica;
8) una conoscenza del principio di induzione matematica e la capacità di saperlo
applicare, avendo inoltre un’idea chiara del significato filosofico di questo principio (“invarianza delle leggi del pensiero”), della sua diversità con l’induzione fisica
(“invarianza delle leggi dei fenomeni”) e di come esso costituisca un esempio elementare del carattere non strettamente deduttivo del ragionamento matematico.
[…]
Al termine del percorso didattico lo studente avrà approfondito i procedimenti caratteristici del pensiero matematico (definizioni, dimostrazioni, generalizzazioni, formalizzazioni), conoscerà le metodologie elementari per la costruzione di modelli matematici in casi molto semplici ma istruttivi, e saprà utilizzare strumenti informatici di
rappresentazione geometrica e di calcolo.
[…]
Gli strumenti informatici oggi disponibili offrono contesti idonei per rappresentare e
manipolare oggetti matematici. L'insegnamento della matematica offre numerose occasioni per acquisire familiarità con tali strumenti e per comprenderne il valore metodologico. Il percorso, quando ciò si rivelerà opportuno, favorirà l’uso di questi strumenti, anche in vista del loro uso per il trattamento dei dati ma, soprattutto nel contesto della problematica della rappresentazione delle figure che ha un ruolo importante
nel liceo artistico. L’uso degli strumenti informatici è una risorsa importante che sarà
introdotta in modo critico, senza creare l’illusione che essa sia un mezzo automatico
di risoluzione di problemi e senza compromettere la necessaria acquisizione di capacità di calcolo mentale.
L’ampio spettro dei contenuti che saranno affrontati dallo studente richiederà che
l’insegnante sia consapevole della necessità di un buon impiego del tempo disponibile. Ferma restando l’importanza dell’acquisizione delle tecniche, saranno evitate dispersioni in tecnicismi ripetitivi o casistiche sterili che non contribuiscono in modo
significativo alla comprensione dei problemi.
L'approfondimento degli aspetti tecnici sarà strettamente funzionale alla comprensione in profondità degli aspetti concettuali della disciplina.
L’indicazione principale è: pochi concetti e metodi fondamentali, acquisiti in
profondità.
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Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
 Risultati di apprendimento relativi ai percorsi degli istituti tecnici.
Ci limitiamo a ricordare le “competenze” che l’alunno deve acquisire alla
fine del primo biennio:
- utilizzare le tecniche e le procedure del calcolo aritmetico ed algebrico rappresentandole anche sotto forma grafica;
- confrontare ed analizzare figure geometriche, individuando invarianti e relazioni;
- individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi;
- analizzare dati e interpretarli sviluppando deduzioni e ragionamenti sugli stessi
anche con l’ausilio di rappresentazioni grafiche, usando consapevolmente gli
strumenti di calcolo e le potenzialità offerte da applicazioni specifiche di tipo informatico .
Per quanto riguarda invece il secondo biennio ed il V anno, ce ne
occuperemo nella “guida” relativa a quelle classi.
 Risultati di apprendimento degli istituti professionali.
Esattamente come per gli istituti tecnici.
2.2 Ribadiamo che le competenze matematiche, assieme a quelle
caratteristiche di altre discipline, non si conquistano all’improvviso, ma
maturano, attraverso un processo lento e graduale, nell’arco degli studi. Esse
faranno registrare una qualche maturazione in parte alla fine del 1° biennio
(che peraltro chiude l’obbligo scolastico) e in parte alla fine del 2°, ma il
loro completo raggiungimento dovrà verificarsi entro la fine del 5° anno. O,
perlomeno, questa è la speranza, che spesso purtroppo è poi delusa dalle
risultanze. Sarà compito dell’insegnante far sì che le cose s’indirizzino nel
giusto verso. In questa guida, come nelle altre, noi faremo del nostro meglio
per dargli una mano.
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Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
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DISAMINA DEI MODULI
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Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
1. Modulo 1 – Complementi di geometria.
Il modulo comprende 3 unità: Poligoni inscrivibili e circoscrivibili (V2AM1-U1), Solidi geometrici: aree e volumi (V2A-M1-U2), Rappresentazione di
figure solide (V2A-M1-U3).
La prima unità riguarda tutte le scuole, la seconda solamente gli Istituti
Tecnici e gli Istituti Professionali, la terza i soli Licei Artistici.
1.1 U1 – Poligoni inscrivibili e circoscrivibili (V2A-M1-U1).
1.1.1 L’unità svolge alcune considerazioni sui poligoni inscrivibili e
circoscrivibili, come continuazione naturale dello studio delle “proprietà
fondamentali della circonferenza” già avviato nel volume 2. Si tratta di
nozioni elementari che tutti gli studenti dovrebbero conoscere, ma il docente
può scegliere di soffermarsi di più o di meno sulle dimostrazioni. Per
esempio, se in un liceo scientifico è opportuno proporre le dimostrazioni
complete dei teoremi 1.2.1 e 1.2.2 sui quadrilateri, invece nelle altre scuole
ci si può limitare alla dimostrazione delle sole condizioni necessarie. Fermo
restando, ovviamente, che gli studenti devono sapere che la condizione è
necessaria e sufficiente.
1.1.2 Gli esercizi proposti sono per lo più di routine e non richiedono
particolari interventi chiarificatori. Uno di essi, tuttavia, presenta un alto
coefficiente di difficoltà. Il docente giudicherà se sia opportuno o meno
assegnarlo ai suoi alunni (eventualmente solo a qualcuno di loro). Noi
comunque ne proponiamo la risoluzione.
Esercizio n. 22:
Sia ABC un qualsiasi triangolo e siano P, Q, R tre punti arbitrari presi
internamente ai lati BC, CA, AB nell’ordine. Dimostrare che le tre
circonferenze passanti per i punti (A,R,Q), (B,P,R), (C,Q,P) hanno un punto
in comune.
RISOLUZIONE.
Considerato il triangolo ABC ed i punti P, Q, R, presi internamente ai lati
BC, CA, AB nell’ordine, disegniamo la circonferenza passante per i punti
A,R,Q e quella passante per i punti B,P,R. Si presentano due situazioni, a
seconda che esse risultino tangenti (in R – Fig. 1) o secanti (in R ed in un
altro punto O – Fig. 2).
Nel primo caso, il triangolo ARQ è evidentemente rettangolo in Q ed il
triangolo BPR è rettangolo in P. Ne consegue che il quadrilatero CQRP ha
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Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
gli angoli in Q e in P retti e pertanto è inscrivibile in una circonferenza.
D’altronde questa circonferenza è proprio quella che passa per i punti C,Q,P
e di conseguenza la proprietà è dimostrata.
Nel secondo caso, consideriamo i due quadrilateri AROQ e BPOR, inscritti
nelle due circonferenze prese in esame e ragioniamo anche sul quadrilatero
CQOP. L’angolo AR̂O è uguale all’angolo CQ̂O poiché entrambi sono
supplementari dell’angolo OQ̂A ; parimenti l’angolo OR̂B è uguale
all’angolo OP̂C poiché entrambi sono supplementari dell’angolo BP̂O .
D’altro canto, gli angoli AR̂O e OR̂B sono supplementari. Di conseguenza,
anche gli angoli CQ̂O e OP̂C sono supplementari e, quindi, il quadrilatero
CQOP è inscrivibile in una circonferenza. Siccome questa circonferenza è
proprio quella che passa per i punti C,Q,P, la proprietà è dimostrata.
FIG. 1
FIG. 2
1.2 U2 – Solidi geometrici: aree e volumi (V2A-M1-U2).
1.2.1 L’argomento è sviluppato nelle sue linee essenziali, in chiave
prevalentemente nozionistica e con molti buchi sul piano del rigore logico.
Cosa questa inevitabile dal momento che manca la teoria di base relativa a
“rette e piani nello spazio”, su cui ritorneremo nella prosecuzione degli
studi. Qui ciò che ci interessa è fornire, anche senza dimostrazione, le
formule dei principali solidi geometrici (sostanzialmente prisma, piramide,
cilindro, cono, sfera), per utilizzarle in qualche semplice applicazione.
Gli esercizi, pur nell’inevitabile complessità dei calcoli (almeno per alcuni),
non presentano difficoltà insormontabili. Basta prestare un minimo di
attenzione. Non sono in numero elevato, ma quelli che ci sono bastano per le
esigenze del momento.
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Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
Non abbiamo proposto esercizi banali del tipo “il raggio di base e l’altezza
di un cono misurano questo e quest’altro. Calcola il volume del cono”. Se
tuttavia il docente ritiene che sia opportuno proporne qualcuno ai suoi alunni
lo può elaborare da sé.
Vogliamo spendere qualche parola sugli esercizi proposti nel paragrafo n.
2.1.6:
1) Ammesso che una piramide abbia n vertici, qual è il numero delle sue
facce? Quale il numero dei suoi spigoli?
2) Ammesso che un prisma abbia n vertici, qual è il numero delle sue facce?
Quale il numero dei suoi spigoli?
3) Se una piramide e un prisma hanno lo stesso numero di vertici, quale
relazione sussiste fra i numeri delle loro facce? Quale relazione fra i
numeri dei loro spigoli?
RISOLUZIONE.
Con riferimento all’esercizio 1), è evidente che, se la piramide ha n vertici,
deve essere n4. Considerato poi che uno di essi è il vertice propriamente
detto, la base ha n-1 vertici. Essa ha pertanto n-1 facce laterali ed n-1 spigoli
laterali. Il numero complessivo delle sue facce è pertanto n ed il numero dei
suoi spigoli è 2(n-1). È facile controllare che è verificata la relazione di
Eulero.
Riguardo al punto 2), intanto è evidente che n deve essere un numero pari
n
3
non minore di 6. Si trova poi facilmente che il prisma ha  2 facce e n
2
2
spigoli ed anche adesso è verificata la relazione di Eulero..
In merito al punto 3), teniamo presenti i risultati dei due precedenti punti 1)
e 2) e ammettiamo che sia n il numero dei vertici sia della piramide sia del
prisma, tenendo ovviamente presente che n è un numero pari non minore di
6.
Per confrontare i numeri delle facce dei due poliedri, calcoliamo la
differenza fra il numero F’ delle facce della piramide (F’= n) e il numero
n
n
 n4
F”delle facce del prima (F”=  2 ). Si ha: F'F"  n    2  
e
2
2
2

pertanto, giacché n6, è F’>F”: la piramide ha un numero di facce maggiore
di quello del prisma.
Ragionando allo stesso modo sul numero degli spigoli, si trova che anche in
questo caso la piramide ne ha, in ogni caso, più del prisma.
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Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
1.3 U3 – Rappresentazione di figure solide (V2A-M1-U3).
L’argomento, per quanto concerne il primo paragrafo, è sviluppato a livelli
minimi: introduzione di un riferimento cartesiano e rappresentazione di un
punto su di esso. L’argomento sarà ripreso e per alcuni aspetti approfondito
nel corso dell’ultima classe.
Nel secondo paragrafo sono delineate alcune proprietà elementari di due
metodi di rappresentazione piana delle figure tridimensionali: il metodo
delle proiezioni ortogonali e quello delle proiezioni assonometriche. La
finalità di questo studio è di dare agli studenti una qualche idea dei metodi
suddetti, evidenziandone il legame forte con la geometria, e in particolare
con la geometria solida. L’argomento, peraltro, è oggetto di studio nella
materia “Discipline Geometriche”. Di un terzo metodo di rappresentazione,
la prospettiva, le “Indicazioni Nazionali” suggeriscono di affrontarlo nel
corso del 2° biennio.
Gli argomenti affrontati sono sviluppati in modo superficiale, da una parte
perché, come abbiamo detto, sono oggetto di studio di discipline tecniche in
cui è possibile un maggior approfondimento, dall’altra poiché la finalità di
questo studio è semplicemente quella di far cogliere allo studente lo stretto
legame che sussiste fra la geometria e alcune discipline “professionali”.
1.4 Test d’uscita.
NOTA 1. Saranno presi in considerazione solo i quesiti che interessano.
NOTA 2. Non ci sono quesiti sull’unità U3.
Per ciascun quesito la risposta deve essere articolata in un numero massimo
di righe indicato di volta in volta.
1.
Di un quadrilatero si sa che è un parallelogramma inscritto in una
circonferenza. È forse un parallelogramma particolare? (Max righe: 4;
più eventuale figura)
2.
Di un quadrilatero si sa che è un parallelogramma circoscritto ad una
circonferenza. È forse un parallelogramma particolare? (Max righe: 4;
più eventuale figura)
3.
È assegnato il triangolo ABC, rettangolo in A. Preso un punto P
qualsiasi, internamente al cateto AB, si traccino la circonferenza di
diametro AP e quella di diametro PB e si dica Q il punto in cui la
seconda interseca ulteriormente l’ipotenusa BC. Dimostrare che il
quadrilatero APQC è inscrivibile in un cerchio (Max righe: 3; più
eventuale figura).
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Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
4.
Considerato un triangolo ABC, si chiami D la proiezione di A sulla
retta BC ed E quella di B sulla retta AC. Dopo aver giustificato che le
due rette AD e BE si secano in un punto F, dimostrare che il
quadrilatero CEFD è inscrivibile in un cerchio. (Max righe: 6; più
eventuale figura)
5.
Il trapezio ABCD, di basi AB e DC, è circoscritto ad un cerchio di
centro O. Dimostrare che i due triangoli AOD e BOC sono entrambi
rettangoli in O. (Max righe: 6; più eventuale figura)
6.
Nella figura sottostante il rettangolo ABCD è inscritto nel quadrante di
cerchio di centro A. Rispetto ad una medesima unità di misura, i
segmenti AB e BE misurano rispettivamente 3 e 2.
La misura di BD è:
[A] 15;
[B] 4 ;
[C] 5 ;
[D] 6 .
Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire un’esauriente
spiegazione della scelta operata. (Max righe: 2)
7.
Si considerino un triangolo equilatero inscritto in un cerchio e un
triangolo equilatero circoscritto allo stesso cerchio. Risulta che:
[A] il lato del triangolo inscritto e quello del triangolo circoscritto
sono due grandezze commensurabili;
[B] il lato del triangolo inscritto e quello del triangolo circoscritto
sono due grandezze incommensurabili;
[C] non si può concludere alcunché circa la commensurabilità o
meno dei lati dei due triangoli.
Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire un’esauriente
spiegazione della scelta operata. (Max righe: 6; più eventuale figura)
8.
Le bisettrici degli angoli interni di un poligono passano per uno stesso
punto.
[A] Il poligono è certamente un triangolo o un rombo.
[B] Il poligono è certamente inscrivibile in un cerchio.
[C] Il poligono è certamente circoscrivibile ad un cerchio.
[D] Le alternative precedenti sono tutte e tre false.
18
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire un’esauriente
spiegazione della scelta operata. (Max righe: 4)
9.
Il minimo numero di facce di un poliedro è:
[A] 3 ;
[B] 4 ;
[C] 5 ;
[D] 6 .
Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire un’esauriente
spiegazione della scelta operata. (Max righe: 2)
10.
Un prisma si dice retto:
[A] se gli spigoli laterali sono paralleli fra loro;
[B] se gli spigoli laterali sono perpendicolari alle basi;
[C] se la sua altezza è perpendicolare alle basi;
[D] se sono soddisfatte condizioni diverse dalle precedenti.
Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire un’esauriente
spiegazione della scelta operata. (Max righe: 2)
11.
In ogni piramide retta:
[A] gli spigoli laterali sono congruenti;
[B] le facce laterali sono equivalenti;
[C] sono congruenti le altezze delle facce laterali relative agli spigoli
di base;
[D] la base è un poligono inscrivibile in un cerchio.
Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire un’esauriente
spiegazione della scelta operata. (Max righe: 2)
12.
Se due prismi sono equivalenti allora:
[A] le loro basi sono equivalenti;
[B] le loro altezze sono uguali;
[C] le loro basi sono direttamente proporzionali alle loro altezze;
[D] le loro basi sono inversamente proporzionali alle loro altezze.
Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire un’esauriente
spiegazione della scelta operata. (Max righe: 3)
13.
Il volume di un tetraedro regolare di spigolo s è uguale a:
1
2 3
2 3
6 3
[A]
[D]
s ; [B]
s ; [C] s 3 ;
s .
6
12
4
12
Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire un’esauriente
spiegazione della scelta operata. (Max righe: 8 più eventuale figura)
19
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
2. Modulo 2 – Similitudini nel piano.
Il modulo comprende 2 unità: Omotetie e similitudini nel piano (V2A-M2U1) e Applicazioni della similitudine (V2A-M2-U2).
Entrambe le unità sono rivolte a tutte le scuole.
2.1 U1 – Omotetie e similitudini nel piano (V2A-M2-U1).
2.1.1 Il teorema di Talete svolge un ruolo importante già nello studio
dell’argomento “vettori e/o rette nel piano cartesiano”, sviluppato nel
volume 2, almeno nella sua formulazione particolare, che a suo tempo
abbiamo chiamato “proprietà del rapporto”. Si rivela decisivo quando si
affrontano le similitudini.
Per questo motivo ne abbiamo fornito l’enunciato e la dimostrazione e fatto
vedere qualche semplice applicazione. Ma, mentre dell’enunciato è
opportuno che abbiano consapevolezza tutti gli studenti, sulla dimostrazione
deciderà il docente se sia il caso di soffermarsi o no. Secondo noi sarebbe
opportuno proporla agli studenti del liceo scientifico.
2.1.2 La similitudine è introdotta attraverso l’omotetia, come trasformazione
che generalizza l’isometria e l’omotetia medesima.
L’omotetia, a sua volta, è studiata per mezzo delle sue equazioni. La cosa è
abbastanza agevole e non comporta insidie di sorta. Ad ogni buon conto,
consigliamo di riprendere in via preliminare, le equazioni dell’identità e
della simmetria centrale: questo con lo scopo di introdurre l’alunno
all’argomento.
Una precisazione: abbiamo usato l’attributo “indiretta”, invece di “inversa”,
per definire l’omotetia nel caso in cui la sua caratteristica k è negativa, per
non creare confusione con la situazione in cui, considerata l’omotetia  che
trasforma P in P’, si chiama appunto “inversa” di  l’omotetia -1 che porta
P’ in P. Analogamente per distinguere tra similitudine “diretta” e
similitudine “speculare”.
Questo sviluppo riprende quasi interamente l’articolo di Antonino Giambò,
Similitudini piane, pubblicato dalla rivista Archimede, Firenze, Le Monnier,
1990, n. 2, e segnalato dalla rivista in rete MathSciNet.
2.1.3 Per agevolare lo studio delle figure simili sono introdotti i criteri di
similitudine dei triangoli. Può sembrare un ritorno ad un modo più
tradizionale di sviluppare l’argomento. In parte è così, lo riconosciamo, ma
soprattutto tali criteri costituiscono uno strumento che si affianca alle
20
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
proprietà invarianti della similitudine per il controllo della similitudine,
appunto, di due figure piane. Ed è uno strumento che spesso è più
conveniente dell’altro.
Gli esercizi proposti non richiedono particolari accorgimenti, ma solo un po’
di riflessione ed attenzione, oltre ad una buona conoscenza dell’argomento, a
parte alcuni di essi, dei quali andiamo ad occuparci, incominciando con
l’esercizio che conclude il paragrafo n. 1.6.2, prima di passare ad alcuni
problemi proposti nella sezione “verifiche”.
 Esercizio in 1.6.2, c):
È dato il parallelogramma ABCD, la cui diagonale minore AC è
perpendicolare ai lati paralleli AB e CD. Indicate con E ed F le proiezioni
ortogonali dei vertici A e C rispettivamente sulla diagonale BD, dimostrare
che il quadrilatero AECF è un parallelogramma simile a quello dato.
RISOLUZIONE (traccia).
Sia ABCD il parallelogramma, in cui la diagonale minore AC è
perpendicolare ai lati AB e CD, e siano E ed F le proiezioni ortogonali dei
vertici A e C sulla diagonale maggiore BD. Sia inoltre O il punto d’incontro
delle diagonali. (Si suggerisce di disegnare la figura)
Si dimostra anzitutto che il quadrilatero AECF è un parallologramma. Si può
fare in più modi.
Ad esempio, anche facendo vedere che il punto O, il quale biseca certamente
la diagonale AC, biseca pure la diagonale EF. È sufficiente dimostrare che i
due triangoli rettangoli OEA e OFC sono congruenti.
Bisogna provare quindi che i parallelogrammi ABCD ed AECF sono simili e
per questo basta dimostrare che vale la proporzione AD:AF=AB:AE e che
gli angoli AB̂C ed EÂF sono congruenti.
Riguardo alla proporzione si inizia a ragionare sui triangoli simili OAB ed
OEA. Da questa similitudine si ottiene la seguente catena di proporzioni:
OB:OA=OA:OE=AB:AE (e si ottiene pure che AB̂O  EÂO ). D’altro
canto, siccome OD=OB ed OF=OE, risulta pure che OD:OA=OA:OF. Se ne
desume che anche i triangoli ODA ed OAF, i quali hanno l’angolo in O in
comune, sono simili e, di conseguenza, AD:AF=OA:OF (e pure
OD̂A  OÂF ). Siccome OE=OF si ha anche: AD:AF=OA:OE. Ma, come
visto prima: OA:OE=AB:AE, per cui AD:AF=AB:AE.
Per quanto concerne la congruenza degli angoli AB̂C ed EÂF , basta tener
presente che, nel corso della precedente dimostrazione si è ottenuto che
AB̂O  EÂO ed OD̂A  OÂF . D'altro canto OD̂A  OB̂C , per cui anche
OB̂C  OÂF . Ne consegue che AB̂O  OB̂C  EÂO  OÂF , vale a dire
21
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
AB̂C  EÂF .
 Problema n. 24:
Considerato un triangolo ABC, acutangolo e isoscele sulla base BC, si
prenda un qualsiasi punto D[AB] e si costruisca il triangolo ECD, isoscele
sulla base CD e simile al triangolo ABC, in modo che il punto E stia dalla
stessa parte di A rispetto a BC. Detto O il punto intersezione dei segmenti
AC e DE, si dimostri che:
1) i triangoli EOC ed AOD sono simili e, di conseguenza, che lo sono pure i
triangoli EOA e COD;
2) il punto E si trova sulla parallela a BC condotta per A;
3) il quadrilatero ADCE è inscrivibile in un cerchio.
RISOLUZIONE.
1) Ci riferiamo alla figura 3. Il triangolo EOC è simile al triangolo AOD
giacché i due triangoli hanno congruenti gli angoli in O (sono opposti al
vertice) e inoltre DÊC=DÂO poiché angoli al vertice di triangoli isosceli
simili. Di conseguenza EO:AO=OC:OD.
Ne consegue pure che i triangoli EOA e OCD sono simili perché hanno due
lati in proporzione e gli angoli che li comprendono congruenti. Pertanto
EÂO  OD̂C .
FIG. 3
2) L’angolo EÂO è congruente all’angolo AĈB poiché entrambi gli angoli
sono congruenti all’angolo ED̂C , perciò le rette AE e BC sono parallele.
3) Nel quadrilatero AECD risulta:
DÂC  DÊC , CÂE  ED̂C , AĈE  AD̂E , AĈD  AÊD ,
22
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
per cui:
DÂC  CÂE  AĈE  AĈD  DÊC  ED̂C  AD̂E  AÊD
o anche:
DÂC  CÂE  AĈE  AĈD  AD̂E  ED̂C  AÊD  DÊC ,
cioè:
DÂE  AÊC  AD̂C  AÊC .
Di conseguenza il quadrilatero è inscrivibile in un cerchio.

 
 
 

 Problema n. 25:
Si consideri la seguente proposizione: “In ogni triangolo isoscele la somma
delle distanze di un punto della base dai due lati uguali è costante”. Si dica
se è vera o falsa e si motivi esaurientemente la risposta.
[Tratto dall’esame di Stato 2007, indirizzo sperimentale, sessione suppletiva.]
RISOLUZIONE.
Indicato con ABC il triangolo isoscele sulla base BC, si chiami P un
qualsiasi punto di questa base e siano M ed N le proiezioni ortogonali di P
rispettivamente sui lati AB e AC. Chiamato H il punto medio di BC, dalla
MP AH

similitudine dei triangoli AHB e PMB segue:
, mentre da quella
BP AB
NP PC
AH

 BP
dei triangoli AHC e PNC segue:
. Si ha, pertanto: MP 
AH AC
AB
AH
 PC , da cui, dopo qualche altra considerazione, si ottiene:
e NP 
AC
AH
MP  NP 
 BC . La proposizione è dunque vera.
AB
In realtà, la risoluzione di questo problema è già stata proposta nel volume 1,
come applicazione delle aree dei poligoni ed è pure più immediata della
risoluzione precedente. Basta considerare che la somma dei triangoli APB e
APC è uguale al triangolo ABC, per cui si ha:
1
1
1
AB  MP  AC  NP  BC  AH .
2
2
2
Da qui segue subito la stessa relazione trovata prima.
AH  BC
C’è di più: siccome
è l’altezza del triangolo, relativa ad uno dei
AC
lati uguali, la somma delle distanze di P da tali lati è esattamente uguale a
questa altezza.
23
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
 Problema n. 41:
Si consideri un rettangolo, la cui dimensione maggiore è uguale ad una
lunghezza assegnata a. a) È possibile dividere il rettangolo in due rettangoli
congruenti fra loro e simili al rettangolo dato? b) È possibile dividerlo in tre
rettangoli congruenti fra loro e simili al rettangolo dato?
RISOLUZIONE.
Indichiamo con ABCD il rettangolo e sia AB il suo lato maggiore, lungo a.
a) L’unico modo di dividere il rettangolo in due rettangoli congruenti è di
condurre per il punto medio M del lato AB la parallalela MN al lato AD: i
due rettangoli, che così si ottengono, vale a dire AMND ed MBCN, sono
evidentemente congruenti. Affinché siano simili al rettangolo dato, occorre
che sia: AB : AD  AD : AM . Da qui, tenendo presente che AM è lungo a/2,
segue: AD  a 2 . Pertanto esiste una possibilità che il rettangolo dato
possa dividersi nel modo stabilito: è necessario (e sufficiente) che la sua
dimensione minore misuri a 2 .
b) Il ragionamento non differisce molto dal precedente. Si trova, a
conclusione di esso, che esiste una possibilità che il rettangolo dato possa
dividersi come stabilito: occorre, in questo caso, che la sua dimensione
minore misuri a 3 .
 Il problema n. 44 è piuttosto complesso e richiede, oltre che abilità nella
risoluzione dei problemi geometrici, anche una buona conoscenza
dell’algebra:
Il seguente problema si ispira ad un altro, proposto e risolto da Erone di
Alessandria (I-II sec. d.C.) nella sua Metrica:
Dato il triangolo rettangolo ABC, i cui cateti AB e AC misurano
rispettivamente 40 m e 30 m, determinare un punto D sul lato AB, un punto
E sul lato BC e un punto F sul lato CA, in modo che il triangolo DEF abbia
area 168 m2 ed i triangoli ADF, BED, CEF siano equivalenti.
RISOLUZIONE.
Bisogna dire che Erone si occupò del problema con riferimento ad un
triangolo generico e, quindi, più complessa ancora ne è la risoluzione
(Metrica, libro III, problema IV).
Ad ogni modo, nel caso nostro, dopo aver costatato che l’area di ognuno dei
triangoli ADF, BED, CFE è 144 m2, si suggerisce di porre DB  x e
FC  y . Si trova subito l’equazione:
(40-x) (30-y) = 300.
Per trovare la seconda equazione si suggerisce di prendere in considerazione
24
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
i due triangoli ABE e BED, aventi la stessa altezza EH, per cui si ottiene:
2 A(BED)
1
1
144
;
A(ABE)  AB  EH  AB 
 40 
2
2
x
DB
analogamente, prendendo in considerazione i due triangoli AEC e CFE,
aventi la stessa altezza EK, si trova:
2 A(CFE )
1
1
144
A(AEC)  AC  EK  AC 
 30 
;
2
2
y
FC
siccome A(ABE)+A(AEC)=A(ABC), una volta sostituito e semplificato si
ottiene per l’appunto la seconda equazione:
5
3x  4 y  xy .
12
Le due equazioni ottenute, elaborate convenientemente, portano al seguente
sistema:
3x  4 y  120

 xy  288
Dopo qualche altra considerazione, in particolare sui triangoli simili ABC e
HBE, si trovano le due soluzioni del problema:
AD1  24, BE1  22.5, AF1  12;
AD 2  16, BE 2  15, AF2  18 .
 Pure il problema n. 45 richiede una particolare attenzione:
Il seguente problema si ispira ad un altro, proposto e risolto da Luca Pacioli
(1445-1515 circa) nella sua Summa.
In un triangolo isoscele ciascuno dei lati congruenti misura 10 cm e la base
misura 12 cm. In esso sono inscritte tre circonferenze congruenti in modo
che ciascuna sia tangente a due lati del triangolo ed una di esse sia tangente
alle altre due. Determinare il raggio delle circonferenze.
RISOLUZIONE.
I centri delle tre circonferenze – O, P, Q – che si trovano ovviamente sulle
bisettrici degli angoli interni del triangolo (Fig. 4), sono a due a due
equidistanti dai lati del triangolo. Ne consegue che i lati del triangolo OPQ
sono ordinatamente paralleli a quelli del triangolo ABC, per cui i due
triangoli sono omotetici e perciò simili.
Considerato, poi, che la circonferenza di centro O è tangente sia alla
circonferenza di centro P sia a quella di centro Q, dopo aver posto uguale ad
x il raggio delle tre circonferenze congruenti, risulta evidentemente:
OP  OQ  2 x . Inoltre, siccome AB : BC  OP : PQ , ricordando che, in cm,
12
AB  10 e BC  12 , si ottiene: PQ  x .
5
25
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
2
2
D’altra parte, si ha: AM  AB  BM  8 (cm) ed NM  x .
Si può, inoltre, calcolare la misura di AO in funzione di x. Basta prendere in
esame i due triangoli simili ABM e AOD. Si ha: AO : AB  DO : BM , da cui
5
segue: AO  x .
3
FIG. 4
E si può, ancora, calcolare ON in funzione di x. Si ha, infatti:
8
ON : PQ  AM : BC , da cui segue: ON  x .
5
5
8
64
x . Pertanto:
Risulta, infine: AM  AO  ON  NM  x  x  x 
3
5
15
64
15
x  8 , e perciò: x  cm .
15
8
2.1.4 Lo studio delle omotetie permette la dimostrazione, per via sintetica, di
una proprietà dei punti notevoli di un triangolo, che a suo tempo abbiamo
dimostrato per via analitica, ancorché nella sola “guida per il professore”
relativa ai primi due volumi. Si tratta della seguente proprietà:
L’ortocentro H, il baricentro G e il circocentro K di un triangolo sono situati
su una medesima retta (retta di Eulero) e inoltre HG = 2 GK.
DIMOSTRAZIONE.
Considerato il triangolo ABC (Fig. 5), disegniamo il baricentro G e
l’ortocentro H. Indicato con M il punto medio del lato AB, intanto è evidente
che G appartiene alla mediana CM e risulta CG = 2 GM.
26
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
Prolunghiamo il segmento HG di un segmento GP tale che HG = 2 GP.
Si desume che i due triangoli CGH e MGP si corrispondono in una omotetia
di centro G. Siccome le rette CH ed MP si corrispondono in tale omotetia e
siccome rette corrispondenti in un’omotetia sono parallele, ne consegue che
CH è parallela ad MP e, perciò, MP è perpendicolare ad AB. Il che significa
che MP è l’asse del lato AB del triangolo ABC.
FIG. 5
In maniera analoga, indicato con N il punto medio del lato BC e ragionando
sui triangoli GAH e GNP, si dimostra che la stessa omotetia precedente
associa tali triangoli e, inoltre, che NP è l’asse del lato BC.
Il punto P è, quindi, proprio il circocentro K del triangolo ABC.
In virtù dell’omotetia considerata, si ha poi che HG = 2 GH.
2.2 U2 – Applicazioni della similitudine (V2A-M2-U2).
2.2.1 In questa unità sono trattate, in pratica, tutte quelle questioni che la
tradizione scolastica italiana propone da oltre un secolo, compresa la
“sezione aurea”, che dovrebbe suscitare qualche interesse nei giovani
studenti, particolarmente in quelli dei licei artistici.
Naturalmente l’insegnante farà le sue scelte e, se lo crede opportuno,
proporrà ai suoi alunni solo qualcuna di queste applicazioni. Alcune di esse,
poi, in verità concettualmente semplici (come, per esempio: teorema delle
corde, teorema della tangente e della secante, teorema delle secanti),
possono essere lasciate allo studio dell’alunno senza molte spiegazioni da
parte del professore, che, al contrario, s’impongono in altre situazioni.
In particolare, suggeriamo di non trascurare il teorema relativo al lato del
decagono regolare: non è infatti per niente intuitivo che il lato di un
decagono regolare sia uguale alla sezione aurea del raggio del cerchio
27
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
circoscritto al decagono, quindi il fatto merita una spiegazione; del resto la
dimostrazione è semplice, rapida ed incisiva: è insomma una di quelle
dimostrazioni che gli studenti non dovrebbero ignorare. D’altronde il
docente sa che la conclusione, in base alla quale si può calcolare la misura
del lato del decagono regolare, sarà poi utile in trigonometria per pervenire
al seno dell’angolo di 18°. E questo, se ce ne fosse ancora bisogno, conferma
l’importanza del teorema.
Un teorema curioso, che enuncia un risultato inaspettato e comunque al di là
di ogni intuizione elementare, è quello che lega i lati del decagono regolare,
dell’esagono regolare e del pentagono regolare inscritti in un medesimo
cerchio: pensiamo che sia giusto che gli studenti ne abbiano conoscenza,
anche se esso non sarà mai utilizzato. In effetti anche la sua applicazione alla
determinazione della misura del lato del pentagono regolare, per mezzo del
raggio del cerchio circoscritto, può essere superata da altri procedimenti.
Riteniamo, invece, che non sia opportuno soffermarsi sulla sua
dimostrazione, che peraltro nel testo non figura. Dimostrazione che, tuttavia,
il docente dovrebbe conoscere per evitare di andare incontro a figuracce in
caso di richieste specifiche da parte di qualche studente particolrmente
interessato. Per questo pensiamo di fargli cosa gradita se gliene proponiamo
una qui appresso (La dimostrazione di Euclide – Elementi, XIII, 10 – è però
diversa da questa).
TEOREMA.
I lati del pentagono regolare, dell’esagono regolare e del decagono regolare
inscritti in un cerchio sono nell’ordine l’ipotenusa e i cateti di un triangolo
rettangolo.
DIMOSTRAZIONE.
Supponiamo assegnata una circonferenza k’ di centro O (Fig. 6) e tracciata
la corda AB, uguale al lato del decagono regolare inscritto in essa. Si ha:
AÔB  36 e OÂB  OB̂A  72 .
Tracciamo adesso la circonferenza k” avente il centro in A e raggio AO e
diciamo C il punto in cui essa interseca il prolungamento di AB dalla parte
di B. In questa circonferenza k” la corda OC, corrispondente ad un angolo al
centro di 72°, è evidentemente uguale al lato del pentagono regolare
inscritto. Siccome questa circonferenza k” è uguale alla circonferenza k’, OC
è anche il lato del pentagono regolare inscritto in k’. Conduciamo adesso dal
punto C la tangente CD alla circonferenza k’, essendo D il punto di contatto.
Per il teorema della tangente e della secante risulta:
CA : CD = CD : CB;
d’altra parte il lato AB del decagono regolare inscritto nella circonferenza k’
è parte aurea del raggio OA uguale a CA, per cui risulta pure:
28
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
CA : AB = AB : CB.
Ne consegue che AB=CD.
Dunque nel triangolo ODC, rettangolo in D: OD è il lato del pentagono
regolare inscritto nella circonferenza k’, OD è il lato dell’esagono regolare
inscritto nella stessa circonferenza, CD è il lato del decagono regolare
inscritto in k’. Il teorema è dimostrato.
FIG. 6
2.2.2 Detto che l’unità si chiude con una lettura che approfondisce i concetti
di sezione aurea e numero aureo anche dal punto di vista storico, precisiamo
che pure gli esercizi proposti in questa unità si collocano in un alveo
tradizionale e non richiedono speciali considerazioni da parte nostra. Ma
alcuni sono particolarmente impegnativi e meritano qualche “dritta”.
Es. n. 2:
In un triangolo rettangolo un cateto è lungo il doppio dell’altro. Condotta la
bisettrice del maggiore dei due angoli acuti del triangolo, dimostrare, con un
procedimento analitico, che il minore dei segmenti in cui detta bisettrice
divide il cateto maggiore è sezione aurea del cateto minore. Provare inoltre a
condurre anche una dimostrazione esclusivamente con considerazioni di
geometria sintetica.
RISOLUZIONE.
La dimostrazione per via analitica è elementare: basta porre uguale ad a il
cateto minore del triangolo e calcolare che il minore dei due segmenti in
a
5 1 .
questione è lungo
2
Più impegnativa è la dimostrazione per via sintetica. Indicato con ABC il
triangolo rettangolo in A, sia AC = 2 AB (disegnare la figura). Conviene
tracciare la semicirconferenza circoscritta al triangolo ed indicare con O il


29
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
suo centro e con D ed E i punti in cui la bisettrice dell’angolo in B seca
rispettivamente il cateto AC e, ulteriormente, la semicirconferenza. Indicata
poi con H l’intersezione del raggio OE col cateto AC, risulta AH=HC=AB;
per cui, dopo aver constatato che gli angoli EĈA ed EB̂A sono congruenti,
si desume che sono congruenti i triangoli rettangoli EHC e DAB. Ne
consegue che EH=AD.
Siccome, nel triangolo rettangolo DEC, HC:EH=EH:DH e siccome HC=AB
ed EH=AD, si ha pure AB:AD=AD:DH. D’altro canto DH=AH-AD=ABAD, per cui, come volevasi dimostrare:
AB : AD = AD : (AB-AD).
Es. n. 5:
Considerato il triangolo ABC, rettangolo in A, si chiami P un punto del
cateto AC ed M il punto medio di BC. Si conduca per M la perpendicolare
alla retta PM e si supponga che il punto Q, in cui essa interseca la retta AB,
sia interno al cateto AB. Dopo aver dimostrato che il quadrilatero APMQ è
inscrivibile in un cerchio, dimostrare che il triangolo MPQ è simile al
triangolo ABC.
RISOLUZIONE.
La costruzione chiave per la dimostrazione della similtudine dei due
triangoli MPQ ed ABC è quella della mediana MA del triangolo ABC. È poi
importante la constatare che il triangolo MAB è isoscele. Ne consegue che
gli angoli MP̂Q ed MB̂Q sono congruenti giacché congrueni all’angolo
MÂQ.
Es. n. 27:
Nel triangolo rettangolo ABC i cateti AB e AC sono lunghi rispettivamente
12b e 16b, dove b è una lunghezza assegnata. Indicato con P il punto del
cateto AC tale che AP è lungo 5b e chiamato M il punto medio
dell’ipotenusa, sia Q l’intersezione del cateto AB con la perpendicolare a
PM condotta per M.
1) Provare che il quadrilatero APMQ è inscrivibile in una circonferenza c.
2) Detto N l’ulteriore punto in cui c interseca BC, calcolare l’area del
pentagono APNMQ.
3) Calcolare infine l’area del pentagono trasformato di quello suddetto
nell’omotetia di centro A e di caratteristica 2.
RISOLUZIONE.
Per il calcolo dell’area del pentagono APNMQ basta osservare che si ha:
A(APNMQ) = A(ABC) – A(BMQ) – A(PNC).
L’area del triangolo PNC, a sua volta, si trova in base alla formula A(PNC)
30
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
=
1
NC  PR , dove PR è ovviamente l’altezza relativa al lato NC.
2
1.4 Test di uscita.
Per ciascun quesito una sola risposta è corretta: individuarla e
contrassegnarla.
1.
Considerato un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali, in
virtù del teorema di Talete accade che:
[A] ad ogni segmento preso su una trasversale corrisponde un
segmento congruente preso sull’altra;
[B] la somma di due segmenti presi su una trasversale è uguale alla
somma dei segmenti corrispondenti presi sull’altra trasversale;
[C] sono uguali i rapporti, effettuati rispetto ad uno stesso segmento,
di due segmenti, uno preso su una trasversale ed uno preso
sull’altra;
[D] le affermazioni precedenti sono tutte e tre false.
2.
È FALSO che in una generica omotetia si conservi:
[A] l’allineamento dei punti;
[B] la distanza dei punti;
[C] l’ampiezza degli angoli;
[D] il parallelismo delle rette.
3.
Sono assegnate due circonferenze non congruenti, l’una esterna
all’altra. Di omotetetie che trasformano la minore nella maggiore ne
esistono:
[A] 0 ;
[B] 1 ;
[C] 2 ;
[D] infinite .
4.
Si considerino il triangolo ABC e il triangolo A’B’C’ avente per
vertici i punti medi dei lati di ABC. Il triangolo A’B’C’ è il
trasformato di ABC secondo un’omotetia di caratteristica:
[A] 1/2;
[B] 2;
[C] -1/2;
[D] -2.
5.
Di due pali infissi verticalmente sul terreno il sole forma due ombre
che stanno nel rapporto 5:2. Si può affermare che anche il rapporto fra
i due pali è 5:2 in virtù:
[A] del primo criterio si similitudine dei triangoli;
[B] del secondo criterio di similitudine dei triangoli;
[C] del terzo criterio di similitudine dei triangoli;
[D] di una proprietà diversa dai tre criteri suddetti.
6.
La seguente proposizione è FALSA:
31
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
[A] Ogni omotetia conserva l’uguaglianza fra le distanze dei punti.
[B] Ogni similitudine trasforma una parabola in una parabola..
[C] Esiste almeno un’omotetia che trasforma un parallelogramma in
un rettangolo.
[D] Esiste almeno una similitudine che trasforma ogni retta in una
retta parallela.
7.
La seguente proposizione è FALSA:
[A] Ogni omotetia diretta è una similitudine diretta.
[B] Ogni omotetia indiretta è una similitudine diretta.
[C] Il prodotto di due omotetie dirette è un’omotetia diretta.
[D] Il prodotto di due similitudini speculari è una similitudine
speculare.
8.
Considerato un qualsiasi triangolo acutangolo ABC, siano H e K i
piedi delle altezze relative ai lati AC e AB rispettivamente.
[A] Il quadrilatero BCHK è un trapezio.
[B] Il quadrilatero BCHK è inscrivibile in un cerchio.
[C] Il quadrilatero BCHK è circoscrivibile ad un cerchio.
[D] Le affermazioni precedenti sono tutte e tre false.
9.
Si consideri un trapezio rettangolo con le diagonali perpendicolari.
[A] L’altezza è media proporzionale fra le basi.
[B] La diagonale minore è media proporzionale fra le basi.
[C] In esso è possibile inscrivere un cerchio.
[D] Ad esso è possibile circoscrivere un cerchio.
10.
Si consideri un trapezio rettangolo in cui la diagonale minore è
perpendicolare al lato obliquo.
[A] L’altezza è media proporzionale fra le basi.
[B] La diagonale minore è media proporzionale fra le basi.
[C] In esso è possibile inscrivere un cerchio.
[D] Ad esso è possibile circoscrivere un cerchio.
11.
Il rapporto fra i lati di due quadrati è 3.
[A] Il rapporto fra i perimetri dei due quadrati è 12.
[B] Il rapporto fra le diagonali dei due quadrati è 3 2 .
[C] Il rapporto fra le aree dei due quadrati è 9.
[D] Le affermazioni precedenti sono tutte e tre false.
12.
Considerato un trapezio isoscele, si tracci la congiungente i punti medi
dei due lati obliqui e si prendano in esame i due trapezi isosceli in cui
viene diviso il trapezio dato.
[A] I trapezi ottenuti sono entrambi simili al trapezio dato.
32
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
[B] Dei due trapezi ottenuti solo il minore è simile al trapezio dato.
[C] Dei due trapezi ottenuti solo il maggiore è simile al trapezio dato.
[D] Le affermazioni precedenti sono tutte e tre false.
13.
Nel triangolo ABC le lunghezze dei lati AB, BC, CA sono
rispettivamente 12 cm, 15 cm, 18 cm. Indicato con D il punto in cui la
bisettrice dell’angolo BÂC seca BC, la misura del segmento BD,
espressa in cm, è:
[A] 7;
[B] 8 ;
[C] 9 ; [D] 10 .
14.
Si consideri un qualsiasi triangolo ABC, isoscele sulla base BC, e si
tracci la bisettrice dell’angolo esterno di vertice A.
[A] Tale bisettrice interseca la base del triangolo in un punto che, con
gli estremi della base stessa, determina due segmenti
proporzionali agli altri due lati del triangolo.
[B] Tale bisettrice interseca la base del triangolo in un punto che, con
gli estremi della base stessa, determina due segmenti aventi come
differenza proprio la base del triangolo.
[C] Tale bisettrice interseca la base del triangolo in un punto che, con
gli estremi della base stessa, determina due segmenti il cui
rapporto è invariante al variare del triangolo.
[D] Le affermazioni precedenti sono tutte e tre false.
15.
Nel triangolo ABC il lato BC è il più lungo e l’altezza relativa ad esso,
lunga 10 cm, lo divide in due parti, lunghe rispettivamente 8 cm e 12
cm. Il triangolo è:
[A] rettangolo ;
[B] acutangolo ;
[C] ottusangolo;
[D] non classificabile.
16.
L’ipotenusa e l’altezza ad essa relativa di un triangolo rettangolo sono
lunghe rispettivamente a, b. Il quadrato inscritto nel triangolo in modo
che un suo angolo coincida con l’angolo retto del triangolo ha lato
lungo c tale che:
[A] c = a+b;
[B] c  a b ;
[C]
17.
1 1 1
  ;
c a b
[D] c  a 2  b 2 .
La lunghezza x del lato del decagono regolare inscritto in un cerchio
di raggio r è data dalla radice positiva della seguente equazione di 2°
grado in x:
[A] x2 + r x – r2 = 0;
[B] x2 – r x – r2 = 0;
[C] x2 + 2 r x – 4 r2 = 0;
[D] x2 – 2 r x – 4 r2 =0.
33
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
18.
19.
34
L’area di un rettangolo aureo, il cui lato minore è lungo a, è uguale a:
a2
a2
[A]
[B]
5 1 ;
5 1 ;
2
2
a2
a2
[C]
[D]
5 1 ;
5 1 .
4
4








Il lato obliquo e l’altezza propriamente detta di un triangolo isoscele
sono lunghi rispettivamente a ed h. Il raggio del cerchio circoscritto al
triangolo ha lunghezza:
2a2
a2
a2
[A]
; [B]
; [C]
; [D] diversa dalle tre precedenti.
h
h
2h
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
3. Modulo 3 – Funzioni circolari.
Il modulo contiene una sola unità: Funzioni circolari e applicazioni. (V2AM3-U1).
Non riguarda gli alunni dei Licei non scientifici, che però riprenderanno
questa unità nel secondo biennio ad un livello di approfondimento che il
docente deciderà in base alle sue valutazioni. Egli deciderà pure quando
proporre questo studio, che comunque deve esser fatto prima dello studio
degli “approfondimenti” sulle funzioni circolari, che sarà proposto a tempo
debito.
3.1 U1 – Funzioni circolari e applicazioni (V2A-M3-U1).
3.1.1 L’unità comprende le nozioni essenziali di trigonometria, come i
concetti di seno, coseno e tangente di un angolo, le relazioni fra gli elementi
di un triangolo rettangolo, il teorema dei seni e il teorema del coseno, la
risoluzione dei triangoli, rettangoli e qualunque.
Per la determinazione di seno, coseno e tangente di un angolo o, viceversa,
per la determinazione di un angolo di dato seno o coseno o tangente, ci
avvaliamo della calcolatrice scientifica. Ragion per cui, nella risoluzione dei
triangoli, non abbiamo bisogno delle tradizionali formule di Nepero o di
Briggs, alle quali peraltro non facciamo alcun cenno.
Accenniamo invece ad altre formule (parametriche, prostaferesi, Werner)
che potranno tornare utili nel seguito degli studi. Siccome, tuttavia, il loro
contributo al momento è del tutto irrilevante, per non dire nullo, le abbiamo
relegate nella sezione “verifiche”, come esercizi da risolvere.
Ad ogni buon conto, siccome le formule goniometriche sono spesso
utilizzate in matematica ed è piuttosto difficile mandarle tutte a
memoria (e forse anche inutile), è opportuno che il docente abitui gli
alunni a memorizzare una sola formula “base”, che potrebbe essere la
formula di sottrazione del coseno:
cos (α – β) = cos α cos β + sen α sen β,
e ricavare quella che gli serve all’occorrenza. Questo vale soprattutto
per coloro che progettano di proseguire gli studi in corsi di laurea in cui
la matematica è presente in modo sostanziale.
L’unità è stata impostata partendo dall’opportunità o necessità di avere
relazioni che leghino direttamente angoli e lati di un generico triangolo
rettangolo. È stato fornito un solo problema introduttivo. Se, però,
l’insegnante lo ritiene necessario, può ricorrere ad altri problemi analoghi,
magari attingendo a quelli proposti nella sezione “verifiche” come esercizi
35
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
da risolvere.
3.1.2 All’interno dell’unità sono affrontate un paio di questioni di geometria
analitica connesse con la trigonometria: il significato di pendenza di una
retta (n. 1.3.4) ed una formula per la determinazione della tangente
dell’angolo di due rette (n. 1.9.4).
3.1.3 Qualche rigo di riflessione meritano le questioni proposte come
“laboratorio di matematica”.
 La prima riguarda sostanzialmente la risoluzione di un triangolo nel caso
in cui siano noti due lati (per esempio a, b) e l’angolo opposto ad uno di essi
(per esempio ). Ebbene possono esserci nessuna, una o due soluzioni. Per
dimostrarlo incominciamo ad osservare che dal teorema dei seni deriva:
b sen 
sen  
,
a
per cui il problema può avere soluzioni solo se risulta: b sen   a.
Ammesso che una soluzione esista, per trovarla basta calcolare , quindi 
ed a seguire, col teorema dei seni, si trova c.
Ma non sempre tale soluzione esiste. Esaminiamo allora i vari casi che si
possono presentare (il supporto di una figura può essere utile):
a) Innanzitutto, come detto, se b sen  > a, cioè sen  > 1, il problema è
evidentemente impossibile.
b) Se b sen  = a, per cui sen  = 1 e perciò  = 90°, il problema ammette
una soluzione solo se <90°, è impossibile se 90°.
c) Se b sen  < a, cioè sen  < 1, esistono due angoli supplementari, 1 e 2,
b sen 
che soddisfano alla condizione sen  
. Bisogna allora
a
considerare dei sottocasi secondo che risulti a>b, a=b, a<b:
c1) se a>b, per cui >, dei due angoli 1 e 2, si può accettare solo
l’angolo acuto: una soluzione;
c2) se a=b, per cui =, nel caso in cui sia 90° il problema non ha
soluzioni; nel caso invece in cui sia <90°, dei due angoli 1 e 2, si
può accettare solo l’angolo acuto: una soluzione;
c3) se a<b, per cui <, nel caso in cui sia 90° il problema non ha
soluzioni; nel caso invece in cui sia <90°, entrambi gli angoli 1 e
2, uno acuto e l’altro ottuso, sono accettabili: due soluzioni.
 Riguardo alla seconda questione bisogna ricordare che l’apotema an di un
poligono regolare altro non è che il raggio del cerchio inscritto nel poligono.
36
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
1
Ln
2
Per cui, se si indica con Ln il lato del poligono, deve risultare: a n 
180
tg
n
1
e, di conseguenza, il numero fisso fn è tale che: f n 
.
180
2 tg
n
Con una calcolatrice scientifica si trovano i valori sintetizzati nella seguente
tabella 1, approssimati per difetto fino al 4° decimale:
n
3
5
6
7
8
9
10
fn 0,2886 0,6881 0,8660 1,0382 1,2071 1,3737 1,5388
TAB. 1
3.1.4 Per quanto riguarda gli esercizi proposti nella sezione “verifiche”, ci
occupiamo di uno solo di essi.
Esercizio n. 33:
Il signor Giorgio, proprietario terriero, intende regalare un orto all’amico
Mario, matematico per hobby, ma a condizione che egli riesca a risolvere un
problema. L’orto ha la forma di un triangolo rettangolo, la cui ipotenusa
misura 30 m ed i cui cateti hanno misure espresse, sempre in metri, da
numeri interi. Mario deve anzitutto calcolare le misure dei cateti e poi
stabilire se sull’ipotenusa esiste un punto le cui distanze dai vertici del
triangolo sono tutte espresse, sempre in metri, ancora da numeri interi e se
ne esiste uno solo.
Mario ottiene l’orto in regalo. Come ha fatto a risolvere il problema?
RISOLUZIONE.
Sia ABC il triangolo rettangolo in A. Le misure dei suoi lati devono formare
evidentemente una terna pitagorica. L’unica possibile, supposto AB<AC, è
la seguente: BC  30, AB  18, AC  24 , dove naturalmente le misure sono
espresse in metri. Ora, sull’ipotenusa esiste un punto che è equidistante dai
vertici del triangolo ed è il punto medio, circocentro del triangolo. Si tratta di
vedere se ne esistono altri. Poniamo al riguardo BP  n , con n intero tale
che 0<n<30. Per il teorema del coseno, applicato al triangolo ABP, una volta
costatato che cos B̂  3 5 , si ha:
37
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
2
2
2
AP  AB  PB  2 AB  PB cos B̂  182  n 2  2  18  n 
3

5
n

 n 2  108 3   .
5

Affinché si possa sperare di ottenere un valore intero della misura di AP,
deve essere anzitutto n multiplo di 5, vale a dire n=5k, con k intero tale che
2
0<k<6. Pertanto: AP  25 k 2  108(3  k) . Attribuendo a k i valori interi
2
da 1 a 5, si ottengono nell’ordine i seguenti valori di AP : 241, 208, 225,
292, 409. Solo 225 porta ad un valore intero della misura di AP ed
esattamente AP  15 . Siccome questo valore si ha per k=3, cui corrisponde
n=15, si ha pure: BP  15 .
Insomma l’unico punto che risolve la questione è il punto medio
dell’ipotenusa, che è equidistante dai vertici del triangolo.
3.1.5 Una breve nota storica sull’evoluzione della trigonometria chiude
l’unità. Come sempre deciderà l’insegnante quale uso farne.
3.2 Test di uscita.
Per ciascun quesito una sola risposta è corretta: individuarla e
contrassegnarla.
1.
Esiste almeno un angolo  tale che:
1
2
1
2 2
[A] sen   e cos   ;
[B] sen    e cos  
;
3
3
3
3
1
2
2
2 3
[C] sen    e cos    ; [D] sen   e cos  
.
3
3
3
3
2.
Un angolo acuto ha il seno uguale a 4/5. Il suo coseno risulta essere:
3
1
3
1
[A]
;
[B]
;
[C]  ;
[D]  .
5
5
5
5
3.
Un angolo ottuso ha il seno uguale a 3/5. Il suo coseno risulta essere:
2
2
4
4
[A]
;
[B] ;
[C]  ;
[D]  .
5
5
5
5
4.
Un angolo acuto ha il coseno uguale a 1/4. Il suo seno risulta essere:
38
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
[A]
3
;
4
[B]
15
;
4
[C] 
3
;
4
[D] 
15
.
4
5.
Un angolo ottuso ha il coseno uguale a -1/4. Il suo seno risulta essere:
3
3
15
15
[A]
;
[B]
;
[C]  ;
[D] 
.
4
4
4
4
6.
Di angoli, compresi fra 0° e 360°, il cui seno è uguale a 0.75 ce ne
sono:
[A] 0 ;
[B] 1 ;
[C] 2 ;
[D] 4 .
7.
Di angoli, compresi fra 0° e 360°, il cui coseno è uguale a -1.05 ce ne
sono:
[A] 0 ;
[B] 1 ;
[C] 2 ;
[D] 4 .
8.
Un angolo ottuso  ha la tangente uguale a -3/4. Risulta:
3
3
4
4
[A] sen   e cos   ;
[B] sen   e cos    ;
5
5
5
5
3
3
4
4
[C] sen    e cos   ;
[D] sen    e cos    .
5
5
5
5
9.
Risulta:
3
, tang 300° = 3 ;
2
1
3
[B] sen 300° = 
, cos 300° =  ;
2
2
1
[C] cos 300° =  , tang 300° =  3 ;
2
3
[D] sen 300° = 
, tang 300° =  3 .
2
[A] sen 300° =
10.
In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), è
assegnata la retta di equazione y  x 3  2 . Il seno dell’angolo che
essa forma con l’asse x è uguale a:
1
1
3
3
[A]
;
[B]  ;
[C]
;
[D] 
.
2
2
2
2
11.
I lati AB e AC di un triangolo misurano rispettivamente 10 cm e 8 cm
e l’angolo BÂC è ampio 30°. La misura dell’altezza del triangolo
relativa al lato AC, espressa in cm, è:
39
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
[A] 5 ;
[B] 5 3 ;
[C] 4 ;
[D] 4 3 .
12.
I lati AB e AC di un triangolo misurano rispettivamente 10 cm e 8 cm
e l’angolo BÂC è ampio 35°. L’area del triangolo, espressa in cm2, è:
[A] 20 sen 35° ; [B] 20 cos 35°; [C] 40 sen 35° ; [D] 40 cos 35°.
13.
Considerato un qualsiasi parallelogramma ABCD e indicato con O il
punto d’incontro delle diagonali, la sua area è uguale a:
[A] AC  BD sen AÔD ;
[B] 2 AB  AD sen BÂD ;
1
1
[C] AC  BD sen AÔD ;
[D] AB  AD sen BÂD .
2
2
14.
Le misure degli angoli di un triangolo sono: 30°, 60°, 90°. I suoi lati
sono proporzionali:
[A] ai numeri 1, 2, 3;
[B] ai numeri 3, 4, 5;
[C] ai numeri 5, 12, 13;
[D] a tre numeri diversi dai precedenti.
15.
Le diagonali di un trapezio rettangolo misurano 4 cm e 8 cm e formano
un angolo di 30°. L’area del trapezio:
[A] è uguale a 32 cm2;
[B] è uguale a 16 cm2;
[C] è uguale a 8 cm2;
[D] non si può calcolare poiché i dati sono insufficienti.
16.
Due lati di un parallelogramma misurano 5 m e 10 m e formano un
angolo di 45°. L’area del parallelogramma è:
[A] uguale a 30 m2;
[B] minore di 30 m2;
[C] maggiore di 30 m2;
[D] non determinabile.
17.
Quale delle seguenti uguaglianze è vera?
[A] sen 70° = sen 30° + sen 40°;
[B] sen 70° = 2 sen 35°;
[C] sen 70° = 2 sen 35° cos 35°;
[D] sen 70° è un valore diverso dai tre precedenti.
Quale delle seguenti uguaglianze è vera?
[A] cos 25° = cos 45° – cos 20°;
1
[B] cos 25° = cos 50°;
2
[C] cos 25° = cos 75° – cos 50°;
[D] cos 25° è un valore diverso dai tre precedenti.
18.
40
Quale delle seguenti uguaglianze è vera?
[A] sen 15° = sen 90° – sen 75°;
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
[B] sen 75° = sen 90° + sen 15°;
[C] sen 150° = sen 180° + sen 30°;
[D] sen 120° = sen 180° – sen 60°.
19.
Posto che ,  siano due angoli qualsiasi strettamente compresi fra 0°
e 90°, risulta che:
[A] sen(+) = sen+sen;
[B] sen(+) < sen+sen;
[C] sen(+) > sen+sen;
[D] non è possibile il confronto, giacché  e  non sono noti.
20.
In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy),
1
sono assegnate le rette a, b di equazioni rispettivamente y  x e
2
1
y   x  2 . La tangente dell’angolo orientato (a,b) è uguale a:
2
1
4
1
4
[A]
;
[B]  ;
[C]
;
[D]  .
3
3
3
3
21.
Le componenti dei vettori a e b secondo gli assi cartesiani ortogonali
(Oxy) sono rispettivamente (2,3) e (-3,2). Il prodotto scalare dei due
vettori è uguale a:
[A] 0 ; [B] -12 ; [C] 12 ; [D] un valore diverso dai precedenti.
22.
In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy),
sono assegnati i punti A(1,2), B(2,1), C(2,2). Il prodotto scalare dei


vettori AB e OC è uguale a:
[A] 0 ; [B] -4 ; [C] 4 ; [D] un valore diverso dai precedenti.
23.
In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy),
sono assegnati i punti A(1,3) e B(3,1). Il coseno dell’angolo AÔB è
uguale a:
9
3
3
[A] 0 ;
[B]
;
[C]
;
[D]
.
5
4
10
24.
I raggi del Sole, intercettando una torre, ne generano un’ombra lunga il
doppio dell’altezza della torre medesima. Indicata con x l’ampiezza
dell’angolo che i raggi del Sole formano con il piano orizzontale
passante per la torre, si ha:
[A] 0°<x<30°; [B] 30°≤x<45°; [C] 45°≤x<60°; [D] 60°≤x<90°.
41
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
4. Modulo 4 – Vettori e Matrici.
Il modulo comprende due unità: Nozioni di calcolo vettoriale (V2A-M4-U1)
ed Elementi di calcolo matriciale (V2A-M4-U2).
Orientativamente, gli studenti del Liceo Scientifico, compresa l’opzione
scienze applicate, affronteranno lo studio delle due unità nel 1° biennio.
Gli altri Licei, ma solo per quanto concerne la prima unità, lo faranno nel
seguito degli studi.
4.1 U1 – Nozioni di calcolo vettoriale (V2A-M4-U1).
4.1.1 Il concetto di vettore è stato presentato nel volume 2, collegandolo
dapprima alla traslazione e utilizzandolo poi, a varie riprese, in più
circostanze come efficace strumento di calcolo.
Operiamo adesso, nei primi tre paragrafi 1.1, 1.2 e 1.3, una sintesi di cose
già trattate nel volume 2 per un loro consolidamento, ma anche con qualche
approfondimento. Lo facciamo soprattutto a beneficio di quegli studenti che
dovessero affrontare lo studio di questa unità dopo il 1° biennio, ma anche
gli altri faranno bene a studiare questi contenuti.
Nei paragrafi successivi – 1.4, 1.5 e 1.6 – l’argomento sarà ulteriormente
approfondito, per fornire allo studente adeguati strumenti di indagine
soprattutto nello studio della fisica.
4.1.2 Lo studio della dipendenza e indipendenza lineare dei vettori porta alla
dimostrazione dell’importante teorema in base al quale tre vettori, comunque
scelti nel piano, sono linearmente dipendenti. Questo teorema giustifica poi
la possibilità di rappresentare ogni vettore del piano mediante un’altra
coppia ordinata qualsiasi di vettori, assunti come base per i vettori del piano,
ed in particolare mediante una base associata al piano riferito ad un sistema
di assi cartesiani ortogonali.
4.1.3 Sono definiti il prodotto scalare di due vettori nel piano ed il prodotto
vettoriale di due vettori nello spazio e sono evidenziate alcune loro
importanti proprietà. Il concetto prodotto scalare di due vettori nello spazio
sarà proposto a tempo debito, quando saranno introdotte le coordinate
cartesiane nello spazio.
Gli esercizi proposti nella sezione “verifiche” non presentano diificoltà
inaccessibili e non richiedono pertanto alcun chiarimento speciale.
42
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
4.2 U2 – Elementi di calcolo matriciale (V2A-M4-U2).
4.2.1 Nello svolgimento dell’unità sono affrontati, oltre agli elementi di
calcolo matriciale, espressamente previsti dalle “Indicazioni Nazionali”,
anche i “determinanti” ed i “sistemi lineari”, che invece non lo sono.
Valuterà l’insegnante se e quali di questi ultimi due argomenti è il caso di
sottoporre all’attenzione dei suoi alunni. Magari non necessariamente
durante il 1° biennio.
4.2.2 Sugli esercizi proposti nella sezione “verifiche” non ci pare necessario
fornire indicazioni particolari. Nondimeno, mentre suggeriamo di invitare gli
studenti ad occupasi degli esercizi della sottosezione “Questioni varie”
qualunque sia la scelta del docente, qualche parola vogliamo spendere
proprio su alcuni di essi:
Esercizio n. 9:
Si consideri la seguente matrice:
a b
.
c c
Determinare per quali valori dei parametri reali a, b, c essa è invertibile.
RISOLUZIONE.
La matrice deve essere evidentemente regolare, vale a dire che il
a b
determinante D 
deve essere diverso da zero. Ciò accade se acc c
bc≠0, ossia se (a-b)c≠0, e quindi se, contemporaneamente, a≠b e c≠0.
Esercizio n. 15, proposto come “laboratorio di matematica”:
Un numero di tre cifre, scritto nell’usuale sistema di numerazione decimale,
è un quadrato perfetto (è, cioè, il quadrato di un numero naturale). Se
ciascuna delle sue cifre è aumentata di una unità, si ottiene ancora un
quadrato perfetto. Bisogna trovare i due numeri.
RISOLUZIONE.
Indicate con a, b, c le tre cifre del primo numero e indicato con p2 il numero,
dove p è a sua volta un numero naturale, se q2 è il secondo numero, dove q è
ancora un numero naturale, deve risultare simultaneamente:
100 a + 10 b + c = p2, 100 (a+1) + 10 (b+1) + (c+1) = q2.
Sottraendo membro a membro la prima equazione dalla seconda, si ottiene:
111 = q2 – p2.
E da qui, tenendo presente che 111=3×37, segue:
(q – p)(q + p) = 3×37.
43
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
Ora, questa uguaglianza è possibile solo in due casi:
1) che risulti: q-p=3 e q+p=37. Risolvendo si trova: p=17, q=20. Di modo
che i due numeri cercati sono: 289 e 400;
2) oppure che risulti: q-p=1 e q+p=111. Risolvendo si trova: p=55, q=56. Di
modo che i due numeri sarebbero 3025 e 3136, da scartare giacché quelli
cercati sono numeri di tre cifre.
Esercizio n. 16:
Un numero m di quattro cifre, scritto nel consueto sistema di numerazione
decimale, è tale che, indicato con n il numero che si ottiene leggendo m al
contrario, da destra a sinistra, il numero m+n è divisibile per 112.
Le prime due cifre a sinistra del numero m indicano l’età di Mario nell’anno
2008, le ultime due cifre a destra indicano invece l’anno (del secolo 1900) in
cui è nata Silvia.
Trovare le età di Mario e Silvia sapendo che Mario ha 4 anni in più di Silvia
e l’età di Mario è espressa da un numero divisibile per 5.
RISOLUZIONE.
Il numero m può essere indicato nel modo seguente:
m = 1000 a + 100 b + 10 c + d,
dove a, b, c, d sono numeri naturali compresi fra 0 e 9 inclusi, ma con a≠0.
Di conseguenza il numero n è tale che:
n = 1000 d + 100 c + 10 b + a.
Ragion per cui:
m + n = 1001 (a+d) + 110 (b+c);
vale a dire:
m + n = 7×11×13 (a+d) + 2×5×11 (b+c) = 11 [7×13 (a+d) + 2×5 (b+c)].
Affinché m+n sia divisibile per 112 è necessario e sufficiente che a+d e b+c
siano divisibili per 11. Questo è possibile solo se a+d=11 e b+c=0 oppure
b+c=11.
Considerato poi che nell’anno 2008 l’età di Mario è 10a+b, mentre l’età di
Silvia è 2008–(1900+10c+d), per le condizioni imposte dal problema deve
essere b=0 o b=5 e inoltre:
10a+b=[2008–(1900+10c+d)]+4, vale a dire: 10a+b+10c+d=112.
Si tratta allora di risolvere il sistema delle seguenti equazioni:
a+d=11, b+c=0, 10a+b+10c+d=112,
e il sistema delle seguenti equazioni:
a+d=11, b+c=11, 10a+b+10c+d=112,
tenendo ovviamente presenti i vincoli già posti per le incognite a, b, c, d.
Il primo sistema non ammette soluzioni intere.
Occupiamoci del secondo, risolvendolo dapprima rispetto alle incognite a, c,
d. Si ottiene:
44
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
a = b-1, c = 11-b, d = 12-b.
Ricordiamo che b può assumere i soli valori 0 e 5.
Per b=0 non si hanno valori delle altre incognite compatibili con i vincoli
posti. Per b=5 si ottiene: a=4, c=6, d=7.
Pertanto l’età di Mario, in anni, è 10a+b=45, mentre quella di Silvia è 2008(1900+10c+d)=41.
Esercizio n. 17:
Il perimetro del pentagono ABCDE è 30 m. Si sa poi che:
AB+BC = 7 m, BC+CD = 10 m, CD+DE = 15 m, DE+EA = 17 m.
Calcolare le misure dei lati del pentagono.
RISOLUZIONE.
Di per sé la risoluzione di questo esercizio è banale. Ne parliamo per una
particolare ragione. È molto probabile che gli alunni lo risolvano
meccanicamente senza riflettere, invischiandosi in una congerie di calcoli. In
tal caso il docente dapprima lascerà fare ma dopo farà notare come la
risoluzione sia molto semplice ed immediata. Basta costatare che dalla prima
e terza relazione si desume che la somma dei lati AB, BC, CD, DE è 22 m,
per cui il lato EA misura 30-22=8 (m). Di coseguenza, passando
progressivamente dall’ultima relazione alla prima: DE=17-8=9 (m), CD=159=6 (m), BC=10-6=4 (m), AB=7-4=3 (m).
Allo stesso modo, si potevano prendere in esame la seconda e la quarta
relazione. In tal caso si trova per prima la misura di AB e, a seguire, tutte le
altre.
Esercizio n. 18:
Aldo, Giovanni e Michele giocano con le figurine dei calciatori: Aldo dà a
Giovanni tante delle sue figurine quante ne possiede già Giovanni;
quest’ultimo dà a Michele tante figurine quante ne possiede già Michele; il
quale infine dà ad Aldo tante figurine quante ne possiede Aldo a questo
punto. In seguito a questa operazione, i tre amici si trovano ad avere lo
stesso numero di figurine. a) Qual è il minimo numero complessivo di
figurine affinché ciò sia possibile? b) In tal caso quante figurine possiede
ciascuno dei due amici? c) Quante ne possedeva in origine? d) L’operazione
è possibile se il numero complessivo delle figurine è 300?
RISOLUZIONE.
Indichiamo con x, y, z il numero delle figurime possedute in origine da
Aldo, Giovanni e Michele rispettivamente ed indichiamo con 3a il numero
complessivo delle figurine.
Intanto deve essere ovviamente: x+y+z = 3a.
Dopo che Aldo ha dato le figurine a Giovanni, le figurine in possesso dei tre
45
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
amici sono nell’ordine:
x-y, 2y, z.
Dopo che Giovanni ha dato le figurine a Michele, la nuova situazione è
questa:
x-y, 2y-z, 2z.
E, infine, dopo che Michele ha dato le figurine ad Aldo, le figurine in
possesso dei tre amici sono rispettivamente:
2(x-y), 2y-z, 2z-(x-y).
Deve risultare: 2(x-y) = 2y-z = 2z-(x-y) = a.
Basta allora risolvere il sistema delle seguenti equazioni nelle incognite x, y,
z, che chiaramente devono assumere valori naturali:
x+y+z = 3a, 2(x-y) = a, 2y-z = a.
A conti fatti si trova:
11
3
7
x= a, y= a, z= a.
8
4
8
Si capisce che solamente se a è un multiplo di 8, i numeri x, y, z sono interi.
Ed il più piccolo multiplo (non nullo) di 8 è ovviamente 8. Nel qual caso 8
sono le figurine possedute dai tre amici alla fine dell’operazione; 24 è il
minimo numero complessivo di figurine, ed infine le figurine possedute dai
tre amici in origine sono: x=11, y=6, z=7. Si capisce inoltre che solo se il
numero complessivo delle figurine è esso pure un multiplo di 8 l’operazione
è possibile. Siccome 300 non lo è, l’operazione in tal caso non è possibile.
4.3 Test d’uscita.
NOTA BENE. Il test è stato elaborato nel presupposto che tutti gli argomenti proposti
siano stati sviluppati. Qualora il docente avesse fatto però scelte differenti, dovrà
ovviamente adattarlo ad esse.
1.
Come si definisce un vettore? (Max righe: 2)
2.
Cosa s’intende per combinazione lineare di due vettori? (Max righe: 3)
3.
Quando tre vettori si dicono linearmente dipendenti? Quando
linearmente indipendenti? (Max righe: 6)
4.
Spiegare perché quattro vettori del piano, comunque scelti, sono
linearmente dipendenti. (Max righe: 5)
5.
Si considerino le operazioni: “prodotto scalare di due vettori” e
“prodotto vettoriale di due vettori”. Spiegare esaurientemente se sono
commutative o no. (Max righe: 8, più eventuali figure)
46
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
6.
Scrivere una matrice quadrata A di ordine 2 ed una matrice B di 3
righe e 2 colonne e trovare la matrice prodotto AB. (Solo scrittura
delle matrici)
7.
Fornire la definizione di trasposta di una matrice e, scritta una
particolare matrice (a coefficienti interi) di 3 righe e 2 colonne,
scrivere anche la sua trasposta. (Max righe: 2; più la scrittura delle
matrici)
8.
Scrivere un determinante del 3° ordine e gli aggiunti dei suoi elementi
ai3. (Solo scrittura dei determinanti)
9.
Scrivere un determinante di ordine 3 non nullo e calcolarne il valore
utilizzando una o più proprietà note, dopo avere enunciato le eventuali
proprietà cui si fa ricorso. (Max righe: 6; più la scrittura dei vari
determinanti)
10.
Dato un determinante, si consideri la seguente proprietà:
“Un determinante è nullo se sono nulli
tutti gli elementi di una sua linea qualsiasi”.
È vero o è falso che si tratta di una condizione necessaria è
sufficiente? Fornire una esauriente spiegazione della risposta. (Max
righe: 3; più la scrittura di eventuali determinanti)
11.
Scrivere una matrice quadrata regolare di ordine 2 e calcolare la sua
inversa. (Solo scrittura di matrici ed eventuali determinanti e calcoli
relativi)
12.
Si consideri il seguente sistema lineare nelle incognite x, y:
x  y 1

2 x  2 y  3
Esso è:
[A] determinato;
[B] indeterminato;
[C] impossibile.
Una sola risposta è corretta: individuarla, fornendo ampia spiegazione
della scelta operata. (Max righe: 3)
13.
Si consideri il seguente sistema lineare nelle incognite x, y:
(a  1) x  2 y  0

 x  (a  1) y  1
dove a è un parametro reale. Esso è:
[A] determinato per ogni valore di a ;
[B] impossibile se a = 1 ;
[C] impossibile se a = √3.
47
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
Una sola risposta è corretta: individuarla, fornendo ampia spiegazione
della scelta operata. (Max righe: 3)
14.
Scrivere la forma generale di un sistema lineare di n equazioni in n
incognite ed enunciare il teorema di Cramer che permette di risolverlo.
(Max righe: 4; più la scrittura del sistema)
15.
Risolvere il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z, utilizzando
la regola di Cramer:
x  y  z  3

x  y  z  2
x  y  z  1

(Spazio per i soli calcoli indispensabili)
16.
È vero o è falso che un sistema lineare è singolare se il determinante
dei suoi coefficienti è nullo? Quali situazioni si possono presentare in
questo caso? [Max righe: 2. Non si richiedono giustificazioni]
48
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
5. Modulo 5 – Algoritmi e calcolabilità.
Il modulo comprende una sola unità: Algoritmo. Funzioni calcolabili (V2AM5-U1).
Le “Indicazioni Nazionali” ne prevedono la trattazione solamente da parte
dei Licei, con esclusione del Liceo Scientifico – opzione scienze applicate.
5.1 U1 – Algoritmo. Funzioni calcolabili (V2A-M5-U1).
5.1.1 Diversamente dai tempi in cui si sperimentava il PNI, quando aveva un
senso imparare un sistema operativo (MS-DOS) e anche un linguaggio di
programmazione (es.: Turbo Pascal), oggigiorno, dopo gli enormi progressi
fatti dall’informatica, tutto ciò non ha veramente più alcun fondamento
didattico. Al giorno d’oggi software potenti come Derive e Cabrigéomètre, per non parlare di Mathematica, permettono di affrontare e
risolvere senza spreco di tempo e di energia quasi tutte le questioni
matematiche con cui gli studenti si devono cimentare. È invece importante,
per lo sviluppo delle loro conoscenze e capacità, puntare l’attenzione su
alcuni aspetti concettuali e teorici e, per lo sviluppo delle loro competenze,
anche per fini pratici, sollecitarli all’apprendimento di alcune cose essenziali
come:
- l'uso approfondito di un programma di video scrittura (word processor),
- la navigazione in Internet (attenzione: certamente tra gli studenti ce n’è
più d’uno che ne sa più del professore),
- l’uso consapevole ed esteso di un foglio elettronico,
- l’uso di “Derive” e “Cabri-géomètre”.
In questo modo, come consigliano le “Indicazioni Nazionali”, «lo studente
diverrà familiare con gli strumenti informatici, al fine precipuo di
rappresentare e manipolare oggetti matematici e studierà le modalità di
rappresentazione dei dati elementari testuali e multimediali».
Si capisce che l’apprendimento di uno o più linguaggi di programmazione e
della programmazione medesima interessa chi segue corsi specifici di
Informatica, ma ciò non all’interno della Matematica.
5.1.2 L’algoritmica è ovviamente alla base di tutto ciò. Ma siccome essa è
anche un aspetto strettamente connesso con la risoluzione dei problemi
matematici, è per questo che nell’unità se ne fa una trattazione abbastanza
approfondita o quantomeno approfondita per il livello di studi al quale ci
troviamo.
49
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
Abbiamo rappresentato le strutture fondamentali di un algoritmo (sequenza,
scelta, ciclo) sia in modo “grafico” mediante i diagrammi a blocchi, sia in
modo “sintattico”, utilizzando una sorta di linguaggio di progetto. Invece,
quando l’algoritmo è piuttosto lungo abbiamo deciso di privilegiare l’uso
della “notazione lineare strutturata” (NLS), perché riteniamo che, quando
un algoritmo raggiunge una lunghezza superiore alle 30 istruzioni, la sua
rappresentazione con un diagramma a blocchi risulti dispersiva e meno
leggibile della NLS.
In altre parole, a nostro parere i diagrammi a blocchi possono essere utili in
una prima fase di studio ed analisi del problema, per rappresentare anche
“visivamente” il procedimento, ma si perviene allo stesso risultato (e
pensiamo in modo migliore) con l’uso appropriato del metodo TOP-DOWN
e del linguaggio di progetto.
5.1.3 Un cenno è fatto alle funzioni calcolabili, ovviamente in termini che
concedono qualcosa al rigore logico. Si coglie l’occasione per proporre allo
studente qualche riflessione sulle funzioni ricorsive. Sulle quali, d’altro
canto, gli studenti avranno modo di ritornare nel corso del 2° biennio
(successioni definite per ricorrenza).
5.1.4 Quasi tutti gli algoritmi sviluppati nell’unità e proposti negli esercizi
si riferiscono ai numeri naturali. Ciò per due motivi: anzitutto per integrare
gli elementi di contenuto dell’unità sui naturali; in secondo luogo per il fatto
che i naturali costituiscono un buon serbatoio per esempi abbastanza
semplici e comunque alla portata degli studenti ai quali il lavoro è rivolto.
La risoluzione degli esercizi proposti non dovrebbe creare particolari
difficoltà ed è per questo che non riteniamo necessario alcun chiarimento
sugli stessi.
5.2 Test d’uscita.
1. Si consideri lalgoritmo sottostante e, in base ad esso, si completi la
tabella successiva:
INIZIO
LEGGI (n)
SE n>=4 et n<=9 ALLORA a:=2n-1
ALTRIMENTI a:=2n+1
SCRIVI (a)
FINE
50
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
n
a
4
5
9
10
2. Si consideri lalgoritmo sottostante e, in base ad esso, si completi la
tabella successiva:
INIZIO
LEGGI (n)
SE n>10 vel n è pari ALLORA a:=n2+2n
ALTRIMENTI a:=2n+3
SCRIVI (a)
FINE
n
a
7
8
10
11
3. Si consideri lalgoritmo sottostante e, in base ad esso, si completi la
tabella successiva:
INIZIO
LEGGI (n)
SE n<20 et n pari ALLORA a:=2n2+2
ALTRIMENTI a:=2n-1
SCRIVI (a)
FINE.
n
a
0
5
10
20
4. Quale tra i seguenti algoritmi calcola il perimetro di un rettangolo, i cui
lati hanno le misure a e b? Una sola risposta è corretta. Individuarla e
motivare la risposta.
(A)
inizio
leggi(a,b)
perimetro := a+2b
scrivi(perimetro)
fine
(C)
inizio
leggi(a,b)
perimetro := (a+b)
(B)
inizio
leggi(a,b)
perimetro := 2(a+b)
scrivi(perimetro)
fine
(D)
inizio
leggi(a,b)
perimetro := 2a+b
51
Matematica: Integrazione al primo biennio. Guida per l’insegnante
scrivi(perimetro)
fine
scrivi(perimetro)
fine
5. Quale tra i seguenti algoritmi determina il massimo fra tre numeri a, b,
c? Una sola risposta è corretta. Individuarla e motivare la risposta.
(A)
inizio
leggi(a,b,c)
se a<b allora max := b
altrimenti max := a
se b<c allora max := c
scrivi(max)
fine
(C)
inizio
leggi(a,b,c)
max := a
se a<b allora max := b
se a<c allora max:=c
max:= c
scrivi(max)
fine
(B)
inizio
leggi(a,b,c)
max := a
se a<b allora max := b
se b<c allora max := c
scrivi(max)
fine
(D)
inizio
leggi(a,b,c)
max := a
se max < b allora max := b
se max < c allora max:=c
scrivi(max)
fine
6. Scrivere un algoritmo che risolve il problema di generare tutti i numeri
dispari minori di 50.
7. Scrivere un algoritmo che risolve il problema di calcolare la somma dei
primi 20 numeri naturali a partire da 1.
8. Scrivi un algoritmo idoneo a risolvere il problema di determinare tutti i
divisori del numero 80.
9. Scrivere la forma ricorsiva della seguente funzione: f(n) = 2n+1, nN.
10. Scrivere la forma ricorsiva della funzione: f(n) = 12+22+32+…+102.
52