Triangolo rettangolo
In un triangolo rettangolo :
un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa
per il seno dell’angolo opposto al cateto.
β
b = a ⋅ sen β
c = a ⋅ sen γ
un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa
c
per il coseno dell’angolo adiacente al cateto.
b = a ⋅ cos γ
c = a ⋅ cos β
un cateto è uguale al prodotto dell’altro cateto
per la tangente dell’angolo opposto al cateto.
α
b = c ⋅ tg β
c = b ⋅ tg γ
a
γ
b
Triangolo qualsiasi
In un triangolo qualsiasi valgono i seguenti tre teoremi :
β
Teorema dei Seni
a
b
c
=
=
= 2R
sen α sen β sen γ
( R = raggio della circonferenza circoscritta al triangolo )
a
c
γ
α
b
Teorema di Carnot
2
2
2
2
2
a = b + c − 2 bc ⋅ cos α
a = b + c − 2 bc cos α
b 2 = a 2 + c 2 − 2 ac ⋅ cos β
b = a 2 + c 2 − 2 ac ⋅ cos β
c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab ⋅ cos γ
c = a 2 + b 2 − 2 ab ⋅ cos γ
b2 + c 2 − a2
cos α =
2 bc
2
a + c 2 − b2
cos β =
2 ac
2
a + b2 − c 2
cos γ =
2 ab
Teorema delle proiezioni
a = b ⋅ cos γ + c ⋅ cos β
Appunti di Matematica
b = a ⋅ cos γ + c ⋅ cos α
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
c = a ⋅ cos β + b ⋅ cos α
1
Triangolo rettangolo
I due triangoli OPH e ABC sono simili, infatti:
l’angolo β è in comune ai due triangoli,
l’angolo BĤP = BÂC = 90°
γ
y
Pertanto i lati corrispondenti dei due triangoli
sono proporzionali:
1.
C
P
BH : AB = BP : BC e cioè
cos β : cateto c = 1 : ipotenusa
cateto c = ipotenusa ⋅ cos β
2.
PH : AC = BP : BC e cioè
senβ : cateto b = 1 : ipotenusa
cateto b = ipotenusa ⋅ senβ
3.
BH : AB = PH : AC e cioè
cos β : cateto c = senβ : cateto b
senβ
cateto b =
⋅ cateto c
cos β
cateto b = cateto c ⋅ tgβ
a
b
γ
β
B
ma cos β = senγ , senβ = cos γ e tgβ = Cotg γ =
H
c
A x
1
perché angoli complementari, quindi:
tgγ
la relazione (1) cateto c = ipotenusa ⋅ cos β
diventa
cateto c = ipotenusa ⋅ senγ
la relazione (2) cateto b = ipotenusa ⋅ senβ
diventa
cateto b = ipotenusa ⋅ cos γ
la relazione (3) cateto b = cateto c ⋅ tgβ
diventa
cateto b = cateto c ⋅
da cui si ha:
α
1
tgγ
cateto c = cateto b ⋅ tgγ
Concludendo si è ottenuto:
cateto b = ipotenusa ⋅ senβ
cateto b = ipotenusa ⋅ cos γ
cateto b = cateto c ⋅ tgβ
cateto c = ipotenusa ⋅ senγ
cateto c = ipotenusa ⋅ cos β
cateto c = cateto b ⋅ tgγ
Che equivale a scrivere
Un cateto è uguale al prodotto
dell’ipotenusa per il seno
dell’angolo opposto al cateto.
Appunti di Matematica
Un cateto è uguale al prodotto
dell’ipotenusa per il coseno
dell’angolo adiacente al cateto.
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
Un cateto è uguale al prodotto
dell’altro cateto per la tangente
dell’angolo opposto al cateto.
2
Teorema della corda
La lunghezza di una corda di una circonferenza è uguale al prodotto del diametro per il seno
di uno qualunque degli angoli alla circonferenza che insistono su uno dei due archi
determinati dalla corda stessa.
H
α
Dimostrazione
A
I° Caso - la corda coincide con il diametro ( AB = 2 r )
∩
gli archi AB sottesi dalla corda sono due semicirconferenze, gli angoli
alla circonferenza che insistono su tali archi sono retti e quindi:
sen α = 1 . Perciò risulta: AB = 2 r ⋅ senα = 2 r ⋅ 1 = 2 r
B
α
K
II° Caso - la corda non coincide con il diametro ( AB ≠ 2 r )
K
Sia AM il diametro. Il triangolo ABM è rettangolo in B.
Pertanto, per i teoremi sul triangolo rettangolo, risulta:
AB = 2 r sen A M B
B
A
∧
(I)
∩
Sia H un punto qualsiasi dell'arco AB contenente M .
∧
∧
Siccome incidono sullo stesso arco, risulta che: A M B = A H B .
M
Pertanto sostituendo tale uguaglianza nella ( I ) si ha:
H
∧
AB = 2 r sen A H B
( II )
∩
Sia K un punto qualsiasi dell’arco AB non contenente M .
Ricordando che un quadrilatero inscritto in una circonferenza ha angoli opposti supplementari,
∧
∧
∧
⎛
∧
⎞
∧
si ha: A K B = 180° − A H B . Di conseguenza si ha: sen A K B = sen ⎜⎜180 − A H B ⎟⎟ = sen A H B .
⎝
⎠
∧
Sostituendo tale uguaglianza nella ( II ) si ottiene: AB = 2 r sen A K B .
Appunti di Matematica
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
3
Teorema delle proiezioni (dimostrazione)
I° Caso – ABC è un triangolo acutangolo
C
Nel triangolo rettangolo ACH si ha : AH = c ⋅ cos α
Nel triangolo rettangolo BCH si ha : BH = a ⋅ cos γ
Pertanto il lato b = AB = BH + AH = a ⋅ cos γ + c ⋅ cos α
β
a
c
In definitiva b = a ⋅ cos γ + c ⋅ cos α
Analogamente le altre due formule :
γ
α
a = b ⋅ cos γ + c ⋅ cos β
c = a ⋅ cos β + b ⋅ cos α
A
H
B
b
II° Caso – ABC è un triangolo ottusangolo
C
Nel triangolo rettangolo ACH si ha : AH = b ⋅ cos α
Nel triangolo rettangolo BCH si ha :
BH = a ⋅ cos(180° − β) = a ⋅ (− cos β) = − a cos β
Pertanto c = AB = AH − BH =
= b ⋅ cos α − ( − a cos β ) = b ⋅ cos α + a cos β
In definitiva c = a ⋅ cos β + b ⋅ cos α
Per le altre due formule si procede
analogamente ai casi precedenti.
γ
b
α
A
c
a
β 180°-β
B
H
Teorema di Carnot (dimostrazione)
Dalle formule del Teorema delle Proiezioni :
a = b ⋅ cos γ + c ⋅ cos β
Moltiplichiamo per a
a 2 = ab ⋅ cos γ + ac ⋅ cos β
b = a ⋅ cos γ + c ⋅ cos α
Moltiplichiamo per −b
− b 2 = −ab ⋅ cos γ − bc ⋅ cos α
c = a ⋅ cos β + b ⋅ cos α
Moltiplichiamo per −c
− c 2 = −ac ⋅ cos β − bc ⋅ cos α
Sommando membro a membro si ottiene:
a 2 − b 2 − c 2 = ab ⋅ cos γ + ac ⋅ cos β − ab ⋅ cos γ − bc ⋅ cos α − ac ⋅ cos β − bc ⋅ cos α ;
Cioè : a 2 − b 2 − c 2 = −2bc ⋅ cos α
e in definitiva a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos α
Si procede in modo analogo per le altre due formule :
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac ⋅ cos β
Appunti di Matematica
e
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab ⋅ cos γ
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
4
Teorema dei Seni (dimostrazione)
a
b
c
=
=
= 2R
senα senβ senγ
β
( R = raggio della circonferenza
circoscritta al triangolo )
a
c
γ
α
Dimostrazione 1
1. Si costruisce la circonferenza circoscritta al triangolo.
Si trova il punto medio del lato a e si traccia una
perpendicolare al lato a (asse del lato a);
si trova il punto medio del lato b e si traccia una
perpendicolare al lato b (asse del lato b);
il punto di incontro dei due assi O, è il circocentro, centro
della circonferenza circoscritta al triangolo ABC;
b
β
2. Si costruisce la circonferenza circoscritta al triangolo.
Centro del compasso nel punto O ed apertura del
compasso fino ad un vertice del triangolo si traccia
la circonferenza;
a
c
γ
α
b
B
3. Si traccia il diametro AD della circonferenza.
Il triangolo ACD è rettangolo in C, perché inscritto
in una semicirconferenza;
b
pertanto AD =
sen D̂
ma l’angolo D̂ = β perché sottendono lo stesso arco;
mentre AD =2R;
b
In definitiva si ha che: 2R =
sen β
Appunti di Matematica
β
A
γ
α
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
D
a
c
C
b
5
B
4. Si traccia il diametro BE della circonferenza.
Il triangolo ABE è rettangolo in A, perché inscritto
in una semicirconferenza;
c
pertanto BE =
sen Ê
ma l’angolo Ê = γ perché sottendono lo stesso arco;
mentre BE =2R;
c
In definitiva si ha che: 2R =
sen γ
β
a
c
A
γ
α
C
b
E
B
5. Si traccia il diametro CF della circonferenza.
Il triangolo BCF è rettangolo in B, perché inscritto
in una semicirconferenza;
a
pertanto CF =
sen F̂
ma l’angolo F̂ = α perché sottendono lo stesso arco;
mentre CF =2R;
a
In definitiva si ha che: 2R =
sen α
β
F
A
a
γ
α
C
b
6. Riunendo le tre relazioni trovate si ottiene:
a
b
c
=
=
= 2R
sen α senβ senγ
β
Dimostrazione 2
a
Si costruisce la circonferenza circoscritta al triangolo.
a = 2 r sen α
b = 2 r sen β
Dalle quali
si ottiene:
c = 2 r sen γ
b
a
=2r
sen α
b
=2r
sen β
c
=2r
sen γ
Riunendo in una unica relazione le tre uguaglianze si ha:
a
b
c
=
=
= 2r
senα senβ senγ
Appunti di Matematica
γ
α
Per il teorema della corda si ha:
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
β
a
γ
α
b
6
