Esercizi di Microeconomia Avanzata

Esercizi di Microeconomia Avanzata
Oligopolio - Soluzioni
May 7, 2015
Esercizio 1
Si consideri un mercato caratterizzato dalla seguente funzione di domanda inversa: p(Q) = 100 − 2Q. Il
costo di produzione di ogni impresa che opera in questo mercato è C(q) = 4q .
1. Si determini il livello di produzione in concorrenza perfetta e il prezzo.
Soluzione: p(Q) = 100 − 2Q =⇒ Q(p) = 50 − 0.5pin concorrenza perfetta si ha p = M C = 4 =⇒
QCP = 48.
2. Si determini il livello di produzione e il prezzo in monopolio.
Soluzione: il monopolista massimizza i protti π = (100 − 2Q)Q − 4Q. La condizione del primo ordine
dπ
è dQ
= 100 − 4Q − 4 = 0 =⇒ QM = 24, P M = 100 − 2 · 24 = 52.
3. Si assuma che vi sono due imprese che operano in questo mercato e che tali imprese competono a' la
Cournot. Derivare le funzioni di reazione di ciascuna impresa e rappresentarle gracamente.
Soluzione: l'impresa i massimizza i protti πi (qi , qj ) = (100 − 2qi − 2qj )qi − 4qi rispetto a qi . La
1
i
condizione del primo ordine è dπ
dqi = 100 − 4qi − 2qj − 4 = 0 =⇒ qi (qj ) = max 0, 24 − 2 qj .
4. Si determini l'equilibrio di Cournot.
Soluzione: dato che le due imprese sono identiche in equilibrio si avrà q1 = q2 . Possiamo sfruttare la
simmetria del problema per ottenere le quantità di equilibrio: q1 = 24 − 12 q1 =⇒ q1 = q2 = 16. Q = 32
e P = 100 − 64 = 36.
Esercizio 2
Si consideri un mercato oligopolistico con N imprese identiche. La funzione di costo dell'impresa i è C(qi ) =
F + cqi per i = 1, ..., N . La funzione di domanda inversa è P (Q) = A − Q, dove Q =
competono a' la Cournot.
1
P
i qi
. Le N imprese
1. Determinare l'equilibrio di Cournot.
Soluzione: l'impresa i massimizza i protti πi = (A − qi − Q−i )qi − cqi − F rispetto a qi . La con 1
1
1
i
dizione del primo ordine è dπ
dqi = A − 2qi − Q−i − c = 0 =⇒ qi (qj ) = max 0, 2 A − 2 Q−i − 2 c se
1
1 2
1
≥ F . Poichè le N imprese sono identiche in equilibrio si avrà Q−i = (N − 1)qi
2 A − 2 Q−i − 2 c
N
A+N c
∗
∗
∗
e quindi qi∗ = NA−c
+1 per i = 1, ..., N . Di conseguenza Q = N qi = N +1 (A − c) p = N +1 e
2
A−c
πi∗ = N
− F.
+1
2. Come varia la quantità prodotta da ciascuna impresa al variare di N?
∗
A−c
i
Soluzione: calcoliamo la derivata di qi∗ rispetto a N dq
dN = − (N +1)2 < 0. All'aumentare del numero di
imprese ciascuna impresa produce una quantità inferiore.
3. Come varia la quantità totale al variare di N? Discutere.
Soluzione: calcoliamo la derivata di Q∗ rispetto a N dQ
dN =
imprese la quantità totale oerta nel mercato aumenta.
∗
A−c
(N +1)2
> 0.
All'aumentare del numero di
4. Determinare il numero di imprese in equilibrio con free entry nel mercato.
Soluzione: in equilibrio si deve avere che i protti di ciascuna impresa sono nulli, quindi N F E è denita
2
2
− F = 0 ⇐⇒ (N + 1)2 = (A−c)
dalla condizione NA−c
.
+1
F
5. Il numero di imprese in equilibrio corrisponde al numero di imprese socialmente ottimo?
Soluzione: si deve determinare il surplus sociale (social welfare SW) come funzione di N e massimizzarlo rispetto ad N. SW è la somma dei protti delle imprese e del surplus del consumatore.
Il surplus del consumatore è l'area al di sotto della curva di domanda e sopra la linea del prezzo,
h
i2
quindi in questo caso è pari a CS(N ) = 12 (A − p)Q = 12 NN(A−c)
. SW (N ) = N πi (N ) + CS(N ) =
+1
2
i2
. Per trovare il valore di N che massimizza SW consideriamo la con2
2
−2(N +1)N 2
2 (N +1) −2N (N +1)
− F + 12 (A − c)2 2N (N +1)
= 0.
dizione del primo ordine: dSW
dN = (A − c)
(N +1)4
(N +1)4
2
2
(A−c)
SW
Semplicando e mettendo in evidenza si ottiene (N
+ 1)3 = (A−c)
. Con+1)3 = F e cioè (N
F
frontando questa condizione con la condizione ottenuta al punto precedente si ha N SW < N F E : il
numero di imprese in equilibrio con free entry è superiore al numero di imprese socialmente ottime.
N
A−c
N +1
− NF +
1
2
h
N (A−c)
N +1
Esercizio 3
Si consideri un mercato oligopolistico con N imprese identiche. La funzione di costo dell'impresa i è C(qi ) =
cqi per i = 1, ..., N . La funzione di domanda inversa è P (Q) = Q−1/ , dove Q =
P
i qi
. Le N imprese
competono a' la Cournot.
1. Determinare l'equilibrio di Cournot.
Soluzione:
p−c
p
=
si
dove si =
qi
Q
=
1
N
. Quindi si ha: p =
2
N c
N −1
,Q=
N c
N −1
−
e qi =
1
N
N c
N −1
−
.
2. Determinare i protti di ciascuna impresa.
πi = (P − c)qi =
N c
N −1
−c
1
N
N c
N −1
.
Esercizio 4
Due imprese producono un bene omogeneo e competono sui prezzi. Le due imprese si trovano ai due estremi
di un segmento di lunghezza unitaria. I consumatori (massa M) sono distribuiti uniformemente lungo il
segmento e hanno identica valutazione del bene pari a v . Ciascun consumatore acquista al massimo un'unità
del bene e incorre in una disutilità pari t volte la distanza dall'impresa dalla quale acquista. L'utilità di un
consumatore ad una distanza d dall'origine è pari a v − p1 − td se acquista dall'impresa 1 e v − p2 − t(1 − d)
se acquista il bene dall'impresa 2. Si assuma che in equilibrio tutti i consumatori sono serviti.
1. Determinare la posizione del consumatore indierente tra le due imprese in funzione di t, p1 e p2 .
Soluzione: il consumatore indierente si trova ad una distanza z̃ dall'impresa 1 tale per cui v−p1 −tz̃ =
1 +t
.
v − p2 − t(1 − z̃) ⇐⇒ z̃ = p2 −p
2t
2. Determinare le funzioni di domanda per ciascuna impresa.
Soluzione: la posizione del consumatore indierente ci aiuta a determinare le funzioni di domanda.
Chiaramente se z̃ < 0 la domanda per l'impresa 1 è zero perchè tutti acquistano dall'impresa 2. Se
z̃ > 1 la domanda per l'impresa 2 è zero e tutti i consumatori acquistano dall'impresa 1. Se z̃ ∈ [0, 1]
la domanda per l'impresa 1 è data da tutti i consumatori che si trovano alla sinistra del punto z̃ , cioè
M z̃ mentre la domanda per l'impresa 2 è data da tutti i consumatori che si trovano alla destra di z̃ ,
cioè (1 − z̃)M . Quindi:
x1 (p1 , p2 ) =



0



se p1 > p2 + t
p2 −p1 +t
M
2t




M
x2 (p1 , p2 ) =
se p1 ∈ [p2 − t, p2 + t]
se p1 < p2 − t



0



se p2 > p1 + t
p1 −p2 +t
M
2t




M
se p1 ∈ [p1 − t, p1 + t]
se p2 < p1 − t
3. Determinare le funzioni di reazione di ciascuna impresa.
Soluzione: si noti che per l'impresa j scegliere un prezzo pj > pi + t dà protti nulli come pj = pi + t
e scegliere un prezzo pj < pi − t dà protti negativi e inferiori a come pj = pi − t. Quindi possiamo
3
restringere l'attenzione a pj ∈ [pi − t, pi + t] e il problema di massimizzazione di ciascuna impresa
diventa
max(pj − c)
pj
t − pj + pi
M t.c. pj ∈ [pi − t, pi + t]
2t
t−pj +pi
La condizione del primo ordine ci dà −(pj − c) M
M = 0. Tenendo presente il vincolo quindi
2t +
2t
otteniamo:

bj (pi ) =
se pi ≤ c − t


pi + t



t+pi +c
2




p − t
i
se pi ∈ [c − t, c + 3t]
se pi ≥ c + 3t
4. Determinare l'equilibrio di Nash simmetrico del gioco.
Soluzione: data la simmetria del gioco sappiamo che in equilibrio si avrà p1 = p2 = p∗ . Quindi
p∗ = 21 (t + p∗ + c) ⇐⇒ p∗ = t + c.
Esercizio 5
Due imprese producono beni dierenziati e competono sui prezzi. La funzione di domanda del bene i è
Di (pi, pj ) = αi − βi pi + γi pj per i = 1, 2 e i 6= j .
1. Determinare le funzioni di reazione di ciascuna impresa e rappresentarle gracamente.
Soluzione: ogni impresa sceglie il prezzo massimizzando i propri protti per un dato livello del prezzo
scelto dall'altra impresa. I protti dell'impresa i sono πi (pi, pj ) = (αi −βi pi +γi pj )pi . Dalla condizione
i pj
del primo ordine otteniamo: bi (pj ) = αi +γ
per i = 1, 2.
2βi
2. Determinare le condizioni sui parametri necessarie per l'esistenza di un equilibrio.
Soluzione: perchè vi sia un equilibrio la pendenza delle due curve di reazione deve essere tale per cui
0
γi
γ1
2
per i = 1, 2. Si deve quindi avere 2β
< 2β
vi è intersezione. bi (pj ) = 2β
γ2 ⇐⇒ γ1 γ2 < 4β1 β2 .
i
1
3. Assumendo che le condizioni al punto 2 sono soddisfatte, determinare l'equilibrio di Nash in strategie
pure.
i pj
Soluzione: dalla soluzione al punto 1 sappiamo chebi (pj ) = αi +γ
per i = 1, 2. Ponendo a sistema
2βi
2α2 β1 +α1 γ2
1 β2 +α2 γ1
le due equazioni in due incognite otteniamo i prezzi di equilibrio p1 = 2α
4β1 β2 −γ1 γ2 e p2 = 4β1 β2 −γ1 γ2 .
4. Determinare prezzi e quantità di equilibrio quando γi = 0 per ogni i.
Soluzione: ogni impresa sceglie il prezzo massimizzando i propri protti nel mercato in cui è monopolista. I protti dell'impresa i sono πi (pi ) = (αi − βi pi )pi . Dalla condizione del primo ordine otteniamo:
αi
per i = 1, 2.
pi = 2β
i
4
Esercizio 6
Si consideri un mercato oligopolistico con N imprese identiche. La funzione di costo dell'impresa i è C(qi ) =
cqi per i = 1, ..., N . La funzione di domanda inversa è P (Q) = A − Q, dove Q =
P
i qi
. L'impresa 1 è leader
nel senso di Stackelberg, mentre le restanti N-1 imprese sono followers e competono a' la Cournot tra di loro.
1. Determinare le funzioni di reazione delle imprese follower in funzione della quantità prodotta dall'impresa
leader e dalle altre imprese follower.
Soluzione: πi (qi , qL , Q−i−F ) = (A − qi − qL − Q−i−L )qi − cqi .
qi (q1 , Q−i−L ) = max 0, 12 A − 21 qL − 12 Q−i−L − 12 c .
dπi
dqi
= A − 2qi − qL − Q−i−L − c = 0 =⇒
2. Determinare le funzioni di reazione delle imprese follower in funzione solo della quantità prodotta
dall'impresa leader e del numero di imprese.
Soluzione: Poichè le N-1 imprese che competono a' la Cournot sono identiche in equilibrio si avrà
1
Q−i−L = (N − 2)qi e quindi qi (qL ) = A−c
N − N qL per i = 1, ..., N − 1. Di conseguenza Q−L (qL ) =
(N − 1)qi (qL ) = NN−1 [(A − c) − qL ].
3. Determinare la quantità prodotta dall'impresa leader.
Soluzione: L'impresa leader massimizza i protti prendendo in considerazione la reazione delle altre
imprese, quindi sceglie qL in modo da massimizzare πL (qL ) = A − qL − NN−1 [(A − c) − qL ] qL − cqL .
Dalla condizione del primo ordine si ottiene qL = A−c
2 .
4. Come varia la quantità prodotta dall'impresa leader al variare del numero di imprese presenti nel
mercato? Discutere.
Soluzione: L'impresa leader produce qL = A−c
2 . Tale quantità non dipende dal numero di imprese
presenti nel mercato perchè l'impresa leader ha il vantaggio della prima mossa e quindi non è inuenzata
dal livello di concorrenza tra le imprese follower.
5