Matematica Discreta
Lezione del giorno 23 novembre 2009
Prima di dimostrare l’unicità della fattorizzazione di un numero naturale a>1 in prodotto di numeri
primi, premettiamo la seguente:
Osservazione. Abbiamo già dimostrato il seguente: risultato:
se un numero primo a è divisore di un prodotto bc di 2 numeri naturali b,c, allora a è divisore di
almeno uno dei 2 fattori b,c.
Tale risultato si può estendere facilmente al caso del prodotto di 3 o più fattori.
Per esempio se il numero primo a è divisore di un prodotto bcd di 3 numeri naturali b,c,d allora,
utilizzando la proprietà associativa del prodotto, si può osservare che a sarà divisore del prodotto
(bc)d di 2 fattori bc,d dunque (utilizzando la proprietà precedente valida per 2 fattori) si otterrà
a(bc) oppure ad, e di nuovo applicando la proprietà precedente sarà ab oppure ac oppure ad,
quindi a sarà divisore di almeno uno dei 3 fattori b,c,d.
Con ragionamenti analoghi (oppure più formalmente ragionando per induzione) si ottiene che se un
numero primo a è divisore del prodotto di n numeri naturali, allora a è divisore di almeno uno dei
fattori (qualunque sia il numero n di fattori).
Dimostriamo ora l’unicità della fattorizzazione nel Teorema di fattorizazione unica.
Sia a un numero naturale >1 e siano date 2 fattorizzazioni di a in prodotto di numeri primi:
a=p1p2….pr=q1q2…qs (dove tutti i pi e i qj sono numeri primi)
Le tesi sono allora le seguenti:
1) r=s (il numero dei fattori primi nelle 2 fattorizzazioni è uguale)
2) riordinando opportunamente i fattori, si ha p1=q1, p2=q2, …., pr=qr (cioè i fattori coincidono
ordinatamente nelle due fattorizzazioni).
Dall’eguaglianza a=p1(p2….pr)=q1q2…qs segue che p1 è divisore del prodotto q1q2…qs. Per
l’Osservazione preedente, il numero primo p1 è divisore di almeno uno dei fattori q1,q2,…,qs e,
riordinando opportunamente i fattori, possiamo fare in modo che p1q1. Essendo q1 primo, le
possibilità per il suo divisore p1 sono p1=1 oppure p1=q1. Ma allora p1=q1 (perché per definizione di
numero primo si ha p1>1).
Dividendo ambo i membri dell’eguaglianza per p1 si ottiene l’eguaglianza: p2p3….pr=q2q3…qs, e si
può iterare il ragionamento ottenendo p2=q2 (riordinando di nuovo opportunamente i fattori). La tesi
2) è dunque dimostrata. Dimostriamo ora la tesi 1): se per assurdo la supponessimo falsa, si avrebbe
rs. Supponiamo per esempio che sia r>s (se r<s si ragiona in modo simile): dopo s passi del
precedente procedimento iterativo, dividendo per ps, si avrebbe alla fine l’eguaglianza:
ps+1ps+2….pr=1, contraddizione perché i numeri primi pi sono tutti >1.
Illustriamo 2 conseguenze del Teorema di fattorizzazione unica:
Teorema.
1) I numeri primi sono infiniti.
2) La radice quadrata di un numero primo p è un numero non razionale.
Dimostrazione:
1) Per assurdo supponiamo che l’insieme dei numeri primi contenga un numero finito di elementi, e
sia p1,p2,….,pk l’elenco completo di tutti i numeri primi. Consideriamo il seguente numero naturale
ottenuto sommando 1 al prodotto di tutti i numeri primi:
a=(p1p2….pk)+1 .
Per il Teorema di esistenza della fattorizzazione, a si può scomporre in fattori primi e se p è uno
qualunque dei suoi fattori primi si ha ovviamente pa, ossia esiste un numero naturale c tale che
pc=a=(p1p2….pk)+1, da cui 1=pc-(p1p2….pk). Ma p coinciderà con uno dei pi (perché per assurdo
p1,p2,….,pk sono tutti i possibili numeri primi), dunque nel secondo membro dell’eguaglianza
precedente si può mettere in evidenza il fattore comune p, e si conclude che p è divisore di 1,
contraddizione perché p>1.
2) Per assurdo supponiamo p =a/b dove a,b sono naturali. Si ha p=a2/b2, b2p=a2.
Nel caso a=1, si ha b2p=1, contraddizione perché p>1.
Nel caso b=1 si ha p=a2=aa, contraddizione perché il primo p avrebbe un divisore a non banale.
Infine nel caso a>1, b>1, fattorizziamo a, b in prodotto di primi:
a=p1p2….pr , b=q1q2…qs
da cui si avrebbe:
b2p= q1q1q2q2…qsqsp=a2=p1p1p2p2…prpr
e per il Teorema di fattorizzazione unica sarebbe uguale il numero di fattori primi nelle 2
fattorizzazioni, ottenenendo l’eguaglianza 2s+1=2r, contraddizione perché 2s+1 è dispari, 2r è pari.
Dal punto di vista algoritmico nasce il problema seguente:
dato un numero naturale qualunque a, come calcolare i fattori primi della fattorizzazione di a ?.
Allo stato attuale delle ricerche la complessità di calcolo di tale problema è molto più alta rispetto a
quella del problema di verificare se un numero naturale a è primo o no (problema di cui ci siamo
occupati nella lezione precedente): per esempio, anche usando gli algoritmi di fattorizzazione più
veloci attualmente conosciuti, la fattorizzazione in prodotto di primi di un numero naturale con 600
cifre decimali richiederebbe attualmente 1017 anni (mediamente) di calcolo di un computer che
possa eseguire 1 miliardo di istruzioni al secondo.
Cardinalità degli insiemi infiniti.
Se A è un insieme finito (cioè che contiene un numero finito di elementi), abbiamo definito la
cardinalità di A: essa coincide con il numero di elementi di A.
Se volessimo definire il concetto di cardinalità anche per un insieme infinito A, una soluzione
(poco soddisfacente dal punto di vista matematico) potrebbe essere quella di dire semplicemente
che la cardinalità di un insieme infinito è uguale a infinito: ciò porterebbe a non distinguere fra i
vari “tipi” di cardinalità infinita.
Cantor propose invece di costruire una teoria per gli insiemi infiniti che fosse coerente con i risultati
validi nel caso degli insiemi finiti.
Ricordiamo un teorema già dimostrato: se A,B sono insiemi finiti e se esiste una funzione biunivoca
f: A B, allora A e B hanno la stessa cardinalità.
L’esistenza o la non esistenza di una funzione biunivoca f: A B, con A,B insiemi infiniti,
potrebbe allora essere presa come misura dell’eguaglianza o differenza della cardinalità.
Se A,B sono insiemi infiniti, diremo che A è equipotente a B (o anche che A,B hanno la stessa
cardinalità) se esiste una funzione biunivoca f: A B (scriveremo in tal caso AB).
Se esiste una funzione biunivoca f: A B, allora esiste anche la funzione inversa f-1: B A (che è
anch’essa biunivoca), dunque è indifferente dire che A è equipotente a B oppure che B è
equipotente a A.
Il modello più semplice di insieme infinito è l’insieme N dei numeri naturali: diremo che un insieme
infinito A ha la cardinalità del numerabile se A è equipotente ad N, cioè se esiste una funzione
biunivoca f: N A.
Cerchiamo esempi di insiemi numerici infiniti che abbiano la cardinalità del numerabile.
L’insieme Z dei numeri interi relativi ha la cardinalità del numerabile.
Esiste infatti una funzione biunivoca f: N Z, che si può descrivere graficamente (anche se in
modo incompleto) nel modo seguente:
1
2
3
4
5
6
.
.
.
f
0
1
-1
2
-2
3
-3
.
.
.
N
Z
e che formalmente è definita ponendo f(x)=x/2 se x pari, ed f(x)=(1-x)/2 se x è dispari.
Dimostriamo che f è biunivoca.
Iniettività di f: per assurdo siano x,yN, con xy, e tali che f(x)=f(y). Distinguiamo i 3 casi
possibili e in ognuno troviamo una contraddizione:
- x,y entrambi pari: si ha f(x)=x/2=f(y)=y/2, da cui x=y (contraddizione)
- x,y entrambi dispari: si ha f(x)=(1-x)/2=f(y)=(1-y)/2, da cui x=y (contraddizione)
- x,y uno pari (per es. x) ed uno dispari (per es. y): si ha f(x)=x/2=f(y)=(1-y)/2, da cui x=1-y
(contraddizione perché x>0, 1-y≤0).
Surgettività di f: per ogni yZ cerchiamo un xN tale che f(x)=y; se y>0, l’equazione f(x)=x/2=y
ha la soluzione x=2yN; se invece y≤0, l’equazione f(x)=(1-x)/2=y ha la soluzione x=1-2yN
(perché 2y≤0, dunque x=1-2y>0).
L’insieme Q+ dei numeri razionali positivi ha la cardinalità del numerabile.
Si può infatti, come vedremo, costruire una funzione biunivoca f: N Q+ .
Disponiamo tutti i numeri razionali positivi, sotto forma di frazioni, in una tabella con infinite righe
e colonne, con la regola che nella casella all’incrocio fra la riga numero n e la colonna numero m
poniamo la frazione con numeratore n e denominatore m; costruendo per semplicità per esempio
solo le prime 5 righe e 5 colonne si ha:
1/1
2/1
3/1
4/1
5/1
1/2
2/2
3/2
4/2
5/2
1/3
2/3
3/3
4/3
5/3
1/4
2/4
3/4
4/4
5/4
1/5
2/5
3/5
4/5
5/5
(Notiamo che nelle infinite caselle della tabella troviamo tutti i numeri razionali positivi, nessuno
escluso, anche se alcune caselle contengono lo stesso valore)
Poi percorriamo in successione le caselle con il seguente percorso a “zig-zag”:
Definiamo la funzione f: N Q+ associando al numero naturale 1 il contenuto della prima casella
del percorso (quindi f(1)=1/1) , al 2 quello della seconda casella (quindi f(2)=1/2), al 3 quello della
terza casella (quindi f(3)=2/1) e così via, con la regola che se tocchiamo una casella il cui contenuto
è già stato incontrato in precedenza, la saltiamo (quindi f(4)=3/1, ma f(5)=1/3 e non f(5)=2/2,
perché 2/2=1/1=f(1)). Tale regola ci garantisce che f è iniettiva (perché numeri naturali diversi
saranno associati a razionali diversi); inoltre il fatto che la tabella contiene tutti i razionali positivi
garantisce che f è surgettiva (ogni razionale positivo si trova in qualche casella della tabella, dunque
è il corrispondente di qualche numero naturale).
L’insieme Q dei numeri razionali relativi ha la cardinalità del numerabile.
Si dimostra con procedimenti simili.
Non è facile, invece, trovare un insieme numerico infinito che non abbia la cardinalità del
numerabile. Fu lo stesso Cantor a dimostrare che:
L’insieme R + dei numeri reali positivi non ha la cardinalità del numerabile.
Per assurdo supponiamo che esista una funzione biunivoca f: N R +.
Rappresentiamo ogni reale positivo in forma decimale, con una parte intera e delle cifre (scelte fra 0
e 9) dopo la virgola.
Per ogni numero naturale nN usiamo la seguente notazione per rappresentare l’immagine f(n)R+:
f(n) = an , bn1 bn2 bn3 bn4 . . . . .
(dove an indica la parte intera, e bnj indica la cifra dopo la virgola che occupa il posto j).
Seguendo tale notazione si ha:
f(1) = a1 , b11 b12 b13 b14 . . . . .
f(2) = a2 , b21 b22 b23 b24 . . . . .
f(3) = a3 , b31 b32 b33 b34 . . . . .
f(4) = a4 , b41 b42 b43 b44 . . . . .
........
........
........
Per la surgettività di f, l’elenco dei numeri dopo i segni di eguaglianza dovrebbe esaurire tutti i
numeri reali positivi.
Costruiamo allora (con il cosiddetto “procedimento diagonale di Cantor”) un numero reale x con
parte intera a piacere e con le cifre dopo la virgola scelte con la seguente regola: la cifra al posto 1 è
diversa dalla cifra b11 (che è la cifra di posto 1 di f(1)); la cifra al posto 2 è diversa dalla cifra b22
(che è la cifra di posto 2 di f(2)); etc…, quindi in generale la cifra di posto j è diversa dalla cifra bjj
(che è la cifra di posto j di f(j)).
Tale numero x dovrebbe essere uguale all’immagine f(n) di qualche numero naturale n: ma ciò è
una contraddizione, perché f(n) ha almeno una cifra dopo la virgola diversa dalla cifra dello stesso
posto del numero x (per costruzione esattamente la cifra bnn di posto n).
Definiremo cardinalità del continuo la cardinalità dell’insieme R dei numeri reali (e quindi di tutti
gli insiemi equipotenti ad R).
