compito del 7 luglio 2008

Esercizio 1
Sono date due superfici conduttrici sferiche concentriche di spessore
trascurabile e di raggio r1=5 cm e r2= 10 cm rispettivamente. Sulla
superficie interna e` posta una carica Q=1 C positiva. Su quella
esterna un’eguale quantita` di carica negativa.
r2
r1
Trovare l’espressione del campo elettrico in tutto lo spazio e
a) calcolarlo in un punto di coordinata r=8 cm e in un punto di
coordinata r=12 cm.
Trovare l’espressione della densita` di energia elettrica in tutto lo
spazio e dell’energia elettrostatica totale accumulata.
b) Calcolare il valore numerico di quest’ultima.
Trovare l’espressione della ddp tra la sfera interna e quella esterna e
c) calcolarne il valore numerico.
Trovare l’espressione della capacita` C del sistema e
d) calcolarne il valore numerico.
Trovare infine l’espressione dell’energia elettrostatica in termini di Q e
C, e verificare che e` uguale a quella ottenuta in precedenza.
Soluzione dell’esercizio 1
a) Applicando la legge di Gauss all’interno della sfera interna, otteniamo che il
campo in questa regione e` nullo (carica interna nulla). Nella regione tra le due
sfere otteniamo l’andamento coulombiano. Nella regione esterna alla sfera
esterna otteniamo di nuoco zero (la carica interna e` la somma di due cariche
uguali e contrarie). Il campo e` quindi:
0.........................r  r1

 Q 1
E r   
............r1  r  r2
2
 40 r
0.........................r  r2
Nel punto r=8 cm, esso vale:
E r  
1 8.99  10 9  10 6

 1.40  10 6 V / m
2
2

2
40 r
8  10
Q


Nel punto r=12 cm, esso vale 0.
b) la densita` di energia e`:
0.........................r  r1

1
1
 Q2
2
ue   0 E  
............r1  r  r2
2
4
2
 32  0 r
0.........................r  r2
E l’energia elettrostatica totale si ottiene integrano su tutto lo spazio:

r2
1
Q2 1
Q2
U e   u e dV    0 E 2 4r 2 dr  
dr

2
80 r 2
80
0
r1
1 1
  
 r1 r2 
Numericamente ha il valore
Ue 
Q2
80
1 1
2
1
1

    8.99  10 9  10 6 

 4.50  10 2 J
2
2 
10  10 
 5  10
 r1 r2 


c) La ddp e` data da:
r2
r2
V2  V1    E r dr   
r1
Q
1
Q
dr  
2
40 r
40
r1
1 1
  
 r1 r2 
Che risulta negativa, com’e` giusto andando dal conduttore positivo a quello
negativo.
Numericamente vale:
1
 1

V2  V1  8.99  10 9  10 6 

 89.9kV
2
2 
10  10 
 5  10
d) la capacita` e` data da:
C
40
Q

V2  V1  1 1
 
 r1 r2




1
 11.1 pF
1
1

9
8.99  10 


2
10  10 2 
 5  10
L’energia elettrostatica si puo` anche esprimere come segue:
1 Q2 1 2 1
Ue 
 Q
2 C
2
40
1 1
  
 r1 r2 
Espressione che risulta identica a quella precedentemente trovata.
Esercizio 2
Un filo cilindrico indefinito di raggio r1=4 mm e densita` lineare di
carica =1 nC/cm si muove con velocita` uniforme v=10 m/s, rispetto
allo sperimentatore, nella direzione del proprio asse.
v
Trascurando effetti relativistici, si trovi il campo elettrico generato
all’esterno del filo e
a) lo si calcoli in un punto di coordinata r=8 mm.
Si trovi
b) la corrente generata dal moto del filo carico;
il campo magnetico all’esterno del filo, dovuto a tale corrente e
c) se ne calcoli il valore in un punto di coordinata r=10 mm.
Si trovi la densita` di energia elettrica e di energia magnetica
all’esterno del filo.
d) Si calcoli l’energia elettrica e l’energia magnetica accumulate in un
anello cilindrico coassiale al filo, di raggio interno r1, raggio esterno
r2=40 cm e lunghezza h=20 cm.
Soluzione dell’esercizio 2
a) il campo elettrico e` praticamente uguale a quello del caso statico:
E r  
 1
20 r
Nel punto r=8 cm, il campo vale:
2  8.99  10  10
E r  
3
9
7
8  10
 2.25  10 5 V / m
b) la corrente prodotta dal moto del filo e`:
dq dx

 v  10 7  10  1A
dt
dt
i
Il campo magnetico e`:
Br  
0 i
2 r
c) nel punto r=10 mm, esso vale:
106
Br   2  10
 2  1011T
2
10
7
La densita` di energia elettrica fuori del filo e`:
2
1
1   1
2 1
2


ue   0 E   0 

..........r  r1
2
2  20 r 
8 2  0 r 2
La densita` di energia magnetica fuori del filo e`:
um 
0i 2 1
1  0 i 

..........r  r1


2 0  2 r 
8 2 r 2
2
1
B2 
2 0
d) l’energia elettrica accumulata nel volume e`:
2 1
2 h
U e   u e dV   2
2rhdr 
2
40
r1 8  0 r
r2
r2
1
2 h
r1 r dr  40 log r1
r2
E l’energia magnetica:
 0i 2 1
0i 2 h r 2 1
 0i 2 h
r
U m   u m dV  
2

rhdr

dr

log 2
2
2

4 r1 r
4
r1
r
r1 8
r2
I cui valori numerici sono rispettivamente:

U e  10 7

2
 0.2  8.99  10 9  log 100  8.28  10 5 J

U m  10 7  10 6

2
 0.2  log 100  9.22  10 20 J
Il rapporto teorico tra queste due energie e`:
U m  0 0 i 2
v
 10 

  0 0 v 2     
 1.11 10 15
2
8 
Ue

c
 3  10 
2
2
In ottimo accordo col rapporto dei valori numerici che abbiamo ottenuto.
Esercizio 3
E` dato un toro a sezione rettangolare di N=1000 spire, raggio interno
r1=5 cm, raggio esterno r2=10 cm e altezza h=4 cm. Concatenata con il
toro c’e` una spira piana con giacitura =cost.
1
2
Trovare l’induttanza mutua tra i due circuiti e
a) calcolarla in base ai dati.
Se la corrente nella spira varia sinusoidalmente secondo la legge
i=i0sin(t) (i0=2 A, =20 rad/s), trovare la fem indotta nel toro e
calcolare
b) la sua ampiezza.
Se la corrente nella spira e` stazionaria e la posizione radiale relativa
tra toro e spira varia secondo una legge armonica (pur mantenendo i
due circuiti concatenati): r=r0sin(t), trovare
c) la fem indotta nel toro. Giustificare la risposta.
Soluzione dell’esercizio 3
a) L’induttanza mutua M si calcola a partire dal flusso del campo magnetico di un
circuito su di una superficie che appoggia sull’altro circuito. Nel nostro caso la
scelta piu` conveniente e` prendere il toro come circuito che fornisce il campo e
la spira come appoggio della superficie S2 su
cui calcolare il flusso:


 21   B1  dA2  Mi1
S2
La scelta piu` conveniente di questa superficie e` una superficie piana. Poiche’ il
campo e` diverso da zero solo nell’intersezione tra questa superficie e il toro, il
dominio di integrazione si riduce a tale intersezione, cioe` al rettangolo S1
ombreggiato in figura:


 21   B1  dA2
S1
Il campo magnetico dovuto al toro si puo` trovare con la legge di Ampere e vale:
B1 r  
 0 i1
N
2 r
Inseriamo questo risultato nell’espressione del flusso, e esprimiamo l’elemento di
area dA  hdr ; otteniamo:
 0 i1
0
r2
N
hdr

Ni
h
log
1
 2 r
2
r1
r1
r2
 21 
Da cui segue l’espressione dell’induttanza mutua:
M
0
r
Nh log 2
2
r1
Sostituendo i dati, otteniamo il suo valore numerico:
M  2  10 7  1000  4  10 2 log 2  5.55  10 6 H
b) La fem indotta nel toro si puo` scivere:
fem  
d12
dt
Ove il flusso ora e` dovuto al campo generato dalla spira attraverso una superficie
che poggia su tutte le spire del toro. Sviluppando i calcoli:
fem  M
L’ampiezza della fem e` quindi:
di2
 Mi0 cos t
dt
E0  Mi0  5.55  10 6  2  20  6.97  10 4 V
c) il flusso del campo dovuto alla spira attraverso il toro e`
fem  
d12
d Mi 2 
dM


i2
dt
dt
dt
Ove l’ultima eguaglianza segue dal fatto che la corrente nella spira e` stazionaria.
Quindi avremo fem se e solo se M varia nel tempo. Ma M rimane costante, in
quanto il flusso del campo del toro (supposto ipoteticamente percorso da corrente
costante) attraverso la superficie che poggia sulla spira non cambia con la
posizione relativa dei due circuiti. Ne segue che fem=0.