Test di autovalutazione 2

Analisi Matematica I
Calcolo differenziale
Calcolo differenziale
Test di autovalutazione
1. Sia f : R → R una funzione derivabile in 0 tale che f (0) = f ′ (0) = 0. Si
f (x)
. Allora, necessariamente
consideri la funzione g(x) =
sin x
(a) lim g(x) = 0
x→0
(b) lim g(x) = 1
x→0
(c) lim g(x) = +∞
x→0
(d) lim g(x) = π
x→0
2. Data f (x) = |2x| − x, si può affermare che
(a) f non è continua su R
(b) f ha un punto di minimo
(c) esiste un intervallo in cui f è negativa
(d) poiché f (1) = f (− 13 ) = 1, esiste un punto c ∈ − 31 , 1 in cui f ′ (c) = 0
3. Data la funzione
f (x) =
si può affermare che
−3x
se x ≤ 0 ,
−3x − 2 se x > 0 ,
(a) f ′ (x) = −3, ∀x ∈ R
(b) la derivata laterale destra di f (x) in x = 0 vale -3
(c) esiste c ∈ R tale che f (c) = −1
(d) la funzione f ′ è definita su R\{0}
4. La derivata prima della funzione f (x) =
sin x
x
ln(2x) − e−x
è la funzione
sin2 x
+ e−x sin x − 2 cos x ln(2x) + 2e−x cos x
sin3 x
( x1 + e−x ) sin2 x − (ln(2x) − e−x )2 sin x
′
(b) f (x) =
sin4 x
( 1 + e−x ) sin2 x − (ln(2x) − e−x )2 sin x cos x
(c) f ′ (x) = 2x
sin4 x
( 1 + e−x ) sin2 x − (ln(2x) − e−x )2 sin x
(d) f ′ (x) = 2x
sin4 x
(a) f ′ (x) =
c
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5. Sia f continua sull’intervallo [−1, 1] tale che f (−1) = f (0) = f (1) = 0. Allora:
(a) se f ∈ C (2) ((−1, 1)) allora esiste almeno un punto c ∈ (−1, 1) in cui
f ′′ (c) = 0
(b) f è necessariamente derivabile in (−1, 1)
(c) se f (− 12 ) > 0 allora f ( 21 ) < 0
(d) esiste un intervallo [a, b] ⊂ (−1, 1) in cui f è strettamente decrescente.
6. La funzione f (x) = |x3 − x|
(a) non ha punti di minimo
(b) è continua e derivabile
(c) è pari
(d) ha un punto di massimo assoluto
7. È data la funzione f (x) = [1 + ln(3x)]e−x . Allora
(a) f ′ 31 = 2e−1/3
(b) f ′ (1) = 0
2
′
(c) f (1) = − − ln 3 e−1
3
′ 1
(d) f 3 = 0
8. Sia f : [0, +∞) → R una funzione continua tale che f (0) = 5, f (1) = −3 e
lim f (x) = 1. Allora, necessariamente
x→+∞
(a) f ammette esattamente uno zero
(b) f ammette almeno due zeri
(c) f (x) è derivabile in x = 1
(d) f (x) > 0 , ∀x <
1
2
c
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9. Data la funzione f (x) di grafico
4
4
2
0
2
il grafico della funzione derivata f ′ (x) è:
4
2
0
2
4
4
2
0
(a)
4
2
0
2
4
(b)
2
4
4
2
(c)
0
2
4
(d)
10. Sia f : R → R una funzione derivabile. Allora la funzione g(x) = |f (x)|
(a) non è mai derivabile
(b) è derivabile se e solo se f (x) ≥ 0 , ∀x ∈ R
(c) se f ′ (0) = 0, allora g(x) è derivabile
(d) se f (x) non ha zeri, allora g(x) è derivabile
ex
. Allora
|x| − 1
(a) non ha asintoti orizzontali
11. Sia data la funzione f (x) =
(b) ad essa si può applicare il Teorema di Rolle in [2, 5]
(c) è derivabile in x0 = 0
(d) è continua in x0 = 0
c
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12. Sia data la funzione f (x) = arctan x1 . Allora
(a) coincide con g(x) =
π
2
− arctan x
(b) ha un punto di minimo assoluto
(c) si può prolungare per continuità su R
(d) ad essa si può applicare il Teorema di Lagrange nell’intervallo [1, 2]
c
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1. Sia f : R → R una funzione derivabile in 0 tale che f (0) = f ′ (0) = 0. Si
f (x)
. Allora, necessariamente
consideri la funzione g(x) =
sin x
(a) lim g(x) = 0
x→0
(b) lim g(x) = 1
x→0
(c) lim g(x) = +∞
x→0
(d) lim g(x) = π
x→0
RISPOSTA ESATTA: (a)
Risulta
lim g(x) = lim
x→0
c
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x→0
f (x)
f (x)
= lim
:= f ′ (0) = 0.
sin x x→0 x
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2. Data f (x) = |2x| − x, si può affermare che
(a) f non è continua su R
(b) f ha un punto di minimo
(c) esiste un intervallo in cui f è negativa
(d) poiché f (1) = f (− 13 ) = 1, esiste un punto c ∈ − 31 , 1 in cui f ′ (c) = 0
RISPOSTA ESATTA: (b)
La funzione f (x) è continua su R perché somma di funzioni continue. Dunque
(a) è falsa.
Si ha
f (x) =
−3x se x < 0 ,
x
se x ≥ 0 .
Pertanto f (x) è sempre positiva, e ha un punto di minimo assoluto in x = 0.
Dunque (b) è vera mentre (c) è falsa.
La risposta (d) è falsa, perché, non si può applicare il Teorema di Rolle in
quanto f (x) non è derivabile in x = 0 e non esiste nessun punto c ∈ − 13 , 1
in cui f ′ (c) = 0.
c
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3. Data la funzione
f (x) =
si può affermare che
−3x
se x ≤ 0 ,
−3x − 2 se x > 0 ,
(a) f ′ (x) = −3, ∀x ∈ R
(b) la derivata laterale destra di f (x) in x = 0 vale -3
(c) esiste c ∈ R tale che f (c) = −1
(d) la funzione f ′ è definita su R\{0}
RISPOSTA ESATTA: (d)
La funzione è derivabile in ogni punto x ∈ R, tranne che in x = 0 (dove non è
continua), e si ha f ′ (x) = −3, ∀x ∈ R \ {0}. Quindi (d) è vera e (a) è falsa.
La risposta (c) è falsa, perché f (x) ha un salto in x = 0 e im f = (−∞, −2) ∪
[0, +∞). Pertanto f non assume il valore -1.
La (b) è errata, perché non esiste la derivata laterale destra in x = 0; infatti
lim+
x→0
−3x − 2
f (x) − f (0)
= lim+
= −∞ .
x→0
x−0
x
c
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4. La derivata prima della funzione f (x) =
ln(2x) − e−x
è la funzione
sin2 x
sin x
x
+ e−x sin x − 2 cos x ln(2x) + 2e−x cos x
sin3 x
( 1 + e−x ) sin2 x − (ln(2x) − e−x )2 sin x
(b) f ′ (x) = x
sin4 x
1
( 2x
+ e−x ) sin2 x − (ln(2x) − e−x )2 sin x cos x
′
(c) f (x) =
sin4 x
( 1 + e−x ) sin2 x − (ln(2x) − e−x )2 sin x
(d) f ′ (x) = 2x
sin4 x
(a) f ′ (x) =
RISPOSTA ESATTA: (a)
Infatti:
2
( 2x
+ e−x ) sin2 x − (ln(2x) − e−x )2 sin x cos x
f (x) =
sin4 x
′
=
=
( x1 + e−x ) sin x − (ln(2x) − e−x )2 cos x
sin3 x
sin x
x
c
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+ e−x sin x − 2 cos x ln(2x) + 2e−x cos x
.
sin3 x
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5. Sia f continua sull’intervallo [−1, 1] tale che f (−1) = f (0) = f (1) = 0. Allora:
(a) se f ∈ C (2) ((−1, 1)) allora esiste almeno un punto c ∈ (−1, 1) in cui
f ′′ (c) = 0
(b) f è necessariamente derivabile in (−1, 1)
(c) se f (− 12 ) > 0 allora f ( 21 ) < 0
(d) esiste un intervallo [a, b] ⊂ (−1, 1) in cui f è strettamente decrescente.
RISPOSTA ESATTA: (a)
Infatti, se la funzione f è derivabile in (−1, 1), per il Teorema di Rolle, essendo
f (−1) = f (0) esisterà un punto x1 ∈ (−1, 0) in cui f ′ (x1 ) = 0; analogamente,
essendo f (0) = f (1) esisterà un punto x2 ∈ (0, 1) in cui f ′ (x2 ) = 0.
Poiché f ′ (x1 ) = f ′ (x2 ), se f è derivabile due volte in (−1, 1), applicando il
Teorema di Rolle ad f ′ sull’intervallo [x1 , x2 ] si troverà un punto c ∈ (x1 , x2 ) ⊂
(−1, 1) in cui f ′′ (c) = 0.
La funzione f (x) = | sin(πx)| fornisce un controesempio che mostra la falsità
della (b) e della (c).
La (d) è falsa: si consideri la funzione f (x) identicamente nulla.
c
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6. La funzione f (x) = |x3 − x|
(a) non ha punti di minimo
(b) è continua e derivabile
(c) è pari
(d) ha un punto di massimo assoluto
RISPOSTA ESATTA: (c)
Infatti f (−x) = |(−x)3 − (−x)| = | − x3 + x| = |x3 − x| = f (x)
Poiché si ha f (x) ≥ 0 e f (x) = 0 se x = 0 oppure x = ±1, i punti
x = 0, x = ±1 sono tre punti di minimo (assoluto). Dunque (a) è falsa.
La funzione non ha invece punti di massimo assoluto, in quanto non è limitata
superiormente. Dunque la (d) è falsa.
(b) è falsa: f (x) è continua (perché composizione di funzioni continue); però
f non è derivabile nei punti x = 0 , x = ±1: questi sono tre punti angolosi.
c
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7. È data la funzione f (x) = [1 + ln(3x)]e−x . Allora
(a) f ′ 31 = 2e−1/3
(b) f ′ (1) = 0
2
(c) f ′ (1) = − − ln 3 e−1
3
′ 1
(d) f 3 = 0
RISPOSTA ESATTA: (a)
È sufficiente calcolare
1 −x
−x
−x 1
f (x) = e − e [1 + ln(3x)] = e
− 1 − ln(3x)
x
x
1
′
−1
′
= 2e−1/3 .
da cui si ha f (1) = e (− ln 3) e f
3
′
Pertanto le risposte (b), (c) e (d) sono false mentre la risposta (a) è vera.
c
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8. Sia f : [0, +∞) → R una funzione continua tale che f (0) = 5, f (1) = −3 e
lim f (x) = 1. Allora, necessariamente
x→+∞
(a) f ammette esattamente uno zero
(b) f ammette almeno due zeri
(c) f (x) è derivabile in x = 1
(d) f (x) > 0 , ∀x <
1
2
RISPOSTA ESATTA: (b)
Applicando il Teorema di esistenza degli zeri ad f sull’intervallo [0, 1], si deduce
che deve certamente esistere uno zero di f (x) per un valore x = c1 , con 0 <
c1 < 1; inoltre, considerando l’intervallo [1, +∞), si trova che deve esistere un
altro zero x = c2 , con c2 > 1: infatti, poiché lim f (x) = 1, sicuramente esiste
x→+∞
M > 0 tale che, ∀x > M, sia f (x) > 0, e dunque si troverà un secondo zero
c2 , con 1 < c2 < M. Dunque (a) è falsa e (b) è vera.
La risposta (c) è falsa: si pensi a una funzione che ha un punto angoloso in
x = 1.
Anche la risposta (d) è falsa: è sufficiente considerare una funzione che passi
per A=(0, 5) e per B=(1, −3), e diventi negativa per valori di x minori di 21 .
La funzione
8(x − 1)2 − 3 se 0 ≤ x < 1
4
f (x) =
1−
se
x≥1
x
fornisce un controesempio che mostra la falsità di (c) e (d): infatti è continua
su [0, +∞), f (0) = 5, f (1) = −3 e lim f (x) = 1; inoltre ha un un punto
x→+∞
q
angoloso in x = 1, ed è negativa nell’intervallo 1 − 38 , 12 .
c
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(
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9. Data la funzione f (x) di grafico
4
4
2
0
2
il grafico della funzione derivata f ′ (x) è:
4
2
0
2
4
4
2
0
(a)
4
2
0
2
4
(b)
2
(c)
4
4
2
0
2
4
(d)
RISPOSTA ESATTA: (b)
Dal grafico assegnato si osserva che f (x) è dispari, e pertanto f ′ (x) è pari;
dunque le risposte (a) e (c) sono da scartare.
Si osserva inoltre che la retta tangente al grafico di f (x) in x = 0 ha coefficiente
angolare positivo, e quindi f ′ (0) > 0; pertanto (b) è esatta mentre (c) è errata.
c
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10. Sia f : R → R una funzione derivabile. Allora la funzione g(x) = |f (x)|
(a) non è mai derivabile
(b) è derivabile se e solo se f (x) ≥ 0 , ∀x ∈ R
(c) se f ′ (0) = 0, allora g(x) è derivabile
(d) se f (x) non ha zeri, allora g(x) è derivabile
RISPOSTA ESATTA: (d)
Poiché f (x) è derivabile, è anche continua su R, e dunque, se f (x) non ha zeri,
può essere solo o f (x) < 0 oppure f (x) > 0, qualunque sia x ∈ R.
Nel primo caso si ha g(x) = |f (x)| = −f (x), mentre nel secondo caso si ha
g(x) = f (x); in entrambi i casi, essendo f (x) derivabile, lo è anche g(x).
Dunque (d) è vera, mentre (a) è falsa. Anche (b) è falsa, in quanto (come visto
sopra) g(x) può essere derivabile anche se f (x) < 0 , ∀x ∈ R.
La funzione
(c).
f (x) = cos x fornisce un controesempio che confuta la risposta
c
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ex
. Allora
|x| − 1
(a) non ha asintoti orizzontali
11. Sia data la funzione f (x) =
(b) ad essa si può applicare il Teorema di Rolle in [2, 5]
(c) è derivabile in x0 = 0
(d) è continua in x0 = 0
RISPOSTA ESATTA: (d)
La (a) è errata in quanto lim f (x) = 0 e dunque y = 0 è un asintoto
x→−∞
orizzontale sinistro.
La risposta (b) è errata in quanto f (2) 6= f (5).
f è continua in x0 = 0 in quanto lim+ f (x) = lim− f (x) = f (0) = −1.
x→0
x→0
Per vedere se f è derivabile calcoliamo la derivata di f , tenendo conto che

ex


, se x < 0, x =
6 −1 ,

−x − 1
f (x) =

ex


,
se x ≥ 0, x =
6 1,
x−1
e pertanto
′
f (x) =
 −xex


 (x + 1)2 ,
se x < 0, x 6= −1 ,

ex (x − 2)


, se x > 0, x 6= 1 .
(x − 1)2
Poiché lim+ f ′ (x) = −2, mentre lim− f ′ (x) = 0, f non è derivabile in x0 = 0.
x→0
c
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x→0
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12. Sia data la funzione f (x) = arctan x1 . Allora
(a) coincide con g(x) =
π
2
− arctan x
(b) ha un punto di minimo assoluto
(c) si può prolungare per continuità su R
(d) ad essa si può applicare il Teorema di Lagrange nell’intervallo [1, 2]
RISPOSTA ESATTA: (d)
Il dominio di f è R \ {0}. Inoltre:
( π
− 2 − arctan x, se x < 0 ,
1
.
arctan = π
x
−
arctan
x,
se
x
>
0
.
2
π
Dunque (a) è falsa. Anche (c) è falsa, perché lim− f (x) = − , mentre
x→0
2
π
lim f (x) = ; pertanto non esiste lim f (x), e x = 0 non è un punto di
x→0
x→0+
2
discontinuità eliminabile.
La (b) è falsa, perché inf f = −
cui f (x) = − π2 .
π
2
, ma non esiste nessun punto x ∈ dom f per
La (d) è vera, in quanto f (x) è continua e derivabile nell’intervallo [1, 2].
c
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