Implementazione di strumenti per il calcolo di triangolazioni
unimodulari e la costruzione di forme normali nelle logiche polivalenti
Il progetto di tesi riguarda la realizzazione, in linguaggio C, di una libreria contenente le principali
procedure per la costruzione di triangolazioni unimodulari e desingolarizzazioni con
l’implementazione degli strumenti di supporto necessari per l’analisi geometrica e combinatoria
delle triangolazioni stesse. Tale libreria comprende inoltre funzioni per la costruzione di forme
normali basate sulle triangolazioni unimodulari nelle logiche polivalenti.
Il lavoro principale riguarda lo sviluppo software che tratta l’unimodularizzazione degli 1 e 2simplessi razionali.
Si definisce n-simplesso l’insieme degli n+1 punti affinemente indipendenti che costituiscono il
“convex hull”, l’involucro convesso formato dall’insieme di tutte le combinazioni convesse dei
punti (vertici) del simplesso.
A ogni simplesso è associata una matrice intera le cui righe descrivono i vertici in coordinate
omogenee. Nello spazio omogeno vengono anche associati ad ogni simplesso il parallelepipedo e il
cono poliedrale descritto dai vertici del simplesso.
Un simplesso è unimodulare quando il valore assoluto del determinante della matrice associata al
simplesso è uguale a 1 .
Per quanto concerne gli 1-simplessi (segmenti) vengono presi in considerazione i vertici espressi in
coordinate omogenee del parallelogramma associato al simplesso. Il calcolo dell’unimodularizzazione viene realizzato principalmente attraverso l’implementazione del teorema dovuto ad Oda[1]
che dimostra che l’insieme dei punti indispensabili per rendere unimodulare il simplesso è costituito
dai punti interi appartenenti alla frontiera del “convex hull”.
Questo algoritmo si dimostra “ottimo” per gli 1-simplessi e costituisce un punto di partenza per
algoritmi “ottimi” per 2-simplessi, ma si dimostra non ottimale per simplessi di dimensione
superiore.
Per simplessi di ogni dimensione viene introdotta una speciale “norma” sui punti interi interni al
parallelepipedo associato al simplesso. Questa “norma” permette l’implementazione del cosiddetto
algoritmo della norma minima, che guida passo-passo la costruzione della triangolazione
unimodulare. In particolare si mostra che il criterio della norma minima è la base di partenza per
una “buona” caratterizzazione dei punti indispensabili per ogni procedura di unimodularizzazione
anche per simplessi di dimensione maggiore. Questo metodo è implementato in maniera tale da
generare una successione di insiemi di simplessi unimodulari ottenuti per starring dove ogni
simplesso ha, tra i suoi vertici, il punto a norma minima. Tale punto viene ottenuto attraverso il
calcolo di tutti i punti interi interni al parallelogramma associato ai vertici espressi in coordinate
omogenee dell’1-simplesso e dalla successiva estrazione del punto più vicino all’origine. Vengono
inoltre implementate funzioni che estendono il calcolo dell’unimodularizzazione di un 1-simplesso
alla realizzazione dell’unimodularizzazione di segmenti arbitrari che partizionano l’intervallo [0,1].
Tale scomposizione dell’intervallo [0,1] in segmenti unimodulari costituisce il prerequisito
necessario per la costruzione dei cappelli di Schauder .
Questo insieme di funzioni definito “Schauder hats” permette, sia di esprimere qualsiasi funzione di
McNaughton[2] (continua, lineare a pezzi, a coefficienti interi) come somma dei cappelli di
Schauder, che di rappresentare qualsiasi formula espressa nella logica proposizionale a infiniti
valori di Łukasiewicz attraverso la congiunzione di formule associate a cappelli di Schauder. Sono
state quindi sviluppate delle procedure che riguardano la costruzione dei singoli cappelli, definiti
dai coefficienti interi delle rette che li compongono, e la rappresentazione degli stessi tramite
formule.
Per realizzare queste formule viene applicato un miglioramento[3] dell’algoritmo di Rose-Rosser[4]
per funzioni lineari troncate che permette l’ottenimento del risultato in un numero inferiore di passi.
Vengono altresì sviluppate procedure, sia per generare, in modo “pseudo-casuale”, i coefficienti
delle funzioni di McNaughton da [0,1] a [0,1], sia per esprimere tali equazioni attraverso la
congiunzione di formule associate agli Schauder hats. La trattazione delle funzioni di McNaughton
si conclude con l’implementazione di un algoritmo[3] che produce formule per ogni funzione
continua, lineare a pezzi, a coefficienti interi che sia monotona non costante.
Considerando l’unimodularizzazione di ordine minimo dei 2-simplessi razionali (triangoli) vengono
presi in esame i vertici espressi in coordinate omogenee del parallelepipedo associato al simplesso.
Per ottenere tale unimodularizzazione vengono sviluppate delle procedure che utilizzano il metodo
della norma minima alternativo al metodo di costruzione diretta del “convex hull”.
Il procedimento considerato realizza un’unimodularizzazione di ordine minimo utilizzando solo i
punti indispensabili. Tale metodo si basa sulla generazione di una successione di simplessi ottenuta
per starring dove ogni nuovo simplesso ha, tra i sui vertici, il punto a norma minima. Per ricavare
tale punto vengono calcolati due o un solo punto (a seconda che ci siano o meno punti giacenti sulle
facce) interno al parallelepipedo che verrà utilizzato per generare tutti i punti interi interni dai quali
verrà estratto quello a norma minima.
L’unimodularizzazione dei 2-simplessi viene poi utilizzata per rendere unimodulari suddivisioni
arbitrarie di [0,1]² in poligoni aventi la proprietà che li rende “complessi poliedrali”, scomponendo
tali poligoni in triangoli e procedendo poi alla creazione di 2-simplessi unimodulari con il metodo
della norma minima.
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI
[1] T. Oda, “Convex Bodies and AlgebraicGeometry”. Ergebnisse der Math.
Grenzgeb. Springer-Verlag, Berlin, 1988. Vol.15.
[2] R. McNaughton “A Theorem about infinite-valued sentential logic”.
J. Symbolic Logic 16. 1951. 1-13.
[3] S.Aguzzoli, “The complexity of McNaughton Functions of One Variable”.
Advanced in Applied Mathematics, 1998. 21:58-77.
[4] A. Rose and J. B. Rosser, “Fragment of many-valued statement calculi”.
Trans. Amer. Math. Soc. 1958. 1-53.
