11 Marzo 2003

Teoria dei segnali
DUT – Polo di Scano di Montiferro - Compito del 11 Marzo 2003
Tempo a disposizione: 2.5 ore
Note varie:
-
per gli esercizi: riportare lo svolgimento completo in forma simbolica con tutti i passaggi.
i punteggi (in trentesimi) per ciascun esercizio sono indicativi e potranno subire eventuali modifiche a seconda
dell’andamento dei compiti.
I singoli esercizi sono divisi in varie domande successive. Se per un dato esercizio non si e’ in grado di
rispondere alle prime domande, si consiglia di provare a svolgere comunque i punti successivi.
Esercizio 1
Si consideri un sistema lineare descritto tramite la sottostante funzione di trasferimento:
H( f )
2
1
f
 f 2  f1
f1 f 2
Si supponga di avere in ingresso a questo sistema lineare un processo casuale costituito da rumore gaussiano bianco
(ergodico e stazionario) con densità spettrale
N0
. Si indichi il processo casuale in uscita come nout (t ) . Si
2
richiede di:
1. Tracciare il grafico della densità spettrale di potenza
nout (t ) ;
nout (t ) ;
3. Calcolare la varianza di nout (t ) ;
2.
Calcolare la potenza media di
Pnout (t )  A dipende dal tempo? (Giustificare il risultato)
5. Scrivere l’espressione analitica della probabilità Pnout (t )  [ A1 , A2 ] .
4.
La probabilità
Esercizio 2
Si consideri una variabile causale
.
1.
si scriva la definizione di deviazione standard  
2.
si supponga di avere due variabili casuali gaussiane
standard
    
1
2
1 e 2
con la stessa media, ma con deviazioni
. Si disegnino qualitativamente le rispettive due densità di probabilità, commentando
il risultato.
3.
Si dia un’interpretazione “pratica” del concetto di deviazione standard (max. 5 righe di testo)
4.
Supponete di leggere i risultati di due ricerche statistiche “A” e “B” sullo stesso argomento (ad esempio
indagini pre-elettorali) in cui si elenchino i risultati (ad esempio le percentuali presunte di voti per alcuni
partiti) e si dia anche una stima della deviazione standard dei risultati. Se la ricerca “A” ha una deviazione
standard maggiore della ricerca “B”, a quale delle due dareste più affidamento (si commenti brevemente la
risposta)?
1
Esercizio 3
Si consideri la variabile casuale
 con densità di probabilità
 A  e x per x  1
f ( x )  
0 altrove

1.
Calcolare il valore della costante A
2.
Calcolare la probabilità
P   3
3.
Calcolare la probabilità
P   3
4.
Calcolare la probabilità
P  [2,3]
5.
Calcolare la media della variabile casuale
6.
Calcolare la varianza della variabile casuale 

NOTA: si consideri che valgono i seguenti integrali indefiniti:
1 ax
e
a
1 ax 
1
ax
 x  e dx  a  e  x  a 
e
ax
x
2
dx 
 e a x dx 
1 a x  2 2x 2 
e  x 
 
a
a a2 

Esercizio 4
Si supponga che sia nota la trasformata di Fourier X ( f ) del segnale determinato x(t ) .
Utilizzando le proprietà delle trasformate di Fourier, si calcolino le trasformate di Fourier dei seguenti segnali
determinati:
1.
2.
3.
4.
y(t )  A  x(t )  cos(2 f 0t )
y(t )  A  x(t )  cos(2 f 0t   )
y(t )  A  x(t  T0 )  cos(2 f 0t )
y(t )  A  x(t  T0 )  cos(2 f 0t   )
2