6) La rappresentazione dei numeri come frazione

Dalla frazione al numero
Il significato della linea di frazione ci appare ormai chiaro: esso equivale ad una divisione tra
numeratore e denominatore della frazione.
5
Scrivere perciò — equivale a scrivere 5 : 2, cioè 2,5.
2
Una frazione può essere facilmente trasformata in numero dividendo il numeratore per il
denominatore.
Qualche esempio:
841
= 0,841
1000
8
=2
4
12
= 12
1
15
=5
3
Un caso piuttosto semplice è costituito dalle frazioni decimali, cioè quelle frazioni che hanno per
denominatore una potenza di 10 (per esempio 10, 100, 1000 ecc.)
18
13
238
841
= 1,8
= 0,13
= 23,8
= 0,841
10
100
10
1000
Ricordiamo che dividere per 10, 100, 1000… vuol dire spostare la virgola verso sinistra di uno, due,
tre… posti.
A questo punto riprendiamo il disegno di pag 5: nell’ insieme dei numeri razionali, che si indica con
la lettera Q, possiamo quindi inserire non solo qualsiasi numero decimale finito (che come abbiamo
appena visto non è altro che una frazione), ma anche qualsiasi frazione:
3
N
.1
19
.5
.13
.11,08 ….
7306,92
.
.48
.1541
.2
. 1,25
.0,2
.
34,1
12.
5
Q
.
Il passaggio inverso: dal numero alla frazione.
Consideriamo ora il numero 5,3. È possibile scriverlo sotto forma di frazione?
Certamente! Per farlo basterà fare ricorso a una frazione decimale. In pratica metteremo a
numeratore il numero scritto senza la virgola, e a denominatore un uno seguito da tanti zeri quante
sono le cifre decimali del numero:
53
5,3 =
10
Altri esempi:
9
285
677
2341
9
0,9 =
2,85 =
0, 677 =
23, 41 =
0,9 =
10
100
1000
100
10
23
Ci capiterà di dover calcolare espressioni contenenti sia frazioni che numeri decimali. In questi casi
trasformeremo tutti i numeri decimali in frazioni e poi calcoleremo l’espressione frazionaria.
Vediamo un esempio:
12
3ö
æ
ö æ1
ç1,1 + - 0,5 ÷ × ç + 0, 75 - ÷ + 0, 25 =
5
5ø
è
ø è 10
æ 11 12 5 ö æ 1 75 3 ö 25
= ç + - ÷ ×ç +
- ÷+
=
è 10 5 10 ø è 10 100 5 ø 100
æ 11 + 24 - 5 ö æ 10 + 75 - 60 ö 25
=ç
=
÷ ×ç
÷+
100
è 3 10
ø è
ø 100
30 25 25
75 25
100
= ×
+
=
+
=
= 1
101 100 100 100 100 100
Esercizi
3
æ
ö
2
1)
ç 0,15 × - 0,315 ÷ + 0, 2 =
10
è
ø
1ö
æ2 1
ö æ
æ 1ö
2)
ç + - 0,5 ÷ : ç 0, 2 - 0,8 × ÷ - 0, 2 × ç 3 + ÷ =
8ø
3ø
è3 2
ø è
è
3)
2
2
( 0,1) : æç ö÷ × 22
è5ø
2
( )
2
éæ 2
ö æ 1 öù
: êç + 0,5 : 3 ÷ × ç1 + ÷ ú =
ø è 5 øû
ëè 3
é2
ù
êë 5 = 0, 4 úû
[6]
[1]
I numeri decimali periodici.
La trasformazione di una frazione in un numero, che si ottiene dividendo il numeratore per il
denominatore, può presentare a volte un risultato che non è un numero decimale finito, ma illimitato
(cioè con un numero infinito di cifre dopo la virgola).
Per esempio trasformiamo in numero la frazione
16
= 5,3333333333…
3
Numeri di questo genere si chiamano numeri decimali periodici e si indicano con una scrittura
come la seguente: 5, 3
dove si segna il periodo (cioè le cifre della parte decimale che si ripetono
all’infinito) con una linea sopra le cifre relative.
Altri esempi di numeri periodici:
41,538
8, 37 ( = 8,37373737...)
qui le cifre che si ripetono sono due: il 3 e il 7
24, 648 ( = 24, 64864864...)
qui si ripetono le tre cifre 648
6, 492 ( = 6, 492929292...)
qui si ripetono le cifre 92 (ma non il 4!)
6, 492
Consideriamo meglio quest’ultimo numero:
Esso è costituito da

una parte intera (tutte le cifre prima della virgola): il 6

una parte decimale (tutte le cifre dopo la virgola): il 492
24
Però a differenza dei primi due esempi, qui non tutte le cifre decimali sono periodiche: esiste una
cifra (il 4) che, pur appartenendo alla parte decimale, non è soprasegnata: essa si chiama
antiperiodo.
Un numero di questo genere prende il nome di decimale periodico misto.
Vediamo un altro esempio:
41,538
Parte intera:
41
Parte decimale:
538 di cui:

antiperiodo
53
(due cifre)

periodo
8
(una cifra)
Nel caso dovessimo fare calcoli in cui sono presenti numeri periodici è indispensabile trasformarli
in frazione. In questa situazione, però, non vale più la regola che si usa per i numeri decimali
semplici che vengono trasformati in una frazione decimale (pag. 23).
Per trasformare un numero periodico in frazione si usa la regola seguente:
Frazione generatrice di un numero periodico

Numeratore
si scrive: il numero senza virgola e senza segno di periodo, meno tutte le cifre che
precedono il periodo.

Denominatore
Si scrivono: tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti 0 (zero) quante sono le
cifre dell’antiperiodo.
Esempi:
52 - 5
5, 2 =
9
0, 86 =
86
99
6, 2 1 =
621 - 62
90
32, 427 =
32427 - 3242
900
0,5 + ( 0, 2 + 0,16 ) : ( 0,83 - 0, 7 ) =
51 æ 2 16 - 1 ö æ 83 - 8 7 ö
=
+ç +
- ÷=
÷:ç
102 è 9
90 ø è 90
9ø
1 æ 2 151 ö æ 755 7 ö
+ç +
- ÷=
÷:ç
2 è 9 906 ø è 906 9 ø
1 æ 4 + 3 ö æ 15 - 14 ö
1 7 1
= +ç
:ç
=
+ : =
÷
÷
2 è 18 ø è 18 ø
2 18 18
1 7 18 1
1 + 14 15
= + × = + 7=
=
2 18 1 2
2
2
=
Esercizi
0, 75 × ( 6 + 0, 6 ) - éë 4 - 0,5 × ( 5 - 2, 3 ) ùû : 0, 6 =
1)
[1]
2)
[0]
3)
4)
0,5 × éë0, 75 + 0, 6 × ( 0,8 + 0,5 :1, 3 ) - 0, 3 ùû × 0, 25 - 0,15 =
0, 27 + 1, 6 + 0, 39
=
0, 2 + 0,16
3, 5 2 - 2, 7 2
=
( 3, 5 + 2, 7 ) × (3, 5 - 2, 7 )
[6]
[1]
25