Analisi in frequenza

9
ANALISI IN FREQUENZA
DEI CIRCUITI A TRANSISTORI
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
Comportamento in frequenza dei transistori
9.1.1
Transistori MOSFET
9.1.2
Transistori bipolari
La frequenza di transizione, fT
Le funzioni di trasferimento degli stadi elementari
Stadio Source (Emettitore) comune
9.4.1
Sola capacità Cgs (C), pilotata a bassa impedenza.
9.4.2
Sola capacità Cgs (C), pilotata ad alta impedenza.
9.4.3
Sola capacità Cgd (C), pilotata da generatore ideale.
9.4.4
Sola capacità Cgd (C), pilotata da generatore reale.
9.4.5
Amplificatore Source (Emettitore) comune con
entrambe le capacità Cgs e Cgd (C C).
9.4.6
Amplificatore Source (Emettitore) comune con carichi
capacitivi.
Comportamento in frequenza di amplificatori degenerati
9.5.1
Calcolo dei poli dell’amplificatore a MOSFET.
9.5.2
Calcolo degli zeri dell’amplificatore.
9.5.3
Calcolo dei poli dell’amplificatore a BJT.
Circuiti a banda larga: la configurazione Cascode
Stadi disaccoppiatori di tensione
9.7.1
Il Source follower.
9.7.2
Considerazioni pratiche.
9.7.3
L’Emitter follower
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
9.1
2
COMPORTAMENTO IN FREQUENZA DEI TRANSISTORI
Nell’analisi delle configurazioni circuitali finora trattate si è implicitamente
supposto che i transistori rispondano istantaneamente ad un segnale applicato ai
loro morsetti, generando una corrente senza alcun ritardo. I transistori in realtà
sono dei componenti elettronici complessi sia per quanto riguarda il loro
comportamento che per i dettagli tecnologici con cui sono effettivamente costruiti,
come visto nal Cap.3. Questo paragrafo è dedicato a precisare i limiti di una
descrizione del transistore “a risposta immediata” ed a illustrare sinteticamente i
meccanismi fisici che più evidentemente gli impediscono di essere infinitamente
veloci nella risposta ad un segnale forzante. Si vedrà infatti che una variazione di
tensione tra due loro morsetti comporta inevitabilmente anche una variazione della
carica su di essi accumulata, evidenziando un comportamento capacitivo che rende
“lenta” la loro risposta. La presenza di queste capacità “nascoste” all’interno del
transistore avrà effetti fondamentali nel comportamento in frequenza dei circuiti
elettronici che li usano.
9.1.1
Transistori MOSFET
Si consideri il caso del MOSFET a canale n riportato nella Fig.9.1. Si
supponga di applicare un segnale positivo al Gate, cioè di porre della carica
positiva sull’elettrodo di Gate fornita dal circuito di polarizzazione e dal generatore
di segnale. Consideriamo dapprima il lato verso il Source. A regime la carica
positiva sul Gate determina un richiamo di altrettanta carica negativa (elettroni) dal
Source che neutralizzi tutte le linee di forza del campo elettrico. La carica in gioco
non partecipa ad una conduzione continua ma è richiesta solo in transitorio all’atto
dell’applicazione del segnale di tensione al Gate. Il fenomeno può quindi essere
sinteticamente rappresentato dall’introduzione di una capacità tra Gate e Source,
Cgs, i cui piatti sono il metallo di Gate da una parte ed il canale del MOSFET
dall’altra, ed il cui dielettrico è lo strato di isolante (ossido di Silicio, SiO2)
G at e
Source
D rain
ossido
n
Fig. 9.1
Cgs
Cgd
n
Sezione di un MOSFET prototipo in cui sono state messe in evidenza le
due principali capacità parassite inevitabilmente presenti e necessarie al
suo funzionamento.
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
Cgd
Cgd
D
G
Fig. 9.2
G
Cgs
Cgs
3
S
D
gmvgs
vgs
ro
S
Visualizzazione delle capacità interne del MOSFET sul suo
simbolo circuitale e nel circuito equivalente.
compreso tra i due.
Analogamente, quando si varia la tensione tra Gate e Drain, l’induzione
elettrostatica forza una variazione di carica ai capi del dielettrico che li separa. Si
manifesta così un comportamento capacitivo anche tra questi due elettrodi, indicata
con Cgd.
La struttura del MOSFET è geometricamente molto ben definita ed il
valore delle capacità dipende essenzialmente dai fattori costruttivi quali l’area del
Gate e lo spessore xox dell’ossido secondo la relazione C=Area*ox/xox.
Normalmente ragioni geometriche e costruttive fanno sì che Cgd sia più piccola di
Cgs (convenzionalmente si assume Cgs circa 2 volte Cgd). I valori sono forniti dal
costruttore.
Ai fini dell’analisi circuitale è utile visualizzare sullo schema circuitale del
transistore, come fatto nella Fig.9.2, le due capacità, Cgs e Cgd, ed eventualmente
introdurle nel circuito equivalente del transistore proposto nel Cap.4, pervenendo
così al nuovo circuito equivalente per piccoli segnali della Fig.9.2.
9.1.2
Transistori bipolari
Di diversa natura sono le capacità associate al funzionamento del BJT.
Quando si applica un segnale tra Base ed Emettitore, la variazione della tensione
della giunzione Base-Emettitore è accompagnata da una variazione della carica di
minoritari accumulata nelle due zone neutre adiacenti alla giunzione. Per esempio,
un aumento della polarizzazione diretta Vbe in un transistore npn determina, a
regime, l’aumento sia della carica di elettroni accumulata nella Base sia delle
lacune accumulate nella zona neutra dell’Emettitore (Fig.9.3a). Esiste quindi un
transitorio durante il quale alcune cariche non percorrono tutta la maglia tra
Emettitore e Base ma vengono immagazzinati nelle regioni neutre. Solo quando
l’accumulazione di nuovi portatori minoritari avrà permesso di raggiungere i profili
di concentrazione compatibili con la nuova condizione di funzionamento
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
p
n
E
n
C
n(x)
p(x)
p
n
n
-+
-+
-+
-+
E
-
vbe
B
C
+
vcb
B
b)
a)
Fig. 9.3
4
BJT npn: a) variazione della carica di minoritari accumulata nelle
regioni neutre della Base e dell’Emettitore; b) variazione della zona di
carica spaziale nella giunzione Base-Collettore.
stazionaria, la corrente di Collettore avrà raggiunto il suo valore finale. Questo
fenomeno può essere sinteticamente rappresentato con l’introduzione di una
capacità tra Base ed Emettitore, detta capacità di diffusione, indicata con C nel
circuito equivalente per piccoli segnali del BJT della Fig.9.4.
Il valore di C non è fisso: poiché per avere una fissata variazione della pendenza
della distribuzione di carica di minoritari bisogna fornire in transitorio una quantità
di carica tanto maggiore quanto maggiore è la carica già presente, il valore della
capacità di diffusione è direttamente proporzionale alla corrente di polarizzazione
del transistore:
C 
1
2 f T 
1
gm

1 IC
2 f T Vth
dove fT è la frequenza di transizione del transistore (si veda il prossimo paragrafo)
C
C
B
vbe
C
Fig. 9.4
E
c
B
c
r = /g m
C
gmvbe
ro
E
Visualizzazione delle capacità interne del BJT sul suo simbolo
circuitale e nel circuito equivalente, utile per studiare il comportamento
in frequenza dei circuiti.
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
5
ed è fornita dal costruttore.
Anche alla giunzione Base-Collettore, polarizzata inversamente, è associata
una capacità, legata alla variazione della carica spaziale conseguente ad una
variazione di Vbc (Fig.9.3b). Essa è indicata con C nel simbolo circuitale della
Fig.9.4 ed il suo valore è funzione, oltre che della geometria, anche della tensione
di polarizzazione inversa Base-Collettore.
Gli schemi equivalenti delle Fig.9.2 e Fig.9.4 sono universalmente adottati
per la loro sinteticità e permettono una analisi comunque accurata del
comportamento in frequenza della maggior parte dei circuiti reali. Esistono tuttavia
circuiti equivalenti più elaborati di quelli proposti, utilizzati principalmente nei
programmi di simulazione circuitale quando è richiesta un’analisi dettagliata della
risposta ad alta frequenza di un circuito, che tengono conto di altri accoppiamenti
capacitivi parassiti tra i morsetti, più complessi di quelli sinteticamente riassunti in
questo paragrafo (si pensi ad esempio all’accoppiamento verso il substrato) e legati
alla specifica struttura del dispositivo, alla tecnologia con cui è realizzato ed al
contenitore entro cui è inserito.
9.2
LA FREQUENZA DI TRANSIZIONE, fT
Una caratteristica dei transistori MOSFET è di avere al Drain la stessa
corrente che si è iniettata nel Source. La stessa caratteristica si applica anche al BJT
a meno della piccola corrente di Base che è inversamente proporzionale al  del
dispositivo. Valutiamo ora fino a quale frequenza questa proprietà dei transistori
continua a valere.
Si consideri la disposizione sperimentale della Fig.9.5a, in cui al morsetto
di Source (Emettitore) di un pMOSFET è applicato un generatore ideale di corrente
che fornisce la corrente I di polarizzazione e quella di segnale iin variabile in
frequenza. Si pensi di misurare il segnale di corrente trasmesso al Drain
(Collettore) utilizzando un misuratore di corrente ideale, ovvero con impedenza di
ingresso nulla. Evidenziando sul circuito le capacità interne al dispositivo o
sostituendo al transistore il suo circuito equivalente, è facile verificare che la
funzione di trasferimento iu(s)/iin(s) è data dall’espressione
i u ( s)
1

i in ( s) 1  sC gs / g m
Infatti il segnale iniettato nel Source vede un’impedenza pari al parallelo tra Cgs ed
1/gm. La tensione che si sviluppa tra Source e Gate genera una corrente di Drain
proporzionale alla gm del transistore stesso. Il trasferimento della corrente è quindi
costante ed unitario fino alla frequenza corrispondente al polo p=-gm/Cgs (p=-gm/C
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
iu
i in
I+iin(s)
Cgd
Cgs
iu(s)
fT 
6
1
2 C gs / g m
dB
Log f
0 dB
-3dB
-VDD
Fig. 9.5
(a) Schema circuitale per una misura di principio della f T di un
transistore ed (b) andamento con la frequenza del trasferimento di
corrente tra Source e Drain.
nel caso del BJT), e poi decresce con pendenza di -20dB/decade (Fig.9.5b). La
frequenza caratteristica del polo è
fT
MOSFET

1
2 C gs / g m
fT
BJT

1
2 C  / g m
(9.1)
ed è detta frequenza di transizione (o di taglio) del dispositivo. Fino alla
frequenza fT il transistore ha un trasferimento di corrente unitario; oltre tale
frequenza la corrente di induzione nella capacità aumenta a spese della corrente di
transito nel dispositivo, che diminuisce. Per questo motivo è comodo scegliere il
valore di fT come indice della frequenza massima a cui poter far funzionare un
transistore.
Si noti come nella funzione di trasferimento appena trovata non compaia la
capacità Cgd: la costante di tempo associata a Cgd è nulla perché l’impedenza vista
ai suoi morsetti è nulla per via del misuratore di corrente ideale. Quindi il polo
determinato da Cgd ha una pulsazione caratteristica di valore infinito.
Lo schema proposto nella Fig.9.5 per la misura della massima frequenza
utile di un transistore ha uno svantaggio che lo rende poco applicabile in una
misura di laboratorio: il generatore di corrente di segnale deve poter funzionare
fino ad una frequenza ben maggiore (almeno di una decade) della f T da misurare
per poterne individuare il valore con precisione. Questa condizione rende
ovviamente impossibile l’adozione della disposizione sperimentale della Fig.9.5
quando si voglia misurare le prestazioni dei dispositivi di nuova generazione con fT
maggiore di quella dei transistori impiegati negli strumenti di misura. Per ovviare a
questo inconveniente, si potrebbe adottare lo schema circuitale riportato nella
Fig.9.6a. Il generatore di segnale di corrente, con in parallelo una resistenza R, è
applicato al Gate del transistore nella configurazione con il Source comune. La
funzione di trasferimento iu(s)/iin(s) è data da:
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
C gd
iu
i in
iu
fT 
-gmR
dB
7
1
2(C gs  C gd ) / g m
-20dB/dec
i in
R
C gs
Log f
0 dB
1
2R (Cgs  Cgd )
a)
Fig. 9.6
b)
(a) Schema circuitale per la misura della fT dei transistori e (b)
corrispondente diagramma di Bode del modulo della funzione di
trasferimento iu(s)/iin(s).
1  s C gd g m
i u (s)
 gmR 
i in (s)
1  sR (C gs  C gd )
(9.2)
il cui diagramma di Bode è riportato nella Fig.9.6b. Il trasferimento di corrente è
costante solo fino alla frequenza 1/2R(Cgs+Cgd), che dipende non solo dai
parametri del transistore ma anche dal valore di R. L’intercetta della retta con
pendenza a -20dB/decade con l’asse orizzontale (corrispondente ad un
trasferimento di corrente unitario), individua una frequenza del tutto simile alla f T
prima definita:
1
f
 fT
1
2 C gs  C gd 
gm
con la differenza che ora compare nell’espressione anche la capacità Cgd (C). Il
vantaggio della disposizione sperimentale della Fig.9.6a è che, scegliendo R
opportunamente grande, il polo della funzione di trasferimento può essere spostato
a frequenze sufficientemente basse da poter essere misurato con la strumentazione
disponibile in laboratorio. Il valore della frequenza fT è ottenuto indirettamente
estrapolando, fino al raggiungimento dell’asse a 0dB, il tratto con pendenza di 20dB/decade.
Se si usasse un BJT, la resistenza sarebbe il parallelo tra la resistenza R del
generatore di corrente forzante e la resistenza di Base, /gm, del transistore. Se R>>
/gm il polo della (9.2) interverrebbe ad una frequenza  volte inferiore ad fT.


Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
8
Concludendo, la frequenza di transizione (o di taglio) dei transistori,
misurata e specificata dai costruttori, è quindi legata ai parametri del dispositivo
dalle seguenti espressioni :
fT 
gm
gm
per i FET e f T 
per i BJT.
2(C gs  C gd )
2( C   C  )
(9.3)
10.00
1.00
0.10
BJT
0.01
0.01
0.10
1.00
10.00
100.00
Corrente di Collettore [ mA ]
Fig. 9.7
Frequenza di transizione [ GHz ]
Frequenza di transizione [ GHz ]
ed a queste ci riferiremo nel seguito.
Nel caso dei FET, il valore di fT dipende dalla polarizzazione del transistore
soprattutto attraverso il termine gm, potendo considerare le capacità Cgs e Cgd
sostanzialmente costanti. L’andamento di fT con ID tipico di questi dispositivi è
mostrato a destra nella Fig.9.7.
Nel caso dei transistori bipolari il valore di fT è pressoché costante in un ampio
intervallo di polarizzazioni del dispositivo, perché la variazione lineare della
transconduttanza con la polarizzazione è in gran parte compensata dalla
corrispondente variazione della capacità di diffusione (C). Solo per valori bassi di
IC il termine dovuto a C diventa prevalente e la fT diminuisce con la corrente
(Fig.9.7). Il valore di Cgd (C) è fornito dal costruttore, indipendente da fT, molto
spesso in un grafico che ne mostra l’andamento in funzione della tensione V gd
(Vbc ).
In pratica, quando si analizza il comportamento in frequenza di un circuito, la
polarizzazione è fissata e quindi è nota la transconduttanza gm come pure è nota e
fissata Cgd (C). Il valore della capacità Cgs (C) si ricava dalla (9.3) in base al
valore di fT indicato dal costruttore. Viceversa, i simulatori circuitali inglobano i
dettagli di queste capacità con grande precisione.
I transistori in commercio hanno fT da qualche centinaia di MHz fino a
10.00
1.00
0.10
FET
0.01
0.01
0.10
1.00
10.00
100.00
Corrente di Drain [ mA ]
Andamento della fT con la corrente di polarizzazione del dispositivo.
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
9
diverse centinaia di GHz. Poiché la fT è con buona approssimazione determinata
dall’inverso del tempo di transito dei portatori tra Source e Drain (Emettitore e
Collettore), i transistori più veloci sono quelli con lunghezza di canale (o di Base)
più piccola. La tecnologia attuale permette di arrivare a dimensioni di qualche
decina di nanometro per i canali dei FET (limite imposto dalle tecniche di litografia
del chip) ed a valori molto inferiori per la lunghezza di base (limite legato al
controllo che si riesce ad avere nella diffusione verticale dei droganti di Emettitore
e di Base). Pertanto a tutt’oggi i migliori transistori bipolari sono più veloci (cioè
hanno fT maggiore) dei migliori MOSFET al silicio. Peraltro, dato che il tempo di
transito dipende anche dalla velocità dei portatori, i transistori più veloci in
assoluto sono i FET realizzati con Arseniuro di Gallio (GaAs) che sfruttano la più
elevata mobilità (8000) dei suoi elettroni di conduzione rispetto a quella nel
Silicio (1200).
L’adozione dei circuiti equivalenti delle Fig.9.2 e Fig.9.4 cessa di essere
valida per frequenze vicine o superiori alla fT dei transistori oltre cui la fisica del
funzionamento del dispositivo si discosta da quanto descritto nel Cap.3 e quindi la
modellizzazione delle Fig.9.2 e Fig.9.4 viene a mancare.
E 9.1
Si consideri il circuito riportato nella figura seguente. Si supponga di
avere un transistore bipolare con  =250, fT=500MHz e C=5pF.
a) Calcolare il valore della sua capacità di diffusione.
b) Quanto varrebbe la capacità Cgs di un FET (k=100mA/V2, fT=500MHz
e Cgd=5pF) che avesse la stessa corrente stazionaria del BJT?
+ VCC
300k
1k
C
C
520
[C=27pF, Cgs=5pF]
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
9.3
10
LE FUNZIONI DI TRASFERIMENTO DEGLI STADI
ELEMENTARI
Per calcolare la funzione di trasferimento di un circuito che impieghi uno o
più transistori ed abbia capacità anche sui rami esterni al transistore stesso,
facciamo inizialmente riferimento al circuito generale della Fig.9.8. L’ammettenza
del circuito che pilota lo stadio è rappresentata da Yi; l’ammettenza del carico sul
Collettore (Drain), YL, comprende non solo la conduttanza di carico ma anche
l’ammettenza di ingresso, in generale complessa, dello stadio successivo; con YS è
indicata l’ammettenza di degenerazione di Emettitore (Source) e l’ammettenza di
ingresso dello stadio eventualmente collegato a quel morsetto. Nel circuito
equivalente per piccoli segnali disegnato a destra nella figura, si è indicato con Y ,
nel caso del BJT, il parallelo tra /gm e C e, nel caso del FET, la sola capacità Cgs.
Y invece comprende, rispettivamente, la sola capacità C o la sola capacità Cgd. I
casi in cui le ammettenze Y sono reali, cioè rappresentano dei resistori, e le
capacità del transistore sono nulle, corrispondono alle configurazioni circuitali già
analizzate nei Capitoli precedenti.
Il guadagno di tensione tra il segnale vin di ingresso e l’uscita v1 sul
Collettore (Drain) del transistore, tipica degli stadi a guadagno di tensione, ottenuta
facendo gli opportuni bilanci ai nodi ed alle maglie, è data da


 Yi g m (YS  Y )  Y (YS  Y )
v1

vin YS YL (Y  Yi  Y )  Y (Y  g m  Yi )  YL (Y  g m )( Y  Yi )  Y Yi (Y  g m )




(9.4)
Fig. 9.8
Configurazione generale di uno stadio a transistore e suo circuito
equivalente per piccoli segnali.
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
11
Il guadagno di tensione tra il segnale vin di ingresso e l’uscita sull’Emettitore
(Source) del transistore, tipico degli stadi follower, vale invece
v2
vin


Yi (YL  Y )(g m  Y )



YS YL (Y  Yi  Y )  Y (Y  g m  Yi )  YL (Y  g m )( Y  Yi )  Y Yi (Y  g m )
(9.5)
Il denominatore delle due espressioni è identico poiché i circuiti analizzati sono
identici e quindi con gli stessi poli. Solo gli zeri differiscono perché i trasferimenti
sono presi tra due punti diversi.
Se avete provato anche voi a calcolare le (9.4) e (9.5) avrete notato che è un calcolo
complicato, forse un po’ noioso ed in cui in definitiva non viene messa
immediatamente in evidenza la funzione di ogni componente circuitale ed il suo
peso nel determinare i poli e gli zeri della funzione di trasferimento. Le due
espressioni (9.4) e (9.5) hanno peraltro il vantaggio di essere precise e complete.
Nei prossimi capitoli analizzeremo casi particolari della configurazione della
Fig.9.8 in cui solo alcune delle ammettenze Y saranno complesse, cioè costituite
anche da condensatori. Ogni caso particolare verrà analizzato in dettaglio, cercando
di arrivare alla funzione di trasferimento sulla base di considerazioni circuitali
“intuitive” e non attraverso un calcolo di rete come questo. Solo per controllo del
risultato ottenuto si farà riferimento alle espressioni (9.4) e (9.5).
9.4
STADIO SOURCE (EMETTITORE) COMUNE
Analizziamo innanzitutto il comportamento in frequenza del più semplice
circuito amplificatore a singolo transistore, lo stadio Source (Emettitore) comune.
Il paragrafo è organizzato in livelli via via crescenti di complessità studiando
dapprima una configurazione semplificata in cui compare solo una o l’altra delle 2
principali capacità interne del transistore, per poi arrivare a comprendere gli effetti
della loro contemporanea presenza e di eventuali capacità esterne di carico. Il fine è
quello di arrivare a capirne il comportamento in frequenza in maniera intuitiva
ancorchè approfondita, evitando quando possibile il calcolo delle equazione di
bilancio ai nodi del §9.3.
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
9.4.1
12
Sola capacità Cgs (C), pilotata a bassa impedenza.
Supponiamo inizialmente di poter trascurare la capacità Cgd (C) in modo
da valutare l’influenza che la sola capacità Cgs (C) del transistore avrebbe sul
trasferimento di un segnale in un amplificatore a Source (Emettitore) comune.
Se il transistore fosse pilotato direttamente da un generatore ideale di
tensione (Fig.9.9), la capacità Cgs (C) addirittura non interverrebbe nel
trasferimento del segnale tra ingresso ed uscita. Infatti, il generatore vin, posto
esattamente in parallelo alla capacità, fornirebbe istantaneamente tutta la carica di
cui questa ha bisogno per variare la tensione ai suoi capi (il generatore, poiché
ideale, può erogare una potenza infinita). In altri termini, data la idealità del
generatore, il segnale di tensione vin sarebbe comunque applicato istantaneamente
tra Gate e Source (Base ed Emettitore) ed il transistore, in base al modello adottato,
risponderebbe erogando istantaneamente una corrente di Drain (Collettore) pari a
i=gmvin. Il guadagno di tensione sarebbe quindi indipendente dalla frequenza ed
avrebbe il valore ben noto
G
vu
 g m R L
v in
Nella realtà il limite alla velocità di risposta sarebbe posto dal tempo di transito dei
portatori attraverso il canale (Base) del transistore che fisserebbe la banda del
circuito al valore della sua fT.
+ VDD
+ VDD
RL
RL
vu
vin
- VSS
Fig. 9.9
RL
vu
C
vin
Cgs
+ VCC
Cgs
vu
C
vin
C
Esempi di amplificatori a Source (Emettitore) comune pilotati da un
generatore ideale di tensione di segnale Vin. Si è messa in evidenza la
sola capacità Cgs(C) del transistore. In tutti gli esempi la capacità
NON limita in alcun modo la risposta del circuito, perché direttamente
ed istantaneamente caricata dal generatore stesso, consentendo
all’uscita di variare istantaneamente la tensione pur essendoci una
capacità nel circuito.
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
E 9.2
Calcolare
la
funzione
di
trasferimento del amplificatore a
BJT con  =400 ed fT=250MHz. Per
semplicità si pensi di poter
trascurare la capacità C e si
disegni l’andamento nel tempo della
risposta ad un gradino di tensione
all’ingresso ampio 400V.
13
C
Vu
vin
2.5
k
2.3M
50pF
-3 V
Il generatore di segnale, applicato direttamente alla giunzione Base-Emettitore,
produce un gradino di corrente di 6.4A in uscita. La limitazione alla velocità di
risposta della tensione vu(t) è solo data dalla rete di carico, che impone un
andamento esponenziale con costante di tempo =RLC=125ns del tipo:
vu
vin
dB
gmRL
polo
vu
-20dB/dec
0
t
Banda passante
log f
0dB
-2V
[
1.3 MHz
log f
0°
16mV
180°
270°
125ns
La corrispondente banda dell’amplificatore si estende quindi fino a f-3dB
1.3MHz. La funzione di trasferimento del circuito è valida fino a quando il BJT
riesce a comportarsi bene come transistore, quindi fino a fT. Se la costante di
tempo della risposta fosse stata molto più bassa (0.6ps), la velocità di risposta
di tutto il circuito sarebbe stata determinata principalmente dal tempo di transito
dei portatori all’interno del BJT nel loro tragitto dall’Emettitore al Collettore, in
genere dell’ordine di tr=1/(2fT).
E 9.3
Calcolare la banda passante del circuito
accanto, in cui si siano scelti BJT di uguali
dimensioni con  =200, C=0, fT=35GHz e
ro=60k.
.
C
Vu
vin
1.5M
-3 V
Il transistore all’ingresso non pone limiti al comportamento in frequenza. Il
carico, nella configurazione a transdiodo, ha invece la sua capacità C tra il
morsetto di uscita e l’alimentazione. Questa capacità, in parallelo alle resistenze
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
14
ro del BJT ed 1/gm del carico, determina il polo della funzione di trasferimento
vu/vin a
fp 
1
 35GHz . La risposta nel tempo ad un gradino di
2C  ro ro 1 g m


tensione in ingresso sarebbe analoga a quella dell’esercizio precedente, con una
costante di tempo di 4.5ps. La soluzione sarebbe accettabile perché pone il limite
alla banda passante del circuito proprio alla fT del transistore.
Normalmente il segnale vin è fornito da un circuito o da un generico trasduttore,
sintetizzabili in un generatore reale di tensione avente una resistenza serie
equivalente Ri. Nella figura 9.10 è riportato il caso di un amplificatore a MOSFET
in cui la polarizzazione del FET non necessita di ulteriori resistenze. La rete di
ingresso del circuito è quindi una semplice rete con Ri e 1/sCgs di cui la tensione vgs
di comando del transistore ne è una partizione:
vgs 
vin
1
1
 vin
1 sCgs
1

sC
gsR i
R1 
sCgs
Nel dominio del tempo, a fronte di un gradino positivo all’ingresso, il Gate sale
lentamente con costante di tempo =CgsRi, comandando il MOSFET la cui tensione
di uscita ha la stessa evoluzione temporale ma amplificata ed invertita.
Dall’espressione precedente si ricava quindi la funzione di trasferimento
dell’intero circuito:
+ VDD
vu
vin
dB
gmRL
polo
-20dB/dec
RL
Banda passante
1
vu
0°
vin
2CgsRi
log f
Cgs
- VSS
Fig. 9.10
log f
0dB
Ri
180°
270°
Stadio Source comune pilotato da un generatore reale di tensione di
segnale e suo comportamento in frequenza. Si è supposto di poter
trascurare Cgd.
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
vu (s)
1
 g m R L
vin (s)
1  sCgsR i
15
(9.6)
Per s=0, cioè alle frequenze bassissime in cui la capacità non pone alcuna
limitazione al trasferimento perché ha tutto il tempo per caricarsi al valore richiesto
istante per istante, si ritrova il guadagno a bassa frequenza G(0)=-gmRL. La
funzione di trasferimento ha un solo polo, determinato dalla maglia d’ingresso, la
cui costante di tempo è il prodotto tra la capacità Cgs e la resistenza vista ai suoi
capi pari a Ri. Il circuito non presenta alcuno zero al finito perché l’uscita può
essere annullata solo per s=, quando si annulla il comando vgs.
L’intervallo di frequenze in cui il trasferimento è circa costante ed in cui si
presume di utilizzare il circuito è detto banda passante del circuito. Essa è tanto
più grande quanto minore è la resistenza Ri del generatore di segnale. La frequenza
corrispondente al polo è detta anche frequenza a -3dB, e l’intercetta della funzione
di trasferimento con l’asse a 0dB individua la frequenza in corrispondenza al
guadagno unitario. All’interno della banda passante il circuito mantiene uno
sfasamento tra ingresso ed uscita praticamente costante a 180° perché invertente.
Già da questo primo caso è evidente il vantaggio che si ha, in termini di
banda passante di un circuito, a pilotare l’amplificatore con una resistenza Ri bassa.
Poichè i circuiti sono normalmente la cascata di stadi semplici in cui l’impedenza
di uscita dell’uno costituisce l’impedenza di ingresso dell’altro, questo evidenzia
quanto sia importante avere una resistenza bassa di uscita dello stadio di comando.
Confrontando lo schema circuitale della Fig.9.10 con quello della Fig.9.8, si può
verificare la correttezza del risultato dato dalla (9.6) ponendo Yi=1/Ri, Ys=, Y
=0, YL=1/RL, Y=sCgs.
Quando il circuito della Fig.9.10 è
+ VDD
realizzato con un BJT invece che con un
MOSFET, la funzione di trasferimento deve tenere
RL
conto anche della resistenza finita /gm tra la Base
Ri
vu
del transistore e massa. Questa resistenza ha due
effetti:
Cgs
i) ripartisce il segnale Vin facendone giungere di vin
meno a comandare il transistore;
- VSS
ii) si pone in parallelo a Ri nel definire la costante
di tempo del polo =C.(Ri||/gm). Pertanto l’espressione della funzione di
trasferimento nel caso di un BJT diventa:
vu
 / gm
1

g m RL
vin
Ri   / g m
1  sC ( Ri ||  / g m )
(9.7)
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
16
Polo in s e “polo” in j
Ovvero 1: Perché, se il polo è negativo, viene messo sull’asse positivo di  nei
diagrammi di Bode ?
Ovvero 2: Perché, se il polo fa andare all’infinito la funzione di trasferimento,
disegno quest’ultima addirittura più in basso di 3 dB nei diagrammi di Bode ?
La funzione di trasferimento (9.6) fornisce il polo del circuito a S=  =-1/CgsRi=1/ , da porsi nel piano di Gauss sull’asse reale negativo. In corrispondenza del
valore del polo, la funzione di trasferimento T(s) va all’infinito.
T(s)  
-3dB

Il polo (reale e
negativo) è qui …
j
1 … e qui il |T(j)| è
 3dB sotto il valore
all’origine.

s
1

0
Quando traccio un diagramma di Bode, disegno la funzione di trasferimento
T(j) per i soli valori lungo l’asse j. “Accidentalmente” in corrispondenza di
p=1/CgsRi=1/ il valore di |T(jp)| è 2 volte più piccolo del valore che la stessa
|T(j)| assume all’origine degli assi.
E 9.4
Con riferimento al circuito accanto
+5V
impiegante un BJT ( =300, C=0 e
fT=500MHz):
R L 1k
430k
a) calcolare l’espressione della funzione
vu
C=
di trasferimento vu/vin;
Ri
b) disegnare in due grafici quotati
+
1k
l’andamento del modulo e della fase della vin
funzione di trasferimento;
c) disegnare l’andamento nel tempo del
segnale sul morsetto di uscita quando al circuito è applicato un gradino
di tensione di ampiezza 5mV.
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
17
(a) - La polarizzazione fornisce IC=3mA, gm=120mA/V, C=38pF, /gm=2.5k.
Il guadagno a media frequenza, G(0)=-86, e la costante di tempo della risposta,
pari a =27ns, quantificano la funzione di trasferimento
vu
 gm
1
1
 g m R L 

 G(0) 
v in
R i   g m 1  sC  ( R i  g m )
1  s
La resistenza Ri non solo partecipa alla definizione del valore del polo del
circuito ma opera anche una partizione del segnale di ingresso, riducendone
complessivamente il guadagno. Ridurre Ri comporterebbe, pertanto, un
miglioramento di entrambe le grandezze.
(b) - Il modulo e la fase della funzione di trasferimento evidenziano il
comportamento del circuito come un filtro passa-basso. Tutti i segnali
sinusoidali a frequenza inferiore a fp=1/2=5.9MHz, sono trasmessi con circa la
stessa amplificazione. Alle frequenze superiori, il tempo di carica della capacità
di diffusione del transistore è invece maggiore del periodo del segnale, che
quindi non riesce ad essere per intero trasferito all’uscita. Il diagramma dello
sfasamento mostra come il circuito sia perfettamente invertente alle basse
frequenze (+180), mentre, alle alte frequenze, lo sfasamento aumenta
ulteriormente fino a 270°.
vu
vin
j
5.9MHz
180
dB
Log f
39dB
225
500MHz
0dB
270
Log f
5.9MHz
(c) - La risposta al gradino evidenzia la costante di tempo con cui il transistore
reagisce alla istantanea sollecitazione del segnale all’ingresso:
v(t)
vin(t)
5mV
t
vu(t)
-430mV
27ns
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
E 9.5
18
Si supponga di pilotare, con lo stesso circuito dell’esercizio precedente,
un carico capacitivo di 300pF. Commentare come varia la funzione di
trasferimento e disegnare il nuovo andamento nel tempo del segnale di
uscita.
+5V
RL
430k
1k
vu
Ri
300p F
+
v in
1k
C
Le due capacità sono disaccoppiate e pertanto danno luogo a due costanti di
tempo separate, una identica alla precedente (=27ns) e l’altra pari a 
=RLCL=300ns. L’espressione della funzione di trasferimento è data dal prodotto
delle singole funzioni di trasferimento e vale
vu
 gm
1
1
.
 g m R L 


v in
R i   g m 1  sC  ( R i || g m ) 1  sC L R L
Il nuovo polo, introdotto dalla rete di uscita, interviene quindi a frequenza più
bassa (530kHz) ed è lui a restringere la banda passante del circuito ed a
rallentarne la risposta temporale. I relativi diagrammi di Bode sono i seguenti:
vu
vin
j
180
dB
530kHz
5.9MHz
Log f
39dB
270
0dB
530kHz
E 9.6
Log f
360
5.9MHz
+3V
Calcolare il valore della banda passante del
seguente amplificatore a MOSFET, avente
VT=0.4V, k=5.5mA/V2, fT=600MHz ed in cui
si sia supposto, per semplicità, di poter
trascurare Cgd.
54k
2k
vu
600
v in
70k
- 3V
[0÷153MHz, tenendo conto della resistenza dinamica del diodo]
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
PERCHE’ LA FASE AUMENTA di 90° DOPO UN POLO ?
Prendiamo ad esempio la partizione in ingresso al MOSFET della Fig.9.10:
Ri
vin
Cgs
Si rifletta sul fatto che tra tensione e corrente in un condensatore esiste la relazione:
IC
V
t
V
Punti in cui la variazione
di tensione è massima …
I
… corrispondono a punti in
cui la corrente è massima
(con il segno legato al segno
della pendenza)
j=90°
Per cui ad alta frequenza quando l’impedenza del condensatore è piccola,
i) la partizione di vin che ritrovo in vg è piccola (visualizzata sul grafico di Bode del
modulo dalla discesa del guadagno, vedi Fig.9.10) e
ii) la fase è aumentata di 90° perché la corrente in Ri ha la stessa fase di vin ma la
tensione conseguentemente prodotta ai capi di Cgs gli è sfasata proprio di 90°.
19
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
9.4.2
20
Sola capacità Cgs (C) , pilotata ad alta impedenza.
Quando il circuito che pilota l’amplificatore è meglio rappresentato da un
generatore reale di corrente con resistenza equivalente Ri, il polo della funzione
di trasferimento vu /iin è ancora facilmente calcolabile e legato alla costante di
tempo della maglia di ingresso. Se ad esempio si considera il circuito a BJT della
Fig.9.11, il polo avrebbe una costante di tempo pari a =C(/gm||Ri), ottenuta dal
prodotto tra la capacità e la resistenza vista ai suoi capi, pari a /gm||Ri. La funzione
di trasferimento complessiva è quindi
vu
1
 (R i ||  g m )  g mR L 
iin
1  sC (R i ||  g m )
(9.8)
Si noti che se il generatore di corrente fosse ideale (Ri=), la funzione di
trasferimento dell’amplificatore avrebbe un polo ad una frequenza  volte minore
della fT del transistore scelto.
Nel caso di un circuito come quello in Fig.9.11 ma utilizzante un
MOSFET, la funzione di trasferimento sarebbe
vu
1
 R i g m R L 
iin
1  sR i Cgs
RL
vu
i in
dB
g m RL (Ri || /gm )
vu
-20dB/dec
i in
Ri
C
0dB
2 Cgs
Fig. 9.11
1
(Ri || /g m)
log f
Circuito per il segnale di uno stadio a BJT pilotato da un generatore
reale di corrente con resistenza equivalente Ri e diagramma di Bode
del modulo del suo trasferimento tra ingresso ed uscita.
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
21
Se Ri= nella Fig.9.11, che cosa si otterrebbe in uscita ?
E 9.7
Se Ri=, si otterrebbe
vu
1
 g m R L 
iin
sCgs
(9.9)
Il polo interverrebbe in continua (a frequenza zero) ed il circuito sarebbe un
integratore ideale, dove cioè la corrente di segnale andrebbe tutta direttamente a
caricare la capacità Cgs, muovendo di conseguenza il potenziale del Gate.
9.4.3
Sola capacità Cgd (C), pilotata da generatore ideale
Per analizzare l’influenza che la capacità Cgd (C) ha sul comportamento in
frequenza degli amplificatori con il Source (Emettitore) comune, si può fare
riferimento alla configurazione circuitale della Fig.9.12. In questo caso il segnale,
erogato da un generatore ideale di tensione con resistenza interna nulla, annulla
l’influenza della capacità Cgs (C)come visto nel paragrafo precedente (la costante
di tempo associata a Cgs è nulla perché essa vede una resistenza nulla ai suoi capi).
vu
vin
dB
-gm RL
polo
-20dB/dec
+ VDD
zero
Cgd
RL
vu
-gmRL
vin
+1
0dB
1
2CgdRL
vin
gm
2Cgd
log f
0°
180°
Cgs
- VSS
360°
Fig. 9.12
Stadio Source comune in cui sono evidenziate le due capacità C gs e Cgd.
L’uso del generatore ideale di tensione annulla l’influenza di C gs. Sulla
destra i corrispondenti diagrammi di Bode del guadagno tra ingresso ed
uscita. Si noti che il guadagno del circuito passa da un valore negativo a
bassa frequenza ad un valore positivo ad alta frequenza . Ciò si riflette
nella fase che necessariamente deve cambiare di 180°. Affinché ciò sia
possibile pur avendo solo una capacità dovrà esserci uno zero positivo
(nel semipiano destro).
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
22
La capacità Cgd (C) risulta in questo caso l’unica a giocare un ruolo.
Analizzando il comportamento dell’amplificatore nel dominio del tempo, si nota
che sul fronte positivo del gradino di ingresso l’uscita necessariamente deve salire
della stessa quantità poiché la carica in Cgd non può cambiare istantaneamente, e
quindi neppure può cambiare istantaneamente la tensione ai suoi capi, con la
conseguenza che se un capo è mosso di vin anche l’altro capo si deve muovere di
vin. Passato l’istante iniziale la corrente di Drain del MOSFET estrae carica positiva
dall’armatura di destra del condensatore e porta Vu verso il basso con una
evoluzione temporale dettata dalla costante di tempo del circuito.
Per scrivere la funzione di trasferimento, che ci possiamo immaginare della forma:
vu (s)
1  sz
 G(0)
vin (s)
1  sp
Facciamo le seguenti considerazioni.
Guadagno a bassa frequenza G(0).
Notiamo innanzitutto che a bassa frequenza, quando le capacità del transistore sono
dei circuiti aperti, il comando del transistore è pari a vin e la corrente
corrispondentemente richiamata in uscita è iu=gmvin. Quindi il trasferimento in
continua (s=0) risulta pari a G(0)=-gmRL. Notare che otterremmo lo stesso risultato
anche se ci fosse un BJT al posto del MOSFET.
Determinazione del polo. Il polo ha la costante di tempo data dal prodotto della
capacità Cgd (C) per la resistenza vista ai suoi capi. Poiché, disattivato il
generatore forzante, il Gate del transistore è a massa su segnale, la resistenza vista
dalla capacità Cgd (C) è solo RL (o eventualmente RL||r0 se la resistenza di uscita
del transistore non fosse trascurabile). La costante di tempo del polo (e quindi
dell’evoluzione temporale della risposta) è quindi:
p=CgdRL nel caso del MOSFET
o p=CRL nel caso del BJT.
Determinazione dello zero. Lo zero, se esiste, corrisponde alla frequenza
complessa “s” che rende nullo il trasferimento di segnale all’uscita (vu(s)=0).
Affiché questo si verifichi bisogna che non passi corrente in RL e che quindi
(Fig.9.13) la corrente di segnale iniettata dal Gate verso l’uscita attraverso la
capacità (i=vin/(1/sCgd)) sia esattamente pari a quella prelevata dal Drain del
MOSFET per effetto dello stesso segnale vin, ovvero
vgsCgd  g m vg
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
23
Questa eguaglianza è verificata per la frequenza complessa s=gm/Cgd che individua
quindi lo zero zero reale positivo della funzione di trasferimento, posto nel
semipiano destro del piano di Gauss. Esso ha quindi la particolarità di sfasare il
segnale di ingresso di ulteriori 90°, producendo lo stesso effetto sullo sfasamento
del segnale di quello prodotto da un polo.
La funzione di trasferimento del circuito della Fig.9.12 può quindi essere
scritta come
1  s Cgd g m
vu (s)
 g m R L 
vin (s)
1  sCgdR L
(9.10)
A questo risultato si sarebbe anche potuti giungere risolvendo il sistema di
equazioni di bilancio ai nodi sul circuito della Fig.9.12, equivalente a porre nella
(9.4): Yi=, Ys=, Y=sCgd, YL=1/RL, Y=sCgs.
Considerazioni intuitive. Nella Fig.9.12 notiamo che la funzione di trasferimento
dovrà avere uno zero perché il trasferimento vu(s)/vin(s) ha due valori asintotici
finiti di guadagno: a bassa frequenza è G(0)=-gmRL; ad alta frequenza l’impedenza
di Cgd tende ad essere infinitesima e pertanto il segnale di tensione tende ad essere
trasferito invariato direttamente all’uscita, per cui G()=1. Ttentando di disegnare
il diagramma di Bode del modulo del guadagno, è facile concludere che il raccordo
tra i due valori asintotici del trasferimento impone che ci sia anche uno zero
Per quanto riguarda la fase, si noti che a bassa frequenza il guadagno è negativo
mentre ad alta frequenza il guadagno è positivo. La fase deve pertanto variare di
180°, operazione possibile solo se lo zero introduce uno sfasamento equiverso a
quello del polo, cioè se lo zero è positivo.
RL
C gd
i = vin sCgd
ir = 0
vu = 0
i d = gm v in
+
v in
Fig. 9.13 Considerazioni circuitali per il calcolo dello zero della funzione di
trasferimento del circuito della Fig. 9.12.
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
24
ZERO POSITIVO (a destra nel piano di Gauss)
Una funzione di trasferimento con zero positivo ha ad esempio la forma :
1  s Cgd g m
v (s)
T(s)  u
 g m R L 
v in (s)
1  sCgdR L
Lo zero è positivo perchè per azzerare la funzione di trasferimento bisogna che
sia s=gm/Cgd, appunto positivo !
Nel piano di Gauss, il polo e lo zero sarebbero posti sull’asse delle ascisse come
nella figura seguente:
j
Il polo (reale e
negativo) è qui …
lo zero (reale e
positivo) è qui …

s
1
p
1
s
z
Lo zero positivo ha effetto nel definire lo sfasamento tra la sinusoide applicata
all’ingresso e quella prodotta all’uscita del circuito. Riscrivendo la T(s) nella forma :
1
s
v u (s)
1  s z
z z
,
T(s) 
 g m R L 
 g m R L

v in (s)
1  s p
p 1
s
p
allo spostarsi del punto s=j verticalmente lungo l’asse delle ordinate, vale a dire al
variare della frequenza =2f, l’argomento della T(s), vale a dire lo sfasamento
cercato, è rappresentato dagli angoli che i vettori formano con l’asse orizzontale
orientato:

 1 
 1

arg(T(j)=arg(-gmRLz/p) + arg   j  - arg  j     
 p  

 z




come illustrato nella figura seguente
j
1
s= j
1
j
gm
j
C gd
C gd ZL
2
p=
1
Cgd ZL
z=
gm

C gd
Lo sfasamento totale è dato da
arg (T(j)) =  + 1 - 2
dove 1 è negativo per zeri reali positivi come in questo caso.
Notare che la lunghezza del vettore non cambierebbe per zeri positivi o negativi, e
quindi il modulo del diagramma di Bode non cambia !
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
E 9.8
Calcolare la funzione di trasferimento
vout/vin del circuito accanto e disegnarne
i diagrammi di Bode del modulo e della
fase del trasferimento. Il MOSFET abbia
|VT|=1V,
k=1mA/V2,
Cgd=6pF,
fT=100MHz
25
+10 V
C=
R1
120k
vout
vin
R2
80k
RL
2k
-10 V
La polarizzazione è: VSG=2V, ID=1mA e gm=2mA/V. Il guadagno a bassa
frequenza è G=-gm(RL||ro)=-4 (12dB), il polo è posto a fP=13.3MHz e lo zero a
fZ=53MHz. L’andamento con la frequenza del guadagno e dello sfasamento tra
ingresso ed uscita evidenziano una banda passante di circa 10MHz.
vu
vin
j
dB
sfasamento di 180°
dell'amplificatore invertente
12
polo
+180°
8
53MHz
13.3MHz
4
13.3MHz
zero
log f
0dB
10 6
10 7
10 8
53MHz
10 9
0°
sfasamento nullo
del trasferimento diretto
106
107
108
log f
10 9
Si noti come lo zero positivo non alteri la costruzione del modulo della funzione
di trasferimento rispetto a quando lo zero è negativo, ma cambia lo sfasamento.
E 9.9
Visualizzare l’andamento della funzione di trasferimento dell’esercizio
precedente nel piano di Gauss invece che con i diagrammi di Bode.
Per quanto riguarda il modulo, si riscriva la (9.10) nella forma
| C gd / g m |
vu
| g m R L | 

v in
| C gd R L |
gm
 j
C gd
1
 j
C gd R L

gm
 j
C gd
,
1
 j
C gd R L
dove il numeratore ed il denominatore corrispondono, rispettivamente, alla
lunghezza del vettore congiungente il punto s=j con lo zero ed a quella del
vettore congiungente il polo con il punto s=j, come illustrato nella figura:
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
26
j
1
s= j
1
j
gm
j
C gd
C gd ZL
2
p=
1
z=
Cgd ZL
gm

C gd
Allo spostarsi del punto s=j verticalmente lungo l’asse delle ordinate, vale a
dire al variare della frequenza, il rapporto tra le lunghezze dei due vettori
fornisce il modulo del guadagno alla pulsazione . Ad esempio, quando si opera
in continua (=0), la lunghezza dei due vettori è |z|=53MHz e |p|=13.3MHz, ed il
loro rapporto è proprio il valore 4 trovato precedentemente. Ad = invece i due
segmenti tendono a diventare uguali per cui il loro rapporto è unitario (0dB).
L’argomento della (9.10) è rappresentato dagli angoli che i vettori formano con
l’asse orizzontale orientato. Lo sfasamento totale è dato da
arg (vu/vin) =  + 1 - 2 ,
dove 1 è negativo per zeri reali positivi come in questo caso.
E 9.10 Proporre delle modifiche al circuito dell’esercizio E 9.8, in modo da
portare a far coincidere lo zero con il polo. Studiarne l’effetto.
Per spostare lo zero verso il polo si può diminuire la transconduttanza del FET
cambiandone la polarizzazione o spostare il polo verso lo zero diminuendo il
valore della resistenza di carico. Quando il polo e lo zero coincidono il guadagno
è sempre pari ad 1. La banda passante del circuito si estende almeno fino a
fT=100MHz, limitata dal tempo di transito dei portatori nel transistore, che non è
preso in considerazione nella modellistica semplificata dei componenti attivi. Per
quanto riguarda l’andamento della fase, in corrispondenza della frequenza delle
due singolarità coincidenti, lo sfasamento j è pari a 90.
Circuiti di questo tipo, in cui il guadagno in modulo è sempre 1 mentre al variare
della frequenza cambia solo la fase tra i segnali di ingresso e di uscita, sono
chiamati circuiti sfasatori puri.
vu
vin
j
fp
dB
180
270
0dB
fp
360
Log f
Log f
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
27
E 9.11 Disegnare l’andamento temporale del segnale di tensione al morsetto di
uscita del seguente circuito, quando all’ingresso è applicato un gradino
di tensione d’ampiezza A=1mV. Il BJT abbia  =500 e C=1pF.
+6V
RL
330k
C inf
410
vu
+
v in
La polarizzazione fornisce IC=8mA e gm=320mA/V. Quindi z=3ps, p=0.4ns. Il
segnale di uscita è ottenibile dalla (9.10) ponendo vin(s)=A/s. L’espressione può
essere riscritta nella seguente forma
vu 
A  C R L
1  sC  R L

C R L
A gm


 a ( t )  b( t )
s C  1  sC  R L
i cui singoli addendi e la risposta complessiva sono rappresentati graficamente
nella figura seguente.
v(t)
v(t)
t
1
t
410ps
-131
410ps
v(t)
vin (t)
1
t
vu (t)
-131
410ps
Come ci si aspetta, sul fronte il trasferimento è unitario, mentre quando
l’ingresso si è stabilizzato al livello stazionario, l’uscita è invertita e lo stadio
guadagna G=-gmRL.
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
28
E 9.12 Si consideri il seguente circuito a BJT ( =100, r0=80k, C=0.3pF,
fT=700MHz), il cui carico mostra non solo una componente resistiva ma
anche una componente capacitiva rappresentata da CL=6pF.
Determinare i poli e gli zeri della funzione di trasferimento.
+3V
4k
1.15M

.
6pF
vu
vin
La polarizzazione del dispositivo determina 1/g m=125 e Vu+2.1V. Benché vi
siano 3 capacità di valore finito, nella schematizzazione analizzata si ha un solo
polo. Infatti, la capacità C=1.5pF è cortocircuitata, sul segnale, dal generatore
di tensione; C e CL sono componenti in serie lungo una maglia e pertanto non
sono tra loro indipendenti (fissata la tensione ai capi dell’una è fissata la tensione
anche ai capi dell’altra). Spento il generatore di segnale, la carica accumulata sui
due condensatori può scaricarsi attraverso R L ed ro, con una costante di tempo 
=(RL||ro)(C+CL)=24ns a cui corrisponde una frequenza fp=6.6MHz. Lo zero
invece interviene alla frequenza fz=4.2GHz. La capacità CL non ha effetto sullo
zero. Infatti, ritornando a considerare la Fig.9.13, ci si può facilmente rendere
conto che una capacità in parallelo al morsetto di uscita non interviene nel
bilancio tra la corrente erogata sul segnale dal transistore e la corrente che
attraversa C per avere vu=0.
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
29
E 9.13 Il circuito della figura sotto utilizza BJT con (The circuit below uses BJT
having ) =500 e curve caratteristiche ideali (Va=)
a)
Calcolare la tensione d’uscita in assenza di segnale all’ingresso.
(Find Vu when no signal is present at the input)
b)
Disegnare in un grafico quotato l’andamento in frequenza
(modulo e fase) dell’impedenza di ingresso del circuito (Draw the input
impedance of the circuit as a function of frequency).
c)
Calcolare la distorsione di seconda armonica all’uscita Vu
quando all’ingresso è applicata una sinusoide a 100MHz ed ampiezza
2mV. (Find the harmonic distortion HD2 at the output when a sinusoidal
signal at 100MHz and amplitude 2mV is applied to the input)
d)
Tracciare il diagramma di Bode (modulo e fase) del guadagno
G=Vu(s)/Vin(s) quando, in aggiunta alla C=1nF di bypass, ci sia anche la
capacità Cbc= C=0.1pF del solo transistore T2. (Consider, in addition to
C=1nF, also the capacitance Cbc=0.1pF of only transistor T2. Draw the
Bode diagram of the gain G=Vu(s)/Vin(s) ).
f)
Calcolare la massima ampiezza di una sinusoide Vin alla
frequenza di 1kHz e quella alla frequenza di 50MHz applicabile al
circuito. (Find the maximum amplitude of a sinusoid at 1kHz and at
50MHz that can be applied to the input).
+ 5V
C
1 nF
Re
4.3k
vin
T1
R1
1k
T2
R2
4.3k
- 1V
vu
Rc
10k
- 5V
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
9.4.4
30
Sola capacità Cgd (C), pilotata da un generatore reale
Quando l’amplificatore Source (Emettitore) a massa è pilotato da una
sorgente con resistenza di uscita, Ri, finita (Fig.9.14), il calcolo della funzione di
trasferimento nel caso in cui il transistore abbia solo la capacità Cgd (C) è un po’
più complicato perché entrambi gli estremi della capacità si muovono in tensione a
cavallo di un elemento amplificante.
Guardando il circuito a MOSFET della Fig.9.14 si vede che:
i) il guadagno in DC è pari a G(0)=-gmRL;
ii) il valore dello zero è identico a quello calcolato nel paragrafo precedente,
sempre positivo e pari a s=gm/Cgd;
iii) la risposta nel tempo ad un gradino positivo di ingresso è qualitativamente
simile a quella trovata per il circuito della Fig.9.12. Cambia l’ampiezza della
piccola salita iniziale, ora pari a
1 gm R L
v u (0)  v in
R i 1 g m R L
perché sul fronte del gradino la capacità si comporta da cortocircuito ed il
transistore mostra una impedenza pari a 1/gm in parallelo ad RL.
iv) Cambia la costante di tempo di scarica perché cambia la resistenza vista ai capi
della capacità Cgd. Per calcolarla possiamo sostituire alla capacità un
vin
Vu(0+)
Cgd
Ri
+ VDD
+ VDD
RL
vu
Ri
-gmRL
vin
- VSS
Fig. 9.14
I
Vu(0+)
RL
B
A
- VSS
Stadio Source comune alimentato con un generatore di tensione reale,
in cui sia presente solo la capacità Cgd. Sono disegnate la risposta nel
tempo del Gate del MOSFET e dell’uscita nel caso di un gradino di
tensione all’ingresso. A destra lo schema per calcolare la resistenza
vista ai capi della capacità.
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
31
generatore di sonda di corrente e calcolare la corrispondente variazione di
tensione tra i due punti A e B, come evidenziato nella figura 9.14. La resistenza
cercata non sarà altro che Z=(VA-VB)/I. Poiché entrambi i punti A e B si
spostano in tensione, è necessario impostare il sistema di bilancio ai due nodi A
e B:
V  IRi

 V A
B

 I  g m  VA

 RL
da cui
VA  VB  I  R i  I  R L  I  g m  R L  R i
ed ottenere l’espressione della desiderata impedenza vista dalla capacità:
R
VA  VB
 R i 1  g m  R L   R L
I
(9.11)
La costante di tempo del polo introdotto dalla capacità Cgd sarà quindi
  Cgd  R i 1  g m  R L   R L 
(9.12)
Essa è quindi ben diversa dal semplice prodotto tra Cgd e le resistenze fisiche Ri ed
RL del circuito, per via del termine moltiplicativo della sola Ri dato da (1+gmRL) in
cui riconosciamo il guadagno di tensione G=-gmRL tra A e B. Il valore della
costante di tempo del circuito sarà quindi tendenzialmente elevato e
proporzionalmente più grande quanto più il circuito guadagna. Questo è spiacevole:
se cercassi di guadagnare dieci volte di più (ad esempio con gm dieci volte più
grande) mi ritroverei con un amplificatore con una banda passante dieci volte più
piccola! Si dice che in questi casi il prodotto guadagno x banda (GBWP: Gain
Bandwidth Product) del circuito è costante.
La funzione di trasferimento dell’amplificatore della Fig.9.14 è quindi
1  s Cgd g m
vu (s)
 g m R L 
vin (s)
1  sCgd R i (1  g m  R L )  R L 
(9.13)
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
32
Quando si analizza l’analogo amplificatore a BJT, il calcolo è identico e le
considerazioni sono le stesse, avendo cura di considerare la presenza della
resistenza /gm tra Base e massa, ottenendo quindi
1  s Cgd g m
vu (s)
 gm

g mR L 
vin (s)
R i   gm
1  sCgd R i  g m (1  g m  R L )  R L

la
funzione
di
E 9.14 Ricalcolare
trasferimento vu/vin del circuito di E
9.8 (MOSFET con |VT|=1V,
k=1mA/V2, Cgd=6pF, fT=100MHz)
in cui ora il generatore di segnale
abbia resistenza di uscita di 5k .
Confrontare la banda dei due
circuiti.

(9.14)
+10 V
Ri
5k
C=
R1
120k
vout
vin
R2
80k
RL
2k
-10 V
E 9.15 Calcolare la funzione di trasferimento del
circuito accanto che utilizza un BJT con
=100 e C=4pF e disegnare
l’andamento nel tempo del segnale di
uscita ad un gradino di ingresso ampio
10mV.
+ 6V
C
RL
1.5k
133k
2k
vin
Vu
C=
- 6V
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
33
EFFETTO di AMPLIFICAZIONE DELLA CAPACITA’ DI PONTE
Per intuire il motivo per cui la  abbia la forma (9.12), si pensi alla variazione
della carica accumulata sulle armature di Cgd quando lo stadio è forzato da un
segnale a gradino di tensione vin. Con riferimento alla Fig.9.15, esaurito il
transitorio di carica della capacità, il potenziale del morsetto di Drain sarà
diminuito della quantità gmRLvin generando una variazione effettiva della
tensione ai capi di Cgd pari a VC= vin+gmRLvin. Pertanto sulle armature di Cgd
la variazione di carica è stata di Q=(1+gmRL)vinCgd, carica che deve essere
fornita dal generatore di tensione vin. Questa è la stessa carica che vin
erogherebbe ad una capacità ben più grande di Cgd e pari a Ceq=(1G)Cgd=(1+gmRL)Cgd posta tra Gate e massa (Fig.9.15 a destra). Ci si attende,
quindi, che la capacità Cgd contribuisca alla costante di tempo associata alla rete
di ingresso con un termine del tipo (1+gmRL)CgdRi, come effettivamente ci
viene detto dalla (9.12).
Cgd
vin
RL
Q=Cgd(1+gmRL)Vin
vin
Q=Cgd(1+gmRL)Vin
vin
-gmRLvin
RL
vin
Cgd(1+gmRL)
Fig. 9.15
Visualizzazione (a sinistra) della quantità di carica che deve essere
messa sui piatti della capacità Cgd per assicurare il previsto guadagno di tensione tra
ingresso ed uscita. A destra è riportato l’equivalente circuito in cui la stessa carica è
fornita da Vin ma su una capacità verso massa.
Per rendere più veloce un amplificatore così fatto bisogna i) progettare bene lo
stadio precedente in modo che Ri sia la più piccola possibile e ii) non esagerare
con il suo guadagno di tensione ! iii) Oppure anche … (vedi §9.6).
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
34
9.4.5 Amplificatore Source (Emettitore) comune con entrambe le capacità
Cgs e Cgd (C e C)
Facendo tesoro delle idee viste nei paragrafi precedenti, sarà ora facile
analizzare il comportamento dell’amplificatore con il Source (Emettitore) comune
nella sua configurazione reale, cioè quando sono compresenti ed attive entrambe le
capacità Cgs e Cgd come evidenziato nella Fig.9.16. Per comodità possiamo tenere
come riferimento con cui confrontarci la funzione di trasferimento esatta del
circuito ottenuta impostando il sistema di equazioni di bilancio ai nodi del circuito:
1  s Cgd g m
vu
 g m R L 2
vin
s R L R iCgdCgs  s R iCgs  R LCgd  R iCgd (1  g m R L )  1


(9.15)
Essa è ricavabile dalla (9.4) quando Yi=1/Ri, Ys=, YL=1/RL, Y=sCgd, Y=sCgs.
Vediamo quali considerazioni possono essere fatte immediatamente sulla base di
quanto visto fino ad ora non solo per interpretare la (9.15) ma anche per giungervi
facilmente senza passare per i calcoli :
-
Nel caso si usi un MOSFET, il guadagno a media frequenza, quando le
capacità del transistore non intervengono, è pari a G(0)=-gmRL. Esso è il
termine moltiplicativo di (9.15).
Nel caso si usi un BJT, la resistenza Ri determina una partizione con la
resistenza di ingresso /gm e quindi il guadagno diventa G(0)=-RL/(Ri+/gm).
-
lo zero è identico a quello trovato nel §9.4.3 sia per il MOSFET che per il
BJT, cioè pari a (1-sCgd/gm) per il MOSFET e (1-sCbc/gm) per il BJT.
RL
Cgd
vu
Ri
v in
Fig. 9.16
C gs
Stadio Source comune alimentato con un generatore di tensione reale.
Entrambe le capacità Cgs e Cgd del transistore concorrono a
determinare la risposta in frequenza del circuito.
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
-
35
la funzione di trasferimento avrà due poli essendo le due capacità
indipendenti. La frequenza a cui essi intervengono non è immediatamente
ottenibile perché le due capacità interagiscono tra di loro: l’interazione si
esprime in un denominatore di secondo grado nella forma as2+bs+1.
Sulla base di queste considerazioni, la funzione di trasferimento per il circuito a
MOSFET sarebbe scrivibile come:
1  sC gd g m
vu
 g m R L 2
v in
s a  sb  1
(9.16)
Per calcolare le costanti di tempo associate ai due poli al denominatore, in
mancanza della conoscenza precisa dei termini “a” e “b”, si può ricorrere alle
considerazioni viste in Appendice per un circuito con più di una costante di tempo.
Il coefficiente b del termine di primo grado è sempre esattamente pari alla somma
delle costanti di tempo associate a ciascun condensatore quando gli altri sono stati
rimossi
b
n
C R
j
j
(9.17)
.
j1
Nel nostro caso gli addendi sono due, essendo due le capacità.
Per valutare la resistenza vista in parallelo da Cgs quando Cgd=0 si deve pensare
di applicare nella posizione del condensatore un segnale sonda di corrente
(Fig.9.17a) e di valutare la tensione che si sviluppa ai suoi capi. Nel caso specifico,
si ottiene semplicemente Ri e quindi l’addendo associato alla capacità Cgs è
gs  R iCgs
(9.18)
Per valutare la resistenza vista in parallelo da Cgd quando Cgs=0, con riferimento
RL
RL
is
Ri
Ri
is
a)
b)
Fig. 9.17 Schemi circuitali per calcolare le resistenze viste ai capi delle due
capacità, Cgs (a) e Cgd (b).
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
RL
Ri
1k
vin
Fig. 9.18
36
CGD
vu
(1+gmRL)CGD
Cgs
Schema del circuito della Fig. 9.15 in cui la capacità Cgd è stata
scomposta “alla Miller” in due capacità (una tra Gate e massa e
l’altra tra Drain e massa) in modo da memorizzare la (9.19).
alla Fig.9.17(b), si svolgono gli stessi calcoli del paragrafo precedente ottenendo la
resistenza [Ri(1+gmRL)+RL]. Il secondo addendo del termine “b” associato a Cgd è
quindi:
gd  Cgd R i (1  g mR L )  R L 
(9.19)
Il coefficiente del termine di 1° grado al denominatore della (9.16) è pertanto la
loro somma
b  R iCgs  R iCgd (1  g mR L )  R LCgd
(9.20)
Utilizzando la (9.20), si può aggiornare la funzione di trasferimento del circuito :
1  s Cgd g m
vu
 g m R L 2
vin
s a  s R i Cgs  R i Cgd (1  g m R L )  R LCgd  1


(9.21)
Il polo prevalente del circuito (cioè la radice a più bassa frequenza dell’equazione
di secondo grado al denominatore della (9.21)), ipotizzando che i due poli abbiano
frequenze caratteristiche sufficientemente distanti (circa una decade) tra loro come
visto in Appendice, è ben stimato dal solo termine b che abbiamo appena
confezionato, nella forma:
pL  
1
1

b
R iCgs  R iCgd (1  g m R L )  R LCgd


(9.22)
Ne deduciamo che stimare il polo prevalente di un circuito anche complesso in cui
varie capacità interagiscono tra di loro è relativamente facile! Per quanto visto fino
ad ora ognuno dei 3 termini della (9.20) ha un preciso significato fisico-circuitale
che qui di seguito riassumiamo con l’aiuto della Fig.9.18:
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
vu
vin
0°

-180°
dB
-20dB/dec
z
pL
Fig. 9.19
pH
log f
pL
pH
z
-270°
-40dB/dec
0dB
37
log f
-20dB/dec
-360°
-90°
Diagramma di Bode del modulo e della fase del guadagno del circuito
della Fig.9.16.
-
1=RiCgs è la costante di tempo dovuta alla scarica della capacità Cgs sulla
resistenza vista all’ingresso;
-
2=RiCgd(1+gmRL) è la costante di tempo associata alla scarica della capacità
di ponte Cgd attraverso la rete di ingresso. Questa costante è spesso detta
costante di tempo di Miller e l’alterazione del valore della capacità di ponte ai
fini della valutazione della costante di tempo della maglia di ingresso è
indicata come effetto Miller. Il nome è legato ad un teorema di teoria delle reti,
il teorema di Miller, che consente di scomporre una generica ammettenza Y 12
posta tra due nodi di una rete (proprio come la capacità Cgd) in due
ammettenze equivalenti posti tra i nodi e massa.
-
3=RLCgd può essere vista come la costante di tempo legata alla scarica
dell’altro piatto della capacità di ponte Cgd sulla resistenza vista al Drain;
Il secondo polo del circuito starà ad una frequenza più elevata di pL appena trovato.
Se si conoscesse il termine “a” della (9.21), il calcolo sarebbe immediato e preciso.
In mancanza di questo, una via per stimarlo è quella di confrontare i valori di (9.18)
e di (9.19), cioè dei 2 addendi che costituiscono il termine b. Il termine maggiore
definisce la capacità (tra le due presenti) che interviene a frequenza più bassa.
Volendo esplorare le frequenze più alte, questa capacità sarà già intervenuta.
Pertanto non ci resta che farla effettivamente intervenire, cortocircuitandola nel
circuito della Fig.9.16. Il “nuovo circuito” che ne consegue avrà solo l’altra
capacità che però ora vede un insieme di resistenze ai suoi capi che in generale è
diverso da quello calcolato prima. Pertanto la nuova costante di tempo che ad alte
frequenza interverrà sarà data dal prodotto della rimanente capacità con la
resistenza vista in questa nuova situazione. Essa definirà il secondo polo, a
frequenza maggiore del primo. I successivi esercizi aiuteranno a prendere
dimestichezza con questo tipo di calcolo.
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
38
C
Ri
vin
Fig. 9.20
A
Vu
C
RL
Amplificatore utilizzante un BJT pnp con evidenziate le capacità tra i
morsetti che concorrono alla sua risposta in frequenza.
Operando in questo modo si raggiungono risultati molto vicino ai valori veri dei
due poli, ottenibili eventualmente in un secondo tempo con precisione utilizzando
un simulatore circuitale. Come visto in Appendice C, se anche i due valori di (9.18)
e di (9.19) fossero uguali (caso più sfortunato), eliminare l’uno e tenere l’altro
darebbe un errore nei valori finali dei poli solamente di un fattore 2. A meno di
esigenze particolari, non è quindi in generale necessario calcolare l’equazione
(9.15) di secondo grado al denominatore né tanto meno risolverla!
La Fig.9.19 visualizza un possibile andamento della funzione di trasferimento del
circuito al variare della frequenza del segnale di ingresso, nell’ipotesi che f p<fz. La
presenza di un guadagno invertente, di due poli e di uno zero positivo comporta
uno sfasamento tra ingresso ed uscita che asintoticamente tende a 90°.
L’analisi di uno stadio Emettitore comune (Fig.9.20) porta ad identiche
conclusioni. Il polo prevalente (termine b) per un amplificatore a BJT è quindi:
pL  
1
1

b
C (R i  g m )  (R i  g m )C (1  g mR L )  R LC


(9.23)
I risultati ottenuti in questo paragrafo mettono in luce un fatto molto
importante: poiché normalmente il termine RiCgd(1+gmRL) nella (9.22) o il termine
(R1||/gm)C(1+gmRL) nella (9.23) è il termine dominante in un amplificatore ad
alto guadagno, ne risulta che il guadagno di uno stadio e la sua banda passante non
sono due grandezze indipendenti. Infatti, a causa della capacità di ponte Cgd (C),
un aumento dell’amplificazione comporta un aumento della costante di tempo
associata al primo polo. A questo punto, una maggiore amplificazione è pagata con
una corrispondente diminuzione della banda dello stadio. In generale sono gli stadi
che amplificano a limitare la banda di un circuito.
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
39
E 9.16 Si analizzi il comportamento in frequenza del seguente amplificatore di
tensione impiegante un MOSFET con k=2mA/V2, VT=0.5V, ro=,
Cgs=Cgd=1pF. In particolare:
a) Calcolare il guadagno a bassa frequenza del circuito
b) Calcolarne il polo prevalente che determina la banda passante
c) Stimare il polo ad alta frequenza
+ 5V
d) Confrontare i valori stimati dei poli con
RL
quelli esatti ottenibili dal calcolo
5k
R
i
dell’equazione di bilancio ai nodi, e
1k
commentare.
vu
e) Calcolare lo zero
f) Disegnare in un diagramma di Bode
vin
quotato l’andamento con la frequenza del
- 1V
modulo e della fase del guadagno.
La polarizzazione porta l’uscita a Vu=+2.5V e fa lavorare il MOSFET con
gm=2mA/V (1/gm=500). Pertanto G(0)=-10.
b) Il coefficiente b del termine di primo grado al denominatore della funzione
di trasferimento è:
b=CgsRi+Cgd(RL+Ri(1+gmRL)=1ns+16ns=17ns
Il polo prevalente è quindi alla frequenza fL=9.3MHz.
c) Poiché nell’espressione di b l’addendo legato a C gd ha il valore maggiore, a
frequenze superiori a fL la capacità Cgd sarà già intervenuta.
Cortocircuitandola si abbassa il problema di un grado e si può calcolare la
resistenza che in questa situazione la restante
+ 5V
capacità Cgs vede ai suoi capi, e quindi la
corrispondente costante di tempo, pari a
RL
5k
Ri
=Cgs(Ri||RL||1/gm)312ps
1k
da cui consegue un valore del polo ad alta
vu
frequenza di circa fH510MHz.
d) Calcolando l’espressione precisa del trasferimento
Cgs
si sarebbero ottenuti i seguenti due valori:
- 1V
fL=9.5MHz e fH=531MHz, confermando l’utilità e
la ragionevole precisione del metodo sintetico
utilizzato.
e) Lo zero è alla frequenza fz=318MHz, ricordando che nel piano complesso si
posiziona a destra dell’origine degli assi.
f) I diagrammi di Bode del modulo e della fase risultano quindi i seguenti:
a)
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
40
510MHz
0
9.3MHz
Log ()
180
510MHz
9.3MHz
270
Log ()
360
90
La banda passante del circuito può quindi essere presa pari a circa 9MHz.
l’effetto
E 9.17 Commentare
dell’accoppiamento in AC del
seguente circuito, identico per il
resto al precedente.
+ 5V
R1
500k
Ri
1k C=1.5nF
RL
5k
vu
R2
100k
vin
- 1V
La presenza del condensatore di disaccoppiamento non consente la trasmissione
delle componenti in continua della tensione di segnale, e pertanto introduce uno
zero nell’origine della funzione di trasferimento. Inoltre, scaricandosi su una
resistenza pari a 84k, determina un polo a 1260Hz. A queste frequenze gli
elementi reattivi del transistore sono ben lontani dall’intervenire e quindi la loro
esistenza può essere trascurata. Per frequenze maggiori di qualche kHz,
l’impedenza del condensatore di disaccoppiamento diventa trascurabile (il
condensatore si comporta come un cortocircuito) e l’amplificazione dello stadio
raggiunge il valore di -10.
In alternativa a queste considerazioni, si sarebbe potuto analizzare il
circuito nel suo complesso calcolando il valore di b:
b=C(R1||R2+Ri)+CgsR1||R2+Cgd(RL+ R1||R2(1+gmRL)=126s+1ns+16ns=126s
Da cui si vede che il polo prevalente fL=1/2b è determinato dalla capacità C,
intervenuta la quale (e quindi cortocircuitata) l’analisi diventa in tutto uguale a
quella fatta nell’esercizio precedente, perché Ri< R1||R2.
(j)||T
10
-3dB
90
-20dB/dec
9.3MHz
1.26kHz
180
510MHz
0
1.26kHz
510MHz
0
dB
Log ()
270
360
90
9.3MHz
Log ()
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
E 9.18 Si consideri il seguente circuito a
BJT ( =100, fT=1GHz, C
=0.2pF).
a) Calcolare l’ampiezza del
segnale in uscita al variare della
frequenza del segnale forzante,
vin
supponendo che Rs=1k.
b) Studiare come varia la banda
passante quando si usa un
generatore di segnale con Rs=50
.
41
+6V
10  F
2.65k
R1 =6k
Rs
vu
Rc =5k
R2=12k
-12 V
(a) - IC=2mA e C=12.5pF. La capacità di by-pass tra l’Emettitore e massa
determina uno zero a 6Hz ed un polo a 780Hz. Il guadagno a bassissime
frequenze (<6Hz) è G-1.5 e si stabilizza a G-195 in centro banda. Per il
calcolo dei poli a più alte frequenze, si valutano le costanti di tempo
=(Rs||R1||R2||/gm)C=6.1ns
=(Rs||R1||R2||/gm)C (1+gmRC) + RCC=40.1ns
Il polo che limita la banda del circuito è quindi a fL=3.45MHz, mentre quello a
più alta frequenza sarebbe a fH=1.2GHz. Poiché anche lo zero interviene
sostanzialmente alla stessa frequenza (fT), ai fini del modulo del trasferimento
le due singolarità si elidono. Il diagramma di Bode del guadagno è quindi:
dB
46
fT
3.5
6 Hz
780 Hz
3. 4 MHz
(b) - L’uso di un generatore di segnale con una resistenza serie più piccola
permette un maggiore guadagno (G400) ed allarga la banda. Quest’ultima
infatti si manterrebbe piatta fino alla frequenza di 25MHz.
E 9.19 Si calcoli la banda passante del circuito proposto nell’esercizio E 9.5,
quando si rimuove l’ipotesi semplificativa fatta sulla capacità C assunta
ora pari a 4pF.
[C=34pF, Banda passante 0428kHz]
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
9.4.6
42
Amplificatore Source (Emettitore) comune con carichi capacitivi
Si consideri ora il caso in cui lo stadio Source comune alimenti un carico
con una componente capacitiva, come mostrato nella Fig.9.21. Essa può essere
vista come la capacità mostrata dallo stadio successivo di un circuito complesso
oppure la capacità mostrata dal trasduttore finale di un sistema elettronico.
Data la particolare disposizione dei tre condensatori, in serie tra di loro sulla maglia
del generatore di polarizzazione e quindi non indipendenti tra loro (dopo aver
scelto la carica su due condensatori, e quindi anche la tensione ai loro capi, la
carica e la tensione sul terzo non è più libera ma fissata), la funzione di
trasferimento avrà ancora solo due poli. Sulla base delle considerazioni già fatte nei
paragrafi precedenti, essa avrà anche uno zero, calcolato come visto in precedenza.
Per il calcolo del polo prevalente (coefficiente b del termine di primo
grado al denominatore della funzione di trasferimento), è facile verificare che
l’introduzione del carico capacitivo determina solamente la comparsa di un
addendo addizionale: RLCL (o eventualmente (RL||ro)CL nel caso di resistenza di
Drain finita del transistore). Se CL fosse molto maggiore delle capacità interne del
MOSFET, il carico facilmente determinerebbe la banda effettiva dell’intero
amplificatore. Il polo prevalente del circuito ha perciò l’espressione
pL  
1
1

b R i C gs  R L (C gd  C L )  R i C gd (1  g m R L )


Per ottenere la stima del secondo polo, basta individuare all’interno
dell’espressione di b il termine prevalente e cortocircuitarne la corrispondente
capacità. Di questo “nuovo” circuito si valuta il nuovo termine b che fornirà il
valore del secondo polo.
Vcc
RL
Cgd
CL
vu
Ri
v in
Fig. 9.21
C gs
Stadio Source comune con carico capacitivo, alimentato da un
generatore di tensione reale.
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
43
Provate a confrontare i risultati ottenuti con l’analisi intuitiva appena fatta con le
radici del denominatore della funzione di trasferimento esatta della rete, che è :
g m R L (1  s Cgd g m )
vu

vin s2 CgsR LR i (Cgd  CL )  R LCL R iCgd )  s R iCgs  R L (Cgd  CL )  R iCgd (1  g mR L )  1

 

(9.24)
Conviene sottolineare ancora una volta che, mentre è importantissimo
ricavare con buona precisione il suo polo dominante fin dalla prima fase
di analisi sintetica di un circuito, in modo da avere immediatamente una
impressione corretta della sua banda passante (e per nostra fortuna, come
visto, questo può essere fatto in modo facile e fisicamente intuitivo), non
altrettanto essenziale è avere fin dall’inizio il valore preciso dei
successivi poli più veloci.
Questi infatti, definendo alcune caratteristiche "del secondo ordine" del
circuito, diventano importanti solo in una fase più avanzata di un
progetto elettronico. A quel punto si è comunque portati ad affrontarne il
calcolo sistematicamente con un simulatore circuitale tipo SPICE, in cui
tenere conto anche di eventuali altre capacità parassite, sempre presenti
in un circuito ma ad una prima indagine trascurate, così da avere una
rappresentazione precisa del proprio prodotto elettronico prima di
mandarlo in produzione.
È facile verificare che una funzione di trasferimento analoga alla (9.24)
caratterizza lo stadio Emettitore comune di un circuito a BJT con carico
capacitivo. Le uniche differenze sono che invece di Ri, nelle espressioni delle
costanti di tempo si deve inserire la resistenza Ri||/gm e che il guadagno in
continua risente della partizione tra Ri e /gm.
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
44
E 9.20 Si ri-analizzi il comportamento in
+ 5V
frequenza
dell’amplificatore
di
tensione visto nel E 9.16 (impiegante
CL
RL
1pF
Ri
5k
un MOSFET con k=2mA/V2, VT=0.5V,
1k
ro=, Cgs=Cgd=1pF) nel caso in cui
vu
ora piloti un carico comprendente
anche una capacità CL=1pF. In
vin
particolare:
- 1V
a) Calcolare il polo prevalente che
determina la banda passante
b) Stimare il polo ad alta frequenza
c) Calcolare lo zero
d) Disegnare in un diagramma di Bode quotato l’andamento con la
frequenza del modulo e della fase del guadagno
e) Confrontare i valori stimati dei poli con quelli esatti ottenibili dal
calcolo dell’equazione di bilancio ai nodi, e commentare.
a)
Il coefficiente b del termine di primo grado al denominatore della funzione
di trasferimento è ora:
b=CgsRi+Cgd(RL+Ri(1+gmRL)+CLRL=1ns+16ns+5ns=22ns
Il polo prevalente si è quindi abbassato, come è ragionevole aspettarsi, e si
posiziona alla frequenza fL=7.2MHz.
b) Poiché anche in questo caso nell’espressione di b l’addendo legato a Cgd ha
il valore maggiore, a frequenze superiori a fL la capacità Cgd sarà già
intervenuta.
+ 5V
Cortocircuitandola si abbassa il problema di
grado. Si vede come le due capacità rimaste
CL
RL
1pF
Ri
5k
siano in parallelo tra loro, in accordo con il
1k
fatto che originariamente le tre capacità non
vu
erano indipendenti. Si può calcolare la
Cgs
vin
resistenza che in questa situazione la
- 1V
capacità (Cgs +CL) vede ai suoi capi, e quindi
la corrispondente costante di tempo, pari a
=(Cgs+CL)(Ri||RL||1/gm)= 624ps
da cui consegue un valore del polo ad alta frequenza di circa fH255MHz.
c)
Lo zero si posiziona sempre alla frequenza fz=318MHz, a destra nel piano
complesso.
d) I diagrammi di Bode del modulo e della fase risultano quindi i seguenti:
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
dB
-10
45
225MHz
7.2MHz
225MHz
0
7.2MHz
318MHz
-90
-180
-270
-360
-90
La banda passante del circuito può quindi essere presa pari a circa 7.2MHz.
e)
Calcolando l’espressione precisa del trasferimento (come da 9.24) si
sarebbero ottenuti i seguenti due valori: fL=7.3MHz e fH=575MHz,
confermando l’utilità e la ragionevole precisione del metodo sintetico
utilizzato.
E 9.21 Come cambierebbe la risposta del circuito precedente se CL=100pF ?
Calcolare i nuovi poli e tracciare i nuovi diagrammi di Bode..
(fL308kHz; fH80MHz).
E 9.22 Si analizzi il comportamento del circuito dell’esercizio E 9.3 nel caso in
cui, più realisticamente, il generatore di tensione di segnale abbia una
resistenza serie Ri=1k ed il transistore BJT abbia capacità C=2pF
.
I calcoli portano ad un valore di C=5.3pF ed alle seguenti costanti di tempo:
1=4.9ns, 2=137ns, 3=811ns, e la 4=123ns. Come si può notare, l’elevato
guadagno di tensione tra Base e Collettore rende 3 prevalente e molto alta
nonostante il piccolo valore della capacità C. La banda passante del circuito è
pertanto limitata a 167kHz, ben inferiore a quella stimata nell’esercizio E 9.3
trascurando C! Il secondo polo è invece posto alla frequenza di 184MHz.
E 9.23 Si valuti come varia la banda passante del circuito dell’esercizio E 9.18
quando il carico presenta anche una componente capacitiva di 10pF.
[780Hz311kHz]
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
46
9.5
COMPORTAMENTO IN FREQUENZA DI AMPLIFICATORI
CON RESISTENZA AL SOURCE
Nel caso in cui l’amplificatore presenti una resistenza di degenerazione sul
Source (Emettitore), il calcolo delle singolarità della funzione di trasferimento è
solo di poco più complicato per tener conto del fatto che anche la capacita Cgs (Cbe)
viene ora a trovarsi tra due punti del circuito che si muovono entrambi in tensione.
Per quanto riguarda il metodo, nulla cambia rispetto a quanto visto nei paragrafi
precedenti.
9.5.1
Calcolo dei poli dell’amplificatore a MOSFET
Lo schema circuitale per l’analisi in frequenza di un amplificatore a
MOSFET con resistenza RS di degenerazione sul Source è riportato nella Fig.9.22.
La resistenza Ri sintetizza tutte le resistenze viste effettivamente al Gate del
transistore (resistenza di uscita dello stadio precedente e resistenze di
polarizzazione). La funzione di trasferimento avrà due poli perché i due
condensatori sono indipendenti. Poiché i due condensatori interagiscono tra loro, il
denominatore della funzione di trasferimento avrà una forma (as2+bs+1) la cui
soluzione darà i due poli cercati. Come già visto, il coefficiente b è la somma delle
costanti di tempo ottenute moltiplicando ogni singola capacità per la resistenza
vista ai suoi capi quando le altre capacità sono aperte.
Utilizzando l’analisi nodale è possibile calcolare la funzione di trasferimento dello
stadio. Il calcolo porta alla seguente espressione
+ VDD
Cgd
RL
vu
Ri
vin
Cgs
RS
- VSS
Fig. 9.22
Schema circuitale per l’analisi in frequenza di un amplificatore
con resistenza di degenerazione sul Source in cui sono
evidenziate le due capacità Cgs e Cgd.
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
v u (s)
g R
 m L 
v in (s)
1 g mR s
47
 s 2 C gd C gs R s / g m  sCgd (R s  1 / g m )  1

 
RL
s 2 a  s C gd R i 1 

1
g
 
m  Rs





Rs
  R L   C gs R s 1 g m  R i 1 

 1 g R


m
s


 
  1
 
 
(9.25)
dove a  CgsCgd (R i R L  R i R s  R sR L ) .
Essa coincide con l’espressione che si otterrebbe dalla (9.4), ponendo Ys=1/Rs, Y
=sCgd, Yi=1/Ri, Y=sCgs, YL=1/RL.
Vediamo nel seguito come arrivare a questo risultato senza passare attraverso
l’analisi nodale e come acquisire sensibilità sui componenti circuitali più limitanti.
Innanzitutto calcoliamo gli addendi del termine di primo grado al denominatore:
Termine relativo a Cgd. Con riferimento alla Fig.9.23(a), la resistenza vista da Cgd
sarà ottenuta come R=(VA-VB)/I dopo avere sostituito alla capacità un generatore di
sonda di corrente e calcolato la corrispondente variazione di tensione tra i due punti
A e B. Poiché entrambi i punti A e B si spostano in tensione, è necessario
impostare il sistema di bilancio ai nodi A e B:
VA  I  R i

 V
1
B

 I  VA

1 gm  RS
 RL
da cui
VA  VB  I  R i  I  R L  I  R i 
I
Ri
RL
1 gm  RS
RL
RL
Ri
B
A
Cgd
B
A
RS
Cgd(1-GAB)
(a)
Fig. 9.23
RS
(b)
Schema circuitale per il calcolo della resistenza vista dalla
capacità Cgd e rappresentazione sintetica dello sdoppiamento
della capacità alla Miller.
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
48
ed ottenere l’espressione della desiderata impedenza vista dalla capacità:
R gd 


VA  VB
RL
  RL
 R i 1 

I
 1 gm  RS 
(9.26)
dove all’interno della parentesi tonda si nota nel secondo addendo il guadagno di
tensione tra Gate e Drain GAB: (1-GAB). La costante di tempo sarà data da :
 


RL
  RL 
gd  Cgd R i 1 

  1 g m  R S 

(9.27)
Per giustificare il risultato, si pensi alla variazione della carica accumulata sulle
armature di Cgd quando lo stadio è forzato dal segnale di tensione vin. Come già
visto nel caso dell’amplificatore senza resistenza di degenerazione (Fig.9.15) anche
ora, esaurito il transitorio di carica della capacità, il potenziale del morsetto di
Drain è diminuito del guadagno GAB=-RL/(1/gm+RS) tra VA e VB, generando una
variazione effettiva della tensione ai capi di Cgd pari a (1+ RL/(1/gm+RS))vin.
Pertanto sulle armature di Cgd la variazione di carica è stata di Q=(1-GAB).vinCgd. Il
generatore di tensione vin ha dovuto fornire la stessa carica che avrebbe erogato ad
una capacità Ceq=(1+ RL/(1/gm+RS))Cgd posta tra Gate e massa (Fig.9.23(b). Ci si
attende, quindi, che la capacità Cgd contribuisca alla costante di tempo associata
alla rete di ingresso con un termine del tipo (1+ RL/(1/gm+RS))CgdRi. L’altro capo
della capacità sarebbe invece caricato con la resistenza vista nel nodo B pari a RL,
come indicato dalla (9.27).
Termine relativo a Cgs. Con riferimento alla Fig.9.24(a), la situazione è
concettualmente simile alla precedente. Il bilancio ai due nodi A e B diventa:
V  IRi

 V A
I  B  (V  V )  g
A
B
m

 RS
da cui
VA  VB  I  R i  I  R S 
(1  g m R i )
(1  g m R S )
ed ottenere l’espressione della desiderata impedenza vista dalla capacità:
R gs 

VA  VB
R  RS
RS
g R 
 i

 R i 1  m S 
I
1  g mRS 1  g mRS
 1  g mRS 
(9.28)
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
49
La costante di tempo dell’addendo introdotto dalla capacità Cgs sarà :


g m R s 

gs  Cgs R s 1 g m  R i 1 


 1  g m R s 
(9.29)
Essa sarà in generale piccola perché il termine (9.28) è piccolo, essendo le
resistenze fisiche divise per il termine (1+gmRS). Questo risultato è aspettato. Infatti
si pensi alla variazione della carica accumulata sulle armature di Cgs quando lo
stadio è forzato dal segnale di tensione vin a gradino. Esaurito il transitorio di carica
della capacità, il potenziale del morsetto di Source è anch’esso aumentato del
guadagno in tensione tra VA e VB, GAB=RS/(1/gm+RS), generando una variazione
effettivamente piccola della tensione ai capi di Cgs pari a (1-GAB)vin. Quindi per
quanto riguarda il generatore di tensione vin, esso deve fornire la stessa carica
Q=(1-RS/(1/gm+RS))vinCgs che erogherebbe ad una capacità piccola e pari a Ceq=(1GAB)Cgd posta tra Gate e massa (Fig.9.24(b)). L’altro capo della capacità sarebbe
invece caricato con la resistenza vista nel nodo B pari al parallelo tra 1/gm ed RS,
come indicato dalla (9.29). Ai fini pratici (e per facilmente ricostruire il termine
(9.29)), è come se si fosse rimossa la capacità Cgs e la si fosse sostituita con due
capacità poste rispettivamente tra il Gate e massa e tra il Source e massa come
indicato nella Fig.9.24(b).
In conclusione il termine b dell’equazione di secondo grado al denominatore della
funzione di trasferimento ha la seguente forma:
 
RL
b  C gd R i 1 
  1 g m  R S




RS
  R L   C gs R S 1 g m  R i 1 

 1 g R


m
S


RL
RL
Ri
Ri
A
A
B
B
I
(a)
Fig. 9.24
RS




Cgs(1-GAB)
RS
Cgs
(b)
Schema circuitale per il calcolo della resistenza vista dalla
capacità Cgs e rappresentazione sintetica dello sdoppiamento
della capacità alla Miller.
(9.30)
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
50
come effettivamente calcolato nella (9.25).
Ci si attende, quindi, che la costante di tempo associata al polo prevalente sia
fL 
1
2  b
Per calcolare il polo a frequenza maggiore, possiamo guardare i due
addendi della (9.30) ed individuare il termine con valore maggiore. La capacità
corrispondente potrà quindi essere pensata già intervenuta quando andiamo ad
esplorare frequenze oltre fL. Cortocircuitando quella capacità otteniamo perciò un
“nuovo” circuito avente una sola capacità, di cui si dovrà calcolare la costante di
tempo. Essa sarà il costituente del polo a frequenza elevata, f H, del circuito
completo.
9.5.2
Calcolo degli zeri dell’amplificatore
L’individuazione degli zeri di una funzione di trasferimento quando le
capacità interagiscono è molto complessa. Tuttavia si può arrivare ad una buona
stima degli zeri immaginando che le capacità agiscano una alla volta senza che le
altre siano presenti.
Nel caso della sola Cgd (Fig.9.25), la frequenza complessa “s” che rende nullo il
trasferimento di segnale all’uscita, vu(s)=0, si trova imponendo che non passi
corrente in RL e che quindi la corrente di segnale iniettata dal Gate verso l’uscita
attraverso la capacità Cgd, pari a i=Vg/(1/sCgd), sia esattamente pari a quella
prelevata dal Drain del FET per effetto dello stesso segnale vin applicato, ovvero
v g sC gd  v g
1
1 gm  RS
X i=0
vgsCgd
Ri
vin
Fig. 9.25
Vu=0
vg
vg
1 gm  RS
RS
Schema circuitale per la stima dello zero introdotto dalla
capacità Cgd.
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
51
Questa eguaglianza è verificata per la frequenza complessa s=1/[Cgd(1/gm+RS)]. Ci
aspettiamo quindi che che
fZ 
1
2 Cgd R S  1 g m 
(9.31)
sia una buona stima dello zero della funzione di trasferimento. In effetti questo è il
valore che si otterrebbe dalla (9.25) nell’ipotesi che l’altro zero disti più di una
decade. Infatti il coefficiente b di quel numeratore è proprio pari a (9.31). Si noti
che si tratta di uno zero reale positivo, posto quindi nel semipiano destro del piano
di Gauss. Esso ha quindi la particolarità di sfasare il segnale di ingresso di ulteriori
90°, producendo lo stesso effetto sullo sfasamento di un segnale di quello prodotto
da un polo.
Trovato il primo zero ci possiamo chiedere se ne esista un secondo. A tal fine può
essere utile analizzare il guadagno a frequenza molto elevata. Con riferimento alla
Fig.9.26, quando siamo ad altissima frequenza le due capacità possono essere
equiparate ad un cortocircuito per il segnale. Pertanto il guadagno asintotico sarà
pari a :
G() 
RL RE
vout()

vin ()
Ri  R L R E
Guardando il modulo della funzione di trasferimento, dovendo partire da un valore
finito e giungere ad un valore finito, se ci sono 2 poli dovranno esserci
necessariamente due zeri. Guardando la fase, dovendo partire da una fase di -180°
(perché il guadagno è invertente a bassa frequenza) ed arrivare ad una fase di 0°
(perché il guadagno è positivo), il secondo zero dovrà essere negativo.
vu
vin
dB
Guadagno
finito
-20dB/dec
-40dB/dec Guadagno
finito
-20dB/dec
RL
Ri
vin
Vu
0dB
pL
pH z 1
z2
0°
RS

-180°
-20dB/dec
log f
pL
pH
z
-270°
-360°
-90°
Fig. 9.26
Zero positivo
Considerazioni
di
principio
sul
dell’amplificatore a frequenze elevatissime.
Zero negativo
funzionamento
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
52
E 9.24 Si consideri il circuito seguente, i cui MOSFET hanno VT=0.8V,
k=2mA/V2 e Va=.
a)
Calcolare la tensione nei tre punti indicati come possibili uscite,
in assenza di segnale.
b)
Calcolare il guadagno G3=Vu3/Vin del circuito a bassa frequenza.
c)
Calcolare il massimo segnale positivo ed il massimo segnale
negativo applicabile all’ingresso del circuito
d)
Quale tra le due resistenze, R3 ed R5, produce la maggiore
densità spettrale di potenza di rumo-re all’uscita Vu3 ? Calcolarne il
valore.
e)
Calcolare la distorsione di seconda armonica presente all’uscita
Vu1 del circuito quando in in-gresso viene applicato un segnale
sinusoidale di ampiezza 50mV a bassa frequenza.
g)
Supporre ora che entrambi i MOSFETs abbiano una Cgd=3pF.
Calcolare la funzione di trasferimento verso l’uscita “1”, G(s)=Vu1(s)/Vin
e disegnarne il diagramma di Bode quotato per il modulo e per la fase.
+ 5V
R2
2k
vu1
R1
1k
R4
2k
T1
vin
R3
100
vu3
T2
R5
600
vu2
- 2V
.
a) Vu1=+1V; Vu2=-0.8V; Vu3=+1V. gm1=gm2=4mA/V (1/gm=250)
b) G=13.4
c) Vin|+=270mV, limitato da T1. Vin|-=-42mV, limitato da T2.
d) R3 che produce S(f)=(17nV/sqr(Hz))2
e) HD2=0.64%. Si noti che il fatto che T2 entri in zona ohmica non peggiora la
distorsione in Vu1.
f) Le due capacità interagiscono. Una stima del polo prevalente, quello a
frequenza più bassa, lo otteniamo ricavando il termine:
b=Cgd1[R1(1+R2/(R3+1/gm)+R2) + Cgd2[R2(1+R4/(R5+1/gm)+R4) = 26ns + 26ns
che fornisce fpl3MHz.
Per il calcolo del secondo polo, a frequenza più elevata, bisogna cortocircuitare
la capacità che mostra la costante di tempo maggiore. Essendo per entrambe
uguale, la scelta è indifferente. Ad esempio, cortocircuitando T2, si ha:
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
53
= Cgd1[R1(1+Ra/(R3+1/gm)+Ra) dove Ra=R2||R4||(1/gm+R5)=460
ottenendo il secondo polo a fph18MHz.
Quanto agli zeri, poiché andando ad altissima frequenza il guadagno di tensione
si stabilizza ad un valore finito, sappiamo essercene due. Quello relativo a T1 è
ragionevole aspettarselo alla =Cgd1(1/gm1+R3) pari alla frequenza nel semipiano
destro fz1152MHz. Quello relativo a T2 ci si aspetta di ottenerlo chiedendosi
come sia possibile che Vu1 non si sposti nonostante il segnale il segnale applicato
all’ingresso. Ciò è possibile se l’impedenza da V u1 verso massa, pari in questo
caso a (1/sCgd2+R4), è uguale a zero. Si ottiene quindi fz226MHz.
Provate a fare i conti precisi della funzione di trasferimento ed a verificare di
quanto i reali poli e zeri differiscano da quelli appena trovati per via sintetica !
E 9.25 Disegnare l’andamento temporale del segnale di uscita vu(t) del seguente
circuito quando in ingresso viene applicato un gradino di corrente di 10
A. Si utilizzi un MOSFET a svuotamento con VT=2V, K=-0.2mA,
Cgd=0pF ed fT=200MHz.
+6V
10M
C=
5k
C=
i in
Ri
vu
5k
10k
La polarizzazione è caratterizzata dai seguenti valori: I D=200A, gm=0.4mA/V e
Cgs=0.3pF, quest’ultima ottenuta in base alla (9.3). Sul segnale le capacità di
valore infinito sono comunque dei cortocircuiti. Trascurando la resistenza di
polarizzazione da 10M in parallelo a 5k, si ottiene una costante di tempo di
ingresso pari a =1.5ns (f=106MHz, da confrontarsi con la fT). Il valore
asintotico del segnale di tensione al gate del FET vale vg=iinRi=50mV che
comporta una variazione del segnale all’uscita pari a vu=-200mV. L’andamento
del segnale nel tempo è riportato nella figura seguente
vu
2V
1.8V
1.5ns
0V
t
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
54
E 9.26 Cosa accade nel circuito dell’esercizio precedente all’aumentare del
valore della resistenza Ri? Analizzare il caso limite Ri=. Quale
precauzione bisogna prendere nella scelta del MOSFET?
Il cambiamento sostanziale è nella costante di tempo di ingresso, che per R i
vale =3s, e nel valore asintotico del potenziale del Gate a transitorio esaurito.
Inizialmente il circuito di ingresso si comporta da integratore puro, con la
tensione del Gate che sale linearmente nel tempo. Infatti alla capacità C gs giunge
un flusso di cariche costante pari a 10A. Dopo appena 30ns, il potenziale del
Gate è passato dal valore stazionario di +6V al valore di +7V. Oltre questo
valore il transistore raggiunge la completa interdizione. Quindi, nei primi 30ns,
la corrispondente corrente di Drain varia secondo la relazione quadratica del FET
(non si può più considerare il segnale un piccolo segnale!) fino ad annullarsi
completamente. Raggiunta l’interdizione del transistore, benché il potenziale del
nodo d’uscita non vari più, il potenziale del Gate continua a salire fino al valore
di 106V con la costante di tempo di 3s. Questo valore asintotico viene
raggiunto solo se l’ossido di Gate riesce a tenere questa differenza di potenziale
senza forarsi. Nei moderni circuiti integrati la rottura del dielettrico avviene tra i
30 ed i 100V.
vu
2V
t
0V
0
30ns
60ns
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
E 9.27 Considerare il circuito della figura
accanto, in cui i MOSFET abbiano
tutti VT=0.4V, k=2mA/V2 e VA=.
Esso è lo stesso già visto in E.5.22.
a)
Calcolare
la
tensione
stazionaria dell’uscita in assenza di
segnale.
b)
Calcolare il guadagno a bassa
frequenza del circuito.
c)
Disegnare i diagrammi di
Bode del modulo e della fase del
guadagno quando è presente la capacità Cgd=1pF di tutti i transistori..
55
+ 1.5V
T2
R4
2 k
T3
R3
6800
vu
R1
2k
T1
vin
R2
1200
- 1.5V
(a) Vu=0.43V. 1/gm1=500, 1/gm2=600, 1/gm3=600.
(b) G=-4
(c) Cgd2 è cortocircuitata e quindi non è vista dal circuito. Cgd3 e Cgd1 sono
indipendenti ed interagenti, e daranno due poli. Noto che per frequenze
elevatissime G() ha un valore finito pari a :
G ( ) 
1 / gm1  R 2 R 3 1 / gm3 1 / gm 2 R 4
R1  1 / gm1  R 2 R 3 1 / gm 3 1 / gm 2 R 4
 0.1
Pertanto il circuito dovrà avere anche due zeri. Poiché la fase finale è zero, uno
dei due zeri dovrà essere positivo.
Iniziamo a cercare il polo prevalente : b=T1+T3. Noto che entrambe le capacità
sono a ponte tra due punti che si muovono in tensione con il transistore che ne
definisce il guadagno:
 T1  C gd1 R11  G1  R3  1pF2k1  4  6.8k   16.8ns
 T3  C gd3 R 4 1 / gm 21  G3  R3  1pF4601  11  6.8k   12.3ns
A cui corrisponde fLF=5.4MHz.
Cortocircuitando Cgd1, cerchiamo il polo a frequenza maggiore:




HF  Cgd3 R 4 1/ gm2 1  gm3R3 R1 (1/ gm1  R 2)  R3 R1 (1/ gm1  R 2)  1pF4601  1.35  810  1.9ns
A cui corrisponde fHF=84MHz.
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
Lo zero introdotto dalla sola Cgd1 sarebbe a f z1 
56
1
 93MHz e
2Cgd1(1/ gm1  R 2)
a destra.
Mettendo in grafico queste informazioni :
0
4
-90
-20dB/dec
-180
84MHz 216MHz
0
5.4MHz
94MHz
-270
Log (f)
-360
-90
Si trova per via grafica il secondo zero a circa 216MHz.
Log (f)
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
9.5.3
57
Calcolo dei poli dell’amplificatore a BJT
Facciamo riferimento alla Fig.9.27 per l’analisi dell’amplificatore
degenerato utizzante un BJT. La funzione di trasferimento avrà due poli perché i
due condensatori sono indipendenti. Poiché i due condensatori interagiscono tra
loro, il denominatore della funzione di trasferimento avrà una forma (as 2+bs+1) la
cui soluzione darà i due poli cercati. Come già visto, il coefficiente b è la somma
delle costanti di tempo ottenute moltiplicando ogni singola capacità per la
resistenza vista ai suoi capi quando le altre capacità sono aperte:
Termine relativo a C. In analogia a quanto fatto per il circuito a MOSFET
(§9.5.1), possiamo sostituire alla capacità un generatore di sonda di corrente e
calcolare la corrispondente variazione di tensione tra i due punti A e B. Il sistema
di bilancio ai due nodi A e B nella Fig.9.28 è

VA  I  R i ( g m  R E

1
  VB  I  V
A
 R
1
g
m  RE
 L

da cui
VA  VB  I  R i ( g m  R E )  I  R L  I  R i ( g m  R E ) 
RL
1 gm  R E
ed ottenere l’espressione della desiderata impedenza vista dalla capacità:
+ VCC
C
RL
vu
Ri
vin
C
RE
- VEE
Fig. 9.27
Schema circuitale per l’analisi in frequenza di un amplificatore
con resistenza di degenerazione sull’Emettitore in cui sono
evidenziate le due capacità C e C.
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
R 


VA  VB
RL
  RL
 R i ( g m  R E ) 1 

I
1
g

R
m
E

58
(9.32)
dove all’interno della parentesi tonda si nota il guadagno di tensione tra Base e
Collettore che rende conto dell’aumento della carica da depositare sui piatti di C
rispetto al caso in cui C fosse collegato a massa.
La costante di tempo corrispondente è quindi




RL
  RL 
  C R i ( g m  R E ) 1 



 1 gm  RS 
(9.33)
Termine relativo a C. Con riferimento alla Fig.9.29(a), il sistema di bilancio ai
due nodi A e B diventa:
 VA VA  VB
I
 R   g
i
m
 V
I  B  (VA  VB )  g m
 R E
da cui si ottiene l’espressione della desiderata impedenza vista dalla capacità:
R 
VA  VB
 Ri
I
 
 

RE

 

 g  R E   1  1 g  R  
m
E
 m
 
R E  gm
R i  R E   g m
(9.34)
La costante di tempo dell’addendo introdotto da C è spesso approssimata da:
I
Ri
RL
RL
Ri
B
A
C
B
A
RE
C(1-GAB)
(a)
Fig. 9.28
RE
(b)
Schema circuitale per il calcolo della resistenza vista dalla
capacità C e rappresentazione sintetica dello sdoppiamento
della capacità alla Miller.
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI

  C  R i


 
 

 1
RE
R i 

 



 g  R E   1  1 g  R   R E  g   
m
E
 m
 
 m

59
(9.35)
dove è facile riconoscere
-
 
 

RE
è
CR i 
 R E   1 

g
1
g

R
m
E
 m
 
la costante di tempo associata alla scarica,
sulla rete resistiva di ingresso, della capacità di ponte C , che si è pensato di
riportare tra Base e massa tenendo conto della riduzione della carica assorbita
determinata dalla variazione di potenziale del nodo di Emettitore (effetto
Miller).
-
 1
R 
CR E 
 i  è
g
 
 m
la costante di tempo di scarica della capacità di ponte C
sulla resistenza vista all’uscita;
Ai fini pratici è come se si fosse rimossa la capacità di ponte C e la si fosse
sostituita con due capacità poste rispettivamente tra la Base e massa e tra
l’Emettitore e massa, come indicato nella Fig.9.29b.
Il termine b dell’equazione di secondo grado al denominatore della funzione di
trasferimento ha quindi la forma:

b  C R i


 




 g  R E   C R i
 m


 
 

 1
RE
R i 

 



 g  R E   1  1 g  R   R E  g    (9.36)
m
E
 m
 
 m

RL
RL
Ri
Ri
A
A
B
B
I
(a)
Fig. 9.29
RE
C(1-GAB)
RE
C
(b)
Schema circuitale per il calcolo della resistenza vista dalla
capacità C e rappresentazione sintetica dello sdoppiamento
della capacità alla Miller.
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
60
e la corrispondente frequenza del polo sia
fL 
1
2  b
Per calcolare il polo a frequenza maggiore, possiamo guardare i due
addendi della (9.36) ed individuare il termine con valore maggiore. La capacità
corrispondente potrà quindi essere pensata già intervenuta quando andiamo ad
esplorare frequenze oltre fL. Cortocircuitando quella capacità otteniamo perciò un
“nuovo” circuito avente una sola capacità, di cui si dovrà calcolare la costante di
tempo. Essa sarà il costituente del polo a frequenza elevata, f H, del circuito
completo.
Per gli zeri si procede come fatto nel §9.5.2.
E 9.25 Si consideri il seguente circuito,
+ 5V
in cui il BJT ha (Consider the
RL
following circuit whose BJT
Cbc=5pF
1.6k
has ) =200 e Va= .
vu
a)
Calcolare l’uscita Vu in
2k
assenza di segnale. (Find Vu
RU
when no signal is applied )
vin
RE
4k
b)
Calcolare il guadagno
150 
del circuito a bassa frequenza.
- 1V
(Find the gain at low frequency)
c)
Tracciare il diagramma
di Bode quotato del modulo e della fase del guadagno G(s)=Vu(s)/Vin(s).
(Plot the Bode diagrams of the transfer function G=Vu(s)/Vin(s))
d)
Calcolare la distorsione di seconda armonica a bassa frequenza
all’uscita quando in ingresso viene applicata una sinusoide ampia
100mV. (Find the value of HD2 at the output at low fre-quency when a
sinusoid of amplitude 100mV is applied to the input)
e)
Calcolare la massima ampiezza Amax di una sinusoide
Vin(t)=A.sin(t) di bassa frequenza applicabile al circuito (Find the
maximum amplitude of a low frequency sinusoid applied to the input)
f)
Considerare anche Cbe=3pF. Calcolare i nuovi poli del circuito e
tracciare il nuovo diagramma di Bode (Consider also Cbe=3pF of the
BJT. Find the new poles of the circuit and draw the new Bode plots).
a)
Trascurando la corrente di base, si otterrebbe Vu =+1V. Tenendone conto
si otterrebbe Vu+1.16V.
b)
GLF-6.6
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
61
c)
fp1.86MHz, fz196MHz (destro). Verificare che il guadagno ad alta
frequenza (con Cbc cortocircuitata) vale GHF=0.066.
d)
HD2|LF=0.55%
e)
Amax =197mV
+ 5V
f)
Nel caso in cui ci siano entrambe le
capacità il circuito è quello accanto.
RL
Cbc=5pF
1.6k
Il termine b dell’equazione di secondo
vu
grado mostra che la costante di tempo
2k
dominante è quella data da Cbc e quindi
RU
fp11.86MHz. Una volta intervenuto Cbc, il vin
RE
4k
secondo polo del circuito è dato da Cbe e
150 
Cbe=3pF
risulta essere pari a fp24GHz.
- 1V
+ 3V
E 9.26 Considerare il circuito della figura
accanto, in cui il BJT abbia (Please
R4
R1
consider the circuit shown on the
5k
2.3k
R2
right whose BJT has) =200 e Va=.
vu
2k
R3
a)
Calcolare
il
valore
di vin
3k
polarizzazione della tensione di uscita
C
8pF
Vu. (Find the bias voltage at Vu)
1,5mA
b)
Calcolare
il
guadagno
G=Vu/Vin a bassa frequenza del
- 2V
circuito. (Find the low frequency gain
of the circuit)
c)
Tracciare il diagramma di Bode (modulo e fase) del trasferimento
G(f)=Vu(f)/Vin(f), dopo avere calcolato poli e zeri. (Draw the Bode plots
in modulus and phase of the circuit transfer function)
d)
Calcolare la dinamica di ingresso, positiva e negativa, del
circuito a bassa frequenza (Find the input dynamic range, positive and
negative, at low frequency)
e)
Calcolare la distorsione di 2° armonica del segnale di uscita Vu
per un ingresso sinusoidale ampio 250mV alla frequenza di 1 kHz. (Find
the HD2 of the output voltage Vu when a sinusoid of amplitude 250mV at
1kHz is given to the input).
T1
bc
a)
Trascurando la corrente di base (5A), si otterrebbe Vu =+0.5V.
Tenendone conto si otterrebbe Vu+0.47V.
b)
GLF-2.14
c)
fp1.18MHz, fz8.6MHz (destro).
d)
Vin+292mV, Vin-339mV
e)
HD2|LF=0.029%
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
62
E 9.27 Considerare il circuito della figura accanto, in cui il BJT abbia =50,
Va= , fT=3GHz e C=0 ed i MOSFET k=500A/V2, |VT|=0.8V e Va=10V.
+ 4V
T3
R4
300
R1
3k
T4
C1
700 pF
R2
20k
R5
vu
vin
T1
T2
R3
4k
- 4V
a)
Calcolare il valore della resistenza R5 dello specchio affinché in
R5 scorra la corrente di 500A.
b) Calcolare il valore di polarizzazione della tensione di uscita Vu. Si
ricorda che la polarizzazione del solo stadio a BJT era stata calcolata in
E6.5.
c)
Calcolare il guadagno G=Vu/Vin a bassa frequenza del circuito.
d)
Calcolare poli e zeri del circuito, comprendendo quindi sia la C
del BJT, sia C1 sia Cgd=10pF e Cgs=90pf del MOSFET del follower
(trascurando quindi solo le capacità dei due MOSFET dello specchio)
a)
R5=12.5k (VSG=1.72V).
b)
Vu+1.2V (r0 di tutti i MOSFET dell’ordine di 23.5k)
c)
Il guadagno del solo stadio a BJT è di GLF=-1.07 (GHF=-5.5). Il follower,
pur avendo le r0 dei MOSFET, ha un guadagno prossimo a 1 (il suo 1/gm=750).
d)
La C del BJT interagisce con C1 a dare fp1=388kHz, fp2=88MHz ed
uno zero a fz=75.8kHz. La Cgs e Cgd del follower a MOSFET interagiscono tra
di loro a dare fp3=1.2MHz, fp4=4.6MHz e fz=2.3MHz.
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
9.6
CIRCUITI A BANDA LARGA : LA
CASCODE
63
CONFIGURAZIONE
Da quanto visto fino ad ora è chiaro che per avere i poli di un circuito a frequenza
elevata è necessario che:
1) le capacità presenti nel circuito siano le più piccole possibili. Nella pratica di
progetto questo si traduce nella scelta di transistori con le dimensioni più piccole
possibili, compatibilmente con la necessità di portare una data corrente di
polarizzazione e di avere una sufficiente transconduttanza. Inoltre si traduce
nell’attenzione a limitare il più possibile le capacità parassite introdotte in un
circuito dai collegamenti, che si sommerebbero alle capacità già viste o
aggiungerebbero ulteriori poli a quelli già individuati.
2) le resistenze presenti nel circuito siano le più piccole possibili. Nella pratica la
resistenza collegata al Gate (Base) è spesso la resistenza di uscita del segnale dello
stadio precedente e si presume che sia già ottimizzata o che comunque non sia
possibile ridurla ulteriormente. Inoltre anche il guadagno del circuito dipende dalle
stesse resistenze (si pensi ad RL), per cui una loro diminuzione aumenterebbe la
banda ma ne diminuirebbe il guadagno, lasciando spesso inalterato il prodotto
guadagno-banda e quindi non apportando alcun reale miglioramento al circuito.
Oltre a questi due aspetti, una attenta analisi dei risultati visti analizzando i singoli
stadi, ad esempio della (9.13) o (9.14), della (9.21) o della (9.30), ci permette di
evidenziarne un terzo aspetto molto importante:
3) il guadagno di tensione tra i due capi delle capacità a ponte sia il più piccolo
possibile. Con riferimento al circuito della Fig.9.14, riproposto per comodità a
sinistra della Fig.9.30, ed alla relativa funzione di trasferimento (9.14), anch’essa
riproposta qui di seguito per comodità:
1  s Cgd g m
vu (s)
 g m R L 
vin (s)
1  sCgd R i (1  g m  R L )  R L 
(9.37)
abbiamo visto che il polo della capacità Cgd ha una costante di tempo elevata
perché la tensione ai capi della capacità stessa varia moltissimo, essendo proprio
collegata tra ingresso ed uscita, cioè tra i due punti del circuito che hanno la
massima variazione relativa di tensione su segnale. Il termine moltiplicativo
(1+gmRL) rende conto proprio di questo fatto.
Da qui nasce l’idea migliorativa proposta nel circuito a destra della
Fig.9.30, consistente nell’aggiunta di un transistore in serie al precedente, il cui
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
64
+ VDD
+ VDD
Cgd
Ri
RL
VG FISSO
T2
RL
vu
Cgd
vin
- VSS
Fig. 9.30
1/gm
T1
T1
vin
vu
Ri
- VSS
Amplificatore tradizionale (sinistra) e amplificatore migliorato nella
banda passante (destra) grazie all’introduzione di uno stadio Cascode.
Gate (Base) sia vincolato ad una tensione fissa (transistore nella configurazione a
Gate comune). Se l’impedenza mostrata dal Source del nuovo transistore (1/gm) è
più bassa di RL, il guadagno ai capi di Cgd risulta ridotto rispetto a prima,
(1+gm.1/gm), e conseguentemente risulta più piccola anche la costante di tempo
complessiva. Vediamo vantaggi e svantaggi di questa soluzione della Fig.9.30:
a) Innanzitutto si osservi che il circuito mantiene inalterata la precedente
polarizzazione. Infatti, la corrente è fissata da T1, invariato, ed il potenziale di
uscita (ai capi di RL) è invariato.
b) Bisogna solo avere l’accortezza che il potenziale del Source di T2 mantenga T1
in zona attiva. Questo lo si ottiene, scegliendo opportunemante il potenziale
fisso del Gate di T2.
c) L’amplificazione in centro banda del nuovo circuito rimane praticamente
invariata, perché la corrente di segnale prodotta da T1 comunque scorre
inalterata attraverso T2 e raggiunge RL come prima.
d) Rispetto al caso senza T2, l’aggiunta del secondo transistore ha lo svantaggio
che riduce la dinamica di segnale ai capi di RL perché T2 occupa una parte di
tensione tra Drain di T1 e VDD.
e) Il vantaggio maggiore è che riduce il guadagno di tensione a cavallo della
capacità Cgd. In questo modo la carica richiesta da Cgd è minore, minore il
tempo per andare a regime e quindi complessivamente minore la costante di
tempo di carica/scarica e quindi a frequenza maggiore il polo.
La nuova costante di tempo del polo introdotto da Cgd è quindi :
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
 
1
  C gd  R i 1  g m1
g m2
 
65

1 

 g 
m2 


molto più piccola di prima.
Il sistema costituito da uno stadio Source (Emettitore) comune seguito da uno
stadio Gate (Base) comune, è chiamato configurazione Cascode. Per quanto visto
scopo del Cascode è di aumentare la frequenza del polo prevalente dello stadio
amplificante annullando l’effetto Miller sulla sua capacità di ponte Cgd (C).
L’allargamento della banda è tanto più consistente quanto più è elevata la
resistenza Ri del generatore di segnale forzante e quanto più è alto il guadagno di
tensione dello stadio (gmRL).
Fino ad ora abbiamo trascurato le capacità Cgs e Cgd del transistore T2. Dovendo
considerarle, facciamo riferimento alla Fig.9.31.
La capacità Cgs di T2 concorre al termine “b” del denominatore della funzione di
trasferimento, con un termine Cgs.1/gm molto piccolo, corrispondente alla fT del
transistore T2. Esso non limita in alcun modo e può essere nella pratica trascurato.
La capacità Cgd di T2 non interagisce con le altre e quindi concorre a definire un
nuovo polo esattamente alla frequenza
1
(9.38)
f p2 
2  C gd2 R L
Questo polo può anche essere il polo dominante del circuito, e quindi definirne la
banda, ma sarà comunque a frequenza superiore del polo del circuito senza
cascode, giustificando quindi la modifica al circuito originario.
+ VDD
RL
Cgd2
vu
T2
Cgs2
Cgd1
vin
Ri
T1
Cgs1
- VSS
Fig. 9.31
Amplificatore nella configurazione Cascode con tutte le capacità
messe in evidenza.
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
66
E 9.27 Si consideri il circuito
+ 3V
accanto, i cui BJT
hanno (Consider the
+ 0.8V
circuit shown below
R4
R2
whose BJTs have)
T2
1 k
11.5 k
=300 e Va=.
T3
T1
vin
a)
Calcolare la
vu
R3
R1
tensione Vu in assenza
25 k
7.7 k
di segnale. (Find the
value of Vu when no
- 3V
signal is applied)
b)
Calcolarne il guadagno G=Vu/Vin a bassa frequenza. (Find the
low frequency gain G=Vu/Vin of the circuit)
c)
Supporre che i BJT T1, T2 e T3 abbiano fT=2GHz e C=.1pF.
Discutere quanti poli dovrà necessariamente avere il circuito e trovare il
valore di ognuno di essi. (Suppose BJTs T1, T2 and T3 have fT=2GHz
and C=.1pF. Find the value of all of them).
d) Confrontare il risultato con il polo dominante che si sarebbe ottenuto
in un circuito analogo ma senza T2 e T3, in modo da commentare il
possibile vantaggio del doppio cascode anche in un caso come questo in
cui il transistore di ingresso sia degenerato con R1.
.
a)
Vu-0.5V. 1/gm1=83, 1/gm2=250, 1/gm3=250.
b)
G-3.2
c)
Ricordando
la
relazione
del
singolo
transistore
1
fT 
, si ricavano C1=860fF, C2=218fF,. C3=218fF.
2C   C  1 g m
+ 3V
C2
R4
1 k
vin
C3
T2
T3
T1
vu
R1
7.7 k
R3
25 k
C3
- 3V
La capacità C3 non interagisce con le altre grazie al collegamento di
massa alla base di T3. Essa fornisce quindi un polo semplicemente a
f p5 
1
2C 3  R 3
 64 MHz.
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
67
Le capacità C2 e C3 sono tra loro in parallelo. Esse non interagiscono
con le altre grazie ai collegamenti di massa alla base di T2 e T3. Il
corrispondente polo è quindi semplicemente pari a
1
f p4 
 2 GHz.
2(C  2  C 3 )  1 g m3
Le capacità C1, C1 e C2 invece interagiscono tra loro.
+ 3V
C2
C1
R4
1 k
T2
vin
T3
T1
vu
C1
R1
7.7 k
R3
25 k
- 3V
Per tale motivo conviene procedere a calcolare :




R1
  R 1 1 g m1  
b  C 1 R 4  g m1  1 


 1 g m1  R 1 



1 g m2 
  1 g m 2   C  2 1 g m 2
C 1 R 4 ( g m1  R 1 )  1 


 1 g m1  R 1 
Con i valori del circuito in esame si ottiene:
b= 78ps + 128ps + 54ps = 260ps, che fornisce un polo a fp3= 612 MHz
Facendo intervenire C1, esploriamo il polo a frequenza più elevata:
+ 3V
C2
R4
1 k
vin
T2
T3
T1
vu
C1
R1
7.7 k
R3
25 k
- 3V
Per questa nuova situazione il termine b è:
b  C 1 R 1  R 4 1 g m2  1 g m1  C 2 R 4 (1 g m1  R 1 ) || 1 g m2 
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
68
= 72ps + 44ps, che fornisce un polo a
fp2= 1.4 GHz
L’ultimo polo, conseguente alla chiusura di C1, fornisce circa 2 GHz.
d)
Il circuito senza il doppio cascode avrebbe l’aspetto seguente :
+ 3V
R4
1 k
vin
C1
T1
C1
R1
7.7 k
vu
R3
25 k
- 3V
Il termine b sarebbe:




R1
  R 1 1 g m1  
b  C 1 R 4  g m1  1 


 1 g m1  R 1 




R3
  R 3 
C 1 R 4 ( g m1  R 1 )  1 


 1 g m1  R 1 
b= 78ps + 3ns = 3.1ns da cui si ottiene fp=51MHz. Esso è solo di poco
migliore rispetto al caso precedente. In effetti la presenza di R1 rende
piccolo il guadagno di tensione tra Base e Collettore di T1, riducendo i
vantaggi introducibili dal cascode.
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
69
E 9.28 Con riferimento al circuito seguente, in cui il BJT ha (Referring to the
circuit shown below that uses BJT having) =100 e Va= ed il MOSFET
ha k=1.5mA/V2 e VT=1V::
a)
Calcolare
la
+ 9V
tensione a cui si porta
R1
R2
l’uscita in assenza di
6k
C
4k
R5
v
segnale all’ingresso.
u
200  1 nF
T2
(Find Vu when no v
T1
in
C
signal is present at the
R3
input)
R6
3 k
830k
b)
Disegnare in
T3
C
un grafico quotato
R4
2 k
l’andamento
in
frequenza (modulo e
fase) del guadagno
G(f)=Vu(f)/Vin(f) in regime di piccolo segnale, indicando il valore del
polo e dello zero intro-dotti da C. (Draw the quantitative gain of the
circuit as a function of frequency after having calculated the pole and the
zero introduced by C).
c)
Determinare il valore massimo e minimo che può assumere la
tensione di uscita Vu ed i corri-spondenti segnali Vin, minimo e massimo,
all’ingresso del circuito alla freq. di 1MHz. (Find the maximum and
minimum voltage Vu and the corresponding values Vin at the input for
signals of 1MHz)
d)
Calcolare la distorsione di seconda armonica all’uscita Vu
quando all’ingresso Vin è applicata una sinusoide di frequenza 1MHz ed
ampiezza 50mV. (Find the harmonic distortion at the output of the circuit
when a sinusoidal signal of frequency 1MHz and amplitude 50mV is
applied to the input)
e)
Considerare, oltre a C=1nF di ingresso, anche la capacità
Cbc=1pF dei due BJT. Calcolare il polo e lo zero introdotto dal
transistore T1 ed il polo e lo zero introdotto da T2 e tracciare il
diagramma di Bode (modulo e fase) del guadagno del circuito.
(Consider now, in addition to C=1nF, also the capacitance Cbc=1pF of
the two BJTs. Find the transfer function and draw its Bode diagram
(modulus and phase)). .
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
70
E 9.29 Con riferimento al seguente circuito, in cui i BJT hanno (Consider the
circuit shown below whose BJT have): =250, fT=10GHz, C=100fF e
Va= :
+ 3V
a)
Calcolare il valore
R2
dell’uscita Vu in assenza di
C2
2.3k
segnale. (Find Vu when no
47F
R5
signal is applied )
4k
vin
R1
b)
Trascurando
le
R3
1k
capacità interne al BJT,
25
tracciare il diagramma di
Bode quotato del modulo e
vu
della fase della funzione di
R6
C1
R4
trasferimento G=Vu(s)/Vin(s). 2k

2k
(Plot the Bode diagrams of the
transfer function when the
- 3V
capacitances of the BJT can
be neglected )
c)
Aggiungere Cbc1=Cbc2=10pF. Calcolare i nuovi poli da queste
introdotti e disegnare quotati i diagrammi di Bode del circuito completo.
(Consider now Cbc1=Cbc2=10pF. Find the new poles and draw the new
Bode plots of the complete circuit.).
a)
Vu -1V, C=537fF. Effetto della corrente di base trascurabile.
b)
fz=1.5Hz, fp=118Hz, GLF=-0.86, GHF=-69
c)
fp2=6MHz, fp3=7.9MHz, fz2=637MHz (destro).
Dinamica a bassa frequenza: Vin=3V, Vin=-582mV limitato da T2. Come è
ad alta frequenza ?
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
71
E 9.30 Considerare il seguente circuito che utilizza BJT aventi (The circuit
shown below uses BJT with) =100 e curve caratteristiche ideali (VA=)
a) Calcolare il valore della tensione Vu in assenza di segnale
all’ingresso e della potenza assorbita dalle alimentazioni. (Find Vu and
the power absorbed from the supply when no signal is present)
b) Calcolare il valore del guadagno G=Vu(s)/Vin(s) riportandone
l’andamento in frequenza in un grafico quotato (Find the gain
G=Vu(s)/Vin(s) of the circuit and plot it a sa function of frequency).
c) Calcolare la massima ampiezza positiva e negativa del segnale
applicabile all’ingresso ad alta frequenza (massimo 0.5V in diretta ai
capi della giunzione base collettore). (Find the maximum amplitude of
the high frequency signal that can be applied to the input)
d) Calcolare la distorsione del segnale in uscita quando in ingresso
viene applicata una sinusoide alla frequenza di 1MHz ed ampia 2mV.
(Find the distortion of the amplifier output when a input sinusoid signal
of frequency 1MHz and 2mV amplitude is applied to the input.)
e) Ricalcolare la distorsione del circuito nel caso in cui l’uscita fosse
presa sull’emettitore di T3. (Find the distortion of the amplifier in case
the output would be taken on the emitter of T3)
f) Considerare ora anche la capacità Cµ=Cbc=2pF di tutti i
transistori oltre a C. Ricalcolare
il guadagno G=Vu(s)/Vin(s)
calcolando tutti i poli e zeri (Introduce now the capacitance Cµ=2pF in
all transistors. Find the new gain G=Vu(s)/Vin(s) by finding all poles and
zeros in the circuit.)
g) Nel caso in cui i transistori avessero una tensione di Early VA=-10V,
calcolare la nuova polarizzazione del circuito, in particolare la nuova
tensione Vu (Suppose now that the transistors have an Early voltage
VA=-10V, find the new bias of the circuit).
+ 3V
R1
100 C=1nF
R3
2k
T1
vin
R2
150k
vu
T2
T3
2 mA
- 3V
.
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9.7
72
GLI STADI DISACCOPPIATORI DI TENSIONE
Nel Capitolo 7 sono stati introdotti i circuiti disaccoppiatori, sia di tensione
che di corrente, e si è visto che la loro funzione non è quella di amplificare il
segnale ma quella di adattare le impedenze con cui si eroga il segnale
all’utilizzatore. Essi sono circuiti importantissimi ed effettivamente molto usati nei
sistemi elettronici. Questo paragrafo è dedicato a studiare in dettaglio la loro
risposta in frequenza.
9.7.1
Il Source follower
Un esempio di disaccoppiatore Source follower è riportato nella Fig.9.32,
inserito tra l’uscita di uno stadio amplificante ed un carico esterno RL. In generale,
il disaccoppiatore di tensione è utilizzato tutte le volte che la resistenza Ru d’uscita
dell’amplificatore (nel caso della figura pari a RD) è dello stesso ordine di
grandezza, se non addirittura maggiore, della resistenza di carico esterna RL e serve
per evitare la sfavorevole partizione che altrimenti ci sarebbe tra Ru ed RL. Nella
Fig.9.32(b) è riportato lo schema circuitale sintetico che useremo per l’analisi in
frequenza del solo stadio Source Follower. La resistenza Ri rappresenta le
resistenze viste all’ingresso del transistore (resistenza di uscita RD
dell’amplificatore nel nostro caso). La resistenza RS rappresenta nel nostro caso il
parallelo tra RF e la resistenza esterna RL.
Prima di procedere al calcolo esatto della funzione di trasferimento, è possibile fare
qualche considerazione sintetica sul circuito della Fig.9.32(b):
amplificatore
carico
esterno
follower
+ VDD
+ VDD
R
Cgd
RD
R1
Ri
C=
vin
Vu
RF
R2
vin
RL
A
Fig. 9.32
RS
Cgs
- VSS
- VSS
(a)
vout
B
(b)
Schema circuitale per l’analisi in frequenza di un Source
follower in cui sono evidenziate le due capacità Cgs e Cgd.
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-
73
Il guadagno a bassa frequenza (quando le capacità non intervengono) è
G(0) 
RS
RS  1 gm
-
La capacità Cgd forma con Ri un partitore RC, il cui zero è all’infinito.
-
La funzione di trasferimento ha almeno uno zero al finito. Infatti, la ricerca
della frequenza complessa s per cui vu(s)=0 (Fig.9.33) impone che non scorra
corrente in RS, iR(s)=0, e quindi che tutta la corrente del transistore si chiuda
sul condensatore. Imponendo l’uguaglianza tra le due correnti, gmvg=-vgsCgs,
si ottiene il valore dello zero alla frequenza
fz 
1
2  Cgs 1 g m
La frequenza di questo zero è circa pari alla fT del transistore ed è reale e
negativo.
-
La funzione di trasferimento ha due poli perché i due condensatori sono
indipendenti. Poiché essi interagiscono, il denominatore avrà un’espressione
del tipo (as2+bs+1). La funzione di trasferimento avrà quindi la seguente
forma :
1  sCgs / g m
vu (s)
Rs

 2
vin (s) R s  1 g m s a  sb  1
Per il calcolo del coefficiente “b” del termine di primo grado, si procede come
già visto più volte nei paragrafi precedenti, sommando i prodotti tra le singole
capacità e la resistenza vista ai loro capi.
Ri
Vg(s)
I(s) = vggm
VS(s)=0
I(s) = vgsCgs
Fig. 9.33
RS
X i(s)=0
Schema di calcolo dello zero della funzione di trasferimento
di un Source (Emitter) follower.
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
74
Il termine relativo a Cgd è di immediato calcolo essendo il Drain del circuito della
Fig.9.32b collegato direttamente all’alimentazione:
gd=CgdRi
(9.39)
Esso è infatti immediatamente interpretabile circuitalmente come la costante di
tempo associata alla scarica della capacità Cgd sulla rete resistiva di ingresso.
Nel termine relativo a Cgs, la situazione è simile a quella vista con riferimento alla
Fig.9.24. Il sistema di bilancio ai due nodi A e B è infatti ancora:
V  IRi

 V A
I  B  (V  V )  g
A
B
m

 RS
da cui
VA  VB  I  R i  I  R S 
(1  g m R i )
(1  g m R S )
che fornisce l’espressione della desiderata impedenza vista dalla capacità:
R gs 

VA  VB
R  RS
RS
g R 
 i

 R i 1  m S 
I
1  g mRS 1  g mRS
 1  g mRS 
così da ottenere


1
g R 
gs  Cgs R S
 R i 1  m S 
gm

 1  g m R S 
(9.40)
Per ricordare i due termini tra parentesi quadra, ai fini pratici è come se si fosse
rimossa la capacità di ponte Cgs e la si fosse sostituita con due capacità poste
rispettivamente tra il Gate e massa e tra il Source e massa, come indicato nella
Fig.9.34:
-
1= Cgs (Rs||1/gm) è la costante di tempo di scarica della capacità di ponte Cgs
sulla resistenza vista all’uscita;
-
2=CgsRi/(1+gmRs) è la costante di tempo associata alla scarica, sulla rete
resistiva di ingresso, della capacità di ponte Cgs, che si è pensato di riportare
tra Gate e massa tenendo conto della riduzione della carica assorbita
determinata dalla variazione di potenziale del nodo di Source (effetto Miller)
in analogia a quanto visto in riferimento alla Fig.9.24.
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
75
Sommando le due costanti di tempo si ottiene il termine b:


g R 
b  Cgd  R i  Cgs R S 1 g m  R i 1  m S 

 1  g m R S 
(9.41)
Il polo prevalente del Source follower sarà pertanto dell’ordine di
fL 
1
2  b
(9.42)
Esso è a frequenza tanto maggiore quanto più i singoli addendi saranno piccoli. Il
secondo addendo di b è effettivamente piccolo essendo il termine tra parentesi
tonda molto vicino a zero in un buon follower (in cui addirittura al posto della
resistenza RS si pone un generatore di corrente con resistenza equivalente
elevatissima!). Quanto al primo addendo di b si vede come sia buona norma non
collegare alcuna resistenza tra Drain e l’alimentazione in modo da minimizzare la
resistenza vista ai capi di Cgd.
Per calcolare il polo a frequenza maggiore, possiamo guardare gli addendi
della Eq.(9.41) ed individuare il termine con costante di tempo maggiore. Esso sarà
il maggior responsabile del valore di fL. La capacità corrispondente potrà quindi
essere pensata già intervenuta quando ora andiamo ad esplorare frequenze oltre fL.
Cortocircuitando nello schema della Fig.9.32(b) quella capacità, otteniamo un
“nuovo” circuito avente una sola capacità, di cui si dovrà calcolare la costante di
tempo. Essa sarà il costituente del polo in questa situazione, cioè del polo a
frequenza elevata, fH, del circuito completo. Quest’ultima operazione sarà molto
semplice perché ora c’è un solo condensatore !
Ri
vin
Cgd
Cgs(1-GAB)
A
B
RS
Fig. 9.34
Cgs
Schema per memorizzare gli addendi che determinano il polo
prevalente di un Source follower, dopo avere scomposto Cgs
“alla Miller”.
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
76
Se volessimo comunque avere l’espressione precisa della funzione di trasferimento
del Source follower, da usarsi per confronto con l’analisi intuitiva appena fatta,
potremmo utilizzare il bilancio ai nodi del circuito della Fig.9.32(b) ottenendo:
v u (s)
Rs


v in (s) R s  1 g m
1  sC gs / g m
s2


RiRs
Rs / gm
Ri
C gs C gd  s C gd R i  C gs
 C gs
 1
1 g mR s
1 gm  Rs
1 g mRs 

(9.43)
che coincide con l’espressione che si otterrebbe dalla (9.5), ponendo Ys=1/Rs, Y
=sCgd, Yi=1/Ri, Y=sCgs, YL=. Scopriremmo che sia lo zero che il coefficiente
“b” sono uguali a quelli stimati prima !
9.7.2
Considerazioni pratiche
Ponendo l’attenzione sul polo prevalente (9.41) si noti che, se lo stadio è un
buon disaccoppiatore di tensione, la resistenza d’uscita 1/gm è molto più piccola
della resistenza di carico Rs e pertanto il guadagno di tensione tra Gate e Source
(pari a gmRs/(1+gmRs)) tende ad 1. Pertanto la variazione di tensione ai morsetti del
condensatore Cgs tende ad essere nulla e la carica sottratta al segnale per
provvedere al caricamento di Cgs è trascurabile. Ci si aspetta quindi che Cgs non
intervenga a limitare significativamente la risposta in frequenza dello stadio. In
effetti, se Rs>>1/gm il 2° addendo della (9.40) tende a zero. Il polo a frequenza più
bassa dipende allora solo da:

b  Cgd  R i  Cgs RS 1 g m

Se Ri è piccola, allora la frequenza del primo polo è data da
fL 
1
2CgsR S 1 g m
che è dell’ordine della fT del transistore, e quindi la più elevata possibile
compatibilmente con il transistore usato.
Se invece il circuito è pilotato da una resistenza alta (come avviene spesso nella
pratica per giustificare l’uso del follower !), allora la banda del circuito è limitata
dalla scarica della capacità Cgd attraverso la resistenza di uscita dello stadio
precedente (Ri).
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
77
In un buon follower quindi non è necessario calcolare l’effetto di Cgs sulla risposta
in frequenza, ma basta limitarsi alla sola Cgd, il cui carico è la sola rete di ingresso.
Ne consegue che il calcolo della risposta di un follower è in generale immediata.
E 9.31 Considerare il seguente circuito, in cui i MOSFET abbiano VT=0.8V,
k=½CoxW/L=1.6mA/V2 e curve caratteristiche ideali (Va=). Inoltre si
consideri presente la capacità Cgd=10pF del solo transistore T1. (Please
consider the following circuit whose MOSFETs have VT=0.8V,
k=1.6mA/V2 and ideal characteristic curves (Va=). Transistor T1 has
also a Cgd=10pF) .
+ 3.3V
T2
T3
R1
4k
T1
vout
R2
13250
vin
Cgd=10pF
- 3.3V
a)
Calcolare il valore stazionario dell’uscita Vout. (Find Vout when no
signal is applied )
b)
Calcolare
l’espressione
del
guadagno
di
tensione
G(s)=Vout(s)/Vin(s) e tracciarne i diagrammi quotati di Bode di modulo e
fase.
c)
Disegnare in un grafico quotato l’andamento nel tempo della
tensione di uscita, vout(t), quando in ingresso viene applicato un gradino
di tensione. (Draw the time behavior of the output voltage, vout(t), when a
vin
300mV
t
0
200ns
step signal is applied)
d)
Oltre alla capacità Cgd=10pF del solo T1, considerare ora anche
le capacità Cgs=30pF di tutti i MOSFET del circuito. Ricavare i poli e gli
eventuali zeri del guadagno G=Vout(s)/Vin(s) e disegnarne il diagramma
quotato del modulo e della fase. (In addition to Cgd=10pF of only T1,
consider also the capacitances Cgs=30pF of all the MOSFETs of the
circuit. Find the poles and the zeros, if any, and draw the Bode plots
(gain and phase) of the transfer function G(s)=vout(s)/vin(s)).
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
78
E 9.32 Con riferimento al circuito (a), in cui il MOSFET ha |VT|=0.5V, |k|=2
mA/V2 e fT=1GHz con Cgd=1pF :
aTracciare il diagramma di Bode del modulo e della fase del
guadagno di tensione vout(s)/vin(s)
cDisegnare l’andamento nel tempo del segnale vout(t) a fronte di un
gradino negativo di tensione vin(t) ampio 500mV.
-1 V
-1 V
125 M
C
1.5nF
Vin
RS
500 
R1
125 M
Vout
R2
175 M
Vout
Iin
-4V
(a)
RS
500 
R1
(b)
R2
175 M
-4V
Con riferimento ora al circuito (b), uguale al circuito precedente eccetto
che per il tipo di segnale di ingresso :
dTracciare i diagrammi del guadagno di tensione vout(s)/Iin(s)
eDal confronto dei diagrammi di Bode trovati ai punti a) e d),
evidenziare sinteticamente le differenze tra i due circuiti e motivarle.
E 9.33 Con riferimento al seguente
circuito, il cui MOSFET ha:
RS
R1
|k|=8mA/V2, |VT|=0.5V e VA=:
500
10k
a)
Calcolare la tensione di
C=
vout
polarizzazione nel morsetto di
uscita.
vin
R2
b)
Calcolare il guadagno per
RL
40k
7.5k
piccoli segnali G=vout/vin..
c)
Calcolare
il
massimo
segnale sinusoidale applicabile
-5V
all’ingresso del circuito prima che
il MOSFET esca dalla zona di funzionamento corretta.
e)
Considerare la sola la capacità Cgd=5pF del MOSFET e ricavare
il polo e l’eventuale zero del circuito e disegnare il diagramma quotato
del modulo e della fase della funzione di trasferimento G(s)=vout(s)/vin(s).
f)
Considerare ora la sola la capacità Cgs=4pF del MOSFET e
ricavare il polo e l’eventuale zero del circuito e disegnare il diagramma
quotato del modulo e della fase della funzione di trasfe-rimento
G(s)=vout(s)/vin(s).
g) Come si comporterebbe il circuito con entrambe le capacità presenti ?
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
79
E 9.34 Si consideri il circuito accanto, il cui MOSFET ha: |k|=4mA/V2,
|VT|=0.6V, fT=10GHz, Cgd=27fF e VA=:
a)
Calcolare
la
+3V
polarizzazione
del
R1
300
circuito.
30k
2k
b)
Calcolare
la
C=10pF
funzione di trasferimento
tenendo conto delle due v
R2
in
RL
capacità
interne
del
30k
4mA
1
k
MOSFET e della capacità
di accoppiamento con il
-3V
carico RL.
a) Vs=-1.6V, gm=8mA/V (1/gm=125), Cgs+Cgd=127fF da cui Cgs=100fF.
b) Polo prevalente:




b  Cgd  30k 30k 2k(1  0)  300  Cgs  30k 30k 2k(1  1)  1 g m  C  R L  1 g m 
Equivalente a b=55ps+12.5ps+11ns da cui fLF=14MHz.
Polo intermedio (C cortocircuitata):



b'  Cgd  30k 30k 2k(1  300 1125)  300  Cgs  30k 30k 2k(1  R L (R L  1 g m ))  R L 1 g m
Equivalente a b’=60ps+30ps da cui fHF=1.7GHz.
Polo ad altissima frequenza (anche Cgd cortocircuitato):

b' '  Cgs  (30k 30k 2k 300 R L ) 1 g m

Equivalente a b’’=11.3ps da cui fHHF=14GHz>fT.
Zeri: uno nell’origine dovuto a C=10pF di bypass. Uno dovuto a Cgs a
s
1
e posizionato >fT.
Cgs  1 g m
Limite di
validità
fT=10GHz
14MHz
1.7GHz

Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
9.7.3
80
L’Emitter follower
Il comportamento in frequenza dello stadio Emitter follower (Fig.9.35) è
simile a quello del Source follower perché il numero e la natura delle singolarità è
il medesimo. In uno stadio ben progettato, in cui la resistenza di Emettitore è molto
piccola rispetto al carico (1/gm<<RE) per cui il guadagno di tensione tra Base ed
Emettitore è praticamente unitario, la capacità tra Base ed Emettitore avrà, come
visto con un MOSFET, un effetto del tutto marginale nel definire il comportamento
in frequenza del circuito. Infatti, la tensione ai capi di questa capacità non varia ed
il circuito non deve fornire carica ai suoi piatti. Il polo dominante sarebbe quindi
determinato principalmente dalla capacità C e dalla resistenza che questa vede ai
suoi capi, per cui
fL 
1

2  C R i

 



 g  R E 
 m


(9.44)
Si noti come sia buona norma non collegare alcuna resistenza tra Drain e
l’alimentazione in modo da minimizzare la resistenza vista ai capi di Cbc=C
Se l’ipotesi che RE>>1/gm non fosse verificata o se comunque fosse
necessario ricostruire esattamente il denominatore della funzione di trasferimento
dello stadio, basterà aggiungere al termine appena visto per C anche il termine
relativo a C in modo da confezionare il coefficiente b della funzione di
trasferimento. Quest’ultimo è già stato calcolato nel §9.5.3 sia nella formula
approssimata che in quella precisa. Nella pratica, in questo caso di emitter follower
il coefficiente b del termine di 1° grado del denominatore della funzione di
trasferimento è ottimamente approssimato da :
C
C
Ri
Ri
A
vin
Fig. 9.35
B
B
C
(a)
A
RE
C(1-GAB)
RE
C
(b)
Schema circuitale per l’analisi in frequenza di un Emitter
follower.
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI

b  C R i


 




 g  R E   C R i
 m


81
 
 

 1
RE
R i 

 



 g  R E   1  1 g  R   R E  g   
m
E
 m
 
 m

(9.45)
Nella parentesi quadra di destra, ai fini pratici è come se si fosse rimossa la
capacità di ponte C e la si fosse sostituita con due capacità poste rispettivamente
tra la Base e massa e tra l’Emettitore e massa, come indicato nella Fig.9.35b in cui:
-
 
 

RE
è
CR i 
 R E   1 

g
1
g

R
m
E
 m
 
la costante di tempo associata alla scarica,
sulla rete resistiva di ingresso, della capacità di ponte C, che si è pensato di
riportare tra Base e massa tenendo conto della riduzione della carica assorbita
determinata dalla variazione di potenziale del nodo di Emettitore (effetto
Miller) in analogia a quanto visto in riferimento alla Fig.9.22. Questo termine
è spesso piccolo essendo il termine tra parentesi tonda molto vicino a zero in
un buon follower (in cui addirittura al posto della resistenza RE si pone un
generatore di corrente con resistenza equivalente elevatissima).
-
 1
R 
CR E 
 i  è
g
 
 m
la costante di tempo di scarica della capacità di ponte C
sulla resistenza vista all’uscita;
Il polo prevalente dell’Emitter follower sarà pertanto dell’ordine di
fL 
1
2  b
(9.46)
Esso è a frequenza tanto maggiore quanto più i singoli addendi di b saranno piccoli.
Per calcolare il polo a frequenza maggiore, possiamo guardare gli addendi della
Eq.(9.45) ed individuare il termine con costante di tempo maggiore. Esso sarà il
maggior responsabile del valore di fL. La capacità corrispondente potrà quindi
essere pensata già intervenuta quando ora andiamo ad esplorare frequenze oltre fL.
Cortocircuitando nello schema della Fig.9.35 quella capacità, otteniamo un
“nuovo” circuito avente una sola capacità, di cui si dovrà calcolare la costante di
tempo. Essa sarà il costituente del polo in questa situazione, cioè del polo a
frequenza elevata, fH, del circuito completo.
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
82
Se volessimo comunque avere l’espressione precisa della funzione di trasferimento
dell’Emitter follower, da usarsi per confronto con l’analisi appena fatta, potremmo
utilizzare il bilancio ai nodi del circuito della Fig.9.27 ottenendo:
vu (s)
R E   1
1  sCr /   1


vin (s) R E   1  r  R in 
s2a  sb  1
(9.47)
dove
a
CC R E R i  g m
R E   1  r  R i 

b  C R i


 



 g  R E   C R i
 m


 
 

RE

 

 g  R E   1  1 g  R  
m
E
 m
 

R E  gm

R i  R E   g m 

Solo l’ultimo addendo di b differisce, peraltro di pochissimo, dall’analogo termine
trovato intuitivamente nella (9.45). Questo non deve sorprendere perché non esiste
alcun teorema generale che consenta di dividere una capacità di ponte in due
semplici capacità equivalenti tra i due morsetti e massa. La differenza è così
piccola che nella quasi totalità dei casi pratici di circuiti Emitter follower non conta
niente. Pertanto si farà sempre riferimento alla (9.45).
9.7.4
Pilotaggio di un carico capacitivo
In presenza di un carico capacitivo CL in parallelo ad RE, come mostrato
nella Fig.9.36, la funzione di trasferimento continuerebbe ad avere due poli, perché
le tre capacità non sarebbero tra loro indipendenti in quanto messe sulla stessa
maglia tra due alimentazioni. Tuttavia cambierebbe sia il coefficiente del termine
C
Ri
vin
C
Fig. 9.36
RE
CL
Stadio Emitter follower che pilota un carico capacitivo esterno
CL.
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83
di secondo grado al denominatore della (9.43) che quello del termine di primo
grado che determina il polo prevalente. Anche in questo caso l’espressione del polo
prevalente può essere ricavata utilizzando il metodo sintetico da noi adottato nei
paragrafi precedenti.
In genere tuttavia non è necessario svolgere con precisione questi calcoli. Infatti, se
lo stadio è ben progettato (1/gm<<RS), si può trascurare la capacità di accopiamento
(Cgs o C) e prevedere che il circuito risponda con due costanti di tempo
indipendenti e non interagenti, una data dalla costante di tempo di ingresso (pari a
quella trovata prima in assenza di carico capacitivo), l’altra dalla costante di tempo


di uscita CL R S  1  . L’importanza di quest’ultimo termine dipende dall’entità del
 gm 
carico capacitivo e dalla resistenza 1/gm di uscita del follower, che generalmente
dovrebbe essere ben più piccola di RE.
E 9.34 Calcolare il valore dei poli e dello zero della funzione di trasferimento
del seguente circuito utilizzante un BJT di potenza ( =100, C=50pF e
fT=300MHz). Studiare come essa si modifica aggiungendo una
componente capacitiva di 30pF al carico.
+5V
Re
100
50
vin
Rin
- 5V
Con riferimento alla (9.22), le singole costanti di tempo che compaiono nei
coefficienti del denominatore della funzione di trasferimento sono:
1=(rin||(1/gm+Re))C=2.5ns
b=Rer/(Rin+Rin(+1)+r)C=0.5ns
3=(rin||(1/gm+Re))C/(1+gmRe)=0.25ns.
Esse sono state calcolate tenendo presente che la resistenza tra il nodo di Base è
massa è Rin(/gm+Re). Una prima stima del polo prevalente porterebbe a
fissarlo alla frequenza fL=49MHz. Il calcolo di a=1.1ns e la risoluzione precisa
del denominatore della (9.22) apporta una correzione alla prima stima e colloca i
due poli a 57MHz e 365MHz. Si noti come il polo prevalente sia determinato
Appunti del corso “Elettronica Analogica” Prof. Marco Sampietro – POLIMI
84
dalla rete di ingresso attraverso la 1 a causa del grande valore di C. Lo zero è
invece posto alla frequenza fZ=1/(2C/gm)=317MHz, praticamente coincidente
con la fT.
E 9.35 Si supponga di voler pilotare, con il circuito dell’esercizio E 9.18, un
carico RL da 3.5k. Per evitare la perdita di guadagno dovuta alla
partizione in uscita, si decide di utilizzare un disaccoppiatore a BJT,
come indicato nella figura seguente, utilizzando un transistore identico
all’altro. Si studi quanto il nuovo stadio alteri la risposta in frequenza del
circuito prima calcolata.
+6V
10F
2.65k
I=2mA
6k

1k
vin
12k
5k
RL
3.5k
-12 V
L’introduzione dell’Emitter follower, oltre ad evitare che il guadagno di tensione
crolli dal valore G-195 a G-80, ha due effetti sul comportamento in frequenza
dell’intero circuito:
(1) - influenza il comportamento in frequenza dello stadio che lo pilota. La sua
capacità C2 è infatti in parallelo a 5k, e quindi modifica la costante di tempo 
2, che ora vale
2=(Rin||(1/gm+RL))(C1+C2)= 2 ns,
La capacità C2 (12.5pF), invece, non viene quasi vista dal primo stadio, perché
entrambi i suoi capi si spostano praticamente dello stesso valore in tensione
(1+gmRL=281). Complessivamente, l’influenza del follower è modestissima,
dato anche il piccolo valore di C2, e riduce la banda del primo stadio a
fL=3.4MHz.
(2) - aggiunge i poli e gli zeri suoi propri. Immaginando di pilotare il follower
con un generatore di corrente avente una resistenza equivalente R in=5k ed una
capacità equivalente pari a C1=0.2pF, si ottiene:
b=CRLr/(Rin+(+1)RL+r))= 0.1 ns,
3=(Rin||(1/gm+RL))C/(1+gmRL)= 0.2 ns.
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85
Il polo a frequenza più bassa, introdotto dal follower, è quindi alla frequenza f L
1/(2(1+2+3)  69MHz. Risolvendo precisamente il denominatore della
funzione di trasferimento, si troverebbe fL=70MHz e fH=2.4GHz. Si noti come il
follower non limiti affatto la banda passante del circuito, stabilita invece dal
primo stadio.
fT
69 M Hz
6 Hz
780 Hz
3. 4 MHz
E 9.36 Si consideri il seguente circuito, in cui i MOSFET abbiano VT=0.5V,
k=6mA/V2, ro=30k, Cgd=1pF e fT=300MHz.
a) Polarizzarlo.
b) Studiarne il comportamento in frequenza
c) Valutarne la dinamica.
V
1k
C =16 nF
3k
2.43k
R L 10k
vin
- 1V
- 5V
(a) - ID1=1.5mA, 1/gm1=167, Cgs1=2.2pF, VD1=3.5V; ID2=3mA, 1/gm2=119,
VS2=2.3V, Cgs2=3.5pF.
(b) - Il guadagno di tensione a centro banda è G=-5.65. Il condensatore di
disaccoppiamento all’uscita determina uno zero nell’origine ed un polo a 984Hz.
Le costanti di tempo che intervengono nella funzione di trasferimento del primo
stadio sono:
1=6.6ns 2=2.2ns 3=21ns
4=1.9ns
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86
che determinano fL=5.3MHz e fH=262MHz. La costante di tempo sul carico del
Source follower è 2=0.4ns che determinerebbe un polo acirca 400MHz.
Entrambi gli zeri stanno ad una frequenza superiore alla f T. La banda passante
del circuito si estende pertanto da circa 1kHz fino a circa 5MHz.
E 9.37 Analizzare il comportamento in frequenza del circuito differenziale a BJT
mostrato nella seguente figura (fT=200MHz, C=4pF,  =100), sia sul
segnale differenziale che su un segnale di modo comune.
+ 6V
2k
2k
v1
v2
2.65k
- 6V
Dallo studio della polarizzazione si ottiene IC1=IC2=1mA, gm1=gm2=40mA/V e C
1=C2=28pF. Quando all’ingresso viene applicato un segnale differenziale,
vd=v1-v2, i due transistori si comportano come se fossero due stadi Emettitore
comune. La funzione di trasferimento ha perciò la stessa espressione della (9.14)
ed il calcolo dei poli si riduce alla valutazione delle seguenti costanti di tempo:
1=C(Rg||/gm)=20ns
2=CRL=8ns
3=C(1+gmRL)(Rg||/gm)=231ns
dove si è indicato con Rg la resistenza serie sulle Basi pari ad 1k e con RL le
resistenze sui due Collettori. La banda passante del circuito si estende perciò da
0Hz a fL=615kHz e la funzione di trasferimento presenta un ulteriore polo
nell’intorno della frequenza di taglio dei transistori (piuttosto che a f H=258MHz
dato dal calcolo della rete, a quella frequenza ormai inaffidabile).
Quando in ingresso viene applicato un segnale di modo comune, il guadagno è
costante (G=-0.38) fino alla frequenza del primo polo. Per il calcolo della
funzione di trasferimento di modo comune, si può applicare il metodo delle
costanti di tempo ad ognuna delle due metà del circuito (cfr. Cap 5). Indicando
con RS il doppio della resistenza di polarizzazione di 2.65k, i coefficienti del
denominatore della funzione di trasferimento sono dati da
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a
b  C
C  C  r ( R L R S  R g R S  R g R L )
R g  (   1) R S  r
r ( R S  R g )
R g  (   1) R S  r
C R L
 C
87
 ( 3ns) 2
R g  r  (   1) R S 
R g  (   1) R S  r
r  (   1) R S  (   1) R g
R g  (   1) R S  r

 14.3ns
Risolvendo l’equazione di secondo grado si ottiene f L=11.7MHz ed fH=233MHz.
Ad una buona stima del polo prevalente si sarebbe potuti giungere notando che il
contributo della capacità C può essere trascurato perché essa è posta tra due
punti che variano il loro potenziale circa della stessa quantità. A questo punto il
metodo delle costanti di tempo è applicato solo alla rimanente capacità C  .
E 9.38 Calcolare la banda passante del trasferimento tra ingresso differenziale
ed uscita nel circuito dell’esercizio E 5.18. Si supponga di avere scelto
transistori con fT=100MHz e Cgd=0.2pF.
Data la presenza nel circuito sia dello stadio differenziale che dello specchio di
corrente, una analisi sintetica del suo comportamento in frequenza risulta molto
complessa. Tuttavia è ancora possibile pervenire ad una stima ragionevole del
polo dominante. Nel circuito si possono individuare due cammini del segnale,
uno che parte da T1 e giunge al carico RL attraverso lo specchio, e l’altro che
parte da T2 e giunge al carico direttamente. Consideriamo separatamente le
limitazioni in frequenza di questi due cammini.
Lo specchio di corrente carica il Drain del transistore T 1 con la sua resistenza
1/gm3 in parallelo alle due capacità Cgs dei due transistori, T3 e T4, ed alla
capacità Cgd4 riportata per effetto Miller tra Gate e massa. Quest’ultima vale
Cgd4(1+2gmRL), dove il fattore 2 tiene conto del fatto che in R L scorre anche la
corrente proveniente da T2. Poiché in questo esercizio si sono supposti tutti i
transistori uguali, la tensione vgd4 è doppia rispetto al valore gmRL. Se i transistori
fossero stati differenti, si sarebbe dovuto modificare il valore di conseguenza. Lo
schema circuitale per il calcolo del trasferimento da v1 a vG è quindi
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Cgd
1
g m3
C gs
88
Cgd4 (1 + 2g m RL )
vG
v1
Cgs
Supposto il generatore di segnale ideale, il circuito manifesta uno zero a
fz=260MHz ed un polo alla frequenza fL=22MHz. Il segnale di tensione del
punto G ha una bassissima resistenza equivalente (1/g m3), e pertanto comanda
quasi idealmente la giunzione Gate-Source del MOSFET T4. E’ ragionevole
pensare che la corrente sul suo Drain abbia lo stesso andamento in frequenza di
vG. Nel fare questo si trascura l’iniezione diretta attraverso C gd4.
Al carico RL giunge anche, e va a sommarsi a quella prima considerata, la
corrente proveniente dal transistore T 2. Il suo andamento con la frequenza può
essere stimato facendo di nuovo una ipotesi su C gd4, ponendola tra B e massa,
invece che tra B e G. La sola parte circuitale che afferisce al transistore T 2 ed al
carico è mostrata nella seguente figura:
Cgd4
C gd2
RL
Cgs2
v2
La sua funzione di trasferimento, nel nostro caso particolare di impedenza nulla
del generatore di segnale, ha di nuovo uno zero alla stessa frequenza dell’altro
ramo, ed un polo a fL=40MHz. In conclusione ci aspettiamo che la banda
complessiva del circuito si estenda fino ad una frequenza dell’ordine di 10
20MHz.