Regime permanente

6
Capitolo
Il comportamento dei sistemi di
controllo in regime permanente
6.1
Classificazione dei sistemi di controllo
6.2
Errore statico: generalità
6.3
Calcolo dell’errore a regime
6.4
Esercizi - Errori a regime
6.5
I disturbi additivi: generalità
6.6
Esercizi – Effetti dei disturbi additivi
6.7
Sensibilità di una funzione alle variazioni
parametriche
6.8
Esercizi - Sensibilità della f.d.t. alle variazioni
parametriche
Il comportamento dei sistemi di controllo in regime permanente
6.1 CLASSIFICAZIONE DEI SISTEMI DI CONTROLLO AD ANELLO CHIUSO
PER TIPI
La classificazione dei sistemi ad anello chiuso per tipo, viene fatto in relazione al numero di poli
nell’origine della f.d.t. ad anello aperto.
Il tipo del sistema indica il numero dei poli che la G(s)⋅H(s) presenta nell’origine
N. dei poli nulli della G(s)⋅H(s)
classificazione
0
1 (s al denominatore )
2 (s2 al denominatore )
sistema di tipo zero
sistema di tipo uno
sistema di tipo due
Nel progetto di un sistema di controllo ad anello chiuso occorre tener conto, della precisione e
della sensibilità ai disturbi additivi e parametrici .
6.2 ERRORE A REGIME
La precisione rappresenta la capacità di un sistema di produrre una risposta la più simile
possibile a quella desiderata, ma in un sistema di controllo reale l’uscita non è mai
esattamente quella desiderata ma è affetto da errore
La precisione di un sistema è evidenziata dall’errore statico, cioè l’errore permanente o a
regime.
Esso è definito come differenza tra il valore d’uscita desiderata u 0 (t ) e il valore realmente
ottenuto u (t ) a transitorio esaurito, quando vengono applicati in ingresso i segnali tipici:
gradino; rampa; parabola
e(∞) = lim u 0 (t ) − u (t )
t →∞
Si dimostra che:
e(∞) = lim s ⋅
s→0
R (s)
H 0 [1 + G (s)H 0 ]
dove Ho = guadagno del blocco di reazione
L’errore statico viene calcolato in funzione del tipo di segnale in ingresso R(s) e viene indicato
come errore:
- di posizione (εp) nel caso di ingresso a gradino
- di velocità (εv) per la rampa
- di accelerazione (εa) per la parabola
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VI-2
Il comportamento dei sistemi di controllo in regime permanente
I coefficienti di posizione k a di velocità k v e di accelerazione k a sono definiti nel modo
seguente
k a = lim G (s) ; k v = lim s ⋅ G (s) ; k a = lim s 2 ⋅ G (s)
s→0
s→0
s→0
In figura sono riportati gli errori statici per i tre tipi di sistema,
•
•
•
Con l’errore nullo, dopo la fase transitoria l’uscita ha l’andamento desiderato
Con l’errore costante l’uscita si discosta dall’andamento voluto di un valore costante
Con l’errore infinito l’uscita si discosta sempre più con il passare del tempo dall’andamento
desiderato
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VI-3
Il comportamento dei sistemi di controllo in regime permanente
6.3 CALCOLO DELL’ERRORE A REGIME
•
Consideriamo il sistema in figura e dimostriamo che l’errore a regime vale
ε (∞) = lim s ⋅
s→0
-
R (s)
H 0 [1 + G (s)H 0 ]
Ricaviamo l’uscita ideale complessa. Uo(s) cioè il valore che assume l’uscita quando
ε(s)=0
ε(s) = R(s) – VR(s) = R(s) – U(s) H(s) =0
-
Uo(s) =
R (s)
H(s)
Ricaviamo l’uscita effettiva complessa U(s) cioè il valore che assume l’uscita quando
ε(s) ≠0
U(s ) =
-
⇒
G (s )R (s )
1 + G (s )H(s )
Ricaviamo l’errore Ε(s)
E(s) = U0(s)-U(s)
sostituendo si ha: E(s) =
R (s) G (s)R (s)
R (s)
=
H(s) 1 + G (s)H(s) H(s)[1 + G (s)H(s)]
considerando H(s) = costante = Ho
-
⇒ E(s) =
R (s)
H 0 [1 + G (s)H 0 ]
Per il teorema del valore finale e(∞) = lim e(t) = lim s ⋅ E(s)
t →∞
e(∞) = lim s ⋅
s →0
s →0
sostituendo si ha:
R (s)
H 0 [1 + G (s)H 0 ]
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VI-4
Il comportamento dei sistemi di controllo in regime permanente
6.4 ESERCIZI – ERRORI A REGIME
Esercizio 1 - Errori a regime - Sistema di tipo zero
Determinare il tipo di sistema e calcolare l’ errore di posizione εp, di velocità εv e di
accelerazione εa e i coefficienti k p , k v e k a per segnali d’ingresso a gradino a rampa e a
parabola
Soluzione
Il sistema è di tipo 0, poiché la f.d.t. ad anello aperto non ha poli nell’origine .
G(s)H(s) =
10
(s + 2)(s + 3)
L’errore a regime applicando il teorema del valore finale è uguale a
e(∞) = lim s ⋅
s→0
R (s)
H 0 [1 + G (s)H 0 ]
Questo errore è:
•
per un segnale a gradino unitario r(t) = 1 ⇒ R(s) = 1/s
1
εp = e(∞) = lim s ⋅ ⋅
s
s→0
3
1
1
1
= lim
=
10
10
5
8
s→0
1+
1+
1+
(s + 2)(s + 3)
(s + 2)(s + 3)
3
10
5
=
s → 0 (s + 2)(s + 3) 3
k p = lim G (s) = lim
s→0
•
per un segnale a rampa unitaria r(t) = t
1
10
s→0
s 1+
(s + 2)(s + 3)
10
k v = lim s ⋅ G (s) = lim s⋅
=
s→0
s → 0 (s + 2)(s + 3)
εv = e(∞) = lim = s ⋅
1
⇒ R(s) = 1/s2
2
⋅
1
lim = ⋅
s→0 s
1
1
= =∞
10
0
1+
(s + 2)(s + 3)
0
=0
6
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VI-5
Il comportamento dei sistemi di controllo in regime permanente
•
2
per un segnale a parabola unitaria R(t) = t
εa = e(∞) = lim = s ⋅
s→0
2
1
2
1
2
=
=∞
lim = ⋅
10
10
0
s→0 s 2
s3 1 +
1+
(s + 2)(s + 3)
(s + 2)(s + 3)
⋅
k a = lim s 2 ⋅ G (s) = lim s2⋅
s→0
⇒ R(s) = 2/s3
s→0
10
0
=
=0
(s + 2)(s + 3) 6
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VI-6
Il comportamento dei sistemi di controllo in regime permanente
Esercizio 2 - Errori a regime - Sistema di tipo uno
Determinare il tipo di sistema e calcolare l’ errore di posizione εp, di velocità εv e di
accelerazione εa e i coefficienti k p , k v e k a per segnali d’ingresso a gradino a rampa e a
parabola
Soluzione
Il sistema è di tipo 1, poiché nella della f.d.t. ad anello aperto compaiono un polo nullo.
G(s)H(s) =
5(s + 1)
s(s + 2)(s + 3)
L’errore a regime è uguale a e(∞) = lim s ⋅
s→0
R (s)
H 0 [1 + G (s)H 0 ]
Questo errore è:
•
per un segnale a gradino unitario r(t) = 1 ⇒ R(s) = 1/s
1
εp = e(∞) = lim s ⋅ ⋅
s
s→0
1
1
1
=
=
=0
5(s + 1)
5 1+ ∞
1+
1+
0
s(s + 2)(s + 3)
5(s + 1)
5
kp = lim G (s) = lim =
= =∞
s→0
s → 0 s(s + 2)(s + 3) 0
•
per un segnale a rampa unitaria r(t) = t
1
1
1
=
lim = ⋅
5
(
s
+
1
)
5
(
s + 1)
s→0
s→0 s
s 1+
1+
s(s + 2)(s + 3)
s(s + 2)(s + 3)
1
1
1 6
= lim
=
=
= lim
5s(s + 1)
5(s + 1)
5 5
s→0
s→0
s+
s+
s(s + 2)(s + 3)
(s + 2)(s + 3)
6
εv = e(∞) = lim = s ⋅
1
⇒ R(s) = 1/s2
2
⋅
k v = lim s ⋅ G (s) = lim s ⋅
s→0
s→0
5(s + 1)
5(s + 1)
5
= lim
=
s(s + 2)(s + 3) s → 0 (s + 2)(s + 3) 6
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VI-7
Il comportamento dei sistemi di controllo in regime permanente
•
2
per un segnale a parabola unitaria R(t) = t
1
1
1
=
lim = ⋅
2
5(s + 1)
5(s + 1)
s→0
s→0 s
s 1+
1+
s(s + 2)(s + 3)
s(s + 2)(s + 3)
1
1
1
= lim
= =∞
= lim
5s(s + 1)
0
s→0 2
s→0
5s 2 (s + 1)
s+
s +
(s + 2)(s + 3)
s(s + 2)(s + 3)
εa = e(∞) = lim = s ⋅
1
⇒ R(s) = 2/s3
3
⋅
k a = lim s 2 ⋅ G (s) = lim s 2 ⋅
s→0
s→0
5(s + 1)
5s(s + 1)
= lim
=0
s(s + 2)(s + 3) s → 0 (s + 2)(s + 3)
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VI-8
Il comportamento dei sistemi di controllo in regime permanente
Esercizio 3 - Errori a regime - Sistema di tipo due
Determinare il tipo di sistema e calcolare l’ errore di posizione εp, di velocità εv e di
accelerazione εa e i coefficienti k p , k v e k a per segnali d’ingresso a gradino a rampa e a
parabola.
Soluzione
Il sistema è di tipo 2, poiché nella della f.d.t. ad anello aperto compaiono due poli nulli.
G(s)H(s) =
20(s + 3)(s + 4)
s 2 (s + 5)
R (s)
L’errore a regime è uguale a e(∞) = lim s ⋅
H 0 [1 + G (s)H 0 ]
s→0
Questo errore è:
•
per un segnale a gradino unitario r(t) = 1 ⇒ R(s) = 1/s
1
εp = e(∞) = lim s ⋅ ⋅
s
s→0
1+
s 2 (s + 5)
20(s + 3)(s + 4)
k p = lim G (s) = lim
s→0
•
1
=
20(s + 3)(s + 4)
s→0
s 2 (s + 5)
⇒ R(s) = 1/s2
1
1
1
= lim ⋅
=
s→0
s 1 + 20(s + 3)(s + 4) s → 0 s 1 + 20(s + 3)(s + 4)
s 2 (s + 5)
s 2 (s + 5)
1
1
1
1
= lim
= lim
=
=
=0
20(s + 3)(s + 4)
20s(s + 3)(s + 4) s → 0
1
∞
s→0
s+
s+
0+
s(s + 5)
0
s 2 (s + 5)
εv = e(∞) = lim s ⋅
1
240
= ∞
0
=
per un segnale a rampa unitaria r(t) = t
1
1
=
=0
20 ⋅ 3 ⋅ 4
∞
1+
0
2
⋅
k v = lim sG (s) = lim s ⋅
s→0
s→0
20(s + 3)(s + 4)
2
s (s + 5)
20(s + 3)(s + 4) 240
=
=∞
s(s + 5)
0
s→0
= lim
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VI-9
Il comportamento dei sistemi di controllo in regime permanente
•
2
per un segnale a parabola unitaria R(t) = t
⇒ R(s) = 2/s3
2
1
1
= lim
=
⋅
s→0
s 3 1 + 20(s + 3)(s + 4) s → 0 s 2 1 + 20(s + 3)(s + 4)
s 2 (s + 5)
s 2 (s + 5)
2
1
2
2
= lim =
= lim
=
=
48 24
s→0
20s 2 (s + 3)(s + 4) s → 0 s 2 + 20(s + 3)(s + 4)
s2 +
(
s
+
5
)
s 2 (s + 5)
20(s + 3)(s + 4)
20(s + 3)(s + 4)
k a = lim s 2 G (s) = lim s 2 ⋅
= lim
= 48
(s + 5)
s→0
s→0
s→0
s 2 (s + 5)
εa = e(∞) = lim s ⋅
2
⋅
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VI-10
Il comportamento dei sistemi di controllo in regime permanente
Esercizio 4- Errore a regime - Sistema di tipo due - Progetto
Sapendo che l’errore a transitorio esaurito vale 1,5 per un segnale d’ingresso a parabola
unitaria, determinare il valore di k
Soluzione
Il sistema è di tipo 2, poiché nella della f.d.t. ad anello aperto compaiono due poli nulli.
L’errore a regime è uguale a e(∞) = lim s ⋅
s→0
•
s→0
= lim
2
⋅
2
s3 1 +
= lim
k
s 2 (s + 6)(s + 10)
s 2 (s + 6)(s + 10)
= lim 2 ⋅
s→0
questo errore è:
2
1
s → 0 s 2 s 2 (s + 6)(s + 10) + k
2
=
s (s + 6)(s + 10)
(s + 6)(s + 10)
s 2 (s + 6)(s + 10) + k
=
2 ⋅ 60 120
=
k
k
Posto εa uguale a 1,5 si ricava k
εa =
•
s3
1
s → 0 s 2 s 2 (s + 6)(s + 10) + k
•
2
r(t) = t 2 e R(s) =
Per un segnale a parabola unitaria
e(∞) = εa = lim s ⋅
R (s)
H 0 [1 + G (s)H 0 ]
120
=1,5
k
⇒
k=
120
= 80
1,5
Metodo alternativo (mediante l’uso della tabella)
k a = lim s 2 G (s) = lim s 2 ⋅
k
=
k
60
s 2 (s + 6)(S + 10)
R
k
2 ⋅ 60
2
εa =
=
= 1,5 ⇒ 2 = 1,5
⇒ k=
= 80
k
H0 ⋅ ka
60
1,5
1⋅
60
s→0
s→0
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VI-11
Il comportamento dei sistemi di controllo in regime permanente
Esercizio 5- Errore a regime - Sistema di tipo uno – Progetto
Ricavare il valore di k affinché l’errore a regime sia minore del 2% per un segnale d’ingresso
a gradino unitario.
Soluzione
Il sistema è di tipo 0, poiché la f.d.t. ad anello aperto non ha poli nell’origine .
G(s)H(s) =
0,4k
s 2 + 0,4s + 0,04
R (s)
L’errore a regime è uguale a e(∞) = lim s ⋅
H 0 [1 + G (s)H 0 ]
s→0
•
Per un segnale a gradino unitario r(t) = 1 e R(s) = 1/s questo errore è:
1
εp = e(∞) = lim s ⋅ ⋅
s
s→0
•
1+
1
0,4k
2
s + 0,4s + 0,04
= lim
s →0
1+
1
0,4k
s 2 + 0,4s + 0,04
=
1
0,4k
1+
0,04
Posto εp < 2/100 si ricava k
1
0,4k
0,4k
2
49 ⋅ 0,04
<
⇒ 1+
> 50 ⇒
> 49 ⇒ k >
⇒ k > 4,9
0,4k 100
0,04
0,04
0,4
1+
0,04
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VI-12
Il comportamento dei sistemi di controllo in regime permanente
Esercizio 6- Errore a regime - Sistema di tipo uno - Progetto
Determinare i parametri su cui agire per diminuire l’errore, quando in ingresso è applicata una
rampa unitaria r(t) = t
Soluzione
Il sistema è di tipo 1, poiché nella della f.d.t. ad anello aperto compare un polo nullo
L’errore a regime è uguale a e(∞) = lim s ⋅
s→0
•
per un segnale a parabola
εv = e(∞) = lim s ⋅
s→0
1
= lim
s→0
s+
k
(s + a )
1
s
=
2
R (s)
H 0 [1 + G (s)H 0 ]
r(t) = t e R(s) =
1
⋅
1+
k
s(s + a )
1
s2
1
= lim ⋅
s→0 s
1
1+
k
s(s + a )
1
=
s⋅k
s→0
s+
s(s + a )
= lim
a
k
Per diminuire l’errore a regime è bisogna aumentare k oppure diminuire a
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VI-13
Il comportamento dei sistemi di controllo in regime permanente
+
6.5 I DISTURBI ADDITIVI: GENERALITÀ
I disturbi additivi sono segnali indesiderati che entrano nel sistema e si sommano al segnale
utile
Ad esempio in un sistema di riscaldamento la variazione della temperatura esterna è un disturbo
additivo che provoca una variazione non desiderata del valore della grandezza fisica.
Per valutare l’effetto prodotto da uno o più disturbi sulla risposta si applica il principio di
sovrapposizione degli effetti.
6.6 ESERCIZI - EFFETTI DEI DISTURBI ADDITIVI
Esercizio 1 – Disturbo sul blocco di andata - Risposta a regime
Determinare la risposta a regime del sistema in figura sollecitato da un segnale a gradino
unitario. Il disturbo ha ampiezza 0,1.
Soluzione
Per determinare l’uscita applichiamo e il principio di sovrapposizione degli effetti: considerando
l’uscita come somma dell’uscita U1(S) dovuta al segnale R(s), e U2(s), dovuta al disturbo.
•
Consideriamo agente solo il segnale R(s) poniamo ∆1(s) =0
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VI-14
Il comportamento dei sistemi di controllo in regime permanente
Riducendo i due blocchi in cascata ad un solo blocco con fdt G1⋅G2 si ha
G1 ⋅ G 2
1 + G1 ⋅ G 2 ⋅ H
U1 = W ⋅ R
W1 =
8
8
8
(s + 1)(s + 2)(s + 3)
W1 (s) =
=
=
=
32
(s + 1)(s + 2)(s + 3) + 32 (s 2 + 3s + 2)(s + 3) + 8
1+
(s + 1)(s + 2)(s + 3)
=
8
2
(s + 3s + 2)(s + 3) + 32
=
8
3
2
s + 6s + 11s + 38
( fdt del sistema in assenza del disturbo)
Avendo in ingresso un gradino di ampiezza unitaria
R(s)=1/s :
1
8
(uscita complessa in assenza del disturbo)
U1 (s) = ⋅
3
2
s s + 6s + 11s + 38
1
8
U f 1 = lim s ⋅ U1 (s) = s ⋅ ⋅
= 0,21 (valore a regime)
s s 3 + 6s 2 + 11s + 38
s→0
•
Consideriamo ora, agente solo il disturbo ∆1(s) poniamo R(s)= 0
Nota: il blocco –1 è dovuto al nodo sommatore che ora svolge la funzione invertente
Lo schema è equivalente
Riducendo i due blocchi in cascata ad un solo blocco si ha
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VI-15
Il comportamento dei sistemi di controllo in regime permanente
G2
1 + G 2 ⋅ G1 ⋅ H
U 2 = W2 ⋅ ∆1
W2 =
8
8
8(s + 3)
(s + 1)(s + 2)
(s + 1)(s + 2)
W2 =
= W2 =
=
(s + 1)(+2)(s + 3) + 32 (s + 1)(s + 2)(s + 3)
32
1+
(s + 1)(s + 2)(s + 3)
(s + 1)(s + 2)(s + 3)
=
8(s + 3)
3
s + +6s 2 + 11s + 38
Avendo in ingresso un disturbo di ampiezza 0,1 ⇒ ∆1(s)=0,1/s sostituendo si ha :
0,1
8(s + 3)
(uscita complessa dovuta al solo disturbo)
⋅
s s 3 + 6s 2 + 11s + 38
0,1
8(s + 3)
8(s + 3)
U f 2 = lim s ⋅ U 2 (s) = lim s ⋅ ⋅
=
⇒
lim
s s 3 + 6s 2 + 11s + 38 s → 0 s 3 + 6s 2 + 11s + 38
s→0
s→0
2,4
Uf 2 =
= 0,063 (valore a regime dovuto al solo disturbo)
38
U 2 (s) =
La risposta complessiva a regime è
U f = U f 1 + U f 2 = 0,21+0,06 3 = 0,273
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VI-16
Il comportamento dei sistemi di controllo in regime permanente
Esercizio 2 – Disturbo all’ ingresso e sul blocco di andata - Risposta a regime
Determinare la risposta a regime del sistema in figura sollecitato da un segnale a gradino
unitario. I disturbi hanno entrambi ampiezza 0,1
Per determinare l’uscita applichiamo e il principio di sovrapposizione degli effetti: considerando
l’uscita come somma dell’uscita U0(S) dovuta al segnale R(s), U1(s), dovuta al disturbo ∆1 (s) e
U2(s) , dovuta al disturbo ∆ 2 (s)
•
Consideriamo agente solo il segnale R(s), poniamo ∆0(s) =0 e ∆1(s) =0
10
10
10(s + 1)(s + 5)
(s + 1)(s + 5)
(s + 1)(s + 5)
W0 (s) =
=
=
=
50
(s + 1)(s + 2)(s + 5) + 50 (s 2 + 3s + 2)(s + 5)
1+
(s + 1)(s + 2)(s + 5)
(s + 1)(s + 2)(s + 5)
=
10(s + 2)
s 3 + 8s 2 + 17s + 60
U 0 (s) = W1 (s) ⋅ R (s)
Avendo in ingresso un gradino di ampiezza unitaria
U 0 (s) =
Uf 0
•
R(s)=1/s, sostituendo si ha:
1
10(s + 2)
⋅
(uscita complessa in assenza dei disturbi)
s s 3 + 8s 2 + 17s + 60
1
10(s + 2)
20
=
= 0,333 (valore a regime)
s s 3 + 8s 2 + 17s + 60
60
= lim s ⋅ U 0 (s) = s ⋅ ⋅
s→0
Consideriamo ora agente solo il disturbo ∆1(s) =0, poniamo R(s) e ∆1(s) =0
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VI-17
Il comportamento dei sistemi di controllo in regime permanente
W1 (s) = W0 (s) = =
10(s + 2)
3
s + 8s 2 + 17s + 60
; U1 (s) = W1 (s) ⋅ ∆1 (s)
Avendo in ingresso un disturbo di ampiezza 0,1 ⇒ ∆1(s)=1/s, sostituendo si ha:
0,1
10(s + 2)
⋅
(uscita complessa dovuta al disturbo ∆1 )
s s 3 + 8s 2 + 17s + 60
0,1
10(s + 2)
20
U f 1 = lim s ⋅ U 0 (s) = s ⋅ ⋅
=
= 0,033 (valore a regime )
3
2
s s + 8s + 17s + 60 60
s→0
U1 (s) =
•
Consideriamo infine agente solo il disturbo ∆1(s) =0, poniamo R(s) e ∆0(s) =0
⇒
1
(s + 2)(s + 5)
(s + 1)
W2 (s) =
=
; U 2 (s) = W2 (s) ⋅ ∆ 2 (s)
3
50
s + 8s 2 + 17s + 60
1+
(s + 1)(s + 2)(s + 5)
Avendo in ingresso un disturbo di ampiezza 0,1 ⇒ ∆2(s)=1/s, sostituendo si ha:
0,1
(s + 2)(s + 5)
⋅
(uscita complessa dovuta al disturbo ∆1 )
3
s s + 8s 2 + 17s + 60
0,1
(s + 2)(s + 5)
1
U f 2 = lim s ⋅ U 0 (s) = s ⋅ ⋅
=
= 0,017 (valore a regime)
s s 3 + 8s 2 + 17s + 60 60
s→0
U 2 (s) =
Nota:
L’effetto del disturbo che si introduce nel blocco di andata è minore di quello all’ingresso.
U f = U f 0 + U f 1 + U f 2 = 0,333+0,033+0,017 = 0,383
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VI-18
Il comportamento dei sistemi di controllo in regime permanente
6.7 SENSIBILITÀ DI UNA FUNZIONE ALLE VARIAZIONI PARAMETRICHE
Le variazioni di alcune caratteristiche del sistema conseguente alle variazioni dei parametri è
detta sensibilità.
(s )
Si definisce sensibilità di una funzione F(s) rispetto a un parametro p e si indica S F
p
il rapporto tra la variazione percentuale della funzione e la variazione percentuale del parametro
∆F(s)
∂F(s) p
∆F(s) p
F(s)
S Fp(s) =
⋅
F( s )
Sp =
=
per ∆p → 0
⋅
∂
p
F(s)
∆p
∆p F(s)
p
∂F(s)
è la derivata parziale della funzione F(s) calcolata rispetto al parametro p
∂p
6.8 ESERCIZI - SENSIBILITÀ DELLA FDT ALLE VARIAZIONI
PARAMETRICHE
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VI-19
Il comportamento dei sistemi di controllo in regime permanente
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VI-20