AA2013-Lezione_12

FONDERE PER ORDINARE
Lezione n°12
Algoritmi Avanzati
Prof.ssa Rossella Petreschi
Il concetto di rango
Dati X = (x1, x2, …, xt), Y = (y1, y2, …, ys) e z, con z, xi e yj nello
stesso insieme U, definiamo:
1. rango(z:X) = numero di elementi in X  z
Es: X = (-3,8,-2,5), z = 1, rango(z:X) = 2
2. rango(Y:X) = (r1, r2, … rs) con ri = rango(yi:X)
Es: X = (15,-3,12,1,-5), Y = (3,-13,-2), rango(Y:X) = (3,0,2)
Si noti inoltre che vale la relazione*:
rango(x:AB) = rango(x:A) + rango(x:B)
*Nota: per semplicità assumiamo che i valori siano tutti distinti.
Fondere tramite rango
Il problema di fondere due vettori ordinati A e B in un unico vettore C
si può risolvere calcolando il rango degli elementi di A rispetto a B e di
quelli di B rispetto ad A: rango(x:AB) è esattamente la posizione in
cui l’elemento x si trova nel vettore C.
L’algoritmo di Ricerca Binaria può essere utilizzato per calcolare il
rango di un elemento in un vettore, ed in particolare il rango di ogni
elemento di A in B e viceversa. Con tali informazioni possiamo
calcolare C.
Esempio: A=(-2, -1, 8) B=(3,6) AB=(-2, -1, 8, 3, 6)
rango(A:B)=(0, 0, 2) rango(B:A)=(2,2)
rango=(1, 2, 5, 3, 4) C=(-2, -1, 3, 6, 8)
Inserire una sequenza “breve”
in un vettore ordinato
Siano X=(x1, x2, …, xn) un vettore ordinato e Y=(y1, …, ym)
una sequenza di valori qualunque tale che m=O(ns) con
0≤s≤1.
Utilizziamo un numero di processori pari ad N=n/m = (n1-s).
È possibile inserire ciascun valore yi nella sequenza
X determinando rango (yi:X) in tempo
O(m log2(n+2) / log2(N+1))
Quando m << n (ovvero se s  0) si ha N=O(n) e tempo O(1).
Quando m=O(n) (s  1) si ha N=O(1) e tempo O(n log n).
Algoritmo di fusione tramite rango
Input: A=(a1, a2, …, an), B=(b1, b2, …, bm), ordinati in modo
crescente (m≤n).
Output: C=(c1, c2, …, cn+m), ordinato in modo crescente.
Idea: si partiziona il vettore B in (m / log m) blocchi consecutivi di log(m)
elementi ciascuno, B0, B1, …, e si crea il vettore Y= (y0, y1, …, ) costituito
dall’insieme degli elementi massimi dei blocchi, yi= B(i(logm-1)).
Si calcola rango(Y:A) e si ottiene (r0, r1, …, rm/logm), con r0= 0, ri= rango(yi:A),
1≤i≤logm-1, rm/logm=n e si divide A in blocchi consecutivi:
A0=(a1, …, ar ), A1=(ar +1, …, ar ), …, Ar(m/llogm)-1= (ar(m/llogm)-1, …, ar(m/llogm)).
1
1
2
Poiché A0 e B0 contengono elementi minori di tutti gli altri elementi di A e B,
fondendo A0 e B0 tramite rango si ottiene la sequenza ordinata dei primi
elementi di C. Iterando il ragionamento su tutte le coppie Ai e Bi si ottiene
l’intero vettore C ordinato.
Esempio di applicazione dell’algoritmo di fusione
A = [ 4, 6, 7, 10, 12, 15, 18, 20 ]
B = [ 3, 9, 16, 17 ]
log m
log m
rango(9:A) = 3
rango(17:A) = 6
r = [ 0, 3, 6, 8 ]
B0 = [ 3, 9 ]
B1 = [ 16, 17 ]
A0 = [ 4, 6, 7 ] A1 = [ 10, 12, 15] A2 = [ 18, 20 ]
Dettaglio del partizionamento
begin
P0: r [ 0 ] = 0
r [ m / log m ] = n
for i = 1 to m/log m -1 pardo
Pi:
r [ i ] = rango(B[ i (log m -1)] : A)
for i = 0 to m/log m -1 pardo
Pi:
Bi = (B[ i log m ], …, B[(i+1)(log m -1)])
Ai = (A[ r [ i ] ], …, A[ r [i+1] -1])
end
Complessità dell’algoritmo di fusione
Per completare la fusione di A e B (cioè per calcolare la posizione di ciascun valore nel
vettore finale) si dovranno fondere tutte le coppie di sottovettori (Ai, Bi).
Utilizzando l’inserimento di una seq. breve in un vettore ordinato ciò si può fare in
O(log m) tempo con |Ai| processori.
Quindi con n processori tutte le coppie possono essere fuse contemporaneamente in
tempo logaritmico.
Gli elementi di Ai e Bi vengono posizionati nel vettore risultante C in tempo parallelo
costante tenuto conto che:
– ogni Ai contribuisce con (ri+1 – ri);
– ogni Bj contribuisce con log m elementi.
Il tempo totale richiesto è pertanto O(log n) con n processori su PRAM CREW.
Esistono anche algoritmi che riducono la complessità temporale a O(log log n) portando
quindi il costo totale a O(n log log n).
Ordinamento per fusione
La versione parallela del ben noto algoritmo mergesort si può
descrivere tramite un albero binario completo di altezza logn che
contiene nelle foglie gli n elementi da ordinare. Al passo k-esimo
lavorano in parallelo tutti i processori assegnati ai nodi del livello*
logn-k ed ogni processore esegue la fusione dei valori presenti nei suoi
nodi figli. Ad ogni passo il tempo parallelo richiesto è determinato
dall’algoritmo di fusione utilizzato e il numero di passi è pari
all’altezza dell’albero.
Per quanto detto in precedenza, il miglior costo che si può avere
per questo algoritmo è pertanto pari a O(n logn loglog n), non
ottimo, anche se molto efficiente.
* si suppone che la radice sia a livello 0 e le foglie a livello logn
Verso un ordinamento ottimo
Nel 1988 R. Cole presentò sul SIAM Journal Computing la prima versione del pipelined
merge sort (poi conosciuto come algoritmo di Cole) che riduceva il calcolo delle fusioni ad
ogni livello. Da allora varianti e raffinamenti dell’algoritmo si sono susseguiti in letteratura
fino a raggiungere un costo ottimo su PRAM EREW.
L’idea di Cole per eliminare il tempo dovuto all’operazione di fusione è nata dal constatare
che le operazioni di fusione dei sottovettori non è necessario compierle in un sol passo, dato
che per arrivare alla soluzione bisogna percorrere tutto l’albero, dalle foglie alla radice.
Il calcolo delle fusioni ad ogni singolo livello si può pertanto realizzare in un numero
costante di passi fondendo, ad ogni passo, opportuni valori scelti a campione.
Questi valori campione, in numero costante, richiedono tempo parallelo O(1) per essere
calcolati, confrontati ed inseriti provvisoriamente nel vettore soluzione parziale.
Il calcolo di nuovi campioni ad ogni livello garantisce la realizzazione alla radice del vettore
ordinato (ottenuto per ripetute fusioni parziali) e permette di ottenere un tempo parallelo
logaritmico per l’intero algoritmo di ordinamento.