problemi che utilizzano la scomposizione in fattori dei polinomi

Classi 1e
Problematiche sui polinomi
A) PROBLEMI CHE UTILIZZANO LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI DEI POLINOMI
A1) Verifica che addizionando al quadrato di un qualunque numero intero il quadruplo del suo successivo si ottiene
un quadrato
A2) Verifica che la differenza tra il cubo di un numero intero ed il numero stesso è sempre un multiplo del 6.
A3) Verifica che sottraendo 5 alla somma dei quadrati di quattro numeri interi consecutivi, si ottiene un quadrato.
A4) Si consideri un qualunque numero intero e si addizioni al suo quadrato il prodotto dei quattro numeri interi, i
due successivi e i due precedenti l’intero considerato. Verificare che si ottiene un quadrato.
Esempio, se il numero è 7 si ha
72  5  6  8  9  2209  472
A5) Verifica che la differenza tra un numero intero elevato alla 5 ed il numero stesso è sempre un multiplo del 30.
B) PROBLEMI SULLA DIVISIONE TRA POLINOMI
B1) Determina il polinomio che diviso per 2x
3
2
4
2
B2) Il polinomio A= x  2x
Determina il divisore B.
B3) Il polinomio A= x  2x
Determina il divisore B.
2
 1 dà quoziente x  1 e resto x  1
 x  1 diviso per il polinomio B dà quoziente x 2  4x  7 e resto  13 .
 2x  2 diviso per il polinomio B dà quoziente x 2  2x  1 e resto 2x  1 .
B4) Il prodotto di quattro qualunque numeri interi dispari consecutivi diviso per la loro somma dà resto 9.
B5) Considera quattro numeri consecutivi. Verifica che addizionando il prodotto dei tre maggiori con il prodotto dei
tre minori si ottiene un multiplo della somma del minore e del maggiore.
Ad esempio, se il quattro numeri sono 5, 6, 7 e 8 occorre provare che 5  6  7  8 è multiplo di 5  8
B6) Dati quattro interi consecutivi qualsiasi in ordine crescente, verifica che la somma del primo con il quadrato del
secondo ed il cubo del terzo è multipla del quarto.
B7) Sommando il numero k alla somma dei quadrati di tre numeri interi consecutivi qualsiasi si ottiene un multiplo
del maggiore dei tre numeri. Trovare k.
B8) Scomponi in fattori il polinomio
divisori
x 4  7x 3  17x 2  17x  6 , sapendo che x  2
e
x 3
sono suoi
C) PROBLEMI CHE UTILIZZANO IL TEOREMA DEL RESTO
C1) Stabilisci quali dei seguenti polinomi è divisore del polinomio
x 1
x 1
x 2
x 3
x 2
x 3  6x 2  3x  10
x 4
x 5
x 6
Scomponi quindi il polinomio.
3
C2) Determina il valore del numero k che rende il polinomio x  kx multiplo del polinomio x  2 .
Dopo aver attribuito a k il valore trovato, calcolare il quoziente della divisione
C3) Determina quale valore attribuire alla variabile a in modo che il polinomio
multiplo del polinomio
sia
x 1
x7
x7
1
3
dà resto
2
2
 1 non è multiplo del polinomio x  1
 1 non è multiplo del polinomio x 2  1

e
C4) Determina un polinomio di terzo grado che è multiplo di 2x
C5) Senza eseguire la divisione, verificare che il polinomio
C6) Senza eseguire la divisione, verificare che il polinomio
C7) Calcola il resto della divisione tra il polinomio
x
99
2
73
2
 x  1 e che diviso per x 
x 1
C8) Verifica che, qualunque valore si attribuisce alla variabile a, il polinomio
multiplo del polinomio
( a  1) x 3  ax 2  2x  1
x 1
( a  1) x 3  ax 2  2x  1
è