Equazioni di secondo grado

Indice
capitolo 1
I numeri reali
1. Introduzione
Numeri irrazionali in geometria: la diagonale del quadrato di lato l, 1 – La
duplicazione del cubo, 1 – Il numero π, 2 – La stima egizia di π, 3
2. Tante radici non razionali
3. I valori approssimati
Il procedimento scolastico, 5 – Le approssimazioni a meno di un decimo, un
centesimo ecc., 7 – Il metodo di Erone, 8
4. I numeri reali
5. Reali troncati
6. L’ordinamento dei numeri reali
7. Le classi contigue
8. Operazioni con i numeri reali
La somma, 13 – La differenza, 14 – Il prodotto, 15 – Il quoziente, 15 –
Struttura di campo dell’insieme , 16
9. Principali proprietà delle disuguaglianze fra numeri reali
10. La funzione f (x) = x. Proprietà del valore assoluto
Interpretazione geometrica, 21 – Rappresentazione grafica, 21
11. Insiemi limitati di numeri reali
12. Intervalli e intorni
Approfondimento
13. Aritmetica degli intervalli
Somma di due intervalli, 28 – Differenza di due intervalli, 29 – Prodotto di due
intervalli, 30 – Quadrato di un intervallo, 31 – Divisione di due intervalli, 31
14. La potenza del continuo
15. Ipotesi del continuo
1
4
4
9
11
11
12
13
17
20
23
24
27
33
35
Laboratorio di informatica
1. Le approssimazioni di DERIVE, 36 – 2. Il grafico di x2, 37 – 3. I grafici delle altre potenze xn, 37 – 4. Come chiedere le radici a DERIVE, 38 – 5. Tabelle di valori, 38
Esercizi
Numeri razionali e numeri irrazionali, 40 – Valori approssimati, 41 – Metodo di
Erone, 43 – Ordinamento dei numeri reali, 44 – Classi contigue, 44 – Operazioni con
i numeri reali, 44 – Principali proprietà delle disuguaglianze, 46 – Valore assoluto, 47 –
Insiemi limitati di numeri reali, 48 – Intervalli. Intorni, 49 – Aritmetica degli intervalli, 52 – Gare di Matematica, 53
capitolo 2
Coordinate cartesiane
1. Premessa
2. Coordinate cartesiane sulla retta
3. Relazioni tra segmenti di una retta
Relazione di Chasles, 57
4. Punto medio di un segmento
55
56
57
58
Indice
5. Distanza tra due punti della retta
6. Coordinate cartesiane nel piano
Distanza di un punto dagli assi cartesiani, 63 – Simmetrie, 63
7. Distanza tra due punti
8. Coordinate del punto medio di un segmento
9. Baricentro di un triangolo
10. Due isometrie: la traslazione e la simmetria centrale
Traslazione, 69 – Simmetria centrale, 70
11. Cambiamento di riferimento: traslazione di assi
12. Area di un triangolo
13. Coordinate cartesiane nello spazio Approfondimento
Simmetrie, 76 – Distanza tra due punti, 76 – Punto medio di un segmento.
Baricentro di un triangolo, 76
60
62
64
67
68
69
71
72
75
Laboratorio di informatica
1. Traslazione, 77 – 2. Simmetria centrale, 78 – 3. Diseguaglianza triangolare, 79
Esercizi
Coordinate cartesiane sulla retta, 80 – Coordinate cartesiane nel piano, 81 – Distanza
tra due punti, 82 – Coordinate del punto medio di un segmento, 83 – Baricentro di un
triangolo, 84 – Traslazione e simmetria centrale, 85 – Traslazione di assi, 89 – Area di
un triangolo, 90 – Problemi, 91 – Coordinate cartesiane nello spazio, 94
capitolo 3
La retta
1. Rette per l’origine
L’equazione y = mx, 97 – Coefficiente angolare, 97 – Particolari rette per l’origine, 101
2. Equazione di una retta generica
Retta parallela all’asse x, 102 – Retta parallela all’asse y, 103 – L’equazione
y = mx + q, 103 – Coefficiente angolare. Rette parallele, 104 – Coefficiente
angolare e rapporto incrementale, 105
3. L’equazione ax + by + c = 0
4. Rette per un punto. Fascio proprio di rette
Fascio proprio di rette in forma esplicita, 108 – Fascio proprio di rette in forma implicita, 109
5. Retta per due punti
Condizione di allineamento di tre punti, 111
6. Rette parallele e rette perpendicolari
Rette parallele, 112 – Fascio improprio di rette, 113 – Rette perpendicolari, 114
7. Intersezione di due rette
8. Distanza di un punto da una retta
Distanza di un punto dagli assi, 118
Laboratorio di informatica
1. La retta per due punti, 120 – 2. Intersezione di due rette, 121 – 3. Perpendicolari e
parallele, 122 – 4. Distanza punto-retta, 122
Esercizi
Rette per l’origine, 124 – Rette parallele agli assi cartesiani, 126 – L’equazione y =
mx + q, 127 – Coefficiente angolare della retta passante per due punti dati, 128 – La
retta di equazione ax + by + c = 0, 130 – Rette per un punto, 133 – Fascio proprio di
97
102
107
108
110
112
116
118
Indice
rette, 133 – Retta per due punti, 135 – Condizione di allineamento di tre punti, 135 –
Rette parallele, 136 – Rette perpendicolari, 138 – Simmetrie, 140 – Intersezione di
due rette, 141 – Distanza di un punto da una retta, 144 – Calcolo dell’area di un triangolo, 145 – Esercizi di riepilogo, 145
capitolo 4
Disequazioni e sistemi di primo grado
1. Introduzione
2. Disequazioni di primo grado
Studio del segno della funzione f (x) = ax + b e risoluzione grafica delle disequazioni di primo grado, 152 – Interpretazione grafica delle soluzioni della
disequazione ax + b > cx + d, Approfondimento 154 – Richiami di logica: Disequazioni come enunciati aperti, 154
3. Disequazioni parametriche di primo grado
4. Disequazioni prodotto
5. Disequazioni razionali fratte
6. Sistemi di disequazioni
7. La funzione f (x) = ax + b
Rappresentazione grafica, 163
8. L’equazione ax + b = k
Interpretazione grafica dell’equazione x = k, 164 – Interpretazione grafica
dell’equazione ax + b = k, 165
9. Disequazioni con modulo del tipo ax + b k
Interpretazione grafica, 169
149
150
155
156
157
160
163
164
166
Laboratorio di informatica
1. Il comando SOLVE di DERIVE, 171 – 2. Il grafico di una disequazione, 171 – 3. Il
caso dei sistemi, 173 – 4. Il caso dei prodotti, 174 – 5. Il caso dei quozienti, 174
Esercizi
Disequazioni di primo grado, 176 – Disequazioni di primo grado numeriche, 176 –
Studio del segno della funzione f (x) = ax + b, 178 – Interpretazione grafica delle disequazioni di primo grado, 179 – Disequazioni di primo grado parametriche, 180 –
Disequazioni prodotto, 182 – Disequazioni fratte numeriche, 184 – Disequazioni
con il parametro anche a denominatore, 186 – Sistemi di disequazioni, 188 –
Equazioni parametriche di primo grado, 193 – La funzione f (x) = ax + b, 195 –
L’equazione ax + b = k, 195 – Applicazioni grafiche, 196 – Disequazioni con modulo del tipo ax + b < k oppure ax + b > k, 199 – Interpretazione grafica delle
disequazioni ax + b < k oppure ax + b > k, 204 – Esercizi di riepilogo, 205 –
Problemi numerici e geometrici risolubili con disequazioni, 205 – Problemi con
studio del segno di particolari funzioni, 207 – Gare di Matematica, 210
capitolo 5
Domini piani
1. Disequazioni lineari in due incognite
2. Rappresentazione analitica di alcuni domini piani
Angolo, 213 – Striscia, 214 – Poligoni, 214 – Semiretta, 215 – Segmento, 216
3. Massimo e minimo di una funzione lineare in un poligono
Laboratorio di informatica
1. Domini del piano con DERIVE, 221 – 2. Programma per determinare il massimo o
il minimo di una funzione lineare su un triangolo, 222
211
213
217
Indice
Esercizi
Disequazioni lineari in due incognite, 224 – Semipiani, 224 – Angoli, 225 –
Striscia, 227 – Domini piani, 230 – Semirette, 232 – Segmenti, 232 – Triangoli, 233 –
Massimo e minimo di una funzione lineare in un dominio, 235 – Gare di Matematica, 238
capitolo 6
I radicali
1. Radici n-sime
2. Condizioni di esistenza e segno dei radicali
3. La funzione radice quadrata e la funzione radice cubica
La parabola y = x2 e la funzione radice quadrata, 245 – La funzione cubica
y = x3 e la funzione radice cubica, 246
4. Proprietà invariantiva dei radicali. Semplificazione dei radicali
Proprietà invariantiva dei radicali, 248 – Semplificazione dei radicali, 249
5. Prodotto e quoziente di due radicali aventi lo stesso indice
Approfondimento
Alcune disuguaglianze notevoli,
254
6. Portare un fattore dentro il segno di radice
7. Portare un fattore fuori dal segno di radice
8. Somma algebrica di radicali simili
9. Potenza e radice di un radicale
Potenza a esponente intero di un radicale, 263 – Radice di un radicale, 264
10. Riduzione di due o più radicali allo stesso indice. Confronto tra radicali
Riduzione di due o più radicali allo stesso indice, 264 – Confronto tra radicali di indice diverso, 266 – Prodotto e quoziente di radicali con indici diversi, 267
11. Razionalizzazione dei denominatori delle frazioni
12. Radicali doppi
Formule di trasformazione dei radicali doppi, 272
13. Potenze a esponente razionale
Potenza a esponente razionale positivo, 275 – Potenza a esponente razionale
negativo, 275
Laboratorio di informatica
1. Le radici con il metodo di Erone, 278 – 2. Iterazioni della radice quadrata, 279 –
3. Le radici di indice superiore, 280 – 4. Un curioso insieme numerico, 281
Esercizi
I radicali, 282 – Condizioni di esistenza e segno dei radicali, 283 – Grafici deduci3
bili da y = x e y = x , 288 – Proprietà invariantiva, 291 – Semplificazione dei
radicali, 292 – Prodotti e quozienti di radicali con lo stesso indice, 294 – Portare un
fattore dentro il segno di radice, 296 – Portare un fattore fuori dal segno di radice,
299 – Somma algebrica di radicali simili, 301 – Potenze a esponente intero di un
radicale, 304 – Radici di radici, 304 – Riduzione allo stesso indice, 306 – Prodotti
e quozienti tra radicali di indici diversi, 308 – Confronto tra radicali, 310 –
Razionalizzazione dei denominatori delle frazioni, 311 – Funzioni con radicali, 318
– Radicali doppi, 319 – Equazioni di primo grado con coefficienti irrazionali, 322
– Sistemi lineari con coefficienti irrazionali, 323 – Disequazioni di primo grado con
coefficienti irrazionali, 324 – Espressioni con radicali, 326 – Potenze a esponente
razionale, 329 – Gare di Matematica, 331
239
242
245
248
251
256
259
262
263
264
268
272
275
Indice
capitolo 7
Equazioni di secondo grado
1. Introduzione
L’equazione spuria ax2 + bx = 0, 334
2. L’equazione x2 = r
Interpretazione grafica, 336
3. L’equazione ax2 + c = 0
4. L’equazione (ax + b)2 = r
5. Completamento del quadrato di un binomio
6. L’equazione ax2 + bx + c = 0. Formula risolutiva
7. Formula risolutiva ridotta
8. L’equazione y = ax2 + bx + c. La parabola
Interpretazione grafica delle soluzioni dell’equazione ax2 + bx + c = 0, 350
9. Equazioni di secondo grado parametriche
10. Fattorizzazione del trinomio ax2 + bx + c = 0
11. Somma e prodotto delle radici
Ricerca di due numeri aventi somma e prodotto dati, 356
12. Regola di Cartesio
Interpretazione grafica del segno delle radici, 359
13. Problemi di secondo grado
14. I numeri complessi
Rappresentazione cartesiana dei numeri complessi, 365 – Le operazioni con i
numeri complessi, 366 – Le equazioni di secondo grado a coefficienti reali,
370 – Struttura di campo dell’insieme , 371 – Struttura di spazio vettoriale
dell’insieme sull’insieme , 371
Approfondimento
15. Equazioni: cenni storici
Laboratorio di informatica
1. La soluzione algebrica con DERIVE, 376 – 2. Le capacità di Solve, 377 – 3.
Programmare in DERIVE, 378 – 4. Fattorizzare il trinomio, 379 – 5. Somma e prodotto, 380
Esercizi
Generalità sulle equazioni di secondo grado, 382 – L’equazione spuria ax2 + bx = 0,
382 – L’equazione x2 = r, 383 – Interpretazione grafica dell’equazione x2 = r, 384 –
L’equazione (ax + b)2 = r, 386 – Completamento del quadrato di un binomio, 386 –
L’equazione ax2 + bx + c = 0. Formula risolutiva, 387 – L’equazione y = ax2 + bx + c.
La parabola, 393 – Grafico della parabola mediante traslazione del sistema di riferimento, 393 – Grafico della parabola y = ax2 + bx + c mediante traslazione
della parabola y = ax2, 394 – Grafico della parabola determinando il vertice e
alcuni suoi punti, 395 – Equazioni di secondo grado parametriche, 398 –
Fattorizzazione del trinomio ax2 + bx + c = 0, 399 – Somma e prodotto delle radici, 400 – Esercizi di riepilogo sulla parabola di equazione y = ax2 + bx + c, 403 –
Relazioni tra le radici e i coefficienti in equazioni parametriche, 403 – Ricerca di
due numeri reali aventi somma e prodotto dati, 404 – Regola di Cartesio, 409 –
Problemi risolubili con una equazione di secondo grado, 414 – Problemi algebrici, 414 – Problemi di fisica, 415 – Problemi di geometria, 416 – I numeri complessi, 419 – Equazioni di secondo grado con i numeri complessi, 423 – Gare di
Matematica, 424
333
335
337
339
340
341
344
345
351
354
355
357
361
364
372
Indice
capitolo 8
Equazioni di grado superiore al secondo
1. Premessa
2. Equazioni binomie
Interpretazione grafica delle soluzioni dell’equazione xn = a, 429
3. Equazioni riducibili
4. Equazioni trinomie. Equazioni biquadratiche
5. Equazioni reciproche
Equazioni reciproche di 1ª specie di quarto grado, 439
6. Un problema di viaggi Approfondimento
7. Il teorema fondamentale dell’algebra Approfondimento
Polinomi a coefficienti reali, 444
425
425
431
432
436
441
442
Laboratorio di informatica
1. Equazioni binomie, 445 – 2. Equazioni trinomie e non solo…, 446 – 3. Quante soluzioni per le equazioni trinomie?, 448 – 4. Equazioni reciproche, 449
Esercizi
Equazioni binomie, 450 – Equazioni riducibili, 452 – Soluzioni approssimate, 455 –
Equazioni biquadratiche, 457 – Equazioni trinomie, 458 – Equazioni biquadratiche parametriche, 460 – Equazioni risolvibili mediante sostituzione, 461 – Equazioni reciproche, 463 – Esercizi di riepilogo, 466 – Equazioni reciproche parametriche, 468 – Gare di
Matematica, 468
capitolo 9
Disequazioni di secondo grado
1. Segno del trinomio ax2 + bx + c
2. Disequazioni di secondo grado
3. Interpretazione grafica del segno del trinomio ax2 + bx + c
Risoluzione grafica delle disequazioni di secondo grado, 477
4. Massimo o minimo della funzione f (x) = ax2 + bx + c
Massimo o minimo della funzione f (x) = ax2 + bx + c in un intervallo, 481
5. Disequazioni di secondo grado parametriche
6. Disequazioni di grado superiore al secondo
7. Disequazioni razionali fratte
8. Sistemi di disequazioni
Laboratorio di informatica
1. Disequazioni di secondo grado, 491 – 2. Algoritmo per determinare il massimo o
minimo della funzione f (x) = ax2 + bx + c in un intervallo, 492 – 3. Il segno del trinomio, 494
Esercizi
Studio del segno della funzione f (x) = ax2 + bx + c, 496 – Disequazioni di secondo
grado, 501 – Interpretazione grafica del segno del trinomio ax2 + bx + c. Risoluzione
grafica delle disequazioni di secondogrado, 506 – Massimo o minimo di un polinomio di secondo grado, 508 – Massimo o minimo della funzione f (x) = ax2 + bx + c
in un intervallo, 510 – Disequazioni parametriche, 511 – Disequazioni di grado superiore al secondo, 512 – Studio del segno di un polinomio, 514 – Disequazioni razionali fratte, 515 – Studio del segno di una funzione razionale fratta, 518 – Sistemi di
disequazioni, 519 – Problemi geometrici con disequazioni e di massimo e minimo,
522 – Applicazioni alla Geometria analitica, 527 – Gare di Matematica, 528
469
473
475
479
482
484
487
489
Indice
capitolo 10
Equazioni con moduli e irrazionali
1. Equazioni con moduli
L’equazione f (x) = g(x), 529 – L’equazione f (x) = g(x), 532
2. La funzione f (x) = ax2 + bx + c
3. Interpretazione grafica delle soluzioni dell’equazione ax2 + bx + c = k
4. Equazioni irrazionali
n
L’equazione elementare f ( x ) = a , 535 – L’equazione f ( x ) = g( x ) , 536 –
L’equazione
n
529
533
534
535
f ( x ) = n g( x ) , 538
5. Interpretazione grafica delle soluzioni dell’equazione
x = ax + b
541
Laboratorio di informatica
1. Equazioni con moduli, 543 – 2. Equazioni irrazionali, 544 – 3. DERIVE e i radicali, 544
Esercizi
Equazioni con moduli, 546 – Interpretazione grafica delle soluzioni di equazioni
del tipo f (x) = g(x), 550 – Interpretazione grafica delle soluzioni di equazioni del
tipo f (x) = g(x), 551 – La funzione f (x) = ax2 + bx + c, 551 – Interpretazione
grafica delle soluzioni dell’equazione ax2 + bx + c = k, 554 – Equazioni irrazionali, 556 – Risoluzione grafica di equazioni irrazionali, 560 – Gare di Matematica, 562
capitolo 11
Alcuni sistemi non lineari
1. Introduzione
2. Sistemi di secondo grado di due equazioni in due incognite
⎧ y = ax 2 + bx + c
3. Interpretazione grafica del sistema ⎨
⎩a′ x + b ′ y + c′ = 0
563
564
4. Sistemi di secondo grado con tre equazioni in tre incognite
⎧x + y = s
5. Il sistema simmetrico ⎨
⎩x ⋅ y = p
569
Interpretazione grafica delle soluzioni, 571
6. Formule di Waring
7. Altri sistemi simmetrici
8. Sistemi risolubili con artifici
Sistemi risolubili per somma o sottrazione, 576 – Sistemi risolubili per sostituzione della variabile, 577
Laboratorio di informatica
1. La risoluzione algebrica dei sistemi con DERIVE, 580 – 2. La risoluzione grafica di
un sistema con DERIVE, 582 – 3. Il sistema simmetrico, 583
Esercizi
Sistemi di secondo grado di due equazioni in due incognite, 584 – Interpretazione
2
grafica delle soluzioni del sistema : y = ax + bx + c , 588 – Sistemi di secondo
r : a′x + b′y + c′ = 0
grado di tre equazioni in tre incognite, 589 – Interpretazione grafica del sistema
x+y= s
parabola
fascio di rette parallele , 592 – Il sistema simmetrico x ⋅ y = p , 593 – Interpretazione
{
{
{
566
570
572
573
576
Indice
{
: x + y = s
, 595 – Formule di Waring, 596 – Altri sistemi sim : xy = p
metrici, 596 – Riepilogo sui sistemi simmetrici, 599 – Sistemi risolubili con artifici,
600 – Problemi risolubili con sistemi di grado superiore al primo, 606 – Gare di
Matematica, 610
grafica del sistema
capitolo 12
Elementi di probabilità
1. Introduzione
Il caso finito, 612 – Attribuiamo la probabilità, 612 – Un po’ di vocabolario, 613
2. Gli eventi
Operazioni tra eventi, 614
3. La definizione di probabilità
Il caso dei risultati equiprobabili, 616 – Il caso dei risultati non necessariamente equiprobabili, 617
4. Le somme con due dadi
5. Il modello dell’urna
6. Proprietà della probabilità
Probabilità dell’unione: probabilità totale, 621 – La probabilità del complementare, 623 – Eventi indipendenti: la probabilità dell’intersezione, 624
7. Probabilità composta
8. Le prove ripetute
Lancio di due dadi, 628 – Due lanci del dado: la probabilità composta, 629
– L’albero delle prove ripetute, 630 – La probabilità del contrario, 631
9. Probabilità condizionata
10. Probabilità e frequenza
La legge empirica del caso, 638 – I campioni, 639
11. La probabilità e il gioco
611
613
616
618
620
621
625
628
633
638
639
Laboratorio di informatica
1. La funzione RANDOM, 641 – 2. Il lancio del dado, 642 – 3. L’estrazione dall’urna,
643 – 4. La legge empirica del caso, 644
Esercizi
Spazio dei risultati possibili. Eventi, 646 – Operazioni tra eventi, 647 – Definizione
di probabilità, 649 – Eventi non equiprobabili, 652 – Proprietà della probabilità, 653
– Eventi indipendenti, 658 – Probabilità composta. Cause indipendenti, 658 – Le
prove ripetute, 663 – Probabilità che un evento si verifichi “almeno una volta”, 664
– Probabilità condizionata, 668 – Probabilità condizionata: eventi indipendenti, 671
– La legge empirica del caso, 675 – Gare di Matematica, 676
Formulario
679
Soluzioni
682
Indice analitico
689