2010Tutti Compiti - E-learning del Polo di Ingegneria

Cognome
Nome
Numero di matricola
Fisica Generale per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
A.A. 2008/2009
Appello del
14/1/2010.
• Tempo a disposizione: 2h30
• Modalità di risposta: scrivere la formula parametrica della risposta nello spazio grande e la risposta numerica nello
spazio piccolo. Valore di ciascun quesito: 4 punti. Non ci sono penalità per le risposte errate.
• Durante la prova scritta è consentito usare solo il formulario personale, strumenti di disegno e scrittura, calcolatrice:
non è possibile utilizzare eserciziari o appunti. Il candidato dovrà restituire tutta la carta fornita dagli esaminatori:
non è consentito utilizzare fogli di carta propri per svolgere l’elaborato. Candidati scoperti in violazione di questa
norma verranno allontanati dalla prova.
• Si assumano i seguenti valori per le costanti che compaiono nei problemi: g = 9.81 ms−2 , µ0 = 4π · 10−7 H/m,
ε0 = 8.85 · 10−12 F/m, RT = 6.37 × 106 m, MT = 5.98 × 1024 kg.
Problema 1: L’estremità di un trave omogeneo di lunghezza L = 1.5 m e del peso P = 253 N è
incernierata a un muro. L’altro estremo è sostenuto da un filo inestensibile che è attaccato al muro
ad una distanza L dalla cerniera, formando angoli uguali θ = π/6 con il muro e con il trave, come in
figura.
Quesito 1 Trovare la tensione del filo.
T [N]=
Quesito 2 Calcolare le reazioni orizzontali e verticali Rx , Ry che la cerniera esercita sul trave.
Rx [N]=
Ry [N]=
Quesito 3 Si sostituisce il filo inestensibile con un filo elastico di costante elastica k = 110 N/m e lunghezza a riposo
L0 = 55 cm. Trovare l’angolo θ di equilibrio del trave.
θ[rad]=
Problema 2:
Un satellite terrestre è su un orbita circolare di altitudine h = 160 km
Quesito 4 Calcolare la velocità del satellite.
v[m/s]=
Quesito 5 Cacolare il periodo di rivoluzione del satellite.
T [s]=
Quesito 6 Si consideri adesso un massa m=10kg attaccata al satellite attraverso una molla di costante elastica k=10N/m
e lunghezza a riposo nulla. Calcolare, in condizioni di equilibrio, di quanto è allungata la molla.
∆x[m]=
Solo per il corso di Fisica Generale I (270)
Problema 3: Un quantità pari a n = 1.5 mol di un gas perfetto monoatomico compie il ciclo ABCDA, dove i punti sono
definiti nel piano pV come: A = (V0 , p0 ), B = (V0 , 2p0 ), C = (2V0 , 2p0 ), D = (2V0 , p0 ). Sia p0 = 150 kPa e V0 = 0.0225 m3
Quesito 7 Calcolare il lavoro compiuto in ogni ciclo.
W [J]=
Quesito 8 Calcolare il rendimento del ciclo.
η=
Quesito 9 Calcolare il rendimento di una macchina di Carnot che operasse tra la minima e massima temperatura che si
manifestano nel ciclo e confrontarlo il rendimento calcolato in precedenza.
η(Carnot)=
Solo per il corso di Fisica Generale (509)
Problema 3: Si consideri il circuito disegnato in figura, con R1=R2=1.2 kΩ,
L=2.5 mH, V1=10V. All’istante t=0 l’interruttore, che è inizialmente aperto, viene
chiuso.
Quesito 7 Calcolare la corrente attraverso l’induttanza all’istante t=0.
IL (t = 0)[A]=
Quesito 8 Trovare il tempo t0 a cui la corrente attraverso l’induttanza ha il valore I(t0 ) = 4 mA.
t0 [s]=
Quesito 9 Dopo che l’interruttore è rimasto chiuso per lungo tempo, viene riaperto. Calcolare la corrente attraverso la
resistenza R1 subito dopo la riapertura, considerandola positiva se scorre dall’alto verso il basso e negativa se scorre
nel verso opposto.
IR1 [A]=
Fisica Generale per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
Soluzioni del compito del 14/1/2010.
Problema 1:
Quesito 1 Prendendo come riferimento la figura del testo del compito calcoliamo l’angolo acuto α
formato dalla trave con il muro. Il triangolo formato dal muro, il filo e la trave è un triangolo
isocele, quindi gli angoli formati dal filo con il muro e con la trave sono uguali e pari a θ, inoltre
la somma degli angoli interni di un triangolo è π, da cui:
2θ + (π − α) = π ⇒ α = 2θ.
Il sistema è in equilibrio e quindi la somma dei momenti delle forze applicate alla trave è nulla.
Prendendo come polo la cerniera si ha:
−P
L
sin 2θ + T L sin θ = 0 ⇒ T = P cos θ = 219 N
2
Quesito 2 Il sistema è in equilibrio e quindi la somma delle forze applicate alla trave è nulla. Scomponendo lungo la direzione parallela al muro (y) e nella direzione perpendicolare (x):
−P + Ry + T sin β = 0
Rx − T cos β = 0
dove β è l’angolo acuto formato dal filo con l’asse x. Per calcolare β si considera il triangolo
rettangolo formato dal filo, il muro e l’asse x:
π
π
β+θ+ =π ⇒β = −θ
2
2
e si può calcolare:
�π
�
Ry = P − T sin
− θ = P − T cos θ = 63 N
� π2
�
Rx = T cos
− θ = T sin θ = 110 N
2
Quesito 3 Come per il Questito 1 imponiamo che la somma dei momenti delle forze applicate alla
trave sia nulla prendendo come polo la cerniera:
L
sin 2θ + F L sin θ = 0
2
dove F è la forza elastica: F = k∆L = k(2L cos θ − L0 ). La soluzione θ = 0 è una soluzione di
equilibrio instabile. Sostituendo sin 2θ = 2 sin θ cos θ e risolvendo per cos θ:
−P
cos θ =
kL0
= 0.7857 ⇒ θ = 0.667 rad = 38.21◦
2kL − P
Problema 2:
Quesito 4 Essendo la traiettoria del satellite circolare ed uniforme l’unica forza agente, la forza di
attrazione gravitazionale con la terra, sarà pari alla forza centripeta. In modulo vale quindi la
relazione:
mMT
v2
G
=
m
.
(RT + h)2
RT + h
Il valore di G può anche essere ricavato dall’accelerazione di gravità sulla superficie della terra:
G = gRT2 /MT [m3 kg−1 s−2 ]. Sostituendo nell’equazione precedente si ricava v:
�
gRT2
v=
= 7807 m/s.
RT + h
1
Quesito 2
T = 2π
RT + h
= 5255 s = 88 min
v
Quesito 3 La somma delle forze agenti sulla massa m è pari alla forza centripeta:
FT − Fm = m
v2
RT + h
GmMT
dove Fm = k∆x è la forza della molla e FT = (R
2 è la forza di attrazione della terra.
T +h)
Sostituendo si trova:
�
�
m
gRT2
v2
∆x =
−
=0
k (RT + h)2 RT + h
Problema 3 per Fisica Generale 1:
�
Quesito 7 Il lavoro compiuto dal sistema vale L = pdV ovvero corrisponde all’area della curva
disegnata dal ciclo nel piano (V, p). In questo caso è un quadrato di lati p0 e V0 , quindi:
L = p0 · V0 = 3375 J
Quesito 8 È necessario calcolare il calore assorbito dal sistema. Il gas assorbe calore nei tratti A → B
e B → C e si ha che:
QAB = n cv (TB − TA )
QBC = n cp (TC − TB ).
Per calcolare le temperature si utilizza l’equazione di stato per i gas perfetti ottenendo:
TA = T0 =
p0 V0
nR
TB = 2TA
TC = 4TA .
Il calore assorbito Qass = QAB + QBC vale:
3
5
13
Qass = ncv T0 + ncp · 2T0 = nRT0 + 2 · nRT0 = p0 V0 ,
2
2
2
da cui il rendimento:
η=
L
2
=
= 0.15
Qass
13
Quesito 9 Il rendimento di un ciclo di Carnot vale:
η(Carnot) = 1 −
T2
T1
dove T1 è la temperatura più alta mentre T2 quella più bassa. Quindi:
η(Carnot) = 1 −
T0
= 0.75.
4T0
Il rendimento della macchina di Carnot è maggiore, come deve essere, rispetto al rendimento della
macchina reale.
2
Problema 3 per Fisica Generale:
Quesito 7 La serie di R2 e L1 è tenuta a potenziale costante V 1. Questo è un circuito RL per cui, nel
caso di carica del circuito, vale:
IL (t) =
t
V1
(1 − e− τ )
R2
τ=
L1
= 2.1 µs
R2
Valutando l’espressione per t = 0:
iL (0) = 0 mA
Quesito 8 Si ricava t0 dall’equazione:
IL (t0 ) = I(t0 ) ⇒
da cui:
t0
V1
(1 − e− τ ) = I(t0 )
R2
�
�
I(t0 )R2
t0 = −τ ln 1 −
= 0.65 τ = 1.37 µs
V1
Quesito 9 Prima dell’apertura dell’interruttore in R2 scorre una corrente pari a VR21 = +8.3 mA.
Subito dopo l’apertura dell’interruttore la corrente che passa nell’induttanza non cambia e quindi
la maglia è percorsa in senso orario e la corrente che attraversa R1 cambia verso, da cui:
IR1 = −
V1
= −8.3 mA
R2
3
Cognome
Nome
Numero di matricola
Fisica Generale per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
A.A. 2008/2009
Appello del
1/2/2010.
• Tempo a disposizione: 2h30
• Modalità di risposta: scrivere la formula parametrica della risposta nello spazio grande e la risposta numerica nello
spazio piccolo. Valore di ciascun quesito: 4 punti. Non ci sono penalità per le risposte errate.
• Durante la prova scritta è consentito usare solo il formulario personale, strumenti di disegno e scrittura, calcolatrice:
non è possibile utilizzare eserciziari o appunti. Il candidato dovrà restituire tutta la carta fornita dagli esaminatori:
non è consentito utilizzare fogli di carta propri per svolgere l’elaborato. Candidati scoperti in violazione di questa
norma verranno allontanati dalla prova.
• Si assumano i seguenti valori per le costanti che compaiono nei problemi: g = 9.81 ms−2 , µ0 = 4π · 10−7 H/m,
ε0 = 8.85 · 10−12 F/m, RT = 6.37 × 106 m, MT = 5.98 × 1024 kg.
Problema 1: Una sbarretta di lunghezza L = 35 cm e massa M = 1.5 kg è incernierata per un suo estremo e posta
in equilibrio in posizione verticale con la cerniera in basso. Un proiettile di massa m = 120 g viaggia con velocità
v0 = 25 m/s perpendicolarmente alla sbarretta ad un’altezza L/2 dalla cerniera e urta la sbarretta rimanendo attaccato
ad essa.
Quesito 1 Determinare la velocità angolare dei due corpi subito dopo l’urto.
ω1 [s−1 ]=
Quesito 2 Determinare la velocità angolare dei due corpi quando la sbarretta si trova in posizione verticale con la
cerniera in alto.
ω2 [s−1 ]=
Quesito 3 Determinare le componenti Rx e Ry della reazione vincolare della cerniera quando la sbarretta si trova in
posizione verticale con la cerniera in alto.
Rx [N]=
Ry [N]=
Problema 2: Nella zona di spazio −d < x < d, con d = 5 cm è presente un campo elettrico costante diretto lungo l’asse
x, che dipende dalla coordinata x: Ex = −βx; Ey = 0; Ez = 0, con β = 1.2 × 105 N/Cm Una pallina di massa m = 2.5 g
con una carica positiva q = 100 µC viene abbandonata da ferma in x = −d.
Quesito 4 Calcolare il lavoro compiuto dalla forza elettrica quando la carica si muove da x = −d a x = 0.
W [J]=
Quesito 5 Calcolare la velocità della carica q in x = 0.
v[m/s]=
Quesito 6 Calcolare quanto tempo impiega la carica ad andare da x = −d a x = 0.
t[N]=
Solo per il corso di Fisica Generale I (270)
Problema 3: Un tubo di Venturi, mostrato in figura, ha il raggio di entrata di
R1 = 2.5 cm e quello di uscita di R2 = 1.25 cm. Al suo interno scorre benzina,
con densità ρ = 700 kg/m3 . La differenza di pressione è P1 − P2 = 21 kPa ed il
tubo è inizialmente posto in orizzontale.
Quesito 7 Calcolare il rapporto tra la velocità del fluido in entrata e quella in uscita.
v1 /v2 =
Quesito 8 Calcolare la velocità del fluido in uscita.
v2 [m/s]=
Quesito 9 Il tubo viene ruotato in verticale mantenendo la stessa portata. La differenza di altezza tra i manometri è
h2 − h1 = 80 cm, cioè l’uscita è piú in alto dell’entrata. Calcolare la differenza di pressione tra i manometri in questa
nuova situazione.
P1 − P2 [kPa]=
Solo per il corso di Fisica Generale (509)
Problema 3: Una spira circolare di raggio a = 55 cm, giacente nel piano xy e con il centro
posto all’origine delle coordinate come indicato in figura, è percorsa da una corrente I in
senso antiorario che per t < 0 è costante I(t) = I0 , mentre per t > 0 varia secondo la legge
I(t) = I0 exp(−t/τ ) con I0 = 1350 A e τ = 1.5 ms.
Al centro della spira si trova una piccola bobina costituita da N = 400 spire conduttrici
di raggio b = 0.5 cm con asse parallelo all’asse z. La resistenza complessiva della bobina è
R = 0.50 Ω, mentre l’autoinduttanza è trascurabile.
Quesito 7 Calcolare il campo magnetico nell’origine degli assi quando la spira è percorsa dalla corrente costante (per
t < 0).
B0 [T]=
Quesito 8 Determinare la corrente i(t) che scorre nella bobina in funzione del tempo e calcolarla numericamente all’istante t = τ /2.
i(t)[A]=
Quesito 9 Calcolare l’energia dissipata nella bobina nell’intervalo di tempo −∞ < t < ∞.
E[J]=
Fisica Generale per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
Soluzioni del compito del 1/2/2010.
Problema 1:
Quesito 1 Nell’urto si conserva il momento angolare:
� �2
L
L
mv0 = Iω1 + m
ω1
⇒
2
2
ω1 =
mv0 L/2
= 8.1 s−1
I + mL2 /4
dove I è il momento d’inerzia della sbarretta calcolato rispetto ad un estremo:
� �2
1
L
2
I = ML + M
= 0.061 Kg m2
12
2
.
Quesito 2 Nel moto successivo all’urto si conserva l’energia meccanica del sistema. Prendendo come
zero dell’energia potenziale gravitazionale il livello della cerniera, si ha:
�
�2
�
�2
1 2 1
L
L
1 2 1
L
L
Iω1 + m
ω1 + (M + m)g = Iω2 + m
ω2 − (M + m)g
2
2
2
2
2
2
2
2
da cui si ricava ω2 :
ω22 = ω12 +
(m + M )Lg
2
1
I + 12 m L4
2
⇒
ω2 = 15.4 s−1
Quesito 3 Le forze agenti sul sistema composto dai due corpi sono la forza peso e la reazione vincolare
R:
Ry − (M + m)g = (M + m)acm
y
Rx = (M + m)acm
x .
La componente lungo y dell’accelerazione del centro di massa corrisponde alla accelerazione
centripeta radiale:
L 2
acm
ω
y =
2 2
quindi:
L
Ry = (M + m)(g + ω22 ) = 83.1 N.
2
La componente lungo x dell’accelerazione del centro di massa è legata all’accelerazione angolare:
L
acm
x = α ,
2
ma α = 0 in quanto nessuna delle forze in gioco fa un momento rispetto alla cerniera, quindi:
Rx = (M + m)α
.
1
L
=0N
2
Problema 2:
Quesito 4 La forza elettrica è diretta lungo x e vale:
Fx = q Ex = −qβx.
Si riconosce che la forza elettrica è equivalente alla forza di una molla di costante elastica k =
qβ = 12 N m e lunghezza a riposo nulla. Il lavoro è quindi pari alla differenza di energia potenziale
della molla:
1
W = k(−d)2 = 0.015 J
2
Si ottiene lo stesso risultato anche applicando la definizione di lavoro:
� 0
� 0
(−d)2
W =
Fx dx = −k
xdx = k
2
−d
−d
Quesito 5 Il lavoro è pari alla differenza di energia cinetica della particella:
�
1 2
2W
W = mv − 0
⇒
v=
= 3.5 m/s
2
m
Quesito 6 Per andare da x = −d a x = 0 la particella impiega 1/4 del periodo T:
�
�
2π
k
T
π m
T =
eω=
⇒
t= =
= 0.023 s
ω
m
4
2 k
Problema 3 per Fisica Generale 1:
Quesito 7 Applicando l’equazione di continuità:
v1 A1 = v2 A2
R22
v1
= 2 = 0.25
v2
R1
⇒
Quesito 8 Applicando il teorema di Bernoulli e utilizzando la risposta del quesito precedente :
1 2
1
ρv1 + P1 = ρv22 + P2
2
2
da cui:
�
�
�
v2 = �
con
v1 =
R22
v2
R12
P 1 − P2
�
� = 8 m/s
R24
1
ρ 1 − R4
2
1
Quesito 9 La portata rimane la stessa, e quindi anche v1 e v2 . Applicando ancora il teorema di
Bernoulli:
1
1 2
ρv1 + P1 + ρgh1 = ρv22 + P2 + ρgh2
2
2
si ottiene:
1
1
R4
P1 − P2 = ρg(h2 − h1 ) + ρ(v22 − v12 ) = ρg(h2 − h1 ) + ρv22 (1 − 24 ) = 26.5 kPa
2
2
R1
2
Problema 3 per Fisica Generale:
Quesito 7 Il campo magnetico generato al centro di una spira vale:
B0 = µ0
I0
= 1.5 10−3 T
2a
Quesito 8 Per t < 0 la corrente nella spira è costante e quindi non scorre corrente nella bobina:
i(t < 0) = 0.
Per t > 0 la corrente nella spira varia e quindi anche il flusso del campo magnetico attraverso la
bobina producendo una forza elettromotrice indotta che genera una corrente:
i(t > 0) =
f em
.
R
La f em si calcola con la legge di Faraday:
f em = −N
dΦ(B)
.
dt
Per calcolarla prendiamo il campo magnetico al centro della spira e calcoliamo il flusso attraverso
una spira della bobina:
B = µ0
I(t)
= B0 e−t/τ
2a
quindi:
i(t > 0) =
per t =
τ
2
⇒
Φ(B) = B0 πb2 e−t/τ
f em
N dΦ(B)
N B0 πb2 −t/τ
=−
=
e
R
R
dt
R τ
vale:
i(τ /2) =
N B0 πb2 −1/2
e
= 0.038 A.
Rτ
Quesito 9 Per t < 0 non scorre corrente nella bobina e quindi non si dissipa energia. Per t > 0 si
dissipa energia per effetto Joule:
� +∞
�
N 2 B02 π 2 b4 +∞ −2t/τ
N 2 B02 π 2 b4
2
E=
Ri (t)dt =
e
dt
=
= 1.5 10−6 J
Rτ 2
2Rτ
0
0
3
Cognome
Nome
Numero di matricola
Fisica Generale per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
A.A. 2008/2009
Appello del
19/2/2010.
• Tempo a disposizione: 2h30
• Modalità di risposta: scrivere la formula parametrica della risposta nello spazio grande e la risposta numerica nello
spazio piccolo. Valore di ciascun quesito: 4 punti. Non ci sono penalità per le risposte errate.
• Durante la prova scritta è consentito usare solo il formulario personale, strumenti di disegno e scrittura, calcolatrice:
non è possibile utilizzare eserciziari o appunti. Il candidato dovrà restituire tutta la carta fornita dagli esaminatori:
non è consentito utilizzare fogli di carta propri per svolgere l’elaborato. Candidati scoperti in violazione di questa
norma verranno allontanati dalla prova.
• Si assumano i seguenti valori per le costanti che compaiono nei problemi: g = 9.81 ms−2 , µ0 = 4π · 10−7 H/m,
ε0 = 8.85 · 10−12 F/m, RT = 6.37 × 106 m, MT = 5.98 × 1024 kg, Rgas = 8.31 JK−1 mol−1 .
Problema 1: Una pallina di massa m1 = m = 2 Kg può scorrere senza attrito
su una sbarretta verticale liscia in presenza di gravità. La massa è collegata
all’estremità di un filo elastico (molla ideale), di costante elastica k = 100
N/m e di lunghezza a riposo nulla, la cui estremità è centrata nel punto E, di
coordinate (d, 0), nel sistema di assi coordinati in figura, d = 20 cm.
Quesito 1 Calcolare la coordinata yeq della posizione di equilibrio della pallina m1 (attenzione al segno).
yeq [m]=
Quesito 2 La pallina m1 viene lasciata da ferma nella posizione iniziale A di coordinate (0, −3d). Calcolare la sua
velocità quando passa nel punto O(0,0).
v0 [m/s]=
Quesito 3 Quando la pallina m1 passa per il punto O urta una seconda pallina di massa m2 = m che si trova ferma in
quella posizione. Le due palline rimangono attaccate tra loro e attaccate alla molla. Trovare l’altezza massima h
raggiunta dalle palline nel moto successivo all’urto.
h[m]=
Problema 2: Un satellite di massa 850 kg si trova su un’orbita circolare intorno alla terra con periodo T = 12ore.
Quesito 4 Calcolare la velocità v0 del satellite.
v0 [m/s]=
Quesito 5 Il satellite esplode in due frammenti di massa uguale. Il primo frammento ha la velocità diretta radialmente
verso il centro della terra e pari a v0 . Calcolare differenza di energia cinetica tra il sistema costituito dai due
frammenti dopo l’esplosione ed il satellite prima dell’esplosione.
∆E[J]=
Quesito 6 Calcolare la velocità v1 con cui il primo frammento tocca la superficie terrestre (trascurando la resistenza
dell’aria).
v1 [m/s]=
Solo per il corso di Fisica Generale I (270)
Problema 3:
Una macchina termica viene fatta funzionare con un ciclo di Carnot inverso per riscaldare un ambiente a TH =20◦ C. La
temperatura esterna di TC =2◦ C. La macchina utilizza un gas perfetto biatomico e ad ogni ciclo il motore compie un
lavoro pari a 230J. Nella compressione isoterma a temperatura piú alta il gas passa da un volume di 20 litri ad un volume
di 10 litri.
Quesito 7 Calcolare il calore QH fornito all’ambiente per ogni ciclo
QH [J]=
Quesito 8 Il numero di moli del gas
n=
Quesito 9 La massima presione pmax raggiunta dal gas.
pmax [Pa]=
Solo per il corso di Fisica Generale (509)
Problema 3: Un cilindro conduttore pieno di altezza h=1.2m e raggio a=0.8cm ha una carica totale Q1 =3nC. E’
circondato da un guscio cilindrico di spessore trascurabile di raggio b = 4a con carica Q2 =7nC. Si consideri valida
la condizione h >> a.
Quesito 7 Calcolare il campo elettrico in funzione del raggio in tutto lo spazio. Determinarlo numericamente per r = 2a.
E[V/m]=
Quesito 8 Calcolare la differenza di potenziale tra i due conduttori.
∆V [V]=
Quesito 9 I due cilindri vengono collegati attraverso un filo conduttore. Determinare, all’equilibrio elettrostatico, la
carica sull’armatura esterna.
Q2F [C]=
Fisica Generale per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
Soluzioni del compito del 19/2/2010.
Soluzione del Problema 1:
Quesito 1 La massa m1 è in equilibrio e quindi la risultante delle forze agenti su di essa è nulla:
! = 0,
F!el + m1!g + N
! è la reazione vincolare diretta perpendicolarmente al vincolo (quindi lungo x) e F!el è la
dove N
forza elastica della molla diretta lungo la molla. Il modulo della forza elastica vale: |F!el | = kL
dove L è la lunghezza della molla. Sostituendo e scomponendo l’equazione lungo gli assi:
kL cos θ − N = 0
lungo x
kL sin θ − mg = 0
lungo y.
Dalla figura si nota che L sin θ = −yeq (e che L cos θ = d). Sostituendo nell’equazione per y si
ricava:
yeq = −mg/k = −0.196 m
Quesito 2 Le forze agenti sul vincolo sono conservative e la reazione vincolare non fa lavoro, quindi si
conserva l’energia meccanica:
1
1
1
−mg(3d) + k[(3d)2 + d2 ] = mv02 + kd2
2
2
2
avendo posto lo zero dell’energia potenziale gravitazionale a y = 0. Si ricava:
!
k
v0 = 9 d2 − 6gd = 2.5 m/s
m
Quesito 3 Nell’urto sono presenti due forze esterne: la forza gravitazionale e la reazione vincolare. La
prima non è impulsiva e la seconda agisce lungo x e non fa lavoro quindi la quantità di moto lungo
y si conserva:
1
mv0 = 2mvf
⇒
vf = v0 ,
2
dove vf è la velocità delle due masse dopo l’urto. Successivamente si conserva l’energia:
1
1
1
(2m)vf2 + kd2 = (2m)gh + k(d2 + h2 ).
2
2
2
Sostituendo vf e risolvendo l’equazione di secondo grado in h si trova:
"
−2mg + 4m2 g 2 + 12 kmv02
h=
= 0.139 m,
k
avendo scelto la soluzione positiva.
1
Soluzione del Problema 2:
Quesito 4 Per un moto circolare si ha che:
2πR
,
T
dove R è il raggio dell’orbita (non il raggio della Terra). Per trovare R si impone che la forza
gravitazionale sia uguale a quella centripeta:
v0 =
GMT m
v02
=m
R2
R
⇒
R=
MT G
.
v02
Sostituendo R nella prima equazione:
2π MT G
v0 =
T v02
⇒
v0 =
3
!
2πMT G
= 3871 m/s
T
Notare che la costante gravitazionale G è legata a g dalla relazione g =
Dalla prima equazione si ricava anche R = 26.6 106 m.
MT G
2 .
RT
Quesito 5 Per trovare la velocità vf del secondo frammento si impone la conservazione della quantità
di moto nell’esplosione. Infatti l’unica forza esterna è la forza gravitazionale che non è impulsiva.
Scriviamo la conservazione della quantità di moto lungo la direzione tangenziale (x) e quella
radiale (y) dell’orbita:
m
mv0 = vf,x
lungo x
2
m
m
0 = vf,y − v0
lungo y.
2
2
Si ricavano quindi le componenti di vf e si calcola il modulo:
"
"
√
2
2
vf = vf,x + vf,y = v02 + (2v0 )2 = 5v0 .
La differenza di energia cinetica vale:
#
$
1m 2 1m 2
1
∆E =
v0 +
vf − mv02 = mv02 = 1.27 1010 J
22
22
2
Quesito 6 Durante la caduta del frammento si conserva l’energia meccanica:
%
'
&
1 m 2 mMT G
1
1
1 m 2 mMT G
2
v −
=
v −
⇒
v1 = v0 + 4MT G
−
= 14351 m/s
22 0
R
22 1
RT
RT
R
Soluzione del Problema 3 per Fisica Generale I (270):
Quesito 7 Il COP della pompa di calore vale:
COP =
QH
TH
=
= 16.3
W
TH − TC
dove l’ultima uguaglianza vale perché la macchina opera con un ciclio di Carnot. Si può calcolare
quindi QH :
QH = COP · W = 3749 J.
2
Quesito 8 Il lavoro compiuto dal gas durante la trasformazione isoterma a temperatura più alta vale:
WTH = nRTH ln(Vf /Vi )
dove Vf = 10 L e Vi = 20 L. Inoltre, essendo la trasformazione isoterma ∆U = 0 e quindi
WTH + QH = 0, per cui:
nRTH ln(0.5) = −QH
⇒
n=
−QH
= 2.2 mol
RTH ln(0.5)
Quesito 9 Applicando l’equazione di stato dei gas perfetti nel punto sul piano (P, V ) di pressione
massima, si ha:
nRTH
= 5.4 105 Pa
Pmax =
Vf
Soluzione del Problema 3 per Fisica Generale (509):
Quesito 7 Per r < a il campo elettrico è nullo in quanto il cilindro è un conduttore. Per a < r < b
il campo è generato dalla carica presente sul cilindro interno. Utilizziamo il teorema di Gauss
e prendiamo come superficie per il calcolo del flusso un cilindro di altezza h coassiale con i due
conduttori che sia compreso tra di essi. Vale:
E · 2πrh =
Q1
ε0
⇒
E=
Q1
.
2πε0 hr
Per r = 2a < b si ha:
Q1
= 2810 V/m
4πε0 ha
Per r > b si utilizza il teorema di Gauss come sopra, prendendo come superficie un cilindro che
contiene entrambi i conduttori e si trova:
E=
E=
Q1 + Q2
.
2πε0 hr
Quesito 8 La !differenza di potenziale si trova a partire dal campo elettrico secondo la formula:
∆V = − Edr. Nel nostro caso E è quello calcolato per a < r < b, quindi:
∆V = −
"
a
b
Q1
Q1
Q1
dr = −
ln (b/a) = −
ln(4) = −62.3 V
2πε0 hr
2πε0 h
2πε0 h
Quesito 9 All’equilibrio elettrostatico non scorre corrente tra i due conduttori e quindi ∆V è nullo.
Questo accade quando sul conduttore interno non è più presente carica (vedi risposta al quesito
precedente) che si sarà quindi spostata sotto forma di corrente sul conduttore esterno, per cui:
Q2F = Q1 + Q2 = 10 nC
3
Cognome
Nome
Numero di matricola
Fisica Generale I per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
A.A. 2009/2010
Primo compitino del
24/2/2010.
• Tempo a disposizione: 2h30
• Modalità di risposta: scrivere la formula parametrica della risposta nello spazio grande e la risposta numerica nello
spazio piccolo. Valore di ciascun quesito: 4 punti. Non ci sono penalità per le risposte errate.
• Durante la prova scritta è consentito usare solo il formulario personale, strumenti di disegno e scrittura, calcolatrice:
non è possibile utilizzare eserciziari o appunti. Il candidato dovrà restituire tutta la carta fornita dagli esaminatori:
non è consentito utilizzare fogli di carta propri per svolgere l’elaborato. Candidati scoperti in violazione di questa
norma verranno allontanati dalla prova.
• Si assumano i seguenti valori per le costanti che compaiono nei problemi: g = 9.81 ms−2 , µ0 = 4π · 10−7 H/m,
ε0 = 8.85 · 10−12 F/m, RT = 6.37 × 106 m, MT = 5.98 × 1024 kg.
Problema 1: Una pallina di massa m = 55 g è appesa, attraverso una corda
inestensibile ad un corpo di massa M = 2m appoggiato su un piano scabro con
coefficiente di attrito statico µs = 0.7. La corda pende per un tratto L = 0.85m
dal bordo del piano orizzontale. Il punto di sospensione P è privo di attrito.
Sia θ l’angolo formato dalla corda con la verticale. La pallina viene lasciata
andare con velocità nulla dalla posizione in cui θ = θ0 = 30◦ . Si osserva che il
corpo M rimane fermo sul piano orizzontale.
Quesito 1 Calcolare l’accelerazione della massa m non appena viene lasciata andare.
a[m/s2 ]=
Quesito 2 Trovare per quale valore di θ la tensione del filo è massima e calcolarne il valore.
Tmax [N]=
Quesito 3 Se l’angolo a cui viene abbandonata la pallina è maggiore di θ0 , il corpo M può muoversi sotto l’azione della
tensione della corda. Calcolare il massimo valore dell’angolo di partenza θmax per cui il corpo M rimane sempre
fermo durante l’intera oscillazione.
θmax [N]=
Problema 2: Un bambino di massa m = 35 kg si trova al bordo di una giostra
circolare di massa M = 135 kg e raggio R = 1.5 m. La giostra puó essere considerata
come un cilindro uniforme pieno. La giostra ed il bambino sono inizialmente in
rotazione con una velocità angolare ω = 1.25 rad/s.
Quesito 4 Calcolare l’energia cinetica del sistema giostra piú bambino.
E[J]=
Quesito 5 Il bambino si muove verso il centro della giostra fino ad arrivare al profilo circolare fisso (cioè che non ruota)
che serve da freno e che si trova ad un raggio R� = 0.50 m. Calcolare la velocità angolare ω � del sistema quando il
bambino ha raggiunto il profilo circolare.
ω � [rad/s]=
Quesito 6 Il bambino esercita sul profilo circolare una forza frenante tangenziale F = 25 N. Calcolare dopo quanto
tempo si ferma la giostra.
t[s]=
Problema 3: Una cassa di massa m = 5 kg e dimensioni trascurabili è appoggiata sul pavimento di una stanza di lunghezza L = 4.5 m. La cassa è
appoggiata ad una molla di costante elastica k = 250 N/m e lunghezza a riposo
L0 = 1.5 m e la comprime completamente contro una parete. Il pavimento è
liscio nella zona sotto la molla, ed ha invece un coefficiente di attrito dinamico µd = 0.3 nella zona dalla fine della molla all’altra parete. La cassa viene
lasciata libero di muoversi partendo con velcità nulla.
Quesito 7 Calcolare la velocità della cassa quando colpisce l’altro muro.
v[m/s]=
Quesito 8 La cassa rimbalza sul muro in modo perfettamente elastico e ripercorre la stanza. Calcolare la massima
compressione della molla dopo il primo rimbalzo.
xmax [m]=
Quesito 9 La cassa continua a rimbalzare tra la molla ed il muro. Calcolare quanti rimbalzi effettua e a quale distanza
dal muro a cui è attaccata la molla si ferma.
d[m]=
Fisica Generale per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
Soluzioni del compitino del 24/2/2010.
Problema 1:
Quesito 1 Consideriamo la pallina attaccata al filo, le forze agenti su di essa sono la tensione del filo
T e la forza peso. Il moto della pallina soddisfa quindi le seguenti equazioni:
T − mg cos θ = mar
mg sin θ = mat
lungo la direzione radiale
lungo la direzione tangenziale,
dove ar = ω 2 L è l’accelerazione centripeta e at è quella tangenziale. La pallina viene lasciata con
velocità nulla (ω = 0) e quindi all’inizio del moto possiede solo accelerazione tangenziale:
a = at = g sin θ0 = 4.9 m/s2
Quesito 2 Dalla prima equazione scritta sopra possiamo ricavare T in funzione dell’angolo θ:
T − mg cos θ = mω 2 L
dove anche la velocità angolare ω dipende dall’angolo θ. Per trovare ω in funzione di θ si utilizza
la conservazione dell’energia meccanica:
1
−mgL cos θ0 = −mgL cos θ + m(ωL)2
2
avendo preso come zero dell’energia potenziale gravitazionale l’altezza del perno. Ricavando ω in
funzione di θ e sostituendo nell’equazione per T , si trova:
T = mg(3 cos θ − 2 cos θ0 ).
Si vede che T è massima per θ = 0, per cui:
Tmax = mg(3 − 2 cos θ0 ) = 0.68 N
Quesito 3 Per il corpo M , quando è all’equilibrio, valgono le seguenti equazioni:
T − Fa = 0
N − Mg = 0
lungo x
lungo y,
dove T è la tensione del filo (uguale a quella applicata alla pallina perchè sul perno non c’è attrito),
N è la reazione del piano e Fa ≤ µs N è la forza di attrito. La condizione limite perchè il corpo
non si muova è che la tensione massima sia pari alla forza di attrito massima: T = µs M g. Nel
punto precedente abbiamo visto che la tensione massima si ha per θ = 0 ed è legata all’angolo di
partenza θmax : T = mg(3 − 2 cos θmax ), quindi:
� �
��
1
M
mg(3 − 2 cos θmax ) = µs M g
⇒
θmax = arccos
3 − µs
= 0.64 rad
2
m
1
Problema 2:
Quesito 4 L’energia cinetica è data dall’energia cinetica rotazionale del disco (I = 12 M R2 ) sommata
all’energia cinetica del bambino:
�
�
1 1
1
2
E=
M R ω 2 + m(ωR)2 = 180.2 J
2 2
2
Quesito 5 La componente del momento angolare lungo l’asse perpendicolare alla giostra (z) si conserva
in quanto le forze agenti tra il bambino e la giostra sono forze interne al sistema ed inoltre il
momento della forza peso (forza esterna) giace sul piano della giostra. Il momento angolare lungo
z è dato dalla somma del momento angolare della giostra più quello del bambino. Inizialmente
si ha L1 = Iω + mωR2 e quando il bambino arriva a R� si ha L2 = Iω � + mω � R�2 , uguagliando
L1 = L2 si ricava ω � :
1
M R2 + mR2
ω � = 12
ω = 1.79 rad/s
2 + mR�2
M
R
2
Quesito 6 Il bambino esercita un momento frenante costante K = F R� . Nel nostro caso, dato che il
momento della forza non dipende dal tempo, la seconda equazione cardinale si scrive:
∆L
= −K.
∆t
Quando la giostra si ferma il suo momento angolare si annulla e quindi: ∆L = −L1 = −L2 , per
cui:
1
M R2 + mR2
∆t = 2
ω = 23.1 s
F R�
Problema 3:
Quesito 7 Quando la cassa è spinta dalla molla l’energia meccanica si conserva, di conseguenza l’energia cinetica posseduta dalla cassa quando essa si stacca dalla molla è pari all’energia potenziale
della molla: E = 12 kL20 . La cassa infatti si stacca dalla molla a L0 e quindi non possiede energia
potenziale elastica. Nel moto successivo, quando la cassa percorre interamente il piano con attrito,
la sua variazione di energia cinetica è pari al lavoro della forza di attrito:
�
1 2
k 2
E − mv = mgµd (L − L0 )
⇒
v=
L − 2gµd (L − L0 ) = 9.7 m/s
2
m 0
Quesito 8 L’urto con la parete è elastico e quindi l’energia cinetica prima dell’urto è uguale a quella
dopo l’urto. L’energia cinetica persa a causa della forza d’attrito nel percorso verso la molla
è la stessa calcolata prima e quindi la cassa torna L0 con una energia cinetica pari a E1 =
E − 2 · mgµd (L − L0 ). La molla arriva alla compressione massima quando la cassa si ferma,
applicando la conservazione dell’energia meccanica, si trova:
�
1 2
m
kxmax = E1
⇒
xmax = L20 − 4gµd (L − L0 ) = 1.24 m
2
k
Quesito 9 Dato che l’energia cinetica è dissipata solo dalla forza d’attrito si può trovare il numero
di volte che la cassa attraversa il piano con l’attrito dividendo l’energia meccanica iniziale per il
lavoro della forza di attrito:
1
kL20
2
= 6.37
mgµd (L − L0 )
2
quindi la cassa percorre interamente il piano con l’attrito per 6 volte, che equivalgono a 3 rimbalzi.
L’energia cinetica E2 che ha alla fine del sesto attraversamento vale:
1
E2 = kL20 − 6 · mgµd (L − L0 ) = 16.7 J
2
Questa energia è pari al lavoro della forza di attrito che ferma definitivamente la cassa dopo aver
percorso un tratto �:
E2
mgµd � = E2
⇒
�=
= 1.14 m.
mgµd
Dato che la cassa percorre il piano con attrito un numero pari di volte, per l’ultimo tratto si
troverà dalla parte della molla, e quindi:
d = L0 + � = 2.64 m.
3
Cognome
Nome
Numero di matricola
Fisica Generale I per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
A.A. 2009/2010
Secondo compitino del
4/6/2010.
• Tempo a disposizione: 2h30
• Modalità di risposta: scrivere la formula parametrica della risposta nello spazio grande e la risposta numerica nello
spazio piccolo. Valore di ciascun quesito: 4 punti. Non ci sono penalità per le risposte errate.
• Durante la prova scritta è consentito usare solo il formulario personale, strumenti di disegno e scrittura, calcolatrice:
non è possibile utilizzare eserciziari o appunti. Il candidato dovrà restituire tutta la carta fornita dagli esaminatori:
non è consentito utilizzare fogli di carta propri per svolgere l’elaborato. Candidati scoperti in violazione di questa
norma verranno allontanati dalla prova.
• Si assumano i seguenti valori per le costanti che compaiono nei problemi: g = 9.81 ms−2 , G = 6.67 · 10−11 Nm2 kg−2
ε0 = 8.85 · 10−12 F/m, c = 3.0 · 108 m/s
Problema 1: Una stella di neutroni, che è una stella collassata di densità estremamente elevata, ha una massa uguale
alla massa del sole (MS = 1.991 · 1030 kg) ed un raggio R = 10.0 km.
Quesito 1 Calcolare l’accelerazione di gravità gS alla superficie della stella.
gS [m/s2 ]=
Quesito 2 Calcolare l’energia necessaria per portare un neutrone di massa mN = 1.67 · 10−27 kg dalla superficie della
stella all’infinito.
ES [J]=
Quesito 3 Supponendo adesso che la stella possieda una carica positiva Q = 75.0 C, calcolare la velocità di fuga dalla
superficie di un protone (considerando che abbia la stessa massa del neutrone, ed una carica positiva pari ad
e = 1.6 · 10−19 C) e confrontarla con la velocità della luce.
v[m/s]=
Problema 2: Un recipiente cilindrico di sezione S e lunghezza L =
1.0 m diviso in due parti da un setto di spessore trascurabile e mobile
con attrito trascurabile. Le due parti in cui risulta diviso il cilindro
contengono rispettivamente n1 = 0.2 e n2 = n1 /2 moli di un gas perfetto
monoatomico. Il setto collegato ad una parete del cilindro mediante
una molla ideale di lunghezza a riposo l0 = L/4. Le pareti del cilindro
sono termicamente isolanti, mentre il setto è permeabile al calore. Le
capacità termiche del cilindro, del setto e della molla sono trascurabili.
Inizialmente il sistema in equilibrio alla temperatura T0 = 300 K e il
setto divide il cilindro in due parti uguali.
Quesito 4 Calcolare la costante elastica k della molla.
k[N/m]=
Quesito 5 Ad un certo istante si produce un foro nel setto, che si porta, attraverso una trasformazione irreversibile, in
una nuova posizione di equilibrio. Calcolare la temperatura finale del gas.
T1 [K]=
Quesito 6 Calcolare la variazione di entropia nella trasformazione
∆S[J/K]=
Problema 3: Un diapason che vibra alla frequenza f0 = 512 Hz viene lasciato cadere da fermo in presenza di gravità.
L’osservatore rimane fermo nel punto in cui il diapason è stato lasciato. Si trascuri la resistenza dell’aria. Si assuma come
velocità del suono 343 m/s
Quesito 7 Calcolare a quale distanza h0 dal punto iniziale le onde emesse dal diapason verranno percepite dall’osservatore
con una frequenza f1 = 485 Hz.
h0 [m]=
Quesito 8 Calcolare a quale distanza h1 dal punto iniziale si trova il diapason quando le onde emesse vengono effettivamente percepite dall’osservatore con una frequenza f1 .
h1 [m]=
Quesito 9 Supponendo che il diapason emetta costantemente una potenza sonora P = 1.5 mW calcolare l’intensità
sonora percepita dall’osservatore quando percepisce la frequenza f1 .
I[dB]=
Fisica Generale per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
Soluzioni del compitino del 4/6/2010.
Problema 1:
Quesito 1 L’accelerazione di gravità è data dalla forza di Newton diviso la massa soggetta all’accelerazione: gS = GMS /R2 = 1.33 · 1012 m/s2
Quesito 2 L’energia per portare un neutrone dalla superficie della stella all’infninito è data dall’energia
potenziale del protone alla superficie della stella, considerando lo zero dell’energia all’infinito:
ES = GMS mN /R = 2.22 · 10−11 J
Quesito 3 Per calcolare la velocità di fuga dobbiamo considerare l’energia potenziale complessiva del
protone alla superficie della stella, data dalla somma di quella gravitazionale (negativa perché
attrattiva) e quella elettrostatica (positiva perché repulsiva): U = UG + UE = −GMS mP /R +
eQ/4π�0 R = −1.14 · 10−11 J.
�
La velocità di fuga si ha quando l’energia totale è nulla: (1/2)mP vf2 +U = 0 → vf = −2U/mP =
1.17 · 108 m/s = 0.39c
Problema 2:
Quesito 4 Scrivendo la condizione di equilibrio del setto si ha: p1 S − p2 S − k(L/2 − L/4) = 0 da cui
k = 4(p1 S − p2 S)/L. Usando l’equazione di stato dei gas perfetti si ha che p1 S(L/2) = n1 RT0
e p2 S(L/2) = n2 RT0 , da cui (p1 S − p2 S) = 2RT0 (n1 − n2 )/L = RT0 n1 /L. Risulta quindi
k = 4RT0 n1 /L2 = 1994 N/m
Quesito 5 Nella situazione finale, la pressione sui due lati del setto sarà la stessa a causa del foro. Per
cui la molla si troverà nella posizione di equilibrio con lunghezza pari ad l0 = L/4. Il lavoro fatto
dal gas sarà pari alla variazione di energia potenziale della molla: W = 0−((1/2)k(L/2−L/4)2 ) =
−kL2 /32 = −63.3J. Per il primo principio la variazione di energia interna sarà ∆Eint = Q − W =
−W . D’altra parte sappiamo che ∆Eint = (n1 + n2 )cV (T − T0 ) da cui T = T0 − W/((n1 + n2 )cV ) =
317 K
Quesito 6 La trasformazione è irreversibile, pertanto per calcolare la variazione di entropia dobbiamo
considerare una trasformazione reversibile arbritaria che abbia gli stessi stati iniziale e finale. Consideriamo, separatamente per i due volumi di gas la trasformazione reversibile costituita da un’isoterma seguita da un’isovolumica. La variazione di entropia è: ∆S = nR log Vf /Vi + ncV log Tf /Ti .
Il gas contenuto in ciascuno dei due volumi iniziali si espande ad occupare l’intero volume, per
cui Vf /Vi = 2. La variazione complessiva per i due volumi sarà la somma dei due contributi:
T1
T1
+ n2 R log 2 + n2 cV log
=
T0
T0
T1
= n1 R((3/2) log(2) + (3/2)(3/2) log ) = 1.93 J/K
T0
∆S = n1 R log 2 + n1 cV log
1
Problema 3:
Quesito 7 Il diapason cade di moto uniformemente
√ accelerato partendo da fermo, quindi la sua velocità
dopo che è caduto di una quota h sarà 2gh. Quando il diapason ha velocità vs emetterà un
v
suono che viene percepito da un osservatore fermo con frequenza f1 = f0 v+v
in quanto la sorgente
s
si allontana dall’osservatore. Si ricava la velocità vs : vs = v(f0 /f1 − 1) = 19.1 m/s. L’altezza h0
sarà quindi h0 = vs2 /2g = 18.6 m
Quesito 8 Le onde emesse ad altezza h0 impiegano un tempo t = h0 /v per raggiungere l’osservatore,
durante il quale il diapason continua a cadere partendo da h0 con velocità vs , per cui h1 =
h0 + vs t + (1/2)gt2 = 19.6 m.
Quesito 9 L’intensità a distanza h1 è data da I = P/(4πh21 ) = 3.1 · 10−7 W/m2 . Espressa in decibel
diventa β = 10 log1 0(I/I0 ) = 55 dB
2
Cognome
Nome
Numero di matricola
Fisica Generale per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
A.A. 2009/2010
Appello del
11/6/2010.
• Tempo a disposizione: 2h30
• Modalità di risposta: scrivere la formula parametrica della risposta nello spazio grande e la risposta numerica nello
spazio piccolo. Valore di ciascun quesito: 4 punti. Non ci sono penalità per le risposte errate.
• Durante la prova scritta è consentito usare solo il formulario personale, strumenti di disegno e scrittura, calcolatrice:
non è possibile utilizzare eserciziari o appunti. Il candidato dovrà restituire tutta la carta fornita dagli esaminatori:
non è consentito utilizzare fogli di carta propri per svolgere l’elaborato. Candidati scoperti in violazione di questa
norma verranno allontanati dalla prova.
• Si assumano i seguenti valori per le costanti che compaiono nei problemi: g = 9.81 ms−2 , µ0 = 4π · 10−7 H/m,
ε0 = 8.85 · 10−12 F/m, RT = 6.37 × 106 m, MT = 5.98 × 1024 kg.
Problema 1: Un corpo di massa m = 2.5 kg viene lasciato cadere da fermo lungo un piano
inclinato che forma un angolo θ = 30◦ con l’orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico
del corpo con il piano è µd = 0.30. Dopo essere sceso di un’altezza h = 50 cm, il corpo urta
con una sbarretta di lunghezza L = 1.2 m e massa M = 8.0 kg incernierata al soffitto.
Quesito 1 Calcolare con che velocità il corpo m colpisce la sbarretta.
v[m/s]=
Quesito 2 Si osserva che subito dopo l’urto il corpo m è fermo. Calcolare la velocità angolare della sbarretta subito
dopo l’urto. Dire se si tratta di un urto elastico oppure no.
ω[rad/s]=
Quesito 3 Calcolare il massimo angolo rispetto alla verticale αMAX che la sbarretta raggiunge nel moto successivo.
αMAX [rad]=
Problema 2: Un cilindro di diametro a = 10 cm e lunghezza L = 30 cm ha un
foro di profondità H = (2/3)L e diametro b = (1/2)a coassiale con esso. La massa
del cilindro forato è M = 3.5 kg
Quesito 4 Trovare la distanza xCM del centro di massa del cilindro dalla sua base piena (il lato destro in figura).
xCM [m]=
Quesito 5 Il cilindro è sospeso a due corde inestensibili prive di massa di uguale lunghezza attaccate alle estremità.
Trovare la tensione della corda 1.
T1 [N]=
Quesito 6 Se invece il cilindro è sospeso sospeso solo tramite la corda 1, trovare che angolo forma con la verticale.
α[rad]=
Solo per il corso di Fisica Generale I (270)
Problema 3: Un cilindro di sezione S = 30 cm2 possiede al suo interno un setto di massa M = 30 kg
libero di muoversi verticalmente senza attrito. Le pareti del cilindro ed il setto sono termicamente isolanti.
Lo spazio sopra il setto è vuoto, mentre sotto il setto sono presenti n = 0.2 mol di azoto (N2 ) liquido a
una temperatura di T0 = 77 K. Con una resistenza elettrica di potenza P = 50 W viene fornito calore
all’azoto. I parametri fisici dell’azoto molecolare sono: peso molecolare A = 28 g/mol, calore latente di
vaporizzazione LV = 198.4 kJ/kg, temperatura di vaporizzazione TV = 77 K.
Quesito 7 Calcolare quanto tempo impiega la resistenza per vaporizzare completamente l’azoto e portare il gas alla
temperatura finale di T1 = 200 K.
t[s]=
Quesito 8 Calcolare a quale altezza dalla base del cilindro si porta il setto.
h[m]=
Quesito 9 La parte superiore del cilindro viene messa in contatto, molto lentamente, con l’atmosfera. Calcolare la
temperatura finale dell’azoto.
T2 [K]=
Solo per il corso di Fisica Generale (509)
Problema 3:
Su un anello sottile circolare di raggio a = 10 cm e massa M = 25 g è distribuita in modo
uniforme una carica Q = 100 µC. L’anello viene mantenuto in rotazione attorno al proprio asse
con velocità angolare costante di ω = 500 rad/s.
Quesito 7 Determinare la corrente dovuta al movimento della carica Q ed il campo magnetico da essa generato al centro
dell’anello.
B[T]=
Quesito 8 Determinare il rapporto tra il momento magnetico ed il momento angolare dell’anello e dire se dipende dalla
velocità di rotazione.
µ/L[C/kg]=
Quesito 9 Determinare il momento della forza sull’anello se viene applicato un campo magnetico esterno Bext = 0.10 T
con un angolo di 30◦ rispetto all’asse di rotazione.
τ [Nm]=
Fisica Generale per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
Soluzioni del compito del 11/6/2010.
Problema 1:
Quesito 1 Le forze agenti sul corpo sono la forza peso P� (diretta verso il basso), la forza di attrito F�a
� (perpendicolare al piano).
(diretta lungo il piano inclinato verso l’alto) e la reazione del piano N
Scomponiamo il moto del corpo nella direzione parallela (x) e perpendicolare (y) al piano inclinato
e applichiamo il primo principio della dinamica:
max = P cos θ − Fa
may = N − P sin θ = 0
Le forze sono tutte note: P = mg, Fa = µd N , N = P cos θ e quindi possiamo ricavare l’accelerazione ax :
ax = g(sin θ − µd cos θ) = 2.35 m/s2 .
Il corpo scende di un tratto h e quindi lungo x percorre un tratto l = h/ sin θ = 1 m. L’accelerazione è costante e quindi spossiamo applicare le formule del moto uniformemente accelerato,
considerando che il corpo parte da fermo si può scrivere:
1 2
ax t = l
2
e si ricava v:
v=
e
v = ax t,
�
2ax l = 2.17 m/s.
Quesito 2 Nell’urto si conserva solo il momento angolare (la quantità di moto non si conserva a causa
della presenza delle forze esterne applicate sul vincolo della sbarretta). Calcoliamo il momento
angolare subito prima (Li ) e subito dopo l’urto (Lf ).
Li = mvL sin(π/2 − θ) = mvL cos θ
e
Lf = Iω.
I = 13 M L2 = 3.84 Kg m2 è il momento d’inerzia della sbarretta rispetto al suo estremo. Applicando
la conservazione del momento angolare:
1
mvL cos θ = M L2 ω
3
⇒
ω=3
mv
cos θ = 1.47 rad/s.
ML
Possiamo ora calcolare l’energia e controllare se l’urto è elastico o no:
1
Ei = mv 2 = 5.89 J
2
1
Ef = Iω 2 = 4.15 J,
2
da cui: ∆E = −1.74 J quindi l’urto non è elastico, una parte dell’energia è dissipata.
Quesito 3 Nel moto successivo della sbarreta l’energia si conserva. Indicando con ∆d la variazione di
altezza del centro di massa:
1 2
Iω = M g∆d
2
⇒ ∆d =
1 L2 ω 2
= 0.053 m.
6 g
Possiamo quindi estrarre αMAX :
�
�
L
L
cos αMAX =
− ∆d / = 0.91
2
2
1
⇒
αMAX = 0.42 rad.
Problema 2:
Quesito 4 Per calcolare la posizione del centro
� a �2di massa si considerano due cilindri: il cilindro di
diametro a e altezza L di volume V1 = π 2 L e il cilindro di diametro b e altezza H di volume
� �2
V2 = π 2b H. La posizione del centro di massa del primo cilindro è x1 = L/2 mentre quella del
secondo cilindro è x2 = (L − H) + H/2, calcolate entrambe a partire dalla base piena dell’oggetto.
Indichiamo con ρ la densità del materiale con cui è fatto il cilindro. La posizione del centro di
massa xcm si può quindi scrivere come:
xcm =
(ρV1 )x1 − (ρV2 )x2
7
= L = 0.14 m
ρ(V1 − V2 )
15
Quesito 5 Il cilindro forato è in equilibrio per cui la somma delle forze esterne è nulla e anche la somma
dei momenti delle forze esterne:
T1 + T2 = P
T1 (L − xcm ) = T2 xcm ,
i momenti sono calcolati rispetto al centro di massa del cilindro. Risolvendo il sistema si ottiene:
xcm
T1 =
M g = 16 N.
L
Quesito 6 Quando rimane una sola corda a sorreggere il cilindro forato, la sua posizione di equilibrio
è quella in cui il centro di massa è allineato con il punto di sospensione. Anche in questo caso,
essendo il corpo all’equilibrio, la somma dei momenti deve essere nulla. Se prendiamo come
polo il punto di applicazione di T1 , il momento di T1 è nullo, di conseguenza anche quello della
forza peso deve annullarsi, altrimenti ci sarebbe un momento delle forze esterne diverso da zero.
L’unica configurazione in cui P ha momento nullo rispetto al punto di applicazione di T1 è quella
per cui la retta su cui giace P passa per il polo. Considerando il cilindro in questa posizione
e prendendo il triangolo rettangolo formato dalla congiungente tra polo e centro di massa e il
segmento perpendicolare al lato lungo del cilindro passante per il centro di massa:
�a�
tan α =
/(L − xcm ) = 0.31 ⇒ α = 0.30 rad.
2
Problema 3 per Fisica Generale 1 (270):
Quesito 7 L’azoto deve fare un passaggio di stato in cui assorbe un calore Q1 e poi raggiungere la
temperatura T1 assorbendo un calore Q2 in una trasformazione a pressione costante:
Q1 = Lv m = 1110 J
Q2 = cp n∆T = 716 J
dove m = nA. Per cui il tempo impiegato vale:
Q1 + Q2
t=
= 36.5 s.
P
Quesito 8 Applichiamo l’equazione di stato dei gas perfetti p1 V1 = nRT1 dove V1 = hS e p1 = M g/S =
98 kPa, da cui si ricava:
nRT
h=
= 1.13 m
Mg
Quesito 9 La trasformazione è una adiabatica reversibile, per cui: T1γ P11−γ = T2γ P21−γ , dove p2 =
p1 + patm = 199 kPa e γ = 75 essendo il gas biatomico. Da cui:
� � 1−γ
p1 γ
T2 = T1
= 244 K
p2
2
Problema 3 per Fisica Generale (509):
Quesito 7 Chiamiamo λ = Q/(2πa) la densità lineare di carica dell’anello, la corrente vale I = dQ/dt
con dQ = λdl e dt = dl/v, v = ωa. Sostituendo i valori si ottiene:
I=
Qω
= 8 mA
2π
Il campo magnetico al centro della spira vale:
B=
µ0 I
= 5 · 10−8 T
2a
Quesito 8 Il momento magnetico della spira vale µ = S I =
dell’anello vale L = Iω = M a2 ω.
1
Qωa2
2
mentre il momento angolare
µ
Q
=
= 2 · 10−3 C/Kg,
L
2M
indipendente dalla velocità di rotazione.
� ext , dove µ è diretto perpendicolarmente alla spira,
Quesito 9 Il momento della forza vale �τ = µ
� ×B
� ext è 30 gradi, per cui:
verso l’alto (v. figura) e quindi l’angolo compreso tra µ
� eB
τ = µBext sin 30 = 1.25 · 10−5 Nm.
3
Cognome
Nome
Numero di matricola
Fisica Generale per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
A.A. 2009/2010
Appello del
2/7/2010.
• Tempo a disposizione: 2h30
• Modalità di risposta: scrivere la formula parametrica della risposta nello spazio grande e la risposta numerica nello
spazio piccolo. Valore di ciascun quesito: 4 punti. Non ci sono penalità per le risposte errate.
• Durante la prova scritta è consentito usare solo il formulario personale, strumenti di disegno e scrittura, calcolatrice:
non è possibile utilizzare eserciziari o appunti. Il candidato dovrà restituire tutta la carta fornita dagli esaminatori:
non è consentito utilizzare fogli di carta propri per svolgere l’elaborato. Candidati scoperti in violazione di questa
norma verranno allontanati dalla prova.
• Si assumano i seguenti valori per le costanti che compaiono nei problemi: g = 9.81 ms−2 , µ0 = 4π · 10−7 H/m,
ε0 = 8.85 · 10−12 F/m, RT = 6.37 × 106 m, MT = 5.98 × 1024 kg.
Problema 1: Un cilindro pieno di raggio R = 30 cm e massa M = 150 g
è posto su un piano inclinato (θ = π/6) e collegato ad una molla di costante
elastica k = 3 N/m, come in figura. Il sistema è all’equilibrio.
Quesito 1 Trovare l’allungamento della molla.
∆x[m]=
Quesito 2 La molla viene tagliata e il cilindro rotola senza strisciare sul piano inclinato. Trovare l’accelerazione del
centro di massa subito dopo il taglio della molla.
acm [m/s2 ]=
Quesito 3 Trovare la velocità del centro di massa quando il centro di massa del cilindro si è spostato di un tratto
L = 50 cm lungo il piano inclinato.
vcm [m/s] =
Problema 2: Un satellite di massa m = 2500 kg si trova su un orbita circolare intorno alla terra, ad un altitudine
h = 500 km
Quesito 4 Calcolare il periodo dell’orbita del satellite.
T [s]=
Quesito 5 A causa di un esplosione, un pezzo del satellite di massa m1 = 1000 kg viene sparato a grande velocità. Dopo
l’esplosione il resto del satellite è fermo rispetto al centro della terra. Calcolare la velocità v1 del pezzo m1 .
v1 [m/s]=
Quesito 6 Calcolare la velocità del pezzo m1 quando si trova a grande distanza dalla terra.
v1� [m/s]=
Solo per il corso di Fisica Generale I (270)
Problema 3: Le pareti esterne di un edificio hanno una superficie complessiva S = 250 m2 . Le pareti sono costituite da
mattoni di spessore tM = 30 cm e di conducibilità termica kM = 0.30 W/mK). Si trascurino tetto e fondamenta.
Quesito 7 Calcolare la potenza trasmessa verso l’esterno dell’edificio se la temperatura interna è 20 ◦ C e quella esterna
5 ◦ C.
P1 [W]=
Quesito 8 Calcolare la potenza trasmessa se nelle pareti sono presenti finestre per il 10% della superficie, realizzate in
vetro di spessore tV = 3 mm e conducibilità termica kV = 0.9 W/mK.
P2 [W]=
Quesito 9 Calcolare la potenza assorbita da una pompa di calore realizzata con una macchina di Carnot a ciclo inverso
che matenga costante la temperatura all’interno dell’edificio, nel caso in cui siano presenti le finestre.
P3 [W]=
Solo per il corso di Fisica Generale (509)
Problema 3: Sulla superficie di una sfera isolante di raggio a = 3 cm sono disposte quattro cariche puntiformi,
ciascuna pari a q = 10 µC.
Quesito 7 Calcolare il potenziale nel centro della sfera, considerando il riferimento all’infinito.
V1 [V]=
Quesito 8 Ad una distanza d = 5.5 m (d >> a) viene posta una sfera conduttrice di massa 3.5 g, raggio a, e con una
carica totale pari a q � = 1.5 µC. Calcolare il potenziale al centro della sfera conduttrice.
V2 [V]=
Quesito 9 La sfera conduttrice viene lasciata libera di muoversi. Calcolare la sua velocità quando si trova ad un distanza
2d dalla sfera isolante.
v[m/s]=
Fisica Generale per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
Soluzioni del compito del 2/7/2010.
Soluzione del Problema 1:
Quesito 1 Scomponiamo le forze lungo la direzione parallela (x) e perpendicolare (y) al piano inclinato
e imponiamo l’equilibrio:
N − Py = 0
Px + Fel + Fa = 0
dove N è la reazione del piano, Fel = −k∆x è la forza della molla e Px = M g sin(π/6), Py =
M g cos(π/6) sono le componenti della forza peso. La forza di attrito è nulla in quanto all’equilibrio la somma dei momenti delle forze è nulla, qualsiasi sia il punto rispetto al quale si calcola.
Prendendo, infatti, come polo il centro di massa si vede che l’unica forza con momento non nullo è
la forza di attrito, che quindi deve essere nulla. Sostituendo le espressioni nella seconda equazione
si ricava l’allungamento:
Mg
∆x =
sin(π/6) = 0.245 m.
k
Quesito 2 Utilizziamo la seconda equazione cardinale rispetto al punto di contatto tra cilindro e piano
inclinato:
τ = Iα
dove τ = M gR sin(π/6)) è il momento della forza peso (l’unico che contribuisce) e I = Icm +M R2 =
3
M R2 . Si ricava α:
2
M gR2
α=
sin(π/6),
I
si trova poi acm = αR sfruttando il fatto che il cilindro non striscia, sostituendo anche I:
2
acm = g sin(π/6) = 3.27 m/s2 .
3
Quesito 3 Durante la discesa si conserva l’energia meccanica in quanto la forza di attrito non fa lavoro:
1 2
Iω = M gL sin(π/6)
2
La velocità del centro di massa è legata a ω: vcm = ωR. Ricavando ω dalla conservazione
dell’energia e sostituendo tutto si ha:
�
4
vcm =
gL sin(π/6) = 1.81 m/s
3
Soluzione del Problema 2:
Quesito 4 Per un moto circolare si ha che:
2πR
,
v
dove R = RT + h è il raggio dell’orbita e v è la velocità. Per trovare v si impone che la forza
gravitazionale sia uguale a quella centripeta:
�
GMT m
v2
MT G
=m
⇒
v=
= 7620 m/s.
2
R
R
R
T =
1
Sostituendo v nella prima equazione:
2πR
= 5665 s
v
Notare che la costante gravitazionale G è legata a g dalla relazione g =
T =
MT G
2 .
RT
Quesito 5 Nell’esplosione si conserva la quantità di moto in quanto l’unica forza esterna, la forza
gravitazionale, non è impulsiva. Quindi:
m
mv = m1 v1
⇒
v1 =
v = 19050 m/s
m1
Quesito 6 Nel moto successivo all’esplosione l’energia si conserva, per cui:
�
1
Gm1 MT
1
2MT G
2
�2
�
m1 v −
= m1 v1
⇒
v1 = v12 −
= 15709 m/s
2
R
2
R
Soluzione del Problema 3 per Fisica Generale I (270):
Quesito 7 La potenza trasmessa vale P1 = ∆T /R dove R è la resistenza equivalente. Si ha che:
R=
tM
kM S
⇒
P1 =
(Tin − Tout )kM S
= 3.75 kW
tM
Quesito 8 Nel caso siano presenti delle finestre la resistenza equivalente è il parallelo tra la resistenza
dei mattoni e quella del vetro:
1
1
1
kM S(1 − α) kv Sα
=
+
=
+
= 7725 W/K
R
RM
Rv
tM
tv
dove α = 0.1. Per cui P2 è:
(Tin − Tout )
P2 =
= 115.88 kW
R
Quesito 9 Il COP della pompa di calore vale:
Qc
1
COP =
=
= 19.5
L
1 − TTout
in
dove Qc è il calore ceduto (perso) in certo ∆t per cui: Qc = P2 ∆t. Mentre L è il lavoro esterno
necessario per far funzionare la macchina per un tempo ∆t, per cui: L = P3 ∆t. Sostituendo
nell’espressione del COP:
P2
Qc
P2
COP =
=
⇒
P3 =
= 5.9 kW.
L
P3
COP
Soluzione del Problema 3 per Fisica Generale (509):
Quesito 7 Grazie al principio di sovrapposizione, il potenziale è la somma dei potenziali dovuti alle
cariche, per cui:
q
V1 = 4
= 11987 kV.
4πε0 a
Quesito 8 Il potenziale avrà due contributi: quello della sfera carica e quello della sfera isolante, per
cui:
q�
q
V2 =
+4
= 515 kV
4πε0 a
4πε0 d
Quesito 9 Si utilizza la conservazione dell’energia:
q
1
q
4
q � = mv 2 + 4
q�
4πε0 d
2
4πε0 2d
2
⇒
v=
�
qq �
= 5.29 m/s
mπε0 d
Cognome
Nome
Numero di matricola
Fisica Generale per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
A.A. 2009/2010
Appello del
23/7/2010.
• Tempo a disposizione: 2h30
• Modalità di risposta: scrivere la formula parametrica della risposta nello spazio grande e la risposta numerica nello
spazio piccolo. Valore di ciascun quesito: 4 punti. Non ci sono penalità per le risposte errate.
• Durante la prova scritta è consentito usare solo il formulario personale, strumenti di disegno e scrittura, calcolatrice:
non è possibile utilizzare eserciziari o appunti. Il candidato dovrà restituire tutta la carta fornita dagli esaminatori:
non è consentito utilizzare fogli di carta propri per svolgere l’elaborato. Candidati scoperti in violazione di questa
norma verranno allontanati dalla prova.
• Si assumano i seguenti valori per le costanti che compaiono nei problemi: g = 9.81 ms−2 , µ0 = 4π · 10−7 H/m,
ε0 = 8.85 · 10−12 F/m, RT = 6.37 × 106 m, MT = 5.98 × 1024 kg.
Problema 1: Un corpo di massa M = 2.5 kg è appoggiato su una piattaforma
che si muove verticalmente con un moto oscillatorio y = A sin(ωt) di ampiezza
A = 15 cm. La pulsazione ω viene aumentata lentamente. Ad un certo punto
il corpo perde contatto con la piattaforma.
y
Quesito 1 Trovare il valore ω1 della pulsazione per cui il corpo perde contatto con la piattaforma.
ω1 [rad/s]=
Quesito 2 Se l’oscillazione viene mantenuta con la pulsazione ω1 trovare la massima forza esercitata dalla massa sulla
piattaforma e dire per quale punto dell’oscillazione viene esercitata.
FMAX [N]=
Quesito 3 Nel punto piú basso del moto della piattaforma, la pulsazione viene istantaneamente aumentata e portata a
ω2 = 2ω1 . Il corpo si staccherà quindi dalla piattaforma prima che questa abbia raggiunto l’estremo dell’oscillazione.
Calcolare la massima altezza yMAX raggiunta dal corpo nel moto successivo al distacco.
yMAX [m] =
Problema 2: Un blocchetto di massa m = 0.75 kg si muove senza attrito lungo
la superficie interna di una ciotola emisferica di raggio R = 25 cm e massa
M = 3.0 kg, che è appoggiata su di un tavolo privo di attrito. Il blocchetto
viene lasciato cadere da fermo dal bordo superiore della ciotola.
m
R
M
Quesito 4 Calcolare di quanto si è spostata la ciotola nel momento in cui il blocchetto raggiunge il punto piú basso.
∆x[m]=
Quesito 5 Calcolare la velocità del blocchetto nel momento in cui raggiunge il punto piú basso.
v1 [m/s]=
Quesito 6 Si consideri adesso di sostituire il blocchetto con una sferetta omogenea di pari massa e raggio a = 0.5 cm
che rotola senza strisciare lungo la ciotola (quindi in quest’ultimo caso ci sarà attrito statico). Calcolare la velocità
della sferetta nel momento in cui raggiunge il punto piú basso. Si ricordi che il momento di inerzia di una sfera
omogenea rispetto ad un asse passante per il centro vale ICM = 25 M a2 .
v2 [m/s]=
Solo per il corso di Fisica Generale I (270)
Problema 3: Un massa M = 0.8 kg di aria è contenuta in un cilindro con un pistone, inizialmente alla temperatura
ti = 25◦ C e pressione pi = 200 kPa. Al cilindro viene fornito calore ed il pistone viene lasciato libero di espandersi,
fino a raggiungere una pressione pf = 400 kPa. Si sa che durante la trasformazione, reversibile, la relazione tra
pressione e volume è p = KV 1/2 dove K è una costante. Si consideri l’aria come un gas perfetto biatomico di massa
molecolare A = 28.9 g/mol
Quesito 7 Calcolare il volume finale del gas dopo la trasformazione.
Vf [m3 ]=
Quesito 8 Calcolare il lavoro compiuto dal gas nella trasformazione
W [J]=
Quesito 9 Calcolare il calore assorbito dal gas nella trasformazione
Q[J]=
Solo per il corso di Fisica Generale (509)
Problema 3: Un filo conduttore infinito, disposto lungo l’asse z e caricato con
una densità lineare di carica λ = 2.0 µC/m, è circondato da due gusci cilindrici
infiniti, isolanti e coassiali di raggio a = 2.0 cm e b = 8.0 cm rispettivamente.
Sul primo cilindro è presente una densità superficiale di carica σa = 4.8 µC/m2 .
Il campo elettrico all’esterno dei due cilindri è nullo.
Quesito 7 Calcolare la densità di carica superficiale sul cilindro esterno.
σb [µC/m2 ]=
Quesito 8 Trovare il campo elettrico in funzione del raggio r per 0 < r < 2b e riportarlo in un grafico. Calcolarne il
valore numerico per r = b/2.
E(r = b/2)[V/m]=
Quesito 9 Calcolare la differenza di potenziale tra il cilindro esterno e quello interno.
V (b) − V (a)[V]=
Fisica Generale per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
Soluzioni del compito del 23/7/2010.
Soluzione del Problema 1:
Quesito 1 Le forze che agiscono sul corpo sono la forza peso P = M g e la reazione normale N della
piattaforma. Quando il corpo è in contattato con la piattaforma la sua velocità ed accelerazione
sono date da:
v = Aω cos(ωt) e a = −Aω 2 sin(ωt),
ottenute derivando la legge del moto. Dalla legge di Newton
N − M g = M a = −M Aω 2 sin(ωt) da cui N = M g − M Aω 2 sin(ωt).
Il corpo rimane in contatto finché N > 0, cioè se ω 2 sin(ωt) < g/A per tutto il moto. Quindi
�
ω1 = g/A = 8.09 rad/s.
Quesito 2 La forza esercitata dalla massa sulla piattaforma è uguale in modulo ed opposta alla forza
normale N calcolata sopra, da cui si vede che il massimo lo si ottiene per sin(ωt) = −1, cioè in
corrispondenza del puinto piú basso. In tale punto
N = M g + M Aω12 = 2M g = 49.05 N.
Quesito 3 La condizione di distacco è data come prima da N = 0, questa volta peró con ω = ω2 . Si
ottiene
g
g
1
sin(ω2 t) =
=
= .
2
Aω2
A4(g/A)
4
Da questo punto, che si trova a y0 = A/4, il corpo si stacca e prosegue secondo un moto in campo
gravitazionale, raggiungendo una quota massima pari a yMAX = A/4 + v02 /2g. La velocità con cui
lascia la piattaforma è data da:
g
1
15
v02 = A2 ω22 cos2 (ω2 t) = 4A2 (1 − ) = gA,
A
16
4
da cui si ottiene
yMAX = A/4 + v02 /2g =
17
A = 31.9 cm.
8
Soluzione del Problema 2:
Quesito 4 Le forze esterne che agiscono sul sistema di blocchetto e ciotola sono le due forze peso e
la reazione normale del pavimento. Nessuna di queste forze ha componente orizzontale, pertanto
si conserva la componente orizzontale della quantità di moto del sistema. Poiché inizialmente il
sistema è fermo, il centro di massa manterrà invariata la sua posizione lungo l’asse orizzontale (asse
x). Considerando l’origine di x nel punto piú basso della ciotola all’istante iniziale, la posizione
del centro di massa è data da:
xCM =
m · (−R) + M · 0
m
=− R
m+M
M
Quando il blocchetto si trova nel punto piú basso, la posizione del centro di massa coincide con
esso, perché blocchetto e ciotola hanno la stessa posizione x. Di conseguenza la ciotola si è spostata
di ∆x = (m/M )R = 6.25 cm verso sinistra.
1
Quesito 5 Nel moto del blocchetto si conserva l’energia meccanica perché le il lavoro delle forze non
conservative è nullo. Si deve tenere conto sia del moto del blocchetto sia del moto della ciotola.
Dalle considerazioni del punto 4, imponendo la conservazione della quantità di moto lungo x si
ottiene, dette vB e vC le velocità di blocchetto e ciotola quando il blocchetto è nel punto piú basso:
⇒
0 = mvB + M vC
vC = −
m
vB .
M
Applicando la conservazione dell’energia, usando il fondo della ciotola come riferimento:
1
1
1
m
mgR = mvB2 + M vC2 = mvB2 (1 + ).
2
2
2
M
Si ricava quindi la velocità del blocchetto:
�
vB =
2gR
= 1.98 m/s
1 + m/M
Quesito 6 Se invece del blocchetto c’é una sferetta, dobbiamo aggiungere al termine di energia cinetica
anche il rotolamento della sferetta, mentre rimane valida la conservazione della quantità di moto
orizzontale. La velocità angolare della sferetta è legata alla velocità relativa tra sferetta e ciotola:
ω = (vB − vC )/a = (1 + m/M )vB /a. Si ottiene quindi:
�
�
1 2
1
1 2 1 2�
m� 1 2 2 �
m �2 vB2
2
mgR = mvB + M vC + Iω = mvB 1 +
+
ma
1+
=
2
2
2
2
M
2 5
M
a2
�
�
1 2�
m� 7
2m
= mvB 1 +
+
.
2
M
5 5M
da cui si ottiene
vB =
�
2gR
(1 +
m
)( 75
M
+
2m
)
5M
= 1.62 m/s
Soluzione del Problema 3 per Fisica Generale I (270):
Quesito 7 Poichè le pressioni iniziali e finali sono date, per trovare il volume finale è sufficiente trovare
il volume iniziale del gas e poi applicare l’equazione della trasformazione.
Vi =
nRTi
M RTi
=
·
= 0.343 m3
pi
A pi
Dalla relazione tra pressione e volume si vede che p2 /V = K 2 = cost., per cui
Vf =
�
pf
pi
�2
Vi = 4Vi = 1.37 m3
Quesito 8 Il lavoro compiuto dal gas in una trasformazione reversibile è dato da:
�V f
� Vf
� Vf
�
2
2
3/2
3/2
1/2
3/2 �
W =
p dV =
KV dV = KV � = (KVf − KVi ).
3
3
Vi
Vi
Vi
Utilizzando la legge della trasformazione si ottiene:
2
2
2
1/2
1/2
W = ((KVf )Vf − (KVi )Vi ) = (pf Vf − pi Vi ) = (2 · 4 − 1)pi Vi = 320 kJ.
3
3
3
2
Quesito 9 Dal primo principio Q = ∆U + W = nCV (Tf − Ti ) + W . La temperatura finale si puó
calcolare da Tf /Ti = (pf Vf )(pi Vi ) = 8. Si ottiene quindi:
5
2
19
Q = nR∆T + nR∆T =
· 7 · nRTi = 1520 kJ.
2
3
6
Soluzione del Problema 3 per Fisica Generale (509):
Quesito 7 Applicando il teorema di Gauss ad un cilindro coassiale di raggio maggiore di b ed altezza
H, essendo il campo elettrico nullo all’esterno si ha:
Qin
λH + σa (2πaH) + σb (2πbH)
=
,
ε0
ε0
0=
da cui
σb = −
λ
a
− σa = −1.2 µC/m2
2πb
b
Quesito 8 Di nuovo applicando il teorema di Gauss ad un cilindro di raggio r ed altezza H, e consi� è sempre ΦE = 2πrHEr ,
derando che per simmetria il campo elettrico è radiale, il flusso di E
mentre per la carica interna si hanno diversi casi:
• Per r < a, Qin = λH, da cui Er = λ/2πε0 r.
• Per a ≤ r < b, Qin = λH + σa (2πaH) da cui Er = λ/2πε0 r + σa a/ε0 r.
• Per r ≥ b, Er = 0.
Per r = b/2 si ottiene Er (b/2) = 9.26 × 106 V/m
Quesito 9 La d.d.p. è definita come
V (b) − V (a) = −
�
b
a
E(r) dr = −
3
�
λ
σa a
+
2πε0
ε0
�
log
b
= −51.4 kV.
a
Cognome
Nome
Numero di matricola
Fisica Generale per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
A.A. 2009/2010
Appello del
17/9/2010.
• Tempo a disposizione: 2h30
• Modalità di risposta: scrivere la formula parametrica della risposta nello spazio grande e la risposta numerica nello
spazio piccolo. Valore di ciascun quesito: 4 punti. Non ci sono penalità per le risposte errate.
• Durante la prova scritta è consentito usare solo il formulario personale, strumenti di disegno e scrittura, calcolatrice:
non è possibile utilizzare eserciziari o appunti. Il candidato dovrà restituire tutta la carta fornita dagli esaminatori:
non è consentito utilizzare fogli di carta propri per svolgere l’elaborato.
• Si assumano i seguenti valori per le costanti che compaiono nei problemi: g = 9.81 ms−2 , µ0 = 4π · 10−7 H/m,
ε0 = 8.85 · 10−12 F/m, RT = 6.37 × 106 m, MT = 5.98 × 1024 kg.
Problema 1:
Ad una estremità di una molla di costante elastica k = 4.5 N/m e lunghezza
naturale a riposo L0 = 20 cm, sospesa in verticale come in figura, è collegata
una massa m1 = 40 g che si trova inizialmente ferma nella sua posizione di
equilibrio. L’altra estremità della molla è collegata al soffitto ad altezza h =
80 cm.
Quesito 1 Calcolare l’altezza h1 dal pavimento a cui si trova la massa m1 in posizione di equilibrio.
h1 [ m]=
Un corpo di massa m2 = m1 viene lanciato con velocità orizzontale sul profilo liscio mostrato in figura in modo da colpire
la massa sospesa alla molla.
Quesito 2 Calcolare la minima velocità di lancio vMIN necessaria ad m2 affinché arrivi a colpire m1
vMIN [m/s]=
Quesito 3 Calcolare la velocità di lancio v1 affinché, dopo l’urto perfettamente anaelastico tra le due masse, il sistema
da esse formato tocchi il soffitto con molla completamente compressa.
v1 [m/s]=
m2
Problema 2: Due masse puntiformi m1 = 300 g e m2 = 3m1 sono collegate da una sbarra rigida
di lunghezza L = 60 cm e massa trascurabile. La sbarra è incernierata senza attrito ad un asse
orizzontale passante per il suo centro e perpendicolare alla sbarra stessa. Inizialmente la massa
m2 si trova in verticale sopra la massa m1 . Sotto l’azione di una piccola spinta il sistema si mette
a ruotare. Si consideri il momento in cui la massa m2 si trova nella posizione piú bassa.
L
O
m1
Quesito 4 Calcolare la velocità angolare della sbarra.
ω[ rad/s]=
Quesito 5 Calcolare la reazione vincolare verticale Ry che la cerniera esercita sulla sbarra.
Ry [ N]=
Quesito 6 Cocco Bill spara un proiettile di massa mp = 10 g orizzontalmente verso la massa m2 . Il proiettile si conficca
nella massa m2 e ferma completamente la rotazione. Calcolare la velocià del proiettile
v[ m/s]=
Solo per il corso di Fisica Generale I (270)
P
Problema 3: Una macchina termica costituita da n = 2.0 moli di un gas perfetto
biatomico compie il ciclo ABCDA illustrato in figura (non in scala). La trasformazione
AB è isoterma, mentre BC è un espansione adiabatica. Nel punto A pressione e
temperatura sono pA = 5.0 atm e TA = 600 K. Inoltre si sa che il volume in B è il
doppio del volume in A e che la pressione in D vale pD = 1.0 atm.
A
B
D
C
V
Quesito 7 Calcolare la temperatura in C
TC [K]=
Quesito 8 Calcolare il lavoro compiuto dal gas nel ciclo.
W [J]=
Quesito 9 Calcolare l’efficienza della macchina termica
η=
Solo per il corso di Fisica Generale (509)
Problema 3: Una sbarretta conduttrice di massa m = 25 g può scorrere senza
attrito lungo due binari conduttori collegati da una resistenza R = 8.0 Ω e
distanti l = 20 cm come in figura. Il sistema è immerso in un campo magnetico B = 2.0 T uniforme perpendicolare alla figura e diretto dentro il foglio.
Inizialmente (t = 0) la sbarretta si muove con una velocità vi = 5.0 m/s.
Quesito 7 Calcolare, nell’istante t=0, il modulo della corrente indotta ed indicare in che verso scorre.
IIND [A]=
Quesito 8 Calcolare il modulo, direzione e verso della forza che un operatore esterno deve esercitare sulla sbarretta per
mantenere la velocità costante.
F [N]=
Quesito 9 Calcolare quanto impiega la sbarretta a dimezzare la propria velocità dal momento in cui l’operatore non
esercita piú nessuna forza esterna.
T [s]=
Fisica Generale per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
Soluzioni del compito del 17/9/2010.
Problema 1:
Quesito 1 Le forze applicate su m1 sono la forza peso P = m1 g e la forza elastica Fe = k(h − h1 − L0 ).
La risultante è nulla in quanto il corpo è all’equilibrio:
Fe = P
⇒
h1 = h − L0 − m1 g/k = 0.51 m
Quesito 2 L’energia meccanica del corpo m2 si conserva durante il moto perché non sono applicate
forze non conservative. Ponendo lo zero dell’energia potenziale a terra si ha:
1
2
m2 vMIN
= m2 gh1
2
⇒
vMIN =
.
�
2gh1 = 3.16 m/s
Quesito 3 Scomponiamo il moto in 3 parti. Consideriamo l’ultima parte del moto, dall’istate dopo
l’urto fino alla compressione completa della molla. Calcoliamo la velocità vB che le due masse
devono avere per comprimere completamente la molla. L’energia meccanica si conserva, quindi:
1
1
1
(m1 + m2 )vB2 + (m1 + m2 )gh1 + k(h − h1 − L0 )2 = (m1 + m2 )gh + kL20
2
2
2
da cui si ricava:
vB =
�
�
k � 2
L0 − (h − h1 − L0 )2 + 2g(h − h1 ) = 2.73 m/s.
2m
Consideriamo ora l’urto anelastico e calcoliamo la relazione tra la velocità di m2 prima dell’urto
(vA ) e quella dei due corpi attaccati dopo l’urto (vB ). Non ci sono forze esterne impulsive quindi
la quantità di moto si conserva:
⇒
m1 vA = (m1 + m2 )vB
vA = 2vB = 5.46 m/s.
Consideriamo infine la prima parte del moto fino a quando m2 arriva all’altezza h1 . Sappiamo
che deve arrivare con una velocità vA , calcoliamo la velocità v1 con cui è partita imponiamendo
la conservazione dell’energia:
�
1
1
2
2
m2 v1 = m2 gh1 + m2 vA ⇒ v1 = vA2 + 2gh1 = 6.31 m/s
2
2
1
Problema 2:
Quesito 4 Durante la rotazione l’energia si conserva perché non ci sono forze esterne non conservative.
Ponendo lo zero dell’energia potenziale all’altezza del perno:
L
L
L
L 1
m2 g − m1 g = m1 g − m2 g + Iω 2
2
2
2
2 2
� L �2
� L �2
con I = m1 2 + m2 2 = m1 L2 = 0.108 Kg m2 . Sostituendo si ottiene:
�
g
ω=2
= 8.09 rad−1
L
Quesito 5 Consideriamo il sistema delle sferette più la sbarra, il suo centro di massa si trova:
m1 L/2 − m2 L/2
L
ycm =
=−
m1 + m2
4
Il centro di massa fa un moto circolare e le forze esterne applicate sono Ry , P1 = m1 g e P2 = m2 g,
per cui:
Ry − P1 − P2 = (m1 + m2 ) ω 2 L/4 ⇒ Ry = 8m1 g = 23.5 N
Quesito 6 Nell’urto si conserva il momento angolare. Il momento angolare del proiettile prima dell’urto
vale mp vL/2 mentre quello del sistema sferette più sbarra vale Iω ed è diretto nel verso opposto.
Dopo l’urto il momento angolare è nullo, per cui:
L
2m1
mp v − Iω = 0 ⇒ v =
Lω = 291.2 m/s
2
mp
Problema 3 per Fisica Generale 1 (270):
Quesito 7 Per prima cosa ricaviamo la pressione in B sfruttando il fatto che la trasformazione AB
è una isoterma: pB VB = pA VA , quindi pB = pA /2 = 2.53 105 Pa. La trasformazione BC è una
adiabatica con coefficiente γ = 7/5, per cui:
� � 1−γ
1−γ
1−γ
pB γ
TB pBγ = TC pCγ
⇒ TC = TB
= 461.8 K
pC
Quesito 8 Calcoliamo il lavoro per ogni trasformazione.
� 2VA
nRTA
WAB =
dV = nRTA ln 2 = 6912 J
V
VA
WBC = −∆UBC = −ncV (TC − TB ) = 5742 J
WCD = pD (VA − VC ) = −5757 J
WDA = 0 J
dove cV = 5/2, VA = nRTA /pA = 0.02 m3 e VC = nRTC /pD = 0.077 m3 . Il lavoro compiuto nel
ciclo:
W = WAB + WBC + WCD = 6897 J
Quesito 9 L’efficienza è il rapporto tra il lavoro del ciclo e il calore assorbito. Il calore viene assorbito
nei tratti AB e DA, QASS = QAB + QDA . Calcoliamo i contributi:
QAB = WAB
avendo calcolato TD =
pD VA
nR
in quanto lungo una isoterma ∆U = 0
QDA = ncV (TA − TD ) = 19944 J
= 120 K. Si può quindi calcolare l’efficienza:
η=
W
= 25.7%
QASS
2
Problema 3 per Fisica Generale (509):
Quesito 7 Il flusso del campo magnetico attraverso il circuito varia nel tempo producendo una corrente
che scorre nel circuito.
f em = −
dΦB
d
dx
= − (Blx) = −Bl
= −Blv
dt
dt
dt
La corrente che attraversa la resistenza R gira in senso orario e il suo modulo vale:
I=
|f em|
= 0.25 A
R
� e risente di
Quesito 8 La sbarretta percorsa da corrente si muove perperndicolarmente rispetto a B
una forza di modulo:
B 2 l2 v
F = BlI =
= 0.1 N
R
� rivolta verso l’interno del circuito per cui un operatore esterno
e diretta perpendicolarmente a B
dovrà esercitare una forza dello stesso modulo e direzione ma verso opposto.
2 2
Quesito 9 La sbarretta è frenata dalla forza F = B Rl v ma in questo caso la velocità v non è costante,
per cui:
dv
dv
B 2 l2
m = −F ⇒
=−
dt
dt
v
mR
Integrando entrambi i membri:
�
vi /2
vi
dv
=−
v
�
T
0
B 2 l2
dt
mR
da cui si ricava T :
T =
⇒
− ln 2 = −
mR ln 2
= 0.87 s
B 2 l2
3
B 2 l2
T
mR
Nome
Cognome
Numero di matricola
Fisica Generale I per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
A.A. 2009/2010
Prova di Autovalutazione
18/12/2010.
• Tempo a disposizione: 1 ora, ma è piú lungo di quanto potete fare in questo tempo.
• Modalità di risposta: scrivere la formula parametrica della risposta nello spazio grande e la risposta numerica nello
spazio piccolo. Il valore di ciascun quesito è indicato in parentesi. Non ci sono penalità per le risposte errate. Fino
a 3 punti di bonus possono essere assegnati per la chiarezza dell’esposizione e le spiegazioni fornite.
• Durante la prova scritta è consentito usare solo il formulario personale, strumenti di disegno e scrittura, calcolatrice:
non è possibile utilizzare eserciziari o appunti.
Quesito 1: Calcolare il valore numerico dell’espressione:
�
2.70 · 1018 + 3.90 · 1019 + 5.30 · 1017
.
6.80 · 1017
(1)
X=
Quesito 2: Scrivere una combinazione dell’accelerazione g, l’altezza h e la massa m che dimensionalmente rappresenti:
(2)
Tempo
Velocità
Quesito 3: Indiana Jones si perde in un labirinto. Per uscire percorre 30.0 m verso N, poi 28.0 m verso W, infine 38.0 m
verso S. A che distanza in linea retta si trova dal punto inziale ?
(1)
Distanza [m] =
Quesito 4: Un barcone viene tirato da due cavalli che camminano sulle due rive. L’angolo formato da ciascuna corda
rispetto alla direzione di moto del barcone è di 40.0 gradi, e la forza esercitata da ciascun cavallo è 2000 N nella direzione
della corda. Calcolare la forza di attrito viscoso dell’acqua se il barcone procede a velocità costante. Indicare -1 se non
si può calcolare.
(1)
Forza [N] =
Svolgere uno dei due problemi a scelta
Problema 1: Uno sciatore di massa M = 71.0 kg scende per un pendio ed
arriva ad un trampolino inclinato di α=10.0 gradi rispetto all’orizzontale.
La quota del punto di partenza rispetto al punto in cui lo sciatore lascia
il trampolino é di h=33.0 m . Il cronometrista determina che lo sciatore
impiega ∆t=2.30 s dal momento in cui lascia il trampolino al momento
in cui tocca la pista sottostante. Trascurando tutti gli attriti calcolare,
indicando sia la formula risolutiva che il risultato numerico:
1.a Il modulo della velocitá dello sciatore quando lascia il trampolino.
(4)
V0 [m/s]=
1.b La quota del punto di partenza rispetto al punto in cui lo sciatore tocca la pista sottostante
(4)
H=[m]
1.c La distanza orizzontale del punto in cui lo sciatore tocca la pista rispetto al trampolino
(4)
D=[m]
Problema 2: Una massa M = 58.0 g è appoggiata su di un piano inclinato di
angolo 30.0◦ rispetto all’orizzontale e attaccata ad una molla, di costante elastica
k = 95.0 N/m e lunghezza a riposo l0 = 5.20 cm, il cui altro estremo è collegato al
punto piú basso del piano inclinato, chiamato O. Si chiami x la distanza tra la massa
M ed O. Nelle risposte indicare sia la formula risolutiva sia il risultato numerico.
2.a Calcolare x0 di equilibrio della massa M in assenza di attrito
(4)
x0 [m]=
2.b Se è presente attrito statico, con coefficiente di attrito µs = 0.270, calcolare il minimo e massimo valore di x per cui
la massa puó rimanere in equilibrio.
(4)
xmin [m]=
xmax [m]=
2.c Con la massa inizialmente in equilibrio nella posizione x0 e in presenza di attrito, il sistema viene messo in rotazione
intorno ad un asse verticale passante per il punto O. Trovare la massima velocità angolare ωMAX per cui la massa
non si muove.
(4)
ωmax [rad/s]=
18/12/2010