Matematica Discreta
Lezione del giorno 13 gennaio 2012
Teorema di fattorizzazione unica. Ogni numero naturale a>1 è fattorizzabile come prodotto di
numeri primi (al limite con 1 solo fattore) e tale fattorizzazione è unica (a meno dell’ordine dei
fattori), nel senso che, se sono date 2 fattorizzazioni dello stesso a in prodotto di numeri primi:
a=p1p2….pr=q1q2…qs (dove tutti i pi e i qj sono numeri primi)
allora:
1) r=s (il numero dei fattori primi nelle 2 fattorizzazioni è uguale)
2) riordinando opportunamente i fattori, si ha p1=q1, p2=q2, …., pr=qr (cioè i fattori coincidono
ordinatamente nelle due fattorizzazioni)
Dimostrazione:
Esistenza della fattorizzazione:
Supponiamo per assurdo che esistano numeri naturali non fattorizzabili nel prodotto di numeri
primi, e costruiamo l’insieme S di tali numeri:
S = {x / xN, x>1, x non é fattorizzabile nel prodotto di numeri primi}
L’insieme non vuoto S, per l’Assioma del minimo, contiene un elemento minimo sS: sarà sN,
s>1, s non fattorizzabile nel prodotto di numeri primi. In particolare s non è un numero primo
(altrimenti s sarebbe fattorizzabile nel prodotto di numeri primi, con 1 solo fattore) quindi s ha un
divisore non banale b, con b1,bs. Esiste allora un naturale c tale che s=bc, e ovviamente anche
c1,cs. In totale si ha 1<b<s, 1<c<s, ed essendo s il minimo in S, si deduce che b,cS, dunque b,c
sono entrambi fattorizzabili nel prodotto di numeri primi, ma allora anche a=bc sarebbe
fattorizzabile nel prodotto di numeri primi, contraddizione.
Unicità della fattorizzazione:
Sia a un numero naturale >1 e siano date 2 fattorizzazioni di a in prodotto di numeri primi:
a=p1p2….pr=q1q2…qs (dove tutti i pi e i qj sono numeri primi)
Le tesi sono allora le seguenti:
1) r=s (il numero dei fattori primi nelle 2 fattorizzazioni è uguale)
2) riordinando opportunamente i fattori, si ha p1=q1, p2=q2, …., pr=qr (cioè i fattori coincidono
ordinatamente nelle due fattorizzazioni).
Dall’eguaglianza a=p1(p2….pr)=q1q2…qs segue che p1 è divisore del prodotto q1q2…qs. Per
l’Osservazione nella precedente lezione, il numero primo p1 è divisore di almeno uno dei fattori
q1,q2,…,qs e, riordinando opportunamente i fattori, possiamo fare in modo che p1q1. Essendo q1
primo, le possibilità per il suo divisore p1 sono p1=1 oppure p1=q1. Ma allora p1=q1 (perché per
definizione di numero primo si ha p1>1).
Dividendo ambo i membri dell’eguaglianza per p1 si ottiene l’eguaglianza: p2p3….pr=q2q3…qs, e si
può iterare il ragionamento ottenendo p2=q2 (riordinando di nuovo opportunamente i fattori). La tesi
2) è dunque dimostrata. Dimostriamo ora la tesi 1): se per assurdo la supponessimo falsa, si avrebbe
rs. Supponiamo per esempio che sia r>s (se r<s si ragiona in modo simile): dopo s passi del
precedente procedimento iterativo, dividendo per ps, si avrebbe alla fine l’eguaglianza:
ps+1ps+2….pr=1, contraddizione perché i numeri primi pi sono tutti >1.
Illustriamo una conseguenza del Teorema di fattorizzazione unica:
Teorema.
La radice quadrata di un numero primo p è un numero non razionale.
Dimostrazione:
Per assurdo supponiamo p =a/b dove a,b sono naturali. Si ha p=a2/b2, b2p=a2.
Nel caso a=1, si ha b2p=1, contraddizione perché p>1.
Nel caso b=1 si ha p=a2=aa, contraddizione perché il primo p avrebbe un divisore a non banale.
Infine nel caso a>1, b>1, fattorizziamo a, b in prodotto di primi:
a=p1p2….pr , b=q1q2…qs
da cui si avrebbe:
b2p= q1q1q2q2…qsqsp=a2=p1p1p2p2…prpr
e per il Teorema di fattorizzazione unica sarebbe uguale il numero di fattori primi nelle 2
fattorizzazioni, ottenendo l’eguaglianza 2s+1=2r, contraddizione perché 2s+1 è dispari, 2r è pari.
Illustriamo un’altra conseguenza del Teorema di fattorizzazione unica:
Teorema.
I numeri primi sono infiniti.
Dimostrazione:
Per assurdo supponiamo che l’insieme dei numeri primi contenga un numero finito di elementi, e
sia p1,p2,….,pk l’elenco completo di tutti i numeri primi. Consideriamo il seguente numero naturale
ottenuto sommando 1 al prodotto di tutti i numeri primi:
a=(p1p2….pk)+1 .
Per il Teorema di esistenza della fattorizzazione, a si può scomporre in fattori primi e se p è uno
qualunque dei suoi fattori primi si ha ovviamente pa, ossia esiste un numero naturale c tale che
pc=a=(p1p2….pk)+1, da cui 1=pc-(p1p2….pk). Ma p coinciderà con uno dei pi (perché per assurdo
p1,p2,….,pk sono tutti i possibili numeri primi), dunque nel secondo membro dell’eguaglianza
precedente si può mettere in evidenza il fattore comune p, e si conclude che p è divisore di 1,
contraddizione perché p>1.
Sviluppo della potenza di un binomio.
Supponiamo di dovere calcolare la potenza di un binomio con esponente intero n>0:
(x+y)n = ………
Possiamo pensare ovviamente la potenza come prodotto di n fattori tutti uguali alla base:
(x+y)n = (x+y)(x+y)……(x+y) = ………
Facciamo un esempio concreto con n=5:
(x + y)n = (x+y)(x+y)(x+y)(x+y)(x+y) = ………
Per calcolare il prodotto di 5 fattori uguali ciascuno ad (x+y) possiamo utilizzare la proprietà
distributiva della somma rispetto al prodotto: dobbiamo quindi considerare (in tutti i modi possibili)
i prodotti di 5 fattori scelti fra x o y (in ciascuna delle somme (x+y)) e poi sommare i risultati. Per
esempio uno di tali prodotti potrebbe essere quello ottenuto prendendo:
x nella prima somma (x+y)
x nella seconda somma (x+y)
y nella terza somma (x+y)
x nella quarta somma (x+y)
y nella quinta somma (x+y)
ossia il prodotto xxyxy=x3y2.
Ma se scegliessimo:
y nella prima somma (x+y)
x nella seconda somma (x+y)
x nella terza somma (x+y)
y nella quarta somma (x+y)
x nella quinta somma (x+y)
otterremo sempre lo stesso prodotto yxxyx= x3y2.
Quindi uno stesso prodotto della forma xkyh (dove in ogni caso k+h=5) lo otterremo più volte: il
calcolo combinatorio ci suggerisce che il numero di volte che otterremo tale prodotto xkyh è uguale
al numero di combinazioni di 5 elementi presi ad h a ad h (dobbiamo solo scegliere le h posizioni
della y fra le 5 posizioni date), dunque il numero di volte che otterremo tale prodotto xkyh è uguale
al coefficiente binomiale
.
Poiché l’esponente k di x può variare da un massimo di k=0 (quando x è presente 5 volte nel
prodotto, quindi y è assente), ad un minimo di k=5 (quando x non è presente nel prodotto), e poiché
l’esponente h di y può essere ricavato dalla formula h=5-k (perché k+h=5), il procedimento si può
riassumere così: per calcolare la potenza del binomio (x+y)5 si devono sommare i prodotti xky5-k
(con k che assume i valori k=5,4,3,2,1,0) ognuno preso un numero di volte uguale al coefficiente
binomiale
(x+y)5=
:
x5y0+
x4y1+
x3y2+
x2y3+
x1y4+
x0y5
Ritornando al caso generale di un esponente intero n>0 qualunque, si ottiene analogamente la
formula (detta formula di Newton per lo sviluppo della potenza di un binomio):
(x+y)n=
xny0+
xn-1y1+…….+
x1yn-1+
x0yn
Nei casi particolare n=2, n=3 si ottengono le ben note formule del quadrato e cubo di un binomio:
(x+y)2=
x2y0+
x1y1+
x0y2=x2+2xy+y2
(x+y)3=
x3y0+
x2y1+
x1y2+
x0y3=x3+3x2y+3xy2+y3
