Matematica Discreta I
Lezione del giorno 26 novembre 2007
Un’altra interessante applicazione dell’uso negativo del principio di inclusione-esclusione è il
calcolo della cosiddetta funzione di Eulero.
La funzione di Eulero.
Fissato un numero naturale n, si chiama funzione di Eulero di n la funzione φ(n) che associa ad n
il numero di tutti i numeri naturali x compresi fra 1 ed n che sono coprimi con n.
E’ ovvio che φ(1)=1, dunque studieremo solo il caso n>1.
Esempio: se n=12, i numeri x compresi fra 1 ed 12 che sono coprimi con 12 sono 1,5,7,11, quindi
φ(12)=4 .
Cercheremo una formula che permetta di calcolare φ(n) conoscendo la fattorizzazione di n in
prodotto di fattori primi. Premettiamo 2 risultati preliminari:
1) Siano p1, p2,….., pr dei numeri primi distinti e supponiamo che ognuno di essi sia divisore del
numero naturale c. Allora anche il prodotto (p1p2…..pr) è divisore di c.
Infatti per ipotesi esiste un naturale b tale che p1b=c; se fattorizziamo sia c che b in prodotto di
numeri primi:
b=q1q2…..qs , c=t1t2…..tm
si ha l’eguaglianza:
p1q1q2…..qs = t1t2…..tm
e per l’unicità della fattorizzazione segue che p1 coincide con uno dei fattori t1, t2, …., tm e
(riordinando opportunamente i fattori) possiamo fare in modo che p1=t1.
Analogamente, ragionando su p2, si ottiene che p2 coincide con uno dei fattori t1, t2, …., tm (ma non
con t1 perché p1p2) e (riordinando opportunamente i fattori) possiamo fare in modo che p2=t2.
Procediamo fino ad ottenere pr=tr da cui c = t1t2…..tm = (p1p2…..pr)tr+1…..tm e si ha la tesi.
2) Siano x1, x2,…,xr delle variabili (che possono assumere come valori dei generici numeri reali) e
cerchiamo di calcolare il valore dell’espressione:
(1-x1)(1-x2)……(1-xr)
Per r=2 si ha :
(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)-x1x2
Per r=3 si ha:
(1-x1)(1-x2)(1-x3)=1-(x1+x2+x3)+(x1x2+x1x3+x2x3)-x1x2x3
Per un valore generico di r vale la seguente formula:
(1-x1)(1-x2)……(1-xr)=1-α1+α2-α3+α4+…….±αr
dove α1 è la somma delle singole variabili ; α2 è la somma dei prodotti delle variabili prese a 2 a 2;
α3 è la somma dei prodotti delle variabili prese a 3 a 3; …….. ……. r è il prodotto delle r variabili,
preceduto da un segno + se m è pari, da un segno – se m è dispari. (tale formula si dimostra
formalmente per induzione, ma omettiamo la dimostrazione).
Torniamo ora al calcolo della funzione di Eulero φ(n). Essendo n>1, possiamo considerare la
fattorizzazione di n in prodotto di primi: raccogliendo i fattori primi uguali sotto forma di potenza, n
si può rappresentare nella forma
n = p1k1 p 2 k 2 .....p r k r
dove p1, p2, …., pr sono fattori primi distinti di n.
Un numero naturale x compreso fra 1 ed n é coprimo quando 1 è l’unico divisore comune fra x ed n,
cioè quando x non è multiplo di nessuno dei primi p1, p2,…,pr. Quindi per calcolare φ(n) dobbiamo
calcolare il numero degli x fra 1 ed n che non soddisfano nessuna delle seguenti r proprietà:
p1 è divisore di x; p2 è divisore di x; ….. ; pr è divisore di x.
Usando in forma negativa il principio di inclusione-esclusione, costruiamo l’insieme A di tutti gli
interi fra 1 ed n, e gli r sottoinsiemi di A:
Ai = {xX / pi è divisore di x} ( al variare di i=1,2,…,r)
e si avrà: φ(n)= X-X1X2…Xr= n -X1X2…Xr.
Calcolando la cardinalità dell’unione si ottiene:
X1X2…Xr=α1-α2+α3-α4+…….±αr
dove α1 è la somma delle cardinalità dei singoli insiemi Xi; α2 è la somma delle cardinalità di tutte
le possibili intersezioni a 2 a 2 degli insiemi Xi;……, αr è la cardinalità dell’intersezione di tutti gli
insiemi Xi, preceduta da un segno + se m è dispari, da un segno – se m è pari.
Poiché X1 contiene tutti i multipli di p1 compresi fra 1 ed n si ha:
X1 = {1•p1,2•p1,…,n=(n/p1)•p1}
dunque tali interi sono in numero di n/p1, quindi X1=n/p1 . Analogamente X2=n/p2, X3=n/p3
,…., Xm=n/pm .
Poiché X1∩X2 contiene tutti gli interi fra 1 ed n che sono multipli sia di p1 che di p2, per il risultato
preliminare 1) essi sono tutti i multipli del prodotto p1p2 (compresi fra 1 ed n: analogamente a
quanto dimostrato sopra, i multipli di p1p2 fra 1 ed n sono in numero di 1/(p1p2), quindi
X1∩X2=n/(p1p2) . Analogamente si ha X1∩X3=n/(p1p3) e così via .
Così procedendo, alla fine si ottiene:
φ(n)=n-X1X2…Xr= n-[(n/p1+n/p2+….+n/pr)-(n/(p1p2)+n/(p1p3)+….)+…..±n/(p1p2…pr)]=
=n[1-(1/p1+1/p2+….+1/pr)+ (1/(p1p2)+1/(p1p3)+….)-…..±1/(p1p2…pr)], dove l’ultimo segno é + se
m é pari, - se m é dispari.
Applicando allora il risultato preliminare 2) (dove si fanno assumere alle variabili i valori
x1=1/p1,….,xr=1/pr) la formula si semplifica come segue:
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)…..(1-1/pr) (dove p1, p2,…., pr sono i fattori primi distinti di n)
Esempio: se n=2000=2453, il calcolo della funzione di Eulero è:
φ(2000)=2000(1-1/2)(1-1/5)=800
