Chi è il primo della classe?

Chi è il primo della classe?
Benedetto Matarazzo
Facoltà di Economia
Università degli Studi di Catania
Giornate dalla Matematica ludica
Gela, 7-8 aprile 2011
Sommario
• Il problema dell’ordinamento
• Aggregazione delle preferenze
 Transitività delle indifferenze e delle preferenze


Paradossi di Luce e di Condorcet
Teorema di Arrow
 Interazione tra criteri


Integrale di Choquet
Interpretazione geometrica
 Indipendenza delle preferenze

Esempio didattico
 Ponderazione dei criteri

•
Condizioni di rischio o incertezza


•
Esempio di Slovic
Effetto cornice
Paradossi di Allais, di Ellsberg e di Monty Hall
Conclusioni
Il problema dell’ordinamento
• Costruzione di una “graduatoria” (ranking)
tenendo conto di un solo criterio
Problema “banale”
• Costruzione di una graduatoria
considerando più criteri
Concordanza/discordanza (dominanza)
Compensazione
Importanza dei criteri
…
Aggregazione delle preferenze
Individuare degli opportuni operatori (funzioni di
aggregazione) che soddisfino certe proprietà
e che tengano conto di:
Natura delle informazioni
quantitative, qualitative, ordinali,…
Preferenze del decisore
parametri, soglie,…
Problema decisionale affrontato
scelta, ordinamento, classificazione,…
…
Problema di non facile soluzione
Numerosi approcci proposti in MCDA (Multiple
Criteria Decision Aiding)
Approccio normativo

Si focalizza su modelli basati su assunzioni (assiomi) che si dovrebbero
prendere in considerazione per rendere razionali le decisioni.

Esempi di assiomi (a, b e c sono alternative ammissibili):

Transitività delle preferenze: se a è preferita a b e b è preferita a c,
allora anche a è preferita a c

Transitività delle indifferenze: se a e b sono indifferenti tra loro e
b e c sono pure indifferenti, allora anche a e c sono indifferenti tra loro

Completezza della preferenza debole: comunque si prendano a e b, o
a è almeno tanto buona quanto b o b è almeno tanto buona quanto a
(cioè riusciamo sempre a confrontare due alternative)

Indipendenza delle preferenze: se su alcuni aspetti (criteri) due
alternative sono indifferenti, allora la decisione si deve basare sui
rimanenti criteri.

E’ l’approccio preferito dai matematici. Ma ha molte contro-indicazioni.
5
Esempio didattico - 1
transitività della relazione di indifferenza
Paradosso di Luce

Si confronti una tazza di te senza zucchero con una tazza di te con
un solo granellino di zucchero: indifferenti.

Si confronti una tazza di te con un granellino di zucchero con una
tazza di te con due granellini di zucchero: indifferenti.

Si confronti una tazza di te con due granellini di zucchero con una
tazza di te con tre granellini di zucchero: indifferenti.

…

Si confronti una tazza di zucchero con una gocciolina di te con una
tazza di solo zucchero: indifferenti.

Si confronti ora la tazza di te senza zucchero (la prima) con con la
tazza di “zucchero senza te” (l’ultima): non sono più indifferenti
Percezione per soglie di indifferenza
6
Esempio didattico - 2
transitività delle preferenze
Paradosso di Condorcet, (Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat,
Marquis de Condorcet, 1785)
Elettore1
Elettore 2
Elettore 3
1o posto
x
y
z
2o posto
y
z
x
3o posto
z
x
y
Confronti per coppie
(maggioranza):
• x è preferito a y,
• y è preferito a z,
• z è preferito a x!!!
Si ottiene un “circuito”…
x
y
z
7
Esempio didattico – 2 (segue)
transitività delle preferenze
Paradosso di Condorcet, (Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat,
Marquis de Condorcet, 1785)
Elettore1
Elettore 2
Elettore 3
1o posto
x
y
z
2o posto
y
z
x
3o posto
z
x
y
Confronti per coppie:
•
•
•
•
x è preferito a y,
y è preferito a z,
z è preferito a x!!!
Riscoperto nel 1951 da
Kenneth Joseph Arrow
(premio Nobel per
l’Economia del 1972)
8
Teorema (dell’impossibilità) di Arrow (1951)
•
•
•
•
•
Assiomi:
Universalità: costruire un ordinamento deterministico e completo da qualsiasi
insieme iniziale di preferenze individuali;
Non imposizione (o sovranità del cittadino): qualsiasi possibile preferenza
sociale deve essere raggiungibile a partire da un appropriato insieme di
preferenze individuali;
Non dittatorialità: la funzione di scelta sociale non deve seguire l'ordinamento
delle preferenze di un solo individuo, ignorando le preferenze degli altri;
Monotonia: se un individuo modifica il proprio ordinamento a favore di una
data alternativa, la funzione di scelta sociale non può assegnare a tale
alternativa una preferenza minore;
Indipendenza dalle alternative irrilevanti: nella scelta fra due alternative x e y
sono rilevanti solo le preferenze riguardanti questo specifico sottoinsieme
(coppia x,y), non dovendosi quindi prendere in considerazione le preferenze
riguardanti le altre coppie di alternative
Teorema: Se i cittadini votanti sono almeno due e le
alternative possibili almeno tre, non è possibile costruire
una funzione di scelta sociale che soddisfi tutti le
precedenti condizioni (assiomi).
Approccio prescrittivo
Evitare “trappole delle decisioni”
Esempi di illusioni ottiche
10
Esempi di illusioni ottiche
11
Esempi di illusioni ottiche
12
Esempio didattico - 3
interazione tra i criteri
Valutazione di alcuni studenti (Grabisch, 1996)
Matematica Fisica
Lettere
Studente A
18
16
10
Studente B
10
12
18
Studente C
14
15
15
Valutazione degli studenti (segue)
 La scuola è ad indirizzo scientifico
 Matematica e Fisica sono considerate più importanti delle
materie letterarie (Lettere)
 Aggregazione mediante somma (media aritmetica) ponderata
dei voti (xl)
m
m
i 1
i 1
U x    wi xi /  wi
 Assegnati i seguenti pesi (“importanza”) alle diverse materie
 wMatematica = 3
 wFisica = 3
 wLettere = 2
Valutazione degli studenti (segue)
Matematica
Fisica
Lettere
Valutaz.
globale
Studente A
18
16
10 15.25
Studente B
10
12
18 12.75
Studente C
14
15
15 14.62
 Ma per il Preside lo studente C è da preferire allo studente A e questi a B
 Il Preside cambia i pesi, ma … niente da fare!
 In conclusione, la somma ponderata non è in grado di rappresentare le
preferenze del Preside
Integrale di Choquet (Ch) di x
rispetto alla capacità  :
n
Ch( x1,..., x n  ,  )   (x (i)  x (i 1) )  μ(A(i) )
i 1
(.) index permutation : x(i)  x(i1) , i = 1,..,n-1, x (0)  0
A(i)  i,...,n
1
Ch( x1,..., x n  ,  ) =   (i  N : xi  t)dt
0
con 3 criteri:
t
x(3)-x(2)
x(2)-x(1)
x(1)-x(0)
C2 C3 C1
(1)
(1,3)
(1,2,3)

Valutazione degli studenti (segue)
Integrale di Choquet
• Assegnazione di una capacità (misura) , ossia di un peso, ad ogni
sottoinsieme di criteri, ad esempio:
– ()=0,
– ({Matematica}) = ({Fisica}) = 0.45,
– ({Lettere}) = 0.3,
– ({Matematica, Fisica}) = 0.5,
– ({Matematica, Lettere}) = ({Fisica, Lettere}) = 0.9,
– ({Matematica, Fisica, Lettere}) = 1.
• Si prende in esplicita considerazione l’interazione positiva (sinergia) o
negativa (ridondanza) tra i criteri, assegnando pesi non additivi
– ({Matematica, Fisica}) = 0.5 < ({Matematica}) + ({Fisica}) = 0.9
– ({Matematica, Lettere})= 0.9 > ({Matematica}) + ({Lettere}) = 0.75.
Valutazione degli studenti (segue)
(con integrale di Choquet)
Matematica Fisica
Lettere
Valutaz.
globale
Studente A
18
16
10 13.9
Studente B
10
12
18 13.6
Studente C
14
15
15 14.9
Adesso C è preferito ad A che a sua volta è preferito a B.
Esempio di calcolo dell’integrale di Choquet per lo studente A:
x( 0)  0, x(1)  10, x( 2)  16, x(3)  18
(1)   ({M , F , L})  1, ( 2)   ({M , F })  0.5, (3)   ({M })  0.45
Ch ( A)  (10  0) 1  (16  10)  0.5  (18  16)  0.45  10  3  0.9  13.9
Valutazione degli studenti (segue)
• L’integrale di Choquet è in grado di
rappresentare le preferenze del Preside
• E’ possibile rappresentare le stesse preferenze
usando una funzione valore additiva?
m
U x    ui ( xi )
i 1
ui : una opportuna trasformazione (funzione valore
o funzione di utilità) non decrescente dei voti xi
Esempio didattico – 4
indipendenza delle preferenze
Scelta di un’automobile
Auto
Prezzo
Consumo
A
10000
10l/100Km Ottimo
B
10000
8l/100Km
Scegliere tra A e B
Comfort
Buono
Esempio didattico – 4 (segue)
Scelta di un’automobile
Auto
Prezzo
Consumo
C
40000
10l/100Km Ottimo
D
40000
8l/100Km
Scegliere tra C e D
Comfort
Buono
Esempio didattico – 4 (segue)
Scelta di un’automobile
Auto
A
Prezzo
10000
Consumo Comfort
10l/100Km Ottimo
B
C
D
10000
40000
40000
8l/100Km
Buono
10l/100Km Ottimo
8l/100Km
Buono
Si è scelto prima tra A e B e poi tra C e D.
Esempio didattico – 4 (segue)
Indipendenza delle preferenze
Auto
A
B
Prezzo
10000
10000
Consumo Comfort
10l/100Km Ottimo
8l/100Km
Buono
C
D
40000
40000
10l/100Km Ottimo
8l/100Km
Buono
Se il principio di indipendenza delle preferenze valesse, confrontando rispettivamente
A con B e C con D si potrebbe eliminare il criterio prezzo (stessa valutazione per
coppie di alternative).
Supponiamo che B  A.
Ci dovremmo aspettare anche D  C (perché eliminando il criterio prezzo le altre
valutazioni corrispondono rispettivamente a quelle di B e di A)?
Molto probabilmente ciò non accade!
La ragione è che, se il prezzo aumenta, per il decisore anche l'importanza (relativa)
del comfort aumenta, mentre l'importanza del consumo di carburante diminuisce.
Ma se non vale l'indipendenza delle preferenze, non si possono rappresentare
le preferenze con una funzione additiva delle valutazioni.
Esempio didattico – 5
ponderazione dei criteri
Scelta tra due pacchi–dono (Slovic, 1975)
Pacco
Denaro
Buono-merce
A
100
………
B
200
180
1) Inserire il dato mancante (…) affinché i due pacchi risultino indifferenti
Scelta tra due pacchi-dono (segue)
Pacco
Denaro
Buono-merce
A
100
X
B
200
180
2) Indicare il criterio che si ritiene più importante (denaro o buono-merce)
Scelta tra due pacchi-dono (segue)
Pacco
Denaro
Buono-merce
A
100
X
B
200
180
3) Scegliere adesso tra il pacco A (100, X) ed il pacco B (200, 180)
Scelta tra due pacchi-dono (segue)
Commento
•
A e B dovrebbero essere indifferenti; invece …
•
Differente natura dei “pesi”
“trade-off” (fattori di scala)
coefficienti di importanza
Corrispondente atteggiamento psicologico
compensatorio
non compensatorio
•
Ma … netta separazione?
Condizioni di rischio o
incertezza
La considerazione della probabilità complica
notevolmente le cose
• Concezione e percezione del rischio
• Atteggiamento psicologico di avversione/propensione al
rischio
• Valutazione delle probabilità
• Rappresentazione e misurazione del rischio
• Modelli matematici più o meno complessi
ESEMPIO DIDATTICO - 6
Effetto cornice
• Un paese del Sud-Est dell’Asia è minacciato da una grave
epidemia che mette in pericolo la vita di 600 persone. Sono
in fase di elaborazione due possibili tipi di interventi sanitari,
rispettivamente designati con le lettere A e B.
– Se si adotta il programma A, si salvano certamente 200
vite umane.
– Se si adotta il programma B, c’è una probabilità di 1/3 di
salvare 600 vite umane e una probabilità di 2/3 di non
salvare nessuna vita umana.
• Sapendo questo, quale dei due programmi vi sentireste di
raccomandare?
• Risposte di esperti: 72% A, 28% B
Effetto cornice (segue)
 Un paese del Sud-Est dell’Asia è minacciato da una grave
epidemia che mette in pericolo la vita di 600 persone. Sono
in fase di elaborazione due possibili tipi di interventi sanitari,
rispettivamente designati con le lettere C e D.
 Se si adotta il programma C, moriranno certamente 400
vite umane.
 Se si adotta il programma D, c’è una probabilità di 1/3 che
nessuno muoia e una probabilità di 2/3 che muoiano 600
persone.
 Sapendo questo, quale dei due programmi vi sentireste di
raccomandare?
 Risposte di esperti: 22% C, 78% D
Effetto cornice (segue)
 Ma i programmi A e C e, rispettivamente, B e D sono identici
(ossia A  C e B  D), ma presentati in maniera diversa
 E’ molto importante il modo con cui vengono fornite le
informazioni
(mezzo bicchiere vuoto o mezzo bicchiere pieno …)
 Risposte di esperti contraddittorie (inversione delle
preferenze):
(72%) A ≽ B (28%) e (78%) D ≽ C (22%)
ESEMPIO DIDATTICO -7
Paradosso di Allais (1953)
Scommessa Probabilità Vincita
A
100%
1.000.000
B
10%
89%
1%
5.000.000
1.000.000
0
Preferenze
Paradosso di Allais (1953) (segue)
Scommessa Probabilità Vincita
C
11%
89%
1.000.000
0
D
10%
90%
5.000.000
0
Preferenze
Paradosso di Allais (1953) (segue)
campione di 72 persone
Scommessa Probabilità Vincita
Preferenze
A
100%
1.000.000
82%
B
10%
89%
1%
5.000.000
1.000.000
0
18%
Scommessa Probabilità Vincita
Preferenze
C
17%
D
11%
89%
10%
90%
1.000.000
0
5.000.000
0
83%
Paradosso di Allais (1953) (segue)
ma…
Scommessa Probabilità Vincita
A
89%
1.000.000
11%
1.000.000
10%
5.000.000
B
89%
1.000.000
1%
0
Scommessa Probabilità Vincita
C
11%
1.000.000
89%
0
10%
5.000.000
D
89%
0
1%
0
Preferenze
82%
18%
Preferenze
17%
83%
ESEMPIO DIDATTICO - 8
Paradosso di Ellsberg
URNA:
90 palline, di cui
PROBABILITA’:
30 rosse (r)
60 blu (b) o gialle (g)
p(r) = 1/3
p(b) + p(g) = 2/3
p(r) + p(b) + p(g) = 1
Lotteria 1
Colore
rossa
blu
gialla
Probabilità
A
B
1/3
100
0
p(b)
0
100
p(g)
0
0
Paradosso di Ellsberg (segue)
URNA:
90 palline, di cui
PROBABILITA’:
30 rosse (r)
60 blu (b) o gialle (g)
p(r) = 1/3
p(b) + p(g) = 2/3
p(r) + p(b) + p(g) = 1
Lotteria 2
Colore
Probabilità
C
D
rossa
1/3
100
0
blu
p(b)
0
100
gialla
p(g)
100
100
Paradosso di Ellsberg (segue)
Lotteria 1
Colore
Probabilità
A
rossa
1/3
100
blu
p(b)
0
gialla
p(g)
0
0
100
0
Colore
Probabilità
rossa
1/3
blu
p(b)
gialla
p(g)
C
100
0
100
D
0
100
100
B
Lotteria 2
Molto spesso:
A ≽ B e D ≽ C  p(b) < 1/3 in Lotteria 1 e p(b) > 1/3 in Lotteria 2
Esempio didattico - 9
Un celebre paradosso (Monty Hall), dal nome del
conduttore del quiz americano Let’s make a Deal
Cambiare o no?
Partecipando ad un gioco televisivo, vi sia data la possibilità di
scegliere tra tre pacchi. Dentro ad uno di essi c’è
un’automobile, dentro agli altri due delle capre. Il conduttore
conosce il contenuto dei pacchi. Dopo che avete scelto un
pacco, il conduttore apre uno dei pacchi scartati e mostra
che contiene una capra. Poi vi chiede: “Volete cambiare
pacco?”
Vi conviene fare cambio?
La giornalista Marylin vos Savant …
Paradosso di Monty Hall
Probabilità di vincere 1/3 (scelta iniziale)
6 casi possibili:
auto
auto
capra 1
capra 1
capra 2
capra 2
capra 1
capra 2
auto
capra 2
auto
capra 1
capra 2
capra 1
capra 2
auto
capra 1
auto
41
Paradosso di Monty Hall (segue)
Probabilità di vincere 2/3 nel caso di cambio del pacco
42
Conclusioni

Esistono molti modelli in grado di rappresentare opportunamente le
preferenze ed aiutare il decisore a prendere le decisioni

Approccio assiomatico ed atteggiamento psicologico

Diversi approcci per costruire il modello delle preferenze quanto più
fedele possibile alle prefenze del decisore

Una decisione “migliore “è una decisione che è meglio giustificata, anche in
vista di una sua accettazione, cioè
 più comprensibile,
 meglio spiegata,
 più convincente.

E’ allora sufficiente un modello in grado di rappresentare formalmente le
preferenze per giustificare le decisioni?

La risposta è: occorre costruire ed utilizzare modelli “ben fondati”, che
possano anche giustificare le decisioni.