12 Spazi metrici completi

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2006-apr-20
Geometria e Topologia I (U1-4)
Spazi metrici completi
(12.1) Definizione. Una successione {xn }n in uno spazio metrico si dice di Cauchy se per
ogni > 0 esiste un intero N = N () per cui
n, m > N =⇒ d(xn , xm ) < .
(12.2) Una successione convergente in uno spazio metrico è di Cauchy.
Dimostrazione. Se limn xn = x̄, allora per ogni > 0 esiste n0 > 0 tale che n > n0 =⇒
d(x̄, xn ) < . Quindi se n, m > n0 si ha (per la disuguaglianza triangolare)
d(xn , xm ) ≤ d(xn , x̄) + d(x̄, xm ) < 2,
e quindi la successione è di Cauchy.
q.e.d.
(12.3) Ogni successione di Cauchy è limitata.
Dimostrazione. Per definizione, esiste N ≥ 1 tale che m, n ≥ N =⇒ d(xn , xm ) < 1. Ma
allora in particolare per ogni n ≥ N d(xn , xN ) < 1 e quindi per ogni n ≥ 1
d(xn , x1 ) ≤ M = max{d(x1 , x2 ), d(x1 , x3 ), . . . , d(x1 , xN )} + 1,
e dunque {xn } ⊂ BM (x1 ) è limitata.
q.e.d.
(12.4) Definizione. Uno spazio metrico X si dice completo se ogni successione di Cauchy in
X converge in X.
(12.5) Uno spazio metrico X è completo se e solo se ogni successione di Cauchy in X ammette
una sottosuccessione convergente.
Dimostrazione. È ovvio che se è completo allora ognu successione di Cauchy converge, e dunque basta prendere la successione stessa {xn }. Supponiamo invece che ogni successione di
Cauchy ammetta una sottosuccessione convergente. Sia {xn } una successione di Cauchy e
{xnk } la sottosuccessione convergente a x̄ ∈ X. Per ogni > 0 esiste N tale che
m, n > N =⇒ d(xn , xm ) < /2,
ed un K tale che k > K =⇒ nk > N e
d(xnk , x̄) < /2.
Ma allora se n > N si ha per ogni k > K
d(xn , x̄) ≤ d(xn , xnk ) + d(xnk , x̄) < ,
cioè {xn } converge a x̄.
q.e.d.
(12.6) Siano X e Y due spazi metrici con metriche dX e dY . Allora X × Y è uno spazio
metrico con la metrica prodotto definita da
p
d ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = dX (x1 , x2 )2 + dY (y1 , y2 )2
Dimostrazione. Esercizio (3.19).
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D.L. Ferrario
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(12.7) Se X e Y sono spazi metrici completi, allora X × Y con la metrica prodotto è uno
spazio metrico completo.
Dimostrazione. Esercizio (7.1).
q.e.d.
(12.8) Un sottospazio S ⊂ X di uno spazio metrico completo è completo se e solo se è chiuso
in X.
Dimostrazione. Esercizio (7.2).
q.e.d.
(12.9) La retta reale R è uno spazio metrico completo. Per ogni n ≥ 1 lo spazio euclideo Rn
è completo.
Dimostrazione. Cominciamo a mostrare che R è completo. Se {xn } è una successione di
Cauchy, allora per (12.3) è una successione limitata che per (10.9) ha una sottosuccessione
convergente ad un limite in R (se non fosse infinita sarebbe immediato trovare il limite. . . ). Ma
per (12.5) allora {xn } converge in R, e dunque R è completo. La seconda parte dell’enunciato
segue da (12.7).
q.e.d.
(12.10) Nota. Il campo Q non è completo: basta trovare successioni convergenti a numeri
irrazionali.
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