Evariste Galois - Dipartimento di Matematica

Evariste Galois (1811-1832)
Ebbe una vita breve, movimentata ed
infelice, segnata dalle persecuzioni
politiche, dalle incomprensioni del
mondo accademico e da un grave lutto
familiare. Suo padre, che era preside
del collegio di Bourg-la-Reine (un
villaggio ribattezzato Bourg-l’Egalité
dopo la Rivoluzione), si suicidò, in
circostanze misteriose, durante una
trasferta di lavoro a Parigi.
Evariste stesso finì tragicamente i suoi
giorni, morendo a soli 21 anni per le
ferite riportate in un duello, le cui
ragioni non furono mai completamente
chiarite. Attivista repubblicano ai tempi della restaurazione postnapoleonica della monarchia in Francia, fu incarcerato due volte. La
sua militanza politica gli procurò anche l’espulsione dalla Scuola
Normale, dove si stava preparando alla professione d’insegnante. La
prigionia minò irrimediabilmente la sua costituzione debole: tutti
questi eventi non gli impedirono, però,
di dedicarsi ai
suoi
personalissimi studi sulle equazioni algebriche, che egli proseguì con
grande perseveranza, pur non riuscendo mai ad ottenere,
dall’università, alcun significativo riconoscimento dei propri meriti.
Non superò mai la delusione di essere stato respinto per ben due
volte all’esame d’ammissione alla prestigiosa Ecole Polytechnique di
Parigi.
I suoi manoscritti, inviati all’Accademia per la pubblicazione, e
passati per le mani di Cauchy, Fourier e Poisson, andarono in parte
perduti, in parte furono respinti perché giudicati incompleti e
scarsamente leggibili.
Le
sue ultime annotazioni scientifiche risalgono alla notte
precedente lo scontro a fuoco che gli fu fatale, e sono accompagnate
da un commento a margine, che, a posteriori, suona come un’oscura
premonizione: “Questa dimostrazione sarebbe da completare. Ma non
ne ho il tempo.” La sua lettera di addio agli amici, in cui dà sfogo a
tutta la sua amarezza, si conclude con queste funeste parole: Nitens
lux, horrenda procella, tenebris aeternis involuta. Galois affidò i suoi
scritti ad Auguste Chevalier, suo compagno di studi e di militanza
politica.
Le cronache dell’epoca riportano tutti i dettagli di questa tragedia,
nata da una questione d’onore. Il duello ebbe luogo all’alba del 30
maggio, vicino allo stagno della Glacière, nel territorio di Gentilly.
Galois ricevette un solo colpo di pistola, sparato da una distanza di
venticinque passi, che lo colpì all’addome. Abbandonato in fin di vita
in aperta campagna, fu soccorso da un contadino dopo alcune ore.
Ricoverato in ospedale, morì il mattino seguente.
L’opera matematica completa di Galois vide la luce solo 14 anni dopo
la sua morte, nel 1846, sul Journal de Mathématiques diretto da
Liouville. La seconda edizione è del 1897.
Quella che oggi va sotto il nome di teoria di Galois è una disciplina
che non si insegna a scuola, ma è una delle principali conquiste della
matematica moderna. Essa è fondata su di un criterio generale che
permette di stabilire quando un’equazione algebrica ammette una
formula risolutiva esplicita, esprimibile mediante radici. In tal caso
l’equazione si dice risolubile per radicali. Lo sono le equazioni di
secondo grado (risolte dalle formule di Newton), quelle di terzo
grado (risolte dalle formule di Cardano) e quelle di quarto grado
(risolte dalle formule di Ferrari). Non lo sono, in generale, quelle di
grado superiore. Lo stesso criterio consente di verificare se una data
costruzione geometrica sia possibile o meno con riga e compasso:
bisogna, in tal caso, ricorrere preliminarmente alla geometria
analitica per tradurre il problema geometrico in un’equazione
algebrica, secondo il metodo di Descartes.
È fondamentalmente merito di Galois se si è posto fine alla millenaria
ricerca di una soluzione, con riga e compasso, dei problemi della
duplicazione del cubo e della trisezione dell’angolo: la sua teoria ci
assicura che questa soluzione non esiste. L’impossibilità della
quadratura del cerchio fu invece stabilita solo alla fine del secolo
scorso, grazie agli studi compiuti da Lindemann sul numero .
Il criterio introdotto da Galois si basa sul concetto di gruppo, una
struttura che generalizza quella di insieme di numeri dotati di
un’operazione. La teoria dei gruppi comporta nozioni di algebra
astratta e viene normalmente svolta solo nei corsi
di livello
universitario.
Galois fu influenzato in maniera decisiva dagli studi sulla risoluzione
delle equazioni algebriche compiuti da Lagrange, e dal matematico
norvegese Niels Henrik Abel, morto anch’esso in giovane età.
Quest’ultimo, pochi anni prima di Galois, aveva dimostrato
l’impossibilità di risolvere per radicali l’equazione generale di quinto
grado. Un’altra dimostrazione era stata trovata da Ruffini.
Il nome di Galois è rimasto legato anche alla nozione di campo finito:
un insieme finito di elementi tra i quali sono definite operazioni di
addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione aventi proprietà
analoghe a quelle valide nel campo dei numeri reali. Se p è un
numero primo, ed ν un esponente intero positivo, allora i numeri
complessi che sono radici n-esime dell’unità, dove n = pν ─ 1,
formano, insieme a 0, un campo finito avente pν elementi. Tutti i
campi finiti – detti comunemente campi di Galois – sono
essenzialmente di questo tipo.
Il primo lavoro di Galois ad essere pubblicato fu un articolo di otto
pagine, apparso negli Annales de Mathématiques nel 1828. Esso
conteneva un interessante teorema sulle frazioni continue:
Se una delle radici di un’equazione algebrica di grado arbitrario (a
coefficienti razionali) è una frazione continua che è periodica dal primo
termine in poi, allora anche un’altra radice è una frazione continua
periodica, che si ottiene dividendo -1 per la stessa frazione continua,
scritta nell’ordine inverso.
La breve vita di Galois e la sua tragica fine hanno circondato la sua
figura di un alone di mito e di mistero.
Lo scrittore australiano Tom Petsinis ne ha voluto fare il protagonista
di un romanzo storico e biografico, dipingendolo come un giovane
idealista. Galois vi appare come il tipico eroe ottocentesco, radicale ed
incosciente, disposto a sacrificare tutto, compresa la salute e gli affetti
familiari, per il progresso della scienza e l’affermazione della libertà:
nella sua mente questi due principi sono indissolubilmente legati, ed
egli va quasi volontariamente incontro alla morte, quando vede
sfumare i propri sogni. Petsinis immagina che Galois abbia della
scienza una visione romantica e passionale. Egli accosta la storia
della matematica a quella della poesia: la prima procederebbe, come
la seconda, per salti, secondo i lampi dell’intuizione. L’apparente
percorso logico e lineare sarebbe solo il risultato di una rielaborazione
razionale a posteriori. Ecco un brano della conferenza che, nel
romanzo, Galois tiene nella saletta di una libreria parigina, di fronte
ad un pubblico di intellettuali, tra cui lo scrittore Stendhal:
“Non lasciatevi sviare dalla credenza popolare che la matematica si
muova linearmente, assimilando con calma, integrando passato e
presente. Molto più spesso avanza per mezzo d’idee radicali,
rivoluzionarie.
Permettetevi di ricordarvi che gli antichi greci inorridirono quando il
concetto di numero irrazionale incominciò a introdursi nel loro mondo
ordinario. Non c’erano precedenti per tali numeri, che sfidarono e
minarono alle fondamenta le loro più profonde convinzioni. All’inizio
l’opposizione a queste entità sovversive fu estremamente forte, delle
persone furono uccise per aver osato diffonderle. E anche in tempi più
recenti la stessa violenza ha salutato la comparsa dei numeri
immaginari, perché mettevano in discussione l’idea che il numero
deve per forza avere una correlazione con il mondo fisico. Il grande
Gauss rese bene l’idea quando disse che il vero significato della radice
quadrata di meno uno era vivido nella sua mente, sebbene lo trovasse
difficile da spiegare a parole. Questo è esattamente ciò che intendo con
la parola […] intuitivo, ciò che al momento attuale manca di un
vocabolario adeguato. Ma proprio come gli irrazionali ampliarono il
campo d’azione della matematica, così gli immaginari, e oggi il
teorema fondamentale dell’algebra è definito in termini di numeri
immaginari.”
È a questo punto della storia dell’algebra che si inserisce la teoria di
Galois: una volta stabilito che ogni equazione algebrica ha soluzioni,
si tratta di trovare una formula per esprimerle. Galois prosegue la sua
relazione passando alla storia della geometria:
“Se volete un altro esempio dell’indole rivoluzionaria della matematica,
ci sono gli sviluppi che dalla Russia ci ha riferito il signor Ostrogradski.
Quale esempio migliore di reazione contro il Classicismo del lavoro del
signor Lobachevsky, un professore dell’università di Kazan? Ha messo
in dubbio il postulato delle parallele e proposto una nuova
geometria, nella quale le linee parallele si incontrano e la somma dei
tre angoli di un triangolo non dà come risultato 180°. Sembra che
questa nuova geometria sia basata su di un’idea di spazio curvo, al
posto delle superficie piane di Euclide. Nonostante l’idealismo
platonico, la geometria degli antichi greci non era affatto ideale, poiché
era basata sulla falsa percezione di una terra piatta. Io azzardo che
questo Lobachevsky non avrebbe visto i limiti della geometria classica
senza l’intuizione.”
(cit. da T. Petsinis, Il matematico francese, trad. di F. Paracchini,
Baldini&Castoldi, Milano 1999, pagg. 274-275)
Galois è considerato un grande innovatore del linguaggio matematico:
egli cerca nell’algebra la sintesi e la generalizzazione dei risultati
ottenuti attraverso i calcoli tipici dell’analisi. Questo è lo scopo del
suo metodo, con cui egli si aspetta di vedersi aprire nuove strade
nella ricerca matematica. In effetti Galois, come osserva Dieudonné,
seppe anticipare molte idee moderne: nei suoi scritti si intravede, ad
esempio, una prima intuizione del concetto di superficie di Riemann.
Curiosità
Galois non fu mai un allievo modello, eccezion fatta per le sue
notevolissime doti matematiche. Al Lycée Louis-Le-Grand di Parigi la
sua condotta era giudicata mediocre, il suo studio incostante, i suoi
progressi poco soddisfacenti, il suo carattere dissimulato ed originale.
Ecco una delle sue pagelle dell’Ecole Normale:
1828-1829
“MATHEMATIQUES SPECIALES”
Primo Trimestre
Giudizio di studio
Condotta ineguale e spesso meritevole di biasimo; ha studiato con
passione, le sue facoltà sono sorprendenti, i suoi progressi rapidi. Il suo
carattere è assai ineguale; talora mite e ragionevole, è altre volte assai
spiacevole. Ha un contegno discreto durante gli esercizi religiosi. Da
qualche tempo ha mal d’orecchi.
Matematica
Quest’allievo ha una accentuata superiorità su tutti i condiscepoli.
Chimica
Giudizio del prof. Thillaye
Distratto, studio scarso.
Fisica
Giudizio del prof. Thillaye
Disattenzione; studio: nulla.
(cit. da P. Dupuy, La vita di Evaristo Galois, a cura di C. Motti,
Tumminelli, Roma, 1945, pag. 100)