44 12 2006-apr-20 Geometria e Topologia I (U1-4) Spazi metrici completi (12.1) Definizione. Una successione {xn }n in uno spazio metrico si dice di Cauchy se per ogni > 0 esiste un intero N = N () per cui n, m > N =⇒ d(xn , xm ) < . (12.2) Una successione convergente in uno spazio metrico è di Cauchy. Dimostrazione. Se limn xn = x̄, allora per ogni > 0 esiste n0 > 0 tale che n > n0 =⇒ d(x̄, xn ) < . Quindi se n, m > n0 si ha (per la disuguaglianza triangolare) d(xn , xm ) ≤ d(xn , x̄) + d(x̄, xm ) < 2, e quindi la successione è di Cauchy. q.e.d. (12.3) Ogni successione di Cauchy è limitata. Dimostrazione. Per definizione, esiste N ≥ 1 tale che m, n ≥ N =⇒ d(xn , xm ) < 1. Ma allora in particolare per ogni n ≥ N d(xn , xN ) < 1 e quindi per ogni n ≥ 1 d(xn , x1 ) ≤ M = max{d(x1 , x2 ), d(x1 , x3 ), . . . , d(x1 , xN )} + 1, e dunque {xn } ⊂ BM (x1 ) è limitata. q.e.d. (12.4) Definizione. Uno spazio metrico X si dice completo se ogni successione di Cauchy in X converge in X. (12.5) Uno spazio metrico X è completo se e solo se ogni successione di Cauchy in X ammette una sottosuccessione convergente. Dimostrazione. È ovvio che se è completo allora ognu successione di Cauchy converge, e dunque basta prendere la successione stessa {xn }. Supponiamo invece che ogni successione di Cauchy ammetta una sottosuccessione convergente. Sia {xn } una successione di Cauchy e {xnk } la sottosuccessione convergente a x̄ ∈ X. Per ogni > 0 esiste N tale che m, n > N =⇒ d(xn , xm ) < /2, ed un K tale che k > K =⇒ nk > N e d(xnk , x̄) < /2. Ma allora se n > N si ha per ogni k > K d(xn , x̄) ≤ d(xn , xnk ) + d(xnk , x̄) < , cioè {xn } converge a x̄. q.e.d. (12.6) Siano X e Y due spazi metrici con metriche dX e dY . Allora X × Y è uno spazio metrico con la metrica prodotto definita da p d ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = dX (x1 , x2 )2 + dY (y1 , y2 )2 Dimostrazione. Esercizio (3.19). 44 q.e.d. 2006-apr-20 D.L. Ferrario Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-apr-20 45 (12.7) Se X e Y sono spazi metrici completi, allora X × Y con la metrica prodotto è uno spazio metrico completo. Dimostrazione. Esercizio (7.1). q.e.d. (12.8) Un sottospazio S ⊂ X di uno spazio metrico completo è completo se e solo se è chiuso in X. Dimostrazione. Esercizio (7.2). q.e.d. (12.9) La retta reale R è uno spazio metrico completo. Per ogni n ≥ 1 lo spazio euclideo Rn è completo. Dimostrazione. Cominciamo a mostrare che R è completo. Se {xn } è una successione di Cauchy, allora per (12.3) è una successione limitata che per (10.9) ha una sottosuccessione convergente ad un limite in R (se non fosse infinita sarebbe immediato trovare il limite. . . ). Ma per (12.5) allora {xn } converge in R, e dunque R è completo. La seconda parte dell’enunciato segue da (12.7). q.e.d. (12.10) Nota. Il campo Q non è completo: basta trovare successioni convergenti a numeri irrazionali. D.L. Ferrario 2006-apr-20 45